Wave Equation and Characteristics of Waves Questions in Hindi

(B) तरंग की तरंगदैर्ध्य $\lambda$ सूत्र $\lambda = \frac{v}{f}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ $v = 300\, m/s$ और $f = 500\, Hz$ दिया गया है,इसलिए $\lambda = \frac{300}{500} = 0.6\, m$ है।
$360^{\circ}$ का कलांतर एक पूर्ण तरंगदैर्ध्य $\lambda$ के पथ अंतर के अनुरूप होता है।
इसलिए,$\Delta\phi = 60^{\circ}$ का कलांतर पथ अंतर $\Delta x$ के अनुरूप है,जो $\Delta x = \frac{\Delta\phi}{360^{\circ}} \times \lambda$ द्वारा प्राप्त होता है।
मान रखने पर,$\Delta x = \frac{60^{\circ}}{360^{\circ}} \times 0.6\, m = \frac{1}{6} \times 0.6\, m = 0.1\, m$।

(C) दी गई आवृत्ति $f = \frac{1}{8} \, Hz$ है।
अतः,आवर्तकाल $T = \frac{1}{f} = 8 \, s$ है।
दी गई तरंगदैर्ध्य $\lambda = 24 \, m$ है।
तरंग की गति $v = f \lambda = \frac{1}{8} \times 24 = 3 \, m/s$ है।
तरंग को $x = 9 \, m$ की दूरी पर स्थित कण तक पहुँचने में लगा समय $t_1 = \frac{x}{v} = \frac{9}{3} = 3 \, s$ है।
कण अपनी गति माध्य स्थिति से शुरू करता है (पहले ऊपर की ओर)। पहली बार निचले चरम बिंदु तक पहुँचने के लिए,कण को अपने दोलन चक्र का $\frac{3}{4}$ भाग पूरा करना होगा।
तरंग के कण तक पहुँचने के क्षण से कण को निचले चरम बिंदु तक पहुँचने में लगा समय $t_2 = \frac{3T}{4} = \frac{3}{4} \times 8 = 6 \, s$ है।
कुल लगा समय = $t_1 + t_2 = 3 \, s + 6 \, s = 9 \, s$।

(C) मानक तरंग समीकरण $y = A \sin(\omega t + kx)$ है।
दिए गए समीकरण $y = 10^{-4} \sin(60t + 2x)$ की तुलना मानक रूप से करने पर:
कोणीय आवृत्ति $\omega = 60 \ rad/s$ और तरंग संख्या $k = 2 \ m^{-1}$ प्राप्त होती है।
चूंकि $\omega = 2\pi f$,इसलिए $60 = 2\pi f$,जिससे $f = \frac{30}{\pi} \ Hz$ प्राप्त होता है।
तरंग का वेग $v = \frac{\omega}{k} = \frac{60}{2} = 30 \ m/s$ है। चूंकि $\omega t$ और $kx$ के बीच धनात्मक चिह्न है,इसलिए तरंग $x$-अक्ष की ऋणात्मक दिशा में यात्रा करती है।
तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{2\pi}{k} = \frac{2\pi}{2} = \pi \ m$ है।
इन परिणामों की तुलना विकल्पों से करने पर,विकल्प $C$ सही है।

(A) तरंग का मानक समीकरण $y(x, t) = A \cos(kx - \omega t)$ है।
यहाँ,$k = \alpha$ (तरंग संख्या) और $\omega = \beta$ (कोणीय आवृत्ति) है।
तरंग संख्या $k = \frac{2\pi}{\lambda}$ होती है।
दिया गया है कि $\lambda = 0.08 \ m$,इसलिए $\alpha = \frac{2\pi}{0.08} = 25\pi \ rad/m$.
कोणीय आवृत्ति $\omega = \frac{2\pi}{T}$ होती है।
दिया गया है कि $T = 2.0 \ s$,इसलिए $\beta = \frac{2\pi}{2.0} = \pi \ rad/s$.
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(A) दिया गया तरंग समीकरण $y = A \sin^2 (\omega t - kx)$ है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin^2 \theta = \frac{1 - \cos(2\theta)}{2}$ का उपयोग करते हुए,हम समीकरण को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$y = \frac{A}{2} [1 - \cos(2\omega t - 2kx)]$.
कण का वेग $v_p$,$y$ का समय $t$ के सापेक्ष अवकलन है:
$v_p = \frac{\partial y}{\partial t} = \frac{A}{2} [2\omega \sin(2\omega t - 2kx)] = A\omega \sin(2\omega t - 2kx)$.
कण का अधिकतम वेग $(v_p)_{\max} = A\omega$ है।
तरंग वेग $v$,फलन के तर्क में $t$ के गुणांक और $x$ के गुणांक का अनुपात है:
$v = \frac{2\omega}{2k} = \frac{\omega}{k}$.
चूंकि $k = \frac{2\pi}{\lambda}$,इसलिए $v = \frac{\omega}{2\pi / \lambda} = \frac{\omega \lambda}{2\pi}$.
प्रश्न के अनुसार,$(v_p)_{\max} = v$:
$A\omega = \frac{\omega \lambda}{2\pi}$.
$A$ के लिए हल करने पर,हमें $A = \frac{\lambda}{2\pi}$ प्राप्त होता है।

(C) तरंग की आवृत्ति पूरी तरह से तरंग के स्रोत द्वारा निर्धारित की जाती है। जब कोई तरंग एक माध्यम से दूसरे माध्यम में जाती है,तो उसकी आवृत्ति स्थिर रहती है,जबकि उसका वेग और तरंगदैर्ध्य माध्यम के गुणों के आधार पर बदल जाते हैं। इसलिए,आवृत्ति माध्यम के गुणों और अन्य तरंग मापदंडों से स्वतंत्र होती है।

(A) दिया गया तरंग समीकरण $y = a \sin \left( \frac{2\pi}{T}t - \frac{2\pi}{\lambda}x \right)$ है,जहाँ आयाम $a = \frac{10}{\pi} \ cm$ है।
तरंग वेग $v = \frac{\omega}{k} = \frac{2\pi/T}{2\pi/\lambda} = \frac{\lambda}{T} = f\lambda$ द्वारा दिया जाता है।
अधिकतम कण वेग $v_{p,max} = a\omega = a \left( \frac{2\pi}{T} \right)$ है।
प्रश्न के अनुसार,तरंग वेग अधिकतम कण वेग का दोगुना है:
$v = 2 v_{p,max}$
व्यंजक रखने पर:
$\frac{\lambda}{T} = 2 \left( a \cdot \frac{2\pi}{T} \right)$
दोनों तरफ से $T$ को हटाने पर:
$\lambda = 4\pi a$
$a = \frac{10}{\pi} \ cm$ का मान रखने पर:
$\lambda = 4\pi \left( \frac{10}{\pi} \right) = 40 \ cm$.

