Adjoint and inverse of matrices Questions in Hindi

(C) दिया गया है कि $|A| = 2$ और आव्यूह $A$ की कोटि $n = 4$ है।
हम जानते हैं कि किसी भी $n$ कोटि के वर्ग आव्यूह $M$ के लिए $|Adj(Adj(M))| = |M|^{(n-1)^2}$ होता है।
यहाँ,$M = 2A$ है। चूँकि $A$ कोटि $4$ का आव्यूह है,इसलिए $|2A| = 2^n |A| = 2^4 \cdot 2 = 2^5 = 32$ होगा।
अब,$|Adj(Adj(2A))| = |2A|^{(4-1)^2} = |2A|^9$ होगा।
$|2A| = 2^5$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$|Adj(Adj(2A))| = (2^5)^9 = 2^{45}$.

(D) हमें दिया गया है कि $A$ और $C$ इनवोल्यूटरी आव्यूह हैं,जिसका अर्थ है $A^2 = I$ और $C^2 = I$। इसका तात्पर्य है कि $A^{-1} = A$ और $C^{-1} = C$।
आव्यूह व्युत्क्रम के गुण $(XYZ)^{-1} = Z^{-1}Y^{-1}X^{-1}$ का उपयोग करते हुए,हमारे पास है:
$(AB^{-1}C)^{-1} = C^{-1}(B^{-1})^{-1}A^{-1}$।
चूंकि $(B^{-1})^{-1} = B$,हमें प्राप्त होता है:
$(AB^{-1}C)^{-1} = C^{-1}BA^{-1}$।
$C^{-1} = C$ और $A^{-1} = A$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें मिलता है:
$(AB^{-1}C)^{-1} = CBA$।

(A) दिया गया है $A = f(x) = \begin{bmatrix} \cos x & \sin x & 0 \\ -\sin x & \cos x & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$.
सबसे पहले,सारणिक $|A|$ की गणना करें:
$|A| = \cos x(\cos x - 0) - \sin x(-\sin x - 0) + 0 = \cos^2 x + \sin^2 x = 1$.
चूंकि $|A| = 1$,इसलिए $A^{-1} = \text{adj}(A)$.
इस प्रकार के आव्यूह (ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स) के लिए,व्युत्क्रम आव्यूह उसके परिवर्त आव्यूह (transpose) के बराबर होता है:
$A^{-1} = A^T = \begin{bmatrix} \cos x & -\sin x & 0 \\ \sin x & \cos x & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$.
अब,$f(-x)$ का मान ज्ञात करें:
$f(-x) = \begin{bmatrix} \cos(-x) & \sin(-x) & 0 \\ -\sin(-x) & \cos(-x) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos x & -\sin x & 0 \\ \sin x & \cos x & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$.
अतः,$A^{-1} = f(-x)$.

(B) दिया गया है $P(\theta) = \begin{bmatrix} 1 & \cot \theta \\ -\cot \theta & 1 \end{bmatrix}$.
सबसे पहले,हम $P(\theta)$ का सारणिक ज्ञात करते हैं:
$|P(\theta)| = (1)(1) - (\cot \theta)(-\cot \theta) = 1 + \cot^2 \theta = \csc^2 \theta$.
चूँकि $PQ = I$,$Q$,$P$ का व्युत्क्रम है,अर्थात $Q = P^{-1} = \frac{1}{|P(\theta)|} \text{adj}(P(\theta))$.
$P(\theta)$ का सहखंडज (adjoint) $\begin{bmatrix} 1 & -\cot \theta \\ \cot \theta & 1 \end{bmatrix}$ है।
अतः,$Q = \frac{1}{\csc^2 \theta} \begin{bmatrix} 1 & -\cot \theta \\ \cot \theta & 1 \end{bmatrix}$.
हमें $(\csc^2 \theta)Q$ ज्ञात करना है:
$(\csc^2 \theta)Q = \csc^2 \theta \cdot \frac{1}{\csc^2 \theta} \begin{bmatrix} 1 & -\cot \theta \\ \cot \theta & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & -\cot \theta \\ \cot \theta & 1 \end{bmatrix}$.
अब,$P(-\theta) = \begin{bmatrix} 1 & \cot(-\theta) \\ -\cot(-\theta) & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & -\cot \theta \\ \cot \theta & 1 \end{bmatrix}$ होता है।
इसलिए,$(\csc^2 \theta)Q = P(-\theta)$.

(D) दिया गया है कि $A$ कोटि $n = 4$ का एक वर्ग आव्यूह है।
हम जानते हैं कि $|\text{Adj}(A)| = |A|^{n-1} = |A|^{4-1} = |A|^3$.
दिया गया है कि $|B| = 27$,इसलिए $|A|^3 = 27$,जिसका अर्थ है $|A| = 3$.
हमें $|A^{-1} \text{Adj}(3AB)|$ का मान ज्ञात करना है।
गुणधर्म $|XY| = |X||Y|$ का उपयोग करते हुए,$|A^{-1} \text{Adj}(3AB)| = |A^{-1}| |\text{Adj}(3AB)| = \frac{1}{|A|} |\text{Adj}(3AB)|$.
चूँकि $3AB$ कोटि $4$ का एक आव्यूह है,$|\text{Adj}(3AB)| = |3AB|^{4-1} = |3AB|^3$.
$|3AB| = 3^4 |A| |B| = 81 \times 3 \times 27 = 3^4 \times 3^1 \times 3^3 = 3^8$.
अतः,$|\text{Adj}(3AB)| = (3^8)^3 = 3^{24}$.
अंत में,$|A^{-1} \text{Adj}(3AB)| = \frac{1}{3} \times 3^{24} = 3^{23}$.

(D) दिया गया समीकरण $A^T + 2A = I$ है।
दोनों पक्षों का परिवर्त (transpose) लेने पर,$(A^T)^T + 2A^T = I^T$,जो $A + 2A^T = I$ में सरल हो जाता है।
अब हमारे पास दो समीकरण हैं:
$1) A^T + 2A = I$
$2) 2A^T + A = I$
समीकरण $(1)$ को $2$ से गुणा करने पर: $2A^T + 4A = 2I$।
इसमें से समीकरण $(2)$ को घटाने पर: $(2A^T + 4A) - (2A^T + A) = 2I - I$,जिससे $3A = I$ प्राप्त होता है,अतः $A = \frac{1}{3}I$।
तब $A^{-1} = (\frac{1}{3}I)^{-1} = 3I$।
चूंकि $A$ एक $3 \times 3$ आव्यूह है,$A^{-1} = \text{diag}(3, 3, 3)$।
अतः,$\det(A^{-1}) = 3 \times 3 \times 3 = 27$।

(D) दिया गया है कि $P$ एक $4 \times 4$ आव्यूह है,इसलिए $n = 4$ है।
हम जानते हैं कि किसी भी $n \times n$ आव्यूह $A$ के लिए,$|adj(A)| = |A|^{n-1}$ होता है।
यहाँ,$A = 3P$ है,इसलिए $|adj(3P)| = |3P|^{4-1} = |3P|^3$ होगा।
चूंकि $P$ एक $4 \times 4$ आव्यूह है,इसलिए $|3P| = 3^4 |P|$ होता है।
$|P| = -2$ का मान रखने पर,$|3P| = 3^4 \times (-2) = -2 \cdot 3^4$ प्राप्त होता है।
अब,$|adj(3P)| = (-2 \cdot 3^4)^3 = (-2)^3 \cdot (3^4)^3 = -8 \cdot 3^{12} = -3^{12} \cdot 2^3$ होगा।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,कोई भी विकल्प $-3^{12} \cdot 2^3$ से मेल नहीं खाता है।

(A) यह निर्धारित करने के लिए कि क्या $A$ व्युत्क्रमणीय है,हम जांचते हैं कि क्या सारणिक $|A| \neq 0$ है। हम आव्यूह के तत्वों की समता (parity) की जांच करने के लिए $2$ के साथ मॉड्यूलो लेते हैं।
$2$ के साथ मॉड्यूलो लेने पर,आव्यूह $A$ इस प्रकार हो जाता है:
$A \equiv \begin{bmatrix} 0+1 & 0+0 & 0+0 \\ 0+0 & 0+1 & 0+0 \\ 0+0 & 0+0 & 0+1 \end{bmatrix} \pmod{2}$
$A \equiv \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \pmod{2}$
सारणिक $|A| \pmod{2}$ तत्समक आव्यूह (identity matrix) का सारणिक है,जो $1$ है।
चूंकि $|A| \equiv 1 \pmod{2}$,इसलिए सारणिक $|A|$ एक विषम संख्या होनी चाहिए।
एक विषम संख्या कभी $0$ नहीं हो सकती।
इसलिए,सभी $n \in N$ के लिए $|A| \neq 0$ है।
अतः,आव्यूह $A$ सभी $n \in N$ के लिए व्युत्क्रमणीय है।

