Adjoint and inverse of matrices Questions in Hindi

(A) माना कि $A = \left[\begin{array}{ll}2 & 1 \\ 1 & 1\end{array}\right]$.
सबसे पहले,हम $A$ का सारणिक (determinant) ज्ञात करते हैं:
$|A| = (2)(1) - (1)(1) = 2 - 1 = 1$.
चूंकि $|A| \neq 0$,इसलिए $A^{-1}$ का अस्तित्व है।
एक $2 \times 2$ आव्यूह $\left[\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right]$ का व्युत्क्रम $\frac{1}{|A|} \left[\begin{array}{cc}d & -b \\ -c & a\end{array}\right]$ द्वारा दिया जाता है।
मान $a=2, b=1, c=1, d=1$ रखने पर:
$A^{-1} = \frac{1}{1} \left[\begin{array}{cc}1 & -1 \\ -1 & 2\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}1 & -1 \\ -1 & 2\end{array}\right]$.

(A) माना $A = \left[\begin{array}{ll}1 & 3 \\ 2 & 7\end{array}\right]$ है।
सबसे पहले,हम $A$ का सारणिक (determinant) ज्ञात करते हैं:
$|A| = (1 \times 7) - (3 \times 2) = 7 - 6 = 1$.
चूंकि $|A| \neq 0$ है,इसलिए व्युत्क्रम $A^{-1}$ का अस्तित्व है।
$2 \times 2$ आव्यूह $\left[\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right]$ के व्युत्क्रम का सूत्र $\frac{1}{ad-bc} \left[\begin{array}{cc}d & -b \\ -c & a\end{array}\right]$ है।
मान $a=1, b=3, c=2, d=7$ प्रतिस्थापित करने पर:
$A^{-1} = \frac{1}{1} \left[\begin{array}{cc}7 & -3 \\ -2 & 1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}7 & -3 \\ -2 & 1\end{array}\right]$.

(A) माना $A = \left[\begin{array}{ll}2 & 3 \\ 5 & 7\end{array}\right]$ है।
सबसे पहले,हम $A$ का सारणिक (determinant) ज्ञात करते हैं:
$|A| = (2 \times 7) - (3 \times 5) = 14 - 15 = -1$.
चूंकि $|A| \neq 0$,इसलिए व्युत्क्रम $A^{-1}$ का अस्तित्व है।
एक $2 \times 2$ आव्यूह $\left[\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right]$ का व्युत्क्रम $\frac{1}{|A|} \left[\begin{array}{cc}d & -b \\ -c & a\end{array}\right]$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर:
$A^{-1} = \frac{1}{-1} \left[\begin{array}{cc}7 & -3 \\ -5 & 2\end{array}\right]$
$A^{-1} = \left[\begin{array}{cc}-7 & 3 \\ 5 & -2\end{array}\right]$.

(A) माना कि $A = \left[\begin{array}{ll}2 & 1 \\ 7 & 4\end{array}\right]$.
सबसे पहले,हम $A$ का सारणिक (determinant) ज्ञात करते हैं:
$|A| = (2 \times 4) - (1 \times 7) = 8 - 7 = 1$.
चूंकि $|A| \neq 0$,इसलिए व्युत्क्रम $A^{-1}$ का अस्तित्व है।
$2 \times 2$ आव्यूह $\left[\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right]$ के व्युत्क्रम का सूत्र $\frac{1}{|A|} \left[\begin{array}{cc}d & -b \\ -c & a\end{array}\right]$ है।
मान रखने पर:
$A^{-1} = \frac{1}{1} \left[\begin{array}{cc}4 & -1 \\ -7 & 2\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}4 & -1 \\ -7 & 2\end{array}\right]$.

(A) माना $A = \left[\begin{array}{ll}2 & 5 \\ 1 & 3\end{array}\right]$ है।
सबसे पहले,हम $A$ का सारणिक (determinant) ज्ञात करते हैं:
$|A| = (2 \times 3) - (5 \times 1) = 6 - 5 = 1$.
चूंकि $|A| \neq 0$,इसलिए व्युत्क्रम $A^{-1}$ का अस्तित्व है।
$2 \times 2$ आव्यूह $\left[\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right]$ के व्युत्क्रम का सूत्र है:
$A^{-1} = \frac{1}{|A|} \left[\begin{array}{cc}d & -b \\ -c & a\end{array}\right]$.
मान $a=2, b=5, c=1, d=3$ और $|A|=1$ रखने पर:
$A^{-1} = \frac{1}{1} \left[\begin{array}{cc}3 & -5 \\ -1 & 2\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}3 & -5 \\ -1 & 2\end{array}\right]$.

(A) माना $A = \left[\begin{array}{ll}3 & 1 \\ 5 & 2\end{array}\right]$.
सबसे पहले,हम $A$ का सारणिक (determinant) ज्ञात करते हैं:
$|A| = (3 \times 2) - (1 \times 5) = 6 - 5 = 1$.
चूंकि $|A| \neq 0$,इसलिए व्युत्क्रम $A^{-1}$ का अस्तित्व है।
$2 \times 2$ आव्यूह $\left[\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right]$ के व्युत्क्रम का सूत्र $\frac{1}{|A|} \left[\begin{array}{cc}d & -b \\ -c & a\end{array}\right]$ है।
इस सूत्र को आव्यूह $A$ पर लागू करने पर:
$A^{-1} = \frac{1}{1} \left[\begin{array}{cc}2 & -1 \\ -5 & 3\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}2 & -1 \\ -5 & 3\end{array}\right]$.

(A) माना $A = \left[\begin{array}{ll}4 & 5 \\ 3 & 4\end{array}\right]$ है।
सबसे पहले,$A$ का सारणिक (determinant) ज्ञात करें:
$|A| = (4 \times 4) - (5 \times 3) = 16 - 15 = 1$.
चूंकि $|A| \neq 0$,इसलिए $A^{-1}$ का अस्तित्व है।
$2 \times 2$ आव्यूह $\left[\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right]$ का व्युत्क्रम $\frac{1}{|A|} \left[\begin{array}{cc}d & -b \\ -c & a\end{array}\right]$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर:
$A^{-1} = \frac{1}{1} \left[\begin{array}{cc}4 & -5 \\ -3 & 4\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}4 & -5 \\ -3 & 4\end{array}\right]$।

(A) माना $A = \left[\begin{array}{cc}3 & 10 \\ 2 & 7\end{array}\right]$ है।
सबसे पहले,हम $A$ का सारणिक (determinant) ज्ञात करते हैं:
$|A| = (3 \times 7) - (10 \times 2) = 21 - 20 = 1$.
चूँकि $|A| \neq 0$ है,इसलिए $A^{-1}$ का अस्तित्व है।
$2 \times 2$ आव्यूह $\left[\begin{array}{cc}a & b \\ c & d\end{array}\right]$ के व्युत्क्रम का सूत्र $\frac{1}{|A|} \left[\begin{array}{cc}d & -b \\ -c & a\end{array}\right]$ होता है।
मान रखने पर:
$A^{-1} = \frac{1}{1} \left[\begin{array}{cc}7 & -10 \\ -2 & 3\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}7 & -10 \\ -2 & 3\end{array}\right]$।

(A) माना $A = \left[\begin{array}{cc}3 & -1 \\ -4 & 2\end{array}\right]$ है।
सबसे पहले,$A$ का सारणिक (determinant) ज्ञात करें:
$|A| = (3)(2) - (-1)(-4) = 6 - 4 = 2$ है।
चूंकि $|A| \neq 0$ है,इसलिए $A^{-1}$ का अस्तित्व है।
$2 \times 2$ आव्यूह $\left[\begin{array}{cc}a & b \\ c & d\end{array}\right]$ के व्युत्क्रम का सूत्र $\frac{1}{ad-bc} \left[\begin{array}{cc}d & -b \\ -c & a\end{array}\right]$ होता है।
इस सूत्र को आव्यूह $A$ पर लागू करने पर:
$A^{-1} = \frac{1}{2} \left[\begin{array}{cc}2 & 1 \\ 4 & 3\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}1 & 1/2 \\ 2 & 3/2\end{array}\right]$।

(A) माना $A = \left[\begin{array}{ll}2 & -6 \\ 1 & -2\end{array}\right]$ है।
सबसे पहले,हम $A$ का सारणिक (determinant) ज्ञात करते हैं:
$|A| = (2)(-2) - (-6)(1) = -4 + 6 = 2$.
चूंकि $|A| \neq 0$,इसलिए व्युत्क्रम $A^{-1}$ का अस्तित्व है।
$2 \times 2$ आव्यूह $\left[\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right]$ के व्युत्क्रम का सूत्र $\frac{1}{|A|} \left[\begin{array}{rr}d & -b \\ -c & a\end{array}\right]$ है।
यहाँ $a=2, b=-6, c=1, d=-2$ है।
$A^{-1} = \frac{1}{2} \left[\begin{array}{rr}-2 & 6 \\ -1 & 2\end{array}\right] = \left[\begin{array}{rr}-1 & 3 \\ -\frac{1}{2} & 1\end{array}\right]$.

