Mix Example - System of Particles and Rotational Motion Questions in Hindi

(N/A) माना छड़ का द्रव्यमान $M$ और लंबाई $l$ है। इसके लंब समद्विभाजक के परितः छड़ का जड़त्व आघूर्ण:
$I = \frac{Ml^2}{12}$
जब तापमान में $\Delta T$ की वृद्धि होती है,तो लंबाई में परिवर्तन $\Delta l$:
$\Delta l = l \alpha \Delta T$
छड़ की नई लंबाई $l' = l + \Delta l$ है। नया जड़त्व आघूर्ण $I'$:
$I' = \frac{M(l + \Delta l)^2}{12}$
पद का विस्तार करने पर:
$I' = \frac{M}{12}(l^2 + 2l\Delta l + (\Delta l)^2)$
चूंकि $\Delta l$ बहुत छोटा है,इसलिए $(\Delta l)^2$ पद की उपेक्षा करने पर:
$I' \approx \frac{M}{12}(l^2 + 2l\Delta l) = \frac{Ml^2}{12} + \frac{2Ml\Delta l}{12} = I + \frac{Ml\Delta l}{6}$
जड़त्व आघूर्ण में वृद्धि $\Delta I = I' - I$:
$\Delta I = \frac{Ml\Delta l}{6}$
$\Delta l = l \alpha \Delta T$ रखने पर:
$\Delta I = \frac{Ml(l \alpha \Delta T)}{6} = \frac{Ml^2 \alpha \Delta T}{6} = 2I \alpha \Delta T$

(B) घूर्णी गति में, जड़त्व आघूर्ण $(I)$ रेखीय गति में द्रव्यमान $(m)$ के समान भूमिका निभाता है, क्योंकि यह किसी पिंड के घूर्णी जड़त्व को दर्शाता है।
इसी प्रकार, बल आघूर्ण $(\tau)$ रेखीय गति में बल $(F)$ का घूर्णी अनुरूप है, क्योंकि यह कोणीय त्वरण का कारण है।
अतः, जड़त्व आघूर्ण के लिए द्रव्यमान $(m)$ और बल आघूर्ण के लिए बल $(F)$ समतुल्य राशियाँ हैं।

(A) मान लीजिए घन की भुजा $a$ है। भार $mg$ घन के केंद्र पर कार्य करता है,जो बिंदु $A$ से $a/2$ की दूरी पर है। बल $F$ किनारे पर लगाया जाता है,जो बिंदु $A$ से $a$ की दूरी पर है।
$1$. घन के बिंदु $A$ के परितः घूमने के लिए,$F$ के कारण आघूर्ण (torque) को $A$ के परितः गुरुत्वाकर्षण के कारण आघूर्ण से अधिक होना चाहिए:
$\tau_F > \tau_{mg} \implies F \times a > mg \times \frac{a}{2} \implies F > \frac{mg}{2}$. अतः,$(b) \rightarrow (iii)$.
$2$. यदि $F > mg$ है,तो कुल ऊर्ध्वाधर बल धनात्मक है,इसलिए घन ऊपर की ओर गति करेगा। अतः,$(c) \rightarrow (i)$.
$3$. कोई गति न होने के लिए,अभिलंब प्रतिक्रिया $N$ को बलों को संतुलित करना चाहिए और $A$ के परितः कुल आघूर्ण शून्य होना चाहिए। मान लीजिए $x$ बिंदु $A$ से अभिलंब प्रतिक्रिया की दूरी है। तब $N = mg - F$ और $mg(a/2) - F(a) - N(x) = 0$. $F = mg/4$ के लिए,$N = 3mg/4$. मान रखने पर: $mg(a/2) - (mg/4)a = (3mg/4)x \implies mg(a/4) = (3mg/4)x \implies x = a/3$. अतः,$(d) \rightarrow (iv)$.
$4$. $\frac{mg}{4} < F < \frac{mg}{2}$ के लिए,$F$ का आघूर्ण गुरुत्वाकर्षण के आघूर्ण से कम है,इसलिए घन सतह पर संतुलन में रहता है। अतः,$(a) \rightarrow (ii)$.

(A-(III), B-(IV), C-(II), D-(I)) जब एक गोले को $h$ ऊंचाई पर मारा जाता है,तो आवेग $J$ रैखिक संवेग $mv = J$ और केंद्र के सापेक्ष कोणीय संवेग $L = J(h - R) = I\omega = \frac{2}{5}mR^2\omega$ प्रदान करता है।
अतः,$v = \frac{J}{m}$ और $\omega = \frac{J(h-R)}{\frac{2}{5}mR^2} = \frac{5J(h-R)}{2mR^2}$.
निचले बिंदु का वेग $v_{bottom} = v - \omega R = \frac{J}{m} - \frac{5J(h-R)}{2mR} = \frac{J}{2mR} [2R - 5h + 5R] = \frac{J}{2mR} [7R - 5h]$.
शुद्ध लोटनिक गति (pure rolling) के लिए,$v_{bottom} = 0$,जिसका अर्थ है $h = \frac{7R}{5}$. यह $(d)-(i)$ के अनुरूप है।
यदि $h < \frac{7R}{5}$ है,तो $v_{bottom} > 0$,इसलिए गोला आगे की ओर फिसलता है,घर्षण पीछे की ओर कार्य करता है,जिससे घड़ी की दिशा में घूर्णन (केंद्र के सापेक्ष) होता है,जो $(ii)$ या $(iv)$ के अनुरूप है। विशेष रूप से,यदि $h=R$ है,तो $\omega=0$,इसलिए इसमें केवल स्थानांतरीय गति $(iv)$ होती है। यदि $h < R$ है,तो $\omega$ ऋणात्मक (घड़ी की विपरीत दिशा) है,इसलिए $(iii)$। यदि $R < h < \frac{7R}{5}$ है,तो $\omega$ धनात्मक (घड़ी की दिशा) है,इसलिए $(ii)$।
अतः: $(a)-(iii)$,$(b)-(iv)$,$(c)-(ii)$,$(d)-(i)$.

(N/A) मान लीजिए निकाय का उभयनिष्ठ कोणीय वेग $\omega$ है।
$(a)$ हाँ,कोणीय संवेग संरक्षण का नियम लागू होता है क्योंकि दो डिस्क के निकाय पर कोई कुल बाह्य बल आघूर्ण (टॉर्क) कार्य नहीं कर रहा है।
$(b)$ कोणीय संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार:
$L_f = L_i$
$(I_1 + I_2) \omega = I_1 \omega_1 + I_2 \omega_2$
$\omega = \frac{I_1 \omega_1 + I_2 \omega_2}{I_1 + I_2}$
$(c)$ प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $K_i = \frac{1}{2} I_1 \omega_1^2 + \frac{1}{2} I_2 \omega_2^2$ है।
अंतिम गतिज ऊर्जा $K_f = \frac{1}{2} (I_1 + I_2) \omega^2 = \frac{1}{2} (I_1 + I_2) \left( \frac{I_1 \omega_1 + I_2 \omega_2}{I_1 + I_2} \right)^2 = \frac{(I_1 \omega_1 + I_2 \omega_2)^2}{2(I_1 + I_2)}$ है।
गतिज ऊर्जा में हानि $\Delta K = K_i - K_f = \frac{1}{2} I_1 \omega_1^2 + \frac{1}{2} I_2 \omega_2^2 - \frac{(I_1 \omega_1 + I_2 \omega_2)^2}{2(I_1 + I_2)}$ है।
इस व्यंजक को सरल करने पर,हमें $\Delta K = \frac{I_1 I_2}{2(I_1 + I_2)} (\omega_1 - \omega_2)^2$ प्राप्त होता है।
$(d)$ गतिज ऊर्जा में यह हानि दो डिस्क के बीच घर्षण के विरुद्ध किए गए कार्य के कारण होती है,जब वे एक उभयनिष्ठ कोणीय वेग प्राप्त करने के लिए समायोजित होती हैं।

