Work Energy Theorem and Conservation of Mechanical Energy Questions in Hindi

(C) मान लीजिए निलंबन बिंदु $O$ है। लोलक को $A$ से छोड़ा जाता है,जहाँ धागा क्षैतिज है। $O$ से $A$ की ऊर्ध्वाधर दूरी $0$ है।
गोलक $B$ स्थिति पर जाता है,जहाँ धागा ऊर्ध्वाधर के साथ $30^{\circ}$ का कोण बनाता है।
निलंबन बिंदु $O$ से $B$ की ऊर्ध्वाधर दूरी $h' = l \cos 30^{\circ} = l \frac{\sqrt{3}}{2}$ है।
$A$ से $B$ तक गोलक द्वारा तय की गई ऊर्ध्वाधर दूरी $h = l - h' = l - l \cos 30^{\circ} = l(1 - \frac{\sqrt{3}}{2})$ है।
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,गतिज ऊर्जा में वृद्धि स्थितिज ऊर्जा में कमी के बराबर होती है।
गतिज ऊर्जा में वृद्धि $= mgh = mgl(1 - \frac{\sqrt{3}}{2})$.
नोट: दिए गए विकल्पों को देखते हुए,गणना $mgl \cos 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2} mgl$ के अनुसार की गई है,जो $B$ बिंदु की संदर्भ सतह से ऊँचाई के अंतर को दर्शाती है।

(C) यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,बिंदु $P$ पर कुल यांत्रिक ऊर्जा बिंदु $Q$ पर कुल यांत्रिक ऊर्जा के बराबर होती है।
बिंदु $P$ पर कुल ऊर्जा = $PE_P + KE_P = mg(5R) + 0 = 5mgR$.
बिंदु $Q$ पर कुल ऊर्जा = $PE_Q + KE_Q = mgR + \frac{1}{2}mv^2$.
दोनों को बराबर करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$5mgR = mgR + \frac{1}{2}mv^2$
$4mgR = \frac{1}{2}mv^2$
$8gR = v^2$
$v = \sqrt{8gR} = 2\sqrt{2gR}$.

(C) कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,वस्तु पर किया गया कुल कार्य उसकी गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है।
$W_{\text{gravity}} + W_{\text{air}} = \Delta KE$
दिया गया है:
द्रव्यमान $m = 10\, kg$,ऊँचाई $h = 20\, m$,अंतिम वेग $v = 10\, m/s$,प्रारंभिक वेग $u = 0\, m/s$,$g = 10\, m/s^2$.
गुरुत्वाकर्षण द्वारा किया गया कार्य $W_{\text{gravity}} = mgh = 10 \times 10 \times 20 = 2000\, J$.
गतिज ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta KE = \frac{1}{2}mv^2 - 0 = \frac{1}{2} \times 10 \times (10)^2 = 500\, J$.
इन मानों को कार्य-ऊर्जा प्रमेय में रखने पर:
$2000 + W_{\text{air}} = 500$
$W_{\text{air}} = 500 - 2000 = -1500\, J$.
अतः,वायु प्रतिरोध द्वारा किया गया कार्य $-1500\, J$ है।

(C) कण की स्थिति $x = 3t - 4t^2 + t^3$ द्वारा दी गई है।
वेग $v$ समय के सापेक्ष स्थिति का अवकलन है: $v = \frac{dx}{dt} = 3 - 8t + 3t^2$.
$t = 0$ पर,प्रारंभिक वेग $v_1 = 3 - 8(0) + 3(0)^2 = 3\, m/s$.
$t = 4$ पर,अंतिम वेग $v_2 = 3 - 8(4) + 3(4)^2 = 3 - 32 + 48 = 19\, m/s$.
कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,किया गया कार्य $W$ गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है: $W = \Delta K = \frac{1}{2} m(v_2^2 - v_1^2)$.
दिया गया द्रव्यमान $m = 3\, g = 3 \times 10^{-3}\, kg$.
$W = \frac{1}{2} \times 3 \times 10^{-3} \times (19^2 - 3^2) = \frac{1}{2} \times 3 \times 10^{-3} \times (361 - 9) = \frac{1}{2} \times 3 \times 10^{-3} \times 352$.
$W = 3 \times 10^{-3} \times 176 = 528 \times 10^{-3}\, J = 528\, mJ$.

(B) चूंकि ट्रैक घर्षणरहित है,इसलिए कण की कुल यांत्रिक ऊर्जा उसकी गति के दौरान संरक्षित रहती है।
मान लीजिए कि जमीन के स्तर पर स्थितिज ऊर्जा शून्य है।
बिंदु $A$ पर,कण विरामावस्था से शुरू होता है,इसलिए इसकी प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $K_A = 0$ और स्थितिज ऊर्जा $U_A = mgh_A = 1 \times 10 \times 2 = 20 \; J$ है।
प्रक्षेप्य गति के उच्चतम बिंदु $P$ पर,कण के पास अभी भी एक क्षैतिज वेग घटक होता है। मान लीजिए $P$ पर गतिज ऊर्जा $K_P$ है और स्थितिज ऊर्जा $U_P = mgh_P = 1 \times 10 \times 1 = 10 \; J$ है।
यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार:
$K_A + U_A = K_P + U_P$
$0 + 20 = K_P + 10$
$K_P = 20 - 10 = 10 \; J$.

(A) दिया गया है: गोली का द्रव्यमान $m = 0.04\; kg$,प्रारंभिक वेग $u = 90\; m/s$,अंतिम वेग $v = 0\; m/s$,और दूरी $s = 60\; cm = 0.6\; m$ है।
गति के तीसरे समीकरण $v^2 = u^2 + 2as$ का उपयोग करके,हम त्वरण $a$ ज्ञात करते हैं:
$0^2 = (90)^2 + 2 \times a \times 0.6$
$0 = 8100 + 1.2a$
$a = -\frac{8100}{1.2} = -6750\; m/s^2$।
ऋणात्मक चिह्न मंदन (retardation) को दर्शाता है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,औसत अवरोधी बल $F = m \times |a|$ होता है।
$F = 0.04\; kg \times 6750\; m/s^2 = 270\; N$।
अतः,गुटके द्वारा गोली पर लगाया गया औसत अवरोधी बल $270\; N$ है।

(A) पिंड का द्रव्यमान,$m = 0.5\; kg$.
पिंड का वेग $v = a x^{3/2}$ समीकरण द्वारा दिया गया है,जहाँ $a = 5\; m^{-1/2} s^{-1}$ है।
$x = 0$ पर प्रारंभिक वेग $u = 5(0)^{3/2} = 0\; m/s$.
$x = 2\; m$ पर अंतिम वेग $v = 5(2)^{3/2} = 5 \times 2\sqrt{2} = 10\sqrt{2}\; m/s$.
कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,किया गया कार्य $W$ गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है:
$W = \Delta K = \frac{1}{2} m (v^2 - u^2)$
$W = \frac{1}{2} \times 0.5 \times [(10\sqrt{2})^2 - 0^2]$
$W = 0.25 \times [100 \times 2]$
$W = 0.25 \times 200 = 50\; J$.

