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Mix Example - System of Particles and Rotational Motion Questions in Hindi
Class 11 Physics · System of Particles and Rotational Motion · Mix Example - System of Particles and Rotational Motion
262+
Questions
Hindi
Language
100%
With Solutions
Showing 48 of 262 questions in Hindi
201
AdvancedMCQ
$L$ लंबाई की एक कठोर एकसमान छड़ $AB$ घर्षण रहित फर्श पर अपनी ऊर्ध्वाधर स्थिति से फिसल रही है (जैसा कि चित्र में दिखाया गया है)। किसी क्षण,छड़ द्वारा ऊर्ध्वाधर के साथ बनाया गया कोण $\theta$ है। इसकी गति के बारे में निम्नलिखित में से कौन सा/से कथन सही है/हैं?
$[A]$ छड़ का मध्य बिंदु ऊर्ध्वाधर रूप से नीचे की ओर गिरेगा
$[B]$ बिंदु $A$ का प्रक्षेप पथ एक परवलय है
$[C]$ फर्श के संपर्क बिंदु के परितः तात्क्षणिक बलाघूर्ण $\sin \theta$ के समानुपाती है
$[D]$ जब छड़ ऊर्ध्वाधर के साथ $\theta$ कोण बनाती है,तो प्रारंभिक स्थिति से इसके मध्य बिंदु का विस्थापन $(1-\cos \theta)$ के समानुपाती होता है
$[A]$ छड़ का मध्य बिंदु ऊर्ध्वाधर रूप से नीचे की ओर गिरेगा
$[B]$ बिंदु $A$ का प्रक्षेप पथ एक परवलय है
$[C]$ फर्श के संपर्क बिंदु के परितः तात्क्षणिक बलाघूर्ण $\sin \theta$ के समानुपाती है
$[D]$ जब छड़ ऊर्ध्वाधर के साथ $\theta$ कोण बनाती है,तो प्रारंभिक स्थिति से इसके मध्य बिंदु का विस्थापन $(1-\cos \theta)$ के समानुपाती होता है
A
$A, C, D$
B
$B, C$
C
$A, B, C$
D
$B, D$
Solution
(C) $1$. चूंकि फर्श घर्षण रहित है,इसलिए छड़ पर कोई क्षैतिज बल कार्य नहीं कर रहा है। अतः,छड़ का द्रव्यमान केंद्र $(C.M.)$ केवल ऊर्ध्वाधर दिशा में गति करेगा। इस प्रकार,छड़ का मध्य बिंदु ऊर्ध्वाधर रूप से नीचे की ओर गिरेगा। कथन $[A]$ सही है।
$2$. ऊपरी सिरे $A$ का प्रक्षेप पथ परवलय नहीं है; यह एक दीर्घवृत्ताकार पथ का अनुसरण करता है। कथन $[B]$ गलत है।
$3$. फर्श के संपर्क बिंदु के परितः तात्क्षणिक बलाघूर्ण $\tau = mg \times (\frac{L}{2} \sin \theta)$ है,जो $\sin \theta$ के समानुपाती है। कथन $[C]$ सही है।
$4$. मध्य बिंदु की प्रारंभिक ऊँचाई $h_i = \frac{L}{2}$ है। जब छड़ ऊर्ध्वाधर के साथ $\theta$ कोण बनाती है,तो मध्य बिंदु की ऊँचाई $h_f = \frac{L}{2} \cos \theta$ होती है। ऊर्ध्वाधर विस्थापन $\Delta h = h_i - h_f = \frac{L}{2}(1 - \cos \theta)$ है। अतः,विस्थापन $(1 - \cos \theta)$ के समानुपाती है। कथन $[D]$ सही है।
इसलिए,कथन $[A], [C],$ और $[D]$ सही हैं।
$2$. ऊपरी सिरे $A$ का प्रक्षेप पथ परवलय नहीं है; यह एक दीर्घवृत्ताकार पथ का अनुसरण करता है। कथन $[B]$ गलत है।
$3$. फर्श के संपर्क बिंदु के परितः तात्क्षणिक बलाघूर्ण $\tau = mg \times (\frac{L}{2} \sin \theta)$ है,जो $\sin \theta$ के समानुपाती है। कथन $[C]$ सही है।
$4$. मध्य बिंदु की प्रारंभिक ऊँचाई $h_i = \frac{L}{2}$ है। जब छड़ ऊर्ध्वाधर के साथ $\theta$ कोण बनाती है,तो मध्य बिंदु की ऊँचाई $h_f = \frac{L}{2} \cos \theta$ होती है। ऊर्ध्वाधर विस्थापन $\Delta h = h_i - h_f = \frac{L}{2}(1 - \cos \theta)$ है। अतः,विस्थापन $(1 - \cos \theta)$ के समानुपाती है। कथन $[D]$ सही है।
इसलिए,कथन $[A], [C],$ और $[D]$ सही हैं।
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AdvancedMCQ
$R$ त्रिज्या और $M$ द्रव्यमान का एक पहिया $R$ ऊँचाई की एक स्थिर सीढ़ी के निचले भाग पर चित्र में दिखाए अनुसार रखा गया है। पहिये की सतह पर लगातार एक स्थिर बल लगाया जाता है ताकि वह बिना फिसले सीढ़ी पर चढ़ सके। बिंदु $Q