(B) प्रगामी तरंग के लिए मानक समीकरण $y(x, t) = A \cos(kx - \omega t)$ है,जहाँ $k = \frac{\omega}{v}$ होता है।
पहली तरंग $y_1 = 0.05 \cos(0.50 \pi x - 100 \pi t)$ के लिए:
मानक समीकरण के साथ तुलना करने पर,कोणीय आवृत्ति $\omega_1 = 100 \pi \text{ rad/s}$ और तरंग संख्या $k_1 = 0.50 \pi \text{ rad/m}$ प्राप्त होती है।
वेग $v_1 = \frac{\omega_1}{k_1} = \frac{100 \pi}{0.50 \pi} = 200 \text{ m/s}$ है।
दूसरी तरंग $y_2 = 0.05 \cos(0.46 \pi x - 92 \pi t)$ के लिए:
मानक समीकरण के साथ तुलना करने पर,कोणीय आवृत्ति $\omega_2 = 92 \pi \text{ rad/s}$ और तरंग संख्या $k_2 = 0.46 \pi \text{ rad/m}$ प्राप्त होती है।
वेग $v_2 = \frac{\omega_2}{k_2} = \frac{92 \pi}{0.46 \pi} = 200 \text{ m/s}$ है।
चूंकि दोनों तरंगों का वेग समान है,इसलिए तरंग का वेग $200 \text{ m/s}$ है।

(B) समान क्षण पर एक श्रृंग और निकटतम गर्त के बीच की दूरी तरंगदैर्ध्य की आधी $(\lambda/2)$ होती है।
दिया गया है $\lambda/2 = 4.0 \, cm$,इसलिए $\lambda = 8.0 \, cm$ है।
समान स्थान पर एक श्रृंग और गर्त के बीच की दूरी आयाम की दोगुनी $(2a)$ होती है।
दिया गया है $2a = 1.0 \, cm$,इसलिए $a = 0.5 \, cm$ है।
समान स्थान पर दो लगातार श्रृंगों के बीच का समयांतराल आवर्तकाल $(T)$ होता है।
दिया गया है $T = 0.4 \, s$ है।
कोणीय आवृत्ति $\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{0.4} = 5\pi \, rad/s$ है।
कंपन करने वाले कणों की अधिकतम गति $v_{max} = a\omega$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर: $v_{max} = 0.5 \times 5\pi = 2.5\pi = \frac{5\pi}{2} \, cm/s$।

(C) धनात्मक $x$-दिशा में संचरित हो रही तरंग का सामान्य समीकरण $y(x, t) = f(x - vt)$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $v$ तरंग का वेग है।
समय $t = 0$ पर,समीकरण $y = f(x) = \frac{1}{1 + x^2}$ है।
किसी भी समय $t$ पर,समीकरण $y = f(x - vt) = \frac{1}{1 + (x - vt)^2}$ हो जाता है।
दिया गया है कि $t = 2 \ s$ पर,समीकरण $y = \frac{1}{1 + (x - 1)^2}$ है।
$t = 2 \ s$ के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर:
$vt = 1$
चूंकि $t = 2 \ s$ है,इसलिए $v(2) = 1$ प्राप्त होता है।
अतः,$v = \frac{1}{2} = 0.5 \ m/s$।

(C) एक प्रगामी हार्मोनिक तरंग का सामान्य समीकरण $y(x, t) = A \sin(\omega t + kx + \phi)$ होता है।
दिए गए समीकरण $y(x, t) = 10^{-3} \sin(50t + 2x)$ के साथ तुलना करने पर:
यहाँ,$\omega = 50 \ rad/s$ और $k = 2 \ rad/m$ है।
चूंकि $t$ और $x$ पदों के बीच का चिह्न धनात्मक $(+)$ है,इसलिए तरंग ऋणात्मक $x$-अक्ष की दिशा में आगे बढ़ रही है।
तरंग की गति $v$ को कोणीय आवृत्ति और तरंग संख्या के अनुपात द्वारा ज्ञात किया जाता है: $v = \frac{\omega}{k}$।
मान रखने पर: $v = \frac{50}{2} = 25 \ m/s$।
अतः,तरंग $25 \ m/s$ की गति से ऋणात्मक $x$-अक्ष की दिशा में आगे बढ़ रही है।

(A) दिया गया तरंग समीकरण $y(x, t) = A \sin(kx - \omega t + \phi)$ है।
$t = 0$ पर,समीकरण $y(x, 0) = A \sin(kx + \phi)$ हो जाता है।
दिए गए ग्राफ से $t = 0$ पर,हम देखते हैं कि $x = 0$ पर,विस्थापन $y(0, 0) = 0$ है।
इन मानों को समीकरण में रखने पर: $0 = A \sin(k(0) + \phi) \Rightarrow \sin(\phi) = 0$.
इसका अर्थ है $\phi = 0$ या $\phi = \pi$।
सही मान निर्धारित करने के लिए,हम $x = 0$ पर तरंग की ढाल (slope) की जाँच करते हैं। ढाल $\frac{\partial y}{\partial x} = Ak \cos(kx + \phi)$ द्वारा दी जाती है।
$x = 0$ पर,ढाल $Ak \cos(\phi)$ है।
ग्राफ से,$x = 0$ पर,जैसे-जैसे $x$ बढ़ता है,तरंग नीचे की ओर जा रही है,जिसका अर्थ है कि ढाल ऋणात्मक है।
यदि $\phi = 0$ है,तो ढाल $Ak \cos(0) = Ak$ है,जो धनात्मक है।
यदि $\phi = \pi$ है,तो ढाल $Ak \cos(\pi) = -Ak$ है,जो ऋणात्मक है।
इसलिए,कला $\phi = \pi$ होनी चाहिए।

