Work Energy Theorem and Conservation of Mechanical Energy Questions in Hindi

(D) माना सतह से ऊँचाई $x$ है। कण द्वारा तय की गई दूरी $(S - x)$ है।
गति के समीकरण $v^2 = u^2 + 2as$ का उपयोग करने पर,जहाँ $u = 0$ और $a = g$,हमें $v^2 = 2g(S - x)$ प्राप्त होता है।
ऊँचाई $x$ पर स्थितिज ऊर्जा $PE = mgx$ है।
उस क्षण गतिज ऊर्जा $KE = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}m(2g(S - x)) = mg(S - x)$ है।
प्रश्न के अनुसार,$KE = 3 \times PE$ है।
मान रखने पर: $mg(S - x) = 3(mgx)$।
दोनों पक्षों को $mg$ से विभाजित करने पर: $S - x = 3x$।
$S = 4x \Rightarrow x = \frac{S}{4}$।
अब,$x$ का मान वेग के समीकरण में रखने पर: $v^2 = 2g(S - \frac{S}{4}) = 2g(\frac{3S}{4}) = \frac{3gS}{2}$।
अतः,$v = \sqrt{\frac{3gS}{2}}$।
इस प्रकार,ऊँचाई $\frac{S}{4}$ और चाल $\sqrt{\frac{3gS}{2}}$ है।

(B) कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,ब्रेक लगाने वाले बल द्वारा किया गया कार्य कार की गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है।
$W = \Delta KE$
चूंकि कारें रुक जाती हैं,इसलिए ब्रेक लगाने वाले बल द्वारा किया गया कार्य $W = -F \cdot S$ है,जहाँ $F$ ब्रेक लगाने वाला बल है और $S$ रुकने की दूरी है।
कार $A$ के लिए: $F_{A} \cdot S_{A} = KE_{A} \implies F_{A} \cdot 1000 = 100 \implies F_{A} = 0.1 \ N$.
कार $B$ के लिए: $F_{B} \cdot S_{B} = KE_{B} \implies F_{B} \cdot 1500 = 225 \implies F_{B} = 225 / 1500 = 0.15 \ N$.
अब,अनुपात $F_{A} / F_{B} = 0.1 / 0.15 = 10 / 15 = 2/3$ है।

(D) कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,गेंद पर किया गया कुल कार्य उसकी गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है।
$W_{\text{ext}} + W_{\text{gravity}} = \Delta KE$
यहाँ,गेंद विरामावस्था से शुरू होती है और अधिकतम ऊँचाई पर रुक जाती है,इसलिए $\Delta KE = 0$ है।
बल $F$ को $d_1 = 0.5 \ m$ की दूरी तक लगाया जाता है।
बल अनुप्रयोग समाप्त होने के बिंदु से गेंद $h = 5 \ m$ की ऊँचाई तक जाती है।
गुरुत्वाकर्षण के विरुद्ध कुल विस्थापन $d_1 + h = 0.5 + 5 = 5.5 \ m$ है।
$W_{\text{ext}} = F \times 0.5$
$W_{\text{gravity}} = -mg(d_1 + h) = -(0.4 \times 10 \times 5.5) = -22 \ J$
इन मानों को प्रमेय में रखने पर:
$F \times 0.5 - 22 = 0$
$0.5F = 22$
$F = 44 \ N$.

(D) माना कण की कुल ऊर्जा $E = mgs$ है।
दिए गए क्षण पर,माना स्थितिज ऊर्जा $PE = x$ है।
प्रश्न के अनुसार,गतिज ऊर्जा $KE = 3x$ है।
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,$KE + PE = E$।
$3x + x = mgs \Rightarrow 4x = mgs \Rightarrow x = \frac{mgs}{4}$।
चूँकि $PE = mgh = x$,इसलिए $mgh = \frac{mgs}{4}$,जिससे ऊँचाई $h = \frac{s}{4}$ प्राप्त होती है।
अब,चाल $v$ के लिए,हम $KE = \frac{1}{2}mv^2 = 3x$ का उपयोग करते हैं।
$\frac{1}{2}mv^2 = 3 \left( \frac{mgs}{4} \right) = \frac{3mgs}{4}$।
$v^2 = \frac{3gs}{2} \Rightarrow v = \sqrt{\frac{3gs}{2}}$।
अतः,ऊँचाई $\frac{s}{4}$ है और चाल $\sqrt{\frac{3gs}{2}}$ है।

(B) कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,ब्लॉक पर किया गया कुल कार्य उसकी गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है।
$W_{\text{gravity}} + W_{\text{friction}} = KE_f - KE_i$
चूंकि ब्लॉक विरामावस्था से चलना शुरू करता है और खुरदरी सतह पर $x$ दूरी तय करने के बाद रुक जाता है,इसलिए $KE_i = 0$ और $KE_f = 0$ है।
गुरुत्वाकर्षण द्वारा किया गया कार्य $W_{\text{gravity}} = mgh = (mg)h = 20 \ N \times 1.0 \ m = 20 \ J$ है।
घर्षण द्वारा किया गया कार्य $W_{\text{friction}} = -f_k \cdot x = -(\mu \cdot mg) \cdot x = -(0.40 \times 20 \ N) \cdot x = -8x \ J$ है।
कार्य-ऊर्जा प्रमेय लागू करने पर:
$20 - 8x = 0$
$8x = 20$
$x = \frac{20}{8} = 2.5 \ m$.
अतः,ब्लॉक खुरदरी सतह पर $2.5 \ m$ की दूरी तय करेगा।

(A) यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,यदि वस्तु पर केवल संरक्षी बल कार्य करते हैं तो कुल यांत्रिक ऊर्जा स्थिर रहती है।
$x = 2 \ m$ पर कुल ऊर्जा,$x = 5 \ m$ पर कुल ऊर्जा के बराबर है।
$(KE + PE)_{x=2} = (KE + PE)_{x=5}$
यह दिया गया है कि वस्तु को $x = 2 \ m$ पर विरामावस्था से छोड़ा जाता है,इसलिए $x = 2 \ m$ पर इसकी गतिज ऊर्जा $(KE)$ $0$ है।
ग्राफ से,$x = 2 \ m$ पर स्थितिज ऊर्जा $(PE)$ $6 \ J$ है और $x = 5 \ m$ पर $2 \ J$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$0 + 6 = \frac{1}{2} mv^2 + 2$
द्रव्यमान $m = 1 \ kg$ दिया गया है:
$6 = \frac{1}{2} (1) v^2 + 2$
$4 = \frac{1}{2} v^2$
$v^2 = 8$
$v = \sqrt{8} = 2 \sqrt{2} \ m/s$.