(D) दिया गया है कि $A = \begin{bmatrix} a & 0 & 0 \\ 0 & a & 0 \\ 0 & 0 & a \end{bmatrix} = aI$,जहाँ $I$ कोटि $3 \times 3$ का तत्समक आव्यूह है।
सारणिक $|A| = a^3$ है।
हम जानते हैं कि $|adj A| = |A|^{n-1}$,जहाँ $n$ आव्यूह की कोटि है।
यहाँ $n = 3$ है,इसलिए $|adj A| = |A|^{3-1} = |A|^2$ होगा।
अतः,$|A| |adj A| = |A| \cdot |A|^2 = |A|^3$ होगा।
$|A| = a^3$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $|A|^3 = (a^3)^3 = a^9$ प्राप्त होता है।

(C) हमें व्यंजक $(B^{-1}AB)^5$ दिया गया है।
इसे $5$ पदों के गुणनफल के रूप में लिखा जा सकता है:
$(B^{-1}AB)^5 = (B^{-1}AB)(B^{-1}AB)(B^{-1}AB)(B^{-1}AB)(B^{-1}AB)$.
चूंकि आव्यूह गुणन साहचर्य नियम का पालन करता है,हम पदों को इस प्रकार समूहित कर सकते हैं:
$= B^{-1}A(BB^{-1})A(BB^{-1})A(BB^{-1})A(BB^{-1})AB$.
चूंकि $BB^{-1} = I$ (तत्समक आव्यूह),इसलिए व्यंजक का सरलीकरण इस प्रकार होगा:
$= B^{-1}A(I)A(I)A(I)A(I)AB$.
$= B^{-1}AAAAAB$.
$= B^{-1}A^5B$.

(D) $3 \times 3$ आव्यूह $A$ के लिए,हमारे पास निम्नलिखित गुण हैं:
$1$. $adj(adj(A)) = |A|^{n-2} A$. चूँकि $n=3$,इसलिए $adj(adj(A)) = |A|^{3-2} A = |A| A$. अतः,विकल्प $B$ सत्य है।
$2$. हम जानते हैं कि $adj(A) = |A| A^{-1}$। $A$ को $adj(A)$ से बदलने पर,हमें $adj(adj(A)) = |adj(A)| (adj(A))^{-1}$ प्राप्त होता है।
$3$. चूँकि $|adj(A)| = |A|^{n-1} = |A|^{3-1} = |A|^2$,इसलिए $adj(adj(A)) = |A|^2 (adj(A))^{-1}$। अतः,विकल्प $C$ सत्य है।
$4$. परिणामों की तुलना करने पर,$adj(adj(A)) = |A| A$ और $adj(adj(A)) = |A|^2 (adj(A))^{-1}$।
$5$. विकल्प $D$ कहता है कि $adj(adj(A)) = |A| (adj(A))^{-1}$,जो सामान्यतः असत्य है।
$6$. विकल्प $A$ कहता है कि $adj(A) = |A| (adj(A))^{-1}$। चूँकि $adj(A) = |A| A^{-1}$,इसका अर्थ है कि $A^{-1} = (adj(A))^{-1}$,जो सत्य है। अतः,विकल्प $D$ वह है जो हमेशा सत्य नहीं है।

(A) दिया गया है कि $A$ एक $3 \times 3$ आव्यूह है,इसलिए $n = 3$ है।
हम जानते हैं कि $|k \cdot M| = k^n |M|$,जहाँ $M$ एक $n \times n$ आव्यूह है।
दिए गए समीकरण में इस गुणधर्म को लागू करने पर: $|5 \cdot \text{adj } A| = 5^3 |\text{adj } A| = 125 |\text{adj } A|$ प्राप्त होता है।
हम यह भी जानते हैं कि $|\text{adj } A| = |A|^{n-1}$ होता है।
$n = 3$ रखने पर,हमें $|\text{adj } A| = |A|^{3-1} = |A|^2$ प्राप्त होता है।
अतः,समीकरण $125 |A|^2 = 5$ हो जाता है।
$|A|^2 = \frac{5}{125} = \frac{1}{25}$।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,$|A| = \pm \sqrt{\frac{1}{25}} = \pm \frac{1}{5}$।

(A) दिया गया है $A \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}$.
मान लीजिए $B = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 1 \end{bmatrix}$ और $C = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}$. अतः,$AB = C$.
हम जानते हैं कि $A^{-1} = B C^{-1}$.
सबसे पहले,$C^{-1}$ ज्ञात करें। चूँकि $C$ एक क्रमचय आव्यूह (permutation matrix) है,$C^{-1} = C^T = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}$.
अब,$A^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}$.
आव्यूह गुणन करने पर:
$A^{-1} = \begin{bmatrix} (1)(0)+(2)(0)+(3)(1) & (1)(1)+(2)(0)+(3)(0) & (1)(0)+(2)(1)+(3)(0) \\ (0)(0)+(2)(0)+(3)(1) & (0)(1)+(2)(0)+(3)(0) & (0)(0)+(2)(1)+(3)(0) \\ (0)(0)+(1)(0)+(1)(1) & (0)(1)+(1)(0)+(1)(0) & (0)(0)+(1)(1)+(1)(0) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & 1 & 2 \\ 3 & 0 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \end{bmatrix}$.

(C) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 0 & 0 & a \\ 0 & b & c \\ d & e & f \end{bmatrix}$। सारणिक $|A| = -abd$ है।
चूँकि $A^{-1} = A^T$,इसलिए $A A^T = I$ होगा।
$A A^T = \begin{bmatrix} a^2 & ac & af \\ ac & b^2+c^2 & be+cf \\ ad & ae+cf & d^2+e^2+f^2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$।
तुलना करने पर: $a^2=1 \implies a=\pm 1$,$c=0$,$f=0$,$b^2=1 \implies b=\pm 1$,$e=0$,$d^2=1 \implies d=\pm 1$।
अतः,$a, b, d$ के लिए $2$ विकल्प हैं। कुल आव्यूहों की संख्या $2 \times 2 \times 2 = 2^3 = 8$ है।

(C) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix}$।
रोटेशन मैट्रिक्स के गुणधर्म के अनुसार,किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए $A^n = \begin{bmatrix} \cos(n\theta) & -\sin(n\theta) \\ \sin(n\theta) & \cos(n\theta) \end{bmatrix}$ होता है।
इसलिए,$A^{-50} = \begin{bmatrix} \cos(-50\theta) & -\sin(-50\theta) \\ \sin(-50\theta) & \cos(-50\theta) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos(50\theta) & \sin(50\theta) \\ -\sin(50\theta) & \cos(50\theta) \end{bmatrix}$।
दिया गया है $\theta = \frac{\pi}{12}$,इसलिए $50\theta = 50 \times \frac{\pi}{12} = \frac{25\pi}{6} = 4\pi + \frac{\pi}{6}$।
चूंकि $\cos(4\pi + \frac{\pi}{6}) = \cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ और $\sin(4\pi + \frac{\pi}{6}) = \sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$,
अतः $A^{-50} = \begin{bmatrix} \cos(\frac{\pi}{6}) & \sin(\frac{\pi}{6}) \\ -\sin(\frac{\pi}{6}) & \cos(\frac{\pi}{6}) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \end{bmatrix}$।

