Adjoint and inverse of matrices Questions in Hindi

(D) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 1 & \cot \frac{\theta}{2} \\ -\cot \frac{\theta}{2} & 1 \end{bmatrix}$।
सबसे पहले,सारणिक $|A| = (1)(1) - (\cot \frac{\theta}{2})(-\cot \frac{\theta}{2}) = 1 + \cot^2 \frac{\theta}{2} = \csc^2 \frac{\theta}{2}$ की गणना करें।
$A$ का सहखंडज (adjoint) $\text{adj}(A) = \begin{bmatrix} 1 & -\cot \frac{\theta}{2} \\ \cot \frac{\theta}{2} & 1 \end{bmatrix} = A^T$ है।
अतः,$A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj}(A) = \frac{1}{\csc^2 \frac{\theta}{2}} A^T = \sin^2 \frac{\theta}{2} A^T$।
चूंकि $\sin^2 \frac{\theta}{2} = \frac{1-\cos \theta}{2}$,इसलिए सही विकल्प $D$ है।

(C) हम जानते हैं कि $A \cdot A^{-1} = I$,जहाँ $I$ कोटि $3 \times 3$ का तत्समक आव्यूह है।
दिया गया है $A = \frac{1}{11} \begin{bmatrix} -1 & 7 & -24 \\ 2 & a & 4 \\ 2 & -3 & 15 \end{bmatrix}$ और $A^{-1} = \begin{bmatrix} 3 & 3 & 4 \\ 2 & -3 & 4 \\ b & -1 & c \end{bmatrix}$।
अतः,$A \cdot A^{-1} = \frac{1}{11} \begin{bmatrix} -1 & 7 & -24 \\ 2 & a & 4 \\ 2 & -3 & 15 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 & 3 & 4 \\ 2 & -3 & 4 \\ b & -1 & c \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$।
आव्यूहों का गुणा करने पर:
पंक्ति $1 \times$ स्तंभ $1$: $\frac{1}{11} [(-1)(3) + (7)(2) + (-24)(b)] = 1 \implies -3 + 14 - 24b = 11 \implies 11 - 24b = 11 \implies b = 0$।
पंक्ति $2 \times$ स्तंभ $2$: $\frac{1}{11} [(2)(3) + (a)(-3) + (4)(-1)] = 1 \implies 6 - 3a - 4 = 11 \implies 2 - 3a = 11 \implies -3a = 9 \implies a = -3$।
पंक्ति $3 \times$ स्तंभ $3$: $\frac{1}{11} [(2)(4) + (-3)(4) + (15)(c)] = 1 \implies 8 - 12 + 15c = 11 \implies -4 + 15c = 11 \implies 15c = 15 \implies c = 1$।
अतः,$a = -3, b = 0, c = 1$ है।

(C) हम जानते हैं कि $(AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1}$ होता है।
दिया गया है कि $(AB)^{-1} = \frac{1}{6} \begin{bmatrix} -7 & -3 \\ 2 & 3 \end{bmatrix}$ और $A^{-1} = \frac{1}{3} \begin{bmatrix} 4 & 3 \\ -1 & 0 \end{bmatrix}$।
इन मानों को सूत्र में रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$B^{-1} A^{-1} = \frac{1}{6} \begin{bmatrix} -7 & -3 \\ 2 & 3 \end{bmatrix}$
$B^{-1} \left( \frac{1}{3} \begin{bmatrix} 4 & 3 \\ -1 & 0 \end{bmatrix} \right) = \frac{1}{6} \begin{bmatrix} -7 & -3 \\ 2 & 3 \end{bmatrix}$
$B^{-1} \begin{bmatrix} 4 & 3 \\ -1 & 0 \end{bmatrix} = \frac{3}{6} \begin{bmatrix} -7 & -3 \\ 2 & 3 \end{bmatrix} = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} -7 & -3 \\ 2 & 3 \end{bmatrix}$
मान लीजिए $M = \begin{bmatrix} 4 & 3 \\ -1 & 0 \end{bmatrix}$। तब $B^{-1} M = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} -7 & -3 \\ 2 & 3 \end{bmatrix}$।
$B^{-1} = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} -7 & -3 \\ 2 & 3 \end{bmatrix} M^{-1}$।
सबसे पहले,$M^{-1} = \frac{1}{|M|} \text{adj}(M)$ ज्ञात करें।
$|M| = (4)(0) - (3)(-1) = 0 + 3 = 3$।
$\text{adj}(M) = \begin{bmatrix} 0 & -3 \\ 1 & 4 \end{bmatrix}$।
$M^{-1} = \frac{1}{3} \begin{bmatrix} 0 & -3 \\ 1 & 4 \end{bmatrix}$।
अब,$B^{-1} = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} -7 & -3 \\ 2 & 3 \end{bmatrix} \left( \frac{1}{3} \begin{bmatrix} 0 & -3 \\ 1 & 4 \end{bmatrix} \right) = \frac{1}{6} \begin{bmatrix} (-7)(0) + (-3)(1) & (-7)(-3) + (-3)(4) \\ (2)(0) + (3)(1) & (2)(-3) + (3)(4) \end{bmatrix}$
$B^{-1} = \frac{1}{6} \begin{bmatrix} -3 & 21 - 12 \\ 3 & -6 + 12 \end{bmatrix} = \frac{1}{6} \begin{bmatrix} -3 & 9 \\ 3 & 6 \end{bmatrix} = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} -1 & 3 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}$।

(C) $A^{-1}$ ज्ञात करने के लिए,हम पहले सारणिक $|A|$ की गणना करते हैं।
$|A| = 3((-3)(1) - (4)(-1)) - (-3)((2)(1) - (4)(0)) + 4((2)(-1) - (-3)(0))$
$|A| = 3(-3 + 4) + 3(2) + 4(-2) = 3(1) + 6 - 8 = 3 + 6 - 8 = 1$.
चूंकि $|A| = 1 \neq 0$,इसलिए $A^{-1}$ का अस्तित्व है।
इसके बाद,हम सहखंडज आव्यूह $C_{ij}$ ज्ञात करते हैं।
$C_{11} = 1, C_{12} = -2, C_{13} = -2$.
$C_{21} = -1, C_{22} = 3, C_{23} = 3$.
$C_{31} = 0, C_{32} = -4, C_{33} = -3$.
अतः,$adj(A) = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 0 \\ -2 & 3 & -4 \\ -2 & 3 & -3 \end{bmatrix}$.
$A^2 = \begin{bmatrix} 3 & -4 & 4 \\ 0 & -1 & 0 \\ -2 & 2 & -3 \end{bmatrix}$ की गणना करने पर।
$A^3 = A^2 \cdot A = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 0 \\ -2 & 3 & -4 \\ -2 & 3 & -3 \end{bmatrix}$ की गणना करने पर।
चूंकि $A^{-1} = \frac{1}{|A|} adj(A) = adj(A)$,इसलिए $A^{-1} = A^3$ है।

