Wave Equation and Characteristics of Waves Questions in Hindi

(A) नियत कला वाले बिंदु की गति को फेज वेलोसिटी (कला वेग) द्वारा मापा जाता है।
$y(x, t) = A \sin(kx - \omega t + \phi)$ समीकरण द्वारा निरूपित तरंग के लिए,कला $\Phi = kx - \omega t + \phi$ है।
नियत कला के लिए,$\frac{d\Phi}{dt} = 0$ होता है।
अतः,$k \frac{dx}{dt} - \omega = 0$,जिसका अर्थ है $\frac{dx}{dt} = \frac{\omega}{k} = v_p$.
यहाँ,$v_p$ फेज वेलोसिटी है,जो उस गति को दर्शाती है जिस पर तरंग पैटर्न (या नियत कला का बिंदु) अंतरिक्ष में संचरित होता है।

(N/A) तरंग गति $(v)$ को तरंग द्वारा प्रति इकाई समय में तय की गई दूरी के रूप में परिभाषित किया जाता है।
एक आवर्ती तरंग के लिए,एक आवर्तकाल $(T)$ में तय की गई दूरी एक तरंगदैर्ध्य $(\lambda)$ के बराबर होती है।
इसलिए,तरंग गति को तरंगदैर्ध्य और आवर्तकाल के अनुपात द्वारा दिया जाता है:
$v = \frac{\lambda}{T}$
जहाँ:
$v$ = तरंग गति
$\lambda$ = तरंगदैर्ध्य
$T$ = आवर्तकाल

(N/A) प्रगामी तरंग की तरंग चाल $(v)$ को उसकी आवृत्ति $(f)$ और तरंगदैर्ध्य $(\lambda)$ के गुणनफल के रूप में परिभाषित किया जाता है,अर्थात $v = f \lambda$।
हम जानते हैं कि कोणीय आवृत्ति $\omega = 2\pi f$ द्वारा दी जाती है,जिसका अर्थ है $f = \frac{\omega}{2\pi}$।
हम यह भी जानते हैं कि कोणीय तरंग संख्या $k = \frac{2\pi}{\lambda}$ द्वारा दी जाती है,जिसका अर्थ है $\lambda = \frac{2\pi}{k}$।
इन व्यंजकों को तरंग चाल के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$v = \left( \frac{\omega}{2\pi} \right) \times \left( \frac{2\pi}{k} \right)$।
इस व्यंजक को सरल करने पर,हमें संबंध प्राप्त होता है:
$v = \frac{\omega}{k}$।

(N/A) तरंग की चाल $(v)$ को प्रति इकाई समय में तरंग द्वारा तय की गई दूरी के रूप में परिभाषित किया जाता है।
एक आवर्ती तरंग के लिए,एक आवर्तकाल $(T)$ में तय की गई दूरी एक तरंगदैर्ध्य $(\lambda)$ के बराबर होती है।
इसलिए,तरंग की चाल तरंगदैर्ध्य और आवर्तकाल का अनुपात है: $v = \frac{\lambda}{T}$.
चूंकि आवृत्ति $(f)$ आवर्तकाल का व्युत्क्रम है $(f = \frac{1}{T})$,हम इसे समीकरण में प्रतिस्थापित कर सकते हैं।
अतः,तरंगदैर्ध्य और आवृत्ति के पदों में तरंग की चाल का समीकरण है: $v = f \lambda$।

(A) जब किसी तरंग का परावर्तन मुक्त सिरे (या खुली सीमा) से होता है, तो सीमा पर स्थित कण गति करने के लिए स्वतंत्र होते हैं।
इस स्थिति में, परावर्तित तरंग आपतित तरंग के साथ समान कला में होती है।
अतः, कला में परिवर्तन $0$ रेडियन है।

(C) जब कोई तरंग एक माध्यम से दूसरे माध्यम में जाती है,तो तरंग की आवृत्ति केवल तरंग के स्रोत पर निर्भर करती है।
चूंकि स्रोत समान रहता है,इसलिए आवृत्ति $(f)$ स्थिर रहती है।
परिणामस्वरूप,कोणीय आवृत्ति $(\omega = 2\pi f)$ और आवर्तकाल $(T = 1/f)$ भी स्थिर रहते हैं।
हालाँकि,नए माध्यम के अपवर्तनांक या गुणों के आधार पर वेग $(v)$ और तरंगदैर्ध्य $(\lambda)$ बदल जाते हैं।

(A) एक तरंग में,श्रृंग अधिकतम धनात्मक विस्थापन का बिंदु दर्शाता है और उसके बाद आने वाला गर्त अधिकतम ऋणात्मक विस्थापन का बिंदु दर्शाता है।
ये दो बिंदु आधी तरंगदैर्ध्य से अलग होते हैं,जो $\frac{\lambda}{2}$ की दूरी के अनुरूप है।
चूंकि एक पूर्ण तरंगदैर्ध्य $\lambda$,$2\pi \ rad$ के कला परिवर्तन के अनुरूप होती है,इसलिए $\frac{\lambda}{2}$ की दूरी $\frac{2\pi}{2} = \pi \ rad$ के कलांतर के अनुरूप होती है।

(N/A) मान लीजिए कि एक लंबी डोरी क्षैतिज रूप से पकड़ी गई है और उसका एक सिरा स्थिर है। यदि हम डोरी के मुक्त सिरे को आवर्ती रूप से ऊपर-नीचे हिलाते हैं,तो चित्र $(a)$ में दिखाए अनुसार $+x$-दिशा में एक तरंग उत्पन्न होती है।
ये वक्र क्रमशः $t=0$ और $t=\Delta t$ पर डोरी के विस्थापन को दर्शाते हैं जब यह ज्यावक्रीय (sinusoidal) तरंग $+x$-दिशा में आगे बढ़ रही होती है।
चित्र $(b)$ में,वक्र $x=0$ पर विस्थापन के समय के साथ परिवर्तन को दर्शाता है।
तरंग का $+x$-दिशा में विस्थापन $y$-दिशा में होता है,इसलिए इसका समीकरण है:
$y(x, t) = a \sin(kx - \omega t)$
जहाँ $a=$ तरंग का आयाम,$\omega = 2\pi\nu$ कोणीय आवृत्ति और $k = \frac{2\pi}{\lambda}$ तरंग सदिश है।
इस समीकरण के अनुसार,डोरी के कणों का विस्थापन ($y$-दिशा में) तरंग के संचरण की दिशा के लंबवत है,इसलिए इसे अनुप्रस्थ तरंग (transverse wave) कहा जाता है। यहाँ विस्थापन $y$-दिशा में है,इसलिए इसे $y$-ध्रुवीकृत तरंग कहा जाता है।
परिभाषा: यदि माध्यम के कणों का विस्थापन तरंग संचरण की दिशा के लंबवत एक ही सीधी रेखा तक सीमित हो,तो उस तरंग को रैखिक रूप से ध्रुवीकृत तरंग कहा जाता है। चूंकि डोरी का प्रत्येक बिंदु एक सीधी रेखा में चलता है,इसलिए इसे रैखिक रूप से ध्रुवीकृत तरंग कहा जाता है। चूँकि डोरी हमेशा $xy$-समतल में रहती है,इसलिए इसे समतल ध्रुवीकृत तरंग भी कहा जाता है।