(C) यह जांचने के लिए कि क्या $A$ व्युत्क्रमणीय है,हम इसका सारणिक $|A|$ ज्ञात करते हैं।
$|A| = e^t \cdot e^{-t} \cdot e^{-t} \begin{vmatrix} 1 & \cos t & \sin t \\ 1 & -(\cos t + \sin t) & \cos t - \sin t \\ 1 & 2 \sin t & -2 \cos t \end{vmatrix} = e^{-t} \begin{vmatrix} 1 & \cos t & \sin t \\ 1 & -\cos t - \sin t & \cos t - \sin t \\ 1 & 2 \sin t & -2 \cos t \end{vmatrix}$.
पंक्ति संक्रियाओं $R_2 \to R_2 - R_1$ और $R_3 \to R_3 - R_1$ का उपयोग करने पर:
$|A| = e^{-t} \begin{vmatrix} 1 & \cos t & \sin t \\ 0 & -2 \cos t - \sin t & \cos t - 2 \sin t \\ 0 & 2 \sin t - \cos t & -2 \cos t - \sin t \end{vmatrix}$.
प्रथम स्तंभ के अनुदिश विस्तार करने पर:
$|A| = e^{-t} [(-2 \cos t - \sin t)^2 - (\cos t - 2 \sin t)(2 \sin t - \cos t)]$.
$|A| = e^{-t} [4 \cos^2 t + \sin^2 t + 4 \sin t \cos t - (2 \sin t \cos t - \cos^2 t - 4 \sin^2 t + 2 \sin t \cos t)]$.
$|A| = e^{-t} [4 \cos^2 t + \sin^2 t + 4 \sin t \cos t + \cos^2 t + 4 \sin^2 t - 4 \sin t \cos t] = e^{-t} [5 \cos^2 t + 5 \sin^2 t] = 5e^{-t}$.
चूंकि $5e^{-t} \neq 0$ सभी $t \in \mathbb{R}$ के लिए,इसलिए आव्यूह $A$ सभी $t \in \mathbb{R}$ के लिए व्युत्क्रमणीय है।

(C) दिया गया है कि $AA^T = I_3$,अतः $A$ एक लांबिक आव्यूह (orthogonal matrix) है।
आव्यूह गुणन $AA^T$ करने पर:
$\begin{bmatrix} 0 & 2q & r \\ p & q & -r \\ p & -q & r \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & p & p \\ 2q & q & -q \\ r & -r & r \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$
गुणन के अवयवों की तुलना करने पर:
पंक्ति $1$ $\cdot$ स्तंभ $1$: $4q^2 + r^2 = 1$ (समी. $1$)
पंक्ति $2$ $\cdot$ स्तंभ $2$: $p^2 + q^2 + r^2 = 1$ (समी. $2$)
पंक्ति $2$ $\cdot$ स्तंभ $3$: $p^2 - q^2 - r^2 = 0$ (समी. $3$)
समीकरण $(2)$ और $(3)$ को जोड़ने पर:
$2p^2 = 1 \implies p^2 = \frac{1}{2} \implies |p| = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

(D) हम जानते हैं कि $\begin{bmatrix} 1 & a \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & b \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & a+b \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ होता है।
इस गुणधर्म का उपयोग करने पर:
$\begin{bmatrix} 1 & 1+2+3+\dots+(n-1) \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 78 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$।
प्रथम $(n-1)$ प्राकृतिक संख्याओं का योग $\frac{(n-1)n}{2}$ होता है।
अतः,$\frac{n(n-1)}{2} = 78 \Rightarrow n^2 - n - 156 = 0$।
द्विघात समीकरण को हल करने पर: $(n-13)(n+12) = 0$। चूंकि $n$ धनात्मक होना चाहिए,इसलिए $n = 13$ प्राप्त होता है।
हमें $A = \begin{bmatrix} 1 & 13 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ का व्युत्क्रम ज्ञात करना है।
किसी आव्यूह $A = \begin{bmatrix} 1 & k \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ के लिए,उसका व्युत्क्रम $A^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & -k \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ होता है।
अतः,व्युत्क्रम $\begin{bmatrix} 1 & -13 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ है।

(C) दिया गया है कि $B = A^{-1}$,इसलिए हम जानते हैं कि $\det(B) = \frac{1}{\det(A)}$.
सबसे पहले,आव्यूह $B$ का सारणिक ज्ञात करें:
$\det(B) = 5(2(-1) - 3(1)) - 2\alpha(0(-1) - \alpha(1)) + 1(0(3) - \alpha(2))$
$\det(B) = 5(-5) + 2\alpha^2 - 2\alpha = 2\alpha^2 - 2\alpha - 25$.
शर्त $\det(A) + 1 = 0$ के अनुसार,$\det(A) = -1$ है।
अतः,$\det(B) = \frac{1}{-1} = -1$.
$\det(B)$ के दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर:
$2\alpha^2 - 2\alpha - 25 = -1$
$2\alpha^2 - 2\alpha - 24 = 0$
$2$ से विभाजित करने पर:
$\alpha^2 - \alpha - 12 = 0$
$(\alpha - 4)(\alpha + 3) = 0$.
$\alpha$ के मान $4$ और $-3$ हैं।
इन मानों का योग $4 + (-3) = 1$ है।

(B) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 2 & 2 \\ 9 & 4 \end{bmatrix}$.
सबसे पहले,सारणिक $|A| = (2 \times 4) - (2 \times 9) = 8 - 18 = -10$ ज्ञात करें।
इसके बाद,$A$ का सहखंडज (adj) ज्ञात करें: $\text{adj}(A) = \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -9 & 2 \end{bmatrix}$.
व्युत्क्रम आव्यूह $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj}(A) = \frac{1}{-10} \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -9 & 2 \end{bmatrix}$.
अतः,$10 A^{-1} = 10 \times \left( \frac{1}{-10} \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -9 & 2 \end{bmatrix} \right) = -1 \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -9 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -4 & 2 \\ 9 & -2 \end{bmatrix}$.
अब,विकल्पों की जाँच करने पर:
$A - 6I = \begin{bmatrix} 2 & 2 \\ 9 & 4 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 6 & 0 \\ 0 & 6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -4 & 2 \\ 9 & -2 \end{bmatrix}$.
इस प्रकार,$10 A^{-1} = A - 6I$ है।

(C) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 1 & 3 & 4 \\ 1 & -1 & 3 \end{bmatrix}$.
सबसे पहले,$A$ का सारणिक ज्ञात करें:
$|A| = 1(9 + 4) - 1(3 - 4) + 2(-1 - 3) = 13 + 1 - 8 = 6$.
हमें $B = \operatorname{adj} A$ और $C = 3A$ दिया गया है। हमें $\frac{|\operatorname{adj} B|}{|C|}$ ज्ञात करना है।
चूंकि $B = \operatorname{adj} A$,इसलिए $\operatorname{adj} B = \operatorname{adj}(\operatorname{adj} A)$ होगा।
गुणधर्म $|\operatorname{adj} M| = |M|^{n-1}$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $n$ आव्यूह की कोटि है:
$|\operatorname{adj} B| = |\operatorname{adj}(\operatorname{adj} A)| = |A|^{(n-1)^2} = |A|^{(3-1)^2} = |A|^4$.
हर के लिए,$|C| = |3A| = 3^n |A| = 3^3 |A| = 27 |A|$.
अतः,$\frac{|\operatorname{adj} B|}{|C|} = \frac{|A|^4}{27 |A|} = \frac{|A|^3}{27}$.
$|A| = 6$ रखने पर:
$\frac{6^3}{27} = \frac{216}{27} = 8$.

(C) $2 \times 2$ आव्यूह $A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ का सहखंडज (adjoint) $adj$ $A = \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $A = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 4 \end{bmatrix}$ दिया गया है,इसलिए $a=2, b=3, c=1, d=4$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$adj$ $A = \begin{bmatrix} 4 & -3 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}$.

(D) सबसे पहले,सारणिक $|A|$ की गणना करें:
$|A| = 1(16 - 9) - 3(4 - 3) + 3(3 - 4) = 1(7) - 3(1) + 3(-1) = 7 - 3 - 3 = 1 \neq 0$.
इसके बाद,सहखंडज आव्यूह और उसका परिवर्त ज्ञात करके $\text{adj } A$ प्राप्त करें:
$A_{11} = 7, A_{12} = -1, A_{13} = -1$
$A_{21} = -3, A_{22} = 1, A_{23} = 0$
$A_{31} = -3, A_{32} = 0, A_{33} = 1$
अतः,$\text{adj } A = \begin{bmatrix} 7 & -3 & -3 \\ -1 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{bmatrix}$.
$A(\text{adj } A) = |A|I$ सत्यापित करें:
$A(\text{adj } A) = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 3 \\ 1 & 4 & 3 \\ 1 & 3 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 7 & -3 & -3 \\ -1 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = 1 \cdot I = |A|I$.
अंत में,$A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj } A = \frac{1}{1} \begin{bmatrix} 7 & -3 & -3 \\ -1 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 7 & -3 & -3 \\ -1 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{bmatrix}$.

