Work Energy Theorem and Conservation of Mechanical Energy Questions in Hindi

(B) कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,स्थितिज ऊर्जा में हुई हानि क्षैतिज सतह पर घर्षण के विरुद्ध किए गए कार्य के बराबर होती है।
माना प्रारंभिक ऊँचाई $h = 1.5 \ m$ है और घर्षण गुणांक $\mu = 0.2$ है।
प्रारंभ में स्थितिज ऊर्जा $PE = Mgh$ है।
क्षैतिज सतह पर $s$ दूरी तय करने में घर्षण द्वारा किया गया कार्य $W_f = f \cdot s = (\mu Mg) \cdot s$ है।
दोनों को बराबर करने पर: $Mgh = \mu Mgs$।
$s$ के लिए हल करने पर: $s = \frac{h}{\mu} = \frac{1.5}{0.2} = 7.5 \ m$।
चूँकि $7.5 \ m < 15 \ m$ है,इसलिए वस्तु बिंदु $P$ से $7.5 \ m$ की दूरी पर रुक जाएगी।

(A) प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $K_i = \frac{1}{2} m u^2 = \frac{1}{2} \times 2 \times (4)^2 = 16 \, J$.
आवश्यक ऊँचाई $h$ पर,गतिज ऊर्जा $K_f = \frac{1}{2} K_i = 8 \, J$ होगी।
ऊर्जा संरक्षण के नियम का उपयोग करते हुए: $K_i + P_i = K_f + P_f$.
जमीन को संदर्भ स्तर $(P_i = 0)$ के रूप में लेने पर,हमें प्राप्त होता है: $16 + 0 = 8 + mgh$.
$16 = 8 + 2 \times 10 \times h$.
$8 = 20h$.
$h = \frac{8}{20} = 0.4 \, m$.

(B) कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,सभी बलों द्वारा किया गया कार्य गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है।
बिंदु $A$ पर प्रारंभिक स्थितिज ऊर्जा $U_A = mgh = 2 \times 10 \times 1 = 20 \, J$ है।
बिंदु $C$ पर वस्तु स्थिर हो जाती है,इसलिए अंतिम गतिज ऊर्जा $0$ है।
कुल प्रारंभिक ऊर्जा $20 \, J$ है (मानते हुए कि $g = 10 \, m/s^2$ है)।
चूंकि वस्तु बिंदु $C$ पर रुक जाती है,इसलिए पूरी प्रारंभिक स्थितिज ऊर्जा घर्षण के विरुद्ध किए गए कार्य के रूप में व्यय हो जाती है।
अतः,घर्षण के विरुद्ध किया गया कार्य $W_f = 20 \, J$ है।

(B) मान लीजिए कि पिंड की कुल यांत्रिक ऊर्जा $E = mgh$ है,जहाँ $m$ द्रव्यमान है,$g$ गुरुत्वीय त्वरण है और $h$ अधिकतम ऊँचाई है।
$\frac{3h}{4}$ ऊँचाई पर,स्थितिज ऊर्जा $U = mgy = mg(\frac{3h}{4}) = \frac{3}{4}mgh$ होगी।
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,कुल ऊर्जा $E$ स्थिर रहती है।
अतः,इस ऊँचाई पर गतिज ऊर्जा $K = E - U = mgh - \frac{3}{4}mgh = \frac{1}{4}mgh$ होगी।
गतिज ऊर्जा और स्थितिज ऊर्जा का अनुपात $\frac{K}{U} = \frac{\frac{1}{4}mgh}{\frac{3}{4}mgh} = \frac{1}{3}$ है।

(A) कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,घर्षण द्वारा किया गया कार्य ब्लॉक की गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है।
उत्पन्न ऊष्मा घर्षण द्वारा किए गए कार्य के परिमाण के बराबर होती है।
दिया गया है: द्रव्यमान $m = 100 \, g = 0.1 \, kg$,प्रारंभिक वेग $u = 10 \, m/s$,अंतिम वेग $v = 5 \, m/s$.
गतिज ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta K = \frac{1}{2} m (u^2 - v^2)$.
$\Delta K = \frac{1}{2} \times 0.1 \times (10^2 - 5^2)$.
$\Delta K = 0.05 \times (100 - 25) = 0.05 \times 75 = 3.75 \, J$.
अतः,उत्पन्न ऊष्मा $3.75 \, J$ है।

(A) कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,निकाय पर किया गया कुल कार्य गेंद की गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है।
मान लीजिए गेंद की प्रारंभिक स्थिति स्प्रिंग से $h$ ऊँचाई पर है। अंतिम स्थिति तब है जब स्प्रिंग $d$ दूरी तक दब जाती है।
गेंद का कुल ऊर्ध्वाधर विस्थापन $(h + d)$ है।
गेंद पर कार्य करने वाले बल गुरुत्वाकर्षण (नीचे की ओर) और स्प्रिंग बल (ऊपर की ओर) हैं।
गुरुत्वाकर्षण द्वारा किया गया कार्य $W_g = mg(h + d)$ है।
स्प्रिंग बल द्वारा किया गया कार्य $W_s = -\int_0^d kx \, dx = -\frac{1}{2}kd^2$ है।
गेंद पर किया गया कुल कार्य $W_{net} = W_g + W_s = mg(h + d) - \frac{1}{2}kd^2$ है।
चूंकि गेंद विरामावस्था से शुरू होती है और अधिकतम संपीड़न $d$ पर क्षण भर के लिए रुक जाती है,इसलिए गतिज ऊर्जा में परिवर्तन शून्य है,जिसका अर्थ है कि पूरी प्रक्रिया के लिए $W_{net} = 0$ है। हालाँकि,प्रश्न में विस्थापन $d$ के दौरान बाहरी बलों (गुरुत्वाकर्षण और स्प्रिंग) द्वारा किया गया कुल कार्य पूछा गया है,जो $mg(h + d) - \frac{1}{2}kd^2$ है।

(C) ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा में हुई हानि,गतिज ऊर्जा में हुई वृद्धि के बराबर होती है।
दिया गया है कि गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा में हानि $U$ है।
गतिज ऊर्जा में वृद्धि $\frac{1}{2}mv^2$ है।
दोनों को बराबर करने पर: $U = \frac{1}{2}mv^2$.
द्रव्यमान $m$ के लिए हल करने पर: $m = \frac{2U}{v^2}$.

