Moment of Inertia of Compound Bodies and Theorem of Moment of Inertia Questions in Hindi

(A) दाएं गोले के केंद्र से गुजरने वाली $YY'$ अक्ष के परितः निकाय का जड़त्व आघूर्ण दोनों गोलों के इस अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण का योग है।
दाएं गोले के लिए,अक्ष उसके केंद्र से गुजरती है,इसलिए इसका जड़त्व आघूर्ण $I_1 = \frac{2}{5} M (R/2)^2 = \frac{2}{5} M (R^2/4) = \frac{1}{10} M R^2$ है।
बाएं गोले के लिए,अक्ष उसके केंद्र से $d = 2R$ की दूरी पर है। समांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करते हुए,इसका जड़त्व आघूर्ण $I_2 = I_{cm} + Md^2 = \frac{2}{5} M (R/2)^2 + M(2R)^2 = \frac{1}{10} M R^2 + 4 M R^2 = \frac{41}{10} M R^2$ है।
कुल जड़त्व आघूर्ण $I = I_1 + I_2 = \frac{1}{10} M R^2 + \frac{41}{10} M R^2 = \frac{42}{10} M R^2 = \frac{21}{5} M R^2$ होगा।

(D) वर्गाकार फ्रेम की एक छड़ पर विचार करें,मान लीजिए छड़ $AB$। $M$ द्रव्यमान और $l$ लंबाई वाली छड़ का उसके केंद्र से गुजरने वाली और उसकी लंबाई के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{cm} = \frac{Ml^2}{12}$ होता है।
छड़ $AB$ के केंद्र से वर्गाकार फ्रेम के केंद्र तक की दूरी $d = \frac{l}{2}$ है।
समांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करते हुए,वर्ग के केंद्र से गुजरने वाली और उसके तल के लंबवत अक्ष के परितः एक छड़ का जड़त्व आघूर्ण है:
$I_{rod} = I_{cm} + Md^2 = \frac{Ml^2}{12} + M\left(\frac{l}{2}\right)^2 = \frac{Ml^2}{12} + \frac{Ml^2}{4} = \frac{Ml^2 + 3Ml^2}{12} = \frac{4Ml^2}{12} = \frac{Ml^2}{3}$.
चूंकि वर्गाकार फ्रेम बनाने वाली चार समान छड़ें हैं,इसलिए कुल जड़त्व आघूर्ण $I$ है:
$I = 4 \times I_{rod} = 4 \times \frac{Ml^2}{3} = \frac{4}{3}Ml^2$.

(B) समांतर अक्षों के प्रमेय के अनुसार,$M$ द्रव्यमान और $L$ लंबाई वाली एक पतली छड़ का उसके एक सिरे से गुजरने वाली अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण इस प्रकार दिया जाता है:
$I = I_{CM} + Md^2$
जहाँ $I_{CM}$ छड़ का उसके द्रव्यमान केंद्र (मध्यबिंदु) से गुजरने वाली और उसकी लंबाई के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण है,और $d$ दो समांतर अक्षों के बीच की लंबवत दूरी है।
यहाँ,$I_{CM} = I_0$ और केंद्र तथा सिरे के बीच की दूरी $d = L/2$ है।
इन मानों को प्रमेय में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = I_0 + M(L/2)^2$
$I = I_0 + ML^2/4$

(A) डिस्क के प्रति इकाई क्षेत्रफल का द्रव्यमान $\sigma = \frac{M}{\pi R^2}$ है।
हटाए गए वृत्ताकार छेद की त्रिज्या $r = \frac{R}{2}$ है।
हटाए गए भाग का द्रव्यमान $M' = \sigma \times \pi r^2 = \frac{M}{\pi R^2} \times \pi \left(\frac{R}{2}\right)^2 = \frac{M}{4}$ है।
हटाए गए भाग का उसके अपने केंद्रीय अक्ष (डिस्क के तल के लंबवत) के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{cm} = \frac{1}{2} M' r^2 = \frac{1}{2} \left(\frac{M}{4}\right) \left(\frac{R}{2}\right)^2 = \frac{MR^2}{32}$ है।
समांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करते हुए,हटाए गए भाग का मूल डिस्क के केंद्र $O$ से गुजरने वाली अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I'_{0} = I_{cm} + M' d^2$ है,जहाँ $d = \frac{R}{2}$ डिस्क के केंद्र और छेद के केंद्र के बीच की दूरी है।
$I'_{0} = \frac{MR^2}{32} + \left(\frac{M}{4}\right) \left(\frac{R}{2}\right)^2 = \frac{MR^2}{32} + \frac{MR^2}{16} = \frac{3MR^2}{32}$ है।
पूर्ण डिस्क का केंद्र $O$ के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{0} = \frac{1}{2} MR^2$ है।
शेष भाग का जड़त्व आघूर्ण $I = I_{0} - I'_{0} = \frac{1}{2} MR^2 - \frac{3MR^2}{32} = \frac{16MR^2 - 3MR^2}{32} = \frac{13MR^2}{32}$ है।

(B) दिया गया है: छड़ का द्रव्यमान $m = 0.6 \ kg$,लंबाई $l = 1 \ m$.
छड़ का द्रव्यमान केंद्र एक सिरे से $l/2 = 0.5 \ m$ की दूरी पर होता है।
अक्ष एक सिरे से $20 \ cm = 0.2 \ m$ की दूरी पर है।
द्रव्यमान केंद्र और दी गई अक्ष के बीच की दूरी $x = |0.5 \ m - 0.2 \ m| = 0.3 \ m$ है।
समांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करते हुए,$I = I_{cm} + mx^2$.
$I = \frac{ml^2}{12} + mx^2 = m \left( \frac{l^2}{12} + x^2 \right)$.
मान रखने पर: $I = 0.6 \left( \frac{1^2}{12} + (0.3)^2 \right) = 0.6 \left( \frac{1}{12} + 0.09 \right)$.
$I = 0.6 \left( 0.0833 + 0.09 \right) = 0.6 \times 0.1733 = 0.104 \ kg \cdot m^2$.

(C) एक ठोस गोले का उसके व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{cm} = \frac{2}{5}MR^2$ होता है।
समांतर अक्ष प्रमेय के अनुसार,स्पर्शरेखा के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = I_{cm} + MR^2$ होता है।
मान रखने पर: $I = \frac{2}{5}MR^2 + MR^2 = \frac{7}{5}MR^2$.
यहाँ $M = 10\; kg$ और $R = 0.5\; m$ दिया गया है,इसलिए:
$I = \frac{7}{5} \times 10 \times (0.5)^2$
$I = 14 \times 0.25 = 3.5\; kg\cdot m^2$.