(D) कण का वेग $v_p = \frac{dy}{dt} = -v \left( \frac{dy}{dx} \right)$ द्वारा दिया जाता है,जहां $v$ तरंग का वेग है और $\frac{dy}{dx}$ उस बिंदु पर तरंग का ढाल है।
$(1)$ ऊपर की ओर वेग के लिए,$v_p$ धनात्मक होना चाहिए। इसके लिए ढाल $\frac{dy}{dx}$ का ऋणात्मक होना आवश्यक है। ग्राफ को देखने पर,बिंदु $D, E$ और $F$ पर ढाल ऋणात्मक है। अतः,ये बिंदु ऊपर की ओर गति करते हैं।
$(2)$ नीचे की ओर वेग के लिए,$v_p$ ऋणात्मक होना चाहिए। इसके लिए ढाल $\frac{dy}{dx}$ का धनात्मक होना आवश्यक है। ग्राफ को देखने पर,बिंदु $A, B$ और $H$ पर ढाल धनात्मक है। अतः,ये बिंदु नीचे की ओर गति करते हैं।
$(3)$ शून्य वेग के लिए,ढाल $\frac{dy}{dx}$ शून्य होना चाहिए। यह श्रृंग और गर्त पर होता है,जो बिंदु $C$ और $G$ हैं।
$(4)$ कण के वेग का परिमाण वहां अधिकतम होता है जहां ढाल $| \frac{dy}{dx} |$ अधिकतम होता है। यह बिंदु $A, E$ और $G$ तथा $H$ के बीच के बिंदु पर होता है। बिंदुओं $A$ और $E$ का वेग अधिकतम है,न्यूनतम नहीं। इसलिए,कथन $(D)$ गलत है।

(C) मानक तरंग समीकरण $y = A \sin(\omega t + kx)$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए समीकरण $y = 10^{-4} \sin(60t + 2x)$ की तुलना मानक समीकरण से करने पर,हमें प्राप्त होता है:
कोणीय आवृत्ति $\omega = 60 \text{ rad/s}$ और तरंग संख्या $k = 2 \text{ m}^{-1}$।
चूंकि $\omega t$ और $kx$ के बीच का चिह्न धनात्मक है,इसलिए तरंग $x$-अक्ष की ऋणात्मक दिशा में यात्रा करती है।
आवृत्ति $f = \omega / (2\pi) = 60 / (2\pi) = 30/\pi \text{ Hz}$।
तरंग वेग $v = \omega / k = 60 / 2 = 30 \text{ m/s}$।
तरंगदैर्ध्य $\lambda = 2\pi / k = 2\pi / 2 = \pi \text{ m}$।
इन परिणामों की तुलना विकल्पों से करने पर,विकल्प $C$ सही है।

(A) $-z$ दिशा में यात्रा करने वाली तरंग का सामान्य समीकरण $x = A \sin(\omega t + kz)$ है।
दिया गया है:
आयाम $A = 1 \ m$.
तरंगदैर्ध्य $\lambda = \pi \ m$.
आवृत्ति $f = \frac{1}{\pi} \ Hz$.
कोणीय आवृत्ति $\omega = 2\pi f = 2\pi \times \frac{1}{\pi} = 2 \ rad/s$.
तरंग संख्या $k = \frac{2\pi}{\lambda} = \frac{2\pi}{\pi} = 2 \ m^{-1}$.
इन मानों को सामान्य समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$x = 1 \sin(2t + 2z)$.
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(A) तरंग के लिए कलांतर $(\Delta \phi)$ और पथ अंतर $(\Delta x)$ के बीच का संबंध निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\frac{\Delta \phi}{2\pi} = \frac{\Delta x}{\lambda}$
दिया गया है कि पथ अंतर $\Delta x = x$ है,इसलिए इस मान को समीकरण में रखने पर:
$\frac{\Delta \phi}{2\pi} = \frac{x}{\lambda}$
कलांतर $\Delta \phi$ के लिए हल करने पर:
$\Delta \phi = \frac{2\pi x}{\lambda}$

(A) दिया गया तरंग समीकरण $y = 0.25 \sin(10\pi x - 2\pi t)$ है।
इसे मानक तरंग समीकरण $y = A \sin(kx - \omega t)$ के साथ तुलना करने पर:
$1$. आयाम $A = 0.25 \, m$ है।
$2$. तरंग संख्या $k = 10\pi$ है। चूँकि $k = \frac{2\pi}{\lambda}$,इसलिए $\lambda = \frac{2\pi}{10\pi} = 0.2 \, m$ है।
$3$. कोणीय आवृत्ति $\omega = 2\pi$ है। चूँकि $\omega = 2\pi f$,इसलिए $f = \frac{2\pi}{2\pi} = 1 \, Hz$ है।
$4$. चूँकि $kx$ और $\omega t$ के बीच का चिह्न ऋणात्मक है,इसलिए तरंग धनात्मक $x$-दिशा में यात्रा करती है।
अतः,तरंग $1 \, Hz$ आवृत्ति और $\lambda = 0.2 \, m$ तरंगदैर्ध्य के साथ $+ve$ $x$-दिशा में यात्रा करती है।

(D) दो बिंदु समान कला में होते हैं यदि माध्य स्थिति से उनका विस्थापन समान हो और वे एक ही दिशा में गति कर रहे हों।
दी गई ज्यावक्रीय तरंग में,बिंदु $C$ और $E$ दोनों $x$-अक्ष के नीचे हैं,उनका ऊर्ध्वाधर विस्थापन समान है,और दोनों ऊपर की दिशा में (साम्यावस्था की ओर) गति कर रहे हैं। इसलिए,बिंदु $C$ और $E$ समान कला में हैं।