(B) माना कि साम्यावस्था स्थिति प्राकृतिक लंबाई से $x$ दूरी पर है।
साम्यावस्था पर,स्प्रिंग बल गुरुत्वाकर्षण बल के बराबर होता है: $mg = kx$.
दिया गया है $k = mg/a$,अतः $mg = (mg/a)x$,जिससे $x = a$ प्राप्त होता है।
ऊर्जा संरक्षण के सिद्धांत का उपयोग करते हुए,गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा में हुई हानि,प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा में वृद्धि और साम्यावस्था स्थिति पर गतिज ऊर्जा के योग के बराबर होती है।
$mgx = \frac{1}{2}kx^2 + KE$.
$x = a$ और $k = mg/a$ प्रतिस्थापित करने पर:
$mg(a) = \frac{1}{2}(mg/a)(a^2) + KE$.
$mga = \frac{1}{2}mga + KE$.
$KE = mga - \frac{1}{2}mga = \frac{1}{2}mga$.

(C) कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,किसी वस्तु पर किया गया कुल कार्य उसकी गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है।
प्रेक्षक $A$ (जो एक जड़त्वीय निर्देश तंत्र में है) के लिए,ब्लॉक की प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $K_i = \frac{1}{2}mv_0^2$ है।
चूंकि ब्लॉक अंत में रुक जाता है,इसलिए अंतिम गतिज ऊर्जा $K_f = 0$ है।
अतः,ब्लॉक पर किया गया कुल कार्य $W_{net} = K_f - K_i = 0 - \frac{1}{2}mv_0^2 = -\frac{1}{2}mv_0^2$ है।

(C) $1$. इस निकाय में $m$ द्रव्यमान का एक ब्लॉक है जो $\mu$ घर्षण गुणांक वाली खुरदरी सतह पर $K$ स्प्रिंग नियतांक वाली स्प्रिंग से जुड़ा है।
$2$. चूंकि सतह खुरदरी है,इसलिए निकाय पर एक असंरक्षी बल (घर्षण) कार्य कर रहा है। अतः,यांत्रिक ऊर्जा संरक्षित नहीं रहती है।
$3$. निकाय पर कुल बाह्य बल शून्य नहीं है (दीवार और घर्षण के कारण),इसलिए रैखिक संवेग संरक्षित नहीं है।
$4$. कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,सभी बलों (संरक्षी और असंरक्षी) द्वारा किया गया कार्य निकाय की गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है। यह सिद्धांत किसी भी निकाय के लिए सार्वभौमिक रूप से लागू होता है,चाहे बल संरक्षी हों या असंरक्षी।
$5$. अतः,इस निकाय पर कार्य-ऊर्जा प्रमेय लागू किया जा सकता है।

(D) सही उत्तर $mgh = \frac{1}{2}mv^2$ है। यह समीकरण यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण के नियम का एक अनुप्रयोग है। इस स्थिति में,स्थितिज ऊर्जा में हुई हानि,$mgh$,गतिज ऊर्जा में हुई वृद्धि,$\frac{1}{2}mv^2$ के बराबर है।
अन्य समीकरण गति के समीकरण हैं जो केवल तभी मान्य होते हैं जब त्वरण स्थिर हो। चूंकि ट्रैक वक्रीय है,बॉक्स पर लगने वाले गुरुत्वाकर्षण बल का वह घटक जो ट्रैक की सतह के स्पर्शरेखीय है,बॉक्स के फिसलने के साथ बदलता रहता है। गुरुत्वाकर्षण बल का यही घटक बॉक्स को त्वरित करता है। न्यूटन के दूसरे नियम $F = ma$ के अनुसार,जैसे-जैसे बल बदलता है,त्वरण भी बदलता रहता है। चूंकि त्वरण स्थिर नहीं है,इसलिए अन्य समीकरण मान्य नहीं हैं।

(A) कण का द्रव्यमान $m = 100 \ g = 0.1 \ kg$ है।
प्रारंभिक वेग $u = 5 \ m/s$ है।
अधिकतम ऊंचाई पर,अंतिम वेग $v = 0 \ m/s$ होता है।
कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,सभी बलों द्वारा किया गया कार्य गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है: $W_{total} = \Delta K.E$.
यहाँ,ऊपर की गति के दौरान केवल गुरुत्वाकर्षण बल $(W_g)$ कार्य करता है।
$W_g = K.E_{final} - K.E_{initial} = 0 - \frac{1}{2} m u^2$.
$W_g = -\frac{1}{2} \times 0.1 \times (5)^2 = -0.5 \times 0.1 \times 25 = -1.25 \ J$.

(A) कुल यांत्रिक ऊर्जा $E$,गतिज ऊर्जा $K$ और स्थितिज ऊर्जा $U$ का योग है: $E = K + U = 2 \ J$।
अधिकतम चाल ज्ञात करने के लिए,हमें गतिज ऊर्जा $K = E - U$ को अधिकतम करना होगा।
यह तब होता है जब स्थितिज ऊर्जा $U(x)$ न्यूनतम होती है।
$U(x)$ का न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,हम अवकलन $\frac{dU}{dx} = 0$ लेते हैं:
$\frac{dU}{dx} = \frac{4x^3}{4} - \frac{2x}{2} = x^3 - x = 0$।
$x(x^2 - 1) = 0$,जिससे $x = 0, 1, -1$ प्राप्त होता है।
इन बिंदुओं पर $U(x)$ का मान जाँचने पर:
$U(0) = 0 \ J$।
$U(1) = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} = -\frac{1}{4} \ J$।
$U(-1) = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} = -\frac{1}{4} \ J$।
न्यूनतम स्थितिज ऊर्जा $U_{\min} = -\frac{1}{4} \ J$ है।
अतः,$K_{\max} = E - U_{\min} = 2 - (-0.25) = 2.25 \ J = \frac{9}{4} \ J$।
सूत्र $K_{\max} = \frac{1}{2}mv_{\max}^2$ में $m = 1 \ kg$ रखने पर:
$\frac{1}{2} \times 1 \times v_{\max}^2 = \frac{9}{4}$।
$v_{\max}^2 = \frac{9}{2}$।
$v_{\max} = \frac{3}{\sqrt{2}} \ m/s$।