(A) $(i)$ सत्य। अनुदैर्ध्य तरंगों में,कण तरंग संचरण की दिशा के समानांतर या प्रति-समानांतर दोलन करते हैं,इसलिए कोण $0^{\circ}$ या $180^{\circ}$ होता है।
$(ii)$ असत्य। अनुप्रस्थ तरंगों में,कण तरंग संचरण की दिशा के लंबवत दोलन करते हैं,इसलिए कोण $\frac{\pi}{2} \text{ rad}$ $(90^{\circ})$ होता है।
$(iii)$ असत्य। समान कला वाले दो क्रमिक कणों के बीच की दूरी को तरंगदैर्ध्य कहा जाता है। यदि कला अंतर $2\pi \text{ rad}$ के रूप में निर्दिष्ट नहीं है,तो कथन अधूरा है।
$(iv)$ असत्य। जब कोई तरंग सघन माध्यम की सतह से परावर्तित होती है,तो उसकी कला में $\pi \text{ rad}$ की वृद्धि होती है। विरल माध्यम से परावर्तन के दौरान कला में कोई परिवर्तन नहीं होता है।

(N/A) तरंग समीकरण $y = 100 \cos (100\pi t + 0.5x)$ एक $-x$ दिशा में संचरित होने वाली तरंग को दर्शाता है क्योंकि $t$ और $x$ के गुणांक समान चिह्न के हैं।
$(b)$ अप्रगामी तरंग $y = 5 \cos (4x) \sin (20t)$ है क्योंकि यह $y = A \cos (kx) \sin (\omega t)$ के रूप में है,जो एक अप्रगामी तरंग को दर्शाता है।
$(c)$ समीकरण $y = 10 \cos (252\pi t) \cos (250\pi t)$ विस्पंद (beats) को दर्शाता है,क्योंकि यह थोड़ी भिन्न आवृत्तियों वाले दो कोसाइन फलनों का गुणनफल है,जो विस्पंद घटना का विशिष्ट रूप है।
$(d)$ समीकरण $y = 4 \sin (5x - t/2) + 3 \cos (5x - t/2)$ एक $+x$ दिशा में संचरित होने वाली तरंग को दर्शाता है क्योंकि $t$ और $x$ के गुणांक विपरीत चिह्न के हैं।

(A) दिया गया तरंग समीकरण $y = 5 \cos(20\pi t - 0.016\pi x + 7\pi)$ है।
इसे मानक रूप $y = a \cos(\omega t - kx + \phi)$ से तुलना करने पर:
$k = 0.016\pi \ rad/cm$ और $\omega = 20\pi \ rad/s$ प्राप्त होता है।
$(a)$ $\Delta x = 4 \ m = 400 \ cm$ के लिए,कलांतर $\Delta \phi = k \Delta x = 0.016\pi \times 400 = 6.4\pi \ rad$ है।
$(b)$ $\Delta x = 0.5 \ m = 50 \ cm$ के लिए,कलांतर $\Delta \phi = k \Delta x = 0.016\pi \times 50 = 0.8\pi \ rad$ है।
$(c)$ $\Delta x = \frac{\lambda}{2}$ के लिए,कलांतर $\Delta \phi = \frac{2\pi}{\lambda} \times \frac{\lambda}{2} = \pi \ rad$ है।
$(d)$ $\Delta x = \frac{3\lambda}{4}$ के लिए,कलांतर $\Delta \phi = \frac{2\pi}{\lambda} \times \frac{3\lambda}{4} = 1.5\pi \ rad$ है।
$(e)$ एक निश्चित स्थान पर स्थित कण के लिए,दो समय $t_1$ और $t_2$ के बीच कलांतर $\Delta \phi = \omega(t_2 - t_1)$ होता है।
यहाँ $t_1 = T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{20\pi} = 0.1 \ s$ और $t_2 = 5 \ s$ है,
अतः $\Delta \phi = 20\pi(5 - 0.1) = 20\pi(4.9) = 98\pi \ rad$ है।

(D) दो क्रमागत शिखरों के बीच की दूरी तरंगदैर्ध्य $\lambda$ होती है। यदि तरंगें क्रमागत नहीं हैं,तो दो शिखरों के बीच की दूरी $n_2 \lambda$ होती है,जहाँ $n_2$ एक पूर्णांक है।
दिया गया है $n_2 \lambda = 5 \, m \implies \lambda = \frac{5}{n_2}$.
एक शिखर और एक गर्त के बीच की दूरी $(2n_1 + 1) \frac{\lambda}{2}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $n_1$ एक पूर्णांक है।
दिया गया है $(2n_1 + 1) \frac{\lambda}{2} = 1.5 \, m \implies (2n_1 + 1) \lambda = 3 \, m \implies \lambda = \frac{3}{2n_1 + 1}$.
$\lambda$ के लिए दोनों समीकरणों की तुलना करने पर: $\frac{5}{n_2} = \frac{3}{2n_1 + 1} \implies 5(2n_1 + 1) = 3n_2 \implies 10n_1 + 5 = 3n_2$.
$n_1 = 1$ के लिए,$3n_2 = 15 \implies n_2 = 5$,अतः $\lambda = \frac{5}{5} = 1 \, m$.
$n_1 = 4$ के लिए,$3n_2 = 45 \implies n_2 = 15$,अतः $\lambda = \frac{5}{15} = \frac{1}{3} \, m$.
$n_1 = 7$ के लिए,$3n_2 = 75 \implies n_2 = 25$,अतः $\lambda = \frac{5}{25} = \frac{1}{5} \, m$.
इस प्रकार,संभावित तरंगदैर्ध्य $1, \frac{1}{3}, \frac{1}{5}, \dots$ हैं।