(C) दिया गया समीकरण $(A-3I)(A-5I) = 0$ है।
व्यंजक का विस्तार करने पर,हमें $A^2 - 5A - 3A + 15I = 0$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $A^2 - 8A + 15I = 0$ हो जाता है।
चूंकि $A$ एक व्युत्क्रमणीय आव्यूह है,हम समीकरण के दोनों पक्षों को $A^{-1}$ से गुणा कर सकते हैं:
$A^{-1}(A^2 - 8A + 15I) = A^{-1}(0)$।
इससे $A - 8I + 15A^{-1} = 0$ प्राप्त होता है।
$15A^{-1}$ को अलग करने के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें $15A^{-1} = 8I - A$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों को $8$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{15}{8} A^{-1} = \frac{8I - A}{8} = I - \frac{1}{8} A$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया अभिलक्षणिक समीकरण $A^2 - 4A + 3I = 0$ है।
हमें $(A + 3I)^{-1}$ ज्ञात करना है।
माना $(A + 3I)^{-1} = xA + yI$ है।
अतः $(A + 3I)(xA + yI) = I$ होगा।
$xA^2 + yA + 3xA + 3yI = I$
$xA^2 + (y + 3x)A + 3yI = I$
$A^2 = 4A - 3I$ प्रतिस्थापित करने पर:
$x(4A - 3I) + (y + 3x)A + 3yI = I$
$(7x + y)A + (3y - 3x)I = I$
गुणांकों की तुलना करने पर:
$7x + y = 0 \implies y = -7x$
$3y - 3x = 1$
$y = -7x$ को दूसरे समीकरण में रखने पर:
$3(-7x) - 3x = 1 \implies -24x = 1 \implies x = -\frac{1}{24}$
अतः $y = \frac{7}{24}$
इस प्रकार,$(A + 3I)^{-1} = -\frac{1}{24}A + \frac{7}{24}I = \frac{7I}{24} - \frac{A}{24}$
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(D) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 3 & -1 \\ -4 & 2 \end{bmatrix}$।
एक $2 \times 2$ आव्यूह $A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ के लिए,व्युत्क्रम $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $|A| = ad - bc$ है।
सबसे पहले,सारणिक $|A| = (3)(2) - (-1)(-4) = 6 - 4 = 2$ की गणना करें।
चूंकि $|A| \neq 0$,इसलिए व्युत्क्रम का अस्तित्व है।
अब,सहखंडज आव्यूह (adjoint matrix) ज्ञात करें: $\text{adj}(A) = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 3 \end{bmatrix}$।
अतः,$A^{-1} = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{2}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{4}{2} & \frac{3}{2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & \frac{1}{2} \\ 2 & \frac{3}{2} \end{bmatrix}$।

(B) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 2 & -2 \\ 4 & 3 \end{bmatrix}$.
सबसे पहले,हम $A$ का सारणिक ज्ञात करते हैं:
$|A| = (2)(3) - (-2)(4) = 6 + 8 = 14$.
चूंकि $|A| \neq 0$,इसलिए $A^{-1}$ का अस्तित्व है।
$A$ का सहखंडज (Adjoint) विकर्ण तत्वों को आपस में बदलकर और अन्य तत्वों के चिह्न बदलकर प्राप्त किया जाता है:
$\text{Adj } A = \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ -4 & 2 \end{bmatrix}$.
सूत्र $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{Adj } A$ का उपयोग करने पर:
$A^{-1} = \frac{1}{14} \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ -4 & 2 \end{bmatrix}$.

(A) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ -5 & 1 \end{bmatrix}$.
सबसे पहले,सारणिक $|A| = (1)(1) - (2)(-5) = 1 + 10 = 11$ की गणना करें।
चूँकि $|A| \neq 0$,$A^{-1}$ का अस्तित्व है।
व्युत्क्रम आव्यूह $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj}(A) = \frac{1}{11} \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 5 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{1}{11} & \frac{-2}{11} \\ \frac{5}{11} & \frac{1}{11} \end{bmatrix}$ है।
हमें $A^{-1} = xA + yI_2$ दिया गया है।
आव्यूहों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\begin{bmatrix} \frac{1}{11} & \frac{-2}{11} \\ \frac{5}{11} & \frac{1}{11} \end{bmatrix} = x \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ -5 & 1 \end{bmatrix} + y \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x+y & 2x \\ -5x & x+y \end{bmatrix}$।
संगत अवयवों की तुलना करने पर:
$2x = \frac{-2}{11} \implies x = \frac{-1}{11}$।
$x + y = \frac{1}{11} \implies \frac{-1}{11} + y = \frac{1}{11} \implies y = \frac{2}{11}$।
अतः,$x = \frac{-1}{11}$ और $y = \frac{2}{11}$ है।

(B) दिया गया है कि $B = A^{-1}$,इसलिए $BA = I$.
$\begin{bmatrix} -2 & 0 & b \\ 7 & -1 & -2 \\ c & 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & a & 3 \\ 3 & 2 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$
बाएँ पक्ष के आव्यूहों का गुणा करने पर:
पंक्ति $1$,स्तंभ $1$: $(-2)(1) + (0)(1) + (b)(3) = -2 + 3b = 1 \Rightarrow 3b = 3 \Rightarrow b = 1$.
पंक्ति $2$,स्तंभ $2$: $(7)(1) + (-1)(a) + (-2)(2) = 7 - a - 4 = 3 - a = 1 \Rightarrow a = 2$.
पंक्ति $3$,स्तंभ $3$: $(c)(1) + (1)(3) + (1)(2) = c + 3 + 2 = c + 5 = 1 \Rightarrow c = -4$.
अब,$4a + 2b - c$ का मान ज्ञात कीजिए:
$4(2) + 2(1) - (-4) = 8 + 2 + 4 = 14$.

(A) माना $A = \left[\begin{array}{cc}0.8 & -0.6 \\ 0.6 & 0.8\end{array}\right]$ है।
$A$ का सारणिक $|A| = (0.8)(0.8) - (-0.6)(0.6) = 0.64 + 0.36 = 1$ है।
चूंकि $|A| \neq 0$,इसलिए $A^{-1}$ का अस्तित्व है।
$2 \times 2$ आव्यूह $A = \left[\begin{array}{cc}a & b \\ c & d\end{array}\right]$ के लिए,व्युत्क्रम $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \left[\begin{array}{cc}d & -b \\ -c & a\end{array}\right]$ सूत्र का उपयोग करने पर:
$A^{-1} = \frac{1}{1} \left[\begin{array}{cc}0.8 & 0.6 \\ -0.6 & 0.8\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}0.8 & 0.6 \\ -0.6 & 0.8\end{array}\right]$।

(B) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 7 & 4 \end{bmatrix}$.
सबसे पहले,$A^2 = A \times A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 7 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 7 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4+7 & 2+4 \\ 14+28 & 7+16 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 11 & 6 \\ 42 & 23 \end{bmatrix}$.
इसके बाद,$5A = 5 \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 7 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 10 & 5 \\ 35 & 20 \end{bmatrix}$.
अतः,$A^2 - 5A = \begin{bmatrix} 11 & 6 \\ 42 & 23 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 10 & 5 \\ 35 & 20 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 7 & 3 \end{bmatrix}$.
मान लीजिए $B = A^2 - 5A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 7 & 3 \end{bmatrix}$.
सारणिक $|B| = (1)(3) - (1)(7) = 3 - 7 = -4$.
व्युत्क्रम आव्यूह $B^{-1} = \frac{1}{|B|} \text{adj}(B) = \frac{1}{-4} \begin{bmatrix} 3 & -1 \\ -7 & 1 \end{bmatrix} = \frac{1}{4} \begin{bmatrix} -3 & 1 \\ 7 & -1 \end{bmatrix}$.