(A) एक छड़ $AB$ का उसके केंद्र $P$ से गुजरने वाली और उसकी लंबाई के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{cm} = \frac{1}{12}Ml^2$ है।
वर्ग के केंद्र $O$ से गुजरने वाली और तल के लंबवत अक्ष के परितः इस छड़ का जड़त्व आघूर्ण ज्ञात करने के लिए,हम समांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करते हैं: $I = I_{cm} + Md^2$,जहाँ $d = l/2$ समांतर अक्षों के बीच की दूरी है।
$I_{rod} = \frac{1}{12}Ml^2 + M(l/2)^2 = \frac{1}{12}Ml^2 + \frac{1}{4}Ml^2 = \frac{1+3}{12}Ml^2 = \frac{4}{12}Ml^2 = \frac{1}{3}Ml^2$.
चूंकि निकाय में $4$ समान छड़ें हैं,इसलिए निकाय का कुल जड़त्व आघूर्ण $I_{system} = 4 \times I_{rod} = 4 \times \frac{1}{3}Ml^2 = \frac{4}{3}Ml^2$ होगा।

(B) वृत्तीय चकती का इसके व्यास के परित: जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{1}{4}MR^2$ है,जिसका अर्थ है कि $MR^2 = 4I$ है।
तल के लम्बवत और परिधि पर स्थित बिंदु से गुजरने वाली अक्ष के परित: जड़त्व आघूर्ण ज्ञात करने के लिए,हम समांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करते हैं।
द्रव्यमान केंद्र से गुजरने वाली और तल के लम्बवत अक्ष के परित: जड़त्व आघूर्ण $I_{cm} = \frac{1}{2}MR^2$ है।
द्रव्यमान केंद्र और परिधि पर स्थित बिंदु के बीच की दूरी $R$ है।
समांतर अक्ष प्रमेय के अनुसार,$I_{rim} = I_{cm} + MR^2 = \frac{1}{2}MR^2 + MR^2 = \frac{3}{2}MR^2$ है।
इस व्यंजक में $MR^2 = 4I$ रखने पर,हमें $I_{rim} = \frac{3}{2}(4I) = 6I$ प्राप्त होता है।

(B) एक वृत्ताकार डिस्क का उसके केंद्र से गुजरने वाली और उसके तल के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{cm} = \frac{1}{2}MR^2$ होता है।
यहाँ द्रव्यमान $M = 2 \ kg$ और व्यास $D = 0.2 \ m$ दिया गया है,इसलिए त्रिज्या $R = \frac{D}{2} = 0.1 \ m$ होगी।
समांतर अक्ष प्रमेय के अनुसार,किनारे से गुजरने वाली और तल के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = I_{cm} + MR^2$ होता है।
मान रखने पर: $I = \frac{1}{2}MR^2 + MR^2 = \frac{3}{2}MR^2$.
$I = \frac{3}{2} \times 2 \times (0.1)^2 = 3 \times 0.01 = 0.03 \ kg \cdot m^2$.

(B) एक एकसमान वलय (ring) की उसके केंद्र से गुजरने वाली और उसके तल के लंबवत अक्ष के परित: जड़त्व आघूर्ण $I_{cm} = Mr^2$ होता है।
समांतर अक्ष प्रमेय के अनुसार,$I = I_{cm} + Md^2$,जहाँ $d$ समांतर अक्षों के बीच की दूरी है।
वलय के तल में स्थित स्पर्श रेखा के लिए,व्यास की अक्ष और स्पर्श रेखा के बीच की दूरी $d = r$ होती है।
वलय के व्यास के परित: जड़त्व आघूर्ण $I_{diameter} = \frac{1}{2}Mr^2$ होता है।
समांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करने पर: $I = I_{diameter} + Md^2 = \frac{1}{2}Mr^2 + Mr^2 = \frac{3}{2}Mr^2$.

(A) चकती का उसकी केंद्रीय अक्ष के परित: जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{1}{2}MR^2$ होता है,जिसका अर्थ है $MR^2 = 2I$।
समांतर अक्षों की प्रमेय के अनुसार,इसके तल में स्थित स्पर्श रेखा के परित: जड़त्व आघूर्ण $I_{tangent} = I_{diameter} + MR^2$ होता है।
व्यास के परित: जड़त्व आघूर्ण $I_{diameter} = \frac{1}{4}MR^2 = \frac{1}{2}I$ होता है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $I_{tangent} = \frac{1}{2}I + 2I = \frac{5}{2}I$ प्राप्त होता है।

(C) वलय का उसकी प्राकृतिक अक्ष (केंद्र से गुजरने वाली और तल के लंबवत) के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{cm} = mr^2$ होता है।
समानांतर अक्ष प्रमेय के अनुसार,किनारे से गुजरने वाली और प्राकृतिक अक्ष के समानांतर अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = I_{cm} + mr^2$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,हमें $I = mr^2 + mr^2 = 2mr^2$ प्राप्त होता है।
चूंकि $m = 3 \ gm$ और $r = 1 \ cm$ दिया गया है,इसलिए $I = 2 \times 3 \times (1)^2 = 6 \ gm \cdot cm^2$ होगा।

(D) बेलन की सतह से गुजरने वाली और उसकी केंद्रीय अक्ष के समांतर अक्ष को जनित्र अक्ष कहा जाता है।
समांतर अक्ष प्रमेय के अनुसार,इस अक्ष के परित: जड़त्व-आघूर्ण $I$ निम्न प्रकार है:
$I = I_{cm} + Md^2$
यहाँ,$I_{cm} = \frac{1}{2}MR^2$ बेलन की केंद्रीय अक्ष के परित: जड़त्व-आघूर्ण है,और $d = R$ दोनों समांतर अक्षों के बीच की लंबवत दूरी है।
अतः,$I = \frac{1}{2}MR^2 + MR^2 = \frac{3}{2}MR^2$।

(A) डिस्क का उसके व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{diameter} = \frac{1}{4}MR^2$ होता है।
समांतर अक्ष प्रमेय के अनुसार,व्यास के समांतर और रिम से गुजरने वाली अक्ष (तल में स्पर्शरेखा) के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = I_{cm} + Md^2$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,व्यास और स्पर्शरेखा के बीच की दूरी $d = R$ है।
मान रखने पर,हमें $I = \frac{1}{4}MR^2 + MR^2 = \frac{5}{4}MR^2$ प्राप्त होता है।

(A) लंबवत अक्ष प्रमेय के अनुसार,एक समतलीय पिंड के उसके तल के लंबवत और उसी बिंदु से गुजरने वाली अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $(I_z)$,उसके तल में स्थित दो परस्पर लंबवत अक्षों के परितः जड़त्व आघूर्ण ($I_x$ और $I_y$) के योग के बराबर होता है।
$M$ द्रव्यमान,$l$ लंबाई और $b$ चौड़ाई वाली एक आयताकार प्लेट के लिए:
केंद्र से गुजरने वाली और चौड़ाई के समानांतर अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_x = \frac{Ml^2}{12}$ है।
केंद्र से गुजरने वाली और लंबाई के समानांतर अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_y = \frac{Mb^2}{12}$ है।
लंबवत अक्ष प्रमेय के अनुसार,$I_z = I_x + I_y$।
अतः,$I_z = \frac{Ml^2}{12} + \frac{Mb^2}{12} = \frac{M}{12}(l^2 + b^2)$।