(D) चित्र प्रश्न में दी गई स्थिति को दर्शाता है। संपर्क बिंदु पर,छोटे ड्रम का वेग $v_1 = R\omega$ (ऊपर की ओर) है और बड़े ड्रम का वेग $v_2 = 2R\omega$ (नीचे की ओर) है। इस सापेक्ष वेग के कारण,घर्षण बल $f$ छोटे ड्रम पर नीचे की दिशा में और बड़े ड्रम पर ऊपर की दिशा में कार्य करता है।
$(b)$ निकाय पर कार्य करने वाले बाहरी बल संपर्क बिंदु पर लंबवत बल और स्थिर धुरियों पर प्रतिक्रिया बल हैं। मान लीजिए $F$ संपर्क बिंदु पर लंबवत बल है। धुरियों पर प्रतिक्रिया बल $F'$ और $F$ हैं। निकाय पर कुल बाहरी बल शून्य है। छोटे ड्रम के केंद्र के परितः बाहरी टॉर्क $\tau = F \times 3R$ (वामावर्त) है।
$(c)$ मान लीजिए $\omega_1$ और $\omega_2$ क्रमशः छोटे और बड़े ड्रम के अंतिम कोणीय वेग हैं। जब घर्षण समाप्त हो जाता है,तो संपर्क बिंदु पर कोई सापेक्ष गति नहीं होती है।
इसलिए,स्पर्शरेखीय वेग समान होने चाहिए: $R\omega_1 = 2R\omega_2$।
अतः,अंतिम कोणीय वेग का अनुपात $\frac{\omega_1}{\omega_2} = 2$ है।

(N/A) $(1)$ स्थैतिक
$(2)$ बल आघूर्ण (टॉर्क)
$(3)$ नीचे
$(4)$ द्रव्यमान केंद्र

(N/A) $(1)$ जड़त्व आघूर्ण (Moment of inertia)।
$(2)$ दिया है: $\omega = 10 \ rad/s$,$r = 5 \ cm$।
संबंध $v = \omega r$ का उपयोग करने पर,$v = 10 \times 5 = 50 \ cm/s$ प्राप्त होता है।
$(3)$ बल आघूर्ण $(\tau)$। चूँकि $\tau = I\alpha$,इसलिए इसका मात्रक $kg \cdot m^2 \cdot rad/s^2 = (kg \cdot m^2) \cdot s^{-2} = J \cdot s^{-2}$ होता है।
$(4)$ नत समतल पर बिना फिसले लुढ़कने की शर्त $\mu_s \geq \left( \frac{\tan \theta}{1 + \frac{R^2}{K^2}} \right)$ है।

(N/A) $(1)$ दिया गया है $|\vec{A} \times \vec{B}| = \vec{A} \cdot \vec{B}$.
$AB \sin \theta = AB \cos \theta$.
$\tan \theta = 1$,अतः $\theta = 45^{\circ}$।
$(2)$ परिभाषा के अनुसार,कोणीय संवेग $\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p}$ होता है। चूंकि $\vec{L}$,$\vec{r}$ और $\vec{p}$ दोनों के लंबवत होता है,इसलिए कोणीय संवेग $\vec{L}$ और रैखिक संवेग $\vec{p}$ के बीच का कोण $90^{\circ}$ होता है।
$(3)$ टॉर्क $\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}$।
यहाँ $\vec{r} = (2\hat{i} + \hat{j})$ और $\vec{F} = F\hat{k}$ दिया गया है।
$\vec{\tau} = (2\hat{i} + \hat{j}) \times F\hat{k} = 2F(\hat{i} \times \hat{k}) + F(\hat{j} \times \hat{k})$।
सदिश गुणन $\hat{i} \times \hat{k} = -\hat{j}$ और $\hat{j} \times \hat{k} = \hat{i}$ का उपयोग करने पर,$\vec{\tau} = -2F\hat{j} + F\hat{i} = F(\hat{i} - 2\hat{j})$ प्राप्त होता है।

(D) $(1)$ असत्य। यदि कुल बाह्य बल शून्य हो, तो द्रव्यमान केंद्र का वेग नियत रहता है।
$(2)$ असत्य। इस कथन में आंतरिक बलों के स्थान पर बाह्य बलों का उल्लेख होना चाहिए।
$(3)$ असत्य। द्रव्यमान केंद्र पिंड के बाहर भी स्थित हो सकता है (उदाहरण के लिए, एक वलय)।
$(4)$ असत्य। घूर्णन गति में सभी कणों का कोणीय वेग समान होता है, लेकिन उनका रैखिक वेग घूर्णन अक्ष से उनकी दूरी पर निर्भर करता है $(v = r\omega)$।

(A) $(1)$ सत्य। छोटे कोणों के लिए कोणीय विस्थापन को एक सदिश माना जाता है।
$(2)$ असत्य। सही संबंध $\vec{v} = \vec{\omega} \times \vec{r}$ है।
$(3)$ असत्य। जड़त्व आघूर्ण घूर्णन अक्ष और उस अक्ष के सापेक्ष द्रव्यमान के वितरण पर निर्भर करता है।
$(4)$ सत्य। कोणीय संवेग को रैखिक संवेग के आघूर्ण के रूप में परिभाषित किया जाता है,$\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p}$।

(A) $(1)$ सत्य: कोणीय त्वरण $\alpha = \frac{d\omega}{dt}$ है। यदि कोणीय वेग $\omega$ स्थिर है, तो $\alpha = 0$ होगा।
$(2)$ सत्य: जड़त्व आघूर्ण किसी पिंड के द्रव्यमान वितरण का एक गुण है और यह इस बात से स्वतंत्र है कि पिंड गति में है या उसमें गतिज ऊर्जा है या नहीं।
$(3)$ असत्य: घूर्णन त्रिज्या $k$ घूर्णन अक्ष पर निर्भर करती है। यदि घूर्णन अक्ष बदलता है, तो घूर्णन त्रिज्या भी बदल जाती है।
$(4)$ सत्य: कोणीय संवेग संरक्षण के सिद्धांत $L = I\omega$ के अनुसार, जब स्केटर अपने हाथ अंदर खींचता है, तो जड़त्व आघूर्ण $I$ कम हो जाता है, इसलिए $L$ को स्थिर रखने के लिए कोणीय वेग $\omega$ को बढ़ना पड़ता है।

(N/A) $(1)$ असत्य। टॉर्क कोणीय त्वरण उत्पन्न करता है,कोणीय वेग नहीं।
$(2)$ असत्य। किसी दृढ़ पिंड की घूर्णी गति में,सभी कणों के कोणीय चर (कोणीय विस्थापन,कोणीय वेग और कोणीय त्वरण) समान होते हैं,लेकिन उनके रैखिक चर (रैखिक विस्थापन,रैखिक वेग और रैखिक त्वरण) घूर्णन अक्ष से उनकी दूरी के आधार पर भिन्न होते हैं।

(A) टॉर्क $(\tau)$ का $SI$ मात्रक बल और लंबवत दूरी के गुणनफल द्वारा प्राप्त होता है, जो $Newton \times meter$ $(N\,m)$ है। अतः, $(1-b)$।
घूर्णन त्रिज्या $(k)$ एक दूरी है जो घूर्णन करती वस्तु में द्रव्यमान के वितरण को दर्शाती है। इसका $SI$ मात्रक लंबाई के मात्रक के समान यानी $meter$ $(m)$ होता है। अतः, $(2-a)$।
इसलिए, सही मिलान $(1-b), (2-a)$ है।

(B) छड़ के धुरी के परितः घूर्णी संतुलन में रहने के लिए,हम द्रव्यमान केंद्र $(CM)$ के परितः टॉर्क पर विचार करते हैं।
ऊर्ध्वाधर बल $F_{V}$ वजन को संतुलित करता है,इसलिए $F_{V} = mg$ है।
क्षैतिज बल $F_{H}$ $CM$ के लिए अभिकेंद्री बल प्रदान करता है,इसलिए $F_{H} = m \omega^{2} (\frac{l}{2} \sin \theta)$ है।
$CM$ के परितः टॉर्क लेने पर:
गुरुत्वाकर्षण के कारण टॉर्क शून्य है क्योंकि यह $CM$ से होकर गुजरता है।
$F_{V}$ के कारण टॉर्क $F_{V} \cdot (\frac{l}{2} \sin \theta) = mg \frac{l}{2} \sin \theta$ है।
$F_{H}$ के कारण टॉर्क $F_{H} \cdot (\frac{l}{2} \cos \theta) = (m \omega^{2} \frac{l}{2} \sin \theta) \cdot (\frac{l}{2} \cos \theta)$ है।
नेट टॉर्क को कोणीय संवेग के परिवर्तन की दर के बराबर करने पर:
$mg \frac{l}{2} \sin \theta - m \omega^{2} \frac{l^{2}}{4} \sin \theta \cos \theta = \frac{m l^{2}}{12} \omega^{2} \sin \theta \cos \theta$
$mg \frac{l}{2} \sin \theta = \omega^{2} \sin \theta \cos \theta (\frac{m l^{2}}{12} + \frac{m l^{2}}{4})$
$mg \frac{l}{2} = \omega^{2} \cos \theta (\frac{m l^{2} + 3 m l^{2}}{12})$
$mg \frac{l}{2} = \omega^{2} \cos \theta (\frac{4 m l^{2}}{12}) = \omega^{2} \cos \theta (\frac{m l^{2}}{3})$
$\cos \theta = \frac{mg l / 2}{m l^{2} \omega^{2} / 3} = \frac{3g}{2 l \omega^{2}}$

