Adjoint and inverse of matrices Questions in Hindi

(A) माना $A = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 1 \end{bmatrix}$.
सबसे पहले,हम सारणिक $|A|$ ज्ञात करते हैं:
$|A| = 0(2-3) - 1(1-9) + 2(1-6) = 0 - 1(-8) + 2(-5) = 8 - 10 = -2$.
चूंकि $|A| \neq 0$,इसलिए $A^{-1}$ का अस्तित्व है।
इसके बाद,हम सहखंड आव्यूह $C_{ij}$ ज्ञात करते हैं:
$C_{11} = +(2-3) = -1, C_{12} = -(1-9) = 8, C_{13} = +(1-6) = -5$
$C_{21} = -(1-2) = 1, C_{22} = +(0-6) = -6, C_{23} = -(0-3) = 3$
$C_{31} = +(3-4) = -1, C_{32} = -(0-2) = 2, C_{33} = +(0-1) = -1$
एडजॉइंट आव्यूह $adj(A)$ सहखंड आव्यूह का परिवर्त आव्यूह है:
$adj(A) = \begin{bmatrix} -1 & 1 & -1 \\ 8 & -6 & 2 \\ -5 & 3 & -1 \end{bmatrix}$.
अंत में,$A^{-1} = \frac{1}{|A|} adj(A) = \frac{1}{-2} \begin{bmatrix} -1 & 1 & -1 \\ 8 & -6 & 2 \\ -5 & 3 & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ -4 & 3 & -1 \\ \frac{5}{2} & -\frac{3}{2} & \frac{1}{2} \end{bmatrix}$.

(D) माना $A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 7 & 4 \end{bmatrix}$ है।
प्रतिलोम $A^{-1}$ ज्ञात करने के लिए,हम सूत्र $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj}(A)$ का उपयोग करते हैं।
सबसे पहले,सारणिक $|A| = (2 \times 4) - (1 \times 7) = 8 - 7 = 1$ की गणना करें।
इसके बाद,विकर्ण तत्वों को आपस में बदलकर और अन्य तत्वों के चिह्न बदलकर $A$ का सहखंडज (adjoint) ज्ञात करें:
$\text{adj}(A) = \begin{bmatrix} 4 & -1 \\ -7 & 2 \end{bmatrix}$।
अतः,$A^{-1} = \frac{1}{1} \begin{bmatrix} 4 & -1 \\ -7 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 & -1 \\ -7 & 2 \end{bmatrix}$।
इस प्रकार,सही विकल्प $D$ है।

(A) $2 \times 2$ आव्यूह $A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ के लिए,$A$ का सहखंडज (adjoint) $adj(A) = \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $A = \begin{bmatrix} -2 & 6 \\ -5 & 7 \end{bmatrix}$,अतः $a = -2, b = 6, c = -5, d = 7$ है।
इसलिए,$adj(A) = \begin{bmatrix} 7 & -6 \\ -(-5) & -2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 7 & -6 \\ 5 & -2 \end{bmatrix}$।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(D) हम जानते हैं कि आव्यूह $A$ का व्युत्क्रम $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj}(A)$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
दिए गए समीकरण $A^{-1} = \frac{1}{K} \text{adj}(A)$ के साथ तुलना करने पर,हमें $K = |A|$ प्राप्त होता है।
अब,आव्यूह $A$ का सारणिक ज्ञात करते हैं:
$|A| = \begin{vmatrix} 3 & 2 & 4 \\ 1 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & 1 \end{vmatrix}$
प्रथम स्तंभ के अनुदिश विस्तार करने पर:
$|A| = 3(2(1) - (-1)(1)) - 1(2(1) - 4(1)) + 0(2(-1) - 4(2))$
$|A| = 3(2 + 1) - 1(2 - 4) + 0$
$|A| = 3(3) - 1(-2)$
$|A| = 9 + 2 = 11$.
अतः,$K = 11$.

(C) हम जानते हैं कि किसी भी $n$ कोटि के वर्ग आव्यूह $A$ के लिए,गुणधर्म $A(adj A) = (adj A)A = |A|I$ सत्य है,जहाँ $I$ समान कोटि का तत्समक आव्यूह है।
दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 3 & 4 \\ 5 & 7 \end{bmatrix}$।
सबसे पहले,सारणिक $|A|$ की गणना करें: $|A| = (3 \times 7) - (4 \times 5) = 21 - 20 = 1$।
$A$ का सहखंडज (adjoint) विकर्ण तत्वों को बदलकर और अन्य तत्वों के चिह्नों को बदलकर प्राप्त किया जाता है:
$adj A = \begin{bmatrix} 7 & -4 \\ -5 & 3 \end{bmatrix}$।
अब,$A(adj A)$ की गणना करें:
$A(adj A) = \begin{bmatrix} 3 & 4 \\ 5 & 7 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 7 & -4 \\ -5 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (21 - 20) & (-12 + 12) \\ (35 - 35) & (-20 + 21) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = I$।
चूंकि $|A| = 1$,इसलिए $I = |A|I$।
अतः,$A(adj A) = |A|I$।

(A) दिया गया है कि ${A^3} = I$ है।
दोनों पक्षों को ${A^{-1}}$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है:
${A^{-1}} \times {A^3} = {A^{-1}} \times I$
${A^{-1}} \times (A \times {A^2}) = {A^{-1}}$
$({A^{-1}} \times A) \times {A^2} = {A^{-1}}$
$I \times {A^2} = {A^{-1}}$
${A^2} = {A^{-1}}$
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(D) दिया गया आव्यूह $A = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}$ है।
सबसे पहले,हम $A^2 = A \times A$ की गणना करते हैं:
$A^2 = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = I$.
चूंकि $A^2 = I$,हम दोनों पक्षों को $A^{-1}$ से गुणा कर सकते हैं:
$A^2 \cdot A^{-1} = I \cdot A^{-1}$
$A \cdot (A \cdot A^{-1}) = A^{-1}$
$A \cdot I = A^{-1}$
इसलिए,$A^{-1} = A$.