(B) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 4 \end{bmatrix}$। सारणिक $|A| = (1)(4) - (2)(-1) = 4 + 2 = 6 \neq 0$।
चूँकि $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj}(A)$,इसलिए $A^{-1} = \frac{1}{6} \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{2}{3} & -\frac{1}{3} \\ \frac{1}{6} & \frac{1}{6} \end{bmatrix}$।
दिया गया है $A^{-1} = \alpha I + \beta A$,अतः:
$\begin{bmatrix} \frac{2}{3} & -\frac{1}{3} \\ \frac{1}{6} & \frac{1}{6} \end{bmatrix} = \alpha \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} + \beta \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \alpha + \beta & 2\beta \\ -\beta & \alpha + 4\beta \end{bmatrix}$।
अवयवों की तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$-\beta = \frac{1}{6} \implies \beta = -\frac{1}{6}$।
$\alpha + \beta = \frac{2}{3} \implies \alpha - \frac{1}{6} = \frac{2}{3} \implies \alpha = \frac{2}{3} + \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$।
अतः,$4(\alpha - \beta) = 4(\frac{5}{6} - (-\frac{1}{6})) = 4(\frac{6}{6}) = 4(1) = 4$।

(A) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 3 \end{bmatrix}$।
सबसे पहले,$A^2 = A \times A = \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4+1 & -2-3 \\ -2-3 & 1+9 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & -5 \\ -5 & 10 \end{bmatrix}$ की गणना करें।
अब,$2A^2 + 5A = 2 \begin{bmatrix} 5 & -5 \\ -5 & 10 \end{bmatrix} + 5 \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 10 & -10 \\ -10 & 20 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 10 & -5 \\ -5 & 15 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 20 & -15 \\ -15 & 35 \end{bmatrix}$।
मान लीजिए $M = 2A^2 + 5A = \begin{bmatrix} 20 & -15 \\ -15 & 35 \end{bmatrix}$।
सारणिक $|M| = (20)(35) - (-15)(-15) = 700 - 225 = 475$।
व्युत्क्रम $M^{-1} = \frac{1}{|M|} \text{adj}(M) = \frac{1}{475} \begin{bmatrix} 35 & 15 \\ 15 & 20 \end{bmatrix}$।
$5$ से विभाजित करने पर,हमें $M^{-1} = \frac{1}{95} \begin{bmatrix} 7 & 3 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} i & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$.
$A^2 = \begin{bmatrix} i & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} i & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} i^2+1 & i \\ i & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & i \\ i & 1 \end{bmatrix}$.
$A^3 = A^2 \times A = \begin{bmatrix} 0 & i \\ i & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} i & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} i & 0 \\ 0 & i \end{bmatrix} = iI$.
अतः $A^6 = (A^3)^2 = (iI)^2 = i^2 I = -I$.
अब,$B = A^{2029} = A^{6 \times 338 + 1} = (A^6)^{338} \times A = (-I)^{338} \times A = I \times A = A$.
चूँकि $B = A$,हमें $B^{-1} = A^{-1}$ ज्ञात करना है।
$|A| = (i)(0) - (1)(1) = -1$.
$A^{-1} = \frac{1}{|A|} \operatorname{adj} A = \frac{1}{-1} \operatorname{adj} A = -\operatorname{adj} A$.
अतः,$B^{-1} = -\operatorname{adj} A$.

(B) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ -5 & 1 \end{bmatrix}$.
सबसे पहले,हम सारणिक $|A| = (1)(1) - (2)(-5) = 1 + 10 = 11$ ज्ञात करते हैं।
इसके बाद,व्युत्क्रम आव्यूह $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj}(A) = \frac{1}{11} \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 5 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{1}{11} & \frac{-2}{11} \\ \frac{5}{11} & \frac{1}{11} \end{bmatrix}$ ज्ञात करते हैं।
समीकरण $A^{-1} = xA + yI$ के अनुसार:
$\begin{bmatrix} \frac{1}{11} & \frac{-2}{11} \\ \frac{5}{11} & \frac{1}{11} \end{bmatrix} = x \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ -5 & 1 \end{bmatrix} + y \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x+y & 2x \\ -5x & x+y \end{bmatrix}$.
अवयवों की तुलना करने पर,$2x = \frac{-2}{11} \Rightarrow x = \frac{-1}{11}$ प्राप्त होता है।
साथ ही,$x+y = \frac{1}{11} \Rightarrow \frac{-1}{11} + y = \frac{1}{11} \Rightarrow y = \frac{2}{11}$।
अंत में,$2x + 3y = 2(\frac{-1}{11}) + 3(\frac{2}{11}) = \frac{-2}{11} + \frac{6}{11} = \frac{4}{11}$।

(B) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 1 & \tan x \\ -\tan x & 1 \end{bmatrix}$.
सारणिक $|A| = (1)(1) - (\tan x)(-\tan x) = 1 + \tan^2 x = \sec^2 x$.
परिवर्त आव्यूह $A^T = \begin{bmatrix} 1 & -\tan x \\ \tan x & 1 \end{bmatrix}$.
व्युत्क्रम आव्यूह $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj}(A) = \frac{1}{1 + \tan^2 x} \begin{bmatrix} 1 & -\tan x \\ \tan x & 1 \end{bmatrix}$.
अब,$A^T \cdot A^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & -\tan x \\ \tan x & 1 \end{bmatrix} \cdot \frac{1}{1 + \tan^2 x} \begin{bmatrix} 1 & -\tan x \\ \tan x & 1 \end{bmatrix}$
$= \frac{1}{1 + \tan^2 x} \begin{bmatrix} 1 - \tan^2 x & -\tan x - \tan x \\ \tan x + \tan x & -\tan^2 x + 1 \end{bmatrix}$
$= \frac{1}{1 + \tan^2 x} \begin{bmatrix} 1 - \tan^2 x & -2 \tan x \\ 2 \tan x & 1 - \tan^2 x \end{bmatrix}$
$= \begin{bmatrix} \frac{1 - \tan^2 x}{1 + \tan^2 x} & \frac{-2 \tan x}{1 + \tan^2 x} \\ \frac{2 \tan x}{1 + \tan^2 x} & \frac{1 - \tan^2 x}{1 + \tan^2 x} \end{bmatrix}$
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं $\cos 2x = \frac{1 - \tan^2 x}{1 + \tan^2 x}$ और $\sin 2x = \frac{2 \tan x}{1 + \tan^2 x}$ का उपयोग करने पर:
$A^T \cdot A^{-1} = \begin{bmatrix} \cos 2x & -\sin 2x \\ \sin 2x & \cos 2x \end{bmatrix}$.