(A) सबसे पहले,हम $AB$ का गुणनफल ज्ञात करते हैं:
$AB = \left[\begin{array}{cc}2 & 3 \\ 1 & -4\end{array}\right] \left[\begin{array}{cc}1 & -2 \\ -1 & 3\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}2(1)+3(-1) & 2(-2)+3(3) \\ 1(1)+(-4)(-1) & 1(-2)+(-4)(3)\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}-1 & 5 \\ 5 & -14\end{array}\right]$.
इसके बाद,हम सारणिक $|AB| = (-1)(-14) - (5)(5) = 14 - 25 = -11$ ज्ञात करते हैं।
चूंकि $|AB| \neq 0$,इसलिए $(AB)^{-1}$ का अस्तित्व है।
$(AB)^{-1} = \frac{1}{|AB|} \text{adj}(AB) = \frac{1}{-11} \left[\begin{array}{cc}-14 & -5 \\ -5 & -1\end{array}\right] = \frac{1}{11} \left[\begin{array}{cc}14 & 5 \\ 5 & 1\end{array}\right]$.
अब,हम $A^{-1}$ और $B^{-1}$ ज्ञात करते हैं:
$|A| = 2(-4) - 3(1) = -8 - 3 = -11$.
$A^{-1} = \frac{1}{-11} \left[\begin{array}{cc}-4 & -3 \\ -1 & 2\end{array}\right] = \frac{1}{11} \left[\begin{array}{cc}4 & 3 \\ 1 & -2\end{array}\right]$.
$|B| = 1(3) - (-2)(-1) = 3 - 2 = 1$.
$B^{-1} = \frac{1}{1} \left[\begin{array}{cc}3 & 2 \\ 1 & 1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}3 & 2 \\ 1 & 1\end{array}\right]$.
अंत में,$B^{-1} A^{-1}$ की गणना करते हैं:
$B^{-1} A^{-1} = \left[\begin{array}{cc}3 & 2 \\ 1 & 1\end{array}\right] \left( \frac{1}{11} \left[\begin{array}{cc}4 & 3 \\ 1 & -2\end{array}\right] \right) = \frac{1}{11} \left[\begin{array}{cc}3(4)+2(1) & 3(3)+2(-2) \\ 1(4)+1(1) & 1(3)+1(-2)\end{array}\right] = \frac{1}{11} \left[\begin{array}{cc}14 & 5 \\ 5 & 1\end{array}\right]$.
अतः,$(AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1}$ सत्यापित होता है।

(B) सबसे पहले,हम $A^{2} = A \cdot A = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4+3 & 6+6 \\ 2+2 & 3+4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 7 & 12 \\ 4 & 7 \end{bmatrix}$ की गणना करते हैं।
अब,समीकरण $A^{2} - 4A + I$ में मान रखने पर:
$\begin{bmatrix} 7 & 12 \\ 4 & 7 \end{bmatrix} - 4 \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 7 & 12 \\ 4 & 7 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 8 & 12 \\ 4 & 8 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 7-8+1 & 12-12+0 \\ 4-4+0 & 7-8+1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} = O$.
$A^{-1}$ ज्ञात करने के लिए,$A^{2} - 4A + I = O$ से प्रारंभ करें।
दोनों पक्षों से $I$ घटाने पर: $A^{2} - 4A = -I$.
दोनों पक्षों को $A^{-1}$ से गुणा करने पर: $A^{-1}(A^{2} - 4A) = A^{-1}(-I)$.
$(A^{-1}A)A - 4(A^{-1}A) = -A^{-1}$.
$IA - 4I = -A^{-1}$.
$A - 4I = -A^{-1}$,जिसका अर्थ है $A^{-1} = 4I - A$.
$A^{-1} = \begin{bmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 4 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & -3 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}$.

(C) माना कि $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$ है।
एक $2 \times 2$ आव्यूह $\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ का सहखंडज $\begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$a = 1, b = 2, c = 3, d = 4$ है।
अतः,$\text{adj}(A) = \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{bmatrix}$ होगा।

(D) माना $A = \left[\begin{array}{ccc}1 & -1 & 2 \\ 2 & 3 & 5 \\ -2 & 0 & 1\end{array}\right]$ है।
आव्यूह का सहखंडज (adjoint),सहखंड आव्यूह का परिवर्त (transpose) होता है। माना $C_{ij}$ अवयव $a_{ij}$ का सहखंड है।
$C_{11} = +\left|\begin{array}{cc}3 & 5 \\ 0 & 1\end{array}\right| = 3 - 0 = 3$
$C_{12} = -\left|\begin{array}{cc}2 & 5 \\ -2 & 1\end{array}\right| = -(2 + 10) = -12$
$C_{13} = +\left|\begin{array}{cc}2 & 3 \\ -2 & 0\end{array}\right| = 0 - (-6) = 6$
$C_{21} = -\left|\begin{array}{cc}-1 & 2 \\ 0 & 1\end{array}\right| = -(-1 - 0) = 1$
$C_{22} = +\left|\begin{array}{cc}1 & 2 \\ -2 & 1\end{array}\right| = 1 - (-4) = 5$
$C_{23} = -\left|\begin{array}{cc}1 & -1 \\ -2 & 0\end{array}\right| = -(0 - 2) = 2$
$C_{31} = +\left|\begin{array}{cc}-1 & 2 \\ 3 & 5\end{array}\right| = -5 - 6 = -11$
$C_{32} = -\left|\begin{array}{cc}1 & 2 \\ 2 & 5\end{array}\right| = -(5 - 4) = -1$
$C_{33} = +\left|\begin{array}{cc}1 & -1 \\ 2 & 3\end{array}\right| = 3 - (-2) = 5$
सहखंड आव्यूह $\left[\begin{array}{ccc}3 & -12 & 6 \\ 1 & 5 & -1 \\ -11 & -1 & 5\end{array}\right]$ है।
इसका परिवर्त लेने पर,$\text{adj}(A) = \left[\begin{array}{ccc}3 & 1 & -11 \\ -12 & 5 & -1 \\ 6 & 2 & 5\end{array}\right]$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ -4 & -6 \end{bmatrix}$।
सबसे पहले,सारणिक $|A|$ की गणना करें:
$|A| = (2)(-6) - (3)(-4) = -12 + 12 = 0$।
अतः,$|A| I = 0 \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$।
अगला,$A$ का सहखंडज $(\text{adj } A)$ ज्ञात करें:
सहखंड $C_{11} = -6, C_{12} = 4, C_{21} = -3, C_{22} = 2$ हैं।
इसलिए,$\text{adj } A = \begin{bmatrix} -6 & -3 \\ 4 & 2 \end{bmatrix}$।
अब,$A(\text{adj } A)$ की गणना करें:
$A(\text{adj } A) = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ -4 & -6 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -6 & -3 \\ 4 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -12+12 & -6+6 \\ 24-24 & 12-12 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$।
अंत में,$(\text{adj } A) A$ की गणना करें:
$(\text{adj } A) A = \begin{bmatrix} -6 & -3 \\ 4 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ -4 & -6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -12+12 & -18+18 \\ 8-8 & 12-12 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$।
चूंकि $A(\text{adj } A) = (\text{adj } A) A = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} = |A| I$,इसलिए यह संबंध सत्यापित होता है।

(A) $A = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 3 & 0 & -2 \\ 1 & 0 & 3 \end{bmatrix}$
$|A| = 1(0 - 0) - (-1)(9 - (-2)) + 2(0 - 0) = 1(0) + 1(11) + 2(0) = 11$
$\therefore |A| I = 11 \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 11 & 0 & 0 \\ 0 & 11 & 0 \\ 0 & 0 & 11 \end{bmatrix}$
अब,सहखंडों $A_{ij}$ की गणना करते हुए:
$A_{11} = (0 - 0) = 0, A_{12} = -(9 - (-2)) = -11, A_{13} = (0 - 0) = 0$
$A_{21} = -(-3 - 0) = 3, A_{22} = (3 - 2) = 1, A_{23} = -(0 - (-1)) = -1$
$A_{31} = (2 - 0) = 2, A_{32} = -(-2 - 6) = 8, A_{33} = (0 - (-3)) = 3$
$\therefore \text{adj } A = \begin{bmatrix} 0 & 3 & 2 \\ -11 & 1 & 8 \\ 0 & -1 & 3 \end{bmatrix}$
अब,$A(\text{adj } A) = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 3 & 0 & -2 \\ 1 & 0 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 3 & 2 \\ -11 & 1 & 8 \\ 0 & -1 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 11 & 0 & 0 \\ 0 & 11 & 0 \\ 0 & 0 & 11 \end{bmatrix}$
साथ ही,$(\text{adj } A) A = \begin{bmatrix} 0 & 3 & 2 \\ -11 & 1 & 8 \\ 0 & -1 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 3 & 0 & -2 \\ 1 & 0 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 11 & 0 & 0 \\ 0 & 11 & 0 \\ 0 & 0 & 11 \end{bmatrix}$
अतः,$A(\text{adj } A) = (\text{adj } A) A = |A| I$ सत्यापित होता है।

