Moment of Inertia of Compound Bodies and Theorem of Moment of Inertia Questions in Hindi

(B) वलय का उसके व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{diam} = \frac{1}{2} MR^2$ होता है,जहाँ $R$ त्रिज्या है।
चूँकि व्यास $r$ दिया गया है,इसलिए त्रिज्या $R = \frac{r}{2}$ होगी।
सूत्र में $R$ का मान रखने पर,$I_{diam} = \frac{1}{2} M(\frac{r}{2})^2 = \frac{1}{8} Mr^2$ प्राप्त होता है।
समांतर अक्ष प्रमेय के अनुसार,$I_{tangent} = I_{CM} + Md^2$,जहाँ $I_{CM} = I_{diam} = \frac{1}{8} Mr^2$ और $d = R = \frac{r}{2}$ है।
अतः,$I_{tangent} = \frac{1}{8} Mr^2 + M(\frac{r}{2})^2 = \frac{1}{8} Mr^2 + \frac{1}{4} Mr^2 = \frac{3}{8} Mr^2$।

(A) $M$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाली पूर्ण डिस्क का उसके केंद्र $O$ से गुजरने वाली और उसके तल के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_1 = \frac{1}{2} MR^2$ है।
$r = R/3$ त्रिज्या वाली हटाई गई डिस्क का द्रव्यमान $m = \frac{M}{\pi R^2} \times \pi (R/3)^2 = \frac{M}{9}$ है।
$O$ से गुजरने वाली उसी अक्ष के परितः हटाई गई डिस्क का जड़त्व आघूर्ण समांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करके ज्ञात किया जाता है: $I_2 = I_{cm} + md^2$,जहाँ $I_{cm} = \frac{1}{2} m r^2$ और $d = R - r = R - R/3 = 2R/3$ है।
$I_2 = \frac{1}{2} \left(\frac{M}{9}\right) \left(\frac{R}{3}\right)^2 + \left(\frac{M}{9}\right) \left(\frac{2R}{3}\right)^2 = \frac{MR^2}{162} + \frac{4MR^2}{81} = \frac{MR^2 + 8MR^2}{162} = \frac{9MR^2}{162} = \frac{MR^2}{18}$ है।
शेष भाग का जड़त्व आघूर्ण $I = I_1 - I_2 = \frac{1}{2} MR^2 - \frac{1}{18} MR^2 = \frac{9-1}{18} MR^2 = \frac{8}{18} MR^2 = \frac{4}{9} MR^2$ है।
इसे $\frac{4}{x} MR^2$ के साथ तुलना करने पर,हमें $x = 9$ प्राप्त होता है।

(C) मान लीजिए गोले का घनत्व $\rho$ है। $2R$ त्रिज्या वाले बड़े गोले का द्रव्यमान $M = \rho \cdot \frac{4}{3} \pi (2R)^3 = 8 \rho \cdot \frac{4}{3} \pi R^3$ है। मान लीजिए $m_0 = \rho \cdot \frac{4}{3} \pi R^3$ छोटे गोले का द्रव्यमान है। अतः $M = 8m_0$,यानी $m_0 = M/8$ है।
बड़े गोले का $Y$-अक्ष (जो उसके केंद्र से गुजरता है) के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_1 = \frac{2}{5} M (2R)^2 = \frac{8}{5} MR^2$ है।
छोटे गोले की त्रिज्या $R$ है और इसका केंद्र $x = R$ पर है। समांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करके $Y$-अक्ष के परितः इसका जड़त्व आघूर्ण $I_2 = I_{cm} + m_0 d^2 = \frac{2}{5} m_0 R^2 + m_0 R^2 = \frac{7}{5} m_0 R^2$ होगा।
$m_0 = M/8$ रखने पर,हमें $I_2 = \frac{7}{5} (M/8) R^2 = \frac{7}{40} MR^2$ प्राप्त होता है।
शेष भाग का जड़त्व आघूर्ण $I_{rem} = I_1 - I_2 = \frac{8}{5} MR^2 - \frac{7}{40} MR^2 = \frac{64 - 7}{40} MR^2 = \frac{57}{40} MR^2$ है।
छोटे गोले के जड़त्व आघूर्ण और शेष भाग के जड़त्व आघूर्ण का अनुपात $\frac{I_2}{I_{rem}} = \frac{7/40 MR^2}{57/40 MR^2} = \frac{7}{57}$ है।

(C) एक ठोस गोले का उसके व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{2}{5} mR^2$ होता है,जिसका अर्थ है कि $mR^2 = \frac{5}{2} I$ है।
निकाय के लिए,$AB$ अक्ष के परितः कुल जड़त्व आघूर्ण $I_{AB} = I_1 + I_2$ है।
पहले गोले के लिए,$AB$ अक्ष उसके केंद्र से होकर गुजरती है,इसलिए इसका जड़त्व आघूर्ण $I_1 = I$ है।
दूसरे गोले के लिए,$AB$ अक्ष उसकी स्पर्शरेखा है। समांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करते हुए,$I_2 = I_{com} + mR^2 = I + mR^2$ होगा।
$mR^2 = \frac{5}{2} I$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $I_2 = I + \frac{5}{2} I = \frac{7}{2} I$ प्राप्त होता है।
अतः,कुल जड़त्व आघूर्ण $I_{AB} = I + \frac{7}{2} I = \frac{9}{2} I$ होगा।

(A) डिस्क का प्रति इकाई क्षेत्रफल द्रव्यमान $\sigma = \frac{9M}{\pi R^2}$ है।
हटाए गए $\frac{R}{3}$ त्रिज्या वाले छोटे डिस्क का द्रव्यमान $m = \sigma \cdot \pi r^2 = \frac{9M}{\pi R^2} \cdot \pi \left(\frac{R}{3}\right)^2 = M$ है।
$O$ से गुजरने वाली अक्ष के परितः पूरी डिस्क का जड़त्व आघूर्ण $I_{total} = \frac{1}{2}(9M)R^2 = \frac{9}{2}MR^2$ है।
हटाए गए डिस्क का उसके अपने केंद्र के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{cm} = \frac{1}{2}m r^2 = \frac{1}{2}M(\frac{R}{3})^2 = \frac{1}{18}MR^2$ है।
समांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करते हुए,$O$ से गुजरने वाली अक्ष के परितः हटाए गए डिस्क का जड़त्व आघूर्ण $I_{removed} = I_{cm} + md^2$ है,जहाँ $d$ केंद्रों के बीच की दूरी है,$d = R - \frac{R}{3} = \frac{2R}{3}$।
$I_{removed} = \frac{1}{18}MR^2 + M(\frac{2R}{3})^2 = \frac{1}{18}MR^2 + \frac{4}{9}MR^2 = \frac{1+8}{18}MR^2 = \frac{9}{18}MR^2 = \frac{1}{2}MR^2$।
शेष डिस्क का जड़त्व आघूर्ण $I_{remaining} = I_{total} - I_{removed} = \frac{9}{2}MR^2 - \frac{1}{2}MR^2 = 4MR^2$ है।