(C) मान लीजिए कि जंजीर का प्रति इकाई लंबाई द्रव्यमान $\lambda = \frac{m}{L}$ है।
प्रारंभ में,जंजीर की $b$ लंबाई नत समतल पर है। इस भाग का द्रव्यमान केंद्र क्षैतिज सतह से $\frac{b}{2} \sin \theta$ की गहराई पर है।
प्रारंभ में जंजीर की स्थितिज ऊर्जा $PE_i = -(\lambda b) g (\frac{b}{2} \sin \theta) = -\frac{m g b^2}{2L} \sin \theta$ है।
अंत में,$L$ लंबाई की पूरी जंजीर नत समतल पर है। पूरी जंजीर का द्रव्यमान केंद्र क्षैतिज सतह से $\frac{L}{2} \sin \theta$ की गहराई पर है।
अंत में जंजीर की स्थितिज ऊर्जा $PE_f = -(m) g (\frac{L}{2} \sin \theta) = -\frac{m g L}{2} \sin \theta$ है।
यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,स्थितिज ऊर्जा में कमी गतिज ऊर्जा में वृद्धि के बराबर होती है:
$PE_i - PE_f = KE_f - KE_i$
$-\frac{m g b^2}{2L} \sin \theta - (-\frac{m g L}{2} \sin \theta) = \frac{1}{2} m v^2 - 0$
$\frac{m g}{2L} \sin \theta (L^2 - b^2) = \frac{1}{2} m v^2$
$v^2 = \frac{g \sin \theta}{L} (L^2 - b^2)$
$v = \sqrt{\frac{g \sin \theta}{L} (L^2 - b^2)}$

(C) माना बेलन की त्रिज्या $R$ है। बिंदु $A$ से बिंदु $B$ तक ब्लॉक द्वारा तय की गई ऊर्ध्वाधर ऊँचाई $h = R \cos \theta_1 - R \cos \theta_2 = R(\cos \theta_1 - \cos \theta_2)$ है।
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,प्राप्त गतिज ऊर्जा खोई हुई स्थितिज ऊर्जा के बराबर होती है: $\frac{1}{2}mv^2 = mgh = mgR(\cos \theta_1 - \cos \theta_2)$.
बिंदु $B$ पर,जैसे ही ब्लॉक सतह को छोड़ता है,अभिलंब बल $N$ शून्य हो जाता है। गति का त्रिज्यीय समीकरण $mg \cos \theta_2 - N = \frac{mv^2}{R}$ है।
$N = 0$ रखने पर,हमें $v^2 = Rg \cos \theta_2$ प्राप्त होता है।
इस मान को ऊर्जा समीकरण में रखने पर: $\frac{1}{2}m(Rg \cos \theta_2) = mgR(\cos \theta_1 - \cos \theta_2)$.
$mgR$ से भाग देने पर: $\frac{1}{2} \cos \theta_2 = \cos \theta_1 - \cos \theta_2$.
पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\frac{3}{2} \cos \theta_2 = \cos \theta_1$,या $\cos \theta_2 = \frac{2}{3} \cos \theta_1$.

(C) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 0.5\ g = 0.5 \times 10^{-3}\ kg$, स्प्रिंग नियतांक $k = 1.25\ N/cm = 125\ N/m$, संपीड़न $x = 2.0\ cm = 0.02\ m$, दूरी $d = 10\ cm = 0.1\ m$, घर्षण बल $f = 0.0475\ N$.
कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार, स्प्रिंग द्वारा किया गया कार्य और घर्षण के विरुद्ध किया गया कार्य का अंतर गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है:
$W_{spring} - W_{friction} = \Delta K$
$\frac{1}{2} k x^2 - f d = \frac{1}{2} m v^2$
मान रखने पर:
$\frac{1}{2} \times 125 \times (0.02)^2 - 0.0475 \times 0.1 = \frac{1}{2} \times 0.5 \times 10^{-3} \times v^2$
$0.5 \times 125 \times 4 \times 10^{-4} - 0.00475 = 0.25 \times 10^{-3} \times v^2$
$0.025 - 0.00475 = 0.25 \times 10^{-3} \times v^2$
$0.02025 = 0.25 \times 10^{-3} \times v^2$
$v^2 = \frac{0.02025}{0.25 \times 10^{-3}} = \frac{20.25}{0.25} = 81$
$v = 9\ m/s$.

(C) माना जंजीर का द्रव्यमान $M$ है। जंजीर की लंबाई $L = \pi R$ है। प्रति इकाई लंबाई का द्रव्यमान $\lambda = M/(\pi R)$ है।
प्रारंभ में,अर्धवृत्ताकार जंजीर का द्रव्यमान केंद्र क्षैतिज व्यास से $h_i = \frac{2R}{\pi}$ की ऊंचाई पर है।
प्रारंभिक स्थितिज ऊर्जा $PE_i = Mgh_i = Mg \frac{2R}{\pi}$. प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $KE_i = 0$.
जब जंजीर नली से बाहर निकलती है,तो यह ऊर्ध्वाधर रूप से लटकती है। $\pi R$ लंबाई की जंजीर का द्रव्यमान केंद्र क्षैतिज व्यास से $L/2 = \pi R / 2$ की दूरी नीचे होता है।
अंतिम स्थितिज ऊर्जा $PE_f = -Mg \frac{\pi R}{2}$. अंतिम गतिज ऊर्जा $KE_f = \frac{1}{2} Mv^2$.
यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार: $KE_i + PE_i = KE_f + PE_f$.
$0 + Mg \frac{2R}{\pi} = \frac{1}{2} Mv^2 - Mg \frac{\pi R}{2}$.
$MgR \left( \frac{2}{\pi} + \frac{\pi}{2} \right) = \frac{1}{2} Mv^2$.
$v^2 = 2gR \left( \frac{2}{\pi} + \frac{\pi}{2} \right)$.
$v = \sqrt{2gR \left( \frac{2}{\pi} + \frac{\pi}{2} \right)}$.

(C) कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,किसी वस्तु पर किया गया कुल कार्य उसकी गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है: $W = \Delta K = K_f - K_i$.
चूंकि दोनों बंदर समान ऊँचाई $h$ पर स्थिर अवस्था से शुरू करते हैं,इसलिए उनकी प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $K_i = 0$ समान है।
दोनों बंदर समान अंतिम ऊँचाई (शून्य) पर जमीन से टकराते हैं,इसलिए उनकी अंतिम गतिज ऊर्जा $K_f$ केवल स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन पर निर्भर करती है,जो दोनों के लिए $\Delta U = mgh$ है।
बंदर $B$ के लिए,कार्य करने वाला एकमात्र बल गुरुत्वाकर्षण है,इसलिए $W_B = \Delta K_B = mgh$.
बंदर $A$ के लिए,गुरुत्वाकर्षण और डोरी में तनाव बल कार्य करते हैं। झूलते समय तनाव बल विस्थापन के लंबवत कार्य करता है,इसलिए यह शून्य कार्य करता है। जब बंदर $A$ डोरी छोड़ता है,तो वह मुक्त पतन में होता है। इस प्रकार,बंदर $A$ पर किया गया कुल कार्य भी $W_A = mgh$ है।
चूंकि $W_A = W_B$,दोनों बंदरों की गतिज ऊर्जा में समान परिवर्तन होता है,और चूंकि वे स्थिर अवस्था से शुरू करते हैं,इसलिए उनकी अंतिम गतिज ऊर्जा $K_f = mgh$ समान है।
इसलिए,उनकी अंतिम गति $v = \sqrt{2gh}$ भी समान है: $v_A = v_B$.