(B) सबसे पहले,आव्यूह $A$ और $B$ का योग ज्ञात करें:
$A+B = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 2 & -1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 4 & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 6 & -2 \end{bmatrix}$
अब,$(A+B)$ का सारणिक ज्ञात करें:
$|A+B| = (2)(-2) - (0)(6) = -4 - 0 = -4$
चूंकि $|A+B| \neq 0$,इसलिए व्युत्क्रम आव्यूह का अस्तित्व है।
यदि $M = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ है,तो $M^{-1} = \frac{1}{|M|} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$ होता है।
इस सूत्र का उपयोग करने पर:
$(A+B)^{-1} = \frac{1}{-4} \begin{bmatrix} -2 & 0 \\ -6 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{-2}{-4} & \frac{0}{-4} \\ \frac{-6}{-4} & \frac{2}{-4} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{1}{2} & 0 \\ \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \end{bmatrix}$

(B) माना $A = \begin{bmatrix} 3 & 2 & 6 \\ 1 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 5 \end{bmatrix}$ है। आव्यूह $A$ का व्युत्क्रम $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj}(A)$ द्वारा दिया जाता है।
सबसे पहले,हम सारणिक $|A|$ की गणना करते हैं:
$|A| = 3(1 \times 5 - 2 \times 2) - 2(1 \times 5 - 2 \times 2) + 6(1 \times 2 - 1 \times 2)$
$|A| = 3(5 - 4) - 2(5 - 4) + 6(2 - 2) = 3(1) - 2(1) + 6(0) = 3 - 2 = 1$.
$A^{-1}$ की तीसरी पंक्ति और दूसरे स्तंभ का अवयव $(A^{-1})_{32} = \frac{C_{23}}{|A|}$ है,जहाँ $C_{23}$ आव्यूह $A$ की दूसरी पंक्ति और तीसरे स्तंभ के अवयव का सहखंड है।
सहखंड $C_{23} = (-1)^{2+3} \times M_{23}$,जहाँ $M_{23}$ स्थान $(2,3)$ पर अवयव का उपसारणिक है।
$M_{23} = \det \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 2 & 2 \end{bmatrix} = (3 \times 2) - (2 \times 2) = 6 - 4 = 2$.
अतः,$C_{23} = (-1)^5 \times 2 = -2$.
इसलिए,$(A^{-1})_{32} = \frac{-2}{1} = -2$.

(C) एक आव्यूह $A$ के विषम-सममित (skew-symmetric) होने के लिए,इसे $A^T = -A$ को संतुष्ट करना चाहिए।
दिया गया आव्यूह $A = \begin{bmatrix} 0 & 1+2i & i-2 \\ -1-2i & 0 & K \\ 2-i & -7 & 0 \end{bmatrix}$ है।
अवयवों $A_{ij} = -A_{ji}$ की तुलना करने पर,हम पाते हैं:
$A_{12} = 1+2i$ और $A_{21} = -1-2i = -(1+2i)$,जो संगत है।
$A_{13} = i-2$ और $A_{31} = 2-i = -(i-2)$,जो संगत है।
$A_{23} = K$ और $A_{32} = -7$ है।
विषम-सममितता के लिए,$A_{23} = -A_{32}$ होना चाहिए,इसलिए $K = -(-7) = 7$।
हालाँकि,प्रश्न में कहा गया है कि $A^{-1}$ का अस्तित्व नहीं है,जिसका अर्थ है कि $\det(A) = 0$।
विषम कोटि $(3 \times 3)$ के विषम-सममित आव्यूह के लिए,सारणिक हमेशा $0$ होता है।
अतः,$A^{-1}$ का अस्तित्व नहीं है,यह शर्त किसी भी $K$ के लिए संतुष्ट होती है जो आव्यूह को विषम-सममित बनाता है।
इसलिए,$K = 7$।

(D) सबसे पहले,सारणिक $|A|$ की गणना करें:
$|A| = 1(3 \times 3 - 4 \times 4) - 2(1 \times 3 - 4 \times 3) + 3(1 \times 4 - 3 \times 3)$
$|A| = 1(9 - 16) - 2(3 - 12) + 3(4 - 9)$
$|A| = 1(-7) - 2(-9) + 3(-5) = -7 + 18 - 15 = -4$.
इसके बाद,सहखंडज आव्यूह $C_{ij}$ ज्ञात करें:
$C_{11} = +(9-16) = -7, C_{12} = -(3-12) = 9, C_{13} = +(4-9) = -5$
$C_{21} = -(6-12) = 6, C_{22} = +(3-9) = -6, C_{23} = -(4-6) = 2$
$C_{31} = +(8-9) = -1, C_{32} = -(4-3) = -1, C_{33} = +(3-2) = 1$
अतः,$\text{adj}(A) = \begin{bmatrix} -7 & 6 & -1 \\ 9 & -6 & -1 \\ -5 & 2 & 1 \end{bmatrix}$।
अंत में,$A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj}(A) = \frac{1}{-4} \begin{bmatrix} -7 & 6 & -1 \\ 9 & -6 & -1 \\ -5 & 2 & 1 \end{bmatrix} = -\frac{1}{4} \begin{bmatrix} -7 & 6 & -1 \\ 9 & -6 & -1 \\ -5 & 2 & 1 \end{bmatrix}$।

(A) हम जानते हैं कि $A \times A^{-1} = I$,जहाँ $I$ एक तत्समक आव्यूह है।
सारणिक $|A|$ की गणना करने पर:
$|A| = 1(7 - 20) - a(7 - 10) + 3(4 - 2) = -13 + 3a + 6 = 3a - 7$.
गुणधर्म $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj}(A)$ का उपयोग करते हुए,$A^{-1}$ के $(2, 1)$ स्थान पर स्थित अवयव $-3$ है।
$A$ का सहखंड $C_{12} = -(1 \times 7 - 5 \times 2) = -(7 - 10) = 3$.
चूंकि $(A^{-1})_{21} = \frac{C_{12}}{|A|}$,इसलिए $-3 = \frac{3}{3a - 7}$.
$-3(3a - 7) = 3 \Rightarrow -9a + 21 = 3 \Rightarrow 9a = 18 \Rightarrow a = 2$.
अब,$b$ के लिए,जो $A^{-1}$ के $(2, 2)$ स्थान पर स्थित अवयव है:
$(A^{-1})_{22} = \frac{C_{22}}{|A|}$.
सहखंड $C_{22} = (1 \times 7 - 3 \times 2) = 7 - 6 = 1$.
$b = \frac{1}{3(2) - 7} = \frac{1}{6 - 7} = -1$.
अतः,$a = 2$ और $b = -1$.

(A) चरण $1$: गुणनफल $AB$ ज्ञात करें।
$AB = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 3 & 1 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 2 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (1)(2) + (2)(1) + (1)(1) & (1)(3) + (2)(2) + (1)(2) \\ (3)(2) + (1)(1) + (3)(1) & (3)(3) + (1)(2) + (3)(2) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & 9 \\ 10 & 17 \end{bmatrix}$.
चरण $2$: $AB$ का सारणिक ज्ञात करें।
$|AB| = (5)(17) - (9)(10) = 85 - 90 = -5$.
चरण $3$: व्युत्क्रम $(AB)^{-1} = \frac{1}{|AB|} \text{adj}(AB)$ ज्ञात करें।
$(AB)^{-1} = \frac{1}{-5} \begin{bmatrix} 17 & -9 \\ -10 & 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{-17}{5} & \frac{9}{5} \\ 2 & -1 \end{bmatrix}$.