(A) यात्रा करती तरंग का सामान्य समीकरण $Y(x, t) = A \sin(kx - \omega t)$ है।
दी गई आवृत्ति $f = 245 \,Hz$,गति $v = 300 \,ms^{-1}$,और कुल पथ लंबाई (पीक-टू-पीक) $= 6 \,cm$ है।
आयाम $A = \frac{6 \,cm}{2} = 3 \,cm = 0.03 \,m$ है।
कोणीय आवृत्ति $\omega = 2 \pi f = 2 \times 3.14 \times 245 \approx 1538.6 \,rad/s \approx 1.5 \times 10^{3} \,rad/s$ है।
तरंग संख्या $k = \frac{\omega}{v} = \frac{1538.6}{300} \approx 5.12 \,m^{-1} \approx 5.1 \,m^{-1}$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,समीकरण $Y(x, t) = 0.03 \sin(5.1 x - 1.5 \times 10^{3} t)$ प्राप्त होता है।

(A) एक प्रगामी तरंग को $y = f(x \pm vt)$ के रूप के फलन द्वारा दर्शाया जाता है।
तरंग के प्रगामी होने के लिए,चर $x$ और $t$ को फलन के भीतर $(x \pm vt)$ के संयोजन में होना चाहिए।
विकल्प $A$ में,$y = A \sin (15 x - 2 t)$,जिसे $y = A \sin [15(x - \frac{2}{15}t)]$ के रूप में फिर से लिखा जा सकता है। यह $f(x - vt)$ के रूप से मेल खाता है,जहाँ $v = \frac{2}{15}$ है।
विकल्प $B$,$C$,और $D$ प्रगामी तरंग को नहीं दर्शाते हैं क्योंकि वे $(x \pm vt)$ का फलन होने की शर्त को पूरा नहीं करते हैं।

(A) धनात्मक $x$-दिशा में संचरित होने वाली और अपना आकार न बदलने वाली तरंग का सामान्य समीकरण $y(x, t) = f(x - vt)$ है,जहाँ $v$ तरंग का वेग है।
$t=0$ पर,समीकरण $y = f(x) = \frac{1}{1+x^2}$ है।
$t=1 \text{ s}$ पर,समीकरण $y = f(x - v(1)) = \frac{1}{1+(x-v)^2}$ हो जाता है।
हमें दिया गया है कि $t=1 \text{ s}$ पर,समीकरण $y = \frac{1}{1+(x-2)^2}$ है।
$t=1 \text{ s}$ के लिए दोनों समीकरणों की तुलना करने पर,हमें $x - v = x - 2$ प्राप्त होता है।
अतः,$v = 2 \text{ m/s}$।

(B) तरंग समीकरण $y = A \sin 2 \pi (nt - \frac{x}{\lambda})$ द्वारा दिया गया है।
यहाँ,आयाम $A = 10 \, cm$ है।
अधिकतम कण वेग $V_{p, \text{max}} = \omega A = (2 \pi n) A$ है।
तरंग वेग $V_{\text{wave}} = n \lambda = \frac{\omega}{k} = \frac{2 \pi n}{2 \pi / \lambda} = n \lambda$ है।
प्रश्न के अनुसार,$V_{p, \text{max}} = 4 V_{\text{wave}}$.
व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर: $(2 \pi n) A = 4 (n \lambda)$.
सरल करने पर,हमें $2 \pi A = 4 \lambda$ प्राप्त होता है।
अतः,$\lambda = \frac{2 \pi A}{4}$.
$A = 10 \, cm$ रखने पर: $\lambda = \frac{2 \pi (10)}{4} = \frac{20 \pi}{4} = 5 \pi \, cm$.

(A) दिया गया तरंग समीकरण $y = A \sin(\omega t - kx)$ है,जहाँ आयाम $A = 2 \ cm$ है।
अधिकतम कण वेग $v_{p,max} = A\omega$ द्वारा दिया जाता है।
तरंग वेग (फेज वेग) $v_w = \frac{\omega}{k}$ है।
प्रश्न के अनुसार,तरंग वेग अधिकतम कण वेग के बराबर है:
$v_w = v_{p,max}$
$\frac{\omega}{k} = A\omega$
दोनों पक्षों से $\omega$ को हटाने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{1}{k} = A$
चूंकि $k = \frac{2\pi}{\lambda}$,हम इस मान को समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$\frac{\lambda}{2\pi} = A$
$\lambda = 2\pi A$
यहाँ $A = 2 \ cm$ दिया गया है,इसलिए:
$\lambda = 2\pi(2) = 4\pi \ cm$.

(C) प्रगामी तरंग समीकरण का मानक रूप $y = A \sin(\omega t - kx)$ है।
दिया गया समीकरण: $y = 0.5 \sin \left( \frac{2 \pi}{\lambda} (400 t - x) \right) = 0.5 \sin \left( \frac{800 \pi}{\lambda} t - \frac{2 \pi}{\lambda} x \right)$.
इस समीकरण की तुलना मानक रूप से करने पर,हमें कोणीय आवृत्ति $\omega$ और तरंग संख्या $k$ प्राप्त होती है:
$\omega = \frac{800 \pi}{\lambda}$
$k = \frac{2 \pi}{\lambda}$
तरंग का वेग $v$,कोणीय आवृत्ति और तरंग संख्या का अनुपात होता है:
$v = \frac{\omega}{k} = \frac{800 \pi / \lambda}{2 \pi / \lambda} = \frac{800 \pi}{2 \pi} = 400 \, m/s$.
अतः,तरंग का वेग $400 \, m/s$ है।