(B) कंचा बिना फिसले लुढ़कता है। स्थैतिक घर्षण बल कंचे पर कार्य करता है,लेकिन यह कोई कार्य नहीं करता है क्योंकि संपर्क बिंदु ट्रैक के सापेक्ष क्षणिक रूप से स्थिर होता है। चूंकि हम वायु प्रतिरोध और किसी भी अन्य गैर-संरक्षी बलों (जैसे रोलिंग प्रतिरोध) की उपेक्षा कर रहे हैं,इसलिए प्रणाली की कुल यांत्रिक ऊर्जा संरक्षित रहती है।
प्रारंभ में,कंचा $h$ ऊंचाई पर विराम अवस्था में है,इसलिए इसकी कुल यांत्रिक ऊर्जा $E_i = mgh$ है।
दूसरी तरफ सबसे ऊंचे बिंदु पर,कंचा $h_1$ ऊंचाई पर क्षण भर के लिए रुक जाता है। इसका वेग शून्य है,इसलिए इसकी गतिज ऊर्जा (स्थानांतरणीय और घूर्णी दोनों) शून्य है। इसकी कुल यांत्रिक ऊर्जा $E_f = mgh_1$ है।
यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,$E_i = E_f$,जिसका अर्थ है $mgh = mgh_1$,या $h_1 = h$।
इसलिए,दूसरी तरफ प्राप्त ऊंचाई प्रारंभिक ऊंचाई के बराबर होती है,चाहे झुकाव कोण $\theta$ और $\phi$ कुछ भी हों।

(D) कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार, सभी बलों द्वारा किया गया कार्य गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है: $W = \Delta K = \frac{1}{2} m(v_f^2 - v_i^2)$.
चूंकि विस्थापन-समय $(s-t)$ ग्राफ का ढाल वेग $(v = ds/dt)$ को दर्शाता है, हम प्रत्येक क्षेत्र में ढाल का विश्लेषण करते हैं:
$1$. क्षेत्र $OA$ में, ढाल स्थिर है, इसलिए वेग स्थिर है। अतः, $\Delta K = 0$ और किया गया कार्य शून्य है।
$2$. क्षेत्र $AB$ में, ढाल बढ़ रहा है, जिसका अर्थ है कि वेग बढ़ रहा है $(v_f > v_i)$। इसलिए, गतिज ऊर्जा में परिवर्तन धनात्मक है, और सभी बलों द्वारा किया गया कार्य धनात्मक है।
$3$. क्षेत्र $BC$ में, ढाल घट रहा है, जिसका अर्थ है कि वेग घट रहा है $(v_f < v_i)$। इसलिए, गतिज ऊर्जा में परिवर्तन ऋणात्मक है, और सभी बलों द्वारा किया गया कार्य ऋणात्मक है।
अतः, सही कथन यह है कि क्षेत्र $AB$ में सभी बलों द्वारा किया गया कार्य धनात्मक है।

(C) कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,घर्षण द्वारा किया गया कार्य गुटके की गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है।
चूंकि सतह खुरदरी है,इसलिए गतिज ऊर्जा में हुई हानि ऊष्मीय ऊर्जा $(H)$ के रूप में व्यय होती है।
$H = |\Delta K| = |K_f - K_i| = |\frac{1}{2} m v_f^2 - \frac{1}{2} m v_i^2|$
दिया गया है: $m = 1\,kg$,$v_i = 10\,m/s$,$v_f = 8\,m/s$.
$H = \frac{1}{2} \times 1 \times (10^2 - 8^2)$
$H = \frac{1}{2} \times (100 - 64)$
$H = \frac{1}{2} \times 36 = 18\,J$.
अतः,उत्पन्न ऊष्मीय ऊर्जा $18\,J$ है।

(B) कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,पिंड पर किया गया कुल कार्य उसकी गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है।
$W_{\text{gravity}} + W_{\text{air friction}} = \Delta K.E.$
$W_{\text{gravity}} = mgH$
अंतिम गतिज ऊर्जा $K.E. = \frac{1}{2} m v^2 = \frac{1}{2} m (1.1 \sqrt{gH})^2 = \frac{1}{2} m (1.21 gH) = 0.605 mgH$
चूंकि पिंड विरामावस्था से शुरू होता है,इसलिए प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $0$ है।
अतः,$mgH + W_{\text{air friction}} = 0.605 mgH$
$W_{\text{air friction}} = 0.605 mgH - mgH = -0.395 mgH$
इसलिए,वायु घर्षण द्वारा किया गया कार्य $-0.395 mgH$ है।

(A) यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार, मीनार की चोटी पर कुल यांत्रिक ऊर्जा जमीन पर कुल यांत्रिक ऊर्जा के बराबर होनी चाहिए।
माना प्रत्येक कण का द्रव्यमान $m$ है, मीनार की ऊँचाई $h$ है और प्रारंभिक चाल $u$ है।
चोटी पर: $E_i = mgh + \frac{1}{2}mu^2$
जमीन पर: $E_f = 0 + \frac{1}{2}mV^2$
चूंकि $E_i = E_f$, इसलिए $mgh + \frac{1}{2}mu^2 = \frac{1}{2}mV^2$ होगा।
इसे सरल करने पर $V^2 = u^2 + 2gh$ या $V = \sqrt{u^2 + 2gh}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $u, g$ और $h$ तीनों कणों के लिए समान हैं, इसलिए फेंकने की दिशा चाहे जो भी हो, तीनों कणों के लिए अंतिम चाल $V$ समान रहेगी।
अतः, $V_A = V_B = V_C$।

(B) $2\, kg$ के ब्लॉक को जमीन छोड़ने के लिए,स्प्रिंग बल को $2\, kg$ के ब्लॉक के वजन के बराबर होना चाहिए: $kx = m_2g \Rightarrow 40x = 2 \times 10 \Rightarrow x = 0.5\, m$.
प्रारंभ में,स्प्रिंग अपनी प्राकृतिक लंबाई पर है (क्योंकि $5\, kg$ का ब्लॉक विरामावस्था से छोड़ा जाता है)। जब $5\, kg$ का ब्लॉक $x = 0.5\, m$ नीचे उतरता है,तो स्प्रिंग $x = 0.5\, m$ खिंच जाती है।
निकाय के लिए यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण $(COME)$ का नियम लागू करने पर ($5\, kg$ का ब्लॉक और स्प्रिंग):
$5\, kg$ ब्लॉक की गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा में कमी = $5\, kg$ ब्लॉक की गतिज ऊर्जा में वृद्धि + स्प्रिंग की प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा में वृद्धि।
$m_1gx = \frac{1}{2}m_1v^2 + \frac{1}{2}kx^2$
$5 \times 10 \times 0.5 = \frac{1}{2} \times 5 \times v^2 + \frac{1}{2} \times 40 \times (0.5)^2$
$25 = 2.5v^2 + 20 \times 0.25$
$25 = 2.5v^2 + 5$
$2.5v^2 = 20$
$v^2 = 8$
$v = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}\, m/s$.