(B) डिस्क के तल में स्थित स्पर्शरेखा के परितः पतली वृत्ताकार डिस्क का जड़त्व आघूर्ण $(I)$ समांतर अक्ष प्रमेय द्वारा दिया जाता है: $I = I_{cm} + MR^2 = \frac{1}{4}MR^2 + MR^2 = \frac{5}{4}MR^2$।
इससे हमें $MR^2 = \frac{4}{5}I$ प्राप्त होता है।
डिस्क के तल के लंबवत और केंद्र से गुजरने वाली अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_z = \frac{1}{2}MR^2$ होता है।
$MR^2$ का मान रखने पर,$I_z = \frac{1}{2} \times (\frac{4}{5}I) = \frac{2}{5}I$ प्राप्त होता है।

(B) मान लीजिए कि दो गोले $S_1$ और $S_2$ हैं। घूर्णन अक्ष $S_1$ के केंद्र से गुजरती है और छड़ के लंबवत है।
गोले $S_1$ के लिए,उसके अपने केंद्र के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_1 = \frac{2}{5} MR^2$ है।
गोले $S_2$ के लिए,घूर्णन अक्ष से उसके केंद्र की दूरी $d = 4R$ है।
समांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करते हुए,$I_2 = I_{cm} + Md^2 = \frac{2}{5} MR^2 + M(4R)^2 = \frac{2}{5} MR^2 + 16MR^2 = \frac{82}{5} MR^2$ है।
कुल जड़त्व आघूर्ण $I = I_1 + I_2 = \frac{2}{5} MR^2 + \frac{82}{5} MR^2 = \frac{84}{5} MR^2$ होगा।

(C) $m$ द्रव्यमान और $r$ त्रिज्या वाले एक ठोस गोले का उसके व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{cm} = \frac{2}{5} mr^2$ होता है।
गोले $1$ के लिए,अक्ष $YY^1$ उसके केंद्र (व्यास) से होकर गुजरता है। अतः,$I_1 = \frac{2}{5} mr^2$ है।
गोले $2$ और $3$ के लिए,अक्ष $YY^1$ उन्हें स्पर्श करता है। इन गोलों के केंद्र की अक्ष $YY^1$ से दूरी $r$ है। समांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करते हुए,$I = I_{cm} + md^2$,जहाँ $d = r$ है।
अतः,$I_2 = I_3 = \frac{2}{5} mr^2 + mr^2 = \frac{7}{5} mr^2$ है।
निकाय का कुल जड़त्व आघूर्ण $I_{total} = I_1 + I_2 + I_3 = \frac{2}{5} mr^2 + \frac{7}{5} mr^2 + \frac{7}{5} mr^2 = \frac{16}{5} mr^2$ होगा।

(C) ठोस गोले का उसके व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{2}{5} mR^2$ होता है।
समांतर अक्ष प्रमेय के अनुसार,स्पर्शरेखा के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{tangent} = I_{cm} + mR^2$ होता है।
यहाँ $I_{cm} = I = \frac{2}{5} mR^2$ रखने पर:
$I_{tangent} = \frac{2}{5} mR^2 + mR^2 = \frac{7}{5} mR^2$.
चूंकि $I = \frac{2}{5} mR^2$,हम लिख सकते हैं $mR^2 = \frac{5}{2} I$.
इस मान को $I_{tangent}$ के व्यंजक में रखने पर:
$I_{tangent} = \frac{7}{5} \times (\frac{5}{2} I) = \frac{7}{2} I = 3.5 I$.

(D) द्रव्यमान केंद्र से गुजरने वाली और लंबाई के लंबवत अक्ष के परितः एक पतली एकसमान छड़ का जड़त्व आघूर्ण $I_{cm} = \frac{ML^2}{12}$ होता है।
समांतर अक्ष प्रमेय के अनुसार,$I = I_{cm} + Md^2$,जहाँ $d$ द्रव्यमान केंद्र और दी गई अक्ष के बीच की दूरी है।
छड़ का द्रव्यमान केंद्र एक सिरे से $L/2$ की दूरी पर होता है।
दी गई अक्ष उसी सिरे से $L/4$ की दूरी पर है।
इसलिए,द्रव्यमान केंद्र और अक्ष के बीच की दूरी $d = |L/2 - L/4| = L/4$ है।
समांतर अक्ष प्रमेय में इन मानों को रखने पर:
$I = \frac{ML^2}{12} + M(L/4)^2$
$I = \frac{ML^2}{12} + \frac{ML^2}{16}$
$12$ और $16$ का लघुत्तम समापवर्त्य $48$ लेने पर:
$I = \frac{4ML^2 + 3ML^2}{48} = \frac{7ML^2}{48}$.

(C) $M$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाली डिस्क के लिए,उसके व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण $(I_D)$ है:
$I_D = \frac{MR^2}{4}$
$M$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाली रिंग के लिए,उसके तल में स्थित स्पर्शरेखा के परितः जड़त्व आघूर्ण $(I_T)$ समांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करके निकाला जाता है:
$I_T = I_{CM} + MR^2$
चूंकि रिंग का उसके व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{CM} = \frac{MR^2}{2}$ होता है,इसलिए:
$I_T = \frac{MR^2}{2} + MR^2 = \frac{3}{2} MR^2$
डिस्क के उसके व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण और रिंग के उसके तल में स्थित स्पर्शरेखा के परितः जड़त्व आघूर्ण का अनुपात है:
$\frac{I_D}{I_T} = \frac{\frac{MR^2}{4}}{\frac{3}{2} MR^2} = \frac{1}{4} \times \frac{2}{3} = \frac{1}{6}$
अतः,अनुपात $1: 6$ है।