(A) कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,किसी निकाय पर कार्य करने वाले सभी बलों (आंतरिक और बाहरी) द्वारा किया गया कुल कार्य उसकी गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है: $W_{\text{ext}} + W_{\text{int}} = \Delta K$।
यदि कोई बाहरी बल नहीं लगाया जाता है,तो $W_{\text{ext}} = 0$,इसलिए $W_{\text{int}} = \Delta K$।
आंतरिक बल कार्य कर सकते हैं (उदाहरण के लिए,विस्फोट में या स्प्रिंग-द्रव्यमान निकाय में),जिससे निकाय की गतिज ऊर्जा में परिवर्तन होता है।
इस प्रकार,बाहरी बलों की अनुपस्थिति में भी आंतरिक बलों के कारण निकाय की गतिज ऊर्जा बढ़ सकती है।
इसलिए,अभिकथन $(A)$ और कारण $(R)$ दोनों सत्य हैं,और $(R)$,$(A)$ की सही व्याख्या है।

(A) कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,वस्तु पर किया गया कुल कार्य उसकी गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है।
$W_{mg} + W_{\text{resistive}} = \Delta KE$
चूंकि चाकू विरामावस्था से शुरू होता है और प्रवेश करने के बाद रुक जाता है,इसलिए $\Delta KE = 0 - 0 = 0$ है।
गुरुत्वाकर्षण द्वारा किया गया कार्य $W_{mg} = mg(h + x)$ है,जहाँ $h = 2 \ m$ और $x = 10 \ cm = 0.1 \ m$ है।
प्रतिरोधक बल $F$ द्वारा किया गया कार्य $W_{\text{resistive}} = -F \cdot x$ है।
अतः,$mg(h + x) - Fx = 0$ है।
$F = \frac{mg(h + x)}{x}$ है।
मान रखने पर: $m = 50 \ g = 0.05 \ kg$,$g = 10 \ m/s^2$,$h = 2 \ m$,$x = 0.1 \ m$ है।
$F = \frac{0.05 \times 10 \times (2 + 0.1)}{0.1} = \frac{0.5 \times 2.1}{0.1} = 5 \times 2.1 = 10.5 \ N$।

(C) मान लीजिए प्रारंभिक वेग $u = V$ है और $s_1 = 30 \text{ cm}$ प्रवेश करने के बाद अंतिम वेग $v = V/2$ है। एकसमान मंदन $a$ मानते हुए, हम गति के तीसरे समीकरण का उपयोग करते हैं: $v^2 = u^2 + 2as_1$.
$(V/2)^2 = V^2 + 2a(30)$
$V^2/4 = V^2 + 60a$
$60a = -3V^2/4$
$a = -V^2/80$.
अब, गोली के स्थिर होने तक और अधिक प्रवेश के लिए, प्रारंभिक वेग $u' = V/2$ है और अंतिम वेग $v' = 0$ है। मान लीजिए अतिरिक्त दूरी $s_2$ है।
$(v')^2 = (u')^2 + 2as_2$
$0 = (V/2)^2 + 2(-V^2/80)s_2$
$V^2/4 = (V^2/40)s_2$
$s_2 = (V^2/4) \times (40/V^2) = 10 \text{ cm}$.

(C) मान लीजिए प्रारंभिक वेग $V$ है और $s_1 = 30 \ cm$ की दूरी तय करने के बाद अंतिम वेग $V/2$ हो जाता है। एकसमान मंदन $a$ मानते हुए,हम गति के तीसरे समीकरण का उपयोग करते हैं: $v^2 = u^2 + 2as$.
$(V/2)^2 = V^2 + 2a(30)$
$V^2/4 = V^2 + 60a$
$60a = -3V^2/4$
$a = -V^2/80$.
अब,मान लीजिए कि गोली रुकने से पहले अतिरिक्त $s_2$ दूरी तय करती है। इस चरण के लिए प्रारंभिक वेग $V/2$ है और अंतिम वेग $0$ है।
$0^2 = (V/2)^2 + 2(-V^2/80)s_2$
$0 = V^2/4 - (V^2/40)s_2$
$V^2/4 = (V^2/40)s_2$
$s_2 = 40/4 = 10 \ cm$.

(C) माना लोलक की लंबाई $L = 1 \,m$ है और निम्नतम बिंदु पर प्रारंभिक गति $v_0 = 4 \,m/s$ है।
निम्नतम बिंदु पर, स्थितिज ऊर्जा को $0$ माना जाता है। कुल ऊर्जा $E = \frac{1}{2}mv_0^2$ है।
जब डोरी ऊर्ध्वाधर के साथ $\theta = 60^{\circ}$ का कोण बनाती है, तो गोलक की ऊँचाई $h = L(1 - \cos \theta)$ होती है।
मान रखने पर, $h = 1(1 - \cos 60^{\circ}) = 1(1 - 0.5) = 0.5 \,m$.
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार, निम्नतम बिंदु पर कुल ऊर्जा $\theta$ कोण पर कुल ऊर्जा के बराबर होती है:
$\frac{1}{2}mv_0^2 = \frac{1}{2}mv^2 + mgh$
$v^2 = v_0^2 - 2gh$
$v^2 = (4)^2 - 2(10)(0.5)$
$v^2 = 16 - 10 = 6$
$v = \sqrt{6} \,m/s$.

