Wave Equation and Characteristics of Waves Questions in Hindi

(B) दिए गए समीकरण हैं:
$y_1 = a \sin(\omega t - kx)$
$y_2 = b \cos(\omega t - kx + \frac{\pi}{3})$
कलांतर ज्ञात करने के लिए,हम कोसाइन फलन को साइन फलन में बदलते हैं,जिसके लिए हम सर्वसमिका $\cos(\theta) = \sin(\theta + \frac{\pi}{2})$ का उपयोग करते हैं।
$y_2 = b \sin(\omega t - kx + \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{2})$
$y_2 = b \sin(\omega t - kx + \frac{2\pi + 3\pi}{6})$
$y_2 = b \sin(\omega t - kx + \frac{5\pi}{6})$
$y_1$ की कला $\phi_1 = \omega t - kx$ है।
$y_2$ की कला $\phi_2 = \omega t - kx + \frac{5\pi}{6}$ है।
कलांतर $\Delta\phi = \phi_2 - \phi_1 = \frac{5\pi}{6}$ होगा।

(A) दिया गया है: आवृत्ति $f = 200 Hz$,गति $v = 340 m s^{-1}$,दूरी $\Delta x = 85 cm = 0.85 m$।
सबसे पहले,$\lambda = \frac{v}{f}$ सूत्र का उपयोग करके तरंगदैर्ध्य $\lambda$ की गणना करें।
$\lambda = \frac{340}{200} = 1.7 m$।
कलांतर $\Delta \phi$ और पथ अंतर $\Delta x$ के बीच का संबंध $\Delta \phi = \frac{2 \pi}{\lambda} \times \Delta x$ है।
मान रखने पर: $\Delta \phi = \frac{2 \pi}{1.7} \times 0.85$।
$\Delta \phi = \frac{2 \pi}{1.7} \times \frac{1.7}{2} = \pi$ रेडियन।

(D) दी गई तरंग का समीकरण $y = (0.02 \ m) \sin (5 \pi x - 20 t)$ है।
इसे मानक तरंग समीकरण $y = A \sin (kx - \omega t)$ के साथ तुलना करने पर,हमें तरंग संख्या $k = 5 \pi \ m^{-1}$ प्राप्त होती है।
तरंगदैर्ध्य $\lambda$ का मान $k = \frac{2 \pi}{\lambda}$ से प्राप्त होता है,इसलिए $\lambda = \frac{2 \pi}{k} = \frac{2 \pi}{5 \pi} = 0.4 \ m$ है।
तरंग में कणों की गति समान होती है यदि वे तरंगदैर्ध्य के आधे $(\frac{\lambda}{2})$ या तरंगदैर्ध्य के पूर्णांक गुणज की दूरी पर हों। समान गति वाले दो कणों के बीच की न्यूनतम दूरी $\frac{\lambda}{2}$ होती है।
अतः,न्यूनतम दूरी $= \frac{0.4 \ m}{2} = 0.2 \ m$ है।

(A) दो क्रमिक निम्निष्ठों के बीच की दूरी तरंगदैर्ध्य $\lambda$ के बराबर होती है। इसलिए,$\lambda = 2.7 \ m$ है।
आवृत्ति $f$ को प्रति इकाई समय में एक बिंदु से गुजरने वाली तरंगों की संख्या के रूप में परिभाषित किया जाता है।
यह दिया गया है कि $15.0 \ s$ में $5$ श्रृंग गुजरते हैं,इसलिए आवृत्ति $f = \frac{5}{15} = \frac{1}{3} \ s^{-1}$ है।
तरंग की चाल $v$ को संबंध $v = f \lambda$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,$v = \frac{1}{3} \times 2.7 = 0.9 \ m \ s^{-1}$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया तरंग फलन $y(x, t) = e^{-(\sqrt{a}x + \sqrt{b}t)^2}$ है।
तरंग के संचरण के लिए, फलन का तर्क $(x \pm vt)$ के रूप में होना चाहिए।
हम घातांक को $-(\sqrt{a}(x + \sqrt{\frac{b}{a}}t))^2$ के रूप में लिख सकते हैं।
यह $f(x + vt)$ के रूप में है, जहाँ $v = \sqrt{\frac{b}{a}}$ है।
$f(x + vt)$ के रूप का फलन $v = \sqrt{\frac{b}{a}}$ चाल के साथ ऋणात्मक $x$-दिशा में गति करती हुई तरंग को दर्शाता है।

