$M$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाली एक समान पतली बेलनाकार डिस्क को दो समान द्रव्यमान रहित स्प्रिंगों से जोड़ा गया है,जिनका स्प्रिंग नियतांक $k$ है और जो चित्र में दिखाए अनुसार दीवार से जुड़ी हैं। स्प्रिंग डिस्क की धुरी से उसके केंद्र से $d$ दूरी पर दोनों ओर सममित रूप से जुड़ी हैं। धुरी द्रव्यमान रहित है और स्प्रिंग तथा धुरी दोनों क्षैतिज तल में हैं। प्रत्येक स्प्रिंग की बिना खिंची लंबाई $L$ है। डिस्क शुरू में अपनी संतुलन स्थिति में है और उसका द्रव्यमान केंद्र $(CM)$ दीवार से $L$ दूरी पर है। डिस्क $V_0 \hat{i}$ वेग के साथ बिना फिसले लुढ़कती है। घर्षण गुणांक $\mu$ है.
$1.$ जब डिस्क का द्रव्यमान केंद्र अपनी संतुलन स्थिति से $x$ विस्थापन पर होता है,तो डिस्क पर कार्य करने वाला कुल बाहरी बल क्या है?
$(A) -kx$ $(B) -2kx$ $(C) -\frac{2kx}{3}$ $(D) -\frac{4kx}{3}$
$2.$ डिस्क का द्रव्यमान केंद्र किस कोणीय आवृत्ति $\omega$ के साथ सरल आवर्त गति करता है?
$(A) \sqrt{\frac{k}{M}}$ $(B) \sqrt{\frac{2k}{M}}$ $(C) \sqrt{\frac{2k}{3M}}$ $(D) \sqrt{\frac{4k}{3M}}$
$3.$ $V_0$ का अधिकतम मान क्या है जिसके लिए डिस्क बिना फिसले लुढ़केगी?
$(A) \mu g \sqrt{\frac{M}{k}}$ $(B) \mu g \sqrt{\frac{M}{2k}}$ $(C) \mu g \sqrt{\frac{3M}{k}}$ $(D) \mu g \sqrt{\frac{5M}{2k}}$
$1.$ जब डिस्क का द्रव्यमान केंद्र अपनी संतुलन स्थिति से $x$ विस्थापन पर होता है,तो डिस्क पर कार्य करने वाला कुल बाहरी बल क्या है?
$(A) -kx$ $(B) -2kx$ $(C) -\frac{2kx}{3}$ $(D) -\frac{4kx}{3}$
$2.$ डिस्क का द्रव्यमान केंद्र किस कोणीय आवृत्ति $\omega$ के साथ सरल आवर्त गति करता है?
$(A) \sqrt{\frac{k}{M}}$ $(B) \sqrt{\frac{2k}{M}}$ $(C) \sqrt{\frac{2k}{3M}}$ $(D) \sqrt{\frac{4k}{3M}}$
$3.$ $V_0$ का अधिकतम मान क्या है जिसके लिए डिस्क बिना फिसले लुढ़केगी?
$(A) \mu g \sqrt{\frac{M}{k}}$ $(B) \mu g \sqrt{\frac{M}{2k}}$ $(C) \mu g \sqrt{\frac{3M}{k}}$ $(D) \mu g \sqrt{\frac{5M}{2k}}$
(D-D-C) $1$. मान लीजिए द्रव्यमान केंद्र का विस्थापन $x$ है। प्रत्येक स्प्रिंग द्वारा लगाया गया बल $kx$ है। कुल स्प्रिंग बल $F_s = -2kx$ है। संपर्क बिंदु पर कार्य करने वाला घर्षण बल $f$ है। गति के समीकरण: $2kx - f = Ma$ (स्थानांतरण) और $fR = I_P \alpha = (\frac{1}{2}MR^2) \alpha$। बिना फिसले लुढ़कने के लिए $a = R\alpha$। अतः $Ma = \frac{4kx}{3}$। कुल बाहरी बल $F_{net} = -Ma = -\frac{4kx}{3}$। सही विकल्प $(D)$ है।
$2$. $Ma = -\frac{4kx}{3}$ से,$a = -(\frac{4k}{3M})x$ प्राप्त होता है। $a = -\omega^2 x$ से तुलना करने पर,$\omega = \sqrt{\frac{4k}{3M}}$। सही विकल्प $(D)$ है।
$3$. अधिकतम घर्षण $f_{max} = \mu Mg$ है। ऊर्जा संरक्षण के नियम का उपयोग करते हुए,$\frac{1}{2}(2k)x_{max}^2 = \frac{1}{2}I_P \omega_0^2$। गणना करने पर $V_0 = \mu g \sqrt{\frac{3M}{k}}$ प्राप्त होता है। सही विकल्प $(C)$ है।
$2$. $Ma = -\frac{4kx}{3}$ से,$a = -(\frac{4k}{3M})x$ प्राप्त होता है। $a = -\omega^2 x$ से तुलना करने पर,$\omega = \sqrt{\frac{4k}{3M}}$। सही विकल्प $(D)$ है।
$3$. अधिकतम घर्षण $f_{max} = \mu Mg$ है। ऊर्जा संरक्षण के नियम का उपयोग करते हुए,$\frac{1}{2}(2k)x_{max}^2 = \frac{1}{2}I_P \omega_0^2$। गणना करने पर $V_0 = \mu g \sqrt{\frac{3M}{k}}$ प्राप्त होता है। सही विकल्प $(C)$ है।
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