(A) डिस्क का उसके व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_d = \frac{1}{4}MR^2$ होता है।
समांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करते हुए,उसके तल के समांतर और स्पर्शरेखीय अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = I_d + MR^2 = \frac{1}{4}MR^2 + MR^2 = \frac{5}{4}MR^2$ है।
इससे,हमें $MR^2 = \frac{4}{5}I$ प्राप्त होता है।
अब,डिस्क का उसके तल के लंबवत और केंद्र से गुजरने वाले अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_c = \frac{1}{2}MR^2$ होता है।
समांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करते हुए,उसके तल के लंबवत और स्पर्शरेखीय अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I' = I_c + MR^2 = \frac{1}{2}MR^2 + MR^2 = \frac{3}{2}MR^2$ होगा।
$I'$ के व्यंजक में $MR^2 = \frac{4}{5}I$ रखने पर,हमें $I' = \frac{3}{2} \times (\frac{4}{5}I) = \frac{6}{5}I$ प्राप्त होता है।

(C) एक ठोस बेलन का उसकी केंद्रीय अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{cm} = \frac{1}{2}MR^2$ होता है।
समांतर अक्ष प्रमेय के अनुसार,केंद्रीय अक्ष के समानांतर $d$ दूरी पर स्थित अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = I_{cm} + Md^2$ होता है।
यहाँ,अक्ष बेलन की सतह पर है,इसलिए केंद्रीय अक्ष से इसकी दूरी $d$,त्रिज्या $R$ के बराबर है।
मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है $I = \frac{1}{2}MR^2 + M(R)^2$.
$I = \frac{1}{2}MR^2 + MR^2 = \frac{3}{2}MR^2$.
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(A) केंद्र से गुजरने वाली और तल के लंबवत अक्ष के परितः एक समान वृत्ताकार वलय का जड़त्व आघूर्ण $I_{cm} = MR^2$ होता है।
समांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करते हुए,$I = I_{cm} + Md^2$,जहाँ $d$ द्रव्यमान केंद्र और स्पर्शरेखीय अक्ष के बीच की दूरी है।
यहाँ,दूरी $d$ त्रिज्या $R$ के बराबर है।
मान रखने पर,हमें $I = MR^2 + M(R)^2$ प्राप्त होता है।
अतः,$I = 2MR^2$।

(D) $M$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाले ठोस गोले का उसके व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण है:
$I_{\text{diameter}} = \frac{2}{5} M R^2$
समांतर अक्ष प्रमेय के अनुसार,स्पर्शरेखा के परितः जड़त्व आघूर्ण:
$I_{\text{tangent}} = I_{\text{CM}} + M d^2$
यहाँ,द्रव्यमान केंद्र और स्पर्शरेखा के बीच की दूरी $d = R$ है।
अतः,$I_{\text{tangent}} = \frac{2}{5} M R^2 + M R^2$
$I_{\text{tangent}} = \frac{7}{5} M R^2$

(D) लम्ब अक्ष प्रमेय के अनुसार,एक समतलीय वस्तु के लिए,उसके तल के लम्बवत् अक्ष के परित: जड़त्व आघूर्ण $(I_z)$ उसके तल में स्थित दो परस्पर लम्बवत् अक्षों के परित: जड़त्व आघूर्ण ($I_x$ और $I_y$) के योग के बराबर होता है:
$I_z = I_x + I_y$
एक वृत्ताकार छल्ले के लिए,सममिति के कारण,किसी भी व्यास के परित: जड़त्व आघूर्ण समान होता है,इसलिए $I_x = I_y = I_D$।
दिया गया है $I_z = 200 \, gm \cdot cm^2$।
इन मानों को प्रमेय में रखने पर:
$200 = I_D + I_D = 2I_D$
$I_D = \frac{200}{2} = 100 \, gm \cdot cm^2$।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(A) बिंदु $O$ के परित: पूरी चकती का जड़त्व आघूर्ण:
$I_{full} = \frac{1}{2}(9M)R^2 = \frac{9}{2}MR^2$ . . . $(i)$
काटी गई चकती की त्रिज्या $r = R/3$ है। चूंकि द्रव्यमान क्षेत्रफल के समानुपाती होता है $(M \propto R^2)$,काटी गई चकती का द्रव्यमान $m = 9M \times (r/R)^2 = 9M \times (1/3)^2 = M$ होगा।
काटी गई चकती का उसके स्वयं के द्रव्यमान केंद्र के परित: जड़त्व आघूर्ण:
$I_{cm} = \frac{1}{2}m r^2 = \frac{1}{2}M(R/3)^2 = \frac{1}{18}MR^2$.
समांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करते हुए,बिंदु $O$ के परित: काटी गई चकती का जड़त्व आघूर्ण:
$I_{removed} = I_{cm} + m d^2$,जहाँ $d = 2R/3$ बिंदु $O$ से काटी गई चकती के केंद्र की दूरी है।
$I_{removed} = \frac{1}{18}MR^2 + M(2R/3)^2 = \frac{1}{18}MR^2 + \frac{4}{9}MR^2 = \frac{1+8}{18}MR^2 = \frac{9}{18}MR^2 = \frac{1}{2}MR^2$.
शेष चकती का जड़त्व आघूर्ण:
$I_{remaining} = I_{full} - I_{removed} = \frac{9}{2}MR^2 - \frac{1}{2}MR^2 = \frac{8}{2}MR^2 = 4MR^2$.

(D) दिए गए अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण ज्ञात करने के लिए,हम समांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करते हैं: $I = I_{\text{cm}} + M d^2$.
यहाँ,$I_{\text{cm}}$ द्रव्यमान केंद्र के परितः जड़त्व आघूर्ण है,जो $\frac{ML^2}{12}$ है।
द्रव्यमान केंद्र और अक्ष के बीच की दूरी $d$,सिरे से द्रव्यमान केंद्र की दूरी $(L/2)$ और सिरे से अक्ष की दूरी $(L/4)$ के बीच का अंतर है:
$d = \frac{L}{2} - \frac{L}{4} = \frac{L}{4}$.
इन मानों को प्रमेय में रखने पर:
$I = \frac{ML^2}{12} + M \left(\frac{L}{4}\right)^2$
$I = \frac{ML^2}{12} + \frac{ML^2}{16}$
$12$ और $16$ का लघुत्तम समापवर्त्य $48$ लेने पर:
$I = \frac{4ML^2 + 3ML^2}{48} = \frac{7ML^2}{48}$.