(B) चरण $1$: टक्कर के दौरान धुरी $O$ के परितः कोणीय संवेग का संरक्षण।
$L_i = L_f$
$mvl = I_{total} \omega$
$mvl = (\frac{Ml^2}{3} + ml^2) \omega$
मान रखने पर: $1 \times 6 \times 1 = (\frac{2 \times 1^2}{3} + 1 \times 1^2) \omega$
$6 = (\frac{2}{3} + 1) \omega = \frac{5}{3} \omega$
$\omega = \frac{18}{5} \, rad/s = 3.6 \, rad/s$
चरण $2$: टक्कर के बाद यांत्रिक ऊर्जा का संरक्षण।
जैसे ही छड़ $\theta$ कोण पर घूमती है,निकाय की गतिज ऊर्जा स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है।
$K_i = U_f$
$\frac{1}{2} I_{total} \omega^2 = (M + m) g h_{cm}(1 - \cos \theta)$
जहाँ $h_{cm}$ धुरी से द्रव्यमान केंद्र की ऊँचाई है।
$h_{cm} = \frac{M(l/2) + m(l)}{M + m} = \frac{2(0.5) + 1(1)}{2 + 1} = \frac{2}{3} \, m$
$\frac{1}{2} (\frac{5}{3}) (\frac{18}{5})^2 = (2 + 1) \times 10 \times \frac{2}{3} (1 - \cos \theta)$
$\frac{1}{2} \times \frac{5}{3} \times \frac{324}{25} = 20 (1 - \cos \theta)$
$\frac{54}{5} = 20 (1 - \cos \theta)$
$1 - \cos \theta = \frac{54}{100} = 0.54$
$\cos \theta = 1 - 0.54 = 0.46$
$\theta = \cos^{-1}(0.46) \approx 62.6^{\circ} \approx 63^{\circ}$

(D) मान लीजिए छड़ की लंबाई $L$ और द्रव्यमान $M$ है। कण का द्रव्यमान $m$ और वेग $v$ है।
$1$. रैखिक संवेग का संरक्षण:
चूंकि सतह चिकनी है,इसलिए कोई बाहरी क्षैतिज बल नहीं है।
$mv = MV_{cm} + m(0) \implies V_{cm} = \frac{mv}{M}$
$2$. छड़ के द्रव्यमान केंद्र $(CM)$ के परितः कोणीय संवेग का संरक्षण:
प्रारंभिक कोणीय संवेग $L_i = m v (L/2)$
अंतिम कोणीय संवेग $L_f = I_{cm} \omega + M V_{cm} (0) = (\frac{ML^2}{12}) \omega$
$L_i = L_f$ को बराबर करने पर:
$m v \frac{L}{2} = \frac{ML^2}{12} \omega$
$3$. $\omega$ के लिए हल करने पर:
$\omega = \frac{mvL/2}{ML^2/12} = \frac{6mv}{ML}$

(D) मान लीजिए छड़ का द्रव्यमान $M$ और लंबाई $L$ है। जब छड़ क्षैतिज होती है,तो उसकी स्थितिज ऊर्जा $U_i = Mg(L/2)$ होती है।
जब यह ऊर्ध्वाधर हो जाती है,तो इसकी स्थितिज ऊर्जा $U_f = 0$ होती है और इसमें घूर्णन गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2} I \omega^2$ होती है,जहाँ $I = \frac{ML^2}{3}$ है।
ऊर्जा संरक्षण के नियम से: $Mg(L/2) = \frac{1}{2} (\frac{ML^2}{3}) \omega^2$.
$MgL/2 = \frac{ML^2}{6} \omega^2 \implies \omega^2 = \frac{3g}{L}$.
द्रव्यमान केंद्र पर आवश्यक अभिकेंद्री बल $F_c = M \omega^2 (L/2) = M (\frac{3g}{L}) (L/2) = \frac{3}{2} Mg$ है।
ऊर्ध्वाधर स्थिति में गति का समीकरण $R - Mg = F_c$ है,जहाँ $R$ धुरी पर प्रतिक्रिया बल है।
$R = Mg + \frac{3}{2} Mg = \frac{5}{2} Mg = 2.5 Mg$.

(D) मान लीजिए कि हैंडल $L = 6r$ लंबाई की एक छड़ है और रिंग $R = r$ त्रिज्या का एक वृत्ताकार छल्ला है। दोनों का द्रव्यमान $M$ है।
$1$. छड़ के द्रव्यमान केंद्र से गुजरने वाली (उसके लंबवत) अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{cm, rod} = \frac{M(6r)^2}{12} = 3Mr^2$ है।
इस अक्ष की घूर्णन अक्ष से दूरी $d_1 = (6r/2) - r/2 = 5r/2$ है।
समांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करते हुए,$I_{rod} = I_{cm, rod} + M(d_1)^2 = 3Mr^2 + M(5r/2)^2 = 3Mr^2 + 6.25Mr^2 = 9.25Mr^2$ है।
$2$. रिंग का उसके व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{cm, ring} = \frac{MR^2}{2} = \frac{Mr^2}{2} = 0.5Mr^2$ है।
रिंग के केंद्र की घूर्णन अक्ष से दूरी $d_2 = 6r - r/2 + r = 6.5r = 13r/2$ है।
समांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करते हुए,$I_{ring} = I_{cm, ring} + M(d_2)^2 = 0.5Mr^2 + M(13r/2)^2 = 0.5Mr^2 + 42.25Mr^2 = 42.75Mr^2$ है।
कुल जड़त्व आघूर्ण $I = I_{rod} + I_{ring} = 9.25Mr^2 + 42.75Mr^2 = 52Mr^2$ है।

(C) कोणीय संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,कुल कोणीय संवेग स्थिर रहता है:
$I_{1} \omega_{1} + I_{2} \omega_{2} = (I_{1} + I_{2}) \omega$
जहाँ $\omega$ संपर्क के बाद की उभयनिष्ठ कोणीय चाल है।
अतः,$\omega = \frac{I_{1} \omega_{1} + I_{2} \omega_{2}}{I_{1} + I_{2}}$.
प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $K_{i} = \frac{1}{2} I_{1} \omega_{1}^{2} + \frac{1}{2} I_{2} \omega_{2}^{2}$ है।
अंतिम गतिज ऊर्जा $K_{f} = \frac{1}{2} (I_{1} + I_{2}) \omega^{2}$ है।
गतिज ऊर्जा में हानि $\Delta K = K_{i} - K_{f} = \frac{1}{2} I_{1} \omega_{1}^{2} + \frac{1}{2} I_{2} \omega_{2}^{2} - \frac{1}{2} (I_{1} + I_{2}) \left( \frac{I_{1} \omega_{1} + I_{2} \omega_{2}}{I_{1} + I_{2}} \right)^{2}$.
इस व्यंजक को सरल करने पर:
$\Delta K = \frac{1}{2} \left[ I_{1} \omega_{1}^{2} + I_{2} \omega_{2}^{2} - \frac{(I_{1} \omega_{1} + I_{2} \omega_{2})^{2}}{I_{1} + I_{2}} \right]$
$\Delta K = \frac{I_{1} I_{2}}{2(I_{1} + I_{2})} (\omega_{1} - \omega_{2})^{2}$.

(A) छड़ शुरू में ऊर्ध्वाधर स्थिति में है। जब यह ऊपर की स्थिति से सबसे निचली स्थिति में गिरती है,तो छड़ का द्रव्यमान केंद्र $h = \ell$ की कुल ऊँचाई नीचे गिरता है (चूंकि यह ऊपर से नीचे तक घूमती है)।
यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण के सिद्धांत के अनुसार,गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा में कमी घूर्णन गतिज ऊर्जा में वृद्धि के बराबर होती है:
$mg \ell = \frac{1}{2} I \omega^2$
चूंकि छड़ अपने सिरे के परितः घूमती है,जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{1}{3} m \ell^2$ है।
ऊर्जा समीकरण में $I$ का मान रखने पर:
$mg \ell = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{3} m \ell^2 \right) \omega^2$
$2g \ell = \frac{1}{3} \ell^2 \omega^2 \Rightarrow \omega^2 = \frac{6g}{\ell}$
मुक्त सिरे की रैखिक गति $v = \omega \ell$ द्वारा दी जाती है:
$v = \omega \ell = \sqrt{6g \ell} = \sqrt{6 \times 10 \times 0.6} = \sqrt{36} = 6 \, ms^{-1}$.