(C) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$.
सबसे पहले,हम $A^2 = \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 9 & 8 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ की गणना करते हैं।
फिर,$A^3 = A^2 \cdot A = \begin{bmatrix} 9 & 8 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 27 & 26 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$।
हम जानते हैं कि $(A^{-1})^3 = (A^3)^{-1}$।
एक आव्यूह $M = \begin{bmatrix} a & b \\ 0 & d \end{bmatrix}$ के लिए,$M^{-1} = \frac{1}{ad} \begin{bmatrix} d & -b \\ 0 & a \end{bmatrix}$ होता है।
यहाँ,$A^3 = \begin{bmatrix} 27 & 26 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ है,इसलिए $a=27, b=26, d=1$।
$(A^3)^{-1} = \frac{1}{27 \times 1} \begin{bmatrix} 1 & -26 \\ 0 & 27 \end{bmatrix} = \frac{1}{27} \begin{bmatrix} 1 & -26 \\ 0 & 27 \end{bmatrix}$।

(C) दिया गया समीकरण $A^2 - 4A + 3I = 0$ है।
दोनों पक्षों से $3I$ घटाने पर: $A^2 - 4A = -3I$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों को $A^{-1}$ से गुणा करने पर: $A^{-1}(A^2 - 4A) = A^{-1}(-3I)$।
यह सरल होकर $A - 4I = -3A^{-1}$ हो जाता है।
अतः,$A^{-1} = -\frac{1}{3}(A - 4I) = \frac{1}{3}(4I - A)$।
$A = \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}$ और $I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ का मान रखने पर:
$A^{-1} = \frac{1}{3} \left( \begin{bmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 4 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix} \right) = \frac{1}{3} \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}$।

(C) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 2 & -3 \\ 5 & -7 \end{bmatrix}$।
सबसे पहले,सारणिक $|A| = (2)(-7) - (-3)(5) = -14 + 15 = 1$ ज्ञात करें।
$2 \times 2$ आव्यूह $A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ का व्युत्क्रम $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$ होता है।
अतः,$A^{-1} = \frac{1}{1} \begin{bmatrix} -7 & 3 \\ -5 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -7 & 3 \\ -5 & 2 \end{bmatrix}$।
अब,$A - A^{-1} = \begin{bmatrix} 2 & -3 \\ 5 & -7 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} -7 & 3 \\ -5 & 2 \end{bmatrix}$ की गणना करें।
$A - A^{-1} = \begin{bmatrix} 2 - (-7) & -3 - 3 \\ 5 - (-5) & -7 - 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 9 & -6 \\ 10 & -9 \end{bmatrix}$।
$3$ कॉमन लेने पर,हमें $3 \begin{bmatrix} 3 & -2 \\ \frac{10}{3} & -3 \end{bmatrix}$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{bmatrix}$। सारणिक $|A| = (1)(5) - (2)(3) = 5 - 6 = -1$।
चूँकि $|A| \neq 0$,इसलिए $A^{-1}$ का अस्तित्व है।
$A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj}(A) = \frac{1}{-1} \begin{bmatrix} 5 & -2 \\ -3 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -5 & 2 \\ 3 & -1 \end{bmatrix}$।
समीकरण $A^{-1} = \alpha I + \beta A$ से:
$\begin{bmatrix} -5 & 2 \\ 3 & -1 \end{bmatrix} = \alpha \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} + \beta \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \alpha + \beta & 2\beta \\ 3\beta & \alpha + 5\beta \end{bmatrix}$।
तत्वों की तुलना करने पर:
$2\beta = 2 \Rightarrow \beta = 1$।
$\alpha + \beta = -5 \Rightarrow \alpha + 1 = -5 \Rightarrow \alpha = -6$।
जाँच: $3\beta = 3(1) = 3$ (सही) और $\alpha + 5\beta = -6 + 5(1) = -1$ (सही)।
अतः,$\alpha + \beta + \alpha\beta = -6 + 1 + (-6)(1) = -5 - 6 = -11$।

(B) दिया गया है $(BA)^{-1} = C$।
व्युत्क्रम आव्यूह के गुणधर्म $(BA)^{-1} = A^{-1}B^{-1}$ का उपयोग करने पर,हमें $A^{-1}B^{-1} = C$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों को दाईं ओर $B$ से गुणा करने पर,$A^{-1}B^{-1}B = CB$ प्राप्त होता है।
चूँकि $B^{-1}B = I$,इसलिए $A^{-1} = CB$ होगा।
अब,$CB$ का गुणनफल ज्ञात करते हैं:
$A^{-1} = \begin{bmatrix} -1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 3 \\ 2 & 0 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 6 & 4 \\ 1 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & -1 \end{bmatrix}$
$A^{-1} = \begin{bmatrix} -3 & -5 & -5 \\ 0 & 9 & 2 \\ 2 & 14 & 6 \end{bmatrix}$

(A) एक आव्यूह $A$ का व्युत्क्रम अस्तित्व में नहीं होता है यदि उसका सारणिक (determinant) शून्य हो,अर्थात $|A| = 0$।
दिया गया आव्यूह $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & x \\ 4 & -1 & 7 \\ 2 & 4 & -6 \end{bmatrix}$ है।
सारणिक को शून्य के बराबर रखने पर:
$|A| = 1((-1)(-6) - (7)(4)) - 2((4)(-6) - (7)(2)) + x((4)(4) - (-1)(2)) = 0$
$|A| = 1(6 - 28) - 2(-24 - 14) + x(16 + 2) = 0$
$|A| = 1(-22) - 2(-38) + x(18) = 0$
$-22 + 76 + 18x = 0$
$54 + 18x = 0$
$18x = -54$
$x = -3$.

(C) हम जानते हैं कि किसी भी व्युत्क्रमणीय आव्यूह $A$ और $B$ के लिए,गुणधर्म $(AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1}$ सत्य है।
दिया गया है $A^{-1} = \begin{bmatrix} 2 & -3 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}$ और $B^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ -3 & 1 \end{bmatrix}$।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$(AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ -3 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & -3 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}$
आव्यूह गुणन करने पर:
$= \begin{bmatrix} (1)(2) + (0)(-1) & (1)(-3) + (0)(2) \\ (-3)(2) + (1)(-1) & (-3)(-3) + (1)(2) \end{bmatrix}$
$= \begin{bmatrix} 2 + 0 & -3 + 0 \\ -6 - 1 & 9 + 2 \end{bmatrix}$
$= \begin{bmatrix} 2 & -3 \\ -7 & 11 \end{bmatrix}$

(A) दिया गया है $F(\alpha) = \begin{bmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha & 0 \\ \sin \alpha & \cos \alpha & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$.
सबसे पहले,हम सारणिक $|F(\alpha)|$ ज्ञात करते हैं:
$|F(\alpha)| = \cos \alpha(\cos \alpha - 0) - (-\sin \alpha)(\sin \alpha - 0) + 0 = \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1$.
चूंकि $|F(\alpha)| = 1 \neq 0$,इसलिए व्युत्क्रम (inverse) का अस्तित्व है।
व्युत्क्रम का सूत्र $[F(\alpha)]^{-1} = \frac{1}{|F(\alpha)|} \text{adj}(F(\alpha))$ है।
सहखंडज (adjoint) सहखंड आव्यूह का परिवर्त (transpose) होता है:
$\text{adj}(F(\alpha)) = \begin{bmatrix} \cos \alpha & \sin \alpha & 0 \\ -\sin \alpha & \cos \alpha & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$.
हम जानते हैं कि $\cos(-\alpha) = \cos \alpha$ और $\sin(-\alpha) = -\sin \alpha$.
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\text{adj}(F(\alpha)) = \begin{bmatrix} \cos(-\alpha) & -\sin(-\alpha) & 0 \\ \sin(-\alpha) & \cos(-\alpha) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = F(-\alpha)$ प्राप्त होता है।
अतः,$[F(\alpha)]^{-1} = F(-\alpha)$.