(A) एक समान वर्गाकार प्लेट के लिए,प्लेट के केंद्र से गुजरने वाली और प्लेट के तल में स्थित किसी भी अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण समान होता है,बशर्ते अक्ष वर्ग की ज्यामिति के सापेक्ष सममित हो।
मान लीजिए $I_Z$ केंद्र से गुजरने वाली और वर्ग के तल के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण है।
लंबवत अक्ष प्रमेय के अनुसार,$I_Z = I_{AB} + I_{A'B'}$,जहाँ $AB$ और $A'B'$ प्लेट के तल में दो परस्पर लंबवत अक्ष हैं।
चूंकि वर्ग सममित है,इसलिए $I_{AB} = I_{A'B'} = I$ होगा। अतः,$I_Z = 2I$।
इसी प्रकार,प्लेट के तल में केंद्र से गुजरने वाली किन्हीं दो परस्पर लंबवत अक्षों $CD$ और $C'D'$ के लिए,$I_Z = I_{CD} + I_{C'D'}$ होगा।
वर्ग की घूर्णी सममिति के कारण,केंद्र से गुजरने वाली तल की किसी भी अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण स्थिर और $I$ के बराबर होता है। इसलिए,$I_{CD} = I$।

(D) लंबवत अक्षों के प्रमेय के अनुसार,किसी समतलीय पिंड का उसके तल के लंबवत और बिंदु $O$ से गुजरने वाली अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_z$,पिंड के तल में स्थित और $O$ से गुजरने वाली दो परस्पर लंबवत अक्षों के जड़त्व आघूर्णों के योग के बराबर होता है।
दिए गए चित्र में,अक्ष $1$ और $2$ वर्ग के विकर्ण हैं,जो परस्पर लंबवत हैं। अतः,$I_0 = I_1 + I_2$.
अक्ष $3$ और $4$ केंद्र $O$ से गुजरने वाली और वर्ग की भुजाओं के समानांतर रेखाएं हैं। ये भी परस्पर लंबवत हैं। अतः,$I_0 = I_3 + I_4$.
इसके अलावा,वर्ग की समरूपता के कारण,केंद्र से गुजरने वाली और प्लेट के तल में स्थित किसी भी अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण समान होता है यदि अक्ष का कोण भुजाओं के सापेक्ष समान हो। विशेष रूप से,एक वर्गाकार प्लेट के लिए,$I_1 = I_2 = I_3 = I_4 = \frac{ML^2}{12}$ होता है।
इसलिए,$I_0 = I_1 + I_2 = I_3 + I_4 = I_1 + I_3$ (चूंकि $I_1 = I_3$ है)।
अतः,दिए गए सभी विकल्प सही हैं।

(C) द्रव्यमान केंद्र $G$ से गुजरने वाली अक्ष के परित: पिण्ड का जड़त्व आघूर्ण $I_{cm} = mK^2$ है।
समांतर अक्ष प्रमेय के अनुसार,द्रव्यमान केंद्र से '$a$' दूरी पर स्थित नई समांतर अक्ष के परित: जड़त्व आघूर्ण $I_{new}$ है:
$I_{new} = I_{cm} + ma^2 = mK^2 + ma^2 = m(K^2 + a^2)$.
नई अक्ष के परित: घूर्णी गतिज ऊर्जा $K_R$ होगी:
$K_R = \frac{1}{2} I_{new} \omega^2 = \frac{1}{2} m(K^2 + a^2) \omega^2$.

(B) $M$ द्रव्यमान,$R$ त्रिज्या और $L$ लंबाई वाले एक समान बेलन का उसके केंद्र से गुजरने वाली और वृत्ताकार फलक के लंबवत अक्ष (अनुदैर्ध्य अक्ष) के परितः जड़त्व आघूर्ण $(I_1)$ $I_1 = \frac{1}{2} M R^2$ होता है।
उसी बेलन का उसके केंद्र से गुजरने वाली और उसकी लंबाई के लंबवत अक्ष (अनुप्रस्थ अक्ष) के परितः जड़त्व आघूर्ण $(I_2)$ $I_2 = M \left( \frac{L^2}{12} + \frac{R^2}{4} \right)$ होता है।
प्रश्न के अनुसार,$I_1 = I_2$,इसलिए:
$\frac{1}{2} M R^2 = M \left( \frac{L^2}{12} + \frac{R^2}{4} \right)$
दोनों पक्षों को $M$ से विभाजित करने पर:
$\frac{R^2}{2} = \frac{L^2}{12} + \frac{R^2}{4}$
दोनों पक्षों से $\frac{R^2}{4}$ घटाने पर:
$\frac{R^2}{4} = \frac{L^2}{12}$
$12$ से गुणा करने पर:
$3 R^2 = L^2$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$L = \sqrt{3} R$.

(B) $m$ द्रव्यमान,$l$ लंबाई,$b$ चौड़ाई और $t$ मोटाई वाले आयताकार गुटके का उसके द्रव्यमान केंद्र से गुजरने वाली अक्षों के परितः जड़त्व आघूर्ण निम्न है:
$I_x = \frac{m}{12}(b^2 + t^2)$
$I_y = \frac{m}{12}(l^2 + t^2)$
$I_z = \frac{m}{12}(l^2 + b^2)$
चूँकि $l > b > t$,इसलिए $(l^2 + b^2) > (l^2 + t^2) > (b^2 + t^2)$ होगा।
अतः,$I_z > I_y > I_x$।
इस प्रकार,जड़त्व आघूर्ण $z-z$ अक्ष के परितः अधिकतम है।

(B) $M$ द्रव्यमान और $AC = BC = a$ भुजाओं वाले समकोण त्रिभुज $ABC$ पर विचार करें। कर्ण $AB = a\sqrt{2}$ है।
यदि हम कर्ण $AB$ के साथ $M$ द्रव्यमान का एक और समान त्रिभुज जोड़ते हैं,तो हमें $a$ भुजा और $2M$ कुल द्रव्यमान वाली एक वर्गाकार प्लेट प्राप्त होती है।
$AB$ के मध्य बिंदु $O$ से गुजरने वाली और वर्ग के तल के लंबवत अक्ष,वर्ग के केंद्र से गुजरने वाली अक्ष है।
$L$ भुजा और $M_{total}$ द्रव्यमान वाली वर्गाकार प्लेट का उसके केंद्र से गुजरने वाली और तल के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{1}{6} M_{total} L^2$ होता है।
यहाँ,$M_{total} = 2M$ और $L = a$ है।
अतः,वर्गाकार प्लेट का जड़त्व आघूर्ण $I_{square} = \frac{1}{6} (2M) a^2 = \frac{Ma^2}{3}$ है।
चूंकि वर्ग दो समान त्रिभुजों से बना है,अध्यारोपण के सिद्धांत के अनुसार,वर्ग का जड़त्व आघूर्ण उसी अक्ष के परितः दोनों त्रिभुजों के जड़त्व आघूर्ण के योग के बराबर होता है।
$I_{square} = I_{triangle1} + I_{triangle2} = 2 I_{triangle}$.
इसलिए,$I_{triangle} = \frac{1}{2} I_{square} = \frac{1}{2} \left( \frac{Ma^2}{3} \right) = \frac{Ma^2}{6}$.