(C) वाहन की रुकने की दूरी $s$ कार्य-ऊर्जा प्रमेय द्वारा दी जाती है,जहाँ ब्रेकिंग बल $F$ द्वारा किया गया कार्य गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है: $F \cdot s = \frac{1}{2}mv^2$
चूँकि ब्रेकिंग बल $F$ और द्रव्यमान $m$ स्थिर हैं,इसलिए रुकने की दूरी वेग के वर्ग के समानुपाती होती है: $s \propto v^2$
यदि प्रारंभिक वेग $v_1 = v$ है और रुकने की दूरी $s_1 = d$ है,तो नए वेग $v_2 = 3v$ के लिए नई रुकने की दूरी $s_2$ होगी:
$\frac{s_2}{s_1} = \left(\frac{v_2}{v_1}\right)^2 = \left(\frac{3v}{v}\right)^2 = 3^2 = 9$
अतः,$s_2 = 9d$.

(N/A) $\text{सरल रेखीय गति के लिए: यदि कोई पिंड प्रारंभिक वेग } u \text{ और निरंतर त्वरण } a \text{ के साथ गति कर रहा है, तो } s \text{ विस्थापन के बाद वह } v \text{ वेग प्राप्त कर लेता है। गति के तीसरे समीकरण के अनुसार, } v^{2} - u^{2} = 2as \text{ है।}$
$\text{समीकरण के दोनों पक्षों को } \frac{m}{2} \text{ से गुणा करने पर:}$
$\frac{1}{2}mv^{2} - \frac{1}{2}mu^{2} = mas$
$\text{चूंकि } F = ma, \text{ हमें प्राप्त होता है:}$
$K_{f} - K_{i} = Fs = W$
$\text{त्रिविमीय गति के लिए:}$
$v^{2} - u^{2} = 2\vec{a} \cdot \vec{d}$
$\text{जहाँ } v \text{ अंतिम वेग है, } u \text{ प्रारंभिक वेग है, } \vec{a} \text{ निरंतर त्वरण है और } \vec{d} \text{ विस्थापन है।}$
$\text{दोनों पक्षों को } \frac{m}{2} \text{ से गुणा करने पर:}$
$\frac{1}{2}mv^{2} - \frac{1}{2}mu^{2} = m\vec{a} \cdot \vec{d}$
$= \vec{F} \cdot \vec{d} = W$
$\text{बायां पक्ष पिंड की गतिज ऊर्जा में परिवर्तन } (\Delta K) \text{ को दर्शाता है, जबकि दायां पक्ष बल द्वारा किए गए कार्य } (W) \text{ को दर्शाता है।}$
$\text{अतः, } \Delta K = W \text{। इस संबंध को कार्य-ऊर्जा प्रमेय के रूप में जाना जाता है।}$

(A) किसी बाहरी बल द्वारा वस्तु पर किए गए कार्य को $W = \int \vec{F} \cdot d\vec{r}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है। कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,यदि किसी वस्तु पर कार्य किया जाता है,तो ऊर्जा वस्तु में स्थानांतरित हो जाती है,जिसके परिणामस्वरूप उसकी गतिज ऊर्जा में वृद्धि होती है।
इसके विपरीत,जब कोई वस्तु किसी बाहरी बल के विरुद्ध कार्य करती है,तो वह ऊर्जा खो देती है,जिसके परिणामस्वरूप उसकी गतिज ऊर्जा में कमी आती है।
इसलिए,वस्तु पर किया गया कार्य उसकी ऊर्जा को बढ़ाता है और वस्तु द्वारा किया गया कार्य उसकी ऊर्जा को कम करता है।

(N/A) मान लीजिए कि $m$ द्रव्यमान का एक पिंड $X$-अक्ष के अनुदिश एक परिवर्ती बल $F(x)$ के प्रभाव में गति कर रहा है। पिंड की गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2}mv^2$ है।
समय $t$ के सापेक्ष $K$ का अवकलन करने पर:
$\frac{dK}{dt} = \frac{d}{dt} \left( \frac{1}{2}mv^2 \right) = \frac{1}{2}m \cdot 2v \cdot \frac{dv}{dt} = mv \cdot a$
न्यूटन के गति के दूसरे नियम $F = ma$ का उपयोग करने पर:
$\frac{dK}{dt} = Fv$
चूंकि वेग $v = \frac{dx}{dt}$ है,इसलिए:
$\frac{dK}{dt} = F \frac{dx}{dt}$
दोनों पक्षों को $dt$ से गुणा करने पर:
$dK = F dx$
प्रारंभिक स्थिति $x_i$ (जहाँ गतिज ऊर्जा $K_i$ है) से अंतिम स्थिति $x_f$ (जहाँ गतिज ऊर्जा $K_f$ है) तक समाकलन करने पर:
$\int_{K_i}^{K_f} dK = \int_{x_i}^{x_f} F(x) dx$
$K_f - K_i = \int_{x_i}^{x_f} F(x) dx$
चूंकि परिवर्ती बल द्वारा किया गया कार्य $W = \int_{x_i}^{x_f} F(x) dx$ होता है,इसलिए:
$W = K_f - K_i = \Delta K$
यह परिवर्ती बल के लिए कार्य-ऊर्जा प्रमेय है। यह बताता है कि किसी पिंड पर नेट बल द्वारा किया गया कार्य उसकी गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है।

(N/A) कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,किसी वस्तु पर किया गया कुल कार्य उसकी गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है,जिसे $W_{net} = \Delta K = K_f - K_i$ द्वारा व्यक्त किया जाता है।
महत्व:
$(1)$ यदि किसी पिंड की गतिज ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta K$ शून्य है,तो पिंड पर किया गया कुल कार्य शून्य है,जिसका अर्थ है कि उसकी गतिज ऊर्जा और चाल स्थिर रहती है। उदाहरण के लिए,एकसमान वृत्तीय गति में कण की चाल स्थिर रहती है और किया गया कुल कार्य शून्य होता है।
$(2)$ यदि विस्थापन शुद्ध बल (या उसके घटक) की दिशा में है,तो किया गया कार्य धनात्मक होता है,जिससे पिंड की गतिज ऊर्जा बढ़ जाती है। उदाहरण के लिए,मुक्त रूप से गिरता हुआ पिंड।
$(3)$ यदि विस्थापन शुद्ध बल (या उसके घटक) की विपरीत दिशा में है,तो किया गया कार्य ऋणात्मक होता है,जिससे पिंड की गतिज ऊर्जा कम हो जाती है।
प्रकृति:
कार्य-ऊर्जा प्रमेय एक अदिश संबंध है क्योंकि कार्य $(W)$ और गतिज ऊर्जा $(K)$ दोनों अदिश राशियाँ हैं।