(A) माना $A = \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$.
सबसे पहले,$A$ का सारणिक (determinant) ज्ञात करें:
$|A| = (1)(4) - (-2)(3) = 4 + 6 = 10$.
चूंकि $|A| \neq 0$,इसलिए व्युत्क्रम $A^{-1}$ का अस्तित्व है।
$A$ का सहखंडज (adjoint),$adj(A)$,मुख्य विकर्ण के तत्वों को आपस में बदलकर और अन्य तत्वों के चिह्न बदलकर प्राप्त किया जाता है:
$adj(A) = \begin{bmatrix} 4 & 2 \\ -3 & 1 \end{bmatrix}$.
व्युत्क्रम का सूत्र $A^{-1} = \frac{1}{|A|} adj(A)$ है:
$A^{-1} = \frac{1}{10} \begin{bmatrix} 4 & 2 \\ -3 & 1 \end{bmatrix}$.

(D) माना $A = \begin{bmatrix} \cos 2\theta & -\sin 2\theta \\ \sin 2\theta & \cos 2\theta \end{bmatrix}$ है।
सबसे पहले,$A$ का सारणिक (determinant) ज्ञात करें:
$|A| = (\cos 2\theta)(\cos 2\theta) - (-\sin 2\theta)(\sin 2\theta) = \cos^2 2\theta + \sin^2 2\theta = 1$.
इसके बाद,$A$ का सहखंडज (adjoint) ज्ञात करें,जिसमें मुख्य विकर्ण के अवयवों को आपस में बदलें और अन्य अवयवों के चिह्न बदलें:
$adj(A) = \begin{bmatrix} \cos 2\theta & \sin 2\theta \\ -\sin 2\theta & \cos 2\theta \end{bmatrix}$.
आव्यूह का व्युत्क्रम $A^{-1} = \frac{1}{|A|} adj(A)$ द्वारा दिया जाता है:
$A^{-1} = \frac{1}{1} \begin{bmatrix} \cos 2\theta & \sin 2\theta \\ -\sin 2\theta & \cos 2\theta \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos 2\theta & \sin 2\theta \\ -\sin 2\theta & \cos 2\theta \end{bmatrix}$.

(A) दिया गया है कि $B = A^{-1}$,इसलिए $10B = 10A^{-1}$ है।
अतः,$10A^{-1} = \begin{bmatrix} 4 & 2 & 2 \\ -5 & 0 & \alpha \\ 1 & -2 & 3 \end{bmatrix}$ है।
दोनों पक्षों को दाईं ओर से $A$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है: $10I = \begin{bmatrix} 4 & 2 & 2 \\ -5 & 0 & \alpha \\ 1 & -2 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & -3 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}$।
इसका परिणाम $10I = \begin{bmatrix} 10 & 0 & 0 \\ 0 & 10 & 0 \\ 0 & 0 & 10 \end{bmatrix}$ है।
$\alpha$ ज्ञात करने के लिए,गुणन आव्यूह की $2^{nd}$ पंक्ति और $1^{st}$ स्तंभ के अवयव की तुलना $10I$ के संगत अवयव (जो $0$ है) से करते हैं:
$(-5 \times 1) + (0 \times 2) + (\alpha \times 1) = 0$।
$-5 + 0 + \alpha = 0$।
$\alpha = 5$।

(B) हम जानते हैं कि $n$ कोटि के किसी भी वर्ग आव्यूह $A$ के लिए,गुणधर्म $A(\text{adj } A) = |A|I$ सत्य है,जहाँ $I$ उसी कोटि का तत्समक आव्यूह है।
दिया गया है कि $A(\text{adj } A) = \begin{bmatrix} 10 & 0 \\ 0 & 10 \end{bmatrix}$ है।
इसे $A(\text{adj } A) = 10 \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = 10I$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$A(\text{adj } A) = |A|I$ की तुलना $A(\text{adj } A) = 10I$ से करने पर,हमें $|A| = 10$ प्राप्त होता है।

(C) आव्यूह के सहखंडज (adjoint) के मूलभूत गुणधर्म के अनुसार,$n$ कोटि के किसी भी वर्ग आव्यूह $X$ और एक अदिश $\lambda$ के लिए,संबंध $adj(\lambda X) = \lambda^{n-1} adj(X)$ द्वारा दिया जाता है।
इस प्रश्न में,आव्यूह $X$ की कोटि $n = 3$ है।
सूत्र में $n = 3$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$adj(\lambda X) = \lambda^{3-1} adj(X)$
अतः,$adj(\lambda X) = \lambda^2 adj(X)$।

(C) दिया गया है $X = \begin{bmatrix} -x & -y \\ z & t \end{bmatrix}$.
$2 \times 2$ आव्यूह $\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ का सहखंडज (adjoint) $\begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$ द्वारा प्राप्त होता है।
इसे $X$ पर लागू करने पर,$\text{adj } X = \begin{bmatrix} t & -(-y) \\ -z & -x \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} t & y \\ -z & -x \end{bmatrix}$ प्राप्त होता है।
अब,$\text{adj } X$ का परिवर्त (transpose) प्राप्त करने के लिए पंक्तियों और स्तंभों को आपस में बदलने पर:
$(\text{adj } X)^T = \begin{bmatrix} t & -z \\ y & -x \end{bmatrix}$।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(A) माना $A = \begin{bmatrix} 5 & -2 \\ 3 & 1 \end{bmatrix}$ है।
सबसे पहले,हम $A$ का सारणिक (determinant) ज्ञात करते हैं:
$|A| = (5)(1) - (-2)(3) = 5 + 6 = 11$.
इसके बाद,हम $A$ का सहखंडज (adjoint),$adj(A)$ ज्ञात करते हैं। एक $2 \times 2$ आव्यूह $\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ के लिए,सहखंडज $\begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$ होता है।
$adj(A) = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ -3 & 5 \end{bmatrix}$.
आव्यूह का व्युत्क्रम $A^{-1} = \frac{1}{|A|} adj(A)$ द्वारा दिया जाता है।
$A^{-1} = \frac{1}{11} \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ -3 & 5 \end{bmatrix}$.