माना $A = \left[\begin{array}{cc}2 & -2 \\ 4 & 3\end{array}\right]$ है।
हम जानते हैं कि आव्यूह $A$ का व्युत्क्रम $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj}(A)$ द्वारा दिया जाता है,जिसका अस्तित्व तब होता है जब $|A| \neq 0$ हो।
सबसे पहले,सारणिक $|A|$ की गणना करें:
$|A| = \left|\begin{array}{cc}2 & -2 \\ 4 & 3\end{array}\right| = (2 \times 3) - (4 \times -2) = 6 + 8 = 14$.
चूंकि $|A| = 14 \neq 0$ है,इसलिए $A^{-1}$ का अस्तित्व है।
अब,$A$ का सहखंडज (adj $A$) ज्ञात करें:
$2 \times 2$ आव्यूह $\left[\begin{array}{cc}a & b \\ c & d\end{array}\right]$ के लिए,सहखंडज $\left[\begin{array}{cc}d & -b \\ -c & a\end{array}\right]$ होता है।
अतः,$\text{adj}(A) = \left[\begin{array}{cc}3 & 2 \\ -4 & 2\end{array}\right]$ है।
अंत में,$A^{-1}$ की गणना करें:
$A^{-1} = \frac{1}{14} \left[\begin{array}{cc}3 & 2 \\ -4 & 2\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}\frac{3}{14} & \frac{2}{14} \\ -\frac{4}{14} & \frac{2}{14}\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}\frac{3}{14} & \frac{1}{7} \\ -\frac{2}{7} & \frac{1}{7}\end{array}\right]$।

(D) माना $A = \left[\begin{array}{cc}-1 & 5 \\ -3 & 2\end{array}\right]$ है।
सबसे पहले,$A$ का सारणिक (determinant) ज्ञात करें:
$|A| = (-1)(2) - (5)(-3) = -2 + 15 = 13$.
चूंकि $|A| \neq 0$,इसलिए व्युत्क्रम $A^{-1}$ का अस्तित्व है।
एक $2 \times 2$ आव्यूह $\left[\begin{array}{cc}a & b \\ c & d\end{array}\right]$ का सहखंडज (adjoint) $\left[\begin{array}{cc}d & -b \\ -c & a\end{array}\right]$ होता है।
अतः,$A$ के लिए:
$adj(A) = \left[\begin{array}{cc}2 & -5 \\ 3 & -1\end{array}\right]$.
व्युत्क्रम का सूत्र $A^{-1} = \frac{1}{|A|} adj(A)$ है:
$A^{-1} = \frac{1}{13} \left[\begin{array}{cc}2 & -5 \\ 3 & -1\end{array}\right]$.

(A) माना $A = \left[\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\ 0 & 2 & 4 \\ 0 & 0 & 5\end{array}\right]$.
सबसे पहले,हम सारणिक $|A|$ ज्ञात करते हैं:
$|A| = 1(2 \times 5 - 4 \times 0) - 2(0 \times 5 - 4 \times 0) + 3(0 \times 0 - 2 \times 0) = 1(10) - 2(0) + 3(0) = 10$.
चूंकि $|A| \neq 0$,इसलिए $A^{-1}$ का अस्तित्व है।
अब,हम सहखंड आव्यूह $C = [C_{ij}]$ ज्ञात करते हैं:
$C_{11} = +(10-0) = 10, C_{12} = -(0-0) = 0, C_{13} = +(0-0) = 0$
$C_{21} = -(10-0) = -10, C_{22} = +(5-0) = 5, C_{23} = -(0-0) = 0$
$C_{31} = +(8-6) = 2, C_{32} = -(4-0) = -4, C_{33} = +(2-0) = 2$
एडजॉइंट आव्यूह $adj(A)$ सहखंड आव्यूह का परिवर्त (transpose) है:
$adj(A) = \left[\begin{array}{ccc}10 & -10 & 2 \\ 0 & 5 & -4 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right]$.
अंत में,$A^{-1} = \frac{1}{|A|} adj(A) = \frac{1}{10} \left[\begin{array}{ccc}10 & -10 & 2 \\ 0 & 5 & -4 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right]$.

(B) माना $A = \left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 3 & 3 & 0 \\ 5 & 2 & -1\end{array}\right]$ है।
सबसे पहले,हम सारणिक $|A|$ ज्ञात करते हैं:
$|A| = 1((-3)(1) - (0)(2)) - 0 + 0 = -3$.
चूँकि $|A| \neq 0$,इसलिए व्युत्क्रम $A^{-1}$ का अस्तित्व है।
अगला,हम सहखंड आव्यूह $C_{ij}$ ज्ञात करते हैं:
$C_{11} = +((-3) - 0) = -3$
$C_{12} = -((-3) - 0) = 3$
$C_{13} = +((6) - (15)) = -9$
$C_{21} = -(0 - 0) = 0$
$C_{22} = +((-1) - 0) = -1$
$C_{23} = -(2 - 0) = -2$
$C_{31} = +(0 - 0) = 0$
$C_{32} = -(0 - 0) = 0$
$C_{33} = +(3 - 0) = 3$
एडजॉइंट आव्यूह $adj(A)$,सहखंड आव्यूह का परिवर्त है:
$adj(A) = \left[\begin{array}{ccc}-3 & 0 & 0 \\ 3 & -1 & 0 \\ -9 & -2 & 3\end{array}\right]$।
अंत में,$A^{-1} = \frac{1}{|A|} adj(A) = \frac{1}{-3} \left[\begin{array}{ccc}-3 & 0 & 0 \\ 3 & -1 & 0 \\ -9 & -2 & 3\end{array}\right] = -\frac{1}{3} \left[\begin{array}{ccc}-3 & 0 & 0 \\ 3 & -1 & 0 \\ -9 & -2 & 3\end{array}\right]$।

(C) माना $A = \left[\begin{array}{ccc}2 & 1 & 3 \\ 4 & -1 & 0 \\ -7 & 2 & 1\end{array}\right]$ है।
सबसे पहले,हम सारणिक $|A|$ की गणना करते हैं:
$|A| = 2((-1)(1) - (0)(2)) - 1((4)(1) - (0)(-7)) + 3((4)(2) - (-1)(-7))$
$|A| = 2(-1 - 0) - 1(4 - 0) + 3(8 - 7)$
$|A| = 2(-1) - 1(4) + 3(1) = -2 - 4 + 3 = -3$.
चूंकि $|A| \neq 0$,इसलिए व्युत्क्रम $A^{-1}$ का अस्तित्व है।
अब,हम सहखंड आव्यूह $C_{ij}$ ज्ञात करते हैं:
$C_{11} = -1, C_{12} = -4, C_{13} = 1$
$C_{21} = 5, C_{22} = 23, C_{23} = -11$
$C_{31} = 3, C_{32} = 12, C_{33} = -6$
एडजॉइंट आव्यूह $adj(A)$,सहखंड आव्यूह का परिवर्त (transpose) है:
$adj(A) = \left[\begin{array}{ccc}-1 & 5 & 3 \\ -4 & 23 & 12 \\ 1 & -11 & -6\end{array}\right]$.
अंत में,$A^{-1} = \frac{1}{|A|} adj(A) = \frac{1}{-3} \left[\begin{array}{ccc}-1 & 5 & 3 \\ -4 & 23 & 12 \\ 1 & -11 & -6\end{array}\right] = -\frac{1}{3} \left[\begin{array}{ccc}-1 & 5 & 3 \\ -4 & 23 & 12 \\ 1 & -11 & -6\end{array}\right]$.

(D) माना $A = \left[\begin{array}{ccc}1 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & -3 \\ 3 & -2 & 4\end{array}\right]$.
सबसे पहले,प्रथम स्तंभ के अनुदिश विस्तार करके सारणिक $|A|$ की गणना करें:
$|A| = 1(8 - 6) - 0( -4 + 4) + 3(3 - 4) = 1(2) - 0 + 3(-1) = 2 - 3 = -1$.
चूंकि $|A| \neq 0$,इसलिए व्युत्क्रम $A^{-1}$ का अस्तित्व है।
अब,सहखंडज (cofactor) आव्यूह $C_{ij}$ ज्ञात करें:
$C_{11} = +(8-6) = 2, C_{12} = -(0+9) = -9, C_{13} = +(0-6) = -6$
$C_{21} = -(-4+4) = 0, C_{22} = +(4-6) = -2, C_{23} = -(-2+3) = -1$
$C_{31} = +(3-4) = -1, C_{32} = -(-3-0) = 3, C_{33} = +(2-0) = 2$
एडजॉइंट आव्यूह $\text{adj } A$,सहखंडज आव्यूह का परिवर्त (transpose) है:
$\text{adj } A = \left[\begin{array}{ccc}2 & 0 & -1 \\ -9 & -2 & 3 \\ -6 & -1 & 2\end{array}\right]$.
अंत में,$A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj } A = \frac{1}{-1} \left[\begin{array}{ccc}2 & 0 & -1 \\ -9 & -2 & 3 \\ -6 & -1 & 2\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}-2 & 0 & 1 \\ 9 & 2 & -3 \\ 6 & 1 & -2\end{array}\right]$.