(A) जब लोलक के गोलक को '$h$' ऊँचाई तक ऊपर उठाया जाता है,तो चरम स्थिति पर स्थितिज ऊर्जा माध्य स्थिति पर गतिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है।
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार:
$mgh = \frac{1}{2}mv^2$
$v = \sqrt{2gh}$
लोलक की ज्यामिति से,निलंबन बिंदु से चरम स्थिति पर गोलक तक की ऊर्ध्वाधर दूरी '$l \cos \theta$' है।
इसलिए,गोलक द्वारा प्राप्त ऊर्ध्वाधर ऊँचाई '$h$' है:
$h = l - l \cos \theta = l(1 - \cos \theta)$
'$h$' का मान वेग के समीकरण में रखने पर:
$v = \sqrt{2gl(1 - \cos \theta)}$

(D) कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,किसी पिंड पर किया गया कुल कार्य उसकी गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है।
$W_{\text{net}} = \Delta KE = KE_f - KE_i$
दिया गया द्रव्यमान $m = 0.25 \ kg$,गति $v = k x^{3/2}$ और $k = 2$ है।
$x = 0$ पर,$v_i = 2(0)^{3/2} = 0 \ m/s$,इसलिए $KE_i = 0 \ J$.
$x = 2 \ m$ पर,$v_f = 2(2)^{3/2} = 2 \times 2 \sqrt{2} = 4\sqrt{2} \ m/s$.
$KE_f = \frac{1}{2} m v_f^2 = \frac{1}{2} \times 0.25 \times (4\sqrt{2})^2$
$KE_f = \frac{1}{2} \times 0.25 \times 16 \times 2 = 0.25 \times 16 = 4 \ J$.
अतः,$W_{\text{net}} = 4 \ J - 0 \ J = 4 \ J$.

(A) कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,किया गया कार्य गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है।
$0$ से $v$ तक त्वरित करने के लिए किया गया कार्य $W_1 = \frac{1}{2}mv^2 - 0 = \frac{1}{2}mv^2$ है।
$v$ से $2v$ तक त्वरित करने के लिए किया गया कार्य $W_2 = \Delta K = \frac{1}{2}m(2v)^2 - \frac{1}{2}mv^2$ है।
$W_2 = \frac{1}{2}m(4v^2) - \frac{1}{2}mv^2 = 2mv^2 - 0.5mv^2 = 1.5mv^2$ है।
$W_2$ की $W_1$ से तुलना करने पर:
$W_2 = 3 \times (\frac{1}{2}mv^2) = 3W_1$ प्राप्त होता है।
अतः,किया गया कार्य विराम अवस्था से $v$ तक त्वरित करने में किए गए कार्य का तीन गुना है।

(A) कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,मंदक बल द्वारा किया गया कार्य पिंड की गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है।
पहले मामले के लिए,पिंड $u$ वेग से $s_{1}$ दूरी तय करने के बाद रुक जाता है:
$F s_{1} = \frac{1}{2} m u^{2} \quad (i)$
दूसरे मामले के लिए,पिंड $2u$ वेग से $s_{2}$ दूरी तय करने के बाद रुक जाता है:
$F s_{2} = \frac{1}{2} m (2u)^{2} = \frac{1}{2} m (4u^{2}) = 4 \left( \frac{1}{2} m u^{2} \right) \quad (ii)$
समीकरण $(ii)$ को समीकरण $(i)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{F s_{2}}{F s_{1}} = \frac{4 (\frac{1}{2} m u^{2})}{\frac{1}{2} m u^{2}}$
$\frac{s_{2}}{s_{1}} = 4$
$s_{2} = 4s_{1}$

(A) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 5 \,kg$,प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $KE_i = 490 \,J$,गुरुत्वीय त्वरण $g = 9.8 \,ms^{-2}$।
आवश्यक ऊँचाई $h$ पर,गतिज ऊर्जा $KE_f$ प्रारंभिक मान की आधी हो जाती है:
$KE_f = \frac{1}{2} KE_i = \frac{490}{2} = 245 \,J$।
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,कुल यांत्रिक ऊर्जा स्थिर रहती है:
$KE_i = KE_f + PE_f$
$KE_i = KE_f + mgh$
मान रखने पर:
$490 = 245 + 5 \times 9.8 \times h$
$490 - 245 = 49 \times h$
$245 = 49h$
$h = \frac{245}{49} = 5 \,m$।
अतः,ऊँचाई $5 \,m$ है।

(A) कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,मंदक बल द्वारा किया गया कार्य कार की गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है।
कार्य $W = F \cdot s = \Delta K = \frac{1}{2}mv^2$.
चूंकि प्रारंभिक गतिज ऊर्जा और अंतिम गतिज ऊर्जा (जो $0$ है) समान रहती है,इसलिए कार को रोकने के लिए किया गया कार्य स्थिर होना चाहिए।
$F \cdot s = F' \cdot s'$
दिया गया है कि $F' = 3F$,इसलिए:
$F \cdot s = (3F) \cdot s'$
$s' = s/3$.
अतः,जब मंदक बल $3 F$ होगा तो कार $s/3$ दूरी में रुक जाएगी।

(A) रुकने की दूरी $S$ को सूत्र $S = \frac{u^2}{2a}$ द्वारा दर्शाया जाता है,जहाँ $u$ प्रारंभिक वेग है और $a$ मंदन (deceleration) है (जो समान ब्रेकिंग बल के लिए स्थिर रहता है)।
इस संबंध से,हम देख सकते हैं कि $S \propto u^2$ है।
दिया गया है: $u_1 = 80 \ km/h$,$S_1 = 60 \ m$,और $u_2 = 160 \ km/h$।
अनुपात का उपयोग करने पर: $\frac{S_2}{S_1} = \left(\frac{u_2}{u_1}\right)^2$।
मान रखने पर: $\frac{S_2}{60} = \left(\frac{160}{80}\right)^2 = (2)^2 = 4$।
अतः,$S_2 = 4 \times 60 \ m = 240 \ m$।

(C) कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,ब्रेकिंग बल द्वारा किया गया कार्य ट्रेन की गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है।
$W = F \cdot d = \Delta K = \frac{1}{2}mv^2$
चूंकि प्रारंभिक वेग $v$ और द्रव्यमान $m$ स्थिर हैं,इसलिए ट्रेन को रोकने के लिए किया गया कार्य स्थिर होना चाहिए।
$F_1 d_1 = F_2 d_2$
दिया गया है कि $F_1 = F$ और $d_1 = x$ है।
नया बल $F_2 = \frac{F}{4}$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $F \cdot x = (\frac{F}{4}) \cdot d_2$
$d_2 = 4x$.
अतः,ट्रेन मूल दूरी की चार गुनी दूरी तय करेगी।