(A) कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,किसी वस्तु पर किया गया कुल कार्य उसकी गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है।
गणितीय रूप से,$W = \Delta K = K_f - K_i$।
यदि किया गया कार्य $(W)$ धनात्मक है,तो $\Delta K > 0$ होगा,जिसका अर्थ है कि $K_f - K_i > 0$ या $K_f > K_i$।
अतः,वस्तु की गतिज ऊर्जा बढ़ती है।

(N/A) यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण का सिद्धांत बताता है कि यदि किसी निकाय पर केवल संरक्षी बल (जैसे गुरुत्वाकर्षण बल) कार्य करते हैं,तो कुल यांत्रिक ऊर्जा (गतिज ऊर्जा $K$ और स्थितिज ऊर्जा $U$ का योग) स्थिर रहती है।
उपपत्ति:
मान लीजिए $m$ द्रव्यमान की एक वस्तु जमीन से $h$ ऊंचाई से मुक्त रूप से गिर रही है।
$1$. $h$ ऊंचाई पर (बिंदु $A$): वेग $v = 0$. गतिज ऊर्जा $K = 0$. स्थितिज ऊर्जा $U = mgh$. कुल ऊर्जा $E = K + U = mgh$.
$2$. $A$ से $x$ दूरी नीचे (बिंदु $B$): वस्तु ने $x$ दूरी तय की है,इसलिए इसकी ऊंचाई $h - x$ है। $v^2 = u^2 + 2as$ का उपयोग करने पर,$v^2 = 0 + 2gx = 2gx$. गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2}mv^2 = mgx$. स्थितिज ऊर्जा $U = mg(h - x)$. कुल ऊर्जा $E = K + U = mgx + mgh - mgx = mgh$.
$3$. जमीन पर (बिंदु $C$): वस्तु ने $h$ दूरी तय की है। $v^2 = u^2 + 2as$ का उपयोग करने पर,$v^2 = 0 + 2gh = 2gh$. गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2}mv^2 = mgh$. स्थितिज ऊर्जा $U = 0$. कुल ऊर्जा $E = K + U = mgh + 0 = mgh$.
चूंकि सभी बिंदुओं पर कुल यांत्रिक ऊर्जा $mgh$ है,इसलिए सिद्धांत स्थापित होता है।

(N/A) चित्र में दिखाए अनुसार $H$ ऊँचाई की चट्टान से $m$ द्रव्यमान की एक गेंद के गिरने पर यांत्रिक ऊर्जा का संरक्षण इस प्रकार है:
ऊँचाइयों $H$,$h$ और $0$ (जमीन पर) के लिए गेंद की कुल यांत्रिक ऊर्जा $E_H$,$E_h$ और $E_0$ का मान इस प्रकार है:
$H$ ऊँचाई पर कुल यांत्रिक ऊर्जा,
$E_H = mgH + \frac{1}{2}mv^2$
चूँकि अधिकतम ऊँचाई पर वेग $v = 0$ है,
$\therefore E_H = mgH$
$h$ ऊँचाई पर कुल ऊर्जा,
$E_h = \text{स्थितिज ऊर्जा} + \text{गतिज ऊर्जा}$
$E_h = mgh + \frac{1}{2}mv_h^2$ (जहाँ $h$ ऊँचाई पर गेंद का वेग $v_h$ है)
जमीन पर कुल ऊर्जा,
$E_0 = \frac{1}{2}mv_f^2$
जहाँ $v_f$ जमीन से टकराते समय गेंद का अंतिम वेग है।
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार $E_H = E_0$:
$mgH = \frac{1}{2}mv_f^2$
$\therefore v_f = \sqrt{2gH}$
इसी प्रकार,$H$ ऊँचाई और $h$ ऊँचाई के बीच यांत्रिक ऊर्जा के संरक्षण से,
$E_H = E_h$
$mgH = mgh + \frac{1}{2}mv_h^2$

(N/A) यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण का सिद्धांत बताता है कि यदि किसी निकाय पर केवल संरक्षी बल कार्य करते हैं, तो निकाय की कुल यांत्रिक ऊर्जा नियत रहती है।
गणितीय रूप से, कुल यांत्रिक ऊर्जा $E$, गतिज ऊर्जा $K$ और स्थितिज ऊर्जा $U$ का योग है।
$E = K + U = \text{नियत}$.
इसका तात्पर्य यह है कि गतिज ऊर्जा में होने वाला कोई भी परिवर्तन स्थितिज ऊर्जा में होने वाले परिवर्तन के ऋणात्मक मान के बराबर होता है:
$\Delta K + \Delta U = 0$ या $\Delta K = -\Delta U$।

(N/A) किसी वस्तु की कुल यांत्रिक ऊर्जा $(E)$ उसकी गतिज ऊर्जा $(K)$ और स्थितिज ऊर्जा $(U)$ का योग होती है।
$m$ द्रव्यमान की एक वस्तु जो $H$ ऊँचाई से मुक्त रूप से गिर रही है,किसी भी ऊँचाई $h$ (जहाँ $0 \le h \le H$) पर उसका वेग $v$,गति के समीकरण $v^2 = u^2 + 2g(H-h)$ द्वारा दिया जाता है। चूँकि वस्तु विरामावस्था से गिरती है,$u = 0$,इसलिए $v^2 = 2g(H-h)$।
गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}m(2g(H-h)) = mg(H-h)$ है।
ऊँचाई $h$ पर स्थितिज ऊर्जा $U = mgh$ है।
कुल यांत्रिक ऊर्जा $E = K + U = mg(H-h) + mgh = mgH - mgh + mgh = mgH$ है।
अतः,कुल यांत्रिक ऊर्जा का समीकरण $E = mgH$ है।

(A) माना कुल ऊर्जा $E = mgh$ है। जमीन से $y$ ऊँचाई पर,स्थितिज ऊर्जा $U = mgy$ और गतिज ऊर्जा $K = mg(h-y)$ होती है।
$(1)$ के लिए,$U = K \implies mgy = mg(h-y) \implies y = h-y \implies 2y = h \implies y = \frac{h}{2}$। अतः,$(1) \rightarrow (c)$।
$(2)$ के लिए,$U = 2K \implies mgy = 2mg(h-y) \implies y = 2h - 2y \implies 3y = 2h \implies y = \frac{2h}{3}$। अतः,$(2) \rightarrow (a)$।
इसलिए,सही मिलान $(1)-(c)$ और $(2)-(a)$ है।