(A) माना $A = \left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos a & \sin a \\ 0 & \sin a & -\cos a\end{array}\right]$ है।
सबसे पहले,हम सारणिक $|A|$ की गणना करते हैं:
$|A| = 1(\cos a(-\cos a) - \sin a(\sin a)) = -\cos^2 a - \sin^2 a = -(\cos^2 a + \sin^2 a) = -1$.
चूंकि $|A| \neq 0$,इसलिए व्युत्क्रम $A^{-1}$ का अस्तित्व है।
अगला,हम सहखंड आव्यूह $C$ ज्ञात करते हैं:
$C_{11} = -1$,$C_{12} = 0$,$C_{13} = 0$.
$C_{21} = 0$,$C_{22} = -\cos a$,$C_{23} = -\sin a$.
$C_{31} = 0$,$C_{32} = -\sin a$,$C_{33} = \cos a$.
एडजॉइंट आव्यूह $\operatorname{adj} A$,सहखंड आव्यूह का परिवर्त (transpose) है:
$\operatorname{adj} A = \left[\begin{array}{ccc}-1 & 0 & 0 \\ 0 & -\cos a & -\sin a \\ 0 & -\sin a & \cos a\end{array}\right]$.
अंत में,$A^{-1} = \frac{1}{|A|} \operatorname{adj} A = \frac{1}{-1} \left[\begin{array}{ccc}-1 & 0 & 0 \\ 0 & -\cos a & -\sin a \\ 0 & -\sin a & \cos a\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos a & \sin a \\ 0 & \sin a & -\cos a\end{array}\right]$.

(A) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 3 & 7 \\ 2 & 5 \end{bmatrix}$।
$|A| = (3 \times 5) - (7 \times 2) = 15 - 14 = 1$.
$adj(A) = \begin{bmatrix} 5 & -7 \\ -2 & 3 \end{bmatrix}$.
$A^{-1} = \frac{1}{|A|} adj(A) = \begin{bmatrix} 5 & -7 \\ -2 & 3 \end{bmatrix}$.
दिया गया है $B = \begin{bmatrix} 6 & 8 \\ 7 & 9 \end{bmatrix}$।
$|B| = (6 \times 9) - (8 \times 7) = 54 - 56 = -2$.
$adj(B) = \begin{bmatrix} 9 & -8 \\ -7 & 6 \end{bmatrix}$.
$B^{-1} = \frac{1}{|B|} adj(B) = -\frac{1}{2} \begin{bmatrix} 9 & -8 \\ -7 & 6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -\frac{9}{2} & 4 \\ \frac{7}{2} & -3 \end{bmatrix}$.
अब,$B^{-1} A^{-1} = \begin{bmatrix} -\frac{9}{2} & 4 \\ \frac{7}{2} & -3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 5 & -7 \\ -2 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -\frac{45}{2} - 8 & \frac{63}{2} + 12 \\ \frac{35}{2} + 6 & -\frac{49}{2} - 9 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -\frac{61}{2} & \frac{87}{2} \\ \frac{47}{2} & -\frac{67}{2} \end{bmatrix} \dots (1)$.
अब,$AB = \begin{bmatrix} 3 & 7 \\ 2 & 5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 6 & 8 \\ 7 & 9 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 18+49 & 24+63 \\ 12+35 & 16+45 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 67 & 87 \\ 47 & 61 \end{bmatrix}$.
$|AB| = (67 \times 61) - (87 \times 47) = 4087 - 4089 = -2$.
$adj(AB) = \begin{bmatrix} 61 & -87 \\ -47 & 67 \end{bmatrix}$.
$(AB)^{-1} = \frac{1}{|AB|} adj(AB) = -\frac{1}{2} \begin{bmatrix} 61 & -87 \\ -47 & 67 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -\frac{61}{2} & \frac{87}{2} \\ \frac{47}{2} & -\frac{67}{2} \end{bmatrix} \dots (2)$.
$(1)$ और $(2)$ से,$(AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1}$ सत्यापित होता है।

(A) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}$.
सबसे पहले,$A^{2} = A \cdot A = \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 8 & 5 \\ -5 & 3 \end{bmatrix}$ की गणना करें।
अब,$A^{2} - 5A + 7I = \begin{bmatrix} 8 & 5 \\ -5 & 3 \end{bmatrix} - 5 \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix} + 7 \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ का मान निकालें।
$= \begin{bmatrix} 8 & 5 \\ -5 & 3 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 15 & 5 \\ -5 & 10 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 7 & 0 \\ 0 & 7 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} = 0$.
$A^{-1}$ ज्ञात करने के लिए,समीकरण $A^{2} - 5A + 7I = 0$ को $A^{-1}$ से गुणा करें:
$A - 5I + 7A^{-1} = 0$.
$7A^{-1} = 5I - A$.
$7A^{-1} = 5 \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 3 \end{bmatrix}$.
अतः,$A^{-1} = \frac{1}{7} \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 3 \end{bmatrix}$।

(A) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & -3 \\ 2 & -1 & 3 \end{bmatrix}$।
सबसे पहले,$A^{2} = A \cdot A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & -3 \\ 2 & -1 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & -3 \\ 2 & -1 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 & 2 & 1 \\ -3 & 8 & -14 \\ 7 & -3 & 14 \end{bmatrix}$ ज्ञात करें।
इसके बाद,$A^{3} = A^{2} \cdot A = \begin{bmatrix} 4 & 2 & 1 \\ -3 & 8 & -14 \\ 7 & -3 & 14 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & -3 \\ 2 & -1 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 8 & 7 & 1 \\ -23 & 27 & -69 \\ 32 & -13 & 58 \end{bmatrix}$ ज्ञात करें।
अब,$A^{3} - 6A^{2} + 5A + 11I$ में मान रखने पर:
$= \begin{bmatrix} 8 & 7 & 1 \\ -23 & 27 & -69 \\ 32 & -13 & 58 \end{bmatrix} - 6 \begin{bmatrix} 4 & 2 & 1 \\ -3 & 8 & -14 \\ 7 & -3 & 14 \end{bmatrix} + 5 \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & -3 \\ 2 & -1 & 3 \end{bmatrix} + 11 \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} = 0$।
$A^{-1}$ ज्ञात करने के लिए,$A^{3} - 6A^{2} + 5A + 11I = 0$ को $A^{-1}$ से गुणा करने पर:
$A^{2} - 6A + 5I + 11A^{-1} = 0 \Rightarrow 11A^{-1} = -(A^{2} - 6A + 5I)$।
$A^{2} - 6A + 5I = \begin{bmatrix} 4 & 2 & 1 \\ -3 & 8 & -14 \\ 7 & -3 & 14 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 6 & 6 & 6 \\ 6 & 12 & -18 \\ 12 & -6 & 18 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 5 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & -4 & -5 \\ -9 & 1 & 4 \\ -5 & 3 & 1 \end{bmatrix}$।
अतः,$A^{-1} = -\frac{1}{11} \begin{bmatrix} 3 & -4 & -5 \\ -9 & 1 & 4 \\ -5 & 3 & 1 \end{bmatrix} = \frac{1}{11} \begin{bmatrix} -3 & 4 & 5 \\ 9 & -1 & -4 \\ 5 & -3 & -1 \end{bmatrix}$।