(D) मान लीजिए $I$ वर्गाकार प्लेट का केंद्र '$O$' से गुजरने वाले और प्लेट के तल के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण है।
लंबवत अक्ष प्रमेय के अनुसार,प्लेट के तल में स्थित और केंद्र पर प्रतिच्छेद करने वाली किन्हीं दो परस्पर लंबवत अक्षों के लिए,उन अक्षों के परितः जड़त्व आघूर्णों का योग तल के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण के बराबर होता है।
अक्ष $1$ और $2$ (विकर्ण) के लिए,$I = I_1 + I_2$।
अक्ष $3$ और $4$ (मध्य-रेखाएं) के लिए,$I = I_3 + I_4$।
चूंकि प्लेट एक वर्ग है,समरूपता के कारण $I_1 = I_2$ और $I_3 = I_4$ होता है।
इस प्रकार,$I = 2I_1$ और $I = 2I_3$,जिसका अर्थ है कि $I_1 = I_3$।
इसलिए,लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = I_1 + I_3$ (या $I_2 + I_4$,या $I_1 + I_4$,आदि) है।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,सही व्यंजक $I_1 + I_3$ है।

(B) समांतर अक्ष प्रमेय के अनुसार,किसी भी अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = I_{CM} + Md^2$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $I_{CM}$ द्रव्यमान केंद्र से गुजरने वाली अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण है,$M$ डिस्क का द्रव्यमान है,और $d$ द्रव्यमान केंद्र से अक्ष की लंबवत दूरी है।
चूंकि डिस्क के लिए $I_{CM}$ और $M$ स्थिर हैं,इसलिए जड़त्व आघूर्ण $I$,द्रव्यमान केंद्र $(A)$ से दूरी $d$ के वर्ग के सीधे आनुपातिक है।
द्रव्यमान केंद्र $A$ से बिंदुओं $A, B, C,$ और $D$ की दूरियों की तुलना करने पर:
- बिंदु $A$ के लिए,$d = 0$ है।
- बिंदु $B$ के लिए,$d = R$ (डिस्क की त्रिज्या) है।
- बिंदु $C$ के लिए,$d < R$ है।
- बिंदु $D$ के लिए,$d < R$ है।
चूंकि बिंदु $B$ द्रव्यमान केंद्र से अधिकतम दूरी $(d = R)$ पर है,इसलिए बिंदु $B$ से गुजरने वाली अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण अधिकतम होगा।

(A) डिस्क का उसके द्रव्यमान केंद्र से गुजरने वाली और उसके तल के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{MR^2}{2}$ है।
समानांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करते हुए,$I_{axis} = I_{cm} + Mh^2$ होता है।
रिम को स्पर्श करने वाली अक्ष के लिए,केंद्र से दूरी $h = R$ है। इसलिए,जड़त्व आघूर्ण $I_1$ होगा:
$I_1 = \frac{MR^2}{2} + MR^2 = \frac{3}{2} MR^2$.
केंद्र और रिम के बीच के मध्य बिंदु से गुजरने वाली अक्ष के लिए,केंद्र से दूरी $h = R/2$ है। इसलिए,जड़त्व आघूर्ण $I_2$ होगा:
$I_2 = \frac{MR^2}{2} + M(R/2)^2 = \frac{MR^2}{2} + \frac{MR^2}{4} = \frac{3}{4} MR^2$.
दोनों जड़त्व आघूर्णों का अनुपात है:
$\frac{I_1}{I_2} = \frac{\frac{3}{2} MR^2}{\frac{3}{4} MR^2} = \frac{3}{2} \times \frac{4}{3} = \frac{2}{1}$.
अतः,अनुपात $2:1$ है।

(D) वर्ग के केंद्र $O$ से गुजरने वाली और उसके तल के लंबवत अक्ष के परितः वर्गाकार फ्रेम का जड़त्व आघूर्ण ज्ञात करने के लिए,हम प्रत्येक छड़ के लिए समांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करते हैं।
$M$ द्रव्यमान और $L$ लंबाई की एक छड़ के लिए,उसके द्रव्यमान केंद्र से गुजरने वाली और उसकी लंबाई के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{cm} = \frac{ML^2}{12}$ होता है।
वर्ग के केंद्र से प्रत्येक छड़ के केंद्र की दूरी $d = \frac{L}{2}$ है।
समांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करते हुए,वर्ग के केंद्र से गुजरने वाली अक्ष के परितः एक छड़ का जड़त्व आघूर्ण $I_{rod} = I_{cm} + Md^2 = \frac{ML^2}{12} + M(\frac{L}{2})^2 = \frac{ML^2}{12} + \frac{ML^2}{4} = \frac{ML^2 + 3ML^2}{12} = \frac{4ML^2}{12} = \frac{ML^2}{3}$ है।
चूंकि ऐसी चार छड़ें हैं,इसलिए निकाय का कुल जड़त्व आघूर्ण $I_{total} = 4 \times I_{rod} = 4 \times \frac{ML^2}{3} = \frac{4ML^2}{3}$ होगा।

(B) $M$ द्रव्यमान और $b$ भुजा वाली वर्गाकार लैमिना का उसके तल के लंबवत और केंद्र से गुजरने वाली अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{\text{lamina}} = \frac{M(b^2 + b^2)}{12} = \frac{Mb^2}{6}$ होता है।
$M$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाली डिस्क का उसके तल के लंबवत और केंद्र से गुजरने वाली अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{\text{disc}} = \frac{MR^2}{2}$ होता है।
प्रश्न के अनुसार,जड़त्व आघूर्ण समान हैं:
$\frac{Mb^2}{6} = \frac{MR^2}{2}$.
दोनों पक्षों से $M$ को हटाने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{b^2}{6} = \frac{R^2}{2}$.
अनुपात $\frac{b^2}{R^2}$ ज्ञात करने के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$\frac{b^2}{R^2} = \frac{6}{2} = 3$.
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$\frac{b}{R} = \sqrt{3} = \frac{\sqrt{3}}{1}$.

(D) एक वृत्ताकार डिस्क का उसके केंद्र से गुजरने वाली और उसके तल के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $(I)$ $I_{cm} = \frac{MR^2}{2}$ होता है।
सात डिस्क के निकाय के लिए,केंद्रीय डिस्क के केंद्र (बिंदु $O$) से गुजरने वाली और तल के लंबवत अक्ष के परितः कुल जड़त्व आघूर्ण,केंद्रीय डिस्क और छह आसपास की डिस्क के जड़त्व आघूर्ण का योग है।
$1$. केंद्रीय डिस्क के लिए: अक्ष इसके केंद्र से गुजरती है,इसलिए इसका जड़त्व आघूर्ण $I_1 = \frac{MR^2}{2}$ है।
$2$. छह आसपास की डिस्क के लिए: केंद्रीय डिस्क के केंद्र और किसी भी आसपास की डिस्क के केंद्र के बीच की दूरी $d = 2R$ है। समांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करते हुए,प्रत्येक आसपास की डिस्क का केंद्रीय अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_2 = I_{cm} + Md^2 = \frac{MR^2}{2} + M(2R)^2 = \frac{MR^2}{2} + 4MR^2 = \frac{9MR^2}{2}$ है।
चूंकि ऐसी छह आसपास की डिस्क हैं,इसलिए उनका कुल जड़त्व आघूर्ण $6 \times I_2 = 6 \times \frac{9MR^2}{2} = 27MR^2$ है।
कुल जड़त्व आघूर्ण $I = I_1 + 6I_2 = \frac{MR^2}{2} + 27MR^2 = \frac{MR^2 + 54MR^2}{2} = \frac{55MR^2}{2}$.