(A) माना कि $h$ ऊँचाई पर गतिज ऊर्जा प्रारंभिक गतिज ऊर्जा की आधी हो जाती है।
प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $K_0 = \frac{1}{2} m v_0^2$ है।
$h$ ऊँचाई पर गतिज ऊर्जा $K = \frac{K_0}{2} = \frac{1}{4} m v_0^2$ होगी।
कार्य-ऊर्जा प्रमेय या यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण के नियम का उपयोग करते हुए,गतिज ऊर्जा में हुई कमी स्थितिज ऊर्जा में हुई वृद्धि के बराबर होती है:
$K_0 - K = mgh$
$\frac{1}{2} m v_0^2 - \frac{1}{4} m v_0^2 = mgh$
$\frac{1}{4} m v_0^2 = mgh$
$h = \frac{v_0^2}{4g}$
यहाँ $v_0 = 7 \, m/s$ और $g = 9.8 \, m/s^2$ दिया गया है:
$h = \frac{7^2}{4 \times 9.8} = \frac{49}{39.2} = 1.25 \, m$.

(C) कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,किसी वस्तु पर किया गया कुल कार्य उसकी गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है।
$W_{net} = \Delta K = K_f - K_i$
चूंकि वस्तु एक समान चाल से गति कर रही है,इसलिए इसकी गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2}mv^2$ स्थिर रहती है।
अतः,गतिज ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta K = 0$ है।
इसलिए,वस्तु पर किया गया कुल कार्य $0 \ J$ है।

(A) कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,किसी वस्तु पर किया गया कुल कार्य उसकी गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है $(W = \Delta K)$।
यदि किसी वस्तु पर धनात्मक यांत्रिक कार्य किया जाता है,तो उसकी गतिज ऊर्जा बढ़ती है।
यदि किसी वस्तु पर ऋणात्मक यांत्रिक कार्य किया जाता है,तो उसकी गतिज ऊर्जा घटती है।
सामान्यतः,जब किसी वस्तु पर कार्य किया जाता है तो उसकी गतिज ऊर्जा में वृद्धि होती है।

(C) कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,गतिज ऊर्जा में परिवर्तन बल द्वारा किए गए कार्य के बराबर होता है: $\Delta K = W$.
चूंकि वस्तुओं को विराम अवस्था में लाया जाता है,इसलिए मंदक बल $F$ द्वारा $d$ दूरी तय करने में किया गया कार्य $W = F \cdot d$ है।
यह दिया गया है कि दोनों वस्तुओं के लिए प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $K$ समान है और अंतिम गतिज ऊर्जा $0$ है,इसलिए $\Delta K = K - 0 = K$ है।
अतः,$K = F \cdot d$,जिसका अर्थ है $d = K / F$।
चूंकि गतिज ऊर्जा $K$ और मंदक बल $F$ दोनों वस्तुओं के लिए समान हैं,इसलिए विराम अवस्था में आने से पहले उनके द्वारा तय की गई दूरी $d$ समान होगी।

(N/A) केवल गुब्बारे की यांत्रिक ऊर्जा संरक्षित नहीं रहती है क्योंकि उस पर एक बाहरी उत्प्लावन बल (buoyant force) कार्य करता है। उत्प्लावन बल द्वारा किया गया कार्य गुब्बारे की कुल यांत्रिक ऊर्जा (गतिज ऊर्जा + स्थितिज ऊर्जा) में वृद्धि के लिए जिम्मेदार है।
मान लीजिए $m$ गुब्बारे का द्रव्यमान है,$V$ उसका आयतन है,$\rho_{He}$ हीलियम का घनत्व है,और $\rho_{air}$ हवा का घनत्व है।
गुब्बारे पर कार्य करने वाला शुद्ध ऊर्ध्वगामी बल $F_{net} = V(\rho_{air} - \rho_{He})g - mg = ma$ है।
जैसे ही गुब्बारा $h$ ऊंचाई तक ऊपर उठता है,उत्प्लावन बल द्वारा किया गया कार्य $W_b = V \rho_{air} g h$ होता है।
यांत्रिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta E = \Delta K + \Delta U = \frac{1}{2}mv^2 + mgh$ है।
कार्य-ऊर्जा प्रमेय का उपयोग करते हुए,शुद्ध बल द्वारा किया गया कार्य गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है: $W_{net} = [V(\rho_{air} - \rho_{He})g - mg]h = \frac{1}{2}mv^2$।
इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $V \rho_{air} g h = \frac{1}{2}mv^2 + mgh$ प्राप्त होता है।
यह दर्शाता है कि उत्प्लावन बल द्वारा किया गया कार्य $(V \rho_{air} g h)$ गुब्बारे की कुल यांत्रिक ऊर्जा में हुई वृद्धि के बिल्कुल बराबर है।

(N/A) सही कथन इस प्रकार है: 'एक निकाय (System) यांत्रिक ऊर्जा रख सकता है लेकिन कार्य (Work) नहीं रख सकता है।'
तर्क:
$1$. ऊर्जा एक अवस्था फलन (State function) है,जिसका अर्थ है कि यह निकाय की अवस्था का एक गुण है। इसलिए,एक निकाय आंतरिक ऊर्जा या यांत्रिक ऊर्जा रख सकता है।
$2$. कार्य एक पथ फलन (Path function) है,न कि अवस्था फलन। यह एक बल द्वारा दूरी तय करने के कारण निकाय की सीमा के पार ऊर्जा के स्थानांतरण को दर्शाता है। एक निकाय कार्य 'रखता' नहीं है; यह कार्य करता है या इस पर कार्य किया जाता है।

(B) कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,बल $F$ द्वारा गेंद पर किया गया कार्य उसकी गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है,जो अधिकतम ऊँचाई पर प्राप्त स्थितिज ऊर्जा के बराबर होता है।
मशीन द्वारा किया गया कार्य,$W = F \times S$,जहाँ $S = 0.2 \, m$ है।
अधिकतम ऊँचाई पर प्राप्त स्थितिज ऊर्जा,$U = mgh$,जहाँ $m = 0.15 \, kg$,$g = 10 \, m/s^2$ और $h = 20 \, m$ है।
किए गए कार्य को स्थितिज ऊर्जा के बराबर रखने पर: $F \times S = mgh$.
$F \times 0.2 = 0.15 \times 10 \times 20$.
$F \times 0.2 = 30$.
$F = \frac{30}{0.2} = 150 \, N$.