(D) मान लीजिए वर्गाकार प्लेट का द्रव्यमान $M$ और भुजा की लंबाई $L$ है।
$1$. $AOC$ अक्ष वर्ग के केंद्र से होकर गुजरता है और प्लेट के तल में विकर्ण के अनुदिश स्थित है। विकर्ण के परितः वर्गाकार प्लेट का जड़त्व आघूर्ण $I_1 = \frac{1}{12} M L^2$ होता है।
$2$. $xDx'$ और $yBy'$ अक्ष विकर्ण $AOC$ के समानांतर हैं और क्रमशः कोनों $D$ और $B$ से होकर गुजरते हैं।
$3$. विकर्ण $AOC$ और समानांतर अक्षों $xDx'$ या $yBy'$ के बीच की लंबवत दूरी $d = \frac{L}{\sqrt{2}}$ है।
$4$. समानांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करते हुए,$I = I_{cm} + M d^2$,जहाँ $I_{cm} = I_1 = \frac{1}{12} M L^2$ है।
$5$. अतः,$I_2 = I_3 = \frac{1}{12} M L^2 + M \left( \frac{L}{\sqrt{2}} \right)^2 = \frac{1}{12} M L^2 + \frac{1}{2} M L^2 = \left( \frac{1 + 6}{12} \right) M L^2 = \frac{7}{12} M L^2$ है।
$6$. अनुपात $I_1 : I_2 : I_3 = \frac{1}{12} M L^2 : \frac{7}{12} M L^2 : \frac{7}{12} M L^2 = 1 : 7 : 7$ है।

(B) यह त्रिकोणीय शीट एक समकोण समद्विबाहु त्रिभुज है जिसकी भुजाओं की लंबाई $l$ है। त्रिभुज का क्षेत्रफल $A = \frac{1}{2} l^2$ है।
मान लीजिए प्रति इकाई क्षेत्रफल द्रव्यमान $\sigma = \frac{M}{A} = \frac{2M}{l^2}$ है।
$b$ लंबाई की भुजा और $h$ ऊंचाई वाली एक पतली त्रिकोणीय प्लेट का उसकी भुजा से गुजरने वाली अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{Mh^2}{6}$ द्वारा दिया जाता है।
इस मामले में,$PR$ अक्ष के लिए,आधार कर्ण $PR = \sqrt{l^2 + l^2} = l\sqrt{2}$ है।
शीर्ष $Q$ से कर्ण $PR$ तक की ऊंचाई $h = \frac{l}{\sqrt{2}}$ है।
इन मानों को सूत्र $I = \frac{Mh^2}{6}$ में रखने पर:
$I = \frac{M (l/\sqrt{2})^2}{6} = \frac{M (l^2/2)}{6} = \frac{Ml^2}{12}$.

(D) माना अर्धवृत्ताकार वलय का केंद्र $O$ है। $2M$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाली एक पूर्ण वलय का उसके केंद्र से गुजरने वाली और उसके तल के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{cm} = (2M)R^2$ होता है।
सममिति के अनुसार,$M$ द्रव्यमान वाली अर्धवृत्ताकार वलय का $O$ से गुजरने वाली और तल के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_O = MR^2$ होगा।
अब,बिंदु $A$ से गुजरने वाली और तल के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण ज्ञात करने के लिए हम समांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करेंगे। केंद्र $O$ और बिंदु $A$ के बीच की दूरी $R$ है।
समांतर अक्ष प्रमेय $I_A = I_O + Md^2$ है,जहाँ $d = R$ है।
मान रखने पर,हमें $I_A = MR^2 + M(R)^2 = 2MR^2$ प्राप्त होता है।

(B) एक वर्गाकार प्लेट के द्रव्यमान केंद्र से गुजरने वाली और एक भुजा के समानांतर अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{CM} = \frac{M L^{2}}{12}$ होता है।
समांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करते हुए,द्रव्यमान केंद्र से गुजरने वाली और प्लेट के समतल में $\theta$ कोण पर झुकी हुई अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{\theta} = I_{CM} = \frac{M L^{2}}{12}$ होता है (क्योंकि एक वर्ग के लिए,द्रव्यमान केंद्र से गुजरने वाली समतल की किसी भी अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण समान होता है)।
अब,हम समांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करते हैं: $I = I_{CM} + M d^{2}$,जहाँ $d$ द्रव्यमान केंद्र से दी गई अक्ष की लंबवत दूरी है।
वर्ग के केंद्र से एक शीर्ष से गुजरने वाली और क्षैतिज के साथ $15^{\circ}$ का कोण बनाने वाली अक्ष की दूरी $d = \frac{L}{\sqrt{2}} \sin(45^{\circ} + 15^{\circ}) = \frac{L}{\sqrt{2}} \sin(60^{\circ}) = \frac{L}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3} L}{2 \sqrt{2}}$ है।
अतः,$I = \frac{M L^{2}}{12} + M \left( \frac{\sqrt{3} L}{2 \sqrt{2}} \right)^{2} = \frac{M L^{2}}{12} + M \left( \frac{3 L^{2}}{8} \right) = \frac{M L^{2}}{12} + \frac{9 M L^{2}}{24} = \frac{2 M L^{2} + 9 M L^{2}}{24} = \frac{11 M L^{2}}{24}$.

