Moment of Inertia of Compound Bodies and Theorem of Moment of Inertia Questions in Hindi

(A) दिया गया है: द्रव्यमान $M = 1 \, kg$, लंबाई $L = 5 \, m$.
एक पतली छड़ का उसके द्रव्यमान केंद्र से गुजरने वाले और उसकी लंबाई के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{CM} = \frac{ML^2}{12}$ होता है।
$I_{CM} = \frac{1 \times 5^2}{12} = \frac{25}{12} \approx 2.083 \, kg \cdot m^2$.
घूर्णन अक्ष एक सिरे से $x = 1 \, m$ की दूरी पर है। द्रव्यमान केंद्र मध्य बिंदु पर होता है, जो दोनों सिरों से $L/2 = 2.5 \, m$ की दूरी पर है।
द्रव्यमान केंद्र और नए अक्ष के बीच की दूरी $d = |2.5 \, m - 1 \, m| = 1.5 \, m$ है।
समांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करते हुए, $I = I_{CM} + Md^2$.
$I = 2.083 + (1 \times 1.5^2) = 2.083 + 2.25 = 4.333 \, kg \cdot m^2$.
अतः, जड़त्व आघूर्ण $4.33 \, kg \cdot m^2$ है।

(C) दिया गया है,ठोस बेलन का द्रव्यमान,$M = 10 \,kg$.
त्रिज्या,$R = 40 \,cm = 0.4 \,m$.
लंबाई,$L = 9R = 9 \times 0.4 = 3.6 \,m$.
ठोस बेलन का उसके द्रव्यमान केंद्र से गुजरने वाली और उसकी अक्ष के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण इस प्रकार है:
$I_{COM} = M \left( \frac{L^2}{12} + \frac{R^2}{4} \right)$
मान रखने पर:
$I_{COM} = 10 \left( \frac{(3.6)^2}{12} + \frac{(0.4)^2}{4} \right)$
$I_{COM} = 10 \left( \frac{12.96}{12} + \frac{0.16}{4} \right)$
$I_{COM} = 10 (1.08 + 0.04) = 10 \times 1.12 = 11.2 \,kg-m^2$.
समांतर अक्ष प्रमेय के अनुसार,बेलन के किनारे से गुजरने वाली और उसकी अक्ष के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I'$ है:
$I' = I_{COM} + M \left( \frac{L}{2} \right)^2$
$I' = 11.2 + 10 \left( \frac{3.6}{2} \right)^2$
$I' = 11.2 + 10 (1.8)^2$
$I' = 11.2 + 10 (3.24) = 11.2 + 32.4 = 43.6 \,kg-m^2$.

(B) $M$ द्रव्यमान,$L$ लंबाई और $R$ त्रिज्या वाले एक ठोस बेलन का उसके द्रव्यमान केंद्र से गुजरने वाली और उसकी अनुदैर्ध्य अक्ष के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{CM} = M(\frac{L^2}{12} + \frac{R^2}{4})$ होता है।
यहाँ $L = 2R$ दिया गया है,इसलिए सूत्र में मान रखने पर:
$I_1 = M(\frac{(2R)^2}{12} + \frac{R^2}{4}) = M(\frac{4R^2}{12} + \frac{R^2}{4}) = M(\frac{R^2}{3} + \frac{R^2}{4}) = M(\frac{7R^2}{12})$.
एक सिरे से गुजरने वाली और अनुदैर्ध्य अक्ष के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण समांतर अक्ष प्रमेय द्वारा दिया जाता है: $I = I_{CM} + M d^2$,जहाँ $d = \frac{L}{2} = R$.
$I_2 = I_1 + M R^2 = M(\frac{7R^2}{12}) + M R^2 = M(\frac{7R^2 + 12R^2}{12}) = M(\frac{19R^2}{12})$.
अतः,$I_2 - I_1 = M R^2$.