(C) माना $A = \left[\begin{array}{cc}6 & -3 \\ -2 & 1\end{array}\right]$ है।
सबसे पहले,आव्यूह $A$ का सारणिक $|A|$ ज्ञात कीजिए।
$|A| = (6 \times 1) - (-3 \times -2) = 6 - 6 = 0$.
चूंकि आव्यूह का सारणिक $0$ है,इसलिए आव्यूह $A$ एक अव्युत्क्रमणीय (singular) आव्यूह है।
अतः,आव्यूह $A$ का व्युत्क्रम अस्तित्व में नहीं है।

(A) दिया गया आव्यूह $A = \left[\begin{array}{cc}2 & -3 \\ -1 & 2\end{array}\right]$ है।
सबसे पहले,सारणिक $|A| = (2)(2) - (-3)(-1) = 4 - 3 = 1$ की गणना करें।
चूंकि $|A| \neq 0$,इसलिए व्युत्क्रम $A^{-1}$ का अस्तित्व है।
$2 \times 2$ आव्यूह $\left[\begin{array}{cc}a & b \\ c & d\end{array}\right]$ के व्युत्क्रम का सूत्र $\frac{1}{ad-bc} \left[\begin{array}{cc}d & -b \\ -c & a\end{array}\right]$ है।
इस सूत्र को आव्यूह $A$ पर लागू करने पर:
$A^{-1} = \frac{1}{1} \left[\begin{array}{cc}2 & 3 \\ 1 & 2\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}2 & 3 \\ 1 & 2\end{array}\right]$.

(C) माना कि $A = \left[\begin{array}{ll}2 & 1 \\ 4 & 2\end{array}\right]$ है।
सबसे पहले,हम $A$ का सारणिक (determinant) ज्ञात करते हैं,जिसे $|A|$ द्वारा दर्शाया जाता है।
$|A| = (2 \times 2) - (1 \times 4) = 4 - 4 = 0$.
चूंकि आव्यूह का सारणिक $0$ है,इसलिए आव्यूह $A$ एक अव्युत्क्रमणीय (singular) आव्यूह है।
अतः,आव्यूह $A$ का व्युत्क्रम अस्तित्व में नहीं है।

माना $A = \left[\begin{array}{rrr}2 & -3 & 3 \\ 2 & 2 & 3 \\ 3 & -2 & 2\end{array}\right]$ है।
सबसे पहले,हम $A$ का सारणिक $(|A|)$ ज्ञात करते हैं:
$|A| = 2(4 - (-6)) - (-3)(4 - 9) + 3(-4 - 6)$
$|A| = 2(10) + 3(-5) + 3(-10)$
$|A| = 20 - 15 - 30 = -25$.
चूंकि $|A| \neq 0$,इसलिए व्युत्क्रम $A^{-1}$ का अस्तित्व है।
अब,हम सहखंडज आव्यूह $C_{ij}$ ज्ञात करते हैं:
$C_{11} = 10, C_{12} = 5, C_{13} = -10$
$C_{21} = 0, C_{22} = -5, C_{23} = -5$
$C_{31} = -15, C_{32} = 0, C_{33} = 10$
एडजॉइंट आव्यूह $adj(A)$ सहखंडज आव्यूह का परिवर्त (transpose) है:
$adj(A) = \left[\begin{array}{rrr}10 & 0 & -15 \\ 5 & -5 & 0 \\ -10 & -5 & 10\end{array}\right]$
अंत में,$A^{-1} = \frac{1}{|A|} adj(A) = \frac{1}{-25} \left[\begin{array}{rrr}10 & 0 & -15 \\ 5 & -5 & 0 \\ -10 & -5 & 10\end{array}\right] = \left[\begin{array}{rrr}-2/5 & 0 & 3/5 \\ -1/5 & 1/5 & 0 \\ 2/5 & 1/5 & -2/5\end{array}\right]$.

(A) माना $A=\left[\begin{array}{ccc}1 & 3 & -2 \\ -3 & 0 & -5 \\ 2 & 5 & 0\end{array}\right]$.
सबसे पहले,सारणिक $|A|$ की गणना करें:
$|A| = 1(0 - (-25)) - 3(0 - (-10)) - 2(-15 - 0)$
$|A| = 1(25) - 3(10) - 2(-15) = 25 - 30 + 30 = 25$.
चूंकि $|A| \neq 0$,इसलिए व्युत्क्रम का अस्तित्व है।
सूत्र $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj}(A)$ का उपयोग करते हुए:
सहखंड (cofactors) $C_{ij}$ का आव्यूह ज्ञात करें:
$C_{11} = 25, C_{12} = -10, C_{13} = -15$
$C_{21} = -10, C_{22} = 4, C_{23} = 1$
$C_{31} = -15, C_{32} = 11, C_{33} = 9$
$\text{adj}(A) = \left[\begin{array}{ccc}25 & -10 & -15 \\ -10 & 4 & 11 \\ -15 & 1 & 9\end{array}\right]^T = \left[\begin{array}{ccc}25 & -10 & -15 \\ -10 & 4 & 1 \\ -15 & 11 & 9\end{array}\right]$
$A^{-1} = \frac{1}{25} \left[\begin{array}{ccc}25 & -10 & -15 \\ -10 & 4 & 11 \\ -15 & 1 & 9\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}1 & -\frac{2}{5} & -\frac{3}{5} \\ -\frac{2}{5} & \frac{4}{25} & \frac{11}{25} \\ -\frac{3}{5} & \frac{1}{25} & \frac{9}{25}\end{array}\right]$.

(A) माना $A=\left[\begin{array}{ccc}2 & 0 & -1 \\ 5 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 3\end{array}\right]$ है।
हम जानते हैं कि $A=IA$ होता है।
$\therefore \left[\begin{array}{ccc}2 & 0 & -1 \\ 5 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right] A$.
$R_{1} \rightarrow \frac{1}{2} R_{1}$ लागू करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & -\frac{1}{2} \\ 5 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}\frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right] A$.
$R_{2} \rightarrow R_{2}-5 R_{1}$ लागू करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & -\frac{1}{2} \\ 0 & 1 & \frac{5}{2} \\ 0 & 1 & 3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}\frac{1}{2} & 0 & 0 \\ -\frac{5}{2} & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right] A$.
$R_{3} \rightarrow R_{3}-R_{2}$ लागू करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & -\frac{1}{2} \\ 0 & 1 & \frac{5}{2} \\ 0 & 0 & \frac{1}{2}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}\frac{1}{2} & 0 & 0 \\ -\frac{5}{2} & 1 & 0 \\ \frac{5}{2} & -1 & 1\end{array}\right] A$.
$R_{3} \rightarrow 2 R_{3}$ लागू करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & -\frac{1}{2} \\ 0 & 1 & \frac{5}{2} \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}\frac{1}{2} & 0 & 0 \\ -\frac{5}{2} & 1 & 0 \\ 5 & -2 & 2\end{array}\right] A$.
$R_{1} \rightarrow R_{1}+\frac{1}{2} R_{3}$ और $R_{2} \rightarrow R_{2}-\frac{5}{2} R_{3}$ लागू करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}3 & -1 & 1 \\ -15 & 6 & -5 \\ 5 & -2 & 2\end{array}\right] A$.
$\therefore A^{-1}=\left[\begin{array}{ccc}3 & -1 & 1 \\ -15 & 6 & -5 \\ 5 & -2 & 2\end{array}\right]$.