(A) पहली तरंग का समीकरण $y_1 = a \sin(\omega t + kx + 0.57)$ है।
अतः,पहली तरंग की कला $\phi_1 = (\omega t + kx + 0.57)$ है।
दूसरी तरंग का समीकरण $y_2 = a \cos(\omega t + kx)$ है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\cos(\theta) = \sin(\theta + \pi/2)$ का उपयोग करते हुए,हम लिख सकते हैं $y_2 = a \sin(\omega t + kx + \pi/2)$।
अतः,दूसरी तरंग की कला $\phi_2 = (\omega t + kx + \pi/2)$ है।
कलांतर $\Delta \phi = \phi_2 - \phi_1$ द्वारा दिया जाता है।
$\Delta \phi = (\omega t + kx + \pi/2) - (\omega t + kx + 0.57)$।
$\Delta \phi = \pi/2 - 0.57$।
चूंकि $\pi \approx 3.14$,इसलिए $\pi/2 \approx 1.57$।
$\Delta \phi = 1.57 - 0.57 = 1.0 \ radian$।

(B) दिया गया है: माध्यम $A$ में तरंगदैर्ध्य,$\lambda_{A} = 100 \, mm = 0.10 \, m$.
माध्यम $B$ में तरंगदैर्ध्य,$\lambda_{B} = 0.25 \, m$.
माध्यम $A$ में वेग,$v_{A} = 80 \, cm s^{-1} = 0.80 \, m s^{-1}$.
चूंकि जब तरंग एक माध्यम से दूसरे माध्यम में जाती है तो आवृत्ति $f$ स्थिर रहती है,इसलिए $f = \frac{v_{A}}{\lambda_{A}} = \frac{v_{B}}{\lambda_{B}}$.
$v_{B}$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर,$v_{B} = v_{A} \times \frac{\lambda_{B}}{\lambda_{A}}$.
मान रखने पर: $v_{B} = 0.80 \times \frac{0.25}{0.10}$.
$v_{B} = 0.80 \times 2.5 = 2.0 \, m s^{-1}$.

(D) दिया गया है: तरंग की आवृत्ति,$f = 150 \, Hz$.
आकृति से,$20 \, cm$ की दूरी $2.5$ तरंगदैर्ध्य (या $\frac{5}{2}$ चक्र) को कवर करती है।
अतः,$\frac{5}{2} \lambda = 20 \, cm$.
$\lambda = \frac{20 \times 2}{5} \, cm = 8 \, cm = 0.08 \, m$.
तरंग का वेग $v = f \lambda$ द्वारा दिया जाता है।
$v = 150 \, Hz \times 0.08 \, m = 12 \, ms^{-1}$.
इस प्रकार,तरंगदैर्ध्य $0.08 \, m$ है और वेग $12 \, ms^{-1}$ है।

(C) तरंग संचरण की दिशा निर्धारित करने के लिए,हम $x = x_1$ पर कण की गति को देखते हैं।
$x = x_1$ पर,कण तरंग के बढ़ते ढलान पर है और ऊपर की ओर गति कर रहा है।
$+x$ दिशा में यात्रा करने वाली तरंग के लिए,बढ़ते ढलान पर स्थित कण (जहाँ ढलान धनात्मक है) ऊपर की ओर गति करते हैं।
इसके विपरीत,$-x$ दिशा में यात्रा करने वाली तरंग के लिए,बढ़ते ढलान पर स्थित कण नीचे की ओर गति करते हैं।
चूंकि $x = x_1$ पर कण ऊपर की ओर गति कर रहा है,इसलिए तरंग $+x$ दिशा में संचरित हो रही है।

(B) धनात्मक $X-$ दिशा में अपना आकार बदले बिना संचरित होने वाली तरंग के लिए सामान्य समीकरण $y = f(x - vt)$ है।
$t = 0$ पर,समीकरण $y = f(x) = 1/(1 + x^2)$ है।
$t = 2$ सेकंड पर,समीकरण $y = f(x - 2v) = 1/[1 + (x - 2v)^2]$ है।
इसे $t = 2$ सेकंड पर दिए गए समीकरण $y = 1/[1 + (x - 1)^2]$ के साथ तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$x - 2v = x - 1$
$2v = 1$
$v = 0.5 \, ms^{-1}$.

(C) दी गई तरंग समीकरण $y = A \sin(\omega t - kx)$ है।
किसी दिए गए समय $t$ पर किसी बिंदु $x$ पर वक्र की ढाल ज्ञात करने के लिए,हम $y$ का $x$ के सापेक्ष आंशिक अवकलन करते हैं:
$\frac{\partial y}{\partial x} = A \cos(\omega t - kx) \cdot (-k) = -kA \cos(\omega t - kx)$.
ढाल का परिमाण $|\frac{\partial y}{\partial x}| = |kA \cos(\omega t - kx)|$ है।
बिंदु $B$ पर,विस्थापन $y = 0$ है,जिसका अर्थ है कि $\sin(\omega t - kx) = 0$। यह तब होता है जब $(\omega t - kx) = n\pi$ (जहाँ $n$ एक पूर्णांक है)।
इन बिंदुओं पर,$\cos(\omega t - kx) = \pm 1$ होता है।
अतः,$B$ पर ढाल का परिमाण $|-kA(\pm 1)| = kA$ है।

(D) अनुप्रस्थ तरंग का मानक समीकरण $y = A \sin 2\pi \left( \frac{t}{T} - \frac{x}{\lambda} \right)$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए समीकरण $y = 5 \sin 2\pi \left[ \frac{t}{0.04} - \frac{x}{50} \right]$ की तुलना मानक समीकरण से करने पर,हमें पद $\frac{x}{\lambda} = \frac{x}{50}$ प्राप्त होता है।
अतः,तरंगदैर्ध्य $\lambda = 50 \, cm$ है।

(A) दिया गया समीकरण $y = A_1 \sin \omega t + A_2 \cos \omega t$ के रूप में है,जहाँ $A_1 = \frac{1}{\sqrt{a}}$ और $A_2 = \frac{1}{\sqrt{b}}$ है।
$y = A_1 \sin \omega t + A_2 \cos \omega t$ के रूप वाले समीकरण के लिए,परिणामी आयाम $A = \sqrt{A_1^2 + A_2^2}$ द्वारा दिया जाता है।
$A_1$ और $A_2$ के मान रखने पर:
$A = \sqrt{\left(\frac{1}{\sqrt{a}}\right)^2 + \left(\frac{1}{\sqrt{b}}\right)^2}$
$A = \sqrt{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}}$
$A = \sqrt{\frac{b + a}{ab}}$
$A = \frac{\sqrt{a + b}}{\sqrt{ab}}$