(B) माना वस्तु रेत के फर्श से $v$ वेग से टकराती है। ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,$h$ ऊँचाई पर स्थितिज ऊर्जा टकराने से ठीक पहले गतिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है: $Mgh = \frac{1}{2} Mv^2$।
जब वस्तु रेत में प्रवेश करती है,तो वह स्थिर होने से पहले $x$ दूरी तय करती है। माना रेत का औसत प्रतिरोध बल $F$ है।
कार्य-ऊर्जा प्रमेय लागू करने पर: वस्तु पर किया गया कुल कार्य उसकी गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है।
रेत के अंदर वस्तु पर कार्य करने वाले बल भार $Mg$ (नीचे की ओर) और प्रतिरोध बल $F$ (ऊपर की ओर) हैं।
कुल बल द्वारा किया गया कार्य = $(F - Mg)x = \Delta K = 0 - \frac{1}{2} Mv^2$।
चूँकि $\frac{1}{2} Mv^2 = Mgh$,इसलिए $(F - Mg)x = Mgh$।
$Fx - Mgx = Mgh \implies Fx = Mgh + Mgx$।
$F = Mg \left( 1 + \frac{h}{x} \right)$।

(A) मान लीजिए कि गेंद को $h$ प्रारंभिक ऊँचाई से गिराया जाता है।
प्रारंभिक यांत्रिक ऊर्जा $E_i = mgh$ है।
उछाल के बाद,गेंद $h' = 80\% \text{ of } h = 0.8h = \frac{4}{5}h$ ऊँचाई तक पहुँचती है।
उछाल के बाद यांत्रिक ऊर्जा $E_f = mgh' = mg(\frac{4}{5}h) = \frac{4}{5}mgh$ है।
प्रत्येक उछाल में नष्ट हुई ऊर्जा $\Delta E = E_i - E_f = mgh - \frac{4}{5}mgh = \frac{1}{5}mgh$ है।
नष्ट हुई यांत्रिक ऊर्जा का अंश $\frac{\Delta E}{E_i} = \frac{\frac{1}{5}mgh}{mgh} = \frac{1}{5} = 0.20$ है।

(A) माना गोली का द्रव्यमान $m$ है और अवरोधक बल $F$ है। पहले मामले के लिए कार्य-ऊर्जा प्रमेय का उपयोग करने पर:
$W = \Delta K$
$-F \times 1 = 0 - \frac{1}{2} m (100)^2$
$F = 5000m$
अब,दूसरे मामले के लिए जहाँ मोटाई $0.5\,m$ है,माना अंतिम वेग $v'$ है।
$-F \times 0.5 = \frac{1}{2} m (v')^2 - \frac{1}{2} m (100)^2$
$F = 5000m$ प्रतिस्थापित करने पर:
$-(5000m) \times 0.5 = \frac{1}{2} m (v')^2 - \frac{1}{2} m (10000)$
$-2500m = \frac{1}{2} m (v')^2 - 5000m$
$2500m = \frac{1}{2} m (v')^2$
$(v')^2 = 5000$
$v' = \sqrt{5000} = 50\sqrt{2}\,m/s$.

(A) दिया गया वेग $v = a\sqrt{s}$ है।
चूंकि $v = \frac{ds}{dt}$,इसलिए $\frac{ds}{dt} = a\sqrt{s}$ है।
चरों को अलग करने पर,$\int s^{-1/2} ds = \int a dt$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$2\sqrt{s} = at + C$ प्राप्त होता है। चूंकि पिंड $t=0$ पर विरामावस्था से शुरू होता है $(s=0)$,इसलिए $C=0$ है।
अतः,$\sqrt{s} = \frac{at}{2}$,जिसका अर्थ है $s = \frac{a^2 t^2}{4}$।
$s$ का $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,वेग $v = \frac{ds}{dt} = \frac{a^2 t}{2}$ प्राप्त होता है।
$v$ का $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,त्वरण $a_{acc} = \frac{dv}{dt} = \frac{a^2}{2}$ प्राप्त होता है।
कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,कुल कार्य गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है: $W = \Delta K = \frac{1}{2} m v^2$।
$v = \frac{a^2 t}{2}$ का मान रखने पर,$W = \frac{1}{2} m \left( \frac{a^2 t}{2} \right)^2 = \frac{1}{2} m \left( \frac{a^4 t^2}{4} \right) = \frac{1}{8} m a^4 t^2$ प्राप्त होता है।

(C) दिए गए वेग-समय ग्राफ से,$t = 0$ पर प्रारंभिक वेग $u = 50\, m/s$ है और $t = 10\, s$ पर अंतिम वेग $v = 0\, m/s$ है।
त्वरण $a$ ग्राफ का ढाल है:
$a = \frac{v_f - v_i}{t_f - t_i} = \frac{0 - 50}{10 - 0} = -5\, m/s^2$.
$t = 2\, s$ पर वेग $v(t) = u + at$ द्वारा प्राप्त होता है:
$v(2) = 50 + (-5)(2) = 50 - 10 = 40\, m/s$.
कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,किया गया कार्य $W$ गतिज ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta K.E.$ के बराबर होता है:
$W = \Delta K.E. = \frac{1}{2} m (v_f^2 - v_i^2)$
$W = \frac{1}{2} \times 10\, kg \times ((40\, m/s)^2 - (50\, m/s)^2)$
$W = 5 \times (1600 - 2500)$
$W = 5 \times (-900) = -4500\, J$.