(D) दिया गया है $A^{-1} = \frac{-1}{2} \begin{bmatrix} 5 & 8 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}$.
यदि हम $A = \begin{bmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$ लेते हैं,तो $2A + I_2 = 2 \begin{bmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 & 8 \\ 2 & 2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & 8 \\ 2 & 3 \end{bmatrix}$.
अतः,विकल्प $D$ सही उत्तर है।

(D) हम जानते हैं कि $AA^{-1} = I$ होता है।
दिए गए आव्यूहों का गुणा करने पर:
$\begin{bmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \\ 3 & a & 1 \end{bmatrix} \times \frac{1}{2} \begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 \\ -8 & 6 & 2c \\ 5 & -3 & 1 \end{bmatrix} = I$
$\frac{1}{2} \begin{bmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \\ 3 & a & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 \\ -8 & 6 & 2c \\ 5 & -3 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$
पहली पंक्ति और तीसरे स्तंभ का गुणा करने पर:
$0(1) + 1(2c) + 2(1) = 0 \implies 2c + 2 = 0 \implies 2c = -2 \implies c = -1$.
तीसरी पंक्ति और पहले स्तंभ का गुणा करने पर:
$3(1) + a(-8) + 1(5) = 0 \implies 3 - 8a + 5 = 0 \implies 8 - 8a = 0 \implies 8a = 8 \implies a = 1$.
अतः,$a = 1$ और $c = -1$ प्राप्त होता है।

(B) $A^{-1}$ ज्ञात करने के लिए,हम सूत्र $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj}(A)$ का उपयोग करते हैं।
सबसे पहले,सारणिक $|A|$ की गणना करें:
$|A| = 0(2-3) - 1(1-9) + 2(1-6) = 0 - 1(-8) + 2(-5) = 8 - 10 = -2$.
इसके बाद,सहखंडज आव्यूह $C_{ij}$ ज्ञात करें:
$C_{11} = +(2-3) = -1, C_{12} = -(1-9) = 8, C_{13} = +(1-6) = -5$
$C_{21} = -(1-2) = 1, C_{22} = +(0-6) = -6, C_{23} = -(0-3) = 3$
$C_{31} = +(3-4) = -1, C_{32} = -(0-2) = 2, C_{33} = +(0-1) = -1$
अतः,$\text{adj}(A) = \begin{bmatrix} -1 & 1 & -1 \\ 8 & -6 & 2 \\ -5 & 3 & -1 \end{bmatrix}^T = \begin{bmatrix} -1 & 8 & -5 \\ 1 & -6 & 3 \\ -1 & 2 & -1 \end{bmatrix}$.
अंत में,$A^{-1} = \frac{1}{-2} \begin{bmatrix} -1 & 8 & -5 \\ 1 & -6 & 3 \\ -1 & 2 & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1/2 & -1/2 & 1/2 \\ -4 & 3 & -1 \\ 5/2 & -3/2 & 1/2 \end{bmatrix}$.
यह विकल्प $B$ के साथ मेल खाता है।

(B) एक आव्यूह $A$ का व्युत्क्रम $A^{-1}$ तब अस्तित्व में नहीं होता है यदि और केवल यदि आव्यूह का सारणिक शून्य हो,अर्थात $|A| = 0$।
दिया गया है $A = \begin{bmatrix} k & 2 \\ -2 & -k \end{bmatrix}$।
सारणिक $|A|$ की गणना इस प्रकार की जाती है:
$|A| = (k)(-k) - (2)(-2)$
$|A| = -k^2 + 4$
$A^{-1}$ के अस्तित्वहीन होने के लिए,हम $|A| = 0$ रखते हैं:
$-k^2 + 4 = 0$
$k^2 = 4$
$k = \pm 2$
अतः,$A^{-1}$ का अस्तित्व तब नहीं होता है जब $k = \pm 2$ हो।

(B) दिया गया आव्यूह $A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 1 \end{bmatrix}$ है।
सबसे पहले,हम $A$ का सारणिक $(|A|)$ ज्ञात करते हैं:
$|A| = 1(2 - 6) - 0(0 - 3) + 1(0 - 2)$
$|A| = 1(-4) - 0 + 1(-2)$
$|A| = -4 - 2 = -6$.
हम जानते हैं कि सारणिक का गुणधर्म $|A^{-1}| = \frac{1}{|A|}$ होता है।
अतः,$|A^{-1}| = \frac{1}{-6} = -\frac{1}{6}$.

(C) सबसे पहले,गुणनफल $AB$ की गणना करें:
$AB = \left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & 1 \\ -1 & 1 & 3\end{array}\right] \left[\begin{array}{cc}1 & 2 \\ -3 & 1 \\ 0 & 2\end{array}\right]$
$AB = \left[\begin{array}{cc} (1)(1) + (2)(-3) + (1)(0) & (1)(2) + (2)(1) + (1)(2) \\ (-1)(1) + (1)(-3) + (3)(0) & (-1)(2) + (1)(1) + (3)(2) \end{array}\right]$
$AB = \left[\begin{array}{cc} 1 - 6 + 0 & 2 + 2 + 2 \\ -1 - 3 + 0 & -2 + 1 + 6 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc} -5 & 6 \\ -4 & 5 \end{array}\right]$
अब,आव्यूह $M = \left[\begin{array}{cc} -5 & 6 \\ -4 & 5 \end{array}\right]$ का व्युत्क्रम ज्ञात करें।
सारणिक $|M| = (-5)(5) - (6)(-4) = -25 + 24 = -1$.
व्युत्क्रम $M^{-1} = \frac{1}{|M|} \text{adj}(M)$ द्वारा दिया जाता है।
एक $2 \times 2$ आव्यूह $\left[\begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array}\right]$ के लिए,सहखंडज (adjoint) $\left[\begin{array}{cc} d & -b \\ -c & a \end{array}\right]$ होता है।
अतः,$\text{adj}(M) = \left[\begin{array}{cc} 5 & -6 \\ 4 & -5 \end{array}\right]$.
$(AB)^{-1} = \frac{1}{-1} \left[\begin{array}{cc} 5 & -6 \\ 4 & -5 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc} -5 & 6 \\ -4 & 5 \end{array}\right]$.