(C) तरंगदैर्ध्य $\lambda$ दो क्रमागत शिखरों के बीच की दूरी है,इसलिए $\lambda = 100 \ m$ है।
दिया गया तरंग वेग $v = 25 \ m/s$ है।
तरंग की आवृत्ति $f$ सूत्र $v = f \lambda$ द्वारा दी जाती है,जिसका अर्थ है $f = \frac{v}{\lambda}$।
मान रखने पर,$f = \frac{25}{100} = 0.25 \ Hz$ प्राप्त होता है।
आवर्तकाल $T$ एक पूर्ण उछाल के लिए लिया गया समय है,जो आवृत्ति का व्युत्क्रम है: $T = \frac{1}{f}$।
अतः,$T = \frac{1}{0.25} = 4 \ s$।

(C) जब कोई तरंग एक माध्यम से दूसरे माध्यम में यात्रा करती है, तो उसका वेग $(v)$ और तरंगदैर्ध्य $(\lambda)$ माध्यम के गुणों (जैसे अपवर्तनांक या घनत्व) के आधार पर बदल जाते हैं।
हालाँकि, तरंग की आवृत्ति $(f)$ पूरी तरह से तरंग के स्रोत द्वारा निर्धारित होती है और माध्यम के बदलने पर भी स्थिर रहती है।
इसलिए, आवृत्ति माध्यम के गुणों से स्वतंत्र है, जबकि वेग और तरंगदैर्ध्य उन पर निर्भर करते हैं।

(B) एक यात्रा करती हुई तरंग का मानक समीकरण $y = A \sin (\omega t - kx)$ है।
दिए गए समीकरण $x = A \sin (2t - 0.1x)$ की तुलना मानक रूप से करने पर,हमें तरंग संख्या $k = 0.1$ प्राप्त होती है।
तरंग संख्या $k$ और तरंगदैर्ध्य $\lambda$ के बीच का संबंध $k = \frac{2\pi}{\lambda}$ है।
$k$ का मान रखने पर:
$0.1 = \frac{2\pi}{\lambda}$
$\lambda = \frac{2\pi}{0.1} = 20\pi$.
अतः,तरंग की तरंगदैर्ध्य $20\pi$ है।

(A) तरंगदैर्ध्य $(\lambda)$ को समान कला में स्थित दो निकटतम कणों के बीच की दूरी के रूप में परिभाषित किया गया है।
आवर्तकाल $(T)$ वह समय है जो एक तरंग द्वारा एक तरंगदैर्ध्य के बराबर दूरी तय करने में लिया जाता है।
परिभाषा के अनुसार,तरंग की गति $(v)$ प्रति इकाई समय में तय की गई दूरी है।
इसलिए,$v = \frac{\lambda}{T}$,जिसका अर्थ है $\text{तरंग की गति} = \frac{\text{तरंगदैर्ध्य}}{\text{आवर्तकाल}}$।
चूंकि कारण तरंगदैर्ध्य को सही ढंग से परिभाषित करता है और अभिकथन में दिए गए संबंध का आधार प्रदान करता है,इसलिए कारण अभिकथन की सही व्याख्या है।

(N/A) मानक तरंग समीकरण $y(x, t) = a \sin (kx - \omega t)$ है।
$(a)$ दिए गए समीकरण की तुलना मानक रूप से करने पर,आयाम $a = 0.005 \, m = 5 \, mm$ प्राप्त होता है।
$(b)$ कोणीय तरंग संख्या $k = 80.0 \, m^{-1}$ है। तरंगदैर्ध्य $\lambda$ का सूत्र $\lambda = 2\pi / k = 2\pi / 80.0 \approx 0.0785 \, m = 7.85 \, cm$ है।
$(c)$ कोणीय आवृत्ति $\omega = 3.0 \, rad \, s^{-1}$ है। आवर्तकाल $T = 2\pi / \omega = 2\pi / 3.0 \approx 2.09 \, s$ है। आवृत्ति $\nu = 1 / T = 3.0 / 2\pi \approx 0.48 \, Hz$ है।
$x = 30.0 \, cm = 0.3 \, m$ और $t = 20 \, s$ पर विस्थापन के लिए:
$y = 0.005 \sin (80.0 \times 0.3 - 3.0 \times 20) = 0.005 \sin (24 - 60) = 0.005 \sin (-36 \, rad)$।
चूंकि $\sin(-36 \, rad) \approx \sin(-36 + 12\pi) \approx \sin(1.699 \, rad) \approx 0.992$,
$y \approx 0.005 \times 0.992 \approx 0.00496 \, m \approx 5 \, mm$।

(NONE) इसका विलोम सत्य नहीं है। एक फलन $y=f(x \pm vt)$ प्रगामी तरंग का प्रतिनिधित्व तभी करता है जब यह $x$ और $t$ के सभी मानों के लिए परिमित (finite) रहे।
$(a)$ $y = (x-vt)^2$ के लिए: जैसे $x \to \infty$ या $t \to \infty$,$y \to \infty$ होता है। चूँकि फलन $x$ और $t$ के सभी मानों के लिए परिमित नहीं रहता है,इसलिए यह भौतिक रूप से संभव प्रगामी तरंग का प्रतिनिधित्व नहीं करता है।
$(b)$ $y = \log[(x+vt)/x_0]$ के लिए: जैसे $x+vt \to 0$,$y \to -\infty$ होता है। चूँकि फलन $x$ और $t$ के सभी मानों के लिए परिमित नहीं रहता है,इसलिए यह भौतिक रूप से संभव प्रगामी तरंग का प्रतिनिधित्व नहीं करता है।
$(c)$ $y = 1/(x+vt)$ के लिए: जैसे $x+vt \to 0$,$y \to \infty$ होता है। चूँकि फलन $x$ और $t$ के सभी मानों के लिए परिमित नहीं रहता है,इसलिए यह भौतिक रूप से संभव प्रगामी तरंग का प्रतिनिधित्व नहीं करता है।