(D) ब्लॉक अपनी अधिकतम गति तब प्राप्त करता है जब उसका त्वरण शून्य हो जाता है।
इस बिंदु पर,स्प्रिंग बल लगाए गए बल $F$ को संतुलित करता है,इसलिए $kx = F$,जिससे $x = \frac{F}{k}$ प्राप्त होता है।
कार्य-ऊर्जा प्रमेय लागू करने पर,ब्लॉक पर किया गया कुल कार्य उसकी गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है:
$W_{\text{spring}} + W_F = \Delta K.E.$
$-\frac{1}{2}kx^2 + Fx = \frac{1}{2}mv_{\max}^2$
समीकरण में $x = \frac{F}{k}$ रखने पर:
$-\frac{1}{2}k\left(\frac{F}{k}\right)^2 + F\left(\frac{F}{k}\right) = \frac{1}{2}mv_{\max}^2$
$-\frac{F^2}{2k} + \frac{F^2}{k} = \frac{1}{2}mv_{\max}^2$
$\frac{F^2}{2k} = \frac{1}{2}mv_{\max}^2$
$v_{\max}^2 = \frac{F^2}{mk}$
$v_{\max} = \frac{F}{\sqrt{mk}}$

(D) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 2\,kg$, स्थिति $x = 3t^2 + 5$.
सबसे पहले, समय के सापेक्ष स्थिति का अवकलन करके वेग $v$ ज्ञात करें: $v = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(3t^2 + 5) = 6t\,m/s$.
$t = 0\,s$ पर, वेग $v_i = 6(0) = 0\,m/s$.
$t = 5\,s$ पर, वेग $v_f = 6(5) = 30\,m/s$.
कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार, किया गया कार्य $W$ गतिज ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta K$ के बराबर होता है: $W = \Delta K = K_f - K_i$.
$W = \frac{1}{2}mv_f^2 - \frac{1}{2}mv_i^2$.
$W = \frac{1}{2}(2)(30)^2 - \frac{1}{2}(2)(0)^2$.
$W = 900 - 0 = 900\,J$.

(D) कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,कण पर परिणामी बल द्वारा किया गया कार्य उसकी गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है।
$W = \Delta K.E. = K.E._{final} - K.E._{initial}$
दिया गया है:
बल $\vec F = 3\hat i - 12\hat j$
विस्थापन $\vec d = 4\hat i$
प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $K.E._{initial} = 3\, J$
किया गया कार्य $W = \vec F \cdot \vec d = (3\hat i - 12\hat j) \cdot (4\hat i) = (3 \times 4) + (-12 \times 0) = 12\, J$
प्रमेय का उपयोग करते हुए:
$12 = K.E._{final} - 3$
$K.E._{final} = 12 + 3 = 15\, J$

(D) बिंदु $A$ और बिंदु $B$ के बीच ऊर्जा संरक्षण के नियम का उपयोग करने पर:
$E_A = E_B$
$\frac{1}{2}mv_A^2 + mgh = \frac{1}{2}mv_B^2$
$v_B = \sqrt{v_A^2 + 2gh}$
यहाँ $v_A = 5\,m/s$,$g = 10\,m/s^2$,और $h = 10\,m$ दिया गया है:
$v_B = \sqrt{5^2 + 2 \times 10 \times 10} = \sqrt{25 + 200} = \sqrt{225} = 15\,m/s$
बिंदु $B$ पर,कण बिंदु $O$ से $r = a = 10\,m$ की दूरी पर है। $B$ पर वेग सदिश त्रिज्या $OB$ के लंबवत है।
$O$ के परितः कोणीय संवेग $L$ इस प्रकार है:
$L = m \cdot v_B \cdot r$
$L = (20 \times 10^{-3}\,kg) \times (15\,m/s) \times (10\,m)$
$L = 0.02 \times 150 = 3\,kg \cdot m^2/s$.

(A) दिया गया है:
गोली का द्रव्यमान,$m = 20\,g = 20 \times 10^{-3}\,kg = 0.02\,kg$
प्रारंभिक वेग,$u = 1\,ms^{-1}$
दीवार की मोटाई,$s = 20\,cm = 0.2\,m$
औसत प्रतिरोध बल,$F = 2.5 \times 10^{-2}\,N$
कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,प्रतिरोध बल द्वारा किया गया कार्य गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है:
$W = \Delta K$
$-F \times s = \frac{1}{2}m(v^2 - u^2)$
मान रखने पर:
$-(2.5 \times 10^{-2}) \times 0.2 = \frac{1}{2} \times (20 \times 10^{-3}) \times (v^2 - 1^2)$
$-0.5 \times 10^{-2} = 10 \times 10^{-3} \times (v^2 - 1)$
$-0.005 = 0.01 \times (v^2 - 1)$
$-0.5 = v^2 - 1$
$v^2 = 1 - 0.5 = 0.5$
$v = \sqrt{0.5} \approx 0.707\,ms^{-1}$
अतः,गति लगभग $0.7\,ms^{-1}$ है।

(A) यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,स्थितिज ऊर्जा में हुई कमी सबसे निचले बिंदु पर गतिज ऊर्जा में हुई वृद्धि के बराबर होती है।
मान लीजिए बच्चे का द्रव्यमान $m$ है,गुरुत्वीय त्वरण $g = 10\,m/s^2$,$h_{max} = 2\,m$,और $h_{min} = 0.75\,m$ है।
स्थितिज ऊर्जा में कमी = $mg(h_{max} - h_{min})$
गतिज ऊर्जा में वृद्धि = $\frac{1}{2}mv^2$
दोनों को बराबर करने पर:
$mg(2 - 0.75) = \frac{1}{2}mv^2$
$g(1.25) = \frac{1}{2}v^2$
$v^2 = 2 \times 10 \times 1.25$
$v^2 = 25$
$v = 5\,m/s$.

(D) कार्य-ऊर्जा प्रमेय बताता है कि किसी वस्तु पर सभी बलों (बाह्य,आंतरिक,संरक्षी और असंरक्षी) द्वारा किया गया कुल कार्य उसकी गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है,अर्थात $W_{net} = \Delta K$।
यह प्रमेय न्यूटन के गति के दूसरे नियम से प्राप्त होता है और यांत्रिकी का एक मूलभूत सिद्धांत है।
यह इसमें शामिल बलों की प्रकृति पर निर्भर नहीं करता है,चाहे वे संरक्षी हों या असंरक्षी।
इसलिए,कार्य-ऊर्जा प्रमेय सभी प्रकार के बलों की उपस्थिति में मान्य है।

(B) मान लीजिए जंजीर का द्रव्यमान $m$ और लंबाई $2l$ है। प्रारंभ में,यह पिन पर सममित रूप से लटकी है,इसलिए प्रत्येक तरफ $l$ लंबाई है। प्रत्येक आधे हिस्से का द्रव्यमान केंद्र पिन से $l/2$ दूरी नीचे है।
जब जंजीर को विस्थापित किया जाता है,तो मान लीजिए कि यह $x$ दूरी फिसलती है। दोनों तरफ नई लंबाई $(l+x)$ और $(l-x)$ है।
यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण $(COME)$ का उपयोग करते हुए: स्थितिज ऊर्जा $(P.E.)$ में कमी = गतिज ऊर्जा $(K.E.)$ में वृद्धि।
प्रारंभ में,प्रत्येक आधे हिस्से का द्रव्यमान केंद्र पिन के सापेक्ष $h_i = -l/2$ पर है। कुल $P.E._i = 2 \times (m/2)g(-l/2) = -mgl/2$.
अंत में,जब जंजीर पिन को छोड़ती है,तो एक सिरा $2l$ पर और दूसरा $0$ पर होता है। द्रव्यमान केंद्र $h_f = -l$ पर है। कुल $P.E._f = mg(-l) = -mgl$.
$P.E.$ में परिवर्तन = $P.E._i - P.E._f = (-mgl/2) - (-mgl) = mgl/2$.
$K.E. = \frac{1}{2}mv^2$ के बराबर रखने पर,हमें $\frac{1}{2}mv^2 = mgl/2$ प्राप्त होता है,जिसे सरल करने पर $v = \sqrt{gl}$ मिलता है।

