Wave Equation and Characteristics of Waves Questions in Hindi

(C) दिया गया है: वेग $v = 330 \,m/s$, पथ अंतर $\Delta x = 40 \,cm = 0.4 \,m$, और कलांतर $\Delta \phi = 1.6 \pi$.
हम जानते हैं कि कलांतर और पथ अंतर के बीच का संबंध $\Delta \phi = \frac{2 \pi}{\lambda} \Delta x$ है।
यहाँ $\lambda = \frac{v}{f}$ रखने पर, $\Delta \phi = \frac{2 \pi f}{v} \Delta x$ प्राप्त होता है।
आवृत्ति $f$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर: $f = \frac{\Delta \phi \cdot v}{2 \pi \cdot \Delta x}$.
मान रखने पर: $f = \frac{1.6 \pi \cdot 330}{2 \pi \cdot 0.4}$.
$f = \frac{1.6 \cdot 330}{0.8} = 2 \cdot 330 = 660 \,Hz$.

(A) दिया गया है: कलांतर $\phi = 60^{\circ} = \frac{\pi}{3} \text{ रेडियन}$.
पथ अंतर $x = 0.6 \text{ m}$.
आवृत्ति $n = 500 \text{ Hz}$.
पथ अंतर $(x)$ और कलांतर $(\phi)$ के बीच का संबंध $x = \frac{\lambda}{2\pi} \times \phi$ है।
मान रखने पर: $0.6 = \frac{\lambda}{2\pi} \times \frac{\pi}{3}$.
$0.6 = \frac{\lambda}{6} \implies \lambda = 3.6 \text{ m}$.
तरंग का वेग $v = n \lambda$ है।
$v = 500 \times 3.6 = 1800 \text{ m/s}$.
$\text{km/s}$ में बदलने पर: $v = 1.8 \text{ km/s}$.

(B) एक सरल आवर्त प्रगामी तरंग का सामान्य समीकरण $y=A \sin 2 \pi \left( \frac{t}{T} - \frac{x}{\lambda} \right)$ है।
दिया गया समीकरण: $y=a \sin 2 \pi(b t-c x)$.
दोनों की तुलना करने पर,आयाम $A=a$,आवृत्ति $n = \frac{1}{T} = b$,और तरंग संख्या $\frac{1}{\lambda} = c$ प्राप्त होता है।
अधिकतम कण वेग $(v_p)_{\max} = A \omega = A(2 \pi n) = a(2 \pi b) = 2 \pi ab$ द्वारा दिया जाता है।
तरंग वेग $v = n \lambda = \frac{n}{1/\lambda} = \frac{b}{c}$ है।
प्रश्न के अनुसार,$(v_p)_{\max} = \frac{1}{2} v$.
मान रखने पर: $2 \pi ab = \frac{1}{2} \left( \frac{b}{c} \right)$.
दोनों पक्षों से $b$ को हटाने पर: $2 \pi a = \frac{1}{2c}$.
$c$ के लिए हल करने पर: $c = \frac{1}{4 \pi a}$.

(D) प्रगामी तरंग का मानक समीकरण $Y = A \sin(\omega t - kx + \phi)$ होता है।
दिए गए समीकरण $Y = 6 \sin(12 \pi t - 0.02 \pi x + \frac{\pi}{3})$ की तुलना करने पर:
कोणीय आवृत्ति $\omega = 12 \pi \ rad/s$ और तरंग संख्या $k = 0.02 \pi \ rad/m$ प्राप्त होती है।
तरंग का वेग $v$,कोणीय आवृत्ति और तरंग संख्या के अनुपात द्वारा दिया जाता है:
$v = \frac{\omega}{k}$
$v = \frac{12 \pi}{0.02 \pi}$
$v = \frac{12}{0.02} = \frac{1200}{2} = 600 \ m/s$.

(B) दिए गए समीकरण हैं:
$y_1 = a_1 \sin \left(\omega t - \frac{2 \pi x}{\lambda}\right)$
$y_2 = a_2 \cos \left(\omega t - \frac{2 \pi x}{\lambda} + \phi\right)$
हम जानते हैं कि $\cos \theta = \sin \left(\theta + \frac{\pi}{2}\right)$ होता है।
अतः,$y_2$ को इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$y_2 = a_2 \sin \left(\omega t - \frac{2 \pi x}{\lambda} + \phi + \frac{\pi}{2}\right)$
दोनों तरंगों के बीच कलान्तर $\Delta \Phi$ उनके तर्कों का अंतर है:
$\Delta \Phi = \left(\omega t - \frac{2 \pi x}{\lambda} + \phi + \frac{\pi}{2}\right) - \left(\omega t - \frac{2 \pi x}{\lambda}\right) = \phi + \frac{\pi}{2}$
पथान्तर $\Delta x$ और कलान्तर $\Delta \Phi$ के बीच संबंध है:
$\Delta x = \frac{\lambda}{2 \pi} \times \Delta \Phi$
$\Delta \Phi$ का मान रखने पर:
$\Delta x = \frac{\lambda}{2 \pi} \left(\phi + \frac{\pi}{2}\right)$

(D) दिया गया तरंग समीकरण $y = A \sin(2\omega t - 2kx)$ है।
इसे मानक तरंग समीकरण $y = A \sin(\omega' t - k' x)$ के साथ तुलना करने पर,कोणीय आवृत्ति $\omega' = 2\omega$ और तरंग संख्या $k' = 2k$ प्राप्त होती है।
कण का वेग $v_p = \frac{dy}{dt} = A \cdot (2\omega) \cos(2\omega t - 2kx)$ है।
कण का अधिकतम वेग $v_{p,max} = 2A\omega$ है।
तरंग का वेग $v_w = \frac{\omega'}{k'} = \frac{2\omega}{2k} = \frac{\omega}{k}$ है।
दिया गया है कि $v_{p,max} = v_w$,इसलिए $2A\omega = \frac{\omega}{k}$ है।
अतः,$A = \frac{1}{2k}$।
चूंकि तरंग संख्या $k = \frac{2\pi}{\lambda}$ है,इसलिए हम इस मान को $A$ के व्यंजक में प्रतिस्थापित करते हैं:
$A = \frac{1}{2(2\pi / \lambda)} = \frac{\lambda}{4\pi}$।