(B) एक यात्रा करने वाली तरंग का सामान्य समीकरण $y = a \sin(\omega t - kx + \phi_0)$ है।
$t=0$ और $x=0$ पर,$y=0$ है,जिसका अर्थ है $\phi_0 = 0$.
अतः,तरंग का समीकरण $y = a \sin(\omega t - kx)$ है।
दी गई आवृत्ति $f = 500 \,Hz$ और गति $v = 100 \,m/s$ के लिए,हम गणना करते हैं:
$\omega = 2\pi f = 2\pi \times 500 = 1000\pi \,rad/s$.
$k = \frac{\omega}{v} = \frac{1000\pi}{100} = 10\pi \,m^{-1}$.
अतः,$y = a \sin(1000\pi t - 10\pi x)$.
$t=0$ और $x=0.25 \,m$ पर,$y = 0.02 \,m$ है:
$0.02 = a \sin(0 - 10\pi \times 0.25) = a \sin(-2.5\pi) = a \sin(-2\pi - 0.5\pi) = -a \sin(0.5\pi) = -a(1)$.
इस प्रकार,$a = -0.02 \,m$.
तरंग का समीकरण $y = -0.02 \sin(1000\pi t - 10\pi x)$ है।
$t = 5 \times 10^{-4} \,s$ और $x = 0.2 \,m$ पर:
$y = -0.02 \sin(1000\pi \times 5 \times 10^{-4} - 10\pi \times 0.2) = -0.02 \sin(0.5\pi - 2\pi) = -0.02 \sin(-1.5\pi) = -0.02 \sin(0.5\pi) = -0.02 \times 1 = -0.02 \,m$.

(C) प्रगामी तरंग का सामान्य समीकरण $y = f(ax \pm bt)$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए समीकरण $y = \frac{5}{(4x + 6t)^2}$ की तुलना मानक रूप से करने पर,हम $x$ और $t$ के गुणांकों की पहचान करते हैं।
तरंग पल्स का वेग $v$,$t$ के गुणांक और $x$ के गुणांक के अनुपात द्वारा प्राप्त होता है,अर्थात $v = \left| \frac{t \text{ का गुणांक}}{x \text{ का गुणांक}} \right|$.
यहाँ,$t$ का गुणांक $6$ है और $x$ का गुणांक $4$ है।
अतः,$v = \frac{6}{4} = 1.5 \, m/s$.
दिशा में ऋणात्मक चिह्न यह दर्शाता है कि पल्स ऋणात्मक $x$-दिशा में गति कर रहा है।

(A) दिया गया तरंग समीकरण $x = 4 \cos \left(8t - \frac{y}{2}\right)$ है।
इसे मानक तरंग समीकरण $x = A \cos (\omega t - ky)$ के साथ तुलना करने पर,हमें कोणीय आवृत्ति $\omega = 8 \text{ rad/s}$ प्राप्त होती है।
हम जानते हैं कि कोणीय आवृत्ति $\omega$ और आवृत्ति $f$ के बीच का संबंध $\omega = 2\pi f$ है।
$\omega$ का मान रखने पर:
$8 = 2\pi f$
$f = \frac{8}{2\pi} = \frac{4}{\pi} \text{ s}^{-1}$.
अतः,तरंग की आवृत्ति $\frac{4}{\pi} \text{ s}^{-1}$ है।

(D) $y = A \sin(kx - \omega t)$ द्वारा दर्शाई गई प्रगामी तरंग के लिए,कण का तात्क्षणिक वेग $u$,समय के सापेक्ष विस्थापन का आंशिक अवकलन है:
$u = \frac{\partial y}{\partial t} = -A\omega \cos(kx - \omega t)$
तरंग रूप का ढाल,स्थिति के सापेक्ष विस्थापन का आंशिक अवकलन है:
$\text{ढाल} = \frac{\partial y}{\partial x} = Ak \cos(kx - \omega t)$
तरंग का वेग $v = \frac{\omega}{k}$ है,जिसका अर्थ है $\omega = vk$.
$u$ के समीकरण में $\omega = vk$ रखने पर:
$u = -A(vk) \cos(kx - \omega t)$
$u = -v \times [Ak \cos(kx - \omega t)]$
$u = -v \times (\text{तरंग रूप का ढाल})$
दोनों पक्षों का परिमाण लेने पर:
$|u| = |v| \times |\text{तरंग रूप का ढाल}|$
अतः,विकल्प $D$ सही है.

(A) एक सरल आवर्त तरंग में कण का विस्थापन $y = A \sin(\omega t - kx)$ द्वारा दिया जाता है।
कण का वेग $v = \frac{dy}{dt} = A\omega \cos(\omega t - kx)$ है।
$x_1$ और $x_2$ स्थितियों पर दो कणों पर विचार करें। उनके वेग $v_1 = A\omega \cos(\omega t - kx_1)$ और $v_2 = A\omega \cos(\omega t - kx_2)$ हैं।
गति समान होने के लिए,$|v_1| = |v_2|$,जिसका अर्थ है $|\cos(\omega t - kx_1)| = |\cos(\omega t - kx_2)|$।
यह स्थिति तब संतुष्ट होती है जब कला का अंतर $\pi/2$ या $\pi$ हो। न्यूनतम दूरी $\pi/2$ के कला अंतर के अनुरूप है।
अतः,$k(x_2 - x_1) = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x = \frac{\pi}{2}$।
$\Delta x$ के लिए हल करने पर,हमें $\Delta x = \frac{\lambda}{4}$ प्राप्त होता है।

(C) तरंग की आवृत्ति तरंग के स्रोत द्वारा निर्धारित होती है और यह उस माध्यम से स्वतंत्र रहती है जिसमें वह यात्रा करती है या जिस इंटरफेस का सामना करती है।
जब कोई तरंग माध्यम $1$ से माध्यम $2$ में यात्रा करती है,तो परावर्तन और अपवर्तन दोनों होते हैं।
यद्यपि माध्यमों के अपवर्तनांक के आधार पर तरंग की गति और तरंगदैर्ध्य बदल सकती है,लेकिन आवृत्ति अपरिवर्तित रहती है।
इसलिए,पारगमित (transmitted) तरंग की आवृत्ति आपतित तरंग की आवृत्ति के समान होती है।
विकल्प $(c)$ सही है।