(B) मान लीजिए $I_0$ केंद्र $O$ से गुजरने वाली और तल के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण है,जो $I_0 = \frac{Ma^2}{6}$ है।
केंद्र $O$ से किसी भी कोने $A$ तक की दूरी $h$ वर्ग के विकर्ण की लंबाई की आधी होती है।
वर्ग का विकर्ण $\sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2}a$ है।
अतः,दूरी $h = \frac{\sqrt{2}a}{2} = \frac{a}{\sqrt{2}}$ है।
समांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करते हुए,कोने $A$ से गुजरने वाली और केंद्र से गुजरने वाली अक्ष के समांतर अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_A$ इस प्रकार है:
$I_A = I_0 + Mh^2$
$I_A = \frac{Ma^2}{6} + M\left(\frac{a}{\sqrt{2}}\right)^2$
$I_A = \frac{Ma^2}{6} + \frac{Ma^2}{2}$
$I_A = \frac{Ma^2 + 3Ma^2}{6} = \frac{4Ma^2}{6} = \frac{2}{3}Ma^2$.

(D) मान लीजिए कि अक्ष गोले $1$ के केंद्र से गुजरती है। दो गोलों के केंद्रों के बीच की दूरी $2R$ है।
गोले $1$ के लिए समांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करते हुए,इसके अपने केंद्र के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{c1} = \frac{2}{5} M (\frac{R}{2})^2 = \frac{1}{10} MR^2$ है।
गोले $2$ के लिए,अक्ष इसके केंद्र से $d = 2R$ की दूरी पर है। समांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करते हुए,$I_2 = I_{c2} + Md^2 = \frac{2}{5} M (\frac{R}{2})^2 + M(2R)^2 = \frac{1}{10} MR^2 + 4MR^2 = \frac{41}{10} MR^2$ प्राप्त होता है।
छड़ द्रव्यमानहीन है,इसलिए इसका जड़त्व आघूर्ण $0$ है।
कुल जड़त्व आघूर्ण $I = I_{c1} + I_2 = \frac{1}{10} MR^2 + \frac{41}{10} MR^2 = \frac{42}{10} MR^2 = \frac{21}{5} MR^2$ होगा।

(A) डिस्क के शेष भाग का जड़त्व आघूर्ण $(I_r)$ अध्यारोपण के सिद्धांत द्वारा दिया जाता है:
$I_r = I_{\text{disc}} - I_{\text{hole}}$
जहाँ $I_{\text{disc}}$ केंद्रीय अक्ष के परितः मूल डिस्क का जड़त्व आघूर्ण है,और $I_{\text{hole}}$ उसी अक्ष के परितः हटाए गए वृत्ताकार भाग का जड़त्व आघूर्ण है।
$1$. मूल डिस्क का जड़त्व आघूर्ण:
$I_{\text{disc}} = \frac{1}{2} MR^2$
$2$. हटाए गए छेद के गुण:
छेद की त्रिज्या $r = \frac{R}{2}$.
चूंकि पृष्ठीय द्रव्यमान घनत्व $\sigma = \frac{M}{\pi R^2}$ समान है,छेद का द्रव्यमान $M_h$ होगा:
$M_h = \sigma \cdot \pi r^2 = \left(\frac{M}{\pi R^2}\right) \cdot \pi \left(\frac{R}{2}\right)^2 = \frac{M}{4}$.
$3$. मूल डिस्क की केंद्रीय अक्ष के परितः छेद का जड़त्व आघूर्ण:
समांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करते हुए,$I_{\text{hole}} = I_{\text{cm}} + M_h d^2$,जहाँ $I_{\text{cm}} = \frac{1}{2} M_h r^2$ और $d = \frac{R}{2}$ छेद के केंद्र और मूल डिस्क के केंद्र के बीच की दूरी है।
$I_{\text{hole}} = \frac{1}{2} \left(\frac{M}{4}\right) \left(\frac{R}{2}\right)^2 + \left(\frac{M}{4}\right) \left(\frac{R}{2}\right)^2$
$I_{\text{hole}} = \frac{MR^2}{32} + \frac{MR^2}{16} = \frac{MR^2 + 2MR^2}{32} = \frac{3MR^2}{32}$.
$4$. शेष भाग का जड़त्व आघूर्ण:
$I_r = \frac{1}{2} MR^2 - \frac{3MR^2}{32} = \frac{16MR^2 - 3MR^2}{32} = \frac{13MR^2}{32}$.

(D) समानांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करते हुए,$I_2 = I_{CM} + Mh^2$ है।
एक वृत्ताकार डिस्क के लिए,उसके केंद्र से गुजरने वाली और तल के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_1 = I_{CM} = \frac{1}{2}MR^2$ होता है।
समानांतर अक्षों के बीच की दूरी $h = \frac{2R}{3}$ है।
इन मानों को समानांतर अक्ष प्रमेय में रखने पर:
$I_2 = \frac{1}{2}MR^2 + M\left(\frac{2R}{3}\right)^2$
$I_2 = \frac{1}{2}MR^2 + M\left(\frac{4R^2}{9}\right)$
$I_2 = MR^2 \left(\frac{1}{2} + \frac{4}{9}\right) = MR^2 \left(\frac{9 + 8}{18}\right) = \frac{17}{18}MR^2$ है।
अब,अनुपात $\frac{I_2}{I_1}$ ज्ञात करते हैं:
$\frac{I_2}{I_1} = \frac{\frac{17}{18}MR^2}{\frac{1}{2}MR^2} = \frac{17}{18} \times 2 = \frac{17}{9}$ है।
इसे दिए गए अनुपात $\frac{x}{9}$ के साथ तुलना करने पर,हमें $x = 17$ प्राप्त होता है।