(C) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & -2 & 4 \end{bmatrix}$.
सबसे पहले,हम $A$ का अभिलक्षणिक समीकरण ज्ञात करते हैं। अभिलक्षणिक बहुपद $|A - \lambda I| = 0$ है।
$|A - \lambda I| = \begin{vmatrix} 1-\lambda & 0 & 0 \\ 0 & 1-\lambda & 1 \\ 0 & -2 & 4-\lambda \end{vmatrix} = (1-\lambda) [(1-\lambda)(4-\lambda) + 2] = (1-\lambda) [\lambda^2 - 5\lambda + 6] = 0$.
अतः,$\lambda^3 - 6\lambda^2 + 11\lambda - 6 = 0$.
केली-हैमिल्टन प्रमेय के अनुसार,$A^3 - 6A^2 + 11A - 6I = 0$.
$A^{-1}$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है $A^2 - 6A + 11I - 6A^{-1} = 0$.
$6A^{-1} = A^2 - 6A + 11I$.
$A^{-1} = \frac{1}{6}[A^2 - 6A + 11I]$.
इसकी तुलना $A^{-1} = \frac{1}{6}[A^2 + cA + dI]$ से करने पर,हमें $c = -6$ और $d = 11$ प्राप्त होता है।
अतः,युग्म $(c, d) = (-6, 11)$ है।

(D) सबसे पहले,$A$ का सारणिक ज्ञात करें:
$|A| = 1(0 - (-3)) - (-1)(0 - (-6)) + 1(0 - 4) = 1(3) + 1(-6) + 1(-4) = 3 + 6 - 4 = 5$.
गुणधर्म $|\text{adj}(A)| = |A|^{n-1}$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $n=3$ है,$|\text{adj}(A)| = |A|^2$ होगा।
दिया गया है $B = \text{adj}(A)$,इसलिए $|B| = |A|^2$।
हमें $\frac{|\text{adj}(B)|}{|C|}$ ज्ञात करना है।
$|\text{adj}(B)| = |B|^{n-1} = |B|^2 = (|A|^2)^2 = |A|^4$।
दिया गया है $C = 5A$,इसलिए $|C| = |5A| = 5^3 |A| = 125 |A|$।
अतः,$\frac{|\text{adj}(B)|}{|C|} = \frac{|A|^4}{125 |A|} = \frac{|A|^3}{125}$।
चूंकि $|A| = 5$,इसलिए $\frac{5^3}{125} = \frac{125}{125} = 1$।

(A) हम जानते हैं कि कोटि $n$ के किसी भी वर्ग आव्यूह $A$ के लिए,गुणधर्म $A(adj\,A) = (adj\,A)A = |A|I$ सत्य है,जहाँ $I$ कोटि $n$ का तत्समक आव्यूह है।
एक आव्यूह $A$ को अव्युत्क्रमणीय (singular) आव्यूह कहा जाता है यदि इसका सारणिक शून्य हो,अर्थात $|A| = 0$।
इस गुणधर्म में $|A| = 0$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $A(adj\,A) = 0 \times I = O$ प्राप्त होता है,जहाँ $O$ कोटि $n$ का शून्य आव्यूह है।
अतः,$A(adj\,A)$ एक शून्य आव्यूह है।

(C) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 4 & 9 \\ 1 & 8 & 27 \end{bmatrix}$।
सबसे पहले,हम $A$ का सारणिक $|A|$ ज्ञात करते हैं।
$|A| = 1(4 \times 27 - 9 \times 8) - 2(1 \times 27 - 9 \times 1) + 3(1 \times 8 - 4 \times 1)$
$|A| = 1(108 - 72) - 2(27 - 9) + 3(8 - 4)$
$|A| = 1(36) - 2(18) + 3(4)$
$|A| = 36 - 36 + 12 = 12$।
हम जानते हैं कि $n$ कोटि के वर्ग आव्यूह $A$ के लिए,$|adj\, A| = |A|^{n-1}$ होता है।
यहाँ,आव्यूह $A$ की कोटि $n = 3$ है।
इसलिए,$|adj\, A| = |A|^{3-1} = |A|^2$।
$|adj\, A| = (12)^2 = 144$।

(C) हम जानते हैं कि कोटि $n$ के एक वर्ग आव्यूह $A$ के लिए,सहखंडज (adjoint) आव्यूह का गुणधर्म $|adj(A)| = |A|^{n-1}$ होता है।
दिया गया है कि $|A| = D$ और $|adj(A)| = D'$,इसलिए $D' = D^{n-1}$ है।
अब,हमें $DD'$ का मान ज्ञात करना है।
$DD' = D \times D^{n-1} = D^{1 + n - 1} = D^n$.
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(D) हम आव्यूह के सहखंडज (adjoint) का गुणधर्म जानते हैं: $|adj(A)| = |A|^{n-1}$,जहाँ $n$ वर्ग आव्यूह $A$ की कोटि है।
यहाँ दिया गया है कि $A$ कोटि $n = 3$ का आव्यूह है और $|A| = 8$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$|adj(A)| = |A|^{3-1}$
$|adj(A)| = |A|^2$
$|adj(A)| = (8)^2$
चूँकि $8 = 2^3$,इसलिए:
$|adj(A)| = (2^3)^2 = 2^6 = 64$.
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(B) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 1 & \tan(\theta/2) \\ -\tan(\theta/2) & 1 \end{bmatrix}$.
सबसे पहले,$A$ का सारणिक ज्ञात करें:
$|A| = (1)(1) - (\tan(\theta/2))(-\tan(\theta/2)) = 1 + \tan^2(\theta/2) = \sec^2(\theta/2)$.
चूंकि $AB = I$,$B$ आव्यूह $A$ का व्युत्क्रम (inverse) है,अर्थात $B = A^{-1}$.
एक $2 \times 2$ आव्यूह $\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ का व्युत्क्रम $\frac{1}{|A|} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$ होता है।
अतः,$B = \frac{1}{\sec^2(\theta/2)} \begin{bmatrix} 1 & -\tan(\theta/2) \\ \tan(\theta/2) & 1 \end{bmatrix}$.
चूंकि $\frac{1}{\sec^2(\theta/2)} = \cos^2(\theta/2)$ और परिवर्त आव्यूह (transpose) $A^T = \begin{bmatrix} 1 & -\tan(\theta/2) \\ \tan(\theta/2) & 1 \end{bmatrix}$ है,इसलिए हमें प्राप्त होता है:
$B = \cos^2(\theta/2) \cdot A^T$.