(N/A) दी गई अनुप्रस्थ हार्मोनिक तरंग का समीकरण $y(x, t) = 3.0 \sin (36 t + 0.018 x + \pi / 4)$ है।
$x = 0, 2$ और $4 \; cm$ के लिए,समीकरण इस प्रकार हैं:
$y(0, t) = 3.0 \sin (36 t + \pi / 4)$
$y(2, t) = 3.0 \sin (36 t + 0.036 + \pi / 4)$
$y(4, t) = 3.0 \sin (36 t + 0.072 + \pi / 4)$
कोणीय आवृत्ति $\omega = 36 \; rad/s$ है,इसलिए आवर्तकाल $T = 2\pi / \omega = \pi / 18 \; s$ है।
इन ग्राफों का आकार ज्यावक्रीय (sinusoidal) है। एक प्रगामी तरंग में,आयाम और आवृत्ति सभी बिंदुओं के लिए स्थिर रहते हैं,लेकिन तरंग समीकरण में $kx$ पद के कारण कला (phase) एक बिंदु से दूसरे बिंदु पर बदलती रहती है।

(N/A) प्रगामी हार्मोनिक तरंग का समीकरण $y(x, t) = 2.0 \cos 2 \pi(10 t - 0.0080 x + 0.35)$ दिया गया है।
इसे मानक तरंग समीकरण $y = a \cos(2 \pi \nu t - kx + \phi_0)$ से तुलना करने पर:
प्रसार नियतांक $k = 0.0160 \pi \, rad/cm$ प्राप्त होता है।
$\Delta x$ दूरी से अलग दो बिंदुओं के बीच कलांतर $\Delta \phi = k \Delta x$ द्वारा दिया जाता है।
$(a)$ $\Delta x = 4 \, m = 400 \, cm$ के लिए:
$\Delta \phi = (0.0160 \pi \, rad/cm) \times (400 \, cm) = 6.4 \pi \, rad$.
$(b)$ $\Delta x = 0.5 \, m = 50 \, cm$ के लिए:
$\Delta \phi = (0.0160 \pi \, rad/cm) \times (50 \, cm) = 0.8 \pi \, rad$.
$(c)$ $\Delta x = \lambda / 2$ के लिए:
चूँकि $k = 2 \pi / \lambda$,इसलिए $\Delta \phi = (2 \pi / \lambda) \times (\lambda / 2) = \pi \, rad$.
$(d)$ $\Delta x = 3 \lambda / 4$ के लिए:
$\Delta \phi = (2 \pi / \lambda) \times (3 \lambda / 4) = 1.5 \pi \, rad$.

(A) दी गई हार्मोनिक तरंग का समीकरण $y(x, t) = 7.5 \sin (0.0050 x + 12 t + \pi / 4)$ है।
$(a)$ $x = 1 \; cm$ और $t = 1 \; s$ के लिए:
$y(1, 1) = 7.5 \sin (0.0050 + 12 + \pi / 4) = 7.5 \sin (12.0050 + 0.785) = 7.5 \sin (12.79 \; rad)$.
डिग्री में बदलने पर: $12.79 \times (180 / \pi) \approx 732.81^{\circ}$.
$y = 7.5 \sin (732.81^{\circ}) = 7.5 \sin (8 \times 90^{\circ} + 12.81^{\circ}) = 7.5 \sin (12.81^{\circ}) \approx 7.5 \times 0.2217 \approx 1.663 \; cm$.
दोलन का वेग $v = \frac{\partial y}{\partial t} = 7.5 \times 12 \cos (0.0050 x + 12 t + \pi / 4) = 90 \cos (0.0050 x + 12 t + \pi / 4)$.
$x = 1 \; cm, t = 1 \; s$ पर: $v = 90 \cos (12.79 \; rad) = 90 \cos (12.81^{\circ}) \approx 90 \times 0.975 = 87.75 \; cm/s$.
तरंग प्रसार का वेग $v_p = \omega / k = 12 / 0.0050 = 2400 \; cm/s$.
चूंकि $87.75 \; cm/s \neq 2400 \; cm/s$,इसलिए दोलन का वेग तरंग प्रसार के वेग के बराबर नहीं है।
$(b)$ तरंगदैर्ध्य $\lambda = 2 \pi / k = 2 \pi / 0.0050 = 1256 \; cm = 12.56 \; m$.
समान विस्थापन और वेग वाले बिंदु तरंगदैर्ध्य $\lambda$ के पूर्णांक गुणज पर स्थित होते हैं। अतः,बिंदु $x = (1 \; cm \pm n \lambda)$ हैं,जहाँ $n = 1, 2, 3, \dots$।

(N/A) धनात्मक $x$-दिशा में संचरित होने वाली तरंग का समीकरण $y(x, t) = a \sin(\omega t - kx + \phi)$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $y(0, 0) = 0$ है,इसलिए $a \sin(\phi) = 0$,अतः $\phi = 0$ है।
रैखिक द्रव्यमान घनत्व $\mu = 8.0 \times 10^{-3} \; kg \; m^{-1}$ है।
आवृत्ति $v = 256 \; Hz$ है।
आयाम $a = 5.0 \; cm = 0.05 \; m$ है।
तनाव $T = mg = 90 \times 9.8 = 882 \; N$ है।
तरंग का वेग $v = \sqrt{T/\mu} = \sqrt{882 / (8.0 \times 10^{-3})} = \sqrt{110250} \approx 332 \; m/s$ है।
कोणीय आवृत्ति $\omega = 2\pi v = 2 \times 3.14159 \times 256 \approx 1608 \; rad/s$ है।
प्रसार नियतांक $k = \omega / v = 1608 / 332 \approx 4.84 \; m^{-1}$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,विस्थापन समीकरण $y(x, t) = 0.05 \sin(1608t - 4.84x) \; m$ प्राप्त होता है।