(D) आव्यूह $A$ का सारणिक $|A| = 1(7 - 4a) - 2(7 - 2a) + 3(4 - 2) = 7 - 4a - 14 + 4a + 6 = -1$ है।
चूँकि $B = A^{-1}$,हम जानते हैं कि $B = \frac{1}{|A|} \text{adj}(A)$।
$|A| = -1$ दिया गया है,इसलिए अवयव $B_{ij} = \frac{C_{ji}}{|A|} = -C_{ji}$ होगा,जहाँ $C_{ji}$,$A_{ji}$ का सहखंड है।
अवयव $B_{13} = b$ के लिए,$b = -C_{31}$ है।
सहखंड $C_{31} = (-1)^{3+1} \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 1 & a \end{vmatrix} = 2a - 3$ है।
अतः,$b = -(2a - 3) = 3 - 2a$,जिसका अर्थ है $2a + b = 3$।
अवयव $B_{21} = -3$ के लिए,$-3 = -C_{12}$ है।
सहखंड $C_{12} = (-1)^{1+2} \begin{vmatrix} 1 & a \\ 2 & 7 \end{vmatrix} = -(7 - 2a) = 2a - 7$ है।
अतः,$-3 = -(2a - 7) = 7 - 2a$,जिसका अर्थ है $2a = 10$,यानी $a = 5$।
$a = 5$ को $2a + b = 3$ में रखने पर,$2(5) + b = 3$ प्राप्त होता है,इसलिए $10 + b = 3$,जिससे $b = -7$ प्राप्त होता है।

(A) हम आव्यूह के व्युत्क्रम का गुणधर्म जानते हैं: $(XY)^{-1} = Y^{-1} X^{-1}$।
इस गुणधर्म को दिए गए व्यंजक पर लागू करने पर:
$(B^{-1} A^{-1})^{-1} = (A^{-1})^{-1} (B^{-1})^{-1} = AB$।
अब,हम $AB$ का गुणनफल ज्ञात करते हैं:
$AB = \left[\begin{array}{ll}2 & -2 \\ 2 & -3\end{array}\right] \left[\begin{array}{cc}0 & -1 \\ 1 & 0\end{array}\right]$
$AB = \left[\begin{array}{ll} (2)(0) + (-2)(1) & (2)(-1) + (-2)(0) \\ (2)(0) + (-3)(1) & (2)(-1) + (-3)(0) \end{array}\right]$
$AB = \left[\begin{array}{ll} 0 - 2 & -2 + 0 \\ 0 - 3 & -2 + 0 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{ll} -2 & -2 \\ -3 & -2 \end{array}\right]$।

(D) दिया गया है कि $A = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 5 & -2 \end{bmatrix}$.
सबसे पहले,$A$ का सारणिक ज्ञात करें:
$|A| = (2)(-2) - (3)(5) = -4 - 15 = -19$.
इसके बाद,$A$ का सहखंडज (adjoint) ज्ञात करें:
$\text{adj}(A) = \begin{bmatrix} -2 & -3 \\ -5 & 2 \end{bmatrix}$.
हम जानते हैं कि $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj}(A)$:
$A^{-1} = \frac{1}{-19} \begin{bmatrix} -2 & -3 \\ -5 & 2 \end{bmatrix} = \frac{1}{19} \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 5 & -2 \end{bmatrix}$.
चूंकि $A^{-1} = KA$ और $A = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 5 & -2 \end{bmatrix}$,इसलिए:
$KA = \frac{1}{19} A$.
अतः,$K = \frac{1}{19}$.

(D) एक आव्यूह व्युत्क्रमणीय होता है यदि और केवल यदि उसका सारणिक शून्य न हो $(|M| \neq 0)$.
आव्यूह $A$ के लिए: $|A| = (2 \times 15) - (3 \times 10) = 30 - 30 = 0$. अतः,$A$ व्युत्क्रमणीय नहीं है।
आव्यूह $B$ के लिए: चूंकि पंक्ति $R_1$ और पंक्ति $R_3$ समान हैं,इसलिए $|B| = 0$. अतः,$B$ व्युत्क्रमणीय नहीं है।
आव्यूह $C$ के लिए: $|C| = 1(4 \times 8 - 5 \times 6) - 2(3 \times 8 - 5 \times 4) + 3(3 \times 6 - 4 \times 4) = 1(32 - 30) - 2(24 - 20) + 3(18 - 16) = 1(2) - 2(4) + 3(2) = 2 - 8 + 6 = 0$. अतः,$C$ व्युत्क्रमणीय नहीं है।
आव्यूह $D$ के लिए: $|D| = 2(1 \times 5 - 0 \times 4) - 4(1 \times 5 - 0 \times 1) + 2(1 \times 4 - 1 \times 1) = 2(5) - 4(5) + 2(3) = 10 - 20 + 6 = -4$. चूंकि $|D| \neq 0$,इसलिए $D$ व्युत्क्रमणीय है।

(D) दिया गया आव्यूह $A = \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}$ है।
$A$ का सारणिक $|A| = (2)(2) - (-1)(-1) = 4 - 1 = 3$ है।
$A$ का सहखंडज (adjoint) $\text{adj}(A) = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}$ है।
आव्यूह का व्युत्क्रम $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj}(A)$ सूत्र द्वारा प्राप्त होता है।
मान रखने पर,$A^{-1} = \frac{1}{3} \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}$ प्राप्त होता है।
वैकल्पिक रूप से,अभिलक्षणिक समीकरण $A^{2} - 4A + 3I = 0$ का उपयोग करके,$A^{-1}$ से गुणा करने पर:
$A - 4I + 3A^{-1} = 0 \Rightarrow 3A^{-1} = 4I - A$.
$3A^{-1} = 4 \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}$.
अतः,$A^{-1} = \frac{1}{3} \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}$।

(C) एक वर्ग आव्यूह $A$ व्युत्क्रमणीय होता है यदि और केवल यदि उसका सारणिक $|A| \neq 0$ हो।
आइए प्रत्येक आव्यूह के लिए सारणिक की गणना करें:
$1$. $A_{1} = \begin{bmatrix} 4 & 2 \\ 2 & 1 \end{bmatrix}$ के लिए,$|A_{1}| = (4 \times 1) - (2 \times 2) = 4 - 4 = 0$. अतः,$A_{1}$ व्युत्क्रमणीय नहीं है।
$2$. $A_{2} = \begin{bmatrix} -1 & -2 & 3 \\ 4 & 5 & 7 \\ 2 & 4 & -6 \end{bmatrix}$ के लिए,ध्यान दें कि तीसरी पंक्ति पहली पंक्ति का $-2$ गुना है $(R_{3} = -2R_{1})$। चूंकि दो पंक्तियाँ समानुपाती हैं,$|A_{2}| = 0$. अतः,$A_{2}$ व्युत्क्रमणीय नहीं है।
$3$. $A_{3} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 5 & 2 & 1 \\ 7 & 2 & 1 \end{bmatrix}$ के लिए,$|A_{3}| = 1(2-2) - 0 + 0 = 0$. अतः,$A_{3}$ व्युत्क्रमणीय नहीं है।
$4$. $A_{4} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 1 \end{bmatrix}$ के लिए,$|A_{4}| = 1(2-6) - 0(0-3) + 1(0-2) = 1(-4) + 1(-2) = -4 - 2 = -6$.
चूंकि $|A_{4}| = -6 \neq 0$,इसलिए आव्यूह $A_{4}$ व्युत्क्रमणीय है।