(A) परिभाषा के अनुसार,यदि $A$ और $B$ समान कोटि $n$ के वर्ग आव्यूह हैं और उनका गुणनफल तत्समक आव्यूह $I$ है,तो $B$,$A$ का व्युत्क्रम है और $A$,$B$ का व्युत्क्रम है।
इस संबंध को $A B = B A = I$ के रूप में व्यक्त किया जाता है।
अतः,आव्यूह $A$ और $B$ एक-दूसरे के व्युत्क्रम तभी होंगे यदि $A B = B A = I$ हो।

(A) माना $A = \left[\begin{array}{cc}1 & 2 \\ 2 & -1\end{array}\right]$.
हम $A = IA$ लिखते हैं,जहाँ $I = \left[\begin{array}{cc}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right]$.
$\left[\begin{array}{cc}1 & 2 \\ 2 & -1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right] A$.
$R_2 \to R_2 - 2R_1$ लागू करने पर:
$\left[\begin{array}{cc}1 & 2 \\ 0 & -5\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}1 & 0 \\ -2 & 1\end{array}\right] A$.
$R_2 \to -\frac{1}{5} R_2$ लागू करने पर:
$\left[\begin{array}{cc}1 & 2 \\ 0 & 1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}1 & 0 \\ \frac{2}{5} & -\frac{1}{5}\end{array}\right] A$.
$R_1 \to R_1 - 2R_2$ लागू करने पर:
$\left[\begin{array}{cc}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}1 - 2(\frac{2}{5}) & 0 - 2(-\frac{1}{5}) \\ \frac{2}{5} & -\frac{1}{5}\end{array}\right] A$.
$\left[\begin{array}{cc}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}\frac{1}{5} & \frac{2}{5} \\ \frac{2}{5} & -\frac{1}{5}\end{array}\right] A$.
अतः,$A^{-1} = \left[\begin{array}{cc}\frac{1}{5} & \frac{2}{5} \\ \frac{2}{5} & -\frac{1}{5}\end{array}\right]$.

(A) माना $A = \left[\begin{array}{cc}7 & 4 \\ 1 & -2\end{array}\right]$.
प्रारंभिक पंक्ति रूपांतरणों का उपयोग करके व्युत्क्रम ज्ञात करने के लिए,हम $A = IA$ लिखते हैं,जहाँ $I = \left[\begin{array}{cc}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right]$.
$\left[\begin{array}{cc}7 & 4 \\ 1 & -2\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right] A$.
$R_1 \leftrightarrow R_2$ लागू करने पर:
$\left[\begin{array}{cc}1 & -2 \\ 7 & 4\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}0 & 1 \\ 1 & 0\end{array}\right] A$.
$R_2 \to R_2 - 7R_1$ लागू करने पर:
$\left[\begin{array}{cc}1 & -2 \\ 0 & 18\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}0 & 1 \\ 1 & -7\end{array}\right] A$.
$R_2 \to \frac{1}{18}R_2$ लागू करने पर:
$\left[\begin{array}{cc}1 & -2 \\ 0 & 1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}0 & 1 \\ \frac{1}{18} & -\frac{7}{18}\end{array}\right] A$.
$R_1 \to R_1 + 2R_2$ लागू करने पर:
$\left[\begin{array}{cc}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}\frac{2}{18} & \frac{4}{18} \\ \frac{1}{18} & -\frac{7}{18}\end{array}\right] A$.
अतः,$A^{-1} = \frac{1}{18}\left[\begin{array}{cc}2 & 4 \\ 1 & -7\end{array}\right]$.

(A) माना $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 3 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \end{bmatrix}$ है। हम $A = IA$ लिखते हैं:
$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 3 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} A$
$R_2 \to R_2 - 3R_1$ और $R_3 \to R_3 - R_1$ लागू करने पर:
$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & -4 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -3 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{bmatrix} A$
$R_2 \to R_2 / (-4)$ लागू करने पर:
$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 3/4 & -1/4 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{bmatrix} A$
$R_1 \to R_1 - 2R_2$ और $R_3 \to R_3 + R_2$ लागू करने पर:
$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1/2 & 1/2 & 0 \\ 3/4 & -1/4 & 0 \\ -1/4 & -1/4 & 1 \end{bmatrix} A$
$R_1 \to R_1 - R_3$ लागू करने पर:
$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1/4 & 3/4 & -1 \\ 3/4 & -1/4 & 0 \\ -1/4 & -1/4 & 1 \end{bmatrix} A$
अतः,$A^{-1} = \begin{bmatrix} -1/4 & 3/4 & -1 \\ 3/4 & -1/4 & 0 \\ -1/4 & -1/4 & 1 \end{bmatrix}$.

(A) माना $A = \begin{bmatrix} -1 & 2 \\ -3 & 5 \end{bmatrix}$ है। हम $A = IA$ लिखते हैं,जहाँ $I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ है।
$\begin{bmatrix} -1 & 2 \\ -3 & 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} A$
$R_1 \to -R_1$ लागू करने पर:
$\begin{bmatrix} 1 & -2 \\ -3 & 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} A$
$R_2 \to R_2 + 3R_1$ लागू करने पर:
$\begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ -3 & 1 \end{bmatrix} A$
$R_2 \to -R_2$ लागू करने पर:
$\begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 3 & -1 \end{bmatrix} A$
$R_1 \to R_1 + 2R_2$ लागू करने पर:
$\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & -2 \\ 3 & -1 \end{bmatrix} A$
अतः,$A^{-1} = \begin{bmatrix} 5 & -2 \\ 3 & -1 \end{bmatrix}$ है।

(N/A) प्रारंभिक पंक्ति संक्रियाओं का उपयोग करके व्युत्क्रम ज्ञात करने के लिए,हम $A = IA$ लिखते हैं,जहाँ $I$ तत्समक आव्यूह है: $\left[\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 1 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right] A$.
$R_1 \leftrightarrow R_2$ लागू करने पर: $\left[\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 3 & 1 & 1 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right] A$.
$R_3 \to R_3 - 3R_1$ लागू करने पर: $\left[\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & -5 & -8 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & -3 & 1 \end{array}\right] A$.
$R_3 \to R_3 + 5R_2$ लागू करने पर: $\left[\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 2 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 5 & -3 & 1 \end{array}\right] A$.
$R_3 \to \frac{1}{2}R_3$ लागू करने पर: $\left[\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ \frac{5}{2} & -\frac{3}{2} & \frac{1}{2} \end{array}\right] A$.
$R_2 \to R_2 - 2R_3$ और $R_1 \to R_1 - 3R_3$ लागू करने पर: $\left[\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc} -\frac{15}{2} & \frac{11}{2} & -\frac{3}{2} \\ -4 & 3 & -1 \\ \frac{5}{2} & -\frac{3}{2} & \frac{1}{2} \end{array}\right] A$.
$R_1 \to R_1 - 2R_2$ लागू करने पर: $\left[\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc} \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ -4 & 3 & -1 \\ \frac{5}{2} & -\frac{3}{2} & \frac{1}{2} \end{array}\right] A$.
अतः,$A^{-1} = \left[\begin{array}{ccc} \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ -4 & 3 & -1 \\ \frac{5}{2} & -\frac{3}{2} & \frac{1}{2} \end{array}\right]$.

(D) मान लीजिए $A = \left[\begin{array}{cc}1 & 3 \\ -5 & 7\end{array}\right]$ है।
प्रारंभिक पंक्ति संक्रियाओं का उपयोग करके व्युत्क्रम ज्ञात करने के लिए,हम $A = IA$ संबंध का उपयोग करते हैं।
$\left[\begin{array}{cc}1 & 3 \\ -5 & 7\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right] A$
$R_2 \rightarrow R_2 + 5R_1$ संक्रिया लागू करने पर:
$\left[\begin{array}{cc}1 & 3 \\ 0 & 22\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}1 & 0 \\ 5 & 1\end{array}\right] A$
$R_2 \rightarrow \frac{1}{22} R_2$ संक्रिया लागू करने पर:
$\left[\begin{array}{cc}1 & 3 \\ 0 & 1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}1 & 0 \\ \frac{5}{22} & \frac{1}{22}\end{array}\right] A$
$R_1 \rightarrow R_1 - 3R_2$ संक्रिया लागू करने पर:
$\left[\begin{array}{cc}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}1 - 3(\frac{5}{22}) & 0 - 3(\frac{1}{22}) \\ \frac{5}{22} & \frac{1}{22}\end{array}\right] A$
$\left[\begin{array}{cc}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}\frac{7}{22} & -\frac{3}{22} \\ \frac{5}{22} & \frac{1}{22}\end{array}\right] A$
अतः,$A^{-1} = \frac{1}{22} \left[\begin{array}{cc}7 & -3 \\ 5 & 1\end{array}\right]$ है।