(C) प्रगामी तरंग का मानक समीकरण $y = A \sin (\omega t - kx + \phi)$ या $y = A \sin (kx - \omega t + \phi)$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए समीकरण $Y = 5 \sin (10 \pi t - 0.02 \pi x + \pi / 3)$ की तुलना मानक रूप से करने पर,हम कोणीय आवृत्ति $\omega$ और तरंग संख्या $k$ की पहचान करते हैं:
$\omega = 10 \pi \ rad/s$
$k = 0.02 \pi \ rad/m$
तरंग का वेग $v$,कोणीय आवृत्ति और तरंग संख्या के अनुपात द्वारा दिया जाता है:
$v = \frac{\omega}{k}$
मान रखने पर:
$v = \frac{10 \pi}{0.02 \pi}$
$v = \frac{10}{0.02} = \frac{1000}{2} = 500 \ m/s$
अतः,तरंग का वेग $500 \ m/s$ है।

(D) दिया गया तरंग समीकरण $y = 10 \sin \left(\frac{2 \pi t}{30} + \alpha\right)$ है।
$t = 0 \ s$ पर,विस्थापन $y = 5 \ cm$ है।
इन मानों को समीकरण में रखने पर: $5 = 10 \sin \left(\frac{2 \pi (0)}{30} + \alpha\right) \implies 5 = 10 \sin \alpha \implies \sin \alpha = \frac{1}{2}$.
अतः,प्रारंभिक कला नियतांक $\alpha = \frac{\pi}{6} \ rad$ प्राप्त होता है।
किसी भी समय $t$ पर कुल कला कोण $\phi = \frac{2 \pi t}{30} + \alpha$ द्वारा दिया जाता है।
$t = 7.5 \ s$ पर,कुल कला कोण $\phi = \frac{2 \pi (7.5)}{30} + \frac{\pi}{6}$ होगा।
$\phi = \frac{15 \pi}{30} + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6}$.
$\phi = \frac{3 \pi + \pi}{6} = \frac{4 \pi}{6} = \frac{2 \pi}{3} \ rad$.

(B) दिया गया तरंग समीकरण $Y = Y_0 \sin(2 \pi n t - \frac{2 \pi x}{\lambda})$ है।
इसे मानक रूप $Y = Y_0 \sin(\omega t - kx)$ से तुलना करने पर,कोणीय आवृत्ति $\omega = 2 \pi n$ प्राप्त होती है।
कण का अधिकतम वेग $v_{p, \text{max}} = Y_0 \omega = Y_0 (2 \pi n) = 2 \pi n Y_0$ होता है।
तरंग का वेग $v = n \lambda$ होता है।
प्रश्न के अनुसार,तरंग का वेग कण के अधिकतम वेग का $(1/8)$ गुना है:
$v = \frac{1}{8} v_{p, \text{max}}$
$n \lambda = \frac{1}{8} (2 \pi n Y_0)$
$n \lambda = \frac{\pi n Y_0}{4}$
$\lambda = \frac{\pi Y_0}{4}$.

(D) तरंग का मानक समीकरण $Y = A \sin 2 \pi \left(\frac{t}{T} - \frac{x}{\lambda}\right)$ है।
पहली तरंग के लिए: $Y_1 = 2 \sin 2 \pi \left(\frac{4t}{0.2} - \frac{4x}{2}\right) = 2 \sin 2 \pi \left(\frac{t}{0.05} - \frac{x}{0.5}\right)$.
यहाँ,$T_1 = 0.05 \text{ s}$ और $\lambda_1 = 0.5 \text{ m}$ है।
वेग $v_1 = \frac{\lambda_1}{T_1} = \frac{0.5}{0.05} = 10 \text{ m/s}$ है।
दूसरी तरंग के लिए: $Y_2 = 4 \sin 2 \pi \left(\frac{4t}{0.16} - \frac{4x}{1.6}\right) = 4 \sin 2 \pi \left(\frac{t}{0.04} - \frac{x}{0.4}\right)$.
यहाँ,$T_2 = 0.04 \text{ s}$ और $\lambda_2 = 0.4 \text{ m}$ है।
वेग $v_2 = \frac{\lambda_2}{T_2} = \frac{0.4}{0.04} = 10 \text{ m/s}$ है।
चूँकि $v_1 = v_2 = 10 \text{ m/s}$ है,इसलिए दोनों तरंगों का वेग समान है।

(D) अनुप्रस्थ तरंग का दिया गया समीकरण $y=2 \sin (0.01 x+30 t)$ है।
इसे मानक तरंग समीकरण $y=A \sin (kx+\omega t)$ के साथ तुलना करने पर,हमें तरंग संख्या $k=0.01 \ rad/cm$ और कोणीय आवृत्ति $\omega=30 \ rad/s$ प्राप्त होती है।
तरंग की गति $v$ की गणना $v = \frac{\omega}{k} = \frac{30}{0.01} = 3000 \ cm/s$ के रूप में की जाती है।
गति को $SI$ इकाइयों में बदलने पर,$v = 30 \ m/s$ प्राप्त होता है।
डोरी की लंबाई तय करने में लगा समय $t = 0.5 \ s$ है।
इसलिए,डोरी की लंबाई $L = v \times t = 30 \ m/s \times 0.5 \ s = 15 \ m$ है।

(B) दिया गया है: तरंग की गति $v = 960 \,m/s$.
तरंगों की संख्या $n = 900$.
समय $t = 0.5 \,min = 30 \,s$.
आवृत्ति $f$ को प्रति इकाई समय में एक बिंदु से गुजरने वाली तरंगों की संख्या के रूप में परिभाषित किया जाता है:
$f = \frac{n}{t} = \frac{900}{30} = 30 \,Hz$.
तरंग की गति, आवृत्ति और तरंगदैर्ध्य के बीच संबंध $v = f \lambda$ है।
इसलिए, तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{v}{f} = \frac{960}{30} = 32 \,m$.