(C) माना त्रिभुजाकार प्लेट की ऊँचाई $h$ है। चूँकि शीर्ष कोण $90^o$ है और त्रिभुज समद्विबाहु है,ऊँचाई $h$ आधार $L$ की आधी है,इसलिए $h = L/2$ है।
प्लेट का पृष्ठीय घनत्व $\sigma = \frac{M}{\text{Area}} = \frac{M}{\frac{1}{2} \times L \times h} = \frac{M}{\frac{1}{2} \times L \times (L/2)} = \frac{4M}{L^2}$ है।
शीर्ष से $y$ दूरी पर $dy$ मोटाई की एक पतली पट्टी लें। ऊँचाई $y$ पर पट्टी की लंबाई $l(y) = 2y$ है (चूँकि शीर्ष कोण $90^o$ है,भुजाएँ ऊर्ध्वाधर के साथ $45^o$ का कोण बनाती हैं)।
इस पट्टी का द्रव्यमान $dm = \sigma \times l(y) \times dy = \frac{4M}{L^2} \times 2y \times dy = \frac{8M}{L^2} y dy$ है।
आधार के परितः (जो $y = h = L/2$ पर है) इस पट्टी का जड़त्व आघूर्ण $dI = dm \times (h - y)^2$ है।
$y = 0$ से $y = L/2$ तक समाकलन करने पर:
$I = \int_0^{L/2} \frac{8M}{L^2} y (L/2 - y)^2 dy = \frac{8M}{L^2} \int_0^{L/2} (y \frac{L^2}{4} - Ly^2 + y^3) dy$.
$I = \frac{8M}{L^2} [\frac{L^2}{4} \frac{y^2}{2} - L \frac{y^3}{3} + \frac{y^4}{4}]_0^{L/2} = \frac{8M}{L^2} [\frac{L^2}{4} \frac{L^2}{8} - L \frac{L^3}{24} + \frac{L^4}{64}] = \frac{8M}{L^2} [\frac{L^4}{32} - \frac{L^4}{24} + \frac{L^4}{64}] = \frac{8M}{L^2} [\frac{6L^4 - 8L^4 + 3L^4}{192}] = \frac{8M}{L^2} \frac{L^4}{192} = \frac{ML^2}{24}$.

(D) मान लीजिए कि वर्गाकार लैमिना का द्रव्यमान $M$ और भुजा की लंबाई $a$ है। इसके केंद्र $O$ से गुजरने वाली और इसके तल के लंबवत अक्ष $(I_z)$ के परितः वर्गाकार लैमिना का जड़त्व आघूर्ण $I_z = I_x + I_y$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $I_x$ और $I_y$ केंद्र से गुजरने वाली और भुजाओं के समानांतर अक्षों के परितः जड़त्व आघूर्ण हैं। सममिति के कारण,$I_x = I_y = I_{EF} = I_{GH}$ (जहाँ $EF$ और $GH$ विपरीत भुजाओं के मध्य बिंदुओं से गुजरने वाली अक्ष हैं)। अतः,$I_z = 2 I_{EF}$ है।
इसी प्रकार,विकर्ण अक्षों $AC$ और $BD$ के परितः जड़त्व आघूर्ण सममिति के कारण समान हैं,इसलिए $I_{AC} = I_{BD}$ है। लंबवत अक्ष प्रमेय के अनुसार,$I_z = I_{AC} + I_{BD} = 2 I_{AC}$ है।
$I_z$ के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर,हमें $2 I_{EF} = 2 I_{AC}$ प्राप्त होता है,जिसे सरल करने पर $I_{AC} = I_{EF}$ प्राप्त होता है।

(A) '$a$' भुजा और '$m$' द्रव्यमान वाली वर्गाकार प्लेट के द्रव्यमान केंद्र से गुजरने वाली और उसके तल के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण है:
$I_{cm} = \frac{1}{12}m(a^2 + a^2) = \frac{ma^2}{6}$
समांतर अक्ष प्रमेय के अनुसार,एक कोने से गुजरने वाली और तल के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण है:
$I = I_{cm} + md^2$
यहाँ,'$d$' वर्ग के केंद्र से कोने तक की दूरी है। '$a$' भुजा वाले वर्ग के लिए,विकर्ण '$a\sqrt{2}$' है,इसलिए केंद्र से कोने तक की दूरी:
$d = \frac{a\sqrt{2}}{2} = \frac{a}{\sqrt{2}}$
मान रखने पर:
$I = \frac{ma^2}{6} + m\left(\frac{a}{\sqrt{2}}\right)^2$
$I = \frac{ma^2}{6} + \frac{ma^2}{2}$
$I = \frac{ma^2 + 3ma^2}{6} = \frac{4ma^2}{6} = \frac{2}{3}ma^2$

(A) $m$ द्रव्यमान,$l$ लंबाई और $R$ त्रिज्या वाले एक समान ठोस बेलन का उसके लंब समद्विभाजक के परितः जड़त्व आघूर्ण इस प्रकार है:
$I = \frac{mR^2}{4} + \frac{ml^2}{12}$
मान लीजिए कि घनत्व $\rho$ स्थिर है,तो द्रव्यमान $m = \rho V = \rho (\pi R^2 l)$ है।
$I$ के व्यंजक में $m$ का मान रखने पर:
$I = \frac{\rho \pi R^2 l R^2}{4} + \frac{\rho \pi R^2 l^3}{12} = \frac{\rho \pi R^4 l}{4} + \frac{\rho \pi R^2 l^3}{12}$
चूंकि आयतन $V = \pi R^2 l$ स्थिर है,हम $R^2 = \frac{V}{\pi l}$ लिख सकते हैं। इसे $I$ के व्यंजक में रखने पर:
$I = \frac{m}{4} \left( \frac{V}{\pi l} + \frac{l^2}{3} \right)$
न्यूनतम जड़त्व आघूर्ण प्राप्त करने के लिए,हम $I$ का $l$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं और इसे शून्य के बराबर रखते हैं:
$\frac{dI}{dl} = \frac{m}{4} \left( -\frac{V}{\pi l^2} + \frac{2l}{3} \right) = 0$
$\frac{V}{\pi l^2} = \frac{2l}{3} \implies V = \frac{2\pi l^3}{3}$
चूंकि $V = \pi R^2 l$ है,हमें प्राप्त होता है:
$\pi R^2 l = \frac{2\pi l^3}{3} \implies R^2 = \frac{2l^2}{3} \implies \frac{l^2}{R^2} = \frac{3}{2}$
अतः,अनुपात $\frac{l}{R} = \sqrt{\frac{3}{2}}$ है।

(D) मान लीजिए $\sigma$ डिस्क का प्रति इकाई क्षेत्रफल द्रव्यमान है।
मूल डिस्क का कुल द्रव्यमान $M_{total} = 9M$ है।
मूल डिस्क की त्रिज्या $R$ है।
$r = \frac{R}{3}$ त्रिज्या वाली हटाई गई छोटी डिस्क का द्रव्यमान:
$m = \sigma \times \pi r^2 = \sigma \times \pi \left(\frac{R}{3}\right)^2 = \frac{\sigma \pi R^2}{9} = \frac{M_{total}}{9} = \frac{9M}{9} = M$.
$9M$ द्रव्यमान वाली पूर्ण डिस्क का उसके केंद्र $O$ से गुजरने वाली और उसके तल के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण:
$I_1 = \frac{1}{2}(9M)R^2 = \frac{9}{2}MR^2$.
$M$ द्रव्यमान वाली हटाई गई डिस्क का उसके स्वयं के केंद्र $O'$ के परितः जड़त्व आघूर्ण:
$I_{O'} = \frac{1}{2}M\left(\frac{R}{3}\right)^2 = \frac{1}{18}MR^2$.
समांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करते हुए,हटाई गई डिस्क का $O$ से गुजरने वाली अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण:
$I_2 = I_{O'} + M d^2$,जहाँ $d = \frac{2R}{3}$ बिंदु $O$ और $O'$ के बीच की दूरी है।
$I_2 = \frac{1}{18}MR^2 + M\left(\frac{2R}{3}\right)^2 = \frac{1}{18}MR^2 + \frac{4}{9}MR^2 = \left(\frac{1+8}{18}\right)MR^2 = \frac{9}{18}MR^2 = \frac{1}{2}MR^2$.
शेष डिस्क का जड़त्व आघूर्ण:
$I = I_1 - I_2 = \frac{9}{2}MR^2 - \frac{1}{2}MR^2 = \frac{8}{2}MR^2 = 4MR^2$.