(A) सबसे पहले,गुणनफल $AB$ की गणना करें:
$AB = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 3 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (2 \times 1 + 3 \times 3) & (2 \times 0 + 3 \times 1) \\ (1 \times 1 + 2 \times 3) & (1 \times 0 + 2 \times 1) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 11 & 3 \\ 7 & 2 \end{bmatrix}$
इसके बाद,सारणिक $|AB|$ ज्ञात करें:
$|AB| = (11 \times 2) - (3 \times 7) = 22 - 21 = 1$
अब,$AB$ का सहखंडज (adjoint) ज्ञात करें:
एक आव्यूह $\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ के लिए,सहखंडज $\begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$ होता है।
अतः,$\text{adj}(AB) = \begin{bmatrix} 2 & -3 \\ -7 & 11 \end{bmatrix}$
अंत में,$(AB)^{-1} = \frac{1}{|AB|} \text{adj}(AB) = \frac{1}{1} \begin{bmatrix} 2 & -3 \\ -7 & 11 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & -3 \\ -7 & 11 \end{bmatrix}$

(D) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ -\sin \theta & -\cos \theta \end{bmatrix}$.
सबसे पहले,हम $A$ का सारणिक (determinant) ज्ञात करते हैं:
$|A| = (\cos \theta)(-\cos \theta) - (-\sin \theta)(-\sin \theta) = -\cos^2 \theta - \sin^2 \theta = -(\cos^2 \theta + \sin^2 \theta) = -1$.
इसके बाद,हम $A$ का सहखंडज (adjoint) ज्ञात करते हैं,जिसमें विकर्ण तत्वों को आपस में बदला जाता है और अन्य तत्वों के चिह्न बदल दिए जाते हैं:
$\text{adj}(A) = \begin{bmatrix} -\cos \theta & \sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix}$.
अंत में,व्युत्क्रम आव्यूह $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj}(A)$ सूत्र द्वारा प्राप्त होता है:
$A^{-1} = \frac{1}{-1} \begin{bmatrix} -\cos \theta & \sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ -\sin \theta & -\cos \theta \end{bmatrix}$.
अतः,$A^{-1} = A$ है।

(D) हम जानते हैं कि किसी भी व्युत्क्रमणीय आव्यूह $A$ और $B$ के लिए,गुणधर्म $(B^{-1} A^{-1})^{-1} = (A^{-1})^{-1} (B^{-1})^{-1}$ सत्य है।
चूंकि $(A^{-1})^{-1} = A$ और $(B^{-1})^{-1} = B$,इसलिए व्यंजक $AB$ में सरल हो जाता है।
अब,हम गुणनफल $AB$ की गणना करते हैं:
$AB = \left[\begin{array}{ll}2 & 3 \\ 1 & 2\end{array}\right] \left[\begin{array}{cc}2 & -3 \\ -1 & 2\end{array}\right]$
$AB = \left[\begin{array}{cc} (2)(2) + (3)(-1) & (2)(-3) + (3)(2) \\ (1)(2) + (2)(-1) & (1)(-3) + (2)(2) \end{array}\right]$
$AB = \left[\begin{array}{cc} 4 - 3 & -6 + 6 \\ 2 - 2 & -3 + 4 \end{array}\right]$
$AB = \left[\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right]$
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(B) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 0 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{bmatrix}$।
सबसे पहले,हम सारणिक $|A| = 0(0) - 0(0) - 1(0 - 1) = -1(-1) = 1$ ज्ञात करते हैं।
चूँकि $|A| \neq 0$,इसलिए आव्यूह $A$ व्युत्क्रमणीय है।
अब,हम $A^2 = \begin{bmatrix} 0 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = I$ की गणना करते हैं।
चूँकि $A^2 = I$,दोनों पक्षों को $A^{-1}$ से गुणा करने पर हमें $A = A^{-1}$ प्राप्त होता है।

(C) सबसे पहले,आव्यूहों $A$ और $B$ का योग ज्ञात करें:
$A+B = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 4 & 1 \\ 3 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & 2 \\ 4 & 3 \end{bmatrix}$
इसके बाद,$(A+B)$ का सारणिक (determinant) ज्ञात करें:
$|A+B| = (5 \times 3) - (2 \times 4) = 15 - 8 = 7$
अब,विकर्ण तत्वों को बदलकर और अन्य तत्वों के चिह्न बदलकर $(A+B)$ का सहखंडज (adjoint) ज्ञात करें:
$\text{adj}(A+B) = \begin{bmatrix} 3 & -2 \\ -4 & 5 \end{bmatrix}$
अंत में,सूत्र $(A+B)^{-1} = \frac{1}{|A+B|} \text{adj}(A+B)$ का उपयोग करें:
$(A+B)^{-1} = \frac{1}{7} \begin{bmatrix} 3 & -2 \\ -4 & 5 \end{bmatrix}$

(B) सबसे पहले,गुणनफल $AB$ ज्ञात करें:
$AB = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (1)(1)+(2)(2)+(1)(0) & (1)(2)+(2)(1)+(1)(1) \\ (2)(1)+(1)(2)+(0)(0) & (2)(2)+(1)(1)+(0)(1) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & 5 \\ 4 & 5 \end{bmatrix}$
अब,सारणिक $|AB|$ ज्ञात करें:
$|AB| = (5)(5) - (5)(4) = 25 - 20 = 5$
इसके बाद,$AB$ का सहखंडज (adj) ज्ञात करें:
$adj(AB) = \begin{bmatrix} 5 & -5 \\ -4 & 5 \end{bmatrix}$
अंत में,व्युत्क्रम आव्यूह $(AB)^{-1} = \frac{1}{|AB|} adj(AB)$ ज्ञात करें:
$(AB)^{-1} = \frac{1}{5} \begin{bmatrix} 5 & -5 \\ -4 & 5 \end{bmatrix}$
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(B) हम जानते हैं कि $A \cdot A^{-1} = I$,जहाँ $I$ एक $3 \times 3$ कोटि का तत्समक आव्यूह है।
$\begin{bmatrix} 2 & 0 & -1 \\ 5 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 & -1 & 1 \\ \alpha & 6 & -5 \\ \beta & -2 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$
बाएँ पक्ष के आव्यूहों का गुणा करने पर:
पंक्ति $1$,स्तंभ $1$: $(2)(3) + (0)(\alpha) + (-1)(\beta) = 6 - \beta$
चूँकि परिणाम $I$ होना चाहिए,इसलिए $6 - \beta = 1$,जिससे $\beta = 5$ प्राप्त होता है।
पंक्ति $2$,स्तंभ $1$: $(5)(3) + (1)(\alpha) + (0)(\beta) = 15 + \alpha$
चूँकि परिणाम $I$ होना चाहिए,इसलिए $15 + \alpha = 0$,जिससे $\alpha = -15$ प्राप्त होता है।
अतः,$\alpha = -15$ और $\beta = 5$ है।