(A) तार का कुल द्रव्यमान $M = \lambda L$ है। चूंकि तार को $R$ त्रिज्या की वृत्ताकार कुंडली में मोड़ा गया है,इसलिए परिधि $2 \pi R = L$ है,अतः $R = \frac{L}{2 \pi}$।
एक वृत्ताकार वलय (ring) का उसके व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{diam} = \frac{1}{2} M R^2$ होता है।
समांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करते हुए,कुंडली के तल में स्थित स्पर्शरेखीय अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = I_{diam} + M R^2$ होगा।
$I = \frac{1}{2} M R^2 + M R^2 = \frac{3}{2} M R^2$।
$M = \lambda L$ और $R = \frac{L}{2 \pi}$ का मान रखने पर:
$I = \frac{3}{2} (\lambda L) \left( \frac{L}{2 \pi} \right)^2 = \frac{3}{2} \lambda L \left( \frac{L^2}{4 \pi^2} \right) = \frac{3 \lambda L^3}{8 \pi^2}$।

(B) एक ठोस गोले का उसके अपने केंद्रीय अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{cm} = \frac{2}{5} MR^2$ होता है। समानांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करते हुए,$I = I_{cm} + Md^2$,जहाँ $d$ घूर्णन अक्ष से दूरी है।
गोले $A$ के केंद्र से गुजरने वाली अक्ष के लिए:
$I_A = I_A' + I_B' + I_C' + I_D'$
$I_A = \frac{2}{5} MR^2 + (\frac{2}{5} MR^2 + M(2R)^2) + (\frac{2}{5} MR^2 + M(4R)^2) + (\frac{2}{5} MR^2 + M(6R)^2)$
$I_A = \frac{8}{5} MR^2 + M(4R^2 + 16R^2 + 36R^2) = 1.6 MR^2 + 56 MR^2 = 57.6 MR^2$.
गोले $B$ के केंद्र से गुजरने वाली अक्ष के लिए:
$I_B = I_A' + I_B' + I_C' + I_D'$
$I_B = (\frac{2}{5} MR^2 + M(2R)^2) + \frac{2}{5} MR^2 + (\frac{2}{5} MR^2 + M(2R)^2) + (\frac{2}{5} MR^2 + M(4R)^2)$
$I_B = \frac{8}{5} MR^2 + M(4R^2 + 4R^2 + 16R^2) = 1.6 MR^2 + 24 MR^2 = 25.6 MR^2$.
अंतर $|I_A - I_B| = 57.6 MR^2 - 25.6 MR^2 = 32 MR^2$ है।

(A) वलय का उसके तल के लंबवत और केंद्र से गुजरने वाली अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{cm} = MR^2 = 4 \,kg \,m^2$ है।
लंबवत अक्ष प्रमेय के अनुसार, उसके तल में स्थित व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_d = \frac{1}{2} MR^2 = \frac{1}{2} \times 4 = 2 \,kg \,m^2$ होगा।
समांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करते हुए, तल में स्थित स्पर्श रेखा के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_t = I_d + MR^2$ होगा।
मान रखने पर: $I_t = 2 \,kg \,m^2 + 4 \,kg \,m^2 = 6 \,kg \,m^2$।

(D) ठोस गोले का उसके द्रव्यमान केंद्र से गुजरने वाली अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{cm} = \frac{2}{5} MR^2$ होता है।
समांतर अक्ष प्रमेय के अनुसार,केंद्र से $d$ दूरी पर स्थित अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = I_{cm} + Md^2$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$d = \frac{R}{2}$ है।
मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है $I = \frac{2}{5} MR^2 + M\left(\frac{R}{2}\right)^2$.
$I = \frac{2}{5} MR^2 + M\left(\frac{R^2}{4}\right)$.
$I = \left(\frac{2}{5} + \frac{1}{4}\right) MR^2$.
$I = \left(\frac{8 + 5}{20}\right) MR^2 = \frac{13}{20} MR^2$.

(D) $m$ द्रव्यमान और $r$ त्रिज्या वाली डिस्क का उसके केंद्र से गुजरने वाली और उसके तल के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{cm} = \frac{1}{2} m r^2$ होता है।
डिस्क $A$ के लिए,अक्ष उसके केंद्र से गुजरती है,इसलिए इसका जड़त्व आघूर्ण $I_A = \frac{1}{2} m r^2$ है।
डिस्क $B$ के लिए,अक्ष उसके केंद्र से $d = 2r$ की दूरी पर है। समांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करते हुए,$I_B = I_{cm} + m d^2 = \frac{1}{2} m r^2 + m(2r)^2 = \frac{1}{2} m r^2 + 4 m r^2 = \frac{9}{2} m r^2$ है।
निकाय का कुल जड़त्व आघूर्ण $I_{total} = I_A + I_B = \frac{1}{2} m r^2 + \frac{9}{2} m r^2 = \frac{10}{2} m r^2 = 5 m r^2$ है।

(D) अवधारणा: समानांतर अक्ष प्रमेय का अनुप्रयोग।
एक ठोस गोले के लिए उसके केंद्र से गुजरने वाली अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण है:
$I_{\text{cm}} = \frac{2}{5} MR^2$
समानांतर अक्ष प्रमेय के अनुसार,द्रव्यमान केंद्र से गुजरने वाली अक्ष के समानांतर और $d$ दूरी पर स्थित अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I$ इस प्रकार दिया जाता है:
$I = I_{\text{cm}} + Md^2$
यहाँ,दूरी $d = \frac{R}{2}$ है।
मान रखने पर:
$I = \frac{2}{5} MR^2 + M\left(\frac{R}{2}\right)^2$
$I = \frac{2}{5} MR^2 + \frac{1}{4} MR^2$
$I = \left(\frac{8 + 5}{20}\right) MR^2$
$I = \frac{13}{20} MR^2$

(A) डिस्क का उसके द्रव्यमान केंद्र से गुजरने वाली और उसके तल के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{cm} = \frac{1}{2} MR^2$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $M = 1 \,kg$ और $R = 2 \,m$ दिया गया है,इसलिए $I_{cm} = \frac{1}{2} \times 1 \times (2)^2 = 2 \,kg \cdot m^2$।
समांतर अक्ष प्रमेय के अनुसार,$XY$ अक्ष के समानांतर और डिस्क के किनारे से गुजरने वाली अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I' = I_{cm} + Md^2$ है,जहाँ $d = R$ दोनों अक्षों के बीच की दूरी है।
मान रखने पर,$I' = 2 + (1 \times 2^2) = 2 + 4 = 6 \,kg \cdot m^2$।