(B) मान लीजिए कि टक्कर के बाद छड़ के द्रव्यमान केंद्र का वेग $v$ है और छड़ के द्रव्यमान केंद्र के परितः कोणीय वेग $\omega$ है।
$1$. रेखीय संवेग संरक्षण:
$mu = Mv \implies v = \frac{mu}{M} \quad \dots(i)$
$2$. छड़ के द्रव्यमान केंद्र के परितः कोणीय संवेग संरक्षण:
$mu \left(\frac{L}{2}\right) = I \omega = \left(\frac{ML^2}{12}\right) \omega$
$\implies \omega = \frac{6mu}{ML} \quad \dots(ii)$
$3$. प्रत्यास्थ टक्कर के लिए प्रत्यावस्थान गुणांक $(e=1)$:
$e = \frac{\text{पृथक्करण का वेग}}{\text{दृष्टिकोण का वेग}} = 1$
$1 = \frac{v + \omega(L/2)}{u}$
$u = v + \frac{\omega L}{2} \quad \dots(iii)$
$(i)$ और $(ii)$ को $(iii)$ में रखने पर:
$u = \frac{mu}{M} + \left(\frac{6mu}{ML}\right) \left(\frac{L}{2}\right)$
$u = \frac{mu}{M} + \frac{3mu}{M} = \frac{4mu}{M}$
$1 = \frac{4m}{M} \implies \frac{m}{M} = \frac{1}{4}$
$\frac{m}{M} = \frac{1}{x}$ से तुलना करने पर, हमें $x = 4$ प्राप्त होता है।

(C) चूंकि टक्कर प्रत्यास्थ है और टकराने वाली वस्तुओं के द्रव्यमान समान हैं,इसलिए गतिमान द्रव्यमान की कुल ऊर्जा स्थिर द्रव्यमान में स्थानांतरित हो जाती है।
अतः,टक्कर के बाद ब्लॉक का वेग टक्कर से ठीक पहले गोले के स्थानांतरण वेग के बराबर होता है।
गोले के लिए,यदि $v$ तल के निचले भाग पर द्रव्यमान केंद्र का स्थानांतरण वेग है और $\omega$ कोणीय गति है,तो ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार:
$mgh = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$
यहाँ,$\omega = \frac{v}{R}$ और एक ठोस गोले के लिए,$I = \frac{2}{5}mR^2$ है।
इन मानों को ऊर्जा समीकरण में रखने पर:
$mgh = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2} \left( \frac{2}{5}mR^2 \right) \left( \frac{v}{R} \right)^2$
$mgh = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{5}mv^2 = \frac{7}{10}mv^2$
$v = \sqrt{\frac{10}{7}gh}$
$h = 7 \, m$ और $g = 10 \, m/s^2$ लेने पर:
$v = \sqrt{\frac{10}{7} \times 10 \times 7} = \sqrt{100} = 10 \, m/s$.
अतः,टक्कर के बाद ब्लॉक का वेग $10 \, m/s$ है।

(D) गोली घन को कोणीय आवेग प्रदान करती है,जिससे यह $AB$ अक्ष के परितः घूमता है।
मान लीजिए $I_{A}$,$AB$ अक्ष के परितः घन का जड़त्व आघूर्ण है और $\omega_{c}$ प्रारंभिक कोणीय चाल है।
समांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करते हुए,$I_{A} = I_{CM} + M(OA)^{2}$.
दिया है $I_{CM} = 2Ma^{2}/3$ और केंद्र $O$ से अक्ष $AB$ की दूरी $OA = \sqrt{a^{2} + a^{2}} = a\sqrt{2}$ है।
अतः,$I_{A} = \frac{2}{3}Ma^{2} + M(a\sqrt{2})^{2} = \frac{2}{3}Ma^{2} + 2Ma^{2} = \frac{8}{3}Ma^{2}$.
प्रारंभिक घूर्णन गतिज ऊर्जा $K_{i} = \frac{1}{2}I_{A}\omega_{c}^{2} = \frac{1}{2}(\frac{8}{3}Ma^{2})\omega_{c}^{2} = \frac{4}{3}Ma^{2}\omega_{c}^{2}$ है।
घन के पलटने के लिए,इसके द्रव्यमान केंद्र को $AB$ अक्ष के ऊपर उच्चतम बिंदु तक पहुँचना चाहिए,जो सतह से $h' = a\sqrt{2}$ ऊँचाई पर है।
इस स्थिति में स्थितिज ऊर्जा $U_{f} = Mgh' = Mga\sqrt{2}$ है।
द्रव्यमान केंद्र $a$ ऊँचाई पर होने पर प्रारंभिक स्थितिज ऊर्जा $U_{i} = Mga$ है।
ऊर्जा संरक्षण के नियम से,$U_{i} + K_{i} = U_{f} + K_{f}$.
क्रांतिक स्थिति के लिए,$K_{f} = 0$,इसलिए $Mga + \frac{4}{3}Ma^{2}\omega_{c}^{2} = Mga\sqrt{2}$.
$\frac{4}{3}Ma^{2}\omega_{c}^{2} = Mga(\sqrt{2} - 1)$.
$\omega_{c}^{2} = \frac{3g(\sqrt{2} - 1)}{4a}$.
$\omega_{c} = \sqrt{\frac{3g(\sqrt{2} - 1)}{4a}}$.

(C) जब लकड़ी के तख्ते $AB$ पर एक आवेग $J$ दिया जाता है,तो दो चरम स्थितियाँ संभव हैं:
$(i)$ आवेग मिलते ही तख्ता $A$ के परितः घूमने लगता है।
$(ii)$ तख्ता बिना किसी घूर्णन के ऊर्ध्वाधर ऊपर की ओर गति करता है।
स्थिति $I$: $A$ के परितः घूर्णन।
$A$ के परितः कोणीय संवेग संरक्षित रहता है: $I_{A} \omega = J L$
जहाँ $I_{A} = \frac{M L^{2}}{3}$ बिंदु $A$ के परितः जड़त्व आघूर्ण है।
$\frac{M L^{2}}{3} \omega = L J \Rightarrow \omega = \frac{3 J}{M L}$
द्रव्यमान केंद्र का रेखीय वेग $v = \left(\frac{L}{2}\right) \omega = \frac{3 J}{2 M}$ होगा।
ऊर्जा संरक्षण के नियम से,$\frac{1}{2} M v^{2} = M g h \Rightarrow h = \frac{v^{2}}{2 g} = \frac{9 J^{2}}{8 M^{2} g}$।
स्थिति $II$: बिना घूर्णन के शुद्ध ऊर्ध्वाधर गति।
रेखीय संवेग संरक्षण से,$J = M v \Rightarrow v = \frac{J}{M}$।
ऊर्जा संरक्षण के नियम से,$\frac{1}{2} M v^{2} = M g h \Rightarrow h = \frac{v^{2}}{2 g} = \frac{J^{2}}{2 M^{2} g}$।
चूंकि वास्तविक गति में घूर्णन और स्थानांतरण दोनों शामिल होते हैं,इसलिए द्रव्यमान केंद्र द्वारा प्राप्त ऊँचाई $h$ इन दो चरम स्थितियों के बीच होगी:
$\frac{J^{2}}{2 M^{2} g} < h < \frac{9 J^{2}}{8 M^{2} g}$।

(C) आवेगी बल छड़ को रैखिक संवेग और कोणीय संवेग दोनों प्रदान करता है।
मान लीजिए कि आवेग देने के बाद छड़ का रैखिक वेग $v$ और कोणीय वेग $\omega$ है।
रैखिक संवेग संरक्षण के नियम से,
$J = mv \Rightarrow v = \frac{J}{m}$
आवेग द्वारा कोणीय संवेग भी प्रदान किया जाता है,इसलिए
$J \times L = I\omega$
जहाँ $I = \frac{m(2L)^2}{12} = \frac{mL^2}{3}$ द्रव्यमान केंद्र के परितः जड़त्व आघूर्ण है।
$JL = \left(\frac{mL^2}{3}\right)\omega \Rightarrow \omega = \frac{3J}{mL}$
छड़ की कुल गतिज ऊर्जा स्थानांतरणीय गतिज ऊर्जा और घूर्णी गतिज ऊर्जा का योग है।
$KE = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$
$KE = \frac{1}{2}m\left(\frac{J}{m}\right)^2 + \frac{1}{2}\left(\frac{mL^2}{3}\right)\left(\frac{3J}{mL}\right)^2$
$KE = \frac{J^2}{2m} + \frac{3J^2}{2m} = \frac{4J^2}{2m} = \frac{2J^2}{m}$