(D) माना कि $A = \begin{bmatrix} 3 & 5 & 7 \\ 2 & -3 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{bmatrix}$.
सबसे पहले,सारणिक $|A|$ की गणना करें:
$|A| = 3((-3)(2) - (1)(1)) - 5((2)(2) - (1)(1)) + 7((2)(1) - (-3)(1))$
$|A| = 3(-7) - 5(3) + 7(5) = -21 - 15 + 35 = -1$.
अब,सहखंडज (cofactor) आव्यूह ज्ञात करें:
$C_{11} = -7, C_{12} = -3, C_{13} = 5$
$C_{21} = -3, C_{22} = -1, C_{23} = 2$
$C_{31} = 26, C_{32} = 11, C_{33} = -19$
$Adj(A) = \begin{bmatrix} -7 & -3 & 5 \\ -3 & -1 & 2 \\ 26 & 11 & -19 \end{bmatrix}$.
अतः,$A^{-1} = \frac{1}{|A|} Adj(A) = \begin{bmatrix} 7 & 3 & -5 \\ 3 & 1 & -2 \\ -26 & -11 & 19 \end{bmatrix}$.
चूंकि यह परिणाम दिए गए विकल्पों में से किसी से मेल नहीं खाता है,इसलिए सही उत्तर $(d)$ है।

(C) व्युत्क्रम आव्यूह $A^{-1}$ के अवयव $a_{23}$ को ज्ञात करने के लिए,हम सूत्र $a_{ij} = \frac{C_{ji}}{|A|}$ का उपयोग करते हैं,जहाँ $C_{ji}$ आव्यूह $A$ के $j$-वीं पंक्ति और $i$-वें स्तंभ के अवयव का सहखंड (cofactor) है।
सबसे पहले,सारणिक $|A|$ की गणना करें:
$|A| = 1(4 \times 7 - 5 \times 6) - 0(3 \times 7 - 5 \times 0) + (-1)(3 \times 6 - 4 \times 0)$
$|A| = 1(28 - 30) - 0 + (-1)(18 - 0)$
$|A| = -2 - 18 = -20$
अब,$3$-री पंक्ति और $2$-रे स्तंभ के अवयव (जो $6$ है) का सहखंड $C_{32}$ ज्ञात करें:
$C_{32} = (-1)^{3+2} \times \text{minor of } 6 = -1 \times \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 3 & 5 \end{vmatrix}$
$C_{32} = -1 \times (1 \times 5 - (-1) \times 3) = -1 \times (5 + 3) = -8$
अंत में,$a_{23} = \frac{C_{32}}{|A|} = \frac{-8}{-20} = \frac{2}{5}$.

(A) हमें आव्यूह $F(\alpha ) = \begin{bmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha & 0 \\ \sin \alpha & \cos \alpha & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ दिया गया है।
व्युत्क्रम आव्यूह $[F(\alpha )]^{-1}$ ज्ञात करने के लिए,हम गुणनफल $F(\alpha ) \cdot F(-\alpha )$ की जाँच करते हैं:
$F(\alpha ) \cdot F(-\alpha ) = \begin{bmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha & 0 \\ \sin \alpha & \cos \alpha & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \cos(-\alpha ) & -\sin(-\alpha ) & 0 \\ \sin(-\alpha ) & \cos(-\alpha ) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$
चूँकि $\cos(-\alpha ) = \cos \alpha$ और $\sin(-\alpha ) = -\sin \alpha$,इसलिए:
$F(\alpha ) \cdot F(-\alpha ) = \begin{bmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha & 0 \\ \sin \alpha & \cos \alpha & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \cos \alpha & \sin \alpha & 0 \\ -\sin \alpha & \cos \alpha & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$
आव्यूहों का गुणा करने पर:
$= \begin{bmatrix} \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha & \cos \alpha \sin \alpha - \sin \alpha \cos \alpha & 0 \\ \sin \alpha \cos \alpha - \cos \alpha \sin \alpha & \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = I$
चूँकि $F(\alpha ) \cdot F(-\alpha ) = I$,इसलिए $[F(\alpha )]^{-1} = F(-\alpha )$ है।

(D) एक समूह $(G, \cdot)$ को चार स्वयंसिद्धों को संतुष्ट करना चाहिए: संवृतता,साहचर्य,तत्समक और प्रतिलोम।
आव्यूह गुणन के लिए,तत्समक अवयव $I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ है।
हालाँकि,किसी आव्यूह का प्रतिलोम तभी संभव है जब उसका सारणिक शून्य न हो।
चूंकि ऐसे $2 \times 2$ आव्यूह मौजूद हैं जिनका सारणिक $0$ है (अव्युत्क्रमणीय आव्यूह),इसलिए इन आव्यूहों का गुणात्मक प्रतिलोम नहीं होता है।
अतः,प्रतिलोम स्वयंसिद्ध समुच्चय के सभी अवयवों के लिए संतुष्ट नहीं होता है,जिससे यह एक समूह नहीं बनता है।

(B) दी गई शर्त $AB = AC \Rightarrow B = C$ है।
यदि $A$ एक व्युत्क्रमणीय आव्यूह (non-singular matrix) है,तो इसका प्रतिलोम $A^{-1}$ मौजूद होता है।
समीकरण $AB = AC$ के दोनों पक्षों को बाईं ओर से $A^{-1}$ से गुणा करने पर:
$A^{-1}(AB) = A^{-1}(AC)$
$(A^{-1}A)B = (A^{-1}A)C$
$IB = IC$
$B = C$
अतः,शर्त $AB = AC \Rightarrow B = C$ तभी सत्य होती है जब $A$ एक व्युत्क्रमणीय आव्यूह हो (अर्थात $|A| \neq 0$)।

