मान लीजिए कि m क्रम के एक वर्ग आव्यूह A का सा | vedclass

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Question

(A) दिए गए समीकरण: $4m + n = 22$ $(1)$ $17m + 4n = 93$ $(2)$ समीकरण $(1)$ को $4$ से गुणा करने पर,$16m + 4n = 88$ प्राप्त होता है। इसे $(2)$ में से घटा

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$96$

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(A) दिए गए समीकरण: $4m + n = 22$ $(1)$ $17m + 4n = 93$ $(2)$ समीकरण $(1)$ को $4$ से गुणा करने पर,$16m + 4n = 88$ प्राप्त होता है। इसे $(2)$ में से घटाने पर,$m = 5$ प्राप्त होता है। $m = 5$ को $(1)$ में रखने पर,$20 + n = 22$,अतः $n = 2$। इस प्रकार,आव्यूह $A$ का क्रम $m = 5$ है,और $|A| = m - n = 5 - 2 = 3$। हमें $\operatorname{det}(n \operatorname{adj}(\operatorname{adj}(mA)))$ ज्ञात करना है। चूँकि $n = 2$ और $m = 5$,यह $\operatorname{det}(2 \operatorname{adj}(\operatorname{adj}(5A)))$ है। $m$ क्रम के आव्यूह के लिए $\operatorname{det}(kA) = k^m \operatorname{det}(A)$ गुणधर्म का उपयोग करने पर: $\operatorname{det}(2 \operatorname{adj}(\operatorname{adj}(5A))) = 2^5 \operatorname{det}(\operatorname{adj}(\operatorname{adj}(5A)))$। $\operatorname{det}(\operatorname{adj}(B)) = |B|^{m-1}$ का उपयोग करने पर,$\operatorname{det}(\operatorname{adj}(\operatorname{adj}(5A))) = |\operatorname{adj}(5A)|^{5-1} = |\operatorname{adj}(5A)|^4$। चूँकि $|\operatorname{adj}(5A)| = |5A|^{5-1} = |5A|^4 = (5^5 |A|)^4 = 5^{20} |A|^4$। अतः,$\operatorname{det}(\operatorname{adj}(\operatorname{adj}(5A))) = (5^{20} |A|^4)^4 = 5^{80} |A|^{16}$। इस प्रकार,$\operatorname{det}(2 \operatorname{adj}(\operatorname{adj}(5A))) = 2^5 \cdot 5^{80} \cdot 3^{16}$। चूँकि $6^5 = 2^5 \cdot 3^5$,हम व्यंजक को पुनः लिखते हैं: $2^5 \cdot 5^{80} \cdot 3^{16} = 3^{11} \cdot 5^{80} \cdot (2^5 \cdot 3^5) = 3^{11} \cdot 5^{80} \cdot 6^5$। $3^a 5^b 6^c$ से तुलना करने पर,$a = 11, b = 80, c = 5$ प्राप्त होता है। अतः,$a + b + c = 11 + 80 + 5 = 96$।

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मान लीजिए $A$ एक $3 \times 3$ क्रम का आव्यूह है और $\det(A) = 2$ है। तो $\det(\det(A) \cdot \operatorname{adj}(5 \operatorname{adj}(A^3)))$ का मान ज्ञात कीजिए।

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यदि $A = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 0 & 2 & -3 \\ 2 & 1 & 0 \end{bmatrix}$,$B = \operatorname{adj} A$ और $C = 5A$ है,तो $\frac{|\operatorname{adj} B|}{|C|}$ का मान ज्ञात कीजिए।

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