(B) $SHM$ तरंग का दिया गया समीकरण $y = 0.03 \sin \pi (2 t - 0.01 x) \ m$ है।
इसे विस्तारित करने पर,हमें $y = 0.03 \sin (2 \pi t - 0.01 \pi x) \ m$ प्राप्त होता है।
इसकी तुलना सामान्य तरंग समीकरण $y = a \sin (\omega t - k x)$ से करने पर,हम तरंग संख्या $k = 0.01 \pi \ rad/m$ प्राप्त करते हैं।
$\Delta x$ दूरी पर स्थित दो कणों के बीच कलांतर $\Delta \phi = k \Delta x$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $\Delta x = 25 \ m$ और $k = 0.01 \pi \ rad/m$ दिया गया है,इसलिए मान रखने पर:
$\Delta \phi = (0.01 \pi) \times 25 = 0.25 \pi = \frac{\pi}{4} \ rad$।
अतः,कलांतर $\frac{\pi}{4} \ rad$ है।

(A) साइन तरंग में,एक कण का विस्थापन $y = A \sin(kx - \omega t)$ द्वारा दिया जाता है।
कण का वेग $v_p = \frac{\partial y}{\partial t} = -A\omega \cos(kx - \omega t)$ है।
कण की गति $|v_p| = |A\omega \cos(kx - \omega t)|$ है।
दो कणों की गति समान होती है यदि उनके विस्थापन का परिमाण समान हो,अर्थात $|y_1| = |y_2|$।
साइन तरंग के लिए,समान गति वाले बिंदु वे होते हैं जिनका माध्य स्थिति से विस्थापन का परिमाण समान होता है।
विशेष रूप से,श्रृंग $(A)$ और गर्त $(B)$ पर स्थित बिंदुओं का वेग शून्य (गति = $0$) होता है। एक श्रृंग और उसके निकटतम गर्त के बीच की दूरी $\frac{\lambda}{2}$ होती है।
वैकल्पिक रूप से,माध्य स्थिति या चरम स्थितियों के सापेक्ष सममित किन्हीं भी दो बिंदुओं की गति समान होगी। ऐसे दो बिंदुओं के बीच की न्यूनतम दूरी $\frac{\lambda}{2}$ है।

(A) तरंग का दिया गया समीकरण $y=A \sin (100 \pi t-3 x)$ है।
इसकी तुलना मानक तरंग समीकरण $y=A \sin (\omega t-kx)$ से करने पर,हमें तरंग संख्या $k=3 \ m^{-1}$ प्राप्त होती है।
कलांतर $(\Delta \phi)$ और पथान्तर $(\Delta x)$ के बीच का संबंध $\Delta \phi = k \cdot \Delta x$ होता है।
यहाँ कलांतर $\Delta \phi = \frac{\pi}{3}$ दिया गया है।
मान रखने पर,$\frac{\pi}{3} = 3 \cdot \Delta x$ प्राप्त होता है।
दूरी $\Delta x$ के लिए हल करने पर,$\Delta x = \frac{\pi}{3 \times 3} = \frac{\pi}{9} \ m$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया है कि कण का विस्थापन $y = A \sin (\omega t - k x)$ है।
कण का वेग $v_p$ समय के सापेक्ष विस्थापन के परिवर्तन की दर के रूप में परिभाषित है:
$v_p = \frac{dy}{dt}$
विस्थापन समीकरण का $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$v_p = \frac{d}{dt} [A \sin (\omega t - k x)] = A \omega \cos (\omega t - k x)$
अधिकतम कण वेग के लिए,कोसाइन पद का मान अधिकतम होना चाहिए,जो कि $1$ है:
$v_{p, \text{max}} = A \omega (1) = A \omega$
अतः,कण का अधिकतम वेग $A \omega$ है।

(C) दिया गया है: ध्वनि का वेग $v = 320 \,m/s$, आवृत्ति $f = 480 \,Hz$, कंपनों की संख्या $N = 180$।
वेग, आवृत्ति और तरंगदैर्ध्य के बीच का संबंध $v = f \lambda$ है।
इसलिए, तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{v}{f} = \frac{320}{480} = \frac{2}{3} \,m$।
$N$ कंपनों के बाद तरंग द्वारा तय की गई कुल दूरी $D = N \times \lambda$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर: $D = 180 \times \frac{2}{3} = 120 \,m$।

(C) कलांतर $\phi$ और पथ अंतर $\Delta x$ के बीच का संबंध $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ पथ अंतर $\Delta x = x$ और कलांतर $\phi = n\pi$ दिया गया है।
साथ ही,वेग $V$,आवृत्ति $f$ और तरंगदैर्ध्य $\lambda$ के बीच का संबंध $V = f\lambda$ है,जिसका अर्थ है $\lambda = \frac{V}{f}$।
इन मानों को कलांतर के सूत्र में रखने पर:
$n\pi = \frac{2\pi}{(V/f)} \cdot x$।
अतः,$n\pi = \frac{2\pi f x}{V}$।
आवृत्ति $f$ के लिए हल करने पर:
$f = \frac{nV}{2x}$।