(B) दिया गया है: लोलक की लंबाई,$l = 0.5 \ m$। निम्नतम बिंदु पर चाल,$v_1 = 6 \ ms^{-1}$। डोरी द्वारा ऊर्ध्वाधर के साथ बनाया गया कोण,$\theta = 60^{\circ}$।
$\triangle OBC$ में,$\cos \theta = \frac{OC}{OB} = \frac{l-h}{l} = \cos 60^{\circ}$।
$\Rightarrow 1 - \frac{h}{l} = 0.5 \Rightarrow \frac{h}{l} = 0.5 \Rightarrow h = 0.5 \times 0.5 = 0.25 \ m$।
यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण के नियम का उपयोग करने पर:
$K_i + U_i = K_f + U_f$
$\frac{1}{2}mv_1^2 + 0 = \frac{1}{2}mv_2^2 + mgh$
$v_2^2 = v_1^2 - 2gh$
$v_2^2 = (6)^2 - 2 \times 10 \times 0.25 = 36 - 5 = 31$
$v_2 = \sqrt{31} \ ms^{-1}$।
अतः,$60^{\circ}$ के कोण पर अंतिम वेग $\sqrt{31} \ ms^{-1}$ है।

(A) पिंड की कुल यांत्रिक ऊर्जा संरक्षित रहती है।
जमीन पर $(h=0)$ प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $K_i = \frac{1}{2} m v^2 = \frac{1}{2} m (20)^2 = 200m \,J$ है।
जमीन पर प्रारंभिक स्थितिज ऊर्जा $U_i = 0 \,J$ है।
कुल ऊर्जा $E = K_i + U_i = 200m \,J$ है।
$5 \,m$ की ऊँचाई पर, स्थितिज ऊर्जा $U_5 = mgh = m(10)(5) = 50m \,J$ है।
दिया गया है कि $U_5 = 100 \,J$, इसलिए $50m = 100$, जिससे $m = 2 \,kg$ प्राप्त होता है।
कुल ऊर्जा $E = 200(2) = 400 \,J$ है।
$10 \,m$ की ऊँचाई पर, स्थितिज ऊर्जा $U_{10} = mgh = 2(10)(10) = 200 \,J$ है।
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार, $E = K_{10} + U_{10}$।
$400 = K_{10} + 200$।
$K_{10} = 200 \,J$।

(B) गेंद का द्रव्यमान $m = 300 g = 0.3 kg$ है। गेंद द्वारा तय की गई कुल ऊँचाई $H = 10 m + 1.5 m = 11.5 m$ है।
कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,सभी बलों द्वारा किया गया कुल कार्य गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है।
चूँकि गेंद विरामावस्था से शुरू होती है और अंत में रुक जाती है,इसलिए गतिज ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta K = 0$ है।
गेंद पर कार्य करने वाले बल गुरुत्वाकर्षण (नीचे की ओर) और रेत का प्रतिरोध बल (ऊपर की ओर) हैं।
गुरुत्वाकर्षण द्वारा किया गया कार्य $W_g = mgH = 0.3 \times 10 \times 11.5 = 34.5 J$ है।
रेत के प्रतिरोध द्वारा किया गया कार्य $W_R = -F_R \times d$,जहाँ $d = 1.5 m$ है।
प्रमेय लागू करने पर: $W_g + W_R = 0
\Rightarrow 34.5 - F_R \times 1.5 = 0
\Rightarrow F_R = \frac{34.5}{1.5} = 23 N$.

(B) कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार, किसी पिंड पर कुल बल द्वारा किया गया कार्य उसकी गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है।
$W = \Delta K = K_f - K_i$
दिया गया है:
बल $\overrightarrow{F} = (4 \hat{i} - 15 \hat{j}) \text{ N}$
विस्थापन $\overrightarrow{S} = 6 \hat{i} \text{ m}$
प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $K_i = 7 \text{ J}$
किया गया कार्य $W = \overrightarrow{F} \cdot \overrightarrow{S} = (4 \hat{i} - 15 \hat{j}) \cdot (6 \hat{i}) = (4 \times 6) + (-15 \times 0) = 24 \text{ J}$
कार्य-ऊर्जा प्रमेय का उपयोग करने पर:
$K_f - K_i = W$
$K_f - 7 = 24$
$K_f = 24 + 7 = 31 \text{ J}$
अतः, विस्थापन के अंत में गतिज ऊर्जा $31 \text{ J}$ होगी।

(A) यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,घर्षण जैसे गैर-संरक्षी बलों की अनुपस्थिति में निकाय की कुल यांत्रिक ऊर्जा स्थिर रहती है।
बिंदु $A$ पर,कण विरामावस्था में है,इसलिए इसकी गतिज ऊर्जा $0$ है और इसकी स्थितिज ऊर्जा $mgy$ है (संदर्भ स्तर $BC$ को लेते हुए)।
बिंदु $C$ पर,कण $0$ ऊँचाई पर है,इसलिए इसकी स्थितिज ऊर्जा $0$ है और इसकी गतिज ऊर्जा $KE_C$ है।
ऊर्जा संरक्षण के सिद्धांत को लागू करने पर:
$PE_A + KE_A = PE_C + KE_C$
$mgy + 0 = 0 + KE_C$
अतः,बिंदु $C$ पर गतिज ऊर्जा $KE_C = mgy$ है।

(A) किसी निकाय की कुल यांत्रिक ऊर्जा $E$,उसकी स्थितिज ऊर्जा $U$ और गतिज ऊर्जा $KE$ का योग होती है। अर्थात,$E = U + KE$.
दिया गया है,$E = 2 \ J$ और $m = 1 \ kg$.
अधिकतम चाल ज्ञात करने के लिए,हमें अधिकतम गतिज ऊर्जा की आवश्यकता है,जो तब प्राप्त होती है जब स्थितिज ऊर्जा न्यूनतम होती है।
$U(x) = \frac{x^2}{2} - x$.
न्यूनतम स्थितिज ऊर्जा ज्ञात करने के लिए,हम $\frac{dU}{dx} = 0$ रखते हैं:
$\frac{d}{dx}(\frac{x^2}{2} - x) = x - 1 = 0 \implies x = 1 \ m$.
$U_{\min} = U(1) = \frac{1^2}{2} - 1 = -0.5 \ J$.
चूंकि $E = U + KE$,इसलिए $KE_{\max} = E - U_{\min} = 2 - (-0.5) = 2.5 \ J$.
$KE = \frac{1}{2}mv^2$ का उपयोग करने पर:
$2.5 = \frac{1}{2}(1)v^2 \implies v^2 = 5 \implies v = \sqrt{5} \ ms^{-1}$.