(B) $YY'$ अक्ष ऊपरी छल्ले के केंद्र से होकर गुजरती है और यह उस छल्ले का व्यास है। ऊपरी छल्ले का उसके व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_1 = \frac{1}{2} MR^2$ है।
निचले दो छल्लों के लिए,$YY'$ अक्ष उनके अपने तल में एक स्पर्शरेखा (tangent) है। समांतर अक्ष प्रमेय के अनुसार,छल्ले के तल में स्थित स्पर्शरेखा के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{tangent} = I_{cm} + MR^2 = \frac{1}{2} MR^2 + MR^2 = \frac{3}{2} MR^2$ होता है।
चूंकि ऐसे दो निचले छल्ले हैं,इसलिए उनका कुल जड़त्व आघूर्ण $I_2 + I_3 = \frac{3}{2} MR^2 + \frac{3}{2} MR^2 = 3 MR^2$ होगा।
अतः,$YY'$ अक्ष के परितः निकाय का कुल जड़त्व आघूर्ण $I = I_1 + I_2 + I_3 = \frac{1}{2} MR^2 + \frac{3}{2} MR^2 + \frac{3}{2} MR^2 = \frac{7}{2} MR^2$ है।

(A) ऊपरी गोले का उसके केंद्र से गुजरने वाली $YY'$ अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_1 = \frac{2}{5} MR^2$ है।
नीचे के दो गोलों में से प्रत्येक के लिए,$YY'$ अक्ष उनके केंद्रों से $R$ दूरी पर है। समांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करते हुए,प्रत्येक निचले गोले के लिए जड़त्व आघूर्ण $I_2 = I_{cm} + MR^2 = \frac{2}{5} MR^2 + MR^2 = \frac{7}{5} MR^2$ है।
अतः,निकाय का कुल जड़त्व आघूर्ण $I = I_1 + 2 \times I_2 = \frac{2}{5} MR^2 + 2 \times \frac{7}{5} MR^2 = \frac{2}{5} MR^2 + \frac{14}{5} MR^2 = \frac{16}{5} MR^2$ होगा।

(B) $M$ द्रव्यमान और $L$ लंबाई वाली एक पतली एकसमान छड़ का उसके द्रव्यमान केंद्र से गुजरने वाली और लंबाई के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{cm} = ML^2/12$ होता है।
समांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करते हुए,$I = I_{cm} + Md^2$,जहाँ $d$ द्रव्यमान केंद्र और नई अक्ष के बीच की दूरी है।
द्रव्यमान केंद्र एक सिरे से $L/2$ दूरी पर है। नई अक्ष उसी सिरे से $L/4$ दूरी पर है।
इसलिए,दूरी $d = |L/2 - L/4| = L/4$ है।
इन मानों को समांतर अक्ष प्रमेय में रखने पर:
$I = ML^2/12 + M(L/4)^2$
$I = ML^2/12 + ML^2/16$
$12$ और $16$ का लघुत्तम समापवर्त्य $48$ लेने पर:
$I = (4ML^2 + 3ML^2) / 48 = 7ML^2/48$.

(A) मूल डिस्क का द्रव्यमान $M_{total} = 9M$ है और इसकी त्रिज्या $R$ है। इसके केंद्र से गुजरने वाली और इसके तल के लंबवत अक्ष के परितः पूर्ण डिस्क का जड़त्व आघूर्ण $I_{1} = \frac{1}{2} M_{total} R^{2} = \frac{1}{2} (9M) R^{2} = \frac{9 MR^{2}}{2}$ है।
चूंकि द्रव्यमान क्षेत्रफल के समानुपाती होता है,इसलिए हटाई गई डिस्क का द्रव्यमान $m = M_{total} \times \frac{\pi (R/3)^{2}}{\pi R^{2}} = 9M \times \frac{1}{9} = M$ है।
समांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करके उसी अक्ष के परितः हटाई गई डिस्क का जड़त्व आघूर्ण $I^{\prime} = I_{cm} + m d^{2}$ है,जहाँ $I_{cm} = \frac{1}{2} m (R/3)^{2}$ और $d = \frac{2R}{3}$ है।
$I^{\prime} = \frac{1}{2} M (R/3)^{2} + M (2R/3)^{2} = \frac{MR^{2}}{18} + \frac{4MR^{2}}{9} = \frac{MR^{2} + 8MR^{2}}{18} = \frac{9MR^{2}}{18} = \frac{MR^{2}}{2}$।
शेष डिस्क का जड़त्व आघूर्ण $I_{remaining} = I_{1} - I^{\prime} = \frac{9 MR^{2}}{2} - \frac{MR^{2}}{2} = \frac{8 MR^{2}}{2} = 4 MR^{2}$ है।

(C) एक सिरे से $\frac{L}{3}$ की दूरी पर स्थित बिंदु से गुजरने वाली अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण ज्ञात करने के लिए,हम समांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करते हैं: $I = I_{cm} + Mh^2$.
यहाँ,$I_{cm}$ द्रव्यमान केंद्र से गुजरने वाली अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण है,जो $\frac{ML^2}{12}$ है।
द्रव्यमान केंद्र (सिरे से $\frac{L}{2}$ की दूरी पर) और दी गई अक्ष (सिरे से $\frac{L}{3}$ की दूरी पर) के बीच की दूरी $h = |\frac{L}{2} - \frac{L}{3}| = \frac{L}{6}$ है।
इन मानों को प्रमेय में रखने पर:
$I = \frac{ML^2}{12} + M(\frac{L}{6})^2$
$I = \frac{ML^2}{12} + \frac{ML^2}{36}$
$I = \frac{3ML^2 + ML^2}{36} = \frac{4ML^2}{36} = \frac{ML^2}{9}$.

(D) दिया गया है कि केंद्र $O$ के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{o} = \frac{Ma^{2}}{6}$ है।
एक कोने (मान लीजिए $A$) से गुजरने वाली अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण ज्ञात करने के लिए,हम समांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करते हैं: $I_{A} = I_{o} + Mh^{2}$,जहाँ $h$ केंद्र और कोने के बीच की दूरी है।
वर्ग का विकर्ण $d = \sqrt{a^{2} + a^{2}} = a\sqrt{2}$ है।
केंद्र से कोने तक की दूरी $h$ विकर्ण की आधी है: $h = \frac{a\sqrt{2}}{2} = \frac{a}{\sqrt{2}}$।
प्रमेय में मान रखने पर:
$I_{A} = \frac{Ma^{2}}{6} + M\left(\frac{a}{\sqrt{2}}\right)^{2}$
$I_{A} = \frac{Ma^{2}}{6} + \frac{Ma^{2}}{2}$
$I_{A} = \frac{Ma^{2} + 3Ma^{2}}{6} = \frac{4Ma^{2}}{6} = \frac{2Ma^{2}}{3}$।