(B) दी गई सरल आवर्त प्रगामी तरंग का समीकरण $y=A \sin (100 \pi t+3 x)$ है।
इसकी तुलना मानक तरंग समीकरण $y=A \sin (\omega t+kx)$ से करने पर,हमें तरंग संख्या $k=3 \ m^{-1}$ प्राप्त होती है।
तरंग संख्या $k$ और तरंगदैर्ध्य $\lambda$ के बीच का संबंध $k = \frac{2 \pi}{\lambda}$ होता है।
$k$ का मान रखने पर,$3 = \frac{2 \pi}{\lambda}$,जिससे $\lambda = \frac{2 \pi}{3} \ m$ प्राप्त होता है।
पथ अंतर $\Delta x$ और कलांतर $\Delta \phi$ के बीच का संबंध $\Delta x = \frac{\lambda}{2 \pi} \times \Delta \phi$ है।
यहाँ कलांतर $\Delta \phi = \frac{\pi}{3}$ रेडियन दिया गया है।
मान रखने पर,$\Delta x = \frac{2 \pi / 3}{2 \pi} \times \frac{\pi}{3} = \frac{1}{3} \times \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{9} \ m$ प्राप्त होता है।

(B) समतल प्रगामी तरंग का सामान्य समीकरण $y = a \sin (kx + \omega t)$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया समीकरण $y = 0.0015 \sin (62.4 x + 316 t)$ है।
इसकी तुलना सामान्य समीकरण से करने पर,हमें तरंग संख्या $k = 62.4 \text{ rad/unit}$ प्राप्त होती है।
चूंकि $k = \frac{2\pi}{\lambda}$,इसलिए $\lambda = \frac{2\pi}{k}$ होगा।
$k$ का मान रखने पर और $\pi \approx 3.14$ लेने पर,हमें $\lambda = \frac{2 \times 3.14}{62.4} = \frac{6.28}{62.4} \approx 0.1 \text{ unit}$ प्राप्त होता है।

(B) तरंगों की आवृत्ति $f$,प्रति इकाई समय में तरंगों की संख्या होती है।
यह दिया गया है कि प्रेक्षक $1$ मिनट ($60$ सेकंड) में $45$ तरंगें गिनता है,इसलिए आवृत्ति है:
$f = \frac{45 \text{ तरंगें}}{60 \text{ s}} = 0.75 \text{ Hz}$.
तरंग का वेग $v$,उसकी आवृत्ति $f$ और तरंगदैर्ध्य $\lambda$ के गुणनफल के बराबर होता है:
$v = f \times \lambda$.
यहाँ $\lambda = 7 \ m$ दिया गया है,इसलिए:
$v = 0.75 \text{ Hz} \times 7 \ m = 5.25 \ m/s$.
अतः,तरंगों का वेग $5.25 \ m/s$ है।

(A) दिया गया तरंग समीकरण $y = A \sin (\omega t - k x)$ है,जहाँ $A = 60 \ \mu m = 60 \times 10^{-6} \ m$,$\omega = 1200 \ rad/s$,और $k = 6 \ m^{-1}$ है।
कण का अधिकतम वेग $(v_p)$ $v_p = A \omega$ द्वारा दिया जाता है।
$v_p = (60 \times 10^{-6} \ m) \times (1200 \ rad/s) = 72000 \times 10^{-6} \ m/s = 7.2 \times 10^{-2} \ m/s$.
तरंग का वेग $(v_w)$ $v_w = \frac{\omega}{k}$ द्वारा दिया जाता है।
$v_w = \frac{1200}{6} = 200 \ m/s$.
कण के अधिकतम वेग और तरंग के वेग का अनुपात $\frac{v_p}{v_w} = \frac{A \omega}{\omega/k} = A k$ है।
$\frac{v_p}{v_w} = (60 \times 10^{-6} \ m) \times (6 \ m^{-1}) = 360 \times 10^{-6} = 3.6 \times 10^{-4}$.

(D) कलांतर $\Delta \phi$ और पथ अंतर $\Delta x$ के बीच का संबंध है: $\Delta \phi = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x$।
यहाँ $\Delta \phi = 45^{\circ} = \frac{\pi}{4} \text{ रेडियन}$ और $\Delta x = 4.0 \text{ m}$ दिया गया है।
मान रखने पर: $\frac{\pi}{4} = \frac{2\pi}{\lambda} \times 4.0$।
तरंगदैर्ध्य $\lambda$ के लिए हल करने पर: $\lambda = 8 \times 4.0 = 32 \text{ m}$।
तरंग का वेग $v = f \lambda$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $f = 300 \text{ Hz}$ है।
$v = 300 \text{ Hz} \times 32 \text{ m} = 9600 \text{ m/s}$।
$\text{km/s}$ में बदलने पर: $v = \frac{9600}{1000} \text{ km/s} = 9.6 \text{ km/s}$।

(B) प्रगामी तरंग का मानक समीकरण $y = a \sin(\omega t + kx)$ है।
दिए गए समीकरण $y = 0.002 \sin(100t + x)$ की तुलना मानक रूप से करने पर,हमें प्राप्त होता है:
कोणीय आवृत्ति $\omega = 100 \ rad/s$
तरंग संख्या $k = 1 \ rad/m$
आयाम $a = 0.002 \ m$
आवृत्ति $f = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{100}{2\pi} = \frac{50}{\pi} \ Hz$.
तरंग का वेग $v = \frac{\omega}{k} = \frac{100}{1} = 100 \ m/s$.
चूँकि $\omega t$ और $kx$ के बीच धनात्मक चिह्न है,इसलिए तरंग ऋणात्मक $x$-दिशा में गति कर रही है।
अतः,यह तरंग $100 \ m/s$ के वेग से ऋणात्मक $x$-दिशा में गति कर रही है।