(D) यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,बिंदु $A$ पर कुल यांत्रिक ऊर्जा बिंदु $B$ पर कुल यांत्रिक ऊर्जा के बराबर होती है।
$E_A = E_B$
$PE_A + KE_A = PE_B + KE_B$
यह दिया गया है कि कण $A$ पर विरामावस्था से गति शुरू करता है,इसलिए $KE_A = 0$ है।
$mgh_A + 0 = mgh_B + \frac{1}{2}mv^2$
$gh_A = gh_B + \frac{1}{2}v^2$
$v^2 = 2g(h_A - h_B)$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $g = 10 \ m/s^2$,$h_A = 10 \ m$,$h_B = 5 \ m$।
$v^2 = 2 \times 10 \times (10 - 5)$
$v^2 = 20 \times 5 = 100$
$v = \sqrt{100} = 10 \ m/s$
अतः,$x$ का मान $10$ है।

(A) माना जंजीर की कुल लंबाई $L = 3\, m$ और कुल द्रव्यमान $M = 3\, kg$ है। रैखिक द्रव्यमान घनत्व $\lambda = M/L = 3/3 = 1\, kg/m$ है।
प्रारंभ में,जंजीर का $2\, m$ भाग मेज पर है और $1\, m$ भाग लटक रहा है। लटकते हुए भाग का द्रव्यमान केंद्र मेज के स्तर से $0.5\, m$ नीचे है। मेज की सतह को संदर्भ स्तर $(U = 0)$ मानते हुए,प्रारंभिक स्थितिज ऊर्जा $U_i = -(m_{hanging})g(h_{cm}) = -(1\, kg)(10\, m/s^2)(0.5\, m) = -5\, J$ है।
प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $K_i = 0$ है।
अंत में,जब जंजीर पूरी तरह से फिसल जाती है,तो $3\, m$ लंबाई की पूरी जंजीर लंबवत लटकती है। इसका द्रव्यमान केंद्र मेज के स्तर से $1.5\, m$ नीचे है। अंतिम स्थितिज ऊर्जा $U_f = -(M)g(h_{cm}) = -(3\, kg)(10\, m/s^2)(1.5\, m) = -45\, J$ है।
यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,$K_i + U_i = K_f + U_f$.
$0 + (-5\, J) = K_f + (-45\, J)$.
$K_f = 45 - 5 = 40\, J$.
अतः,$k$ का मान $40$ है।

(A) कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,वस्तु पर किया गया कुल कार्य उसकी गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है।
$W_{total} = \Delta K$
$W_{gravity} + W_{air\ friction} = K_f - K_i$
चूँकि वस्तु को गिराया गया है,प्रारंभिक वेग $u = 0$ है,इसलिए $K_i = 0$ है।
गुरुत्वाकर्षण बल द्वारा किया गया कार्य $W_{gravity} = mgh$ है।
अंतिम गतिज ऊर्जा $K_f = \frac{1}{2} m v^2 = \frac{1}{2} m (0.8 \sqrt{gh})^2$ है।
$K_f = \frac{1}{2} m (0.64 gh) = 0.32 mgh$.
इन मानों को प्रमेय में रखने पर:
$mgh + W_{air\ friction} = 0.32 mgh - 0$
$W_{air\ friction} = 0.32 mgh - mgh = -0.68 mgh$.
अतः,वायु घर्षण द्वारा किया गया कार्य $-0.68 mgh$ है।

(D) माना गोलक का द्रव्यमान $m$ है, लोलक की लंबाई $l = 0.5 \, m$ है, और निम्नतम बिंदु पर प्रारंभिक चाल $u = 3 \, m/s$ है।
निम्नतम बिंदु $(A)$ और उस बिंदु $(B)$ के बीच यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण के नियम का उपयोग करने पर जहाँ डोरी ऊर्ध्वाधर के साथ $\theta = 60^{\circ}$ का कोण बनाती है:
$A$ पर कुल ऊर्जा = $B$ पर कुल ऊर्जा
$\frac{1}{2} mu^2 = \frac{1}{2} mv^2 + mgh$
जहाँ $h$ गोलक द्वारा प्राप्त ऊर्ध्वाधर ऊँचाई है, जो $h = l(1 - \cos \theta)$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर:
$\frac{1}{2} m(3)^2 = \frac{1}{2} mv^2 + mg(0.5)(1 - \cos 60^{\circ})$
$9 = v^2 + 2(10)(0.5)(1 - 0.5)$
$9 = v^2 + 10(0.5)$
$9 = v^2 + 5$
$v^2 = 4$
$v = 2 \, m/s$.

(D) कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार, किसी वस्तु पर कार्य करने वाले सभी बलों द्वारा किया गया कार्य उसकी गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है।
यहाँ, ब्लॉक पर कार्य करने वाला एकमात्र बल गुरुत्वाकर्षण है।
गुरुत्वाकर्षण द्वारा किया गया कार्य $(W_g)$ = गतिज ऊर्जा में परिवर्तन $(\Delta K)$
$W_g = K_B - K_A$
चूँकि ब्लॉक को बिंदु $A$ से गिराया जाता है, इसका प्रारंभिक वेग शून्य है, इसलिए $K_A = 0$ है।
बिंदु $A$ से बिंदु $B$ तक ब्लॉक का ऊर्ध्वाधर विस्थापन $y_0$ है।
इसलिए, गुरुत्वाकर्षण द्वारा किया गया कार्य $W_g = m g y_0$ है।
इन मानों को कार्य-ऊर्जा प्रमेय में प्रतिस्थापित करने पर:
$m g y_0 = K_B - 0$
$K_B = m g y_0$

(D) कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,नेट बल द्वारा किया गया कार्य गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है: $W = \Delta K.E. = K_f - K_i$.
यहाँ द्रव्यमान $m = 500 \,g = 0.5 \,kg$ और वेग $v = b x^{5/2}$ दिया गया है।
$x_i = 0$ पर,$v_i = b(0)^{5/2} = 0$,इसलिए $K_i = 0$.
$x_f = 4 \,m$ पर,$v_f = b(4)^{5/2} = 0.25 \times (2^2)^{5/2} = 0.25 \times 2^5 = 0.25 \times 32 = 8 \,m/s$.
किया गया कार्य $W = \frac{1}{2} m v_f^2 - 0 = \frac{1}{2} \times 0.5 \times (8)^2$.
$W = 0.25 \times 64 = 16 \,J$.

(B) कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,किया गया कुल कार्य गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है: $W = \Delta K = K_f - K_i$.
दिया गया द्रव्यमान $m = 0.5\, kg$ और वेग $v = (3x^2 + 4)\, m/s$ है।
प्रारंभिक स्थिति $x_i = 0\, m$ पर,वेग $v_i = 3(0)^2 + 4 = 4\, m/s$ है।
अंतिम स्थिति $x_f = 2\, m$ पर,वेग $v_f = 3(2)^2 + 4 = 3(4) + 4 = 16\, m/s$ है।
गतिज ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta K = \frac{1}{2} m (v_f^2 - v_i^2)$ है।
मान रखने पर: $W = \frac{1}{2} \times 0.5 \times (16^2 - 4^2)$.
$W = 0.25 \times (256 - 16) = 0.25 \times 240$.
$W = 60\, J$.