(A) तार का कुल द्रव्यमान $m = Q \cdot L$ है।
चूंकि तार को $R$ त्रिज्या की वृत्ताकार कुंडली में मोड़ा गया है,इसलिए परिधि $2 \pi R = L$ है,जिससे $R = L / (2 \pi)$ प्राप्त होता है।
एक वृत्ताकार वलय का उसके व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{diam} = (1/2) m R^2$ होता है।
समांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करते हुए,स्पर्शरेखा अक्ष $XX'$ के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{XX'} = I_{cm} + m R^2$ है,जहाँ $I_{cm}$ केंद्र से गुजरने वाले व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण है।
$I_{XX'} = (1/2) m R^2 + m R^2 = (3/2) m R^2$.
$m = Q L$ और $R = L / (2 \pi)$ का मान सूत्र में रखने पर:
$I_{XX'} = (3/2) \cdot (Q L) \cdot (L / (2 \pi))^2$
$I_{XX'} = (3/2) \cdot Q L \cdot (L^2 / (4 \pi^2))$
$I_{XX'} = 3 Q L^3 / (8 \pi^2)$.

(B) $L$ लंबाई और $M$ द्रव्यमान वाली एक पतली एकसमान छड़ की उसके द्रव्यमान केंद्र $(CM)$ से गुजरने वाली और छड़ के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{CM} = \frac{M L^2}{12}$ है।
द्रव्यमान केंद्र से दिए गए अक्ष की दूरी $x = \frac{L}{2} - \frac{L}{3} = \frac{L}{6}$ है।
समांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करते हुए,$I = I_{CM} + M x^2$ है।
मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है $I = \frac{M L^2}{12} + M \left( \frac{L}{6} \right)^2$.
$I = \frac{M L^2}{12} + \frac{M L^2}{36}$.
लघुत्तम समापवर्त्य लेने पर,$I = \frac{3 M L^2 + M L^2}{36} = \frac{4 M L^2}{36} = \frac{M L^2}{9}$.

(A) $M$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाली डिस्क का उसके व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{1}{4} M R^2$ होता है।
इससे हमें $M R^2 = 4 I$ प्राप्त होता है।
डिस्क के तल के लंबवत और उसकी परिधि से गुजरने वाली अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण ज्ञात करने के लिए,हम समांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करते हैं।
सबसे पहले,तल के लंबवत और केंद्र से गुजरने वाली अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{cm} = \frac{1}{2} M R^2$ होता है।
समांतर अक्ष प्रमेय के अनुसार,$I_{rim} = I_{cm} + M R^2$ होता है।
$I_{cm} = \frac{1}{2} M R^2$ रखने पर,$I_{rim} = \frac{1}{2} M R^2 + M R^2 = \frac{3}{2} M R^2$ प्राप्त होता है।
अब,$M R^2 = 4 I$ का मान रखने पर,$I_{rim} = \frac{3}{2} (4 I) = 6 I$ प्राप्त होता है।

(A) माना $\sigma$ डिस्क का पृष्ठीय द्रव्यमान घनत्व है। $R$ त्रिज्या वाली मूल डिस्क का द्रव्यमान $M_1 = \sigma \pi R^2$ है। $r$ त्रिज्या वाले कटे हुए भाग का द्रव्यमान $M_2 = \sigma \pi r^2$ है। वलयाकार डिस्क का द्रव्यमान $M = M_1 - M_2 = \sigma \pi (R^2 - r^2)$ है,इसलिए $\sigma = \frac{M}{\pi(R^2 - r^2)}$ है।
मूल डिस्क का जड़त्व आघूर्ण $I_1 = \frac{1}{2} M_1 R^2 = \frac{1}{2} (\sigma \pi R^2) R^2 = \frac{1}{2} \sigma \pi R^4$ है।
कटे हुए भाग का जड़त्व आघूर्ण $I_2 = \frac{1}{2} M_2 r^2 = \frac{1}{2} (\sigma \pi r^2) r^2 = \frac{1}{2} \sigma \pi r^4$ है।
वलयाकार डिस्क का जड़त्व आघूर्ण $I = I_1 - I_2 = \frac{1}{2} \sigma \pi (R^4 - r^4)$ है।
$\sigma = \frac{M}{\pi(R^2 - r^2)}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है $I = \frac{1}{2} \left( \frac{M}{\pi(R^2 - r^2)} \right) \pi (R^4 - r^4) = \frac{1}{2} M \frac{(R^2 - r^2)(R^2 + r^2)}{(R^2 - r^2)} = \frac{1}{2} M(R^2 + r^2)$।

(D) केंद्र और सिरे के बीच के मध्य बिंदु से गुजरने वाली अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण ज्ञात करने के लिए,हम समांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करते हैं: $I = I_{CM} + M d^2$।
यहाँ,$I_{CM} = \frac{M L^2}{12}$ द्रव्यमान केंद्र के परितः जड़त्व आघूर्ण है।
द्रव्यमान केंद्र और नई अक्ष के बीच की दूरी $d = \frac{L}{4}$ है।
इन मानों को प्रमेय में रखने पर:
$I = \frac{M L^2}{12} + M \left( \frac{L}{4} \right)^2$
$I = \frac{M L^2}{12} + \frac{M L^2}{16}$
$12$ और $16$ का लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ $48$ लेने पर:
$I = \frac{4 M L^2 + 3 M L^2}{48} = \frac{7 M L^2}{48}$।

(C) एक समान वृत्ताकार डिस्क के द्रव्यमान केंद्र से गुजरने वाली और उसके तल के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{CM} = \frac{1}{2} M R^{2}$ होता है।
समांतर अक्ष प्रमेय के अनुसार,केंद्रीय अक्ष के समानांतर $d = R$ दूरी पर स्थित अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = I_{CM} + M d^{2}$ होता है।
सूत्र में $d = R$ का मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = \frac{1}{2} M R^{2} + M R^{2} = \frac{3}{2} M R^{2}$.

(A) इस निकाय में एक केंद्रीय डिस्क और छह बाहरी डिस्क हैं। हमें केंद्रीय डिस्क के केंद्र से गुजरने वाली और तल के लंबवत अक्ष के परितः छह बाहरी डिस्क का जड़त्व आघूर्ण ज्ञात करना है।
प्रत्येक बाहरी डिस्क के लिए,इसके केंद्र की केंद्रीय अक्ष से दूरी $d = 2R$ है।
अपनी स्वयं की केंद्रीय अक्ष (तल के लंबवत) के परितः एक डिस्क का जड़त्व आघूर्ण $I_{cm} = \frac{1}{2} m R^2$ होता है।
समांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करते हुए,केंद्रीय अक्ष के परितः एक बाहरी डिस्क का जड़त्व आघूर्ण है:
$I_{outer} = I_{cm} + m d^2 = \frac{1}{2} m R^2 + m(2R)^2 = \frac{1}{2} m R^2 + 4 m R^2 = \frac{9}{2} m R^2$.
चूंकि ऐसी छह बाहरी डिस्क हैं,इसलिए कुल जड़त्व आघूर्ण है:
$I_{total} = 6 \times I_{outer} = 6 \times \frac{9}{2} m R^2 = 27 m R^2$.