(A) दिया गया है: आवृत्ति $(n) = 400 \ Hz$,वेग $(v) = 336 \ m/s$,कलांतर $(\phi) = 60^{\circ} = \frac{\pi}{3} \ rad$.
सबसे पहले,$v = n \lambda$ सूत्र का उपयोग करके तरंगदैर्ध्य $(\lambda)$ की गणना करें:
$\lambda = \frac{v}{n} = \frac{336}{400} = 0.84 \ m$.
पथ अंतर $(\Delta x)$ और कलांतर $(\phi)$ के बीच का संबंध $\Delta x = \frac{\lambda}{2\pi} \times \phi$ है।
मान रखने पर:
$\Delta x = \frac{0.84}{2\pi} \times \frac{\pi}{3} = \frac{0.84}{6} = 0.14 \ m$.
अतः,दोनों बिंदुओं के बीच की दूरी $0.14 \ m$ है।

(C) तरंग की तरंगदैर्ध्य $\lambda$ को सूत्र $\lambda = \frac{v}{f}$ द्वारा ज्ञात किया जाता है,जहाँ $v$ गति है और $f$ आवृत्ति है।
दिए गए मानों को रखने पर,$\lambda = \frac{30}{250} = 0.12 \ m$.
$\Delta x$ पथ अंतर वाले दो बिंदुओं के बीच कलांतर $\Delta\phi$ को $\Delta\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \times \Delta x$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ पथ अंतर $\Delta x = 10 \ cm = 0.1 \ m$ है।
मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$\Delta\phi = \frac{2\pi}{0.12} \times 0.1$.
$\Delta\phi = \frac{0.2\pi}{0.12} = \frac{20\pi}{12} = \frac{5\pi}{3} \ radian$.

(D) तरंग की कला (phase) ज्या फलन के तर्क द्वारा दी जाती है,$\phi = kx - \omega t$।
पहली तरंग के लिए,$\phi_1 = 20x - 30t$।
दूसरी तरंग के लिए,$\phi_2 = 25x - 40t$।
दिया गया है $x = 5 \ cm$ और $t = 2 \ s$:
$\phi_1 = 20(5) - 30(2) = 100 - 60 = 40 \ \text{रेडियन}$।
$\phi_2 = 25(5) - 40(2) = 125 - 80 = 45 \ \text{रेडियन}$।
कलांतर $\Delta \phi = |\phi_2 - \phi_1| = |45 - 40| = 5 \ \text{रेडियन}$।

(B) एक यात्रा करती तरंग का मानक समीकरण $y = A \sin(\omega t - kx + \phi)$ होता है।
दिए गए समीकरण $y = 10^{-4} \sin(600t - 2x + \pi/3)$ के साथ इसकी तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
कोणीय आवृत्ति $\omega = 600 \text{ rad/s}$
तरंग संख्या $k = 2 \text{ rad/m}$
तरंग की गति $v$ का सूत्र $v = \frac{\omega}{k}$ है।
मान रखने पर,$v = \frac{600}{2} = 300 \text{ m/s}$।

(A) प्रगामी तरंग का मानक समीकरण $y = y_0 \sin(\omega t + kx + \phi)$ होता है।
दिए गए समीकरण $y = 10^{-4} \sin(100t + 20x + \frac{\pi}{3})$ की तुलना मानक समीकरण से करने पर,हमें कोणीय आवृत्ति $\omega = 100 \ rad/s$ और तरंग संख्या $k = 20 \ rad/m$ प्राप्त होती है।
तरंग की चाल $v$ का सूत्र $v = \frac{\omega}{k}$ होता है।
मान रखने पर,हमें $v = \frac{100}{20} = 5 \ m/s$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया है: कलांतर $\phi = \frac{\pi}{5} \text{ rad}$, आवृत्ति $f = 25 \text{ Hz}$, वेग $v = 75 \text{ m/s}$।
सबसे पहले, $\lambda = \frac{v}{f}$ सूत्र का उपयोग करके तरंगदैर्ध्य $\lambda$ की गणना करें:
$\lambda = \frac{75 \text{ m/s}}{25 \text{ Hz}} = 3 \text{ m}$।
कलांतर $\phi$ और पथ अंतर $x$ के बीच का संबंध इस प्रकार है:
$\phi = \frac{2\pi}{\lambda} x$।
ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{\pi}{5} = \frac{2\pi}{3} x$।
$x$ के लिए हल करने पर:
$x = \frac{\pi}{5} \times \frac{3}{2\pi} = \frac{3}{10} \text{ m} = 0.3 \text{ m}$।

(B) पहली तरंग का समीकरण $y_1 = A \sin (\omega t + kx + 0.57)$ है।
दूसरी तरंग $y_2 = A \cos (\omega t + kx)$ है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\cos \theta = \sin (\theta + \frac{\pi}{2})$ का उपयोग करते हुए,हम $y_2$ को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$y_2 = A \sin (\omega t + kx + \frac{\pi}{2})$.
पहली तरंग की कला $\phi_1 = \omega t + kx + 0.57$ है।
दूसरी तरंग की कला $\phi_2 = \omega t + kx + \frac{\pi}{2}$ है।
कलांतर $\Delta \phi = |\phi_2 - \phi_1| = |(\omega t + kx + \frac{\pi}{2}) - (\omega t + kx + 0.57)|$.
$\Delta \phi = \frac{\pi}{2} - 0.57$.
चूँकि $\frac{\pi}{2} \approx 1.57$,इसलिए:
$\Delta \phi = 1.57 - 0.57 = 1.0 \ \text{rad}$.