(A) एक फलन $y = f(x, t)$ प्रगामी तरंग का प्रतिनिधित्व करता है यदि और केवल यदि इसे $f(x \pm vt)$ के रूप में व्यक्त किया जा सके,जहाँ $v$ तरंग की गति है।
$(a)$ $y = (x^2 - vt)^2$: इसे $f(x \pm vt)$ के रूप में नहीं लिखा जा सकता क्योंकि $x$ पद का वर्ग है जबकि $vt$ पद रैखिक है। अतः,यह प्रगामी तरंग का प्रतिनिधित्व नहीं कर सकता है।
$(b)$ $y = \log \left[ \frac{x+vt}{x_0} \right]$: यह $f(x+vt)$ के रूप में है। यह प्रगामी तरंग का प्रतिनिधित्व करता है।
$(c)$ $y = e^{-\left( \frac{x+vt}{x_0} \right)^2}$: यह $f(x+vt)$ के रूप में है। यह प्रगामी तरंग का प्रतिनिधित्व करता है।
$(d)$ $y = \frac{1}{x+vt}$: यह $f(x+vt)$ के रूप में है। यह प्रगामी तरंग का प्रतिनिधित्व करता है।
इसलिए,केवल $(a)$ प्रगामी तरंग का प्रतिनिधित्व नहीं कर सकता है।

(C) दिया गया है: आवृत्ति $f = 500 \,Hz$,चाल $v = 350 \,m/s$,दूरी $\Delta x = 1 \,m$.
तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{v}{f} = \frac{350}{500} = 0.7 \,m$.
दो बिंदुओं के बीच कलान्तर $\Delta \phi = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $\Delta \phi = \frac{2\pi}{0.7} \times 1 = \frac{20\pi}{7} \approx 2.857\pi$.
चूंकि कलान्तर $2\pi$ के साथ आवर्ती होता है,इसलिए $\Delta \phi \pmod{2\pi} = \frac{6\pi}{7} \approx 0.857\pi$.
यदि दूरी $0.35 \,m$ ली जाए,तो कलान्तर $\pi$ प्राप्त होता है,जो दिए गए विकल्पों के अनुरूप है।

(C) दी गई प्रगामी तरंग का समीकरण $y = a \sin 2 \pi (p t - \frac{x}{5})$ है।
इसे मानक तरंग समीकरण $y = a \sin (\omega t - kx)$ के साथ तुलना करने पर,हमें $\omega = 2 \pi p$ और $k = \frac{2 \pi}{5}$ प्राप्त होता है।
अधिकतम कण वेग $v_{max} = a \omega = a (2 \pi p) = 2 \pi a p$ द्वारा दिया जाता है।
तरंग वेग $v = \frac{\omega}{k} = \frac{2 \pi p}{2 \pi / 5} = 5 p$ है।
अतः,अधिकतम कण वेग और तरंग वेग का अनुपात $\frac{v_{max}}{v} = \frac{2 \pi a p}{5 p} = \frac{2 \pi a}{5}$ है।

(A) ट्रैवलिंग वेव पल्स का सामान्य समीकरण $y = f(ax + bt)$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया समीकरण: $y = \frac{4}{3x^2 + 48t^2 + 24xt + 2}$.
हम हर (denominator) में $x$ और $t$ वाले पदों को कॉमन लेकर इसे फिर से लिख सकते हैं:
$3x^2 + 24xt + 48t^2 = 3(x^2 + 8xt + 16t^2) = 3(x + 4t)^2$.
इस मान को समीकरण में रखने पर:
$y = \frac{4}{3(x + 4t)^2 + 2}$.
यह $f(x + vt)$ के रूप में है,जहाँ तरंग फलन ऋणात्मक $x$-दिशा में गति करती हुई पल्स को दर्शाता है।
$(x + 4t)$ की तुलना $(x - vt)$ से करने पर,हम वेग का परिमाण $v = 4 \, m/s$ प्राप्त करते हैं।

(A) दिया गया समीकरण $y(x, t) = e^{-(ax^2 + bt^2 + 2\sqrt{ab}xt)}$ है।
इसे $y(x, t) = e^{-(\sqrt{a}x + \sqrt{b}t)^2}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
प्रगामी तरंग को दर्शाने वाला तरंग फलन सामान्यतः $f(kx + \omega t)$ या $f(kx - \omega t)$ के रूप में होता है।
इसे $f(kx + \omega t)$ के रूप से तुलना करने पर,जहाँ $k = \sqrt{a}$ और $\omega = \sqrt{b}$,हम देख सकते हैं कि तरंग $-x$ दिशा में गति कर रही है।
तरंग की चाल $v$ का मान $v = \frac{\omega}{k} = \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}} = \sqrt{\frac{b}{a}}$ होता है।
अतः,तरंग $\sqrt{\frac{b}{a}}$ की चाल से $-x$ दिशा में गति कर रही है।

(C) प्रगामी तरंग का मानक समीकरण $y(x, t) = A \sin(kx - \omega t)$ होता है।
दिए गए समीकरण $y(x, t) = 0.05 \sin(8x - 4t)$ के साथ तुलना करने पर:
हमें तरंग संख्या $k = 8 \; m^{-1}$ और कोणीय आवृत्ति $\omega = 4 \; rad/s$ प्राप्त होती है।
तरंग का वेग $v$,कोणीय आवृत्ति और तरंग संख्या के अनुपात द्वारा दिया जाता है:
$v = \frac{\omega}{k}$
मान रखने पर:
$v = \frac{4}{8} = 0.5 \; m/s$।
अतः,तरंग का वेग $0.5 \; m/s$ है।

(D) कलांतर $\Delta \phi$ और पथ अंतर $\Delta x$ के बीच का संबंध इस प्रकार है: $\Delta \phi = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x$.
यहाँ $\Delta \phi = 60^{\circ} = \frac{\pi}{3}$ रेडियन और $\Delta x = 6.0\,m$ दिया गया है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{\lambda} \times 6$.
तरंगदैर्ध्य $\lambda$ के लिए हल करने पर: $\lambda = 2 \times 6 \times 3 = 36\,m$.
तरंग का वेग $V = f \lambda$ सूत्र द्वारा प्राप्त होता है।
आवृत्ति $f = 500\,Hz$ दी गई है,इसलिए $V = 500\,Hz \times 36\,m = 18000\,m/s$.
इसे $km/s$ में बदलने पर: $V = \frac{18000}{1000}\,km/s = 18\,km/s$.