(C) एक वर्ग आव्यूह $A$ का व्युत्क्रम निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \text{adj}(A)$.
चूंकि $A$ पूर्णांक अवयवों वाला एक वर्ग आव्यूह है,इसलिए सहखंडज आव्यूह $\text{adj}(A)$ भी पूरी तरह से पूर्णांकों से बना होता है (क्योंकि यह सहखंड आव्यूह का परिवर्त है)।
यदि $\det(A) = \pm 1$ है,तो $A^{-1} = \frac{1}{\pm 1} \text{adj}(A) = \pm \text{adj}(A)$.
चूंकि $\text{adj}(A)$ में केवल पूर्णांक होते हैं,इसलिए $\pm \text{adj}(A)$ में भी केवल पूर्णांक ही होंगे।
अतः,यदि $\det(A) = \pm 1$ है,तो $A^{-1}$ का अस्तित्व है और इसके सभी अवयव पूर्णांक हैं।

(C) किसी भी $n \times n$ आव्यूह $A$ के लिए,एडजॉइंट का गुणधर्म $adj(adj A) = |A|^{n-2} A$ होता है।
यहाँ $n = 2$ दिया गया है,इसलिए $adj(adj A) = |A|^{2-2} A = |A|^0 A = I \cdot A = A$। अतः,$\text{कथन}-1$ सत्य है।
$\text{कथन}-2$ के लिए,हम जानते हैं कि $|adj A| = |A|^{n-1}$ होता है।
यहाँ $n = 2$ होने के कारण,$|adj A| = |A|^{2-1} = |A|^1 = |A|$। अतः,$\text{कथन}-2$ सत्य है।
चूंकि $adj(adj A) = |A|^{n-2} A$ होता है,इसलिए $adj(adj A) = A$ परिणाम $n=2$ के लिए सामान्य गुणधर्म पर आधारित है। अतः,$\text{कथन}-2$,$\text{कथन}-1$ में दिए गए समीकरण के लिए आवश्यक संदर्भ प्रदान करता है।

(D) दिया गया है $A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}1&0&0\\2&1&0\\3&2&1\end{array}} \right]$,$A{u_1} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}1\\0\\0\end{array}} \right]$,और $A{u_2} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}0\\1\\0\end{array}} \right]$।
दोनों समीकरणों को जोड़ने पर,हमें प्राप्त होता है:
$A{u_1} + A{u_2} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}1\\0\\0\end{array}} \right] + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}0\\1\\0\end{array}} \right]$
$A(u_1 + u_2) = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}1\\1\\0\end{array}} \right]$
अतः,$u_1 + u_2 = A^{-1} \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}1\\1\\0\end{array}} \right]$।
सबसे पहले,$|A| = 1(1-0) - 0 + 0 = 1$ ज्ञात करें।
इसके बाद,$adj(A)$ ज्ञात करें। सहखंड (cofactors) इस प्रकार हैं:
$C_{11} = 1, C_{12} = -2, C_{13} = 1$
$C_{21} = 0, C_{22} = 1, C_{23} = -2$
$C_{31} = 0, C_{32} = 0, C_{33} = 1$
अतः,$adj(A) = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}1&0&0\\-2&1&0\\1&-2&1\end{array}} \right]$।
चूंकि $|A| = 1$,इसलिए $A^{-1} = adj(A)$।
$u_1 + u_2 = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}1&0&0\\-2&1&0\\1&-2&1\end{array}} \right] \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}1\\1\\0\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}1(1)+0(1)+0(0)\\-2(1)+1(1)+0(0)\\1(1)-2(1)+1(0)\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}1\\-1\\-1\end{array}} \right]$।

(D) दिया गया है कि $A$ एक $3 \times 3$ व्युत्क्रमणीय आव्यूह है जहाँ $AA' = A'A$ और $B = A^{-1}A'$ है।
हमें $BB'$ ज्ञात करना है।
$B' = (A^{-1}A')' = (A')'(A^{-1})' = A(A')^{-1} = A(A^{-1})'$.
अब,$BB' = (A^{-1}A')(A(A^{-1})') = A^{-1}(A'A)(A^{-1})'$.
चूंकि $A'A = AA'$,इसलिए $BB' = A^{-1}(AA')(A^{-1})'$.
साहचर्य नियम का उपयोग करने पर,$BB' = (A^{-1}A)(A')(A^{-1})' = I(A')(A^{-1})' = A'(A^{-1})'$.
चूंकि $A'(A^{-1})' = (A^{-1}A)' = I' = I$,इसलिए हमें $BB' = I$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 5a & -b \\ 3 & 2 \end{bmatrix}$.
$A$ का परिवर्त आव्यूह $A^T = \begin{bmatrix} 5a & 3 \\ -b & 2 \end{bmatrix}$ है।
$A \cdot A^T$ की गणना करने पर:
$A \cdot A^T = \begin{bmatrix} 5a & -b \\ 3 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 5a & 3 \\ -b & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 25a^2 + b^2 & 15a - 2b \\ 15a - 2b & 13 \end{bmatrix}$.
हम जानते हैं कि $A \cdot \text{adj}(A) = |A| I$,जहाँ $|A| = (5a)(2) - (-b)(3) = 10a + 3b$.
अतः,$A \cdot \text{adj}(A) = \begin{bmatrix} 10a + 3b & 0 \\ 0 & 10a + 3b \end{bmatrix}$.
दिया गया है $A \cdot \text{adj}(A) = A \cdot A^T$,इसलिए संगत अवयवों की तुलना करने पर:
$1$) $15a - 2b = 0 \implies 15a = 2b \implies b = \frac{15a}{2}$.
$2$) $10a + 3b = 13$.
दूसरे समीकरण में $b = \frac{15a}{2}$ रखने पर:
$10a + 3(\frac{15a}{2}) = 13$
$10a + \frac{45a}{2} = 13$
$\frac{20a + 45a}{2} = 13$
$65a = 26 \implies a = \frac{26}{65} = \frac{2}{5}$.
अब $b$ का मान ज्ञात करते हैं:
$b = \frac{15}{2} \times \frac{2}{5} = 3$.
अतः,$5a + b = 5(\frac{2}{5}) + 3 = 2 + 3 = 5$.