(C) दिया गया तरंग समीकरण $Y=2 \sin (0.01 x+30 t)$ है।
इसे मानक तरंग समीकरण $Y=A \sin (kx+\omega t)$ के साथ तुलना करने पर:
हमें तरंग संख्या $k = 0.01 \ cm^{-1}$ और कोणीय आवृत्ति $\omega = 30 \ rad/s$ प्राप्त होती है।
तरंग का वेग $v = \frac{\omega}{k} = \frac{30}{0.01} = 3000 \ cm/s$ है।
वेग को मीटर प्रति सेकंड में बदलने पर: $v = 30 \ m/s$।
डोरी की लंबाई $L$,$t = 0.5 \ s$ समय में तरंग द्वारा तय की गई दूरी है।
$L = v \times t = 30 \ m/s \times 0.5 \ s = 15 \ m$।

(D) दिया गया तरंग समीकरण $Y = 10 \sin \left(\frac{2 \pi t}{30} + \alpha\right)$ है।
$t = 0$ पर,विस्थापन $Y = 5 \text{ cm}$ है।
इन मानों को रखने पर: $5 = 10 \sin \left(\frac{2 \pi \times 0}{30} + \alpha\right)$.
$5 = 10 \sin \alpha \implies \sin \alpha = 0.5$.
चूंकि $\sin 30^{\circ} = 0.5$,इसलिए $\alpha = 30^{\circ} = \frac{\pi}{6} \text{ rad}$ है।
किसी भी समय $t$ पर कुल कला $\phi$,$\phi = \frac{2 \pi t}{30} + \alpha$ द्वारा दी जाती है।
$t = 7.5 \text{ s}$ पर:
$\phi = \frac{2 \pi \times 7.5}{30} + \frac{\pi}{6}$.
$\phi = \frac{15 \pi}{30} + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6}$.
$\phi = \frac{3 \pi + \pi}{6} = \frac{4 \pi}{6} = \frac{2 \pi}{3} \text{ rad}$.

(B) दिया गया समीकरण: $y=0.05 \sin \pi(2 t-0.02 x)$
समीकरण का विस्तार करने पर: $y=0.05 \sin (2 \pi t - 0.02 \pi x)$
इसे मानक तरंग समीकरण $y=a \sin (\omega t - k x)$ के साथ तुलना करने पर:
कोणीय आवृत्ति $\omega = 2 \pi \ rad/s$
तरंग संख्या $k = 0.02 \pi \ m^{-1}$
समान कला में स्थित दो कणों के बीच की न्यूनतम दूरी तरंगदैर्ध्य $\lambda$ होती है।
चूंकि $k = \frac{2 \pi}{\lambda}$,इसलिए $\lambda = \frac{2 \pi}{k} = \frac{2 \pi}{0.02 \pi} = \frac{2}{0.02} = 100 \ m$।
तरंग का वेग $v$,$v = \frac{\omega}{k}$ द्वारा दिया जाता है।
$v = \frac{2 \pi}{0.02 \pi} = \frac{2}{0.02} = 100 \ m/s$।

(B) दिया गया तरंग समीकरण $y = 10 \sin \left( \frac{2 \pi}{45} t + \alpha \right)$ है।
$t = 0$ पर,विस्थापन $y = 5 \text{ cm}$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $5 = 10 \sin \left( \frac{2 \pi}{45} \times 0 + \alpha \right) = 10 \sin \alpha$.
अतः,$\sin \alpha = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$,जिससे $\alpha = \frac{\pi}{6}$ प्राप्त होता है।
तरंग की कुल कला $\phi = \frac{2 \pi}{45} t + \alpha$ द्वारा दी जाती है।
$t = 7.5 \text{ s} = \frac{15}{2} \text{ s}$ पर,कुल कला:
$\phi = \frac{2 \pi}{45} \times \frac{15}{2} + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{6}$.
$\phi = \frac{2 \pi + \pi}{6} = \frac{3 \pi}{6} = \frac{\pi}{2}$.

(A) सरल आवर्त तरंग का समीकरण $y = a \sin \frac{2 \pi}{\lambda} (vt - x)$ द्वारा दिया जाता है।
समय $t$ के सापेक्ष विस्थापन $y$ का अवकलन करने पर,हमें कण का वेग प्राप्त होता है:
$v_p = \frac{dy}{dt} = a \cdot \frac{2 \pi v}{\lambda} \cos \frac{2 \pi}{\lambda} (vt - x)$.
अधिकतम कण वेग $(v_{p, \max})$ तब प्राप्त होता है जब कोसाइन पद $1$ हो:
$v_{p, \max} = \frac{2 \pi v a}{\lambda}$.
प्रश्न के अनुसार,अधिकतम कण वेग,तरंग वेग $(v)$ का आधा है:
$v_{p, \max} = \frac{v}{2}$.
$v_{p, \max}$ के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर:
$\frac{v}{2} = \frac{2 \pi v a}{\lambda}$.
आयाम $a$ के लिए हल करने पर:
$a = \frac{\lambda}{4 \pi}$.

(D) प्रगामी तरंग का मानक समीकरण $y = A \sin(2\pi ft - kx)$ है।
दिए गए समीकरण $y = 6 \sin 2\pi(2t - 0.1x)$ की तुलना मानक रूप से करने पर,हमें तरंग संख्या $k = 2\pi \times 0.1 = 0.2\pi \ rad/mm$ प्राप्त होती है।
कलांतर $\Delta \phi$ और पथांतर $\Delta x$ के बीच का संबंध $\Delta \phi = k \Delta x$ है।
यहाँ कणों के बीच की दूरी $\Delta x = 2 \ mm$ दी गई है।
मान रखने पर,$\Delta \phi = (0.2\pi) \times 2 = 0.4\pi \ rad$।
रेडियन को डिग्री में बदलने के लिए,$\frac{180^{\circ}}{\pi}$ से गुणा करने पर:
$\Delta \phi = 0.4\pi \times \frac{180^{\circ}}{\pi} = 0.4 \times 180^{\circ} = 72^{\circ}$।