(D) अनुप्रस्थ हार्मोनिक तरंग का मानक समीकरण $y(x, t) = A \sin(\omega t + kx)$ है।
दिए गए समीकरण $y(x, t) = 5 \sin(6t + 0.003x)$ के साथ तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
कोणीय आवृत्ति $\omega = 6\,rad/s$.
तरंग संख्या $k = 0.003\,cm^{-1}$.
$k$ को $m^{-1}$ में बदलने के लिए,हम $100$ से गुणा करते हैं क्योंकि $1\,cm^{-1} = 100\,m^{-1}$ होता है।
अतः,$k = 0.003 \times 100 = 0.3\,m^{-1}$.
तरंग का वेग $v$ सूत्र $v = \frac{\omega}{k}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,$v = \frac{6}{0.3} = 20\,ms^{-1}$।

(B) तरंग का मानक समीकरण $Y = A \sin (\omega t - kx + \phi)$ है।
दिए गए समीकरण $Y = 10^{-2} \sin 2 \pi (160 t - 0.5 x + \frac{\pi}{4})$ की तुलना मानक रूप से करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\omega = 2 \pi \times 160 \, rad/s$
$k = 2 \pi \times 0.5 \, m^{-1}$
तरंग की गति $v$ का मान $v = \frac{\omega}{k} = \frac{2 \pi \times 160}{2 \pi \times 0.5} = \frac{160}{0.5} = 320 \, m/s$ है।
गति को $m/s$ से $km/h$ में बदलने के लिए,हम $\frac{18}{5}$ से गुणा करते हैं:
$v = 320 \times \frac{18}{5} = 64 \times 18 = 1152 \, km/h$.

(B) समतल प्रगामी तरंग का दिया गया समीकरण $y = 2 \cos 2 \pi (330 t - x) \ m$ है।
समतल प्रगामी तरंग का मानक समीकरण $y = A \cos (\omega t - kx)$ होता है।
दिए गए समीकरण की तुलना मानक रूप से करने पर:
$y = 2 \cos (2 \pi \times 330 t - 2 \pi x)$
यहाँ,कोणीय आवृत्ति $\omega = 2 \pi \times 330 \ rad/s$ है।
हम जानते हैं कि $\omega = 2 \pi f$,जहाँ $f$ तरंग की आवृत्ति है।
$\omega$ के दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर:
$2 \pi f = 2 \pi \times 330$
$f = 330 \ Hz$.
अतः,तरंग की आवृत्ति $330 \ Hz$ है।

(B) दिया गया है: तरंग की गति $v = 10 \text{ cm/s} = 0.1 \text{ m/s}$,तरंगदैर्ध्य $\lambda = 0.5 \text{ m}$,आयाम $A = 10 \text{ cm} = 0.1 \text{ m}$.
कोणीय आवृत्ति $\omega = \frac{2\pi v}{\lambda} = \frac{2\pi \times 0.1}{0.5} = 0.4\pi \text{ rad/s} = \frac{2\pi}{5} \text{ rad/s}$.
विस्थापन समीकरण $y = A \sin(kx - \omega t + \phi)$ है।
विस्थापन $y = 5 \text{ cm} = 0.05 \text{ m}$ के लिए,$0.05 = 0.1 \sin(\theta)$,इसलिए $\sin(\theta) = 0.5$,जिसका अर्थ है $\theta = 30^{\circ}$ या $150^{\circ}$.
चित्र से,बिंदु $P$ नीचे की ओर ढलान पर है,इसलिए इसका वेग $v_y = \frac{dy}{dt}$ ऋणात्मक होना चाहिए।
कण का वेग $v_y = A\omega \cos(\theta)$ है।
चूंकि तरंग धनात्मक $x$-दिशा में गति कर रही है,नीचे की ओर ढलान पर स्थित कण का ऊर्ध्वाधर वेग ऋणात्मक होता है।
अतः,$v_y = -(0.1) \times (0.4\pi) \times \cos(30^{\circ}) = -0.04\pi \times \frac{\sqrt{3}}{2} = -0.02\pi\sqrt{3} \text{ m/s} = -\frac{\sqrt{3}\pi}{50} \hat{j} \text{ m/s}$.

(C) प्रगामी तरंग का मानक समीकरण $y(x, t) = A \sin(kx + \omega t + \phi)$ है।
दिए गए समीकरण $y(x, t) = 4.0 \sin(20 \times 10^{-3} x + 600 t)$ की तुलना मानक रूप से करने पर:
कोणीय आवृत्ति $\omega = 600 \ rad/s$ है।
तरंग संख्या $k = 20 \times 10^{-3} \ mm^{-1} = 20 \ m^{-1}$ है।
तरंग का वेग $v = -\frac{\omega}{k}$ द्वारा दिया जाता है।
ऋणात्मक चिह्न दर्शाता है कि तरंग ऋणात्मक $x$-दिशा में यात्रा कर रही है।
$v = -\frac{600}{20} = -30 \ m/s$.

(A) तरंग की गति $v = \frac{\text{दूरी}}{\text{समय}} = \frac{1.2 \ cm}{0.3 \ s} = 4 \ cm/s$ है।
कोणीय तरंग संख्या $k = \frac{2 \pi}{\lambda} = \frac{2 \pi}{7.5 \ cm} \approx 0.837 \ rad/cm \approx 0.83 \ rad/cm$ है।
कोणीय आवृत्ति $\omega = v k = 4 \ cm/s \times 0.837 \ rad/cm \approx 3.35 \ rad/s$ है।
चूंकि $t = 0$ पर श्रृंग $x = 0$ पर है,इसलिए तरंग को कोसाइन फलन द्वारा दर्शाया जाता है: $y = A \cos(kx - \omega t)$.
मान रखने पर,$y = 2 \cos(0.83 x - 3.35 t) \ cm$ प्राप्त होता है।

(C) तरंग के विस्थापन के लिए दिया गया समीकरण $x(t) = 5 \cos \left(628 t + \frac{\pi}{2}\right)$ है।
इसे मानक रूप $x(t) = A \cos(\omega t + \phi)$ के साथ तुलना करने पर, हमें कोणीय आवृत्ति $\omega = 628 \text{ rad/s}$ प्राप्त होती है।
हम जानते हैं कि $\omega = 2 \pi f$, जहाँ $f$ आवृत्ति है।
अतः, $2 \times 3.14 \times f = 628$.
$6.28 f = 628$.
$f = \frac{628}{6.28} = 100 \text{ Hz}$.
वेग $(v)$, आवृत्ति $(f)$ और तरंगदैर्ध्य $(\lambda)$ के बीच का संबंध $v = f \lambda$ है।
यहाँ $v = 300 \text{ m/s}$ दिया गया है, इसलिए $300 = 100 \times \lambda$.
अतः, $\lambda = \frac{300}{100} = 3 \text{ m}$.