(C) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 2 & -3 \\ -4 & 1 \end{bmatrix}$.
सबसे पहले,$A^2 = A \times A = \begin{bmatrix} 2 & -3 \\ -4 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & -3 \\ -4 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4+12 & -6-3 \\ -8-4 & 12+1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 16 & -9 \\ -12 & 13 \end{bmatrix}$ ज्ञात करें।
अब,$3A^2 = 3 \begin{bmatrix} 16 & -9 \\ -12 & 13 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 48 & -27 \\ -36 & 39 \end{bmatrix}$।
और $12A = 12 \begin{bmatrix} 2 & -3 \\ -4 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 24 & -36 \\ -48 & 12 \end{bmatrix}$।
मान लीजिए $M = 3A^2 + 12A = \begin{bmatrix} 48+24 & -27-36 \\ -36-48 & 39+12 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 72 & -63 \\ -84 & 51 \end{bmatrix}$।
एक $2 \times 2$ आव्यूह $\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ का सहखंडज (adjoint) $\begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$ होता है।
इसलिए,$\text{adj}(M) = \begin{bmatrix} 51 & 63 \\ 84 & 72 \end{bmatrix}$।

(D) माना $A = \begin{bmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 2 \end{bmatrix}$ है।
किसी आव्यूह $A$ का प्रतिलोम ज्ञात करने के लिए,उसका सारणिक $|A|$ शून्य के बराबर नहीं होना चाहिए।
यहाँ,$|A| = (2 \times 2) - (2 \times 2) = 4 - 4 = 0$ है।
चूँकि सारणिक $|A| = 0$ है,इसलिए आव्यूह $A$ एक अव्युत्क्रमणीय (singular) आव्यूह है।
अतः,आव्यूह $A$ का प्रतिलोम अस्तित्व में नहीं है।

(B) दिया गया समीकरण: $4A^3 + 2A^2 + 7A + I = O$
दोनों पक्षों में $A^{-1}$ से पूर्व-गुणा करने पर:
$A^{-1}(4A^3 + 2A^2 + 7A + I) = A^{-1}O$
$4A^{-1}A^3 + 2A^{-1}A^2 + 7A^{-1}A + A^{-1}I = O$
चूंकि $A^{-1}A = I$ और $A^{-1}I = A^{-1}$,इसलिए समीकरण इस प्रकार हो जाता है:
$4(A^{-1}A)A^2 + 2(A^{-1}A)A + 7I + A^{-1} = O$
$4IA^2 + 2IA + 7I + A^{-1} = O$
$4A^2 + 2A + 7I + A^{-1} = O$
अतः,$A^{-1} = -(4A^2 + 2A + 7I)$.

(D) हमें दो आव्यूह $F(\alpha )$ और $G(\beta )$ दिए गए हैं।
हमें गुणनफल $[F(\alpha ) G(\beta )]^{-1}$ का व्युत्क्रम ज्ञात करना है।
आव्यूह व्युत्क्रम के गुणधर्म के अनुसार,किन्हीं भी दो व्युत्क्रमणीय आव्यूहों $A$ और $B$ के लिए,उनके गुणनफल का व्युत्क्रम $(AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1}$ होता है।
इस गुणधर्म को लागू करने पर,हमें $[F(\alpha ) G(\beta )]^{-1} = [G(\beta )]^{-1} [F(\alpha )]^{-1}$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $(d)$ है।

(B) दिया गया है कि मैट्रिक्स $A$ के आइगेन मान $\lambda_1 = 3$ और $\lambda_2 = -2$ हैं।
हम जानते हैं कि एक नॉन-सिंगुलर मैट्रिक्स $A$ के लिए,$adj(A) = |A| A^{-1}$ होता है।
यदि $\lambda$,$A$ का एक आइगेन मान है,तो $A^{-1}$ का आइगेन मान $\frac{1}{\lambda}$ होगा।
इसलिए,$adj(A)$ के आइगेन मान $|A| \times \frac{1}{\lambda}$ द्वारा प्राप्त होते हैं।
यहाँ $|A| = 4$ दिया गया है:
$\lambda_1 = 3$ के लिए,$adj(A)$ का आइगेन मान $4 \times \frac{1}{3} = \frac{4}{3}$ होगा।
$\lambda_2 = -2$ के लिए,$adj(A)$ का आइगेन मान $4 \times \frac{1}{-2} = -2$ होगा।
अतः,$adj(A)$ के आइगेन मान $\frac{4}{3}$ और $-2$ हैं।

(A) दिया गया है कि $A$ एक इनवोल्यूटरी आव्यूह है,परिभाषा के अनुसार $A^2 = I$,जहाँ $I$ एक तत्समक आव्यूह है।
इसका अर्थ है कि $A = A^{-1}$।
हमें $\frac{A}{2}$ का व्युत्क्रम ज्ञात करना है,जिसे $(\frac{1}{2}A)^{-1}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
आव्यूह व्युत्क्रम के गुण का उपयोग करते हुए,किसी भी अशून्य अदिश $k$ के लिए $(kA)^{-1} = \frac{1}{k} A^{-1}$ होता है।
यहाँ,$k = \frac{1}{2}$ है,इसलिए $(\frac{1}{2}A)^{-1} = \frac{1}{1/2} A^{-1} = 2A^{-1}$।
चूंकि $A = A^{-1}$,हम $A^{-1}$ के स्थान पर $A$ प्रतिस्थापित करते हैं जिससे $2A$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{A}{2}$ का व्युत्क्रम $2A$ है।

(B) आव्यूह $A$ का सारणिक $|A| = (\cos \theta)(\cos \theta) - (-\sin \theta)(\sin \theta) = \cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$ है।
व्युत्क्रम आव्यूह $A^{-1}$ ज्ञात करने के लिए,हम सूत्र $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj}(A)$ का उपयोग करते हैं।
$A$ का सहखंडज (adjoint) विकर्ण तत्वों को आपस में बदलकर और अन्य तत्वों के चिह्न बदलकर प्राप्त किया जाता है: $\text{adj}(A) = \begin{bmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix}$।
चूंकि $|A| = 1$ है,इसलिए $A^{-1} = \begin{bmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix}$।
इसकी तुलना $A$ के परिवर्त आव्यूह $A^T = \begin{bmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix}$ से करने पर,हम पाते हैं कि $A^{-1} = A^T$ है।