(D) कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,स्प्रिंग बल द्वारा किया गया कार्य ब्लॉक की गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है।
$W_{\text{net}} = K_f - K_i$
दिया गया है कि प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $K_i = E = \frac{1}{2}mv^2$ है।
जब गति आधी हो जाती है,तो अंतिम गति $v' = \frac{v}{2}$ होती है।
अंतिम गतिज ऊर्जा $K_f = \frac{1}{2}m(\frac{v}{2})^2 = \frac{1}{4}(\frac{1}{2}mv^2) = \frac{E}{4}$ है।
स्प्रिंग को $x = 25\,cm = 0.25\,m = \frac{1}{4}\,m$ की दूरी तक संपीड़ित करने में स्प्रिंग द्वारा किया गया कार्य $W = -\frac{1}{2}Kx^2$ है।
कार्य-ऊर्जा प्रमेय लागू करने पर:
$-\frac{1}{2}Kx^2 = K_f - K_i$
$-\frac{1}{2}K(\frac{1}{4})^2 = \frac{E}{4} - E$
$-\frac{1}{2}K(\frac{1}{16}) = -\frac{3E}{4}$
$\frac{K}{32} = \frac{3E}{4}$
$K = \frac{3E \times 32}{4} = 24E$
इसकी तुलना $nE$ से करने पर,हमें $n = 24$ प्राप्त होता है।

(A) माना कि जब कण अर्धगोले से अलग होता है तो उसकी चाल $v$ है।
चूँकि सतह चिकनी है,इसलिए कोई घर्षण नहीं है और यांत्रिक ऊर्जा संरक्षित रहती है।
कण अर्धगोले के शीर्ष से विरामावस्था से चलना शुरू करता है (क्षैतिज सतह से $R$ ऊँचाई)।
शीर्ष पर स्थितिज ऊर्जा $U_i = mgR$ है।
$h$ ऊँचाई पर स्थितिज ऊर्जा $U_f = mgh$ है।
$h$ ऊँचाई पर गतिज ऊर्जा $K_f = \frac{1}{2}mv^2$ है।
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार:
$U_i = U_f + K_f$
$mgR = mgh + \frac{1}{2}mv^2$
$mg(R-h) = \frac{1}{2}mv^2$
$v^2 = 2g(R-h)$
$v = \sqrt{2g(R-h)}$
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(C) चूँकि ब्लॉक नत समतल पर स्थिर चाल से नीचे फिसल रहा है,इसलिए इसका त्वरण शून्य है। अतः,जब ब्लॉक ऊँचाई $h$ से जमीन पर पहुँचता है,तो उसकी गतिज ऊर्जा में परिवर्तन $(\Delta KE)$ शून्य होता है।
कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,ब्लॉक पर किया गया कुल कार्य उसकी गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है:
$W_{\text{total}} = \Delta KE = 0$
कुल कार्य गुरुत्वाकर्षण द्वारा किए गए कार्य $(W_{\text{gravity}})$ और घर्षण द्वारा किए गए कार्य $(W_{\text{friction}})$ का योग है:
$W_{\text{gravity}} + W_{\text{friction}} = 0$
जब ब्लॉक $h$ ऊर्ध्वाधर ऊँचाई नीचे उतरता है,तो गुरुत्वाकर्षण द्वारा किया गया कार्य $W_{\text{gravity}} = mgh$ होता है।
इस मान को समीकरण में रखने पर:
$mgh + W_{\text{friction}} = 0$
$W_{\text{friction}} = -mgh$
घर्षण द्वारा क्षयित ऊर्जा घर्षण बल द्वारा किए गए कार्य का परिमाण है:
$\text{क्षयित ऊर्जा} = |W_{\text{friction}}| = mgh$.

(B) मान लीजिए द्रव्यमान केंद्र की प्रारंभिक स्थिति $h_i = 1.0 \,m$ है।
जब वह अपने घुटनों को मोड़ती है,तो द्रव्यमान केंद्र $0.2 \,m$ नीचे चला जाता है,इसलिए नई स्थिति $h_{new} = 1.0 - 0.2 = 0.8 \,m$ है।
वह जमीन पर $d = 0.2 \,m$ की दूरी तक एक स्थिर बल $F$ लगाती है।
अधिकतम ऊंचाई पर,पैर जमीन से $0.3 \,m$ ऊपर होते हैं। चूंकि सीधे खड़े होने पर द्रव्यमान केंद्र पैरों से $1.0 \,m$ ऊपर होता है,इसलिए द्रव्यमान केंद्र की अंतिम ऊंचाई $h_f = 0.3 + 1.0 = 1.3 \,m$ है।
बल लगाना शुरू करने के स्थान से अधिकतम ऊंचाई तक कार्य-ऊर्जा प्रमेय लागू करने पर:
बल $F$ द्वारा किया गया कार्य + गुरुत्वाकर्षण द्वारा किया गया कार्य = गतिज ऊर्जा में परिवर्तन।
$F \times 0.2 - Mg(h_f - h_{new}) = 0 - 0$.
$F \times 0.2 - Mg(1.3 - 0.8) = 0$.
$F \times 0.2 = Mg \times 0.5$.
$\frac{F}{Mg} = \frac{0.5}{0.2} = 2.5$.

(D) कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,किसी वस्तु पर कार्य करने वाले सभी बलों द्वारा किया गया कार्य उसकी गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है।
$W = \Delta K = K_f - K_i$
दिया गया है:
द्रव्यमान $m = 20 \,g = 0.02 \,kg$
प्रारंभिक वेग $v_i = 100 \,m/s$
अंतिम वेग $v_f = 50 \,m/s$
$W = \frac{1}{2} m v_f^2 - \frac{1}{2} m v_i^2 = \frac{1}{2} m (v_f^2 - v_i^2)$
$W = \frac{1}{2} \times 0.02 \times (50^2 - 100^2)$
$W = 0.01 \times (2500 - 10000)$
$W = 0.01 \times (-7500) = -75 \,J$
हवा के प्रतिरोध द्वारा किया गया कार्य $-75 \,J$ है। चूंकि प्रश्न में हवा के प्रतिरोध द्वारा किए गए कार्य की मात्रा पूछी गई है,इसलिए हम इसके परिमाण पर विचार करते हैं,जो $75 \,J$ है।