(C) कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,किसी पिंड पर बाह्य बल द्वारा किया गया कार्य उसकी गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है $(W = \Delta K)$।
इसके अतिरिक्त,बाह्य बल द्वारा किया गया कार्य किसी निकाय की स्थितिज ऊर्जा को भी बदल सकता है (उदाहरण के लिए,गुरुत्वाकर्षण के विरुद्ध किसी वस्तु को ऊपर उठाना)।
इसलिए,बल और निकाय की प्रकृति के आधार पर,एक बाह्य बल गतिज ऊर्जा,स्थितिज ऊर्जा,या दोनों को एक साथ बढ़ा सकता है।
अतः,सही कथन यह है कि गतिज और स्थितिज ऊर्जा दोनों बढ़ सकती हैं।

(A) यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,पिंड द्वारा खोई गई स्थितिज ऊर्जा उसके द्वारा प्राप्त गतिज ऊर्जा के बराबर होती है।
मान लीजिए $m$ पिंड का द्रव्यमान है,$g$ गुरुत्वीय त्वरण है,$h$ ऊँचाई है और $v$ अंतिम वेग है।
खोई गई स्थितिज ऊर्जा = $mgh$
प्राप्त गतिज ऊर्जा = $\frac{1}{2}mv^2$
दोनों को बराबर करने पर: $mgh = \frac{1}{2}mv^2$
$v^2 = 2gh$
यहाँ $h = 1 \, m$ और $g = 9.8 \, m/s^2$ दिया गया है:
$v = \sqrt{2 \times 9.8 \times 1} = \sqrt{19.6} \approx 4.43 \, m/s$.

(D) निलंबन बिंदु की ऊँचाई तक पहुँचने के लिए,गोले को गुरुत्वाकर्षण के विरुद्ध किए गए कार्य के बराबर स्थितिज ऊर्जा प्राप्त करनी होगी।
मान लीजिए गोले का द्रव्यमान $m$ है और प्रारंभिक वेग $v$ है।
सबसे निचले बिंदु पर,गतिज ऊर्जा $K.E. = \frac{1}{2}mv^2$ है।
निलंबन बिंदु की ऊँचाई पर,स्थितिज ऊर्जा $P.E. = mg\ell$ है।
यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार:
$\frac{1}{2}mv^2 = mg\ell$
$v^2 = 2g\ell$
$v = \sqrt{2g\ell}$

(A) कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,प्रतिरोधी बल द्वारा किया गया कार्य गोली की गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है।
$W = \Delta K$
$F \cdot s = \frac{1}{2} m u^2$
दिया गया है:
द्रव्यमान $m = 25\,g = 25 \times 10^{-3}\,kg$
वेग $u = 200\,m/s$
दूरी $s = 5\,cm = 5 \times 10^{-2}\,m$
मान रखने पर:
$F = \frac{m u^2}{2 s} = \frac{25 \times 10^{-3} \times (200)^2}{2 \times 5 \times 10^{-2}}$
$F = \frac{25 \times 10^{-3} \times 40000}{10 \times 10^{-2}}$
$F = \frac{1000}{0.1} = 10000\,N$
$F = 10\,kN$.

(A) कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,किसी वस्तु पर किया गया कार्य उसकी गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है।
$W = \Delta K$
चूंकि प्रारंभिक गतिज ऊर्जा शून्य है,इसलिए किया गया कार्य अंतिम गतिज ऊर्जा के बराबर है:
$W = \frac{1}{2}mv^2$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर ($W = 25\,J$,$m = 2\,kg$):
$25 = \frac{1}{2} \times 2 \times v^2$
$25 = v^2$
$v = \sqrt{25} = 5\,m/s$
अतः,द्रव्यमान द्वारा प्राप्त वेग $5\,m/s$ है।

(A) मान लीजिए कि निलंबन बिंदु $O$ है। लोलक को $A$ से छोड़ा जाता है,जहाँ डोरी क्षैतिज है।
बिंदु $B$ पर,डोरी ऊर्ध्वाधर के साथ $30^{\circ}$ का कोण बनाती है। बिंदु $A$ के क्षैतिज स्तर से बिंदु $B$ की ऊर्ध्वाधर दूरी $h = l \sin 30^{\circ}$ होगी।
अतः,$h = l \times \frac{1}{2} = \frac{l}{2}$.
यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,$B$ पर गतिज ऊर्जा में वृद्धि,$A$ से $B$ तक जाने में स्थितिज ऊर्जा में हुई कमी के बराबर होती है।
स्थितिज ऊर्जा में कमी $= mgh = mg(\frac{l}{2}) = \frac{mgl}{2}$.
अतः,बिंदु $B$ पर गतिज ऊर्जा में वृद्धि $\frac{mgl}{2}$ है।

(C) यांत्रिक ऊर्जा $E$ को गतिज ऊर्जा $K$ और स्थितिज ऊर्जा $U$ के योग के रूप में परिभाषित किया गया है,इसलिए $E = K + U$। अतः,कथन $(A)$ सही है।
यांत्रिक ऊर्जा केवल तभी संरक्षित रहती है जब केवल संरक्षी बल कार्य करते हैं। यदि निकाय पर कोई असंरक्षी बल (जैसे घर्षण) कार्य करता है,तो यह आमतौर पर यांत्रिक ऊर्जा को बदल देता है (अक्सर इसे ऊष्मा के रूप में नष्ट कर देता है)। इसलिए,कथन $(B)$ गलत है।
संरक्षी बल $W_c$ द्वारा किया गया कार्य स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन के ऋणात्मक के बराबर होता है,अर्थात $W_c = -\Delta U$। चूंकि $\Delta E = \Delta K + \Delta U$,यदि केवल संरक्षी बल कार्य करते हैं,तो $\Delta E = 0$ होता है। कथन $(C)$ दावा करता है कि $W_c = -\Delta E$,जो केवल तभी सत्य है यदि $\Delta K = 0$ हो। सामान्यतः,$W_c = -\Delta U$ होता है,न कि $-\Delta E$। अतः,कथन $(C)$ भी गलत है।