(C) किसी भी व्युत्क्रमणीय आव्यूह $A$ के लिए,सहखंडज (adjoint) का सूत्र $\text{Adj}(A) = |A|A^{-1}$ होता है,इसलिए विकल्प $A$ सही है।
व्युत्क्रम आव्यूह के सारणिक (determinant) के लिए,$\det(A^{-1}) = \frac{1}{\det(A)} = (\det(A))^{-1}$,इसलिए विकल्प $B$ सही है।
गुणनफल के व्युत्क्रम का गुणधर्म $(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$ होता है,इसलिए विकल्प $D$ सही है।
हालाँकि,योग का व्युत्क्रम,व्युत्क्रमों के योग के बराबर नहीं होता है,अर्थात सामान्यतः $(A + B)^{-1} \neq A^{-1} + B^{-1}$। अतः,विकल्प $C$ गलत है।

(B) हम जानते हैं कि किसी भी वर्ग आव्यूह $M$ के लिए,$M \cdot \text{adj}(M) = |M|I$,जहाँ $I$ तत्समक आव्यूह है।
गुणनफल आव्यूह $AB$ के लिए,हमारे पास $(AB) \cdot \text{adj}(AB) = |AB|I = |A||B|I$ है।
अब,व्यंजक $(Adj. B)(Adj. A)$ पर विचार करें:
$(AB) \cdot (Adj. B \cdot Adj. A) = A(B \cdot Adj. B) \cdot Adj. A$
$= A(|B|I) \cdot Adj. A$
$= |B|(A \cdot Adj. A)$
$= |B|(|A|I)$
$= |A||B|I = |AB|I$.
चूंकि $(AB) \cdot \text{adj}(AB) = |AB|I$ और $(AB) \cdot (Adj. B \cdot Adj. A) = |AB|I$ है,और $A, B$ व्युत्क्रमणीय हैं (इसलिए $AB$ का व्युत्क्रम संभव है),हम बाईं ओर $(AB)^{-1}$ से गुणा कर सकते हैं:
$\text{adj}(AB) = \text{adj}(B) \cdot \text{adj}(A)$.

(C) व्युत्क्रम $A^{-1}$ का अस्तित्व तभी होता है जब सारणिक $|A| \ne 0$ हो।
सारणिक की गणना करने पर:
$|A| = \begin{vmatrix} x + \lambda & x & x \\ x & x + \lambda & x \\ x & x & x + \lambda \end{vmatrix}$
संक्रिया $C_1 \rightarrow C_1 + C_2 + C_3$ लागू करने पर:
$|A| = \begin{vmatrix} 3x + \lambda & x & x \\ 3x + \lambda & x + \lambda & x \\ 3x + \lambda & x & x + \lambda \end{vmatrix} = (3x + \lambda) \begin{vmatrix} 1 & x & x \\ 1 & x + \lambda & x \\ 1 & x & x + \lambda \end{vmatrix}$
$R_2 \rightarrow R_2 - R_1$ और $R_3 \rightarrow R_3 - R_1$ लागू करने पर:
$|A| = (3x + \lambda) \begin{vmatrix} 1 & x & x \\ 0 & \lambda & 0 \\ 0 & 0 & \lambda \end{vmatrix} = (3x + \lambda)(\lambda^2)$
$A^{-1}$ के अस्तित्व के लिए,$|A| \ne 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $\lambda^2(3x + \lambda) \ne 0$।
अतः,$\lambda \ne 0$ और $3x + \lambda \ne 0$।

(B) हम जानते हैं कि $n$ कोटि के किसी भी वर्ग आव्यूह $A$ के लिए,$A(adj(A)) = |A|I_n$ होता है।
माना $A = KI_n$,जहाँ $I_n$ कोटि $n$ का तत्समक आव्यूह है।
सारणिक $|A| = |KI_n| = K^n |I_n| = K^n(1) = K^n$ होता है।
गुणधर्म $adj(kA) = k^{n-1} adj(A)$ का उपयोग करने पर:
$adj(KI_n) = K^{n-1} adj(I_n)$ प्राप्त होता है।
चूँकि $adj(I_n) = I_n$,इसलिए $adj(KI_n) = K^{n-1} I_n$ होता है।
अब,सारणिक की गणना करने पर:
$|adj(KI_n)| = |K^{n-1} I_n| = (K^{n-1})^n |I_n| = K^{n(n-1)} \times 1 = K^{n(n-1)}$।

(C) यदि $A^2 = I$ हो,तो आव्यूह $A$ को अंतर्वलनीय (involutory) आव्यूह कहा जाता है,जिसका अर्थ है $A = A^{-1}$।
यदि $A^2 = A$ हो,तो आव्यूह $A$ को वर्गसम (idempotent) आव्यूह कहा जाता है।
दी गई शर्त $A^{-1} = A$ के अनुसार,दोनों पक्षों को $A$ से गुणा करने पर $A \cdot A^{-1} = A \cdot A$ प्राप्त होता है,जो $I = A^2$ में सरल हो जाता है।
चूँकि $A^2 = I$ है,इसलिए आव्यूह $A$ एक अंतर्वलनीय आव्यूह है,न कि वर्गसम आव्यूह।
अतः,विकल्प $C$ में दिया गया कथन गलत है।

(C) हम जानते हैं कि किसी भी वर्ग आव्यूह $A$ के लिए,गुणधर्म $A (adj A) = |A| I$ सत्य है,जहाँ $I$ समान क्रम का तत्समक आव्यूह है।
सबसे पहले,हम आव्यूह $A = \begin{bmatrix} x & 3 & 2 \\ 1 & y & 4 \\ 2 & 2 & z \end{bmatrix}$ का सारणिक $|A|$ ज्ञात करते हैं।
$|A| = x(yz - 8) - 3(z - 8) + 2(2 - 2y)$
$|A| = xyz - 8x - 3z + 24 + 4 - 4y$
$|A| = xyz - (8x + 4y + 3z) + 28$
दिया गया है कि $xyz = 60$ और $8x + 4y + 3z = 20$,इन मानों को $|A|$ के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$|A| = 60 - 20 + 28 = 68$.
अतः,$A (adj A) = |A| I = 68 I = \begin{bmatrix} 68 & 0 & 0 \\ 0 & 68 & 0 \\ 0 & 0 & 68 \end{bmatrix}$.