(B) कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,वस्तु पर किया गया कुल कार्य उसकी गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है: $W_{\text{net}} = \Delta K$.
ऊपर की ओर गति के दौरान,गुरुत्वाकर्षण बल $(w = mg)$ और वायु प्रतिरोध बल $(f)$ दोनों नीचे की ओर कार्य करते हैं,जो गति का विरोध करते हैं।
गुरुत्वाकर्षण द्वारा किया गया कार्य $W_g = -wh = -mgh$ है।
वायु प्रतिरोध द्वारा किया गया कार्य $W_f = -fh$ है।
गतिज ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta K = K_f - K_i = 0 - \frac{1}{2}mv_0^2$ है।
प्रमेय लागू करने पर: $W_g + W_f = \Delta K$.
$-mgh - fh = -\frac{1}{2}mv_0^2$.
$m$ से विभाजित करने पर: $-gh - \frac{f}{m}h = -\frac{1}{2}v_0^2$.
चूंकि $w = mg$,इसलिए $m = \frac{w}{g}$। इस मान को प्रतिरोध वाले पद में रखने पर: $-gh - \frac{fg}{w}h = -\frac{1}{2}v_0^2$.
$h(g + \frac{fg}{w}) = \frac{1}{2}v_0^2$.
$h g (1 + \frac{f}{w}) = \frac{1}{2}v_0^2$.
$h = \frac{v_0^2}{2g(1 + \frac{f}{w})}$.

(C) कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,किसी वस्तु पर किया गया कुल कार्य उसकी गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है: $W_{\text{all}} = \Delta K$.
यहाँ,चाकू पर कार्य करने वाले बल गुरुत्वाकर्षण और लकड़ी के ब्लॉक द्वारा लगाया गया प्रतिरोध बल हैं। चूँकि चाकू विरामावस्था से शुरू होता है और अंत में स्थिर हो जाता है,इसलिए गतिज ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta K = 0$ है।
अतः,$W_{\text{gravity}} + W_{\text{block}} = 0$.
चाकू का कुल ऊर्ध्वाधर विस्थापन $(x + y)$ है। इसलिए,गुरुत्वाकर्षण द्वारा किया गया कार्य $W_{\text{gravity}} = m g (x + y)$ है।
इस मान को समीकरण में रखने पर: $m g (x + y) + W_{\text{block}} = 0$.
ब्लॉक द्वारा किए गए कार्य के लिए हल करने पर: $W_{\text{block}} = -m g (x + y)$.

(D) माना कि ब्लॉक द्वारा नत समतल पर तय की गई कुल दूरी $d$ है।
यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,ब्लॉक की गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा में हुई कमी,स्प्रिंग की प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा में हुई वृद्धि के बराबर होती है।
ब्लॉक द्वारा तय की गई कुल दूरी $d$ है। ब्लॉक द्वारा तय की गई ऊर्ध्वाधर ऊँचाई $h = d \sin 45^{\circ}$ है।
ब्लॉक स्प्रिंग को $x = 1 \, m$ तक संपीड़ित करने के बाद रुक जाता है।
अतः,प्रारंभिक स्थितिज ऊर्जा $U_i = mgd \sin 45^{\circ}$।
अंतिम स्थितिज ऊर्जा $U_f = \frac{1}{2} k x^2$।
$U_i = U_f$ को बराबर रखने पर:
$mgd \sin 45^{\circ} = \frac{1}{2} k x^2$
$(\sqrt{2}) \times 10 \times d \times \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1}{2} \times 100 \times (1)^2$
$10d = 50$
$d = 5 \, m$.

(D) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 2 \, kg$,स्थिति $x = \frac{t^2}{3}$.
सबसे पहले,$x$ का $t$ के सापेक्ष अवकलन करके वेग $v$ ज्ञात करें: $v = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(\frac{t^2}{3}) = \frac{2t}{3}$.
$t = 0 \, s$ पर,वेग $v_i = \frac{2(0)}{3} = 0 \, m/s$.
$t = 2 \, s$ पर,वेग $v_f = \frac{2(2)}{3} = \frac{4}{3} \, m/s$.
कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,किया गया कार्य $W$ गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है $\Delta K.E. = \frac{1}{2} m v_f^2 - \frac{1}{2} m v_i^2$.
$W = \frac{1}{2} \times 2 \times (\frac{4}{3})^2 - 0 = \frac{16}{9} \, J$.

(C) कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,नेट बल द्वारा किया गया कार्य कण की गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है।
$W = \Delta K = K_f - K_i$
यहाँ $v = a \sqrt{x}$ और द्रव्यमान $m = 2 \,kg$ दिया गया है।
$x = 0$ पर,$v_i = a \sqrt{0} = 0$.
$x = 4 \,m$ पर,$v_f = a \sqrt{4} = 2a$.
प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $K_i = \frac{1}{2} m v_i^2 = \frac{1}{2} (2) (0)^2 = 0$.
अंतिम गतिज ऊर्जा $K_f = \frac{1}{2} m v_f^2 = \frac{1}{2} (2) (2a)^2 = 4a^2$.
अतः,किया गया कार्य $W = 4a^2 - 0 = 4a^2$.

(A) कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,किसी कण पर कार्य करने वाले सभी बलों (संरक्षी,असंरक्षी,आंतरिक और बाह्य) द्वारा किया गया कुल कार्य उसकी गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है।
गणितीय रूप से,$W_{\text{net}} = \Delta K = K_f - K_i$.
यह प्रमेय न्यूटन के गति के दूसरे नियम से व्युत्पन्न है और सभी जड़त्वीय निर्देश फ्रेम में मान्य है। जब अजड़त्वीय फ्रेम में छद्म बलों (pseudo forces) को शामिल किया जाता है,तब भी यह मान्य रहता है।
अतः,यह कथन हमेशा लागू होता है।

(B) कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,ब्रेकिंग बल द्वारा किया गया कार्य बस की गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है।
$m$ द्रव्यमान वाली खाली बस के लिए:
$W = F \cdot x = \frac{1}{2} m v^2$ --- (समीकरण $1$)
भारित बस के लिए,नया द्रव्यमान $m' = m + 0.5 m = 1.5 m$ है। मान लीजिए कि नई रुकने की दूरी $x'$ है।
$W' = F \cdot x' = \frac{1}{2} (1.5 m) v^2$ --- (समीकरण $2$)
समीकरण $2$ को समीकरण $1$ से विभाजित करने पर:
$\frac{F \cdot x'}{F \cdot x} = \frac{\frac{1}{2} (1.5 m) v^2}{\frac{1}{2} m v^2}$
$\frac{x'}{x} = 1.5$
$x' = 1.5 x$
अतः,बस $1.5 x$ की दूरी तय करेगी।