(C) माना $A = \left[\begin{array}{cc}1 & -3 \\ -2 & 6\end{array}\right]$ है।
प्रारंभिक पंक्ति संक्रियाओं का उपयोग करके व्युत्क्रम ज्ञात करने के लिए,हम $A = IA$ लिखते हैं,जहाँ $I$ तत्समक आव्यूह है।
$\left[\begin{array}{cc}1 & -3 \\ -2 & 6\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right] A$
पंक्ति संक्रिया $R_2 \rightarrow R_2 + 2R_1$ लागू करने पर:
$\left[\begin{array}{cc}1 & -3 \\ -2 + 2(1) & 6 + 2(-3)\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}1 & 0 \\ 0 + 2(1) & 1 + 2(0)\end{array}\right] A$
$\left[\begin{array}{cc}1 & -3 \\ 0 & 0\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}1 & 0 \\ 2 & 1\end{array}\right] A$
चूँकि बाईं ओर के आव्यूह की दूसरी पंक्ति के सभी अवयव शून्य हैं,इसलिए आव्यूह $A$ अव्युत्क्रमणीय (non-invertible) है।
अतः,$A^{-1}$ का अस्तित्व नहीं है।

(A) माना $A = \left[\begin{array}{ccc}2 & -1 & 3 \\ -5 & 3 & 1 \\ -3 & 2 & 3\end{array}\right]$ है। प्रारंभिक पंक्ति रूपांतरणों का उपयोग करके $A^{-1}$ ज्ञात करने के लिए,हम $A = IA$ लिखते हैं।
$\left[\begin{array}{ccc}2 & -1 & 3 \\ -5 & 3 & 1 \\ -3 & 2 & 3\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right] A$
$R_2 \rightarrow R_2 + 2R_1$ और $R_3 \rightarrow R_3 + R_1$ लागू करने पर:
$\left[\begin{array}{ccc}2 & -1 & 3 \\ -1 & 1 & 7 \\ -1 & 1 & 6\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1\end{array}\right] A$
$R_3 \rightarrow R_3 - R_2$ लागू करने पर:
$\left[\begin{array}{ccc}2 & -1 & 3 \\ -1 & 1 & 7 \\ 0 & 0 & -1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ -1 & -1 & 1\end{array}\right] A$
$R_1 \rightarrow R_1 + R_2$ लागू करने पर:
$\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 10 \\ -1 & 1 & 7 \\ 0 & 0 & -1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}3 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ -1 & -1 & 1\end{array}\right] A$
$R_2 \rightarrow R_2 + R_1$ लागू करने पर:
$\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 10 \\ 0 & 1 & 17 \\ 0 & 0 & -1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}3 & 1 & 0 \\ 5 & 2 & 0 \\ -1 & -1 & 1\end{array}\right] A$
$R_1 \rightarrow R_1 + 10R_3$,$R_2 \rightarrow R_2 + 17R_3$,और $R_3 \rightarrow -R_3$ लागू करने पर:
$\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}-7 & -9 & 10 \\ -12 & -15 & 17 \\ 1 & 1 & -1\end{array}\right] A$
अतः,$A^{-1} = \left[\begin{array}{ccc}-7 & -9 & 10 \\ -12 & -15 & 17 \\ 1 & 1 & -1\end{array}\right]$।

(A) आव्यूह $A = \left[\begin{array}{ccc}2 & 3 & -3 \\ -1 & -2 & 2 \\ 1 & 1 & 1\end{array}\right]$ का व्युत्क्रम प्रारंभिक पंक्ति परिवर्तनों द्वारा ज्ञात करने के लिए,हम $A = IA$ लिखते हैं:
$\left[\begin{array}{ccc}2 & 3 & -3 \\ -1 & -2 & 2 \\ 1 & 1 & 1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right] A$
$R_1 \rightarrow R_1 + 2R_2$ लागू करने पर:
$\left[\begin{array}{ccc}0 & -1 & 1 \\ -1 & -2 & 2 \\ 1 & 1 & 1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right] A$
$R_1 \rightarrow R_1 + R_2$ और $R_3 \rightarrow R_3 + R_2$ लागू करने पर:
$\left[\begin{array}{ccc}-1 & -3 & 3 \\ -1 & -2 & 2 \\ 0 & -1 & 3\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}1 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1\end{array}\right] A$
वैकल्पिक रूप से,हम सारणिक $|A|$ की गणना कर सकते हैं:
$|A| = 2(-2 - 2) - 3(-1 - 2) - 3(-1 + 2) = 2(-4) - 3(-3) - 3(1) = -8 + 9 - 3 = -2$.
चूंकि $|A| \neq 0$,व्युत्क्रम का अस्तित्व है। आव्यूह का व्युत्क्रम $A^{-1} = \left[\begin{array}{ccc}4 & 6 & 0 \\ -3 & -5 & -1 \\ -1 & -1 & 1\end{array}\right]$ है।

(N/A) माना $A = \left[\begin{array}{ccc}2 & 0 & -1 \\ 5 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 3\end{array}\right]$ है। प्रारंभिक पंक्ति रूपांतरणों का उपयोग करके $A^{-1}$ ज्ञात करने के लिए,हम $A = IA$ का उपयोग करते हैं।
$\left[\begin{array}{ccc}2 & 0 & -1 \\ 5 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 3\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right] A$
$R_1 \rightarrow \frac{1}{2}R_1$ लागू करने पर:
$\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & -\frac{1}{2} \\ 5 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 3\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}\frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right] A$
$R_2 \rightarrow R_2 - 5R_1$ लागू करने पर:
$\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & -\frac{1}{2} \\ 0 & 1 & \frac{5}{2} \\ 0 & 1 & 3\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}\frac{1}{2} & 0 & 0 \\ -\frac{5}{2} & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right] A$
$R_3 \rightarrow R_3 - R_2$ लागू करने पर:
$\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & -\frac{1}{2} \\ 0 & 1 & \frac{5}{2} \\ 0 & 0 & \frac{1}{2}\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}\frac{1}{2} & 0 & 0 \\ -\frac{5}{2} & 1 & 0 \\ \frac{5}{2} & -1 & 1\end{array}\right] A$
$R_3 \rightarrow 2R_3$ लागू करने पर:
$\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & -\frac{1}{2} \\ 0 & 1 & \frac{5}{2} \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}\frac{1}{2} & 0 & 0 \\ -\frac{5}{2} & 1 & 0 \\ 5 & -2 & 2\end{array}\right] A$
$R_1 \rightarrow R_1 + \frac{1}{2}R_3$ और $R_2 \rightarrow R_2 - \frac{5}{2}R_3$ लागू करने पर:
$\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}3 & -1 & 1 \\ -15 & 6 & -5 \\ 5 & -2 & 2\end{array}\right] A$
अतः,$A^{-1} = \left[\begin{array}{ccc}3 & -1 & 1 \\ -15 & 6 & -5 \\ 5 & -2 & 2\end{array}\right]$.

(C) दिया गया है $C = \operatorname{adj} A = \begin{bmatrix} 2 & -1 & 1 \\ -1 & 0 & 2 \\ 1 & -2 & -1 \end{bmatrix}$।
सारणिक $|C| = |\operatorname{adj} A| = 2(0 - (-4)) - (-1)(1 - 2) + 1(2 - 0) = 2(4) + 1(-1) + 1(2) = 8 - 1 + 2 = 9$ है।
हम जानते हैं कि $|\operatorname{adj} A| = |A|^{n-1}$,जहाँ $n=3$ है। अतः,$|A|^2 = 9$,जिसका अर्थ है $|A| = \pm 3$। इस प्रकार,$\lambda = \pm 3$ और $|\lambda| = 3$ है।
दिया गया है $B = \operatorname{adj} C = \operatorname{adj}(\operatorname{adj} A)$।
गुणधर्म $|\operatorname{adj} M| = |M|^{n-1}$ का उपयोग करते हुए,हमें $|B| = |\operatorname{adj} C| = |C|^{n-1} = |C|^2 = 9^2 = 81$ प्राप्त होता है।
हमें $\mu = |(B^{-1})^T|$ ज्ञात करना है। चूँकि $|(B^{-1})^T| = |B^{-1}| = \frac{1}{|B|}$ है,इसलिए $\mu = \frac{1}{81}$ है।
अतः,क्रमित युग्म $(|\lambda|, \mu) = (3, 1/81)$ है।