(B) माना कुल ऊँचाई $H = 30 \ m$ है और जिस बिंदु पर स्थितिज ऊर्जा $(PE)$,गतिज ऊर्जा $(KE)$ की दोगुनी है,वहाँ पिंड का वेग $v$ है।
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,किसी भी बिंदु पर कुल ऊर्जा प्रारंभिक स्थितिज ऊर्जा के बराबर होती है:
$m g H = PE + KE$
दिया गया है कि $PE = 2 \times KE$,इसलिए समीकरण में मान रखने पर:
$m g H = 2 \times KE + KE = 3 \times KE$
चूँकि $KE = \frac{1}{2} m v^2$,इसलिए:
$m g H = 3 \times (\frac{1}{2} m v^2)$
$g H = \frac{3}{2} v^2$
$v^2 = \frac{2}{3} g H$
$g = 10 \ m \ s^{-2}$ और $H = 30 \ m$ का मान रखने पर:
$v^2 = \frac{2}{3} \times 10 \times 30$
$v^2 = 2 \times 10 \times 10 = 200$
$v = \sqrt{200} = 10 \sqrt{2} \ m \ s^{-1}$

(A) मान लीजिए प्रति इकाई लंबाई द्रव्यमान $\lambda = \frac{m}{l}$ है।
प्रारंभिक स्थिति: लटकी हुई लंबाई $h_1 = \frac{l}{n}$ है। इस भाग का द्रव्यमान $m_1 = \lambda \cdot \frac{l}{n} = \frac{m}{n}$ है। लटके हुए भाग का द्रव्यमान केंद्र मेज की सतह से $\frac{l}{2n}$ दूरी नीचे है। मेज की सतह को संदर्भ स्तर $(U=0)$ मानते हुए,प्रारंभिक स्थितिज ऊर्जा $U_i = -m_1 g \left(\frac{l}{2n}\right) = -\left(\frac{m}{n}\right) g \left(\frac{l}{2n}\right) = -\frac{mgl}{2n^2}$ है।
अंतिम स्थिति: जब जंजीर पूरी तरह से फिसल जाती है,तो उसका द्रव्यमान केंद्र मेज की सतह से $\frac{l}{2}$ दूरी नीचे होता है। अंतिम स्थितिज ऊर्जा $U_f = -mg \left(\frac{l}{2}\right) = -\frac{mgl}{2}$ है।
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,स्थितिज ऊर्जा में कमी गतिज ऊर्जा में वृद्धि के बराबर होती है:
$K_f - K_i = U_i - U_f$
$\frac{1}{2}mv^2 - 0 = -\frac{mgl}{2n^2} - \left(-\frac{mgl}{2}\right)$
$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{mgl}{2} \left(1 - \frac{1}{n^2}\right)$
$v^2 = gl \left(1 - \frac{1}{n^2}\right)$
$v = \sqrt{gl \left(1 - \frac{1}{n^2}\right)}$

(D) कण की कुल यांत्रिक ऊर्जा संरक्षित रहती है,इसलिए जमीन से किसी भी ऊँचाई $h$ पर,स्थितिज ऊर्जा $(PE)$ और गतिज ऊर्जा $(KE)$ का योग $H$ ऊँचाई पर प्रारंभिक स्थितिज ऊर्जा के बराबर होता है:
$PE + KE = m g H$ ... $(i)$
दिया गया है कि एक निश्चित ऊँचाई पर,गतिज ऊर्जा उसकी स्थितिज ऊर्जा की आधी है:
$KE = \frac{1}{2} PE \implies PE = 2 KE$
इसे समीकरण $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$2 KE + KE = m g H$
$3 KE = m g H$
$KE = \frac{m g H}{3}$
चूंकि $PE = m g h$,इसलिए $PE = 2 KE = 2 \left( \frac{m g H}{3} \right) = \frac{2}{3} m g H$.
$m g h = \frac{2}{3} m g H$ को बराबर करने पर,हमें ऊँचाई $h = \frac{2 H}{3}$ प्राप्त होती है।
इस ऊँचाई पर कण की चाल $v$ कार्य-ऊर्जा प्रमेय या गतिज समीकरणों का उपयोग करके ज्ञात की जा सकती है। चूंकि कण $H$ ऊँचाई से विरामावस्था से गिरता है,इसलिए $h$ ऊँचाई पर इसकी चाल $v = \sqrt{2 g (H - h)}$ द्वारा दी जाती है।
$h = \frac{2 H}{3}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$v = \sqrt{2 g (H - \frac{2 H}{3})} = \sqrt{2 g (\frac{H}{3})} = \sqrt{\frac{2 g H}{3}}$.
अतः,ऊँचाई $\frac{2 H}{3}$ है और चाल $\sqrt{\frac{2 g H}{3}}$ है।