(B) $M$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या की एक समान डिस्क का $z$-अक्ष (केंद्र से गुजरने वाली और तल के लंबवत) के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_z = \frac{1}{2}MR^2$ है।
रेखा का समीकरण $x - y + c = 0$ है। मूल बिंदु $(0,0)$ से इस रेखा की लंबवत दूरी $d = \frac{|0 - 0 + c|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{|c|}{\sqrt{2}}$ है।
समांतर अक्ष प्रमेय के अनुसार,व्यास के समांतर किसी भी अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = I_{cm} + Md^2$ होता है,जहाँ $I_{cm}$ व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण है,जो $I_{cm} = \frac{1}{4}MR^2$ है।
अतः,रेखा $y = x + c$ के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{1}{4}MR^2 + M\left(\frac{c}{\sqrt{2}}\right)^2 = \frac{1}{4}MR^2 + \frac{Mc^2}{2}$ है।
दोनों जड़त्व आघूर्णों की तुलना करने पर:
$\frac{1}{2}MR^2 = \frac{1}{4}MR^2 + \frac{Mc^2}{2}$
$\frac{1}{4}MR^2 = \frac{Mc^2}{2}$
$c^2 = \frac{R^2}{2}$
$c = \pm \frac{R}{\sqrt{2}}$.
चूंकि विकल्पों में $R/\sqrt{2}$ दिया गया है,इसलिए सही मान $R/\sqrt{2}$ है।

(D) दिया गया त्रिभुज $ABC$ एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज है जिसका आधार $BC = a$ और ऊँचाई $h = a/2$ है।
ऐसी चार समान त्रिभुजाकार प्लेटों से बनी $a$ भुजा और $4M$ द्रव्यमान वाली एक वर्ग प्लेट पर विचार करें।
इस वर्ग की उसके केंद्र से गुजरने वाली और उसके तल के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{square} = \frac{1}{6}(4M)a^2 = \frac{2}{3}Ma^2$ है।
समांतर अक्ष प्रमेय के अनुसार,वर्ग के एक शीर्ष $(A)$ से गुजरने वाली और उसके तल के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{vertex} = I_{CM} + (4M)d^2$ है,जहाँ $d$ केंद्र से शीर्ष की दूरी है,$d^2 = (a/2)^2 + (a/2)^2 = a^2/2$।
अतः,$I_{vertex} = \frac{1}{6}(4M)a^2 + (4M)(a^2/2) = \frac{2}{3}Ma^2 + 2Ma^2 = \frac{8}{3}Ma^2$।
चूँकि वर्ग चार समान त्रिभुजों से बना है,$A$ से गुजरने वाली उसी अक्ष के परितः एक त्रिभुज का जड़त्व आघूर्ण $I_{triangle} = \frac{1}{4} I_{vertex} = \frac{1}{4} \times \frac{8}{3}Ma^2 = \frac{2}{3}Ma^2$।
हालाँकि,आधार $a$ और ऊँचाई $h$ वाले त्रिभुज के लिए शीर्ष से गुजरने वाली और तल के लंबवत अक्ष के लिए मानक परिणाम $I = M(\frac{h^2}{6} + \frac{a^2}{24})$ है। $h = a/2$ रखने पर,$I = M(\frac{a^2}{24} + \frac{a^2}{24}) = M(\frac{2a^2}{24}) = \frac{Ma^2}{12}$।

$(a)$ लंबवत अक्ष प्रमेय $I_z = I_x + I_y$ केवल समतलीय (द्वि-आयामी) वस्तुओं पर लागू होता है। घन एक त्रि-आयामी वस्तु है, इसलिए यह गलत है।
$(b)$ $A$-अक्ष केंद्र $O$ से गुजरने वाली $z$-अक्ष के समानांतर है। $z$-अक्ष और $A$-अक्ष के बीच की दूरी $d = \sqrt{(\frac{a}{2})^2 + (\frac{a}{2})^2} = \frac{a}{\sqrt{2}}$ है। समानांतर अक्ष प्रमेय के अनुसार, $I_A = I_{cm} + md^2 = I_z + m(\frac{a}{\sqrt{2}})^2 = I_z + \frac{ma^2}{2}$। यह सही है।
$(c)$ $B$-अक्ष $z$-अक्ष के समानांतर नहीं है, इसलिए समानांतर अक्ष प्रमेय को इस तरह लागू नहीं किया जा सकता है। यह गलत है।
$(d)$ केंद्र $O$ के परितः घन की सममिति के कारण, केंद्र से गुजरने वाली $x, y$ और $z$ अक्षों के परितः जड़त्व आघूर्ण समान होते हैं, अर्थात $I_x = I_y = I_z$। अतः, $I_x = I_z$ सही है।

(B) $R$ त्रिज्या वाले एक समान खोखले अर्धगोले का द्रव्यमान केंद्र $(COM)$ उसके आधार के केंद्र से सममिति की अक्ष पर $R/2$ की दूरी पर स्थित होता है।
दोनों अक्ष $I_A$ और $I_B$,$COM$ से गुजरने वाले आधार के व्यास के समानांतर हैं।
अक्ष $I_A$,$COM$ से $R/2$ की दूरी पर है।
अक्ष $I_B$,$COM$ से $R/2$ की दूरी पर है।
समांतर अक्ष प्रमेय के अनुसार,$I = I_{COM} + Md^2$ होता है।
चूंकि दोनों अक्ष $COM$ से समान दूरी $d = R/2$ पर हैं,इसलिए दोनों अक्षों के परितः जड़त्व आघूर्ण समान है।
अतः,$I_A = I_B = I_{COM} + M(R/2)^2$।