(N/A) तरंग के संचरण में भाग लेने वाले कण के अधिकतम विस्थापन के परिमाण को तरंग का आयाम कहा जाता है। इसे $a$ या $A$ प्रतीक द्वारा दर्शाया जाता है।
तरंग समीकरण के अनुसार:
$y = a \sin(kx - \omega t + \phi)$
चूंकि $\sin(kx - \omega t + \phi)$ का मान चरम सीमा $\pm 1$ होता है,इसलिए हम लिख सकते हैं:
$y_{\max} = a(\pm 1) = \pm a$
अतः,तरंग का आयाम $= |y_{\max}| = a$.
तरंग का आयाम हमेशा धनात्मक होता है। इसका $SI$ मात्रक $m$ है और इसका विमीय सूत्र $[M^0 L^1 T^0]$ है।
प्रारंभिक कला $(\phi)$: यदि हमें $t = 0$ समय पर तरंग के मूल बिंदु पर कण की प्रारंभिक स्थिति और उसकी गति की दिशा ज्ञात हो,तो हम प्रारंभिक कला $\phi$ का मान ज्ञात कर सकते हैं:
$y(x, t) = a \sin(\omega t - kx + \phi)$
$x = 0$ और $t = 0$ रखने पर,$y(0, 0) = a \sin \phi$.
यहाँ $\sin \phi$ जानकर,हम प्रारंभिक कला $\phi$ ज्ञात कर सकते हैं।
तरंग समीकरण $y = y(x, t) = a \sin(\omega t - kx + \phi)$ में,साइन फलन का तर्क $(\omega t - kx + \phi)$ है,जिसे स्रोत से $x$ दूरी पर $t$ समय पर तरंग की कुल कला कहा जाता है। यह $t$ समय पर तरंग के मूल बिंदु से $x$ दूरी पर स्थित कण के दोलन की कुल कला को दर्शाता है।

(N/A) तरंगदैर्ध्य: तरंग पर स्थित किन्हीं दो क्रमागत बिंदुओं या कणों के बीच की रैखिक दूरी,जिनके बीच का कलांतर $2 \pi \text{ rad}$ हो,उसे तरंग की तरंगदैर्ध्य $(\lambda)$ कहते हैं। इसका $SI$ मात्रक मीटर $(m)$ है।
तरंग संख्या: प्रति इकाई दूरी में तरंगों की संख्या को तरंग संख्या $(\bar{\nu})$ कहते हैं। इसे तरंगदैर्ध्य के व्युत्क्रम के रूप में परिभाषित किया जाता है।
तरंगदैर्ध्य के लिए समीकरण: $y(x, t) = a \sin(kx - \omega t)$ द्वारा निरूपित तरंग के लिए,विस्थापन $\lambda = \frac{2 \pi}{k}$ दूरी के बाद दोहराया जाता है।
तरंग संख्या के लिए समीकरण: $\bar{\nu} = \frac{1}{\lambda} = \frac{k}{2 \pi}$.
मात्रक:
- तरंगदैर्ध्य $(\lambda)$: $SI$ मात्रक मीटर $(m)$ है।
- तरंग संख्या $(\bar{\nu})$: $SI$ मात्रक मीटर$^{-1}$ $(m^{-1})$ है।

(N/A) आवर्तकाल: माध्यम के किसी भी कण द्वारा एक पूर्ण दोलन पूरा करने में लिए गए समय को आवर्तकाल $(T)$ कहा जाता है।
तरंग के विस्थापन समीकरण में,$y(x, t) = a \sin (kx - \omega t + \phi)$। यदि $\phi = 0$ हो,तो $x = 0$ पर कण की गति का अवलोकन करने पर,$y(0, t) = a \sin(-\omega t) = -a \sin(\omega t)$। यह आयाम $a$ और आवर्तकाल $T$ के साथ सरल आवर्त गति $(SHM)$ को दर्शाता है। चूंकि साइन फलन $2\pi$ के अंतराल पर दोहराता है,इसलिए $\omega T = 2\pi$,जिससे $\omega = \frac{2\pi}{T}$ प्राप्त होता है।
कोणीय आवृत्ति: तरंग में माध्यम के कणों के दोलन की कोणीय आवृत्ति को तरंग की कोणीय आवृत्ति कहा जाता है। इसका प्रतीक $\omega$ है,इसका $SI$ मात्रक $\text{rad } s^{-1}$ है और इसका विमीय सूत्र $[M^0 L^0 T^{-1}]$ है।
आवृत्ति: माध्यम का कण एक सेकंड में जितने दोलन पूरे करता है,उसे दोलन की आवृत्ति कहा जाता है। इसका प्रतीक $\nu$ या $f$ है। चूंकि $f = \frac{1}{T}$,इसलिए आवृत्ति का $SI$ मात्रक $s^{-1}$ या $\text{Hz}$ (हर्ट्ज़) है और इसका विमीय सूत्र $[M^0 L^0 T^{-1}]$ है।

(N/A) हार्मोनिक तरंग के लिए विस्थापन फलन को निम्नलिखित समीकरण द्वारा दिया जाता है: $s(x, t) = a \sin(kx - \omega t + \phi)$.
यहाँ,$s(x, t)$ स्थिति $x$ और समय $t$ पर माध्यम के एक तत्व का विस्थापन दर्शाता है।
$a$ तरंग का आयाम है।
$k$ कोणीय तरंग संख्या है,जिसे $k = \frac{2\pi}{\lambda}$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
$\omega$ कोणीय आवृत्ति है,जिसे $\omega = 2\pi f$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
$\phi$ प्रारंभिक कला नियतांक है।

(N/A) तरंग चाल: एकांक समय में तरंग द्वारा तय की गई दूरी को तरंग चाल कहते हैं।
इसका मात्रक $m/s$ है और इसका विमीय सूत्र $[M^0 L^1 T^{-1}]$ है।
माना $\lambda$ तरंगदैर्ध्य है (एक आवर्तकाल $T$ में तरंग द्वारा तय की गई दूरी)।
परिभाषा के अनुसार,तरंग चाल $v = \frac{\text{दूरी}}{\text{समय}} = \frac{\lambda}{T}$।
चूंकि आवृत्ति $f = \frac{1}{T}$,इसलिए $v = f \lambda$ होता है।
समीकरण को $2\pi$ से गुणा और भाग करने पर,$v = \frac{2\pi f \lambda}{2\pi}$ प्राप्त होता है।
कोणीय आवृत्ति $\omega = 2\pi f$ और तरंग संख्या $k = \frac{2\pi}{\lambda}$ के संबंधों का उपयोग करने पर:
$v = \frac{\omega}{k}$।