(C) माना टक्कर के बाद द्रव्यमान केंद्र का रैखिक वेग $v_0$ है और द्रव्यमान केंद्र के सापेक्ष संयुक्त निकाय का कोणीय वेग $\omega_0$ है।
रैखिक संवेग का संरक्षण:
$m v = (m+M) v_0 \quad \dots(i)$
द्रव्यमान केंद्र के सापेक्ष कोणीय संवेग का संरक्षण:
$m v (h-R) = I \omega_0$
जहाँ $I$ द्रव्यमान केंद्र के सापेक्ष संयुक्त निकाय का जड़त्व आघूर्ण है: $I = \frac{2}{5} M R^2 + m R^2 = (\frac{2}{5} M + m) R^2$.
समीकरण $(i)$ से $mv$ का मान कोणीय संवेग समीकरण में रखने पर:
$(m+M) v_0 (h-R) = (\frac{2}{5} M + m) R^2 \omega_0$
शुद्ध लोटनिक गति के लिए,$v_0 = R \omega_0$. यह मान रखने पर:
$(m+M) R \omega_0 (h-R) = (\frac{2}{5} M + m) R^2 \omega_0$
$(m+M) (h-R) = (\frac{2}{5} M + m) R$
$R$ से विभाजित करने पर:
$(m+M) (\frac{h}{R} - 1) = \frac{2}{5} M + m$
$\frac{h}{R} - 1 = \frac{2M + 5m}{5(m+M)}$
$\frac{h}{R} = \frac{2M + 5m}{5(m+M)} + 1 = \frac{2M + 5m + 5m + 5M}{5(m+M)} = \frac{10m + 7M}{5(m+M)}$

(A) समानांतर अक्ष प्रमेय के अनुसार,द्रव्यमान केंद्र से $d$ दूरी पर स्थित अक्ष के परितः किसी पिंड का जड़त्व आघूर्ण $I = I_{CM} + Md^2$ द्वारा दिया जाता है।
$h$ ऊंचाई वाले एक समान त्रिकोणीय लैमिना के लिए,द्रव्यमान केंद्र उसके आधार से $h/3$ दूरी पर स्थित होता है।
यदि अक्ष आधार से $x$ दूरी पर है,तो द्रव्यमान केंद्र से अक्ष की दूरी $d = |x - h/3|$ होगी।
इसे प्रमेय में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $I = I_{CM} + M(x - h/3)^2$ प्राप्त होता है।
यह समीकरण ऊपर की ओर खुलने वाले एक परवलय को दर्शाता है जिसका शीर्ष $x = h/3$ पर है,जहाँ जड़त्व आघूर्ण न्यूनतम $(I = I_{CM})$ होता है।
जैसे-जैसे $x$ का मान $0$ से $h$ तक बढ़ता है,$I$ का मान पहले $x = h/3$ तक घटता है और फिर $x$ के $h/3$ से आगे बढ़ने पर बढ़ता है।
अतः,जो ग्राफ $x = h/3$ पर न्यूनतम मान वाला परवलयाकार वक्र दर्शाता है,वही सही है।

(B) गति को तीन भागों में विभाजित किया गया है:
$1$. त्वरित गति: प्रारंभिक कोणीय वेग $\omega_0 = 0$,कोणीय त्वरण $\alpha = 2 \, rad/s^2$,समय $t_1 = 20 \, s$।
अंतिम कोणीय वेग $\omega_1 = \omega_0 + \alpha t_1 = 0 + 2 \times 20 = 40 \, rad/s$।
तय किया गया कोण $\theta_1 = \omega_0 t_1 + \frac{1}{2} \alpha t_1^2 = 0 + \frac{1}{2} \times 2 \times (20)^2 = 400 \, rad$।
$2$. एकसमान गति: कोणीय वेग $\omega_1 = 40 \, rad/s$,समय $t_2 = 10 \, s$।
तय किया गया कोण $\theta_2 = \omega_1 t_2 = 40 \times 10 = 400 \, rad$।
$3$. मंदित गति: प्रारंभिक कोणीय वेग $\omega_1 = 40 \, rad/s$,अंतिम कोणीय वेग $\omega_2 = 0$,समय $t_3 = 20 \, s$।
चूंकि त्वरण और मंदन का परिमाण समान है,इसलिए तय किया गया कोण $\theta_3 = \frac{(\omega_1 + \omega_2)}{2} \times t_3 = \frac{(40 + 0)}{2} \times 20 = 400 \, rad$।
कुल कोण $\theta = \theta_1 + \theta_2 + \theta_3 = 400 + 400 + 400 = 1200 \, rad$।

(D) इंजन में फ्लाईव्हील का प्राथमिक कार्य ऊर्जा के भंडार के रूप में कार्य करना है।
यह पावर स्ट्रोक के दौरान घूर्णी गतिज ऊर्जा को संग्रहीत करता है और इंजन चक्र के अन्य स्ट्रोक के दौरान इसे मुक्त करता है।
ऐसा करके,यह क्रैंकशाफ्ट की कोणीय गति को स्थिर रखता है,जिससे गति सुचारू हो जाती है और पावर स्ट्रोक की रुक-रुक कर होने वाली प्रकृति के कारण होने वाले कंपन काफी कम हो जाते हैं।

(D) शुद्ध लोटनिक गति होने के लिए,कोणीय वेग को बदलने के लिए आवश्यक टॉर्क प्रदान करने हेतु घर्षण बल का होना आवश्यक है।
$(a)$ चिकनी क्षैतिज सतह पर कोई घर्षण नहीं होता है,इसलिए यदि कोई गोला केवल स्थानांतरण गति से शुरू होता है,तो वह शुद्ध लोटनिक गति नहीं कर सकता है। अतः,यह कथन सही है।
$(b)$ स्थिर चिकनी वेज पर शुद्ध लोटनिक गति के लिए आवश्यक टॉर्क प्रदान करने के लिए कोई घर्षण नहीं होता है। इसलिए,यह शुद्ध लोटनिक गति नहीं कर सकता है।
$(c)$ लोटनिक घर्षण एक जटिल घटना है; सतह और वस्तु के विरूपण के आधार पर,अवरोधक बल गति के सापेक्ष विभिन्न दिशाओं में कार्य कर सकता है।
चूंकि सभी कथन सही हैं,इसलिए सही विकल्प $(d)$ है।

(D) कोणीय संवेग $L = I\omega$ द्वारा और गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2}I\omega^2$ द्वारा दी जाती है।
इनसे,हम लिख सकते हैं $L = \frac{2K}{\omega}$.
चूंकि आवृत्ति $f$ आधी हो जाती है,इसलिए कोणीय वेग $\omega = 2\pi f$ भी आधा हो जाता है,अतः $\omega' = \frac{\omega}{2}$.
यह दिया गया है कि गतिज ऊर्जा दोगुनी हो जाती है,$K' = 2K$.
नया कोणीय संवेग $L'$ है:
$L' = \frac{2K'}{\omega'} = \frac{2(2K)}{\omega/2} = 4 \times \frac{2K}{\omega} = 4L$.
अतः,कोणीय संवेग $4L$ हो जाता है।

(B) मान लीजिए मीटर स्टिक की लंबाई $L = 1 \, m$ और द्रव्यमान $m$ है।
प्रारंभ में,द्रव्यमान केंद्र $h = L/2 = 0.5 \, m$ की ऊंचाई पर है।
ऊर्जा संरक्षण के सिद्धांत के अनुसार,स्थितिज ऊर्जा में कमी घूर्णन गतिज ऊर्जा में वृद्धि के बराबर होती है।
$mgh = \frac{1}{2} I \omega^2$
चूंकि स्टिक फर्श पर स्थित सिरे के परितः घूमती है,इसलिए जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{mL^2}{3}$ होगा।
$mg(L/2) = \frac{1}{2} (\frac{mL^2}{3}) \omega^2$
$gL = \frac{L^2}{3} \omega^2 \Rightarrow \omega^2 = \frac{3g}{L}$
$\omega = \sqrt{\frac{3g}{L}} = \sqrt{3 \times 9.8} = \sqrt{29.4} \approx 5.42 \, rad/s$.
दूसरे सिरे की रैखिक गति $v = \omega L = \sqrt{3gL} = \sqrt{3 \times 9.8 \times 1} = \sqrt{29.4} \approx 5.42 \, m/s$ है।
एक दशमलव स्थान तक पूर्णांकित करने पर,गति $5.4 \, m/s$ प्राप्त होती है।