(B) लंबवत अक्ष प्रमेय के अनुसार, एक समतलीय पिंड (लैमिना) के लिए, तल के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $(I_Z)$, तल में स्थित और एक ही बिंदु पर प्रतिच्छेद करने वाली दो परस्पर लंबवत अक्षों के परितः जड़त्व आघूर्णों ($I_X$ और $I_Y$) के योग के बराबर होता है।
दिया गया है:
$I_X = 20 \text{ kg m}^2$
$I_Y = 25 \text{ kg m}^2$
प्रमेय का उपयोग करने पर: $I_Z = I_X + I_Y$
$I_Z = 20 \text{ kg m}^2 + 25 \text{ kg m}^2 = 45 \text{ kg m}^2$
अतः, तल के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $45 \text{ kg m}^2$ है।

(D) समानांतर अक्ष प्रमेय के अनुसार,द्रव्यमान केंद्र से गुजरने वाली अक्ष के समानांतर अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I$ इस प्रकार दिया जाता है:
$I = I_{cm} + Md^{2}$
यहाँ,$I_{cm} = 2 \,kg \,m^{2}$ द्रव्यमान केंद्र से गुजरने वाली अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण है।
$M = 1 \,kg$ डिस्क का द्रव्यमान है।
$d = R = 2 \,m$ दो समानांतर अक्षों के बीच की दूरी है (जो डिस्क की त्रिज्या के बराबर है)।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$I = 2 + (1)(2)^{2}$
$I = 2 + (1)(4)$
$I = 2 + 4 = 6 \,kg \,m^{2}$
अतः,डिस्क के किनारे से गुजरने वाली अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $6 \,kg \,m^{2}$ है।

(D) निकाय का जड़त्व आघूर्ण दी गई अक्ष के परितः दोनों डिस्क के जड़त्व आघूर्ण का योग है।
मान लीजिए $I_B$ डिस्क $B$ का उसके तल के लंबवत और उसके केंद्र से गुजरने वाली अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण है। $I_B = \frac{1}{2} Mr^2$ है।
मान लीजिए $I_A$ डिस्क $A$ का उसी अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण है। चूंकि यह अक्ष डिस्क $A$ के केंद्र से गुजरने वाली अक्ष के समानांतर है और उनके बीच की दूरी $d = 2r$ है,इसलिए हम समानांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करेंगे: $I_A = I_{cm} + Md^2$।
यहाँ,$I_{cm} = \frac{1}{2} Mr^2$ और $d = 2r$ है।
अतः,$I_A = \frac{1}{2} Mr^2 + M(2r)^2 = \frac{1}{2} Mr^2 + 4Mr^2 = 4.5 Mr^2$ है।
कुल जड़त्व आघूर्ण $I = I_B + I_A = 0.5 Mr^2 + 4.5 Mr^2 = 5 Mr^2$ होगा।

(C) मान लीजिए $M$ द्रव्यमान,$R$ त्रिज्या और $L$ लंबाई का एक समान ठोस बेलन है।
बेलन का उसके केंद्रीय अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_1 = \frac{1}{2}MR^2$ है।
बेलन का उसके केंद्र से गुजरने वाले और उसकी लंबाई के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_2 = \frac{MR^2}{4} + \frac{ML^2}{12}$ है।
प्रश्न के अनुसार,$I_1 = \frac{1}{n} I_2$,जिसका अर्थ है $n I_1 = I_2$.
व्यंजक रखने पर: $n \left( \frac{1}{2} MR^2 \right) = \frac{MR^2}{4} + \frac{ML^2}{12}$.
$M$ से विभाजित करने पर: $\frac{nR^2}{2} = \frac{R^2}{4} + \frac{L^2}{12}$.
$12$ से गुणा करने पर: $6nR^2 = 3R^2 + L^2$.
$L^2$ के लिए व्यवस्थित करने पर: $L^2 = 6nR^2 - 3R^2 = 3R^2(2n - 1)$.
अतः,$\frac{L^2}{R^2} = 3(2n - 1)$,जिससे $\frac{L}{R} = \sqrt{3(2n - 1)}$ प्राप्त होता है।

(A) माना कि पतली वृत्ताकार वलय का द्रव्यमान $M$ और त्रिज्या $R$ है।
वलय के केंद्र से गुजरने वाली और उसके तल के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{cm} = MR^2$ होता है।
समांतर अक्ष प्रमेय के अनुसार,उसके किनारे से गुजरने वाली और उसके तल के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = I_{cm} + MR^2 = MR^2 + MR^2 = 2MR^2$ होता है।
दिया गया है कि यह मान $I$ है,इसलिए $2MR^2 = I$,जिसका अर्थ है कि $MR^2 = \frac{I}{2}$।
वलय का उसके व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{diameter} = \frac{1}{2}MR^2$ होता है।
$MR^2$ का मान रखने पर,हमें $I_{diameter} = \frac{1}{2} \times \frac{I}{2} = \frac{I}{4}$ प्राप्त होता है।

(C) ठोस गोले का उसके केंद्र से गुजरने वाली अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{cm, sphere} = \frac{2}{5} MR^2$ होता है। समांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करते हुए,संपर्क बिंदु के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_1 = I_{cm, sphere} + MR^2 = \frac{2}{5} MR^2 + MR^2 = \frac{7}{5} MR^2$ है।
डिस्क का उसके केंद्र से गुजरने वाली और उसके तल के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{cm, disc} = \frac{1}{2} MR^2$ होता है। समांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करते हुए,संपर्क बिंदु के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_2 = I_{cm, disc} + MR^2 = \frac{1}{2} MR^2 + MR^2 = \frac{3}{2} MR^2$ है।
संपर्क बिंदु से गुजरने वाली अक्ष के परितः प्रणाली का कुल जड़त्व आघूर्ण $I = I_1 + I_2 = \left(\frac{7}{5} + \frac{3}{2}\right) MR^2 = \left(\frac{14 + 15}{10}\right) MR^2 = \frac{29 MR^2}{10}$ है।