(B) प्रगामी तरंग का सामान्य समीकरण $s(x, t) = A \sin(kx - \omega t)$ है।
$1$. आयाम $(A)$: कण दो चरम बिंदुओं के बीच $10 \text{ cm}$ की दूरी तय करता है,जो कुल पथ लंबाई $(2A)$ है। अतः,$2A = 10 \text{ cm} = 0.10 \text{ m}$,इसलिए $A = 0.05 \text{ m}$।
$2$. कोणीय आवृत्ति $(\omega)$: $\omega = 2\pi f = 2 \times \pi \times 210 = 420\pi \approx 1320 \text{ rad/s}$।
$3$. तरंग संख्या $(k)$: $v = \frac{\omega}{k} \implies k = \frac{\omega}{v} = \frac{420\pi}{330} \approx 4 \text{ rad/m}$।
$4$. इन मानों को तरंग समीकरण में रखने पर: $s(x, t) = 0.05 \sin(4x - 1320t) \text{ m}$।

(C) तरंग का दिया गया समीकरण $y = 0.02 \sin(\pi x - 8 \pi t)$ है।
इसकी तुलना मानक तरंग समीकरण $y = A \sin(kx - \omega t)$ से करने पर:
यहाँ,कोणीय तरंग संख्या $k = \pi \ m^{-1}$ और कोणीय आवृत्ति $\omega = 8 \pi \ rad/s$ है।
तरंग का वेग $v$ ज्ञात करने का सूत्र $v = \frac{\omega}{k}$ है।
मान रखने पर,हमें $v = \frac{8 \pi}{\pi} = 8 \ m/s$ प्राप्त होता है।

(A) दी गई तरंग का समीकरण $y = 5 \times 10^{-3} \sin \left(12.5 \pi x - \frac{\pi}{2} t\right)$ है।
इसकी तुलना मानक तरंग समीकरण $y = A \sin(kx - \omega t)$ से करने पर:
तरंग संख्या $k = 12.5 \pi$ और कोणीय आवृत्ति $\omega = \frac{\pi}{2}$ प्राप्त होती है।
हम जानते हैं कि $k = \frac{2 \pi}{\lambda}$,इसलिए $\lambda = \frac{2 \pi}{k} = \frac{2 \pi}{12.5 \pi} = \frac{2}{12.5} = 0.16 \ m$.
इसी प्रकार,$\omega = \frac{2 \pi}{T}$,इसलिए $T = \frac{2 \pi}{\omega} = \frac{2 \pi}{\pi / 2} = 4 \ s$.
अतः,तरंगदैर्ध्य $0.16 \ m$ है और आवर्तकाल $4 \ s$ है।

(B) प्रगामी तरंग का सामान्य समीकरण $y(x, t) = A \sin(kx - \omega t)$ है।
तरंग की चाल $v$,कोणीय आवृत्ति $\omega$ और तरंग संख्या $k$ के अनुपात द्वारा दी जाती है:
$v = \frac{\omega}{k} = \frac{t \text{ का गुणांक}}{x \text{ का गुणांक}}$.
प्रत्येक विकल्प के लिए चाल की गणना करने पर:
$(a)$ $v = \frac{2}{2} = 1.0 \text{ m/s}$
$(b)$ $v = \frac{3}{2} = 1.5 \text{ m/s}$
$(c)$ $v = \frac{2}{3} \approx 0.67 \text{ m/s}$
$(d)$ $v = \frac{2}{5} = 0.4 \text{ m/s}$
इन मानों की तुलना करने पर,विकल्प $(b)$ में दिए गए समीकरण के लिए तरंग की चाल सबसे अधिक है।

(C) तरंग में कण का अधिकतम वेग $v_{\max} = A \omega$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $A$ आयाम है और $\omega$ कोणीय आवृत्ति है।
दिया गया है कि कण का अधिकतम वेग तरंग वेग $(v)$ के बराबर है,इसलिए $v_{\max} = v$.
व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $A \omega = v$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\omega = 2 \pi f$ और तरंग वेग $v = f \lambda$,हम $\omega = 2 \pi (v / \lambda)$ लिख सकते हैं।
इसे समीकरण में रखने पर: $A \times (2 \pi v / \lambda) = v$.
दोनों पक्षों को $v$ से विभाजित करने पर,हमें $A \times (2 \pi / \lambda) = 1$ प्राप्त होता है।
अतः,आयाम $A = \frac{\lambda}{2 \pi}$ है।

(A) प्रगामी तरंग का मानक समीकरण $y = A \sin(\omega t - kx + \phi)$ होता है।
दिए गए समीकरण $y = 4 \sin(4 \pi t - 0.04 x + \pi / 3)$ के साथ तुलना करने पर,हमें कोणीय आवृत्ति $\omega = 4 \pi \ rad/s$ और तरंग संख्या $k = 0.04 \ rad/m$ प्राप्त होती है।
तरंग का वेग $(v)$,कोणीय आवृत्ति और तरंग संख्या का अनुपात होता है: $v = \frac{\omega}{k}$.
मान रखने पर: $v = \frac{4 \pi}{0.04} = \frac{400 \pi}{4} = 100 \pi \ m/s$.