(A) पिंड पर कार्य करने वाला बल $\vec{F} = -\nabla U = -(\frac{\partial U}{\partial x} \hat{i} + \frac{\partial U}{\partial y} \hat{j}) = -(6 \hat{i} + 8 \hat{j}) \,N$ है।
पिंड का त्वरण $\vec{a} = \frac{\vec{F}}{m} = \frac{-(6 \hat{i} + 8 \hat{j})}{2} = -(3 \hat{i} + 4 \hat{j}) \,m/s^2$ है।
चूंकि पिंड $t = 0$ पर विराम अवस्था में है, $t = 2 \,s$ पर इसका वेग $\vec{v} = \vec{u} + \vec{a}t = 0 + (-(3 \hat{i} + 4 \hat{j})) \times 2 = -(6 \hat{i} + 8 \hat{j}) \,m/s$ होगा।
$t = 2 \,s$ पर पिंड की गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2} m v^2 = \frac{1}{2} \times 2 \times ((-6)^2 + (-8)^2) = 36 + 64 = 100 \,J$ है।
कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार, बल द्वारा किया गया कार्य गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है। चूंकि पिंड विराम अवस्था से शुरू होता है $(K_i = 0)$, बल द्वारा किया गया कार्य $W = \Delta K = 100 - 0 = 100 \,J$ है।

(D) दिया गया है, ब्लॉक का विस्थापन $x = 5t^2$ है।
वेग $v = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(5t^2) = 10t \,m/s$ है।
$t = 0 \,s$ पर, $v_0 = 10(0) = 0 \,m/s$ है।
$t = 3 \,s$ पर, $v_1 = 10(3) = 30 \,m/s$ है।
$t = 5 \,s$ पर, $v_2 = 10(5) = 50 \,m/s$ है।
कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार, किया गया कार्य $W$ गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है: $W = \Delta K = \frac{1}{2}mv_f^2 - \frac{1}{2}mv_i^2$।
पहले $3 \,s$ में किया गया कार्य: $W_1 = \frac{1}{2}m(v_1^2 - v_0^2) = \frac{1}{2}m(30^2 - 0^2) = \frac{1}{2}m(900)$।
पहले $5 \,s$ में किया गया कार्य: $W_2 = \frac{1}{2}m(v_2^2 - v_0^2) = \frac{1}{2}m(50^2 - 0^2) = \frac{1}{2}m(2500)$।
अनुपात $\frac{W_1}{W_2} = \frac{900}{2500} = \frac{9}{25}$।

(A) दिया गया है: गोली का द्रव्यमान $= m$,प्रारंभिक वेग $= v_1$,अंतिम वेग $= v_2$,और तय की गई दूरी $= L$।
चूंकि गोली एक प्रतिरोधी बल $F$ का अनुभव करती है,इसलिए यह $a = F/m$ का एकसमान मंदन अनुभव करती है।
गति के तीसरे समीकरण का उपयोग करते हुए,$v^2 - u^2 = 2as$,जहाँ $v = v_2$,$u = v_1$,$a = -F/m$,और $s = L$:
$v_2^2 - v_1^2 = 2(-F/m)L$
$v_2^2 - v_1^2 = -\frac{2FL}{m}$
$F = \frac{m(v_1^2 - v_2^2)}{2L}$
चूंकि $v_1 > v_2$,इसलिए बल $F$ धनात्मक है।

(A) यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण के सिद्धांत के अनुसार,शुरुआती बिंदु '$X$' पर गतिज ऊर्जा और स्थितिज ऊर्जा का योग शिखर '$Z$' पर गतिज ऊर्जा और स्थितिज ऊर्जा के योग के बराबर होना चाहिए।
$mgh + \frac{1}{2}mv^2 = mgh' + \frac{1}{2}mv'^2$
दोनों तरफ द्रव्यमान $m$ से विभाजित करने पर:
$gh + \frac{1}{2}v^2 = gh' + \frac{1}{2}v'^2$
$v'^2$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$v'^2 = 2g(h - h') + v^2$
दिया गया है: $h = 100 \ m$,$h' = 60 \ m$,$v = 10 \ m \ s^{-1}$,और $g = 10 \ m \ s^{-2}$.
$v'^2 = 2 \times 10 \times (100 - 60) + (10)^2$
$v'^2 = 20 \times 40 + 100$
$v'^2 = 800 + 100 = 900$
$v' = \sqrt{900} = 30 \ m \ s^{-1}$

(A) कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,मंदक बल द्वारा किया गया कार्य बस की गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है।
$W = \Delta K$
$F \cdot s = \frac{1}{2} m v^2$
चूंकि मंदक बल $F$ और प्रारंभिक वेग $v$ स्थिर हैं,इसलिए:
$s = \frac{m v^2}{2 F} \implies s \propto m$
माना प्रारंभिक द्रव्यमान $m_1 = m$ है और प्रारंभिक दूरी $s_1 = x$ है।
$25\%$ की वृद्धि के बाद नया द्रव्यमान $m_2 = m + 0.25m = 1.25m$ है।
समानुपात $s \propto m$ का उपयोग करते हुए:
$\frac{s_2}{s_1} = \frac{m_2}{m_1}$
$s_2 = s_1 \cdot \frac{1.25m}{m}$
$s_2 = 1.25 x$.

(D) दी गई प्रारंभिक गति $u = 40 \,ms^{-1}$ और कोण $\theta = 30^{\circ}$ है।
अंतिम गति $v = 1.25 \times u = 1.25 \times 40 = 50 \,ms^{-1}$ है।
ऊर्जा संरक्षण के सिद्धांत का उपयोग करते हुए, प्रक्षेपण बिंदु और जमीन से टकराने वाले बिंदु पर कुल यांत्रिक ऊर्जा स्थिर रहती है।
स्थितिज ऊर्जा के लिए जमीन को संदर्भ स्तर के रूप में लेते हुए $(PE = 0)$:
$E_{initial} = E_{final}$
$\frac{1}{2} m u^2 + mgh = \frac{1}{2} m v^2$
$m$ से विभाजित करने और $2$ से गुणा करने पर:
$u^2 + 2gh = v^2$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$(40)^2 + 2 \times 10 \times h = (50)^2$
$1600 + 20h = 2500$
$20h = 2500 - 1600$
$20h = 900$
$h = \frac{900}{20} = 45 \,m$.
अतः, $h$ का मान $45 \,m$ है।

