Work Energy Theorem and Conservation of Mechanical Energy Questions in Hindi

(B) कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,गेंद पर किया गया कुल कार्य उसकी गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है।
चूँकि गेंद विरामावस्था से शुरू होती है और अंत में स्थिर हो जाती है,इसलिए गतिज ऊर्जा में परिवर्तन $0$ है।
गेंद पर कार्य करने वाले बल गुरुत्वाकर्षण $(mg)$ और रेत का प्रतिरोधक बल $(F_{avg})$ हैं।
गेंद का कुल विस्थापन $H + d$ है,जहाँ $H = 10 \text{ m}$ और $d = 10 \text{ cm} = 0.1 \text{ m}$ है।
गुरुत्वाकर्षण द्वारा किया गया कार्य + रेत द्वारा किया गया कार्य = गतिज ऊर्जा में परिवर्तन
$mg(H + d) - F_{avg} \times d = 0$
$F_{avg} = \frac{mg(H + d)}{d}$
मान रखने पर: $F_{avg} = \frac{2 \times 10 \times (10 + 0.1)}{0.1} = \frac{20 \times 10.1}{0.1} = 200 \times 10.1 = 2020 \text{ N}$.

(C) बल द्वारा किया गया कार्य गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है: $W = \Delta K = \frac{1}{2}m(v_f^2 - v_i^2)$.
दिया गया है $v = 2x^2$,$x = 0$ पर,प्रारंभिक वेग $v_i = 2(0)^2 = 0 \text{ m/s}$.
$x = 5 \text{ m}$ पर,अंतिम वेग $v_f = 2(5)^2 = 2(25) = 50 \text{ m/s}$.
कार्य-ऊर्जा प्रमेय में मान रखने पर:
$W = \frac{1}{2} \times 1 \text{ kg} \times ((50 \text{ m/s})^2 - (0 \text{ m/s})^2)$
$W = \frac{1}{2} \times 1 \times 2500 = 1250 \text{ J}$.

(A) यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण के सिद्धांत का उपयोग करते हुए,$6 \text{ kg}$ द्रव्यमान की स्थितिज ऊर्जा में हुई कमी,निकाय की गतिज ऊर्जा में हुई वृद्धि (दोनों $6 \text{ kg}$ और $2 \text{ kg}$ द्रव्यमान के लिए) और $2 \text{ kg}$ द्रव्यमान की स्थितिज ऊर्जा में हुई वृद्धि के योग के बराबर होती है।
माना $m_1 = 6 \text{ kg}$ और $m_2 = 2 \text{ kg}$ है। जब $6 \text{ kg}$ द्रव्यमान $h = 6 \text{ m}$ नीचे गिरता है,तो $2 \text{ kg}$ द्रव्यमान $h = 6 \text{ m}$ ऊपर उठता है।
$m_1$ की स्थितिज ऊर्जा में कमी = $m_1 g h = 6 \times 10 \times 6 = 360 \text{ J}$।
$m_2$ की स्थितिज ऊर्जा में वृद्धि = $m_2 g h = 2 \times 10 \times 6 = 120 \text{ J}$।
निकाय की गतिज ऊर्जा में वृद्धि = $\frac{1}{2}(m_1 + m_2)v^2 = \frac{1}{2}(6 + 2)v^2 = 4v^2$।
ऊर्जा संरक्षण के अनुसार: $m_1 g h = m_2 g h + \frac{1}{2}(m_1 + m_2)v^2$।
$360 = 120 + 4v^2$।
$240 = 4v^2$।
$v^2 = 60$।
$v = \sqrt{60} \approx 7.746 \text{ m/s}$।

(D) कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,वस्तु पर किया गया कुल कार्य उसकी गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है: $W_{\text{total}} = \Delta K$.
यहाँ,कुल कार्य गुरुत्वाकर्षण द्वारा किए गए कार्य $(W_g)$ और प्रतिरोधी बल द्वारा किए गए कार्य $(W_r)$ का योग है: $W_g + W_r = \Delta K$.
दिया गया है: द्रव्यमान $m = 1 \text{ g} = 0.001 \text{ kg}$,ऊँचाई $h = 1 \text{ km} = 1000 \text{ m}$,प्रारंभिक वेग $u = 0 \text{ m/s}$,अंतिम वेग $v = 5 \text{ m/s}$,और $g = 10 \text{ m/s}^2$.
गुरुत्वाकर्षण द्वारा किया गया कार्य: $W_g = mgh = 0.001 \text{ kg} \times 10 \text{ m/s}^2 \times 1000 \text{ m} = 10 \text{ J}$.
गतिज ऊर्जा में परिवर्तन: $\Delta K = \frac{1}{2}mv^2 - \frac{1}{2}mu^2 = \frac{1}{2} \times 0.001 \text{ kg} \times (5 \text{ m/s})^2 - 0 = 0.0005 \times 25 = 0.0125 \text{ J}$.
कार्य-ऊर्जा प्रमेय में मान रखने पर: $10 \text{ J} + W_r = 0.0125 \text{ J}$.
$W_r = 0.0125 \text{ J} - 10 \text{ J} = -9.9875 \text{ J}$.
सबसे निकटतम विकल्प $-9.98 \text{ J}$ है।