(D) तार की लंबाई $l$ है। मान लीजिए कि वृत्ताकार लूप की त्रिज्या $R$ है। तब,$2 \pi R = l$,जिससे हमें $R = \frac{l}{2 \pi}$ प्राप्त होता है।
तार का द्रव्यमान $m = \rho l$ है।
वृत्ताकार लूप का उसके व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{diam} = \frac{1}{2} m R^2$ होता है।
समांतर अक्ष प्रमेय के अनुसार,स्पर्श रेखा $AB$ के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = I_{cm} + m R^2$ है,जहाँ $I_{cm} = I_{diam} = \frac{1}{2} m R^2$ है।
अतः,$I = \frac{1}{2} m R^2 + m R^2 = \frac{3}{2} m R^2$।
$m = \rho l$ और $R = \frac{l}{2 \pi}$ रखने पर:
$I = \frac{3}{2} (\rho l) \left( \frac{l}{2 \pi} \right)^2 = \frac{3}{2} \rho l \left( \frac{l^2}{4 \pi^2} \right) = \frac{3 \rho l^3}{8 \pi^2}$।

(D) $1$. डिस्क का उसके व्यास $(I_d)$ के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_d = \frac{1}{4} M R^2$ होता है।
$2$. समानांतर अक्ष प्रमेय के अनुसार,व्यास के समानांतर किसी भी अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = I_{cm} + M h^2$ होता है,जहाँ $h$ अक्षों के बीच की दूरी है।
$3$. व्यास के समानांतर स्पर्शरेखा के लिए,दूरी $h = R$ है।
$4$. इसलिए,$I = \frac{1}{4} M R^2 + M R^2 = \frac{5}{4} M R^2$।

(D) एक वृत्ताकार डिस्क का उसके केंद्र से गुजरने वाली और उसके तल के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{1}{2} M R^2$ होता है।
इससे,हमें $M R^2 = 2 I$ प्राप्त होता है।
डिस्क का उसके व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_d = \frac{1}{4} M R^2$ होता है।
समांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करते हुए,व्यास के समानांतर और रिम के किनारे को छूने वाली अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I' = I_d + M R^2$ होगा।
मान रखने पर,$I' = \frac{1}{4} M R^2 + M R^2 = \frac{5}{4} M R^2$।
चूंकि $M R^2 = 2 I$,इसलिए $I' = \frac{5}{4} (2 I) = \frac{5}{2} I$ प्राप्त होता है।

(B) माना वर्गाकार लैमिना का द्रव्यमान $m$ है। इसके द्रव्यमान केंद्र से गुजरने वाली और $X$-अक्ष के समानांतर अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{cm,x} = \frac{ma^2}{12}$ है।
समानांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करते हुए,$(0, 2a)$ से गुजरने वाली और $X$-अक्ष के समानांतर अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण:
$I_1 = I_{cm,x} + m(2a)^2 = \frac{ma^2}{12} + 4ma^2 = \frac{49ma^2}{12}$.
वर्गाकार लैमिना के द्रव्यमान केंद्र से गुजरने वाली और $xy$-समतल के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{cm,z} = I_{cm,x} + I_{cm,y} = \frac{ma^2}{12} + \frac{ma^2}{12} = \frac{ma^2}{6}$ है।
समानांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करते हुए,$(d, 0)$ से गुजरने वाली और $xy$-समतल के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण:
$I_2 = I_{cm,z} + md^2 = \frac{ma^2}{6} + md^2$.
$I_1$ और $I_2$ की तुलना करने पर:
$\frac{49ma^2}{12} = \frac{ma^2}{6} + md^2$.
$\frac{49a^2}{12} - \frac{2a^2}{12} = d^2$.
$d^2 = \frac{47a^2}{12}$.
$d = \sqrt{\frac{47}{12}} a$.