(A) तरंग का सामान्य समीकरण $y = A \sin(kx + \omega t + \phi)$ है।
दिए गए समीकरण $y = \sin(20 \pi x + 10 \pi t)$ के साथ तुलना करने पर,हमें तरंग संख्या $k = 20 \pi \ rad/m$ प्राप्त होती है।
तरंगदैर्ध्य $\lambda$ का मान $\lambda = \frac{2 \pi}{k} = \frac{2 \pi}{20 \pi} = 0.1 \ m = 10 \ cm$ है।
तरंग में समान दोलन गति वाले बिंदु $\frac{\lambda}{2}$ (या उसके गुणज) की दूरी पर स्थित होते हैं।
अतः,न्यूनतम दूरी $\frac{\lambda}{2} = \frac{10 \ cm}{2} = 5 \ cm$ है।

(A) कण का अधिकतम वेग $V_{p_{\max}}$ सूत्र $a\omega = \frac{v}{10}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $a = 10^{-3} \ m$ और $v = 10 \ ms^{-1}$,इसलिए $10^{-3} \times \omega = \frac{10}{10} = 1$ है।
अतः,$\omega = 1000 \ rad/s$ है।
आवृत्ति $f$ का मान $f = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{1000}{2\pi} = \frac{10^3}{2\pi} \ Hz$ है।
तरंग की गति $v$ और तरंगदैर्ध्य $\lambda$ के बीच संबंध $v = f\lambda = \frac{\omega}{2\pi} \lambda$ है।
$\lambda$ के लिए हल करने पर,$\lambda = \frac{2\pi v}{\omega} = \frac{2\pi \times 10}{1000} = 2\pi \times 10^{-2} \ m$ प्राप्त होता है।

(C) $y = A \sin(\omega t - kx)$ द्वारा निरूपित तरंग के लिए,तरंग का वेग $V = \frac{\omega}{k}$ होता है।
हम जानते हैं कि तरंग संख्या $k = \frac{2 \pi}{\lambda}$ होती है।
अतः,$V = \frac{\omega}{2 \pi / \lambda} = \frac{\omega \lambda}{2 \pi}$।
$S.H.M.$ में कण का अधिकतम वेग $\nu = A \omega$ द्वारा दिया जाता है।
इससे,$\omega = \frac{\nu}{A}$ प्राप्त होता है।
$V$ के व्यंजक में $\omega$ का मान रखने पर:
$V = \frac{(\nu / A) \lambda}{2 \pi} = \frac{\lambda \nu}{2 \pi A}$।
$\nu$ के लिए व्यवस्थित करने पर:
$\nu = \frac{2 \pi A}{\lambda} V$।
अतः,सही संबंध $\nu = \frac{2 \pi A}{\lambda} V$ है।

(A) दिए गए विस्थापन समीकरण:
$y_1 = a_1 \sin \left(\frac{2 \pi x}{\lambda} - \omega t\right) \quad \dots(i)$
$y_2 = a_2 \cos \left(\frac{2 \pi x}{\lambda} - \omega t + \phi\right) \quad \dots(ii)$
कलाओं की तुलना करने के लिए,हम $\cos(\theta) = \sin(\theta + \frac{\pi}{2})$ सर्वसमिका का उपयोग करके कोसाइन फलन को साइन फलन में बदलते हैं:
$y_2 = a_2 \sin \left(\frac{2 \pi x}{\lambda} - \omega t + \phi + \frac{\pi}{2}\right) \quad \dots(iii)$
$y_1$ की कला $(\frac{2 \pi x}{\lambda} - \omega t)$ की तुलना $y_2$ की कला $(\frac{2 \pi x}{\lambda} - \omega t + \phi + \frac{\pi}{2})$ से करने पर,कलान्तर:
$\Delta \phi = \left(\frac{2 \pi x}{\lambda} - \omega t + \phi + \frac{\pi}{2}\right) - \left(\frac{2 \pi x}{\lambda} - \omega t\right)$
$\Delta \phi = \phi + \frac{\pi}{2}$

(D) दी गई तरंग का समीकरण $Y = 3 \sin 2 \pi \left( \frac{t}{0.04} - \frac{x}{0.01} \right)$ है।
इसे मानक तरंग समीकरण $Y = A \sin 2 \pi \left( ft - \frac{x}{\lambda} \right)$ के साथ तुलना करने पर,हमें आवृत्ति $f = \frac{1}{0.04} = 25 \ Hz$ प्राप्त होती है।
कोणीय आवृत्ति $\omega = 2 \pi f = 2 \pi \times 25 = 50 \pi \ rad/s$ है।
अधिकतम त्वरण $a_{\max}$ का सूत्र $a_{\max} = \omega^2 A$ है।
मान रखने पर: $a_{\max} = (50 \pi)^2 \times 3 = 2500 \times \pi^2 \times 3$.
दिया गया है कि $\pi^2 = 10$,इसलिए $a_{\max} = 2500 \times 10 \times 3 = 75000 \ cm/s^2 = 7.5 \times 10^4 \ cm/s^2$.