(A) दिया गया है $PQ = kI_3$। दोनों पक्षों का सारणिक लेने पर,$|P||Q| = |kI_3| = k^3|I_3| = k^3$।
दिया गया है $|Q| = \frac{k^2}{2}$,इसलिए $|P| \cdot \frac{k^2}{2} = k^3$। चूँकि $k \neq 0$,इसलिए $|P| = 2k$।
$|P|$ की गणना करने पर: $|P| = 3(0 - (-5\alpha)) - (-1)(0 - 3\alpha) + (-2)(-10 - 0) = 3(5\alpha) + (-3\alpha) + 20 = 12\alpha + 20$।
अतः,$12\alpha + 20 = 2k$,या $k = 6\alpha + 10$।
चूँकि $PQ = kI_3$,इसलिए $Q = kP^{-1} = k \cdot \frac{\text{adj}(P)}{|P|} = k \cdot \frac{\text{adj}(P)}{2k} = \frac{1}{2} \text{adj}(P)$।
अवयव $q_{23}$ आव्यूह $\frac{1}{2} \text{adj}(P)$ का $(2,3)$ वाँ अवयव है।
$\text{adj}(P)$ का $(2,3)$ वाँ अवयव सहखंड $C_{32} = -\begin{vmatrix} 3 & -2 \\ 2 & \alpha \end{vmatrix} = -(3\alpha - (-4)) = -(3\alpha + 4)$ है।
अतः,$q_{23} = \frac{-(3\alpha + 4)}{2} = -\frac{k}{8}$।
यह दर्शाता है कि $4(3\alpha + 4) = k$।
$k = 6\alpha + 10$ रखने पर: $12\alpha + 16 = 6\alpha + 10 \Rightarrow 6\alpha = -6 \Rightarrow \alpha = -1$।
तब $k = 6(-1) + 10 = 4$।
अंत में,$\alpha^2 + k^2 = (-1)^2 + 4^2 = 1 + 16 = 17$।

(B) सबसे पहले,ध्यान दें कि $A$ एक ऑर्थोगोनल आव्यूह है क्योंकि $AA^{T} = I$ है।
$AA^{T} = \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{5}} & \frac{2}{\sqrt{5}} \\ \frac{-2}{\sqrt{5}} & \frac{1}{\sqrt{5}} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{5}} & \frac{-2}{\sqrt{5}} \\ \frac{2}{\sqrt{5}} & \frac{1}{\sqrt{5}} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = I$।
दिया गया है $Q = A^{T}BA$,इसलिए $Q^{n} = A^{T}B^{n}A$ होगा।
अतः,$Q^{2021} = A^{T}B^{2021}A$।
अब,$B = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ i & 1 \end{bmatrix}$ की घातों की गणना करें।
$B^{2} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 2i & 1 \end{bmatrix}$।
इंडक्शन द्वारा,$B^{n} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ ni & 1 \end{bmatrix}$,इसलिए $B^{2021} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 2021i & 1 \end{bmatrix}$।
अब,$AQ^{2021}A^{T} = A(A^{T}B^{2021}A)A^{T} = (AA^{T})B^{2021}(AA^{T}) = I B^{2021} I = B^{2021}$।
इसलिए,$AQ^{2021}A^{T} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 2021i & 1 \end{bmatrix}$।
आव्यूह $\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ k & 1 \end{bmatrix}$ का व्युत्क्रम $\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ -k & 1 \end{bmatrix}$ होता है।
अतः,$(AQ^{2021}A^{T})^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ -2021i & 1 \end{bmatrix}$।

(B) दिया गया है कि $A$ एक $3 \times 3$ आव्यूह है,इसलिए $|A| = \Delta$।
गुणधर्म $\operatorname{adj}(kA) = k^{n-1} \operatorname{adj}(A)$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $n=3$,हमारे पास $\operatorname{adj}(2A) = 2^{2} \operatorname{adj}(A) = 4 \operatorname{adj}(A)$ है।
आगे,$\operatorname{adj}(\operatorname{adj}(2A)) = \operatorname{adj}(4 \operatorname{adj}(A)) = 4^{3-1} \operatorname{adj}(\operatorname{adj}(A)) = 16 \operatorname{adj}(\operatorname{adj}(A))$।
$\operatorname{adj}(\operatorname{adj}(A)) = |A|^{n-2} A = |A| A$ का उपयोग करते हुए,हमें $16 |A| A$ प्राप्त होता है।
अब,व्यंजक $\det(2 \operatorname{adj}(2 \operatorname{adj}(\operatorname{adj}(2A)))) = \det(2 \operatorname{adj}(2(16 |A| A))) = \det(2 \operatorname{adj}(32 |A| A))$ है।
$\operatorname{adj}(kA) = k^{n-1} \operatorname{adj}(A)$ का उपयोग करते हुए,$\operatorname{adj}(32 |A| A) = (32 |A|)^{2} \operatorname{adj}(A)$।
अतः,$\det(2 \cdot (32 |A|)^{2} \operatorname{adj}(A)) = \det(2^{1} \cdot 2^{10} |A|^{2} \operatorname{adj}(A)) = \det(2^{11} |A|^{2} \operatorname{adj}(A))$।
चूँकि $\det(kM) = k^{n} \det(M)$,हमारे पास $(2^{11} |A|^{2})^{3} \det(\operatorname{adj}(A)) = 2^{33} |A|^{6} |A|^{2} = 2^{33} |A|^{8}$ है।
दिया गया है कि $2^{33} |A|^{8} = 2^{41}$,इसलिए $|A|^{8} = 2^{8}$,जिसका अर्थ है $|A| = \pm 2$।
अतः,$\det(A^{2}) = |A|^{2} = (\pm 2)^{2} = 4$।

(B) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 4 \end{bmatrix}$।
सबसे पहले,हम $A$ का सारणिक ज्ञात करते हैं: $|A| = (1)(4) - (2)(-1) = 4 + 2 = 6$।
इसके बाद,हम $A$ का सहखंडज आव्यूह (adjoint) ज्ञात करते हैं: $\text{adj}(A) = \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$।
अतः,$A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj}(A) = \frac{1}{6} \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{2}{3} & -\frac{1}{3} \\ \frac{1}{6} & \frac{1}{6} \end{bmatrix}$।
हमें दिया गया है $A^{-1} = \alpha I + \beta A$,इसलिए:
$\begin{bmatrix} \frac{2}{3} & -\frac{1}{3} \\ \frac{1}{6} & \frac{1}{6} \end{bmatrix} = \alpha \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} + \beta \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \alpha + \beta & 2\beta \\ -\beta & \alpha + 4\beta \end{bmatrix}$।
अवयवों की तुलना करने पर:
$2\beta = -\frac{1}{3} \implies \beta = -\frac{1}{6}$।
$\alpha + \beta = \frac{2}{3} \implies \alpha - \frac{1}{6} = \frac{2}{3} \implies \alpha = \frac{2}{3} + \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$।
अंत में,$4(\alpha - \beta) = 4(\frac{5}{6} - (-\frac{1}{6})) = 4(\frac{5}{6} + \frac{1}{6}) = 4(1) = 4$।

(A) दिया गया है $X = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$,जिससे $X^{2} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$ और $X^{3} = O$ प्राप्त होता है।
अतः $Y = \alpha I + \beta X + \gamma X^{2} = \begin{bmatrix} \alpha & \beta & \gamma \\ 0 & \alpha & \beta \\ 0 & 0 & \alpha \end{bmatrix}$ है।
चूँकि $Y \cdot Y^{-1} = I$ है,इसलिए:
$\begin{bmatrix} \alpha & \beta & \gamma \\ 0 & \alpha & \beta \\ 0 & 0 & \alpha \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \frac{1}{5} & \frac{-2}{5} & \frac{1}{5} \\ 0 & \frac{1}{5} & \frac{-2}{5} \\ 0 & 0 & \frac{1}{5} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$।
अवयवों की तुलना करने पर:
$1$. $\frac{\alpha}{5} = 1 \Rightarrow \alpha = 5$।
$2$. $-\frac{2\alpha}{5} + \frac{\beta}{5} = 0 \Rightarrow -2(5) + \beta = 0 \Rightarrow \beta = 10$।
$3$. $\frac{\alpha}{5} - \frac{2\beta}{5} + \frac{\gamma}{5} = 0 \Rightarrow 5 - 2(10) + \gamma = 0 \Rightarrow 5 - 20 + \gamma = 0 \Rightarrow \gamma = 15$।
अंत में,$(\alpha - \beta + \gamma)^{2} = (5 - 10 + 15)^{2} = (10)^{2} = 100$।