(D) ठोस बेलन का उसके द्रव्यमान केंद्र से गुजरने वाली और उसकी अनुदैर्ध्य अक्ष के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण है:
$I_{XY} = M \left( \frac{l^2}{12} + \frac{R^2}{4} \right)$
समांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करते हुए,इसके किनारे से गुजरने वाली और अनुदैर्ध्य अक्ष के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{AB}$ है:
$I_{AB} = I_{XY} + M \left( \frac{l}{2} \right)^2$
$I_{XY}$ का मान रखने पर:
$I_{AB} = M \left( \frac{l^2}{12} + \frac{R^2}{4} \right) + M \frac{l^2}{4}$
$I_{AB} = M \left( \frac{l^2}{3} + \frac{R^2}{4} \right)$
चूंकि लंबाई $l = 6R$ दी गई है,इसलिए:
$I_{AB} = M \left[ \frac{(6R)^2}{3} + \frac{R^2}{4} \right]$
$I_{AB} = M \left[ \frac{36R^2}{3} + \frac{R^2}{4} \right]$
$I_{AB} = M \left[ 12R^2 + \frac{R^2}{4} \right]$
$I_{AB} = M \left( \frac{48R^2 + R^2}{4} \right) = \frac{49 M R^2}{4}$

(B) मान लीजिए कि डिस्क का पृष्ठीय द्रव्यमान घनत्व $\sigma$ है। मूल डिस्क का द्रव्यमान $M = \sigma \pi r^2$ है।
प्रत्येक कटे हुए भाग की त्रिज्या $r' = r/4$ है। इसका द्रव्यमान $m = \sigma \pi (r/4)^2 = \sigma \pi r^2 / 16 = M/16$ है।
अक्ष $A$ के परितः मूल डिस्क का जड़त्व आघूर्ण $I_0 = \frac{1}{2} Mr^2$ है।
एक कटे हुए भाग का उसके अपने केंद्रीय अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{cm} = \frac{1}{2} m (r/4)^2 = \frac{1}{2} m (r^2/16) = \frac{mr^2}{32}$ है।
समांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करते हुए,एक कटे हुए भाग का अक्ष $A$ के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{cut} = I_{cm} + md^2$ है,जहाँ $d = 3r/4$ है।
$I_{cut} = \frac{mr^2}{32} + m(3r/4)^2 = \frac{mr^2}{32} + \frac{9mr^2}{16} = \frac{mr^2 + 18mr^2}{32} = \frac{19mr^2}{32}$ है।
शेष भाग का जड़त्व आघूर्ण $I_{rem} = I_0 - 2 \times I_{cut}$ है।
$I_{rem} = \frac{1}{2} Mr^2 - 2 \times \left( \frac{19mr^2}{32} \right) = \frac{1}{2} Mr^2 - \frac{19mr^2}{16}$ है।
$m = M/16$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $I_{rem} = \frac{1}{2} Mr^2 - \frac{19(M/16)r^2}{16} = \frac{1}{2} Mr^2 - \frac{19}{256} Mr^2$ प्राप्त होता है।
$I_{rem} = \frac{128}{256} Mr^2 - \frac{19}{256} Mr^2 = \frac{109}{256} Mr^2$ है।
इसे $\frac{x}{256} Mr^2$ के साथ तुलना करने पर,हमें $x = 109$ प्राप्त होता है।

(D) मान लीजिए कि प्रत्येक बेलन का द्रव्यमान $M' = M/4$ है।
अक्ष के लंबवत दो बेलनों पर विचार करें (चित्र में $I_1$ के रूप में चिह्नित)। अक्ष उनकी लंबाई के लंबवत उनके केंद्रों से गुजरती है। ऐसे एक बेलन का जड़त्व आघूर्ण $I_1 = \frac{M'R^2}{4} + \frac{M'L^2}{12}$ है।
अक्ष के समानांतर दो बेलनों पर विचार करें (चित्र में $I_2$ के रूप में चिह्नित)। अक्ष उनके केंद्रों से $L/2$ की दूरी पर है। बेलन का उसकी अपनी अक्ष (लंबाई के अनुदिश) के परितः जड़त्व आघूर्ण $\frac{M'R^2}{2}$ है। समानांतर अक्ष प्रमेय के अनुसार,$I_2 = \frac{M'R^2}{2} + M'(L/2)^2 = \frac{M'R^2}{2} + \frac{M'L^2}{4}$ है।
कुल जड़त्व आघूर्ण $I_{net} = 2I_1 + 2I_2 = 2(\frac{M'R^2}{4} + \frac{M'L^2}{12}) + 2(\frac{M'R^2}{2} + \frac{M'L^2}{4})$ है।
$I_{net} = \frac{M'R^2}{2} + \frac{M'L^2}{6} + M'R^2 + \frac{M'L^2}{2} = \frac{3}{2}M'R^2 + \frac{2}{3}M'L^2$।
$M' = M/4$ प्रतिस्थापित करने पर: $I_{net} = \frac{3}{2}(M/4)R^2 + \frac{2}{3}(M/4)L^2 = \frac{3}{8}MR^2 + \frac{1}{6}ML^2$।