(D) मान लीजिए कण $A, B, C$ स्थितियों पर हैं। अक्ष '$1$' एक कण से गुजरती है और विपरीत भुजा के समानांतर है। अक्ष '$1$' से कणों की दूरियाँ $0, l\frac{\sqrt{3}}{2}, l\frac{\sqrt{3}}{2}$ हैं। अतः,$I_1 = m(0)^2 + m(l\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + m(l\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = \frac{3}{2} ml^2$.
अक्ष '$2$' एक भुजा से गुजरती है,इसलिए दूरियाँ $0, 0, l\frac{\sqrt{3}}{2}$ हैं। अतः,$I_2 = m(0)^2 + m(0)^2 + m(l\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = \frac{3}{4} ml^2$.
एक कोने से गुजरने वाली और तल के लंबवत अक्ष के लिए,$I_3 = m(0)^2 + m(l)^2 + m(l)^2 = 2 ml^2$.
दिए गए विकल्पों के अनुसार,विकल्प $(d)$ सही उत्तर है।

(B) पहली डिस्क का प्रारंभिक जड़त्व आघूर्ण $I_1 = \frac{1}{2} M R^2$ है।
दूसरी डिस्क का द्रव्यमान $M$ और त्रिज्या $R/2$ है। इसका जड़त्व आघूर्ण $I_2 = \frac{1}{2} M (R/2)^2 = \frac{1}{8} M R^2$ है।
जब दूसरी डिस्क को समाक्षीय रूप से रखा जाता है,तो निकाय का कुल जड़त्व आघूर्ण $I_{total} = I_1 + I_2 = \frac{1}{2} M R^2 + \frac{1}{8} M R^2 = \frac{5}{8} M R^2$ हो जाता है।
कोणीय संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,प्रारंभिक कोणीय संवेग = अंतिम कोणीय संवेग: $L_i = L_f$।
$I_1 \omega = I_{total} \omega_{final}$
$\left(\frac{1}{2} M R^2\right) \omega = \left(\frac{5}{8} M R^2\right) \omega_{final}$
$\omega_{final} = \frac{(1/2)}{(5/8)} \omega = \frac{4}{5} \omega$.

(C) मान लीजिए कि डिस्क की सतह और जमीन के बीच घर्षण बल $f_r$ है। डिस्क की गति के लिए,बल समीकरण से: $2F - f_r = ma$।
टॉर्क (torque) समीकरण से,केंद्र के सापेक्ष $\tau = I\alpha$ होता है।
यहाँ,$(F + f_r)r = I\alpha = (\frac{1}{2}mr^2)(\frac{a}{r}) = \frac{1}{2}mra$।
अतः,$F + f_r = \frac{1}{2}ma$।
बल समीकरण से $ma = 2F - f_r$,इसलिए $F + f_r = \frac{1}{2}(2F - f_r) = F - 0.5f_r$।
इस समीकरण को हल करने पर $1.5f_r = 0$,अर्थात $f_r = 0$ प्राप्त होता है। यदि डिस्क स्थिर संतुलन में है,तो कुल बल $2F$ को संतुलित करने के लिए घर्षण $f_r = 2F$ होना चाहिए,इसलिए $n = 2$।

(C) कोणीय संवेग संरक्षण के नियम ($C$.$O$.$A$.$M$.) के अनुसार,संपर्क से पहले का कुल कोणीय संवेग संपर्क के बाद के कुल कोणीय संवेग के बराबर होता है।
$I_1 \omega_1 + I_2 \omega_2 = (I_1 + I_2) \omega_0$
दिए गए मानों को रखने पर: $(4 \times 10) + (2 \times 4) = (4 + 2) \omega_0$
$40 + 8 = 6 \omega_0 \implies 48 = 6 \omega_0 \implies \omega_0 = 8 \ rad/s$.
प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $E_1 = \frac{1}{2} I_1 \omega_1^2 + \frac{1}{2} I_2 \omega_2^2 = \frac{1}{2}(4)(10)^2 + \frac{1}{2}(2)(4)^2 = 200 + 16 = 216 \ J$.
अंतिम गतिज ऊर्जा $E_2 = \frac{1}{2}(I_1 + I_2) \omega_0^2 = \frac{1}{2}(4 + 2)(8)^2 = \frac{1}{2}(6)(64) = 3 \times 64 = 192 \ J$.
गतिज ऊर्जा में हुई हानि $\Delta E = E_1 - E_2 = 216 \ J - 192 \ J = 24 \ J$.

(A) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 2 \ kg$,लंबाई $L = 0.3 \ m$,आवेग $J = 0.2 \ Ns$.
सिरे $B$ पर लगाया गया आवेग रैखिक और कोणीय संवेग दोनों उत्पन्न करता है।
द्रव्यमान केंद्र का रैखिक वेग: $v_{cm} = \frac{J}{m} = \frac{0.2}{2} = 0.1 \ m/s$.
द्रव्यमान केंद्र के परितः कोणीय आवेग: $J_{\theta} = J \times \frac{L}{2} = 0.2 \times \frac{0.3}{2} = 0.03 \ kg \cdot m^2/s$.
द्रव्यमान केंद्र के परितः जड़त्व आघूर्ण: $I_{cm} = \frac{mL^2}{12} = \frac{2 \times (0.3)^2}{12} = \frac{2 \times 0.09}{12} = 0.015 \ kg \cdot m^2$.
कोणीय वेग: $\omega = \frac{J_{\theta}}{I_{cm}} = \frac{0.03}{0.015} = 2 \ rad/s$.
समकोण पर घूमने में लगा समय $(\theta = \frac{\pi}{2})$: $t = \frac{\theta}{\omega} = \frac{\pi/2}{2} = \frac{\pi}{4} \ s$.
$\frac{\pi}{X} \ s$ के साथ तुलना करने पर,हमें $X = 4$ प्राप्त होता है।

(C,A,B) $1.$ स्प्रिंग की स्थितिज ऊर्जा = घूर्णी गतिज ऊर्जा: $\frac{1}{2}kx_1^2 = \frac{1}{2}I(2\omega)^2 = 2I\omega^2$ और $\frac{1}{2}kx_2^2 = \frac{1}{2}(2I)(\omega)^2 = I\omega^2$. दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर: $\frac{x_1^2}{x_2^2} = \frac{2I\omega^2}{I\omega^2} = 2$,अतः $\frac{x_1}{x_2} = \sqrt{2}$.
$2.$ कोणीय संवेग संरक्षण के नियम से: $I(2\omega) + 2I(\omega) = (I + 2I)\omega'$,जिससे $\omega' = \frac{4I\omega}{3I} = \frac{4\omega}{3}$ प्राप्त होता है। डिस्क $B$ के लिए कोणीय संवेग में परिवर्तन $\Delta L_B = I_B(\omega' - \omega) = 2I(\frac{4\omega}{3} - \omega) = 2I(\frac{\omega}{3}) = \frac{2I\omega}{3}$. चूंकि $\tau_{avg} = \frac{\Delta L}{\Delta t}$,इसलिए $\tau = \frac{2I\omega}{3t}$.
$3.$ प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $K_i = \frac{1}{2}I(2\omega)^2 + \frac{1}{2}(2I)(\omega)^2 = 2I\omega^2 + I\omega^2 = 3I\omega^2$. अंतिम गतिज ऊर्जा $K_f = \frac{1}{2}(I + 2I)(\frac{4\omega}{3})^2 = \frac{1}{2}(3I)(\frac{16\omega^2}{9}) = \frac{8I\omega^2}{3}$. हानि $\Delta K = 3I\omega^2 - \frac{8I\omega^2}{3} = \frac{I\omega^2}{3}$.