(B) हम जानते हैं कि $n$ कोटि के वर्ग आव्यूह $A$ के लिए,$\operatorname{Adj}(\operatorname{Adj}(A)) = |A|^{n-2} A$ होता है।
दोनों पक्षों का सारणिक लेने पर,$|\operatorname{Adj}(\operatorname{Adj}(A))| = (|A|^{n-2})^n = |A|^{(n-1)^2}$ प्राप्त होता है।
यहाँ,आव्यूह की कोटि $n=3$ है,इसलिए $|\operatorname{Adj}(\operatorname{Adj}(A))| = |A|^{(3-1)^2} = |A|^4$ होगा।
अब,दिए गए आव्यूह का सारणिक ज्ञात करते हैं:
$|\operatorname{Adj}(\operatorname{Adj}(A))| = \begin{vmatrix} 14 & 28 & -14 \\ -14 & 14 & 28 \\ 28 & -14 & 14 \end{vmatrix} = 14^3 \begin{vmatrix} 1 & 2 & -1 \\ -1 & 1 & 2 \\ 2 & -1 & 1 \end{vmatrix}$
$= 14^3 [1(1 - (-2)) - 2(-1 - 4) - 1(1 - 2)] = 14^3 [1(3) - 2(-5) - 1(-1)] = 14^3 [3 + 10 + 1] = 14^3 \times 14 = 14^4$।
अतः,$|A|^4 = 14^4$।
चूँकि हमें धनात्मक मान चाहिए,इसलिए $|A| = 14$ होगा।

(A) दिया गया है कि $A$ एक $3 \times 3$ आव्यूह है,इसलिए $n = 3$ है। $\det(A) = 2$ है।
हमें $\det(\det(A) \cdot \operatorname{adj}(5 \operatorname{adj}(A^3)))$ का मान ज्ञात करना है।
चूंकि $\det(A) = 2$,व्यंजक $\det(2 \cdot \operatorname{adj}(5 \operatorname{adj}(A^3)))$ बन जाता है।
गुणधर्म $\det(kA) = k^n \det(A)$ का उपयोग करने पर,हमें $2^3 \det(\operatorname{adj}(5 \operatorname{adj}(A^3)))$ प्राप्त होता है।
$\det(\operatorname{adj}(M)) = (\det(M))^{n-1}$ का उपयोग करने पर,जहाँ $n=3$,हमें $8 \cdot (\det(5 \operatorname{adj}(A^3)))^2$ प्राप्त होता है।
$\det(kM) = k^n \det(M)$ का उपयोग करने पर,हमें $8 \cdot (5^3 \det(\operatorname{adj}(A^3)))^2 = 8 \cdot 5^6 \cdot (\det(\operatorname{adj}(A^3)))^2$ प्राप्त होता है।
$\det(\operatorname{adj}(M)) = (\det(M))^{n-1}$ का उपयोग करने पर,हमें $8 \cdot 5^6 \cdot ((\det(A^3))^2)^2 = 8 \cdot 5^6 \cdot (\det(A)^3)^4$ प्राप्त होता है।
$\det(A) = 2$ रखने पर,हमें $2^3 \cdot 5^6 \cdot (2^3)^4 = 2^3 \cdot 5^6 \cdot 2^{12} = 2^{15} \cdot 5^6$ प्राप्त होता है।
$2^{15} \cdot 5^6 = 2^9 \cdot 2^6 \cdot 5^6 = 512 \cdot 10^6$।

(C) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}$.
हम जानते हैं कि $A^2 = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}$ और $A^3 = I$.
चूंकि $49 = 3 \times 16 + 1$,इसलिए $A^{49} = A^1 = A$.
चूंकि $98 = 3 \times 32 + 2$,इसलिए $A^{98} = A^2$.
अतः,$B_{0} = A + 2A^2 = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 & 0 & 2 \\ 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 2 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 \end{bmatrix}$.
$\det(B_{0}) = 0(0-2) - 1(0-1) + 2(4-0) = 0 + 1 + 8 = 9$.
हम जानते हैं कि $\det(\text{Adj}(M)) = (\det(M))^{k-1}$ जहाँ $k$ आव्यूह की कोटि है। यहाँ $k=3$,इसलिए $\det(\text{Adj}(M)) = (\det(M))^2$.
$B_{n} = \text{Adj}(B_{n-1})$ के लिए,$\det(B_{n}) = (\det(B_{n-1}))^2$.
अतः,$\det(B_{4}) = (\det(B_{0}))^{2^4} = (\det(B_{0}))^{16}$.
$\det(B_{4}) = 9^{16} = (3^2)^{16} = 3^{32}$.

(C) आव्यूह $A = \begin{bmatrix} a & b \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$ है।
$A^{-1}$ के अस्तित्व के लिए सारणिक $|A| = a - b \neq 0$ होना चाहिए,अर्थात $a \neq b$।
$A$ का व्युत्क्रम $A^{-1} = \frac{1}{a-b} \begin{bmatrix} 1 & -b \\ -1 & a \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{1}{a-b} & -\frac{b}{a-b} \\ -\frac{1}{a-b} & \frac{a}{a-b} \end{bmatrix}$ है।
$A^{-1}$ के सभी अवयव पूर्णांक होने के लिए,प्रत्येक अवयव को पूर्णांक होना चाहिए।
इसके लिए $(a-b)$ को $1$,$-b$,$-1$,और $a$ का विभाजक होना चाहिए।
विशेष रूप से,$(a-b)$ को $1$ का विभाजक होना चाहिए,जिसका अर्थ है कि $a-b = 1$ या $a-b = -1$।
स्थिति $1$: $a-b = 1 \implies a = b+1$।
चूंकि $-50 \leq b \leq 50$ है,इसलिए $b$ के लिए $101$ संभावित मान हैं,और प्रत्येक $b$ के लिए $a$ का मान अद्वितीय है।
स्थिति $2$: $a-b = -1 \implies a = b-1$।
इसी प्रकार,$-50 \leq b \leq 50$ के लिए,$b$ के $101$ संभावित मान हैं,और प्रत्येक $b$ के लिए $a$ का मान अद्वितीय है।
अतः,ऐसे कुल आव्यूहों की संख्या $101 + 101 = 202$ है।

(B) दिया गया है कि $A$ एक $3 \times 3$ आव्यूह है ताकि प्रत्येक पंक्ति के तत्वों का योग $1$ हो। इसे $A \cdot \mathbf{u} = \mathbf{u}$ के रूप में लिखा जा सकता है,जहाँ $\mathbf{u} = [1, 1, 1]^T$ एक स्तंभ सदिश है जिसमें सभी तत्व $1$ हैं।
चूंकि $A$ व्युत्क्रमणीय है,हम दोनों पक्षों को $A^{-1}$ से गुणा कर सकते हैं:
$A^{-1} (A \cdot \mathbf{u}) = A^{-1} \cdot \mathbf{u}$
$(A^{-1} A) \cdot \mathbf{u} = A^{-1} \cdot \mathbf{u}$
$I \cdot \mathbf{u} = A^{-1} \cdot \mathbf{u}$
$\mathbf{u} = A^{-1} \cdot \mathbf{u}$
यह समीकरण दर्शाता है कि $A^{-1}$ की प्रत्येक पंक्ति के तत्वों का योग सदिश $\mathbf{u}$ के संगत तत्व के बराबर है,जो $1$ है।
अतः,$A^{-1}$ की प्रत्येक पंक्ति का योग $1$ है।

(A) दिया गया है कि $|\operatorname{adj}(\operatorname{adj}(\operatorname{adj} A))| = 12^4$ है।
हम जानते हैं कि $n$ कोटि के आव्यूह $A$ के लिए,$|\operatorname{adj}(\operatorname{adj}(\dots \operatorname{adj} A))|$ ($k$ बार) का मान $|A|^{(n-1)^k}$ होता है।
यहाँ $n = 3$ और $k = 3$ है,इसलिए $|A|^{(3-1)^3} = 12^4$ है।
$|A|^{2^3} = 12^4 \Rightarrow |A|^8 = 12^4$।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,$|A|^4 = 12^2 = 144$।
$|A|^2 = 12 \Rightarrow |A| = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$।
हमें $|A^{-1} \operatorname{adj} A|$ का मान ज्ञात करना है।
गुणधर्म $|XY| = |X||Y|$ का उपयोग करने पर,हमें $|A^{-1}| |\operatorname{adj} A|$ प्राप्त होता है।
चूँकि $|A^{-1}| = \frac{1}{|A|}$ और $|\operatorname{adj} A| = |A|^{n-1} = |A|^{3-1} = |A|^2$ है।
अतः,$|A^{-1} \operatorname{adj} A| = \frac{1}{|A|} \cdot |A|^2 = |A|$।
इसलिए,$|A^{-1} \operatorname{adj} A| = 2\sqrt{3}$।