(A) दिया गया है $A=\left[\begin{array}{ccc}2 & -1 & 1 \\ -1 & 2 & -1 \\ 1 & -1 & 2\end{array}\right]$.
सबसे पहले,$A^{2} = A \times A = \left[\begin{array}{ccc}2 & -1 & 1 \\ -1 & 2 & -1 \\ 1 & -1 & 2\end{array}\right] \left[\begin{array}{ccc}2 & -1 & 1 \\ -1 & 2 & -1 \\ 1 & -1 & 2\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}6 & -5 & 5 \\ -5 & 6 & -5 \\ 5 & -5 & 6\end{array}\right]$ ज्ञात करें।
इसके बाद,$A^{3} = A^{2} \times A = \left[\begin{array}{ccc}6 & -5 & 5 \\ -5 & 6 & -5 \\ 5 & -5 & 6\end{array}\right] \left[\begin{array}{ccc}2 & -1 & 1 \\ -1 & 2 & -1 \\ 1 & -1 & 2\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}22 & -21 & 21 \\ -21 & 22 & -21 \\ 21 & -21 & 22\end{array}\right]$ ज्ञात करें।
अब,$A^{3}-6 A^{2}+9 A-4 I = \left[\begin{array}{ccc}22 & -21 & 21 \\ -21 & 22 & -21 \\ 21 & -21 & 22\end{array}\right] - 6\left[\begin{array}{ccc}6 & -5 & 5 \\ -5 & 6 & -5 \\ 5 & -5 & 6\end{array}\right] + 9\left[\begin{array}{ccc}2 & -1 & 1 \\ -1 & 2 & -1 \\ 1 & -1 & 2\end{array}\right] - 4\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right] = 0$ सत्यापित करें।
$A^{-1}$ ज्ञात करने के लिए,समीकरण $A^{3}-6 A^{2}+9 A-4 I=0$ को $A^{-1}$ से गुणा करें:
$A^{2}-6 A+9 I-4 A^{-1}=0 \Rightarrow 4 A^{-1} = A^{2}-6 A+9 I$.
$4 A^{-1} = \left[\begin{array}{ccc}6 & -5 & 5 \\ -5 & 6 & -5 \\ 5 & -5 & 6\end{array}\right] - 6\left[\begin{array}{ccc}2 & -1 & 1 \\ -1 & 2 & -1 \\ 1 & -1 & 2\end{array}\right] + 9\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}3 & 1 & -1 \\ 1 & 3 & 1 \\ -1 & 1 & 3\end{array}\right]$.
अतः,$A^{-1} = \frac{1}{4}\left[\begin{array}{ccc}3 & 1 & -1 \\ 1 & 3 & 1 \\ -1 & 1 & 3\end{array}\right]$.

(C) हम जानते हैं कि $n$ क्रम के किसी भी वर्ग आव्यूह $A$ के लिए,सहखंडज (adjoint) आव्यूह का गुणधर्म इस प्रकार है:
$A(adj\, A) = (adj\, A)A = |A|I_n$
दोनों पक्षों का सारणिक (determinant) लेने पर:
$|A(adj\, A)| = ||A|I_n|$
$|A| \cdot |adj\, A| = |A|^n \cdot |I_n|$
चूंकि $|I_n| = 1$,इसलिए:
$|A| \cdot |adj\, A| = |A|^n$
$|adj\, A| = |A|^{n-1}$
यहाँ आव्यूह $A$ का क्रम $3 \times 3$ है,इसलिए $n = 3$ है।
अतः,$|adj\, A| = |A|^{3-1} = |A|^2$ होगा।
अतः,सही उत्तर $C$ है।

(D) चूंकि $A$ एक व्युत्क्रमणीय आव्यूह है,$A^{-1}$ का अस्तित्व है और $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj}(A)$.
चूंकि आव्यूह $A$ कोटि $2$ का है,मान लीजिए $A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$.
तब,$|A| = ad - bc$ और $\text{adj}(A) = \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$.
अब,$A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj}(A) = \begin{bmatrix} \frac{d}{|A|} & \frac{-b}{|A|} \\ \frac{-c}{|A|} & \frac{a}{|A|} \end{bmatrix}$.
इसलिए,$\det(A^{-1}) = \begin{vmatrix} \frac{d}{|A|} & \frac{-b}{|A|} \\ \frac{-c}{|A|} & \frac{a}{|A|} \end{vmatrix}$.
$= \frac{1}{|A|^2} \begin{vmatrix} d & -b \\ -c & a \end{vmatrix}$.
$= \frac{1}{|A|^2} (ad - bc)$.
$= \frac{1}{|A|^2} \cdot |A| = \frac{1}{|A|}$.
इसलिए,$\det(A^{-1}) = \frac{1}{\det(A)}$.
अतः,सही उत्तर $D$ है.

(D) हम जानते हैं कि $(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$ होता है।
सबसे पहले,हम $B^{-1}$ की गणना करते हैं। हम जानते हैं कि $B^{-1} = \frac{1}{|B|} \text{adj}(B)$,जो तब अस्तित्व में होता है यदि $|B| \neq 0$ हो।
$|B|$ की गणना:
$|B| = \left|\begin{array}{ccc}1 & 2 & -2 \\ -1 & 3 & 0 \\ 0 & -2 & 1\end{array}\right| = 1(3-0) - 2(-1-0) - 2(2-0) = 3 + 2 - 4 = 1$.
चूंकि $|B| = 1 \neq 0$,इसलिए $B^{-1}$ का अस्तित्व है।
$\text{adj}(B)$ की गणना:
प्रत्येक अवयव के लिए सहखंड $A_{ij}$ की गणना करके सहखंडज आव्यूह प्राप्त किया जाता है।
$A_{11} = 3, A_{12} = 1, A_{13} = 2$
$A_{21} = 2, A_{22} = 1, A_{23} = 2$
$A_{31} = 6, A_{32} = 2, A_{33} = 5$
अतः,$\text{adj}(B) = \left[\begin{array}{ccc}3 & 2 & 6 \\ 1 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 5\end{array}\right]$.
चूंकि $|B| = 1$,इसलिए $B^{-1} = \text{adj}(B) = \left[\begin{array}{ccc}3 & 2 & 6 \\ 1 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 5\end{array}\right]$.
अब,$(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1} = \left[\begin{array}{ccc}3 & 2 & 6 \\ 1 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 5\end{array}\right] \left[\begin{array}{ccc}3 & -1 & 1 \\ -15 & 6 & -5 \\ 5 & -2 & 2\end{array}\right]$.
आव्यूह गुणन करने पर:
$(AB)^{-1} = \left[\begin{array}{ccc}9-30+30 & -3+12-12 & 3-10+12 \\ 3-15+10 & -1+6-4 & 1-5+4 \\ 6-30+25 & -2+12-10 & 2-10+10\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}9 & -3 & 5 \\ -2 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 2\end{array}\right]$.

(N/A) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 1 & -2 & 1 \\ -2 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 5 \end{bmatrix}$।
सबसे पहले,सारणिक $|A| = 1(15 - 1) + 2(-10 - 1) + 1(-2 - 3) = 14 - 22 - 5 = -13$ की गणना करें।
सहखंडों का आव्यूह इस प्रकार है:
$C_{11} = 14, C_{12} = 11, C_{13} = -5$
$C_{21} = 11, C_{22} = 4, C_{23} = -3$
$C_{31} = -5, C_{32} = -3, C_{33} = -1$
अतः,$adj A = \begin{bmatrix} 14 & 11 & -5 \\ 11 & 4 & -3 \\ -5 & -3 & -1 \end{bmatrix}$।
अब,$[adj A]^{-1} = \frac{1}{|adj A|} adj(adj A)$।
$|adj A| = 14(-4 - 9) - 11(-11 - 15) - 5(-33 + 20) = 14(-13) - 11(-26) - 5(-13) = -182 + 286 + 65 = 169$।
$adj A$ का सहखंडज (adjoint) $\begin{bmatrix} -13 & 26 & -13 \\ 26 & -39 & -13 \\ -13 & -13 & -65 \end{bmatrix}$ है।
इसलिए,$[adj A]^{-1} = \frac{1}{169} \begin{bmatrix} -13 & 26 & -13 \\ 26 & -39 & -13 \\ -13 & -13 & -65 \end{bmatrix} = \frac{1}{13} \begin{bmatrix} -1 & 2 & -1 \\ 2 & -3 & -1 \\ -1 & -1 & -5 \end{bmatrix}$।
आगे,$A^{-1} = \frac{1}{|A|} adj A = -\frac{1}{13} \begin{bmatrix} 14 & 11 & -5 \\ 11 & 4 & -3 \\ -5 & -3 & -1 \end{bmatrix} = \frac{1}{13} \begin{bmatrix} -14 & -11 & 5 \\ -11 & -4 & 3 \\ 5 & 3 & 1 \end{bmatrix}$।
$A^{-1}$ के सहखंड ज्ञात करने पर $adj(A^{-1}) = \frac{1}{13} \begin{bmatrix} -1 & 2 & -1 \\ 2 & -3 & -1 \\ -1 & -1 & -5 \end{bmatrix}$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,$[adj A]^{-1} = adj(A^{-1})$ सत्यापित होता है।