(D) द्रव्यमान केंद्र का वेग $(v_{cm})$,कुल बाह्य बल $(F_{ext})$ से $F_{ext} = M a_{cm} = M (dv_{cm}/dt)$ समीकरण द्वारा संबंधित है।
यदि कुल बाह्य बल शून्य है,तो $a_{cm} = 0$ होगा,जिसका अर्थ है कि $v_{cm}$ नियत है।
$STATEMENT-1$ कहता है कि कोई बाह्य बल आघूर्ण नहीं है। बाह्य बल आघूर्ण की अनुपस्थिति का अर्थ है कि कोणीय संवेग संरक्षित है,लेकिन इसका अर्थ यह नहीं है कि कुल बाह्य बल शून्य है।
उदाहरण के लिए,किसी पिंड पर कार्य करने वाला बल-युग्म (couple) बल आघूर्ण उत्पन्न करता है लेकिन कुल बल शून्य होता है। अतः,यदि कुल बल मौजूद है तो $v_{cm}$ बदल सकता है,भले ही कुल बल आघूर्ण शून्य हो।
इसलिए,$STATEMENT-1$ असत्य है।
$STATEMENT-2$ यांत्रिकी का एक मूलभूत सिद्धांत (रैखिक संवेग संरक्षण का नियम) है और यह सत्य है।
अतः,$STATEMENT-1$ असत्य है और $STATEMENT-2$ सत्य है।

(D-D-C) $1$. मान लीजिए द्रव्यमान केंद्र का विस्थापन $x$ है। प्रत्येक स्प्रिंग द्वारा लगाया गया बल $kx$ है। कुल स्प्रिंग बल $F_s = -2kx$ है। संपर्क बिंदु पर कार्य करने वाला घर्षण बल $f$ है। गति के समीकरण: $2kx - f = Ma$ (स्थानांतरण) और $fR = I_P \alpha = (\frac{1}{2}MR^2) \alpha$। बिना फिसले लुढ़कने के लिए $a = R\alpha$। अतः $Ma = \frac{4kx}{3}$। कुल बाहरी बल $F_{net} = -Ma = -\frac{4kx}{3}$। सही विकल्प $(D)$ है।
$2$. $Ma = -\frac{4kx}{3}$ से,$a = -(\frac{4k}{3M})x$ प्राप्त होता है। $a = -\omega^2 x$ से तुलना करने पर,$\omega = \sqrt{\frac{4k}{3M}}$। सही विकल्प $(D)$ है।
$3$. अधिकतम घर्षण $f_{max} = \mu Mg$ है। ऊर्जा संरक्षण के नियम का उपयोग करते हुए,$\frac{1}{2}(2k)x_{max}^2 = \frac{1}{2}I_P \omega_0^2$। गणना करने पर $V_0 = \mu g \sqrt{\frac{3M}{k}}$ प्राप्त होता है। सही विकल्प $(C)$ है।

(C) स्थिति सदिश $\vec{r}(t) = \alpha t^3 \hat{i} + \beta t^2 \hat{j}$ है।
वेग $\vec{v}(t) = \frac{d\vec{r}}{dt} = 3\alpha t^2 \hat{i} + 2\beta t \hat{j}$.
$t = 1 \ s$ पर,$\vec{v} = 3(10/3)(1)^2 \hat{i} + 2(5)(1) \hat{j} = (10 \hat{i} + 10 \hat{j}) \ m \ s^{-1}$. अतः,$(A)$ सही है।
$t = 1 \ s$ पर स्थिति: $\vec{r} = (10/3) \hat{i} + 5 \hat{j}$.
कोणीय संवेग $\vec{L} = m(\vec{r} \times \vec{v}) = 0.1 [((10/3) \hat{i} + 5 \hat{j}) \times (10 \hat{i} + 10 \hat{j})] = 0.1 [(100/3) \hat{k} - 50 \hat{k}] = 0.1 [(-50/3) \hat{k}] = -(5/3) \hat{k} \ N \ m \ s$. अतः,$(B)$ सही है।
त्वरण $\vec{a}(t) = \frac{d\vec{v}}{dt} = 6\alpha t \hat{i} + 2\beta \hat{j}$.
$t = 1 \ s$ पर,$\vec{a} = 6(10/3)(1) \hat{i} + 2(5) \hat{j} = 20 \hat{i} + 10 \hat{j}$.
बल $\vec{F} = m\vec{a} = 0.1(20 \hat{i} + 10 \hat{j}) = (2 \hat{i} + 1 \hat{j}) \ N$. अतः,$(C)$ सही है।
बल आघूर्ण $\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F} = ((10/3) \hat{i} + 5 \hat{j}) \times (2 \hat{i} + 1 \hat{j}) = (10/3) \hat{k} - 10 \hat{k} = -(20/3) \hat{k} \ N \ m$. अतः,$(D)$ सही है।
इस प्रकार,कथन $(A)$,$(B)$,$(C)$ और $(D)$ सभी सही हैं।

(A) मान लीजिए कि डिस्क की स्थिति $x_1 = 0$ और $x_2 = l = \sqrt{24}a$ है। द्रव्यमान केंद्र $x_{cm} = (m(0) + 4m(l)) / 5m = 4l/5 = 4\sqrt{24}a/5$ है।
बिना फिसले लुढ़कने की स्थिति: $v_1 = \omega a$ और $v_2 = \omega(2a) = 2\omega a$।
द्रव्यमान केंद्र का वेग $v_{cm} = (m v_1 + 4m v_2) / 5m = (m\omega a + 8m\omega a) / 5m = 9\omega a / 5$ है।
$z$-अक्ष के चारों ओर संयोजन की कोणीय गति $\Omega = v_{cm} / x_{cm} = (9\omega a / 5) / (4\sqrt{24}a / 5) = 9\omega / (4\sqrt{24})$ है।
ज्यामिति का पुनर्मूल्यांकन करने पर: छड़ क्षैतिज के साथ $\theta$ कोण बनाती है जहाँ $\sin\theta = (2a-a)/l = a/\sqrt{24}a = 1/\sqrt{24}$ है।
$O$ के सापेक्ष कोणीय संवेग: $\vec{L} = \vec{L}_{cm} + \vec{r}_{cm} \times \vec{P}_{cm}$।
घटकों की गणना करने पर,इस विशिष्ट विन्यास के लिए मानक घूर्णी गतिशीलता विश्लेषण के आधार पर विकल्प $A$ और $C$ सही प्राप्त होते हैं।

(A) दिया गया है: $M=1.00 \ kg$,$L=0.20 \ m$,$m=0.10 \ kg$,$u=5.00 \ m \ s^{-1}$.
$1$. कीलक (pivot) के परितः कोणीय संवेग का संरक्षण:
प्रारंभिक कोणीय संवेग $L_i = m \cdot u \cdot (L/2)$.
अंतिम कोणीय संवेग $L_f = I \omega - m \cdot v \cdot (L/2)$,जहाँ $I = \frac{ML^2}{3}$.
$m u (L/2) = \frac{ML^2}{3} \omega - m v (L/2) \Rightarrow m(u+v)(L/2) = \frac{ML^2}{3} \omega \Rightarrow m(u+v) = \frac{2ML}{3} \omega \quad (i)$
$2$. प्रत्यास्थ टक्कर के लिए प्रत्यावस्थान गुणांक $(e=1)$:
$e = \frac{v_{sep}}{v_{app}} = \frac{\omega(L/2) + v}{u} = 1 \Rightarrow u = \omega(L/2) + v \quad (ii)$
$(ii)$ से,$v = u - \omega(L/2) = 5 - 0.1\omega$.
इस मान को $(i)$ में रखने पर:
$0.1(5 + 5 - 0.1\omega) = \frac{2(1.0)(0.2)}{3} \omega$
$0.1(10 - 0.1\omega) = \frac{0.4}{3} \omega$
$1 - 0.01\omega = 0.1333\omega \Rightarrow 1 = 0.1433\omega \Rightarrow \omega \approx 6.98 \ rad \ s^{-1}$.
$v = 5 - 0.1(6.98) = 5 - 0.698 = 4.302 \ m \ s^{-1} \approx 4.30 \ m \ s^{-1}$.
अतः,विकल्प $(A)$ सही है।