(B) जब कोई तरंग एक माध्यम से दूसरे माध्यम में जाती है,तो उसकी आवृत्ति केवल तरंग के स्रोत पर निर्भर करती है और बदलती नहीं है।
हालाँकि,माध्यम के अपवर्तनांक के आधार पर तरंग का वेग और तरंगदैर्ध्य बदल जाते हैं।
इसलिए,तरंग की आवृत्ति स्थिर रहती है।

(C) सरल आवर्त तरंग के लिए विस्थापन समीकरण:
$y = \frac{10}{\pi} \sin \left(2000 \pi t - \frac{\pi x}{17}\right) \text{ cm}$
इसे मानक तरंग समीकरण $y = a \sin(\omega t - kx)$ के साथ तुलना करने पर:
यहाँ,आयाम $a = \frac{10}{\pi} \text{ cm} = \frac{10}{\pi} \times 10^{-2} \text{ m}$.
कोणीय आवृत्ति $\omega = 2000 \pi \text{ rad/s}$.
$1$. आवर्तकाल $(T)$:
$\omega = \frac{2\pi}{T} = 2000 \pi$
$T = \frac{2\pi}{2000 \pi} = \frac{1}{1000} \text{ s} = 10^{-3} \text{ s}$.
$2$. अधिकतम वेग $(v_{\max})$:
$v_{\max} = \omega a$
$v_{\max} = (2000 \pi) \times \left(\frac{10}{\pi} \times 10^{-2}\right) \text{ m/s}$
$v_{\max} = 2000 \times 10 \times 10^{-2} = 200 \text{ m/s}$.
अतः,आवर्तकाल $10^{-3} \text{ s}$ और अधिकतम वेग $200 \text{ m/s}$ है।

(C) दो तरंगों के बीच का कलांतर उनके तर्कों (arguments) के अंतर द्वारा दिया जाता है।
मान लीजिए $\phi_1 = \omega t - \frac{2 \pi x}{\lambda}$ और $\phi_2 = \omega t - \frac{2 \pi x}{\lambda} + \phi$ है।
कलांतर $\Delta \phi = \phi_2 - \phi_1 = \phi$ है।
पथ अंतर $(\Delta x)$ और कलांतर $(\Delta \phi)$ के बीच का संबंध निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\Delta \phi = \frac{2 \pi}{\lambda} \Delta x$।
पथ अंतर $\Delta x$ के लिए इस सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$\Delta x = \frac{\lambda}{2 \pi} \Delta \phi$।
समीकरण में $\Delta \phi = \phi$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\Delta x = \frac{\lambda}{2 \pi} \phi$।

(B) दी गई तरंगों के समीकरण $x_1 = A \sin \left(\omega t + \frac{\pi}{6}\right)$ और $x_2 = A \cos \omega t$ हैं।
कलांतर ज्ञात करने के लिए,हम दोनों तरंगों को एक ही त्रिकोणमितीय फलन (sin या cos) के रूप में व्यक्त करते हैं।
हम जानते हैं कि $\cos \theta = \sin \left(\theta + \frac{\pi}{2}\right)$.
इसलिए,$x_2 = A \sin \left(\omega t + \frac{\pi}{2}\right)$.
अब,$x_1$ की कला $\phi_1 = \omega t + \frac{\pi}{6}$ है और $x_2$ की कला $\phi_2 = \omega t + \frac{\pi}{2}$ है।
कलांतर $\Delta \phi = \phi_2 - \phi_1 = \left(\omega t + \frac{\pi}{2}\right) - \left(\omega t + \frac{\pi}{6}\right)$.
$\Delta \phi = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi - \pi}{6} = \frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{3}$.

(A) समतल तरंग $y=a \sin (\omega t-k x)$ द्वारा दी गई है।
$t=0$ पर,विस्थापन $y=a \sin (-k x) = -a \sin (k x)$ है।
कण का वेग $v_{pa}$ विस्थापन का समय के सापेक्ष अवकलन है:
$v_{pa} = \frac{\partial y}{\partial t} = a \omega \cos (\omega t - k x)$.
$t=0$ पर,$v_{pa} = a \omega \cos (-k x) = a \omega \cos (k x)$.
$k = \frac{2 \pi}{\lambda}$ का उपयोग करने पर,हमें $v_{pa} = a \omega \cos \left( \frac{2 \pi x}{\lambda} \right)$ प्राप्त होता है।
$x=0$ पर,$v_{pa} = a \omega$.
$x=\frac{\lambda}{4}$ पर,$v_{pa} = a \omega \cos \left( \frac{\pi}{2} \right) = 0$.
$x=\frac{\lambda}{2}$ पर,$v_{pa} = a \omega \cos (\pi) = -a \omega$.
यह एक कोसाइन ग्राफ है जो धनात्मक अधिकतम मान से शुरू होता है। दिए गए विकल्पों को देखने पर,$v_{pa} = a \omega \cos (kx)$ के अनुरूप ग्राफ विकल्प $A$ है।

(B) दिया गया तरंग समीकरण $y = y_0 \sin 2 \pi \left( \nu t - \frac{x}{\lambda} \right)$ है।
इसे मानक तरंग समीकरण $y = y_0 \sin (\omega t - kx)$ के साथ तुलना करने पर,हमें $\omega = 2 \pi \nu$ और $k = \frac{2 \pi}{\lambda}$ प्राप्त होता है।
तरंग वेग $v_w = \frac{\omega}{k} = \frac{2 \pi \nu}{2 \pi / \lambda} = \nu \lambda$ है।
कण वेग $v_p$ समय के सापेक्ष विस्थापन का अवकलन है: $v_p = \frac{\partial y}{\partial t} = y_0 (2 \pi \nu) \cos 2 \pi \left( \nu t - \frac{x}{\lambda} \right)$।
अधिकतम कण वेग $v_{p, \text{max}} = 2 \pi \nu y_0$ है।
प्रश्न के अनुसार,$v_{p, \text{max}} = 4 v_w$ है।
मान रखने पर: $2 \pi \nu y_0 = 4 (\nu \lambda)$।
$\lambda$ के लिए हल करने पर: $2 \pi y_0 = 4 \lambda$,जिससे $\lambda = \frac{2 \pi y_0}{4} = \frac{\pi y_0}{2}$ प्राप्त होता है।