(N/A) तरंग समीकरण एक द्वितीय-क्रम का रैखिक आंशिक अवकल समीकरण है जो विभिन्न प्रकार की तरंगों,जैसे ध्वनि तरंगों,प्रकाश तरंगों और जल तरंगों के प्रसार का वर्णन करता है।
$x$-अक्ष के अनुदिश $v$ तरंग गति से चलने वाली एक-आयामी तरंग के लिए,तरंग समीकरण इस प्रकार है:
$\frac{\partial^2 y}{\partial x^2} = \frac{1}{v^2} \frac{\partial^2 y}{\partial t^2}$
जहाँ $y(x, t)$ स्थिति $x$ और समय $t$ पर तरंग के विस्थापन को दर्शाता है।

(N/A) परिभाषा: तरंग के संचरण के दौरान माध्यम के कणों का उनके माध्य या संतुलन स्थिति से अधिकतम विस्थापन,तरंग का आयाम कहलाता है।
मात्रक: आयाम का $SI$ मात्रक मीटर $(m)$ है।
विमीय सूत्र: चूंकि आयाम लंबाई को दर्शाता है,इसलिए इसका विमीय सूत्र $[M^0 L^1 T^0]$ है।

(N/A) तरंगदैर्ध्य को अनुप्रस्थ तरंग में दो क्रमागत श्रृंगों या दो क्रमागत गर्तों के बीच की दूरी,या अनुदैर्ध्य तरंग में दो क्रमागत संपीडनों या दो क्रमागत विरलनों के बीच की दूरी के रूप में परिभाषित किया जाता है।
यह एक पूर्ण दोलन में तरंग द्वारा तय की गई दूरी को दर्शाता है।
तरंगदैर्ध्य का $SI$ मात्रक मीटर $(m)$ है।

(N/A) कोणीय तरंग संख्या,जिसे संचरण नियतांक (propagation constant) के रूप में भी जाना जाता है,को तरंग की प्रति इकाई दूरी पर होने वाले कला (phase) परिवर्तन के रूप में परिभाषित किया जाता है।
यह प्रति इकाई लंबाई में कला परिवर्तन के रेडियन की संख्या को दर्शाता है।
गणितीय रूप से,कोणीय तरंग संख्या $k$ को इस प्रकार व्यक्त किया जाता है:
$k = \frac{2\pi}{\lambda}$
जहाँ $\lambda$ तरंग की तरंगदैर्ध्य है।
कोणीय तरंग संख्या का $SI$ मात्रक $\text{rad/m}$ या $\text{m}^{-1}$ होता है।

(N/A) तरंग के आवर्तकाल को उस समय के रूप में परिभाषित किया जाता है जो माध्यम का एक कण तरंग के गुजरने पर एक पूर्ण दोलन या कंपन पूरा करने में लेता है।
वैकल्पिक रूप से,तरंग द्वारा एक तरंगदैर्ध्य $(\lambda)$ के बराबर दूरी तय करने में लिए गए समय को आवर्तकाल कहा जाता है।
इसे $T$ प्रतीक द्वारा दर्शाया जाता है और इसका $SI$ मात्रक सेकंड $(s)$ है।

(N/A) तरंग की कोणीय आवृत्ति $(\omega)$ को समय के सापेक्ष तरंग की कला (phase) में परिवर्तन की दर के रूप में परिभाषित किया जाता है।
यह दर्शाता है कि तरंग प्रति इकाई समय में कितने रेडियन दोलन करती है।
गणितीय रूप से, इसे $\omega = 2\pi f$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $f$ तरंग की आवृत्ति है।
कोणीय आवृत्ति का $SI$ मात्रक रेडियन प्रति सेकंड $(rad/s)$ है।

(N/A) तरंग चाल को प्रति इकाई समय में तरंग द्वारा तय की गई दूरी के रूप में परिभाषित किया जाता है। यह वह गति है जिस पर तरंग विक्षोभ एक माध्यम से होकर आगे बढ़ता है। गणितीय रूप से, यह तरंग आवृत्ति $(f)$ और तरंगदैर्ध्य $(\lambda)$ के गुणनफल द्वारा दिया जाता है: $v = f \lambda$। कोणीय आवृत्ति $(\omega)$ और तरंग संख्या $(k)$ के संदर्भ में, इसे $v = \frac{\omega}{k}$ के रूप में व्यक्त किया जाता है।

(N/A) एक प्रगामी तरंग का सामान्य समीकरण $y(x, t) = A \sin(kx - \omega t + \phi)$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$k$ कोणीय तरंग संख्या है और $\omega$ कोणीय आवृत्ति है।
तरंग की कला (phase) $\Phi = kx - \omega t$ द्वारा दी जाती है।
नियत कला के लिए (तरंग पर एक विशिष्ट बिंदु की स्थिति),हमारे पास $kx - \omega t = \text{constant}$ है।
समय $t$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर,हमें $k \frac{dx}{dt} - \omega = 0$ प्राप्त होता है।
चूंकि तरंग वेग $v$ को $v = \frac{dx}{dt}$ के रूप में परिभाषित किया गया है,हम इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$kv - \omega = 0$.
अतः,संबंध $v = \frac{\omega}{k}$ है।

(N/A) तरंग चाल को प्रति इकाई समय में तरंग द्वारा तय की गई दूरी के रूप में परिभाषित किया जाता है। यह उस गति को दर्शाता है जिस पर तरंग का स्वरूप या विक्षोभ माध्यम से होकर गुजरता है।
गणितीय रूप से, यह आवृत्ति $(f)$ और तरंगदैर्घ्य $(\lambda)$ के गुणनफल द्वारा दिया जाता है: $v = f \lambda$.
तरंग चाल का $SI$ मात्रक मीटर प्रति सेकंड $(m/s)$ है।