(A) कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,मनके पर किया गया कुल कार्य उसकी गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है।
$W_{F} + W_{mg} + W_{N} = \Delta K$
यहाँ,$W_{F}$ निरंतर क्षैतिज बल $F$ द्वारा किया गया कार्य है,$W_{mg}$ गुरुत्वाकर्षण द्वारा किया गया कार्य है,और $W_{N}$ अभिलंब बल द्वारा किया गया कार्य है।
चूंकि रिंग चिकनी है,अभिलंब बल $N$ हमेशा विस्थापन के लंबवत होता है,इसलिए $W_{N} = 0$ है।
क्षैतिज बल $F$ क्षैतिज विस्थापन $R = 5 \, m$ की दिशा में कार्य करता है। अतः,$W_{F} = F \times R = 5 \, N \times 5 \, m = 25 \, J$ है।
मनका $A$ से $B$ तक गति करता है,जो $R = 5 \, m$ का नीचे की ओर ऊर्ध्वाधर विस्थापन है। अतः,$W_{mg} = mgR = (\frac{1}{2} \, kg) \times (10 \, m/s^2) \times (5 \, m) = 25 \, J$ है।
गतिज ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta K = \frac{1}{2}mv^2 - 0 = \frac{1}{2} \times (\frac{1}{2} \, kg) \times v^2 = \frac{1}{4}v^2$ है।
किए गए कार्य को गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर रखने पर:
$25 + 25 = \frac{1}{4}v^2$
$50 = \frac{1}{4}v^2$
$v^2 = 200$
$v = \sqrt{200} = 10\sqrt{2} \approx 14.14 \, m/s$.

(B) माना चेन का द्रव्यमान $M$ और लंबाई $L$ है। प्रारंभ में,$L/2$ लंबाई मेज से बाहर लटकी हुई है। लटकते हुए भाग का द्रव्यमान $M/2$ है। इस लटकते हुए भाग का द्रव्यमान केंद्र मेज की सतह से $L/4$ गहराई पर है। मेज की सतह को संदर्भ स्तर $(U=0)$ मानते हुए,प्रारंभिक स्थितिज ऊर्जा $U_i = -(M/2)g(L/4) = -MgL/8$ है।
जब चेन पूरी तरह से मेज से नीचे आ जाती है,तो उसका द्रव्यमान केंद्र मेज की सतह से $L/2$ गहराई पर होता है। अंतिम स्थितिज ऊर्जा $U_f = -Mg(L/2) = -MgL/2$ है।
प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $K_i = 0$ है (विरामावस्था से मुक्त किया गया है)।
यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,$K_i + U_i = K_f + U_f$.
$0 - MgL/8 = (1/2)MV^2 - MgL/2$.
$(1/2)MV^2 = MgL/2 - MgL/8 = 3MgL/8$.
$V^2 = 3gL/4$.
$V = \sqrt{3gL/4}$.

(B) माना कण जमीन से $h$ ऊँचाई पर है। कण द्वारा तय की गई दूरी $(H - h)$ है।
$h$ ऊँचाई पर स्थितिज ऊर्जा $PE = mgh$ है।
$h$ ऊँचाई पर गतिज ऊर्जा $KE = \frac{1}{2}mv^2$ है। चूंकि कण विराम अवस्था से गिरता है,इसलिए $v^2 = 2g(H - h)$,अतः $KE = mg(H - h)$ होगा।
प्रश्न के अनुसार,$KE = 2PE$ है।
समीकरणों को प्रतिस्थापित करने पर: $mg(H - h) = 2(mgh)$।
$mg$ से भाग देने पर: $H - h = 2h$,जिससे $3h = H$ या $h = \frac{H}{3}$ प्राप्त होता है।
अब,इस ऊँचाई पर चाल $v$ की गणना करें:
$v = \sqrt{2g(H - h)} = \sqrt{2g(H - \frac{H}{3})} = \sqrt{2g(\frac{2H}{3})} = \sqrt{\frac{4gH}{3}} = 2\sqrt{\frac{gH}{3}}$।
अतः,ऊँचाई $\frac{H}{3}$ है और चाल $2\sqrt{\frac{gH}{3}}$ है।

(B) यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,चूंकि सतह घर्षणरहित है,इसलिए कुल यांत्रिक ऊर्जा स्थिर रहती है।
स्थिति $A$ पर कुल ऊर्जा,स्थिति $C$ पर कुल ऊर्जा के बराबर होती है।
$E_A = E_C$
स्थिति $A$ पर,ब्लॉक को विरामावस्था से छोड़ा जाता है,इसलिए इसकी गतिज ऊर्जा $K_A = 0$ है। स्थितिज ऊर्जा $U_A = mgh_A$ है,जहाँ $h_A = 14\, m$ है।
स्थिति $C$ पर,गतिज ऊर्जा $K_C$ है और स्थितिज ऊर्जा $U_C = mgh_C$ है,जहाँ $h_C = 7\, m$ है।
$0 + mgh_A = K_C + mgh_C$
$K_C = mg(h_A - h_C)$
दिया गया है:
$m = 2\, kg$
$g = 10\, m/s^2$
$h_A = 14\, m$
$h_C = 7\, m$
$K_C = 2 \times 10 \times (14 - 7)$
$K_C = 20 \times 7$
$K_C = 140\, J$

(B) मान लीजिए कि जब $2 \, kg$ का ब्लॉक जमीन से संपर्क छोड़ता है,तो स्प्रिंग में विस्तार $x$ है। इस क्षण पर,डोरी में तनाव $2 \, kg$ ब्लॉक के वजन के बराबर होता है।
$kx = m_2 g$
$x = \frac{m_2 g}{k} = \frac{2 \times 10}{40} = 0.5 \, m$
अब,$5 \, kg$ के ब्लॉक के लिए यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण का नियम लागू करते हैं,जैसे ही यह $x = 0.5 \, m$ की दूरी नीचे जाता है:
गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा में कमी = स्प्रिंग की स्थितिज ऊर्जा में वृद्धि + गतिज ऊर्जा में वृद्धि
$m_1 g x = \frac{1}{2} k x^2 + \frac{1}{2} m_1 v^2$
$5 \times 10 \times 0.5 = \frac{1}{2} \times 40 \times (0.5)^2 + \frac{1}{2} \times 5 \times v^2$
$25 = 20 \times 0.25 + 2.5 v^2$
$25 = 5 + 2.5 v^2$
$20 = 2.5 v^2$
$v^2 = \frac{20}{2.5} = 8$
$v = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \, m/s$