(N/A) दिया गया है $A=\left[\begin{array}{ccc}1 & -2 & 1 \\ -2 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 5\end{array}\right]$।
सबसे पहले,सारणिक $|A|$ की गणना करें:
$|A| = 1(15-1) - (-2)(-10-1) + 1(-2-3) = 1(14) + 2(-11) + 1(-5) = 14 - 22 - 5 = -13$.
इसके बाद,सहखंडज आव्यूह $C_{ij}$ ज्ञात करें:
$C_{11} = +(15-1) = 14, C_{12} = -( -10-1) = 11, C_{13} = +(-2-3) = -5$.
$C_{21} = -(-10-1) = 11, C_{22} = +(5-1) = 4, C_{23} = -(1+2) = -3$.
$C_{31} = +(-2-3) = -5, C_{32} = -(1+2) = -3, C_{33} = +(3-4) = -1$.
अतः,$adj(A) = \left[\begin{array}{ccc}14 & 11 & -5 \\ 11 & 4 & -3 \\ -5 & -3 & -1\end{array}\right]$.
$A^{-1} = \frac{1}{|A|} adj(A) = -\frac{1}{13} \left[\begin{array}{ccc}14 & 11 & -5 \\ 11 & 4 & -3 \\ -5 & -3 & -1\end{array}\right] = \frac{1}{13} \left[\begin{array}{ccc}-14 & -11 & 5 \\ -11 & -4 & 3 \\ 5 & 3 & 1\end{array}\right]$.
अब,$(A^{-1})^{-1}$ ज्ञात करने के लिए,हम $A^{-1}$ का सारणिक और सहखंडज ज्ञात करेंगे।
$|A^{-1}| = \frac{1}{|A|} = -\frac{1}{13}$.
$A^{-1}$ का सहखंडज $adj(A^{-1}) = \frac{1}{|A|^{n-1}} A = \frac{1}{(-13)^2} A = \frac{1}{169} \left[\begin{array}{ccc}1 & -2 & 1 \\ -2 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 5\end{array}\right]$.
अंत में,$(A^{-1})^{-1} = \frac{adj(A^{-1})}{|A^{-1}|} = \frac{\frac{1}{169} A}{-\frac{1}{13}} = -\frac{13}{169} A = -\frac{1}{13} A = A$.
इस प्रकार,$\left(A^{-1}\right)^{-1}=A$ सत्यापित होता है।

(A) दिया गया विकर्ण आव्यूह $A = \begin{bmatrix} x & 0 & 0 \\ 0 & y & 0 \\ 0 & 0 & z \end{bmatrix}$ है।
$A$ का सारणिक $|A| = x(yz - 0) - 0 + 0 = xyz$ है।
चूंकि $x, y, z \neq 0$,इसलिए $|A| = xyz \neq 0$,अतः $A^{-1}$ का अस्तित्व है।
एक विकर्ण आव्यूह $A = \text{diag}(x, y, z)$ का व्युत्क्रम $A^{-1} = \text{diag}(x^{-1}, y^{-1}, z^{-1})$ द्वारा दिया जाता है।
सहखंडज (adjugate) आव्यूह की गणना करने पर:
$adj(A) = \begin{bmatrix} yz & 0 & 0 \\ 0 & xz & 0 \\ 0 & 0 & xy \end{bmatrix}$।
अतः,$A^{-1} = \frac{1}{|A|} adj(A) = \frac{1}{xyz} \begin{bmatrix} yz & 0 & 0 \\ 0 & xz & 0 \\ 0 & 0 & xy \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{yz}{xyz} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{xz}{xyz} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{xy}{xyz} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{1}{x} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{y} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{z} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x^{-1} & 0 & 0 \\ 0 & y^{-1} & 0 \\ 0 & 0 & z^{-1} \end{bmatrix}$।

(A) प्रारंभिक पंक्ति संक्रियाओं का उपयोग करके व्युत्क्रम ज्ञात करने के लिए,हम $A=IA$ लिखते हैं।
$\left[\begin{array}{rr}1 & 2 \\ 2 & -1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right] A$
$R_{2} \rightarrow R_{2}-2 R_{1}$ लागू करने पर:
$\left[\begin{array}{rr}1 & 2 \\ 0 & -5\end{array}\right]=\left[\begin{array}{rr}1 & 0 \\ -2 & 1\end{array}\right] A$
$R_{2} \rightarrow -\frac{1}{5} R_{2}$ लागू करने पर:
$\left[\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 0 & 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1 & 0 \\ \frac{2}{5} & \frac{-1}{5}\end{array}\right] A$
$R_{1} \rightarrow R_{1}-2 R_{2}$ लागू करने पर:
$\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}\frac{1}{5} & \frac{2}{5} \\ \frac{2}{5} & \frac{-1}{5}\end{array}\right] A$
अतः,$A^{-1}=\left[\begin{array}{ll}\frac{1}{5} & \frac{2}{5} \\ \frac{2}{5} & \frac{-1}{5}\end{array}\right]$.

(A) आव्यूह $A$ का व्युत्क्रम प्रारंभिक पंक्ति संक्रियाओं का उपयोग करके ज्ञात करने के लिए,हम $A = IA$ लिखते हैं:
$\left[\begin{array}{lll}0 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right] A$
$R_1 \leftrightarrow R_2$ संक्रिया लागू करने पर:
$\left[\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 3 & 1 & 1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{lll}0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right] A$
$R_3 \to R_3 - 3R_1$ संक्रिया लागू करने पर:
$\left[\begin{array}{rrr}1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & -5 & -8\end{array}\right] = \left[\begin{array}{rrr}0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & -3 & 1\end{array}\right] A$
$R_1 \to R_1 - 2R_2$ संक्रिया लागू करने पर:
$\left[\begin{array}{rrr}1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & -5 & -8\end{array}\right] = \left[\begin{array}{rrr}-2 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & -3 & 1\end{array}\right] A$
$R_3 \to R_3 + 5R_2$ संक्रिया लागू करने पर:
$\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}-2 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 5 & -3 & 1\end{array}\right] A$
$R_3 \to \frac{1}{2}R_3$ संक्रिया लागू करने पर:
$\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}-2 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ \frac{5}{2} & \frac{-3}{2} & \frac{1}{2}\end{array}\right] A$
$R_1 \to R_1 + R_3$ और $R_2 \to R_2 - 2R_3$ संक्रिया लागू करने पर:
$\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}\frac{1}{2} & \frac{-1}{2} & \frac{1}{2} \\ -4 & 3 & -1 \\ \frac{5}{2} & \frac{-3}{2} & \frac{1}{2}\end{array}\right] A$
अतः,$A^{-1} = \left[\begin{array}{ccc}\frac{1}{2} & \frac{-1}{2} & \frac{1}{2} \\ -4 & 3 & -1 \\ \frac{5}{2} & \frac{-3}{2} & \frac{1}{2}\end{array}\right]$.

(C) आव्यूह $P$ का व्युत्क्रम ज्ञात करने के लिए,हम पहले इसके सारणिक $|P|$ की गणना करते हैं।
$|P| = (10 \times 1) - (-2 \times -5) = 10 - 10 = 0$.
चूंकि आव्यूह $P$ का सारणिक $0$ है,इसलिए यह आव्यूह अव्युत्क्रमणीय (singular) है।
एक आव्यूह का व्युत्क्रम तभी संभव है जब उसका सारणिक शून्य न हो।
अतः,$P^{-1}$ का अस्तित्व नहीं है।

(A) माना $A = \left[\begin{array}{cc}1 & -1 \\ 2 & 3\end{array}\right]$.
सबसे पहले,हम $A$ का सारणिक (determinant) ज्ञात करते हैं:
$|A| = (1)(3) - (-1)(2) = 3 + 2 = 5$.
चूंकि $|A| \neq 0$,इसलिए $A^{-1}$ का अस्तित्व है।
हम सूत्र $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj}(A)$ का उपयोग करते हैं।
सहखंडों (cofactors) का आव्यूह है:
$C_{11} = 3, C_{12} = -2, C_{21} = 1, C_{22} = 1$.
अतः,$\text{adj}(A) = \left[\begin{array}{cc}3 & 1 \\ -2 & 1\end{array}\right]$.
इसलिए,$A^{-1} = \frac{1}{5} \left[\begin{array}{cc}3 & 1 \\ -2 & 1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}\frac{3}{5} & \frac{1}{5} \\ -\frac{2}{5} & \frac{1}{5}\end{array}\right]$.