(B) अनुप्रस्थ तरंग का दिया गया समीकरण $y=2 \sin (30 t-40 x)$ है।
इसे मानक तरंग समीकरण $y=A \sin (\omega t-k x)$ के साथ तुलना करने पर,हमें कोणीय आवृत्ति $\omega = 30 \ rad/s$ और तरंग संख्या $k = 40 \ m^{-1}$ प्राप्त होती है।
संचरण का वेग $v$ ज्ञात करने का सूत्र $v = \frac{\omega}{k}$ है।
मान रखने पर,हमें $v = \frac{30}{40} = 0.75 \ ms^{-1}$ प्राप्त होता है।

(D) प्रगामी तरंग का मानक समीकरण $y(x, t) = A \sin (kx - \omega t)$ होता है।
दिए गए समीकरण $y(x, t) = 0.5 \sin (70.1 x - 10 \pi t)$ के साथ तुलना करने पर,हमें कोणीय आवृत्ति $\omega = 10 \pi \text{ rad/s}$ प्राप्त होती है।
कोणीय आवृत्ति $\omega$ और आवृत्ति $f$ के बीच का संबंध $\omega = 2 \pi f$ है।
$\omega$ का मान रखने पर,$10 \pi = 2 \pi f$ प्राप्त होता है।
$f$ के लिए हल करने पर,$f = \frac{10 \pi}{2 \pi} = 5 \text{ Hz}$ प्राप्त होता है।
अतः,तरंग की आवृत्ति $5 \text{ Hz}$ है।

(A) ध्वनि तरंग की आवृत्ति $f = 500 \text{ Hz}$ है।
तरंग को $X$ से $Y$ तक यात्रा करने में लगा समय $t = 2 \text{ s}$ है।
समय $t$ में स्रोत द्वारा उत्पन्न तरंगों की संख्या $N$ को सूत्र $N = f \times t$ द्वारा ज्ञात किया जाता है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $N = 500 \text{ Hz} \times 2 \text{ s} = 1000$।
अतः,बिंदुओं $X$ और $Y$ के बीच $1000$ तरंगें हैं।

(B) तरंग की चाल $v$ को $v = f \lambda$ द्वारा दर्शाया जाता है। चूंकि माध्यम नहीं बदला गया है,इसलिए चाल $v$ स्थिर रहती है।
अतः,$f_1 \lambda_1 = f_2 \lambda_2$,जिसका अर्थ है $f \propto \frac{1}{\lambda}$।
दिया गया है कि आवृत्ति में $25 \%$ की वृद्धि होती है,इसलिए नई आवृत्ति $f_2 = f_1 + 0.25 f_1 = 1.25 f_1 = \frac{5}{4} f_1$ है।
व्युत्क्रम संबंध का उपयोग करते हुए,$\frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \frac{f_1}{f_2} = \frac{f_1}{1.25 f_1} = \frac{1}{1.25} = \frac{4}{5} = 0.8$।
इसका अर्थ है $\lambda_2 = 0.8 \lambda_1$।
तरंगदैर्ध्य में प्रतिशत परिवर्तन $\frac{\lambda_2 - \lambda_1}{\lambda_1} \times 100 = \frac{0.8 \lambda_1 - \lambda_1}{\lambda_1} \times 100 = -0.2 \times 100 = -20 \%$ है।
ऋणात्मक चिह्न दर्शाता है कि तरंगदैर्ध्य में $20 \%$ की कमी होती है।

(B) दिया गया है: आवृत्ति $f = 100 \ Hz$,गति $v = 100 \ cm/s$,और पथ अंतर $\Delta x = 2.75 \ cm$ है।
सबसे पहले,हम $v = f \lambda$ संबंध का उपयोग करके तरंगदैर्ध्य $\lambda$ की गणना करते हैं:
$\lambda = \frac{v}{f} = \frac{100 \ cm/s}{100 \ Hz} = 1 \ cm$।
कलांतर $\Delta \phi$ और पथ अंतर $\Delta x$ के बीच का संबंध इस प्रकार है:
$\Delta \phi = \frac{2 \pi}{\lambda} \Delta x$।
मान रखने पर:
$\Delta \phi = \frac{2 \pi}{1 \ cm} \times 2.75 \ cm = 5.5 \pi$।
$5.5 \pi$ को भिन्न में बदलने पर:
$5.5 \pi = \frac{11}{2} \pi$ रेडियन।

(B) दी गई तरंग समीकरण $y=0.03 \sin (\pi[2 t-0.01 x])$ है।
समीकरण का विस्तार करने पर,हमें $y=0.03 \sin (2\pi t - 0.01\pi x)$ प्राप्त होता है।
इसकी तुलना मानक तरंग समीकरण $y=A \sin (\omega t - kx)$ से करने पर,हम तरंग संख्या $k = 0.01\pi \ rad/m$ प्राप्त करते हैं।
दो कणों के बीच पथ अंतर $\Delta x = 25 \ m$ दिया गया है।
कलांतर $\Delta \phi$ और पथ अंतर $\Delta x$ के बीच संबंध $\Delta \phi = k \cdot \Delta x$ है।
मान रखने पर,$\Delta \phi = (0.01\pi) \times 25 = 0.25\pi$ प्राप्त होता है।
$0.25\pi$ को भिन्न में बदलने पर,हमें $\Delta \phi = \frac{1}{4}\pi = \frac{\pi}{4} \ rad$ प्राप्त होता है।