(B) मान लीजिए वस्तु का द्रव्यमान $m$ है और प्रारंभिक वेग $u$ है। अधिकतम ऊँचाई $h$ पर,कुल ऊर्जा $E = mgh$ है।
जमीन से $y = 0.4h$ की ऊँचाई पर,स्थितिज ऊर्जा $PE = mgy = mg(0.4h) = 0.4mgh$ है।
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,कुल ऊर्जा स्थिर रहती है।
इसलिए,$KE + PE = E$.
$KE = E - PE = mgh - 0.4mgh = 0.6mgh$.
गतिज ऊर्जा और स्थितिज ऊर्जा का अनुपात $\frac{KE}{PE} = \frac{0.6mgh}{0.4mgh} = \frac{0.6}{0.4} = \frac{3}{2}$ है।
अतः,अनुपात $3: 2$ है।

(C) कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,शुद्ध बल द्वारा किया गया कार्य गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है:
$W = \Delta K = K_f - K_i$
यहाँ $m = 1 \ kg$,$c = 1$,$v = x^\alpha$,$x_i = 0 \ m$,$x_f = 4 \ m$,और $W = 128 \ J$ दिया गया है।
$x = 0$ पर,$v_i = 1 \times (0)^\alpha = 0$.
$x = 4$ पर,$v_f = 1 \times (4)^\alpha = 4^\alpha$.
इन मानों को कार्य-ऊर्जा समीकरण में रखने पर:
$128 = \frac{1}{2} m v_f^2 - \frac{1}{2} m v_i^2$
$128 = \frac{1}{2} (1) (4^\alpha)^2 - 0$
$128 = \frac{1}{2} (4^{2\alpha})$
$256 = 4^{2\alpha}$
चूँकि $256 = 2^8 = (2^2)^4 = 4^4$,इसलिए:
$4^4 = 4^{2\alpha}$
$2\alpha = 4$
$\alpha = 2$.

(C) माना स्प्रिंग का संपीड़न $x$ (मीटर में) है।
यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,पिंड द्वारा खोई गई कुल स्थितिज ऊर्जा स्प्रिंग द्वारा प्राप्त स्थितिज ऊर्जा के बराबर होती है।
पिंड द्वारा तय की गई कुल ऊँचाई $(h + x)$ है,जहाँ $h = 1.2 \ m$ है।
अतः,$mg(h + x) = \frac{1}{2} kx^2$.
दिए गए मानों को रखने पर: $2 \times 10 \times (1.2 + x) = \frac{1}{2} \times (2 \times 10^4) \times x^2$.
$20(1.2 + x) = 10^4 x^2$.
$24 + 20x = 10000x^2$.
$10000x^2 - 20x - 24 = 0$.
$4$ से विभाजित करने पर: $2500x^2 - 5x - 6 = 0$.
द्विघात सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर:
$x = \frac{5 \pm \sqrt{(-5)^2 - 4(2500)(-6)}}{2(2500)} = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 60000}}{5000} = \frac{5 \pm \sqrt{60025}}{5000} = \frac{5 \pm 245}{5000}$.
चूँकि $x > 0$,इसलिए $x = \frac{250}{5000} = 0.05 \ m$.
$mm$ में बदलने पर: $0.05 \ m = 50 \ mm$.

(A) दिया गया है,स्पर्शरेखीय त्वरण $a_t = \alpha x^2$ है।
स्पर्शरेखीय बल $F = m a_t = m \alpha x^2$ है।
कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,स्पर्शरेखीय बल द्वारा किया गया कार्य गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है: $W = \Delta K$।
यह मानते हुए कि कण $x = 0$ पर विरामावस्था से चलना शुरू करता है,$K = \int_0^x F dx$।
$K = \int_0^x (m \alpha x^2) dx$।
$K = m \alpha \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^x = \frac{m \alpha}{3} x^3$।
इसे दिए गए व्यंजक $K = \beta x^c$ के साथ तुलना करने पर,हमें $\beta = \frac{m \alpha}{3}$ और $c = 3$ प्राप्त होता है।

(B) कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,सभी बलों द्वारा किया गया कुल कार्य कण की गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है।
किया गया कार्य $W = \Delta KE = KE_f - KE_i$.
कण का वेग $v = k x^\beta$ दिया गया है।
$x = 0$ पर,प्रारंभिक वेग $v_i = k(0)^\beta = 0$ है।
$x = d$ पर,अंतिम वेग $v_f = k d^\beta$ है।
प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $KE_i = \frac{1}{2} m v_i^2 = \frac{1}{2} m (0)^2 = 0$ है।
अंतिम गतिज ऊर्जा $KE_f = \frac{1}{2} m v_f^2 = \frac{1}{2} m (k d^\beta)^2 = \frac{1}{2} m k^2 d^{2\beta}$ है।
अतः,किया गया कुल कार्य $W = \frac{1}{2} m k^2 d^{2\beta} - 0 = \frac{m k^2}{2} d^{2\beta}$ है।

(C) मान लीजिए प्रारंभिक ऊँचाई $H = 12 \,m$ है। इस ऊँचाई पर स्थितिज ऊर्जा $PE_1 = mgH$ है।
जब गेंद जमीन से टकराती है, तो टकराने से ठीक पहले उसकी गतिज ऊर्जा $KE_1 = mgH$ होती है।
गेंद अपनी गतिज ऊर्जा का $25 \%$ खो देती है, इसलिए शेष गतिज ऊर्जा $KE_2 = KE_1 - 0.25 KE_1 = 0.75 KE_1$ है।
गेंद '$h$' ऊँचाई तक वापस उछलती है, इसलिए अधिकतम ऊँचाई पर उसकी स्थितिज ऊर्जा $PE_2 = mgh$ है।
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार, ऊर्जा के नुकसान के बाद की गतिज ऊर्जा नई ऊँचाई पर स्थितिज ऊर्जा के बराबर होती है: $mgh = 0.75 mgH$।
इसलिए, $h = 0.75 H$।
$H = 12 \,m$ रखने पर: $h = 0.75 \times 12 = 9 \,m$।

(D) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 3 \text{ kg}$, विस्थापन $x = \frac{t^3}{3} \text{ m}$.
सबसे पहले, समय के सापेक्ष विस्थापन का अवकलन करके वेग $v$ ज्ञात करें:
$v = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}\left(\frac{t^3}{3}\right) = t^2 \text{ m/s}$.
$t = 0$ पर, $v_i = 0^2 = 0 \text{ m/s}$.
$t = 2 \text{ s}$ पर, $v_f = 2^2 = 4 \text{ m/s}$.
कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार, किया गया कार्य $W$ गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है:
$W = \Delta KE = KE_f - KE_i = \frac{1}{2}mv_f^2 - \frac{1}{2}mv_i^2$.
मान रखने पर:
$W = \frac{1}{2} \times 3 \times (4)^2 - \frac{1}{2} \times 3 \times (0)^2 = \frac{1}{2} \times 3 \times 16 = 24 \text{ J}$.