(C) दिया गया तरंग समीकरण $x = x_0 \sin 2 \pi (nt - x/\lambda)$ है।
इसे मानक रूप $x = A \sin (\omega t - kx)$ के साथ तुलना करने पर,आयाम $A = x_0$,कोणीय आवृत्ति $\omega = 2 \pi n$,और तरंग संख्या $k = 2 \pi / \lambda$ प्राप्त होता है।
अधिकतम कण वेग $V_p$ का मान $V_p = A \omega = x_0 (2 \pi n) = 2 \pi n x_0$ होता है।
तरंग वेग $V_w$ का मान $V_w = \frac{\omega}{k} = \frac{2 \pi n}{2 \pi / \lambda} = n \lambda$ होता है।
प्रश्न के अनुसार,$V_p = 4 V_w$ है।
व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $2 \pi n x_0 = 4 (n \lambda)$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों को $n$ से विभाजित करने पर,$2 \pi x_0 = 4 \lambda$ प्राप्त होता है।
अतः,$\lambda = \frac{2 \pi x_0}{4} = \frac{\pi x_0}{2}$.

(C) तरंग की आवृत्ति $f = 500 Hz$ और वेग $v = 300 ms^{-1}$ है।
सबसे पहले,हम $v = f \lambda$ संबंध का उपयोग करके तरंगदैर्ध्य $\lambda$ की गणना करते हैं:
$\lambda = \frac{v}{f} = \frac{300}{500} = 0.6 m = 60 cm$.
कलांतर $\Delta \phi = 60^{\circ}$ दिया गया है,जो $\frac{\pi}{3}$ रेडियन के बराबर है।
कलांतर $\Delta \phi$ और पथ अंतर $\Delta x$ के बीच का संबंध $\Delta \phi = \frac{2 \pi}{\lambda} \Delta x$ है।
मान रखने पर: $\frac{\pi}{3} = \frac{2 \pi}{60 cm} \Delta x$.
$\Delta x$ के लिए हल करने पर: $\Delta x = \frac{\pi}{3} \times \frac{60 cm}{2 \pi} = \frac{60}{6} cm = 10 cm$.

(A) समतल प्रगामी तरंग का मानक समीकरण $y = A \cos(2\pi(\nu t - \frac{x}{\lambda}))$ है,जहाँ $\nu$ आवृत्ति है।
दिया गया समीकरण: $y = 2 \cos 6.284(330t - x)$।
चूंकि $6.284 \approx 2\pi$,हम समीकरण को $y = 2 \cos 2\pi(330t - x)$ के रूप में लिख सकते हैं।
इसकी तुलना मानक रूप से करने पर,आवृत्ति $\nu = 330 \text{ Hz}$ प्राप्त होती है।
आवर्तकाल $T$ आवृत्ति का व्युत्क्रम होता है,अर्थात $T = \frac{1}{\nu}$।
अतः,$T = \frac{1}{330} \text{ s}$।

(A) अनुप्रस्थ तरंग का मानक समीकरण $y = A \sin(\omega t + kx + \phi)$ होता है।
दिए गए समीकरण $y = 3 \sin(36t + 0.018x + \pi/4)$ के साथ तुलना करने पर,हमें तरंग संख्या $k = 0.018 \ cm^{-1}$ प्राप्त होती है।
दो क्रमागत श्रृंगों के बीच की दूरी तरंगदैर्ध्य $\lambda$ के बराबर होती है।
तरंगदैर्ध्य और तरंग संख्या के बीच का संबंध $\lambda = 2\pi / k$ है।
मान रखने पर: $\lambda = 2 \times 3.14 / 0.018 = 6.28 / 0.018$।
गणना करने पर: $\lambda \approx 348.88 \ cm$।
निकटतम पूर्णांक में बदलने पर,हमें $\lambda = 349 \ cm$ प्राप्त होता है।

(C) दी गई तरंग समीकरण $y(x, t) = 2.0 \cos(2\pi(10t - 0.0080x + 0.35))$ है।
इसे मानक तरंग समीकरण $y = A \cos(2\pi ft - kx + \phi)$ के साथ तुलना करने पर, हम तरंग संख्या $k$ प्राप्त करते हैं।
कोसाइन फलन के अंदर का पद $2\pi(10t - 0.0080x + 0.35) = 20\pi t - 0.016\pi x + 0.7\pi$ है।
अतः, तरंग संख्या $k = 0.016\pi \text{ cm}^{-1}$ है।
$\Delta x$ दूरी से अलग हुए दो बिंदुओं के बीच कलांतर $\Delta\phi = k \Delta x$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $\Delta x = 0.5 \text{ m} = 50 \text{ cm}$ दिया गया है।
मान रखने पर, $\Delta\phi = (0.016\pi \text{ cm}^{-1}) \times 50 \text{ cm} = 0.8\pi \text{ rad}$ प्राप्त होता है।
अतः, सही विकल्प $C$ है।