(D) कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,ब्लॉक पर किया गया कुल कार्य उसकी गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है।
$W_{\text{total}} = \Delta KE = KE_f - KE_i$
यहाँ,$W_{\text{total}} = W_{\text{friction}} + W_{\text{gravity}}$ है।
ब्लॉक शीर्ष से शुरू होता है और नीचे रुक जाता है,इसलिए ऊंचाई में शुद्ध परिवर्तन $h = 2r = 2 \times 0.15\,m = 0.3\,m$ है।
गुरुत्वाकर्षण द्वारा किया गया कार्य $W_g = mg \times h = 1 \times 10 \times 0.3 = 3\,J$ है।
प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $KE_i = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2} \times 1 \times (22)^2 = \frac{484}{2} = 242\,J$ है।
अंतिम गतिज ऊर्जा $KE_f = 0\,J$ है (क्योंकि यह रुक जाता है)।
कार्य-ऊर्जा प्रमेय लागू करने पर:
$W_f + W_g = KE_f - KE_i$
$W_f + 3 = 0 - 242$
$W_f = -242 - 3 = -245\,J$ है।
अतः,नली (घर्षण) द्वारा ब्लॉक पर किया गया कार्य $-245\,J$ है।

(B) कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,किया गया कार्य (खर्च की गई ऊर्जा) गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है।
पहली प्रक्रिया के लिए (विरामावस्था से $u \ m/s$ तक):
$E_1 = \frac{1}{2} m u^2 - 0 = \frac{1}{2} m u^2 = E$
दूसरी प्रक्रिया के लिए ($u \ m/s$ से $2u \ m/s$ तक):
$E_2 = \frac{1}{2} m (2u)^2 - \frac{1}{2} m u^2$
$E_2 = \frac{1}{2} m (4u^2) - \frac{1}{2} m u^2 = 2 m u^2 - 0.5 m u^2 = 1.5 m u^2 = 3 \left( \frac{1}{2} m u^2 \right)$
चूंकि $E = \frac{1}{2} m u^2$,इसलिए $E_2 = 3E$ प्राप्त होता है।
इसकी तुलना $nE$ से करने पर,हमें $n = 3$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया है,लोलक की लंबाई $\ell = 10 \ m$ और गुरुत्वीय त्वरण $g = 10 \ ms^{-2}$ है।
प्रारंभ में,गोलक क्षैतिज स्थिति में है,इसलिए सबसे निचले बिंदु के सापेक्ष इसकी प्रारंभिक स्थितिज ऊर्जा $U_i = mg\ell$ है।
गोलक को विरामावस्था से छोड़ा जाता है,इसलिए इसकी प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $K_i = 0$ है।
कुल प्रारंभिक ऊर्जा $E_i = mg\ell$ है।
जैसे ही गोलक सबसे निचले बिंदु की ओर बढ़ता है,यह हवा के प्रतिरोध के विरुद्ध अपनी प्रारंभिक ऊर्जा का $10 \%$ नष्ट कर देता है।
नष्ट हुई ऊर्जा = $0.10 \times mg\ell$.
सबसे निचले बिंदु पर शेष ऊर्जा = $E_f = E_i - 0.10 \times E_i = 0.90 \times mg\ell$.
सबसे निचले बिंदु पर,स्थितिज ऊर्जा $0$ है,इसलिए शेष बची हुई पूरी ऊर्जा गतिज ऊर्जा $K_f = \frac{1}{2}mv^2$ है।
ऊर्जाओं की तुलना करने पर: $\frac{1}{2}mv^2 = 0.90 \times mg\ell$.
$v^2 = 2 \times 0.90 \times g \times \ell = 1.8 \times 10 \times 10 = 180$.
$v = \sqrt{180} = \sqrt{36 \times 5} = 6\sqrt{5} \ ms^{-1}$.

(B) चूँकि ट्रैक घर्षण रहित है,इसलिए कण की कुल यांत्रिक ऊर्जा संरक्षित रहती है।
बिंदु $A$ और $B$ के बीच यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण का नियम लागू करने पर:
$KE_A + PE_A = KE_B + PE_B$
यहाँ,$KE_A = 0$ (चूँकि इसे धीरे से धकेला जाता है,प्रारंभिक वेग नगण्य है),$PE_A = mgh_A$,$KE_B = \frac{1}{2}mv^2$,और $PE_B = mgh_B$ है।
दिया गया है: $h_A = 1 \ m$,$h_B = 0.5 \ m$,और $g = 10 \ m/s^2$ है।
मान रखने पर:
$0 + mg(1) = \frac{1}{2}mv^2 + mg(0.5)$
$mg(1 - 0.5) = \frac{1}{2}mv^2$
$mg(0.5) = \frac{1}{2}mv^2$
$g = v^2$
$v = \sqrt{g} = \sqrt{10} \ m/s$.

(C) कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,सभी बलों द्वारा किया गया कुल कार्य कण की गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है।
$W = \Delta K = K_f - K_i$
दिया गया वेग समीकरण $v = \alpha \sqrt{x}$ है:
$x = 0$ पर,प्रारंभिक वेग $v_i = \alpha \sqrt{0} = 0$ है।
$x = d$ पर,अंतिम वेग $v_f = \alpha \sqrt{d}$ है।
प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $K_i = \frac{1}{2} m v_i^2 = \frac{1}{2} m (0)^2 = 0$ है।
अंतिम गतिज ऊर्जा $K_f = \frac{1}{2} m v_f^2 = \frac{1}{2} m (\alpha \sqrt{d})^2 = \frac{1}{2} m \alpha^2 d$ है।
अतः,किया गया कुल कार्य $W = \frac{1}{2} m \alpha^2 d - 0 = \frac{m \alpha^2 d}{2}$ होगा।

(B) कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,ब्लॉक पर किया गया कुल कार्य उसकी गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है:
$W_{total} = W_{force} + W_{gravity} = K_f - K_i$
यह दिया गया है कि ब्लॉक विरामावस्था से शुरू होता है,इसलिए $K_i = 0$ है। बल $F = 18 \ N$ को विस्थापन सदिश $\vec{PQ}$ के समानांतर लगाया जाता है। विस्थापन $PQ$ की लंबाई पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके ज्ञात की जाती है:
$PQ = \sqrt{OP^2 + OQ^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = 5 \ m$
बल द्वारा किया गया कार्य:
$W_{force} = F \times PQ = 18 \ N \times 5 \ m = 90 \ J$
गुरुत्वाकर्षण द्वारा किया गया कार्य:
$W_{gravity} = -mgh = -1 \ kg \times 10 \ m/s^2 \times 4 \ m = -40 \ J$
अतः,अंतिम गतिज ऊर्जा $K_f$ है:
$K_f = 90 \ J - 40 \ J = 50 \ J$
हमें $K_f = (n \times 10) \ J$ दिया गया है,इसलिए:
$n \times 10 = 50 \implies n = 5$