(C) कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,किसी पिंड पर कार्य करने वाले कुल (परिणामी) बल द्वारा किया गया कार्य उसकी गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है।
गणितीय रूप से,$W_{net} = \Delta KE = KE_f - KE_i$.
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(A) दिया गया है: $m = 2 \,kg$, $x = \frac{\alpha t^2}{2}$, और $\alpha = 1 \,m/s^2$.
सबसे पहले, हम समय $t$ के सापेक्ष स्थिति $x$ का अवकलन करके वेग $v$ ज्ञात करते हैं:
$v = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt} \left( \frac{\alpha t^2}{2} \right) = \alpha t$.
$t = 2 \,s$ पर, वेग $v$ होगा:
$v = 1 \times 2 = 2 \,m/s$.
कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार, किया गया कार्य $W$ गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है:
$W = \Delta K = \frac{1}{2} m v_f^2 - \frac{1}{2} m v_i^2$.
$t = 0$ पर, $v_i = \alpha(0) = 0$.
$t = 2 \,s$ पर, $v_f = 2 \,m/s$.
अतः, $W = \frac{1}{2} \times 2 \,kg \times (2 \,m/s)^2 - 0 = 4 \,J$.

(A) चूंकि कटोरे की सतह चिकनी है,इसलिए गोले को लुढ़काने के लिए कोई घर्षण नहीं है। गोला केवल सतह पर फिसलेगा।
यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,स्थितिज ऊर्जा में हुई हानि गतिज ऊर्जा में हुई वृद्धि के बराबर होती है।
गोले के द्रव्यमान केंद्र की ऊँचाई में परिवर्तन $h = R - r$ है।
खोई हुई स्थितिज ऊर्जा = $mgh = mg(R - r)$।
चूंकि गोला फिसल रहा है (लुढ़क नहीं रहा है),इसलिए इसकी कुल गतिज ऊर्जा पूरी तरह से स्थानांतरणीय है: $K = \frac{1}{2} mv^2$।
अतः,सबसे निचले बिंदु पर कुल गतिज ऊर्जा $K = mg(R - r)$ होगी।

(C) दिए गए वेग-समय ग्राफ से,$t = 0 \ s$ पर प्रारंभिक वेग $u = 50 \ m/s$ है। $t = 10 \ s$ पर वेग $0 \ m/s$ हो जाता है।
त्वरण $a$ ग्राफ का ढाल है: $a = \frac{v_f - v_i}{t_f - t_i} = \frac{0 - 50}{10 - 0} = -5 \ m/s^2$।
$t = 2 \ s$ पर वेग $v = u + at = 50 + (-5)(2) = 40 \ m/s$ है।
कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,किया गया कार्य $W$ गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है:
$W = \Delta K = K_f - K_i = \frac{1}{2} m v^2 - \frac{1}{2} m u^2$
$W = \frac{1}{2} \times 10 \ kg \times ((40 \ m/s)^2 - (50 \ m/s)^2)$
$W = 5 \times (1600 - 2500) = 5 \times (-900) = -4500 \ J$।

(D) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 6 \,kg$,विस्थापन $x = \frac{t^2}{4} \,m$ है।
वेग $v = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(\frac{t^2}{4}) = \frac{2t}{4} = \frac{t}{2} \,m/s$ है।
$t = 0 \,s$ पर,वेग $v_i = \frac{0}{2} = 0 \,m/s$ है।
$t = 2 \,s$ पर,वेग $v_f = \frac{2}{2} = 1 \,m/s$ है।
कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,किया गया कार्य $W$ गतिज ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta K$ के बराबर होता है।
$W = K_f - K_i = \frac{1}{2} m v_f^2 - \frac{1}{2} m v_i^2$ है।
$W = \frac{1}{2} \times 6 \times (1)^2 - \frac{1}{2} \times 6 \times (0)^2$ है।
$W = 3 - 0 = 3 \,J$ है।

(B) मान लीजिए अर्ध-वृत्त की त्रिज्या $R$ है। मनके $Q$ द्वारा बिंदु $B$ तक पहुँचने के लिए तय की गई क्षैतिज दूरी $2R$ है। चूँकि यह एक स्थिर क्षैतिज वेग $v$ से गति करता है,इसलिए लिया गया समय $t_Q = \frac{2R}{v}$ है।
मनके $P$ के लिए,बिंदु $S$ पर वेग का क्षैतिज घटक $v_x = v$ दिया गया है। जैसे-जैसे मनका घर्षणरहित अर्ध-वृत्ताकार तार पर नीचे फिसलता है,गुरुत्वाकर्षण के कारण इसकी चाल बढ़ती है। इसके वेग का क्षैतिज घटक $v_x = v \cos \theta$ होगा,जहाँ $\theta$ वेग सदिश और क्षैतिज के बीच का कोण है। चूँकि मनका अर्ध-वृत्त पर गति करने के लिए बाध्य है,जैसे-जैसे यह $C$ की ओर और फिर $B$ की ओर बढ़ता है,इसका क्षैतिज वेग घटक $v_x$ हमेशा इसके प्रारंभिक क्षैतिज वेग $v$ से अधिक या उसके बराबर होगा। चूँकि $P$ का औसत क्षैतिज वेग $v$ से अधिक है और $P$ को कुल क्षैतिज दूरी $2R$ तय करनी है,इसलिए लिया गया समय $t_P$,$t_Q$ से कम होना चाहिए।