(D) सबसे पहले,ध्यान दें कि $A$ एक लांबिक (orthogonal) आव्यूह है,जिसका अर्थ है $AA^{T} = A^{T}A = I$,जहाँ $I$ तत्समक आव्यूह है।
इसके बाद,$B$ की घातों की गणना करें:
$B^2 = \begin{bmatrix} 1 & -i \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & -i \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & -2i \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$
$B^3 = \begin{bmatrix} 1 & -2i \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & -i \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & -3i \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$
गणितीय आगमन द्वारा,$B^{n} = \begin{bmatrix} 1 & -ni \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$,इसलिए $B^{2023} = \begin{bmatrix} 1 & -2023i \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$।
दिया गया है $M = A^{T}BA$,तो $M^{n} = (A^{T}BA)(A^{T}BA)...(A^{T}BA) = A^{T}B^{n}A$ होगा।
अतः,$M^{2023} = A^{T}B^{2023}A$।
अब,$AM^{2023}A^{T}$ की गणना करें:
$AM^{2023}A^{T} = A(A^{T}B^{2023}A)A^{T} = (AA^{T})B^{2023}(AA^{T}) = I \cdot B^{2023} \cdot I = B^{2023} = \begin{bmatrix} 1 & -2023i \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$।
आव्यूह $\begin{bmatrix} 1 & k \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ का व्युत्क्रम $\begin{bmatrix} 1 & -k \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ होता है।
इसलिए,$B^{2023}$ का व्युत्क्रम $\begin{bmatrix} 1 & 2023i \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ है।

(D) दिया गया है $P^{T} = aP + (a - 1)I$.
दोनों पक्षों का परिवर्त लेने पर,$(P^{T})^{T} = (aP + (a - 1)I)^{T}$.
$P = aP^{T} + (a - 1)I$.
समीकरण में $P^{T} = aP + (a - 1)I$ प्रतिस्थापित करने पर:
$P = a(aP + (a - 1)I) + (a - 1)I$.
$P = a^{2}P + a(a - 1)I + (a - 1)I$.
$P = a^{2}P + (a^{2} - a + a - 1)I$.
$P = a^{2}P + (a^{2} - 1)I$.
$(1 - a^{2})P = (a^{2} - 1)I$.
चूँकि $a > 1$,$a^{2} - 1 \neq 0$,इसलिए $-(a^{2} - 1)P = (a^{2} - 1)I$.
$P = -I$.
अब,$|P| = |-I| = (-1)^{3} |I| = -1$.
हम जानते हैं कि $|\operatorname{Adj} P| = |P|^{n-1}$,जहाँ $n = 3$.
$|\operatorname{Adj} P| = (-1)^{3-1} = (-1)^{2} = 1$.

(D) दिया गया है कि $|A|=2$ और $|\operatorname{Adj}(2 \cdot \operatorname{Adj}(2A^{-1}))| = 2^{84}$ है।
गुणधर्म $|\operatorname{Adj}(M)| = |M|^{n-1}$ का उपयोग करने पर:
$|\operatorname{Adj}(2 \cdot \operatorname{Adj}(2A^{-1}))| = |2 \cdot \operatorname{Adj}(2A^{-1})|^{n-1} = (2^n |\operatorname{Adj}(2A^{-1})|)^{n-1}$.
यहाँ $|\operatorname{Adj}(2A^{-1})| = |2A^{-1}|^{n-1} = (2^n |A|^{-1})^{n-1} = (2^n \cdot 2^{-1})^{n-1} = (2^{n-1})^{n-1} = 2^{(n-1)^2}$.
इस मान को प्रतिस्थापित करने पर:
$|\operatorname{Adj}(2 \cdot \operatorname{Adj}(2A^{-1}))| = (2^n \cdot 2^{(n-1)^2})^{n-1} = (2^{n + n^2 - 2n + 1})^{n-1} = (2^{n^2 - n + 1})^{n-1} = 2^{(n-1)(n^2 - n + 1)}$.
दिया गया है कि $2^{(n-1)(n^2 - n + 1)} = 2^{84}$,इसलिए $(n-1)(n^2 - n + 1) = 84$.
यदि $n=5$ रखें,तो $(5-1)(25-5+1) = 4 \times 21 = 84$.
अतः,$n=5$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 2 \end{bmatrix}$।
सबसे पहले,सारणिक $|A|$ की गणना करें:
$|A| = 2(4 - 1) - 1(2 - 0) + 0 = 2(3) - 2 = 4$.
चूंकि $A$ एक $3 \times 3$ आव्यूह है,किसी भी आव्यूह $M$ के लिए,$|\operatorname{adj}(M)| = |M|^{3-1} = |M|^2$ होता है।
इसलिए,$|\operatorname{adj}(\operatorname{adj}(\operatorname{adj}(2A)))| = |2A|^{(3-1)^3} = |2A|^{2^3} = |2A|^8$.
$n \times n$ आव्यूह के लिए $|kA| = k^n|A|$ होता है,इसलिए $|2A| = 2^3|A| = 8 \times 4 = 32 = 2^5$.
इस मान को समीकरण में रखने पर:
$|2A|^8 = (2^5)^8 = 2^{40}$.
हमें दिया गया है कि यह $(16)^n = (2^4)^n = 2^{4n}$ के बराबर है।
घातांकों की तुलना करने पर: $4n = 40 \Rightarrow n = 10$।

(D) केली-हैमिल्टन प्रमेय के अनुसार,प्रत्येक वर्ग आव्यूह अपने अभिलक्षणिक समीकरण $|A - xI| = 0$ को संतुष्ट करता है।
$|A - xI| = \begin{vmatrix} 1 - x & 5 \\ \lambda & 10 - x \end{vmatrix} = (1 - x)(10 - x) - 5\lambda = x^2 - 11x + 10 - 5\lambda = 0$.
अतः,$A^2 - 11A + (10 - 5\lambda)I = 0$.
$A^{-1}$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है $A - 11I + (10 - 5\lambda)A^{-1} = 0$.
$(10 - 5\lambda)A^{-1} = -A + 11I$.
$A^{-1} = \frac{-1}{10 - 5\lambda}A + \frac{11}{10 - 5\lambda}I$.
इसकी तुलना $A^{-1} = \alpha A + \beta I$ से करने पर,$\alpha = \frac{-1}{10 - 5\lambda}$ और $\beta = \frac{11}{10 - 5\lambda}$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि $\alpha + \beta = -2$,इसलिए $\frac{-1 + 11}{10 - 5\lambda} = -2 \Rightarrow \frac{10}{10 - 5\lambda} = -2$.
$10 = -20 + 10\lambda \Rightarrow 10\lambda = 30 \Rightarrow \lambda = 3$.
अतः $\alpha = \frac{-1}{10 - 15} = \frac{1}{5}$ और $\beta = \frac{11}{10 - 15} = -\frac{11}{5}$.
अंत में,$4\alpha^2 + \beta^2 + \lambda^2 = 4(\frac{1}{25}) + (\frac{121}{25}) + 3^2 = \frac{125}{25} + 9 = 5 + 9 = 14$.

(A) दिया गया है कि $A$ एक $3 \times 3$ आव्यूह है,इसलिए $n=3$ और $|A|=2$ है।
सबसे पहले,$|3A|$ की गणना करें। चूंकि $A$ एक $3 \times 3$ आव्यूह है,$|3A| = 3^3 |A| = 27 \times 2 = 54$।
अब,हमें $|3 \operatorname{adj}(|3A|A^2)| = |3 \operatorname{adj}(54A^2)|$ ज्ञात करना है।
एक $n \times n$ आव्यूह $M$ के लिए $|kM| = k^n |M|$ गुणधर्म का उपयोग करते हुए,हमें प्राप्त होता है $|3 \operatorname{adj}(54A^2)| = 3^3 |\operatorname{adj}(54A^2)| = 27 |\operatorname{adj}(54A^2)|$।
$|\operatorname{adj}(M)| = |M|^{n-1}$ गुणधर्म का उपयोग करते हुए,हमें मिलता है $27 |54A^2|^{3-1} = 27 |54A^2|^2$।
चूंकि $|54A^2| = 54^3 |A^2| = 54^3 |A|^2 = 54^3 \times 2^2 = 54^3 \times 4$।
इस मान को वापस रखने पर: $27 \times (54^3 \times 4)^2 = 27 \times 54^6 \times 16 = (3^3) \times (2 \times 3^3)^6 \times 2^4 = 3^3 \times 2^6 \times 3^{18} \times 2^4 = 3^{21} \times 2^{10} = 3^{11} \times 3^{10} \times 2^{10} = 3^{11} \times (3 \times 2)^{10} = 3^{11} \times 6^{10}$।