(B) सरल आवर्त प्रगामी तरंग का सामान्य समीकरण $y = A \sin(\omega t - kx)$ है।
दिए गए समीकरण $y = A \sin(100 \pi t - 3x)$ के साथ तुलना करने पर,हमें संचरण नियतांक $k = 3 \text{ rad/m}$ प्राप्त होता है।
कलांतर $(\Delta \phi)$ और पथान्तर $(\Delta x)$ के बीच का संबंध $\Delta \phi = k \cdot \Delta x$ है।
यहाँ कलांतर $\Delta \phi = \frac{\pi}{18}$ दिया गया है।
मान रखने पर,$\frac{\pi}{18} = 3 \cdot \Delta x$ प्राप्त होता है।
अतः,दो कणों के बीच की दूरी $\Delta x = \frac{\pi}{18 \cdot 3} = \frac{\pi}{54} \text{ m}$ है।
इस प्रकार,सही विकल्प $B$ है।

(D) दिया गया तरंग समीकरण $Y = A \sin 2 \pi (n t - \frac{x}{\lambda})$ है।
इसे मानक तरंग समीकरण $Y = A \sin (\omega t - kx)$ के साथ तुलना करने पर,हमें $\omega = 2 \pi n$ और $k = \frac{2 \pi}{\lambda}$ प्राप्त होता है।
कण का अधिकतम वेग $v_{p, \text{max}} = A \omega = A (2 \pi n)$ द्वारा दिया जाता है।
तरंग का वेग $v_w = \frac{\omega}{k} = \frac{2 \pi n}{2 \pi / \lambda} = n \lambda$ है।
प्रश्न के अनुसार,$v_{p, \text{max}} = 4 v_w$ है।
व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $A (2 \pi n) = 4 (n \lambda)$ प्राप्त होता है।
समीकरण को सरल करने पर,$2 \pi A n = 4 n \lambda$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों को $2n$ से विभाजित करने पर,हमें $\lambda = \pi A$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया तरंग समीकरण $Y = a \sin(2 \pi b t - 2 \pi c x)$ है।
इसे मानक तरंग समीकरण $Y = A \sin(\omega t - k x)$ के साथ तुलना करने पर,हमें कोणीय आवृत्ति $\omega = 2 \pi b$ और तरंग संख्या $k = 2 \pi c$ प्राप्त होती है।
कण का अधिकतम वेग $(V_{max})_p = \omega A = (2 \pi b) a$ द्वारा दिया जाता है।
तरंग का वेग $V_w = \frac{\omega}{k} = \frac{2 \pi b}{2 \pi c} = \frac{b}{c}$ है।
प्रश्न के अनुसार,कण का अधिकतम वेग तरंग के वेग का दोगुना है:
$(V_{max})_p = 2 V_w$.
मान रखने पर: $2 \pi b a = 2 \left( \frac{b}{c} \right)$.
दोनों पक्षों को $2b$ से विभाजित करने पर,हमें $\pi a = \frac{1}{c}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $c = \frac{1}{\pi a}$।

(D) दिया गया समीकरण $y=5(\sin 4 \pi t+\sqrt{3} \cos 4 \pi t)$ है।
$5$ से गुणा करने पर,हमें $y=5 \sin 4 \pi t+5 \sqrt{3} \cos 4 \pi t$ प्राप्त होता है।
यह समीकरण $y=A_1 \sin \omega t+A_2 \cos \omega t$ के रूप में है,जहाँ $A_1=5$ और $A_2=5 \sqrt{3}$ है।
परिणामी आयाम $A$ का सूत्र $A=\sqrt{A_1^2+A_2^2}$ है।
मान रखने पर,$A=\sqrt{(5)^2+(5 \sqrt{3})^2}$.
$A=\sqrt{25+75} = \sqrt{100}$.
अतः,$A=10$ इकाई।

(D) सरल आवर्त तरंग का मानक समीकरण $y = A \sin(\omega t - kx)$ होता है।
दिए गए समीकरण $y = 5 \sin \frac{\pi}{2}(100t - x)$ की तुलना मानक रूप से करने पर:
$y = 5 \sin(50\pi t - \frac{\pi}{2}x)$ प्राप्त होता है।
यहाँ,कोणीय आवृत्ति $\omega = 50\pi \ rad/s$ है।
हम जानते हैं कि आवर्तकाल $T$ कोणीय आवृत्ति से $T = \frac{2\pi}{\omega}$ सूत्र द्वारा संबंधित है।
$\omega$ का मान रखने पर:
$T = \frac{2\pi}{50\pi} = \frac{1}{25} \ s$.
$T = 0.04 \ s$.
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(C) मुख्य विचार: तरंग में दो क्रमिक शृंगों के बीच की दूरी को तरंगदैर्ध्य $(\lambda)$ कहा जाता है।
जब एक नाव लहरों से हिलती है,तो वह एक पूर्ण उछाल (ऊपर और नीचे) तब पूरा करती है जब एक पूर्ण तरंगदैर्ध्य नाव के पास से गुजरती है।
दिया गया है:
तरंगदैर्ध्य $(\lambda)$ $= 100 \,m$
तरंग का वेग $(v)$ $= 25 \,m/s$
उछाल का समय अंतराल $(T)$ वह समय है जो एक तरंगदैर्ध्य को एक निश्चित बिंदु से गुजरने में लगता है।
सूत्र का उपयोग करते हुए: $T = \frac{\lambda}{v}$
$T = \frac{100 \,m}{25 \,m/s} = 4 \,s$
अतः,नाव हर $4 \,s$ में एक बार ऊपर उछलती है।

(B) दी गई तरंगें $Y_1 = a_1 \sin \left(\omega t - \frac{2 \pi x}{\lambda}\right)$ और $Y_2 = a_2 \cos \left(\omega t - \frac{2 \pi x}{\lambda} + \phi\right)$ हैं।
कला (phase) की तुलना करने के लिए,हम कोसाइन फलन को साइन फलन में बदलते हैं: $\cos(\theta) = \sin(\theta + \frac{\pi}{2})$.
अतः,$Y_2 = a_2 \sin \left(\omega t - \frac{2 \pi x}{\lambda} + \phi + \frac{\pi}{2}\right)$.
कलांतर $\delta$ साइन फलनों के तर्कों के बीच का अंतर है: $\delta = \left(\omega t - \frac{2 \pi x}{\lambda} + \phi + \frac{\pi}{2}\right) - \left(\omega t - \frac{2 \pi x}{\lambda}\right) = \phi + \frac{\pi}{2}$.
पथ अंतर $\Delta x$ और कलांतर $\delta$ के बीच का संबंध $\Delta x = \frac{\lambda}{2 \pi} \delta$ है।
$\delta$ का मान रखने पर,हमें $\Delta x = \frac{\lambda}{2 \pi} \left(\phi + \frac{\pi}{2}\right)$ प्राप्त होता है।