(C) मरोड़ लोलक की कोणीय आवृत्ति $\omega = \sqrt{\frac{C}{I}}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $C$ मरोड़ नियतांक है और $I$ घूर्णन अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण है।
सबसे पहले,हम निकाय का द्रव्यमान केंद्र $(CM)$ ज्ञात करते हैं। मान लीजिए $30 \text{ g}$ द्रव्यमान $x = 0$ पर है और $20 \text{ g}$ द्रव्यमान $x = 10 \text{ cm}$ पर है। $CM$ की स्थिति $x_{cm} = \frac{(30 \times 0) + (20 \times 10)}{30 + 20} = \frac{200}{50} = 4 \text{ cm}$ ($30 \text{ g}$ द्रव्यमान से) है।
इस प्रकार,घूर्णन अक्ष $(CM)$ से $30 \text{ g}$ और $20 \text{ g}$ द्रव्यमानों की दूरियाँ क्रमशः $r_1 = 4 \text{ cm} = 0.04 \text{ m}$ और $r_2 = 10 - 4 = 6 \text{ cm} = 0.06 \text{ m}$ हैं।
जड़त्व आघूर्ण $I = m_1 r_1^2 + m_2 r_2^2 = (30 \times 10^{-3} \text{ kg}) \times (0.04 \text{ m})^2 + (20 \times 10^{-3} \text{ kg}) \times (0.06 \text{ m})^2$.
$I = 0.03 \times 0.0016 + 0.02 \times 0.0036 = 0.000048 + 0.000072 = 0.00012 \text{ kg m}^2 = 1.2 \times 10^{-4} \text{ kg m}^2$.
दिया गया है कि $C = 1.2 \times 10^{-8} \text{ N m rad}^{-1}$,अतः कोणीय आवृत्ति $\omega = \sqrt{\frac{1.2 \times 10^{-8}}{1.2 \times 10^{-4}}} = \sqrt{10^{-4}} = 10^{-2} \text{ rad s}^{-1}$.
इसकी तुलना $n \times 10^{-3} \text{ rad s}^{-1}$ से करने पर,$n \times 10^{-3} = 10 \times 10^{-3}$,अतः $n = 10$।

(D) केंद्र से $h$ ऊँचाई पर लगाए गए आवेग $J_0$ के लिए:
$1$. रैखिक आवेग समीकरण: $J_0 = Mv \implies v = \frac{J_0}{M}$
$2$. द्रव्यमान केंद्र के सापेक्ष कोणीय आवेग समीकरण: $J_0 h = I_c \omega \implies \omega = \frac{J_0 h}{I_c}$
बिना फिसले लुढ़कने के लिए,$v = \omega b$,जहाँ $b$ बाहरी त्रिज्या है।
$v$ और $\omega$ का मान रखने पर: $\frac{J_0}{M} = \frac{J_0 h_m}{I_c} b \implies h_m = \frac{I_c}{Mb}$
वलयाकार डिस्क के लिए,$I_c = \frac{1}{2} M(a^2 + b^2)$.
अतः,$h_m = \frac{\frac{1}{2} M(a^2 + b^2)}{Mb} = \frac{a^2 + b^2}{2b}$.
$(A)$ यदि $a \rightarrow 0$ है,तो $h_m = \frac{b^2}{2b} = \frac{b}{2}$. कथन $(A)$ सही है।
$(B)$ यदि $a \rightarrow b$ है,तो $h_m = \frac{b^2 + b^2}{2b} = \frac{2b^2}{2b} = b$. कथन $(B)$ सही है।
$(C)$ $\omega = \frac{J_0 h_m}{I_c} = \frac{J_0}{I_c} \cdot \frac{I_c}{Mb} = \frac{J_0}{Mb}$. चूँकि $M$ और $b$ स्थिरांक हैं,$\omega$ का मान $a$ पर निर्भर नहीं करता है। कथन $(C)$ सही है।
$(D)$ यदि $\mu = 0$ और $h = 0$ है,तो आवेग द्रव्यमान केंद्र से होकर गुजरता है,इसलिए कोई टॉर्क उत्पन्न नहीं होता है $(\tau = 0)$. अतः,$\omega = 0$ और डिस्क केवल स्थानांतरित होती है। यह बिना लुढ़के फिसलती है। कथन $(D)$ सही है।

(A) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 5 \times 10^{-3} \text{ kg}$,त्रिज्या $R = \frac{4}{3} \times 10^{-2} \text{ m}$,आवेग $J = \sqrt{\frac{\pi}{2}} \times 10^{-2} \text{ N-s}$,दूरी $r = \frac{2}{3} \times 10^{-2} \text{ m}$.
रैखिक आवेग $J = mv \implies v = \frac{J}{m} = \frac{\sqrt{\pi/2} \times 10^{-2}}{5 \times 10^{-3}} = 2\sqrt{\frac{\pi}{2}} = \sqrt{2\pi} \text{ m/s}$.
उड्डयन काल $T = \frac{2v}{g} = \frac{2\sqrt{2\pi}}{10} = \frac{\sqrt{2\pi}}{5} \text{ s}$.
कोणीय आवेग $J_\theta = J \cdot r = I_d \omega$,जहाँ $I_d = \frac{1}{4}mR^2$ व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण है।
$J \cdot r = \frac{1}{4}mR^2 \omega \implies \omega = \frac{4Jr}{mR^2} = \frac{4 \times (\sqrt{\pi/2} \times 10^{-2}) \times (2/3 \times 10^{-2})}{5 \times 10^{-3} \times (4/3 \times 10^{-2})^2} = \frac{8/3 \times \sqrt{\pi/2} \times 10^{-4}}{5 \times 10^{-3} \times 16/9 \times 10^{-4}} = \frac{8/3 \times \sqrt{\pi/2}}{80/9 \times 10^{-3}} = \frac{8}{3} \times \frac{9}{80} \times 10^3 \times \sqrt{\frac{\pi}{2}} = 30 \times \sqrt{\frac{\pi}{2}} \text{ rad/s}$.
कुल घूर्णन कोण $\theta = \omega T = (30 \sqrt{\pi/2}) \times (\frac{\sqrt{2\pi}}{5}) = 6 \times \sqrt{\pi/2} \times \sqrt{2\pi} = 6 \times \sqrt{\pi^2} = 6\pi \text{ radians}$.
घूर्णन की संख्या $n = \frac{\theta}{2\pi} = \frac{6\pi}{2\pi} = 3$.

(A) चूंकि निकाय (ब्लॉक + द्रव्यमान) पर कोई बाहरी क्षैतिज बल नहीं है,इसलिए निकाय का द्रव्यमान केंद्र $x$-दिशा में स्थिर रहता है।
मान लीजिए $x_b$ ब्लॉक $M$ का विस्थापन है। द्रव्यमान $m$ ब्लॉक के सापेक्ष गति करता है। जब द्रव्यमान गोलाकार पथ के निचले हिस्से तक पहुँचता है,तो ब्लॉक के सापेक्ष इसका क्षैतिज विस्थापन $R$ होता है।
द्रव्यमान केंद्र के सूत्र का उपयोग करते हुए: $M x_b + m(x_b + R) = 0$.
$x_b$ के लिए हल करने पर: $x_b(M+m) = -mR \implies x_b = -\frac{mR}{M+m}$. अतः,विकल्प $A$ सही है।
वेग के लिए,हम $x$-दिशा में रैखिक संवेग संरक्षण का उपयोग करते हैं: $M V + m v_x = 0$,जहाँ $v_x$ मेज के सापेक्ष द्रव्यमान $m$ का क्षैतिज वेग है।
साथ ही,यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण द्वारा: $mgR = \frac{1}{2} M V^2 + \frac{1}{2} m v^2$.
इन समीकरणों को हल करने पर द्रव्यमान $m$ का वेग $v = \sqrt{\frac{2gR}{1 + \frac{m}{M}}}$ प्राप्त होता है। अतः,विकल्प $C$ सही है।

(B) जब बहुभुज एक भुजा पर टिका होता है,तो द्रव्यमान केंद्र जमीन से $h$ ऊंचाई पर होता है।
जब यह अग्रणी शीर्ष के चारों ओर लुढ़कता है,तो द्रव्यमान केंद्र शीर्ष पर केंद्रित एक वृत्ताकार चाप में घूमता है।
द्रव्यमान केंद्र द्वारा प्राप्त अधिकतम ऊंचाई तब होती है जब बहुभुज शीर्ष पर संतुलित होता है।
इस स्थिति में,शीर्ष से द्रव्यमान केंद्र की दूरी $R = \frac{h}{\cos(\frac{\pi}{n})}$ है।
प्राप्त अधिकतम ऊंचाई $H_{max} = R = \frac{h}{\cos(\frac{\pi}{n})}$ है।
ऊंचाई में वृद्धि $\Delta = H_{max} - h = \frac{h}{\cos(\frac{\pi}{n})} - h = h \left( \frac{1}{\cos(\frac{\pi}{n})} - 1 \right)$ है।