(D) दिया गया है $A = \frac{1}{5! 6! 7!} \begin{bmatrix} 5! & 6! & 7! \\ 6! & 7! & 8! \\ 7! & 8! & 9! \end{bmatrix}$.
प्रत्येक पंक्ति से $5!, 6!, 7!$ उभयनिष्ठ लेने पर:
$A = \frac{5! 6! 7!}{5! 6! 7!} \begin{bmatrix} 1 & 6 & 6 \times 7 \\ 1 & 7 & 7 \times 8 \\ 1 & 8 & 8 \times 9 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 6 & 42 \\ 1 & 7 & 56 \\ 1 & 8 & 72 \end{bmatrix}$.
$|A|$ की गणना करने पर:
$|A| = 1(7 \times 72 - 8 \times 56) - 6(1 \times 72 - 1 \times 56) + 42(1 \times 8 - 1 \times 7)$
$|A| = 1(504 - 448) - 6(16) + 42(1) = 56 - 96 + 42 = 2$.
हमें $|\operatorname{adj}(\operatorname{adj}(2A))|$ का मान ज्ञात करना है।
गुणधर्म $|\operatorname{adj}(\operatorname{adj}(M))| = |M|^{(n-1)^2}$ का उपयोग करने पर,जहाँ $n=3$ आव्यूह $A$ की कोटि है:
$|\operatorname{adj}(\operatorname{adj}(2A))| = |2A|^{(3-1)^2} = |2A|^4$.
चूंकि $|2A| = 2^3 |A| = 8 \times 2 = 16 = 2^4$:
$|\operatorname{adj}(\operatorname{adj}(2A))| = (2^4)^4 = 2^{16}$.

(A) दिए गए समीकरण:
$4m + n = 22$ $(1)$
$17m + 4n = 93$ $(2)$
समीकरण $(1)$ को $4$ से गुणा करने पर,$16m + 4n = 88$ प्राप्त होता है।
इसे $(2)$ में से घटाने पर,$m = 5$ प्राप्त होता है।
$m = 5$ को $(1)$ में रखने पर,$20 + n = 22$,अतः $n = 2$।
इस प्रकार,आव्यूह $A$ का क्रम $m = 5$ है,और $|A| = m - n = 5 - 2 = 3$।
हमें $\operatorname{det}(n \operatorname{adj}(\operatorname{adj}(mA)))$ ज्ञात करना है।
चूँकि $n = 2$ और $m = 5$,यह $\operatorname{det}(2 \operatorname{adj}(\operatorname{adj}(5A)))$ है।
$m$ क्रम के आव्यूह के लिए $\operatorname{det}(kA) = k^m \operatorname{det}(A)$ गुणधर्म का उपयोग करने पर:
$\operatorname{det}(2 \operatorname{adj}(\operatorname{adj}(5A))) = 2^5 \operatorname{det}(\operatorname{adj}(\operatorname{adj}(5A)))$।
$\operatorname{det}(\operatorname{adj}(B)) = |B|^{m-1}$ का उपयोग करने पर,$\operatorname{det}(\operatorname{adj}(\operatorname{adj}(5A))) = |\operatorname{adj}(5A)|^{5-1} = |\operatorname{adj}(5A)|^4$।
चूँकि $|\operatorname{adj}(5A)| = |5A|^{5-1} = |5A|^4 = (5^5 |A|)^4 = 5^{20} |A|^4$।
अतः,$\operatorname{det}(\operatorname{adj}(\operatorname{adj}(5A))) = (5^{20} |A|^4)^4 = 5^{80} |A|^{16}$।
इस प्रकार,$\operatorname{det}(2 \operatorname{adj}(\operatorname{adj}(5A))) = 2^5 \cdot 5^{80} \cdot 3^{16}$।
चूँकि $6^5 = 2^5 \cdot 3^5$,हम व्यंजक को पुनः लिखते हैं:
$2^5 \cdot 5^{80} \cdot 3^{16} = 3^{11} \cdot 5^{80} \cdot (2^5 \cdot 3^5) = 3^{11} \cdot 5^{80} \cdot 6^5$।
$3^a 5^b 6^c$ से तुलना करने पर,$a = 11, b = 80, c = 5$ प्राप्त होता है।
अतः,$a + b + c = 11 + 80 + 5 = 96$।

(A) दिया गया है कि $A$ एक $3 \times 3$ आव्यूह है,इसलिए $|A| = 2$ है।
आव्यूह $A$ के $k$-वें पुनरावृत्त एडजॉइंट के सारणिक का सूत्र $\det(\operatorname{adj}^k(A)) = |A|^{(n-1)^k}$ है,जहाँ $n$ आव्यूह की कोटि है।
यहाँ,$n=3$ और $k=2024$ है।
अतः,$n = |A|^{(3-1)^{2024}} = 2^{2^{2024}}$ है।
हमें $2^{2^{2024}} \pmod{9}$ ज्ञात करना है।
यूलर के टॉटिएंट प्रमेय के अनुसार,$\phi(9) = 6$ है।
हम $2^{2024} \pmod{6}$ ज्ञात करते हैं।
$2^{2024} \equiv 0 \pmod{2}$ और $2^{2024} = 4^{1012} \equiv 1^{1012} \equiv 1 \pmod{3}$ है।
चाइनीज रिमाइंडर प्रमेय द्वारा,$2^{2024} \equiv 4 \pmod{6}$ है।
अतः,$2^{2024} = 6k + 4$ है।
इसलिए,$n = 2^{6k+4} = (2^6)^k \cdot 2^4 = 64^k \cdot 16$ है।
चूँकि $64 \equiv 1 \pmod{9}$ है,इसलिए $n \equiv 1^k \cdot 16 \equiv 16 \equiv 7 \pmod{9}$ है।
अतः,शेषफल $7$ है।

(C) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$.
सबसे पहले,$\operatorname{adj}(A) = \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ ज्ञात करें।
मान लीजिए $M = \operatorname{adj}(A) = \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$.
तब $M^2 = \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & -4 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$.
गणितीय आगमन द्वारा,$M^k = \begin{bmatrix} 1 & -2k \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$.
$B = I + M + M^2 + \dots + M^{10} = \sum_{k=0}^{10} M^k$.
विकर्ण अवयवों का योग $\sum_{k=0}^{10} 1 + \sum_{k=0}^{10} 1 = 11 + 11 = 22$ है।
अन्य अवयवों का योग $\sum_{k=0}^{10} (-2k) + 0 = -2 \times \frac{10 \times 11}{2} = -110$ है।
अतः,$B = \begin{bmatrix} 11 & -110 \\ 0 & 11 \end{bmatrix}$.
$B$ के सभी अवयवों का योग $11 - 110 + 0 + 11 = -88$ है।

(A) मान लीजिए $A = \begin{bmatrix} a & b \\ b & d \end{bmatrix}$.
दिया गया है $A \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \\ 7 \end{bmatrix}$,इसलिए $a + b = 3$ और $b + d = 7$.
अतः,$a = 3 - b$ और $d = 7 - b$.
सारणिक $|A| = ad - b^2 = 1$.
मान रखने पर,$(3 - b)(7 - b) - b^2 = 1$.
$21 - 3b - 7b + b^2 - b^2 = 1 \implies 21 - 10b = 1 \implies 10b = 20 \implies b = 2$.
तब $a = 3 - 2 = 1$ और $d = 7 - 2 = 5$.
अतः,$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 5 \end{bmatrix}$.
व्युत्क्रम आव्यूह $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj}(A) = \frac{1}{1} \begin{bmatrix} 5 & -2 \\ -2 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & -2 \\ -2 & 1 \end{bmatrix}$.
दिया गया है $A^{-1} = \alpha A + \beta I$,इसलिए $\begin{bmatrix} 5 & -2 \\ -2 & 1 \end{bmatrix} = \alpha \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 5 \end{bmatrix} + \beta \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \alpha + \beta & 2\alpha \\ 2\alpha & 5\alpha + \beta \end{bmatrix}$.
अवयवों की तुलना करने पर,$2\alpha = -2 \implies \alpha = -1$.
$\alpha = -1$ को $\alpha + \beta = 5$ में रखने पर,$-1 + \beta = 5 \implies \beta = 6$.
अतः,$\alpha + \beta = -1 + 6 = 5$.