(A) हम जानते हैं कि $A A^{-1} = I$,जहाँ $I$ एक तत्समक आव्यूह है।
सारणिक $|A|$ की गणना करने पर:
$|A| = 0(2 - 3a) - 1(1 - 9) + 2(a - 6) = 0 + 8 + 2a - 12 = 2a - 4 = 2(a - 2)$.
चूंकि $A^{-1}$ का अस्तित्व है,$|A| \neq 0$,इसलिए $a \neq 2$.
$A^{-1}$ के $(1, 1)$ स्थान पर स्थित अवयव $\frac{C_{11}}{|A|}$ है,जहाँ $C_{11}$,$A_{11}$ का सहखंड है।
$C_{11} = (2 \times 1 - 3 \times a) = 2 - 3a$.
दिया गया है कि $A^{-1}_{11} = 1/2$,इसलिए $\frac{2 - 3a}{2(a - 2)} = 1/2$.
$2 - 3a = a - 2 \implies 4a = 4 \implies a = 1$.
अब,$c$ ज्ञात करने के लिए,हम $A^{-1}_{23}$ देखते हैं। यह $\frac{C_{32}}{|A|}$ है।
$C_{32} = - \begin{vmatrix} 0 & 2 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} = -(0 - 2) = 2$.
अतः,$c = \frac{2}{2(a - 2)} = \frac{1}{a - 2}$.
$a = 1$ रखने पर,$c = \frac{1}{1 - 2} = -1$.
इस प्रकार,$a = 1$ और $c = -1$।

(C) दिया गया है कि $B = kA$ है।
चूंकि $A$,$n$ कोटि का एक वर्ग आव्यूह है,इसलिए $B$ का सारणिक $|B| = |kA| = k^n|A|$ होगा।
हम जानते हैं कि किसी भी व्युत्क्रमणीय आव्यूह $M$ के लिए,$|M^{-1}| = \frac{1}{|M|}$ होता है।
इसलिए,$|B^{-1}| = \frac{1}{|B|} = \frac{1}{k^n|A|}$।
चूंकि $|A^{-1}| = \frac{1}{|A|}$,हम इस मान को $|B^{-1}|$ के व्यंजक में प्रतिस्थापित कर सकते हैं:
$|B^{-1}| = \frac{1}{k^n} \cdot \frac{1}{|A|} = k^{-n} |A^{-1}|$।
इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $|A^{-1}| = k^n |B^{-1}|$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(A) हम जानते हैं कि किसी भी वर्ग आव्यूह $A$ के लिए,$A \cdot (\text{Adj } A) = |A| I$,जहाँ $I$ समान क्रम का तत्समक आव्यूह है।
सबसे पहले,हम आव्यूह $A$ का सारणिक ज्ञात करते हैं:
$|A| = \begin{vmatrix} x & 3 & 2 \\ 1 & y & 4 \\ 2 & 2 & z \end{vmatrix}$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$|A| = x(yz - 8) - 3(z - 8) + 2(2 - 2y)$
$|A| = xyz - 8x - 3z + 24 + 4 - 4y$
$|A| = xyz - (8x + 4y + 3z) + 28$
दिया गया है कि $xyz = 60$ और $8x + 4y + 3z = 20$,इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$|A| = 60 - 20 + 28 = 68$
अतः,$A \cdot (\text{Adj } A) = 68 I = 68 \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 68 & 0 & 0 \\ 0 & 68 & 0 \\ 0 & 0 & 68 \end{bmatrix}$.

(A) माना $P = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}$ और $Q = \begin{bmatrix} -3 & 2 \\ 5 & -3 \end{bmatrix}$ है। समीकरण $PAQ = I$ है।
बाएँ पक्ष में $P^{-1}$ और दाएँ पक्ष में $Q^{-1}$ से गुणा करने पर,हमें $A = P^{-1} Q^{-1}$ प्राप्त होता है।
सबसे पहले,$P^{-1}$ ज्ञात करें: $|P| = (2)(2) - (1)(1) = 3$। अतः,$P^{-1} = \frac{1}{3} \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}$।
फिर,$Q^{-1}$ ज्ञात करें: $|Q| = (-3)(-3) - (2)(5) = -1$। अतः,$Q^{-1} = \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 5 & 3 \end{bmatrix}$।
अब,$A = P^{-1} Q^{-1} = \frac{1}{3} \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 5 & 3 \end{bmatrix} = \frac{1}{3} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 7 & 4 \end{bmatrix}$।
दिए गए समाधान के अनुसार,सही विकल्प $A$ है।

(B) हम जानते हैं कि $A \cdot (\text{adj } A) = |A| I$,जहाँ $I$ एक तत्समक आव्यूह है।
दी गई अभिव्यक्ति $(A \cdot (\text{adj } A) \cdot A^{-1}) A$ है।
आव्यूह गुणन के गुणधर्म का उपयोग करते हुए,यह $(|A| I \cdot A^{-1}) A = |A| (I \cdot A^{-1} \cdot A) = |A| (I \cdot I) = |A| I$ में सरल हो जाती है।
सबसे पहले,सारणिक $|A|$ की गणना करें:
$|A| = 0(1-6) - 1(2-9) - 1(4-3) = 0 - 1(-7) - 1(1) = 7 - 1 = 6$.
अतः,अभिव्यक्ति $6I = 6 \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 0 \\ 0 & 0 & 6 \end{bmatrix}$ हो जाती है।
यह विकल्प $B$ के साथ मेल खाता है।

(B) हम जानते हैं कि किसी भी $n$ कोटि के वर्ग आव्यूह $A$ के लिए,गुणधर्म $A \text{ adj } A = |A| I$ सत्य है,जहाँ $I$ एक $n$ कोटि का तत्समक आव्यूह है।
दिया गया है $A = \begin{bmatrix} \cos \alpha & \sin \alpha \\ -\sin \alpha & \cos \alpha \end{bmatrix}$।
$A$ का सारणिक $|A| = (\cos \alpha)(\cos \alpha) - (\sin \alpha)(-\sin \alpha) = \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1$ है।
अतः,$A \text{ adj } A = |A| I = 1 \times \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$।
इस आव्यूह की तुलना दिए गए आव्यूह $\begin{bmatrix} k & 0 \\ 0 & k \end{bmatrix}$ से करने पर,हमें $k = 1$ प्राप्त होता है।