(D) ठोस गोले का उसकी स्पर्श रेखा के परितः जड़त्व आघूर्ण समांतर अक्ष प्रमेय द्वारा दिया जाता है: $I = I_{cm} + MR^2 = \frac{2}{5}MR^2 + MR^2 = \frac{7}{5}MR^2$.
दो गोलों के निकाय के लिए,संपर्क बिंदु से गुजरने वाली सामान्य स्पर्श रेखा के परितः कुल जड़त्व आघूर्ण उसी अक्ष के परितः प्रत्येक गोले के जड़त्व आघूर्ण का योग है।
$I_{total} = I_1 + I_2 = \frac{7}{5}m_1R_1^2 + \frac{7}{5}m_2R_2^2 = \frac{7}{5}[m_1R_1^2 + m_2R_2^2]$.
दिया गया है: $m_1 = 5 \ kg$,$R_1 = 0.1 \ m$; $m_2 = 10 \ kg$,$R_2 = 0.2 \ m$.
$I = \frac{7}{5} [5 \times (0.1)^2 + 10 \times (0.2)^2]$.
$I = \frac{7}{5} [5 \times 0.01 + 10 \times 0.04] = \frac{7}{5} [0.05 + 0.4] = \frac{7}{5} [0.45]$.
$I = 7 \times 0.09 = 0.63 \ kg \cdot m^{2}$.

(15) $1$. छड़ का $AB$ अक्ष (जो एक सिरे से गुजरता है और लंबाई के लंबवत है) के परितः जड़त्व आघूर्ण:
$I_{\text{rod}} = \frac{1}{3}ML^2 = \frac{1}{3} \times 40 \times (3)^2 = \frac{1}{3} \times 40 \times 9 = 120 \text{ kg m}^2$.
$2$. ठोस गोले का उसके केंद्र से $d = 3 \text{ m}$ की दूरी पर $AB$ के समानांतर अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण:
समांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करते हुए,$I_{\text{sphere}} = I_{\text{cm}} + md^2 = \frac{2}{5}mR^2 + md^2$.
यहाँ $m = 10 \text{ kg}$ और $d = 3 \text{ m}$ दिया गया है:
$I_{\text{sphere}} = \frac{2}{5} \times 10 \times R^2 + 10 \times (3)^2 = 4R^2 + 90$.
$3$. दोनों जड़त्व आघूर्णों की तुलना करने पर:
$120 = 4R^2 + 90$
$4R^2 = 30$
$R^2 = \frac{30}{4} = 7.5$.
$4$. दिया गया है कि $R = \sqrt{\frac{\alpha}{2}}$,इसलिए $R^2 = \frac{\alpha}{2}$.
$R^2$ के मानों की तुलना करने पर:
$\frac{\alpha}{2} = 7.5$
$\alpha = 15$.

(C) कुल द्रव्यमान $M = m \times L$ है।
त्रिज्या $R$ का मान $L = 2\pi R$ से प्राप्त होता है,इसलिए $R = \frac{L}{2\pi}$।
एक रिंग का उसके व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{diam} = \frac{1}{2}MR^2$ होता है।
समांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करते हुए,स्पर्शरेखा $yy'$ के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = I_{cm} + MR^2$ है,जहाँ $I_{cm} = I_{diam} = \frac{1}{2}MR^2$ है।
अतः,$I = \frac{1}{2}MR^2 + MR^2 = \frac{3}{2}MR^2$।
$M = mL$ और $R = \frac{L}{2\pi}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \frac{3}{2} (mL) \left(\frac{L}{2\pi}\right)^2 = \frac{3}{2} mL \left(\frac{L^2}{4\pi^2}\right) = \frac{3mL^3}{8\pi^2}$।
इसलिए,सही विकल्प $C$ है।