(B) $M$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाली अर्धवृत्ताकार डिस्क के लिए,व्यास (अक्ष $XX'$) के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_x = \frac{1}{4} M R^2$ है।
चूंकि डिस्क अपने तल में व्यास के लंबवत अक्ष (अक्ष $AA'$) के परितः सममित है,इसलिए इस अक्ष के परितः भी जड़त्व आघूर्ण $I_y = \frac{1}{4} M R^2$ है।
सममिति के कारण इन अक्षों के परितः अर्धवृत्ताकार डिस्क के लिए जड़त्व गुणनफल $I_{xy}$ शून्य है।
केंद्र से गुजरने वाली और व्यास के साथ $\theta$ कोण बनाने वाली अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I$ को निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$I = I_x \sin^2 \theta + I_y \cos^2 \theta - 2 I_{xy} \sin \theta \cos \theta$
$I_x = \frac{1}{4} M R^2$,$I_y = \frac{1}{4} M R^2$,और $I_{xy} = 0$ रखने पर:
$I = \frac{1}{4} M R^2 \sin^2 \theta + \frac{1}{4} M R^2 \cos^2 \theta$
$I = \frac{1}{4} M R^2 (\sin^2 \theta + \cos^2 \theta)$
$I = \frac{1}{4} M R^2$

(D) $M$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाली वलय का उसके व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{1}{2}MR^2$ होता है।
समांतर अक्ष प्रमेय के अनुसार,व्यास के समांतर स्पर्श रेखा के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{tangent} = I_{cm} + Md^2$ होता है,जहाँ $I_{cm}$ द्रव्यमान केंद्र (व्यास) के परितः जड़त्व आघूर्ण है और $d = R$ समांतर अक्षों के बीच की दूरी है।
मान रखने पर,हमें $I_{tangent} = I + MR^2$ प्राप्त होता है।
चूंकि $I = \frac{1}{2}MR^2$,इसलिए $MR^2 = 2I$ है।
अतः,$I_{tangent} = I + 2I = 3I$ होगा।

(A) $M$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाली एक समान डिस्क का $z$-अक्ष (केंद्र से गुजरने वाली और तल के लंबवत) के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_z = \frac{1}{2}MR^2$ होता है।
रेखा $y = x + c$ को $x - y + c = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है। मूल बिंदु $(0,0)$ से इस रेखा की लंबवत दूरी $d = \frac{|0 - 0 + c|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{|c|}{\sqrt{2}}$ है।
समांतर अक्ष प्रमेय के अनुसार,$x-y$ तल में व्यास के समांतर किसी भी रेखा के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = I_{cm} + Md^2$ होता है,जहाँ $I_{cm}$ व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण है,जो $\frac{1}{4}MR^2$ होता है।
अतः,$I_{line} = \frac{1}{4}MR^2 + M\left(\frac{c}{\sqrt{2}}\right)^2 = \frac{1}{4}MR^2 + \frac{Mc^2}{2}$ है।
यह दिया गया है कि $I_{line} = I_z$,इसलिए $\frac{1}{4}MR^2 + \frac{Mc^2}{2} = \frac{1}{2}MR^2$ है।
दोनों पक्षों से $\frac{1}{4}MR^2$ घटाने पर,हमें $\frac{Mc^2}{2} = \frac{1}{4}MR^2$ प्राप्त होता है।
सरल करने पर,$c^2 = \frac{R^2}{2}$,जिससे $c = \pm \frac{R}{\sqrt{2}}$ प्राप्त होता है।

(A) केंद्र से गुजरने वाली और अपने तल के लंबवत अक्ष के परितः एक समान वृत्ताकार डिस्क का जड़त्व आघूर्ण $I_{G} = \frac{1}{2}MR^2$ है।
समांतर अक्षों के प्रमेय के अनुसार,डिस्क के किनारे से गुजरने वाली और डिस्क के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = I_{G} + Md^2$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $d = R$ समांतर अक्षों के बीच की दूरी है।
मान रखने पर,हमें $I = \frac{1}{2}MR^2 + M(R)^2 = \frac{3}{2}MR^2$ प्राप्त होता है।

(B) समतलीय वस्तु के लिए,लंबवत अक्ष प्रमेय के अनुसार,तल के लंबवत अक्ष $(z-z')$ के परितः जड़त्व आघूर्ण,तल में स्थित दो परस्पर लंबवत अक्षों ($x-x'$ और $y-y'$) के परितः जड़त्व आघूर्ण के योग के बराबर होता है।
अतः,$I_{zz'} = I_{xx'} + I_{yy'}$.
चूंकि $I_{xx'}$ और $I_{yy'}$ दोनों धनात्मक राशियाँ हैं,इसलिए $I_{zz'} > I_{xx'}$ और $I_{zz'} > I_{yy'}$ होगा।
अतः,जड़त्व आघूर्ण $z-z'$ अक्ष के परितः अधिकतम है।

(C) $m$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाली एक वृत्ताकार डिस्क का उसके द्रव्यमान केंद्र $(C.M.)$ से गुजरने वाली और उसके तल के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण इस प्रकार है:
$I_z = \frac{1}{2} mR^2$
$z'$ अक्ष,$z$-अक्ष के समानांतर एक स्पर्शरेखीय अक्ष है। समानांतर अक्ष प्रमेय के अनुसार,केंद्रीय अक्ष के समानांतर अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = I_{cm} + md^2$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $d$ अक्षों के बीच की दूरी है। यहाँ,$d = R$ है।
$I_{z'} = I_z + mR^2 = \frac{1}{2} mR^2 + mR^2 = \frac{3}{2} mR^2$
$z$ और $z'$ अक्षों के परितः जड़त्व आघूर्ण का अनुपात है:
$\frac{I_z}{I_{z'}} = \frac{\frac{1}{2} mR^2}{\frac{3}{2} mR^2} = \frac{1}{3}$
अतः,अनुपात $1:3$ है।

(D) भुजा और $m$ द्रव्यमान वाली एक पतली समान वर्गाकार शीट के लिए,केंद्र से गुजरने वाली और तल के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_z = \frac{ma^2}{6}$ है।
लंबवत अक्ष प्रमेय के अनुसार,$I_z = I_x + I_y$,जहाँ $I_x$ और $I_y$ शीट के तल में केंद्र से गुजरने वाली दो लंबवत अक्षों के परितः जड़त्व आघूर्ण हैं।
समरूपता के कारण,$I_x = I_y = \frac{ma^2}{12}$ है।
मान लीजिए $I_d$ एक विकर्ण के परितः जड़त्व आघूर्ण है। दो विकर्णों (जो एक-दूसरे के लंबवत भी हैं और तल में स्थित हैं) पर लागू लंबवत अक्ष प्रमेय के अनुसार,$I_z = I_{d1} + I_{d2}$ है।
चूंकि वर्ग सममित है,$I_{d1} = I_{d2} = I$ है।
अतः,$I_z = 2I$,जिसका अर्थ है $I = \frac{I_z}{2} = \frac{ma^2/6}{2} = \frac{ma^2}{12}$ है।
इसलिए,$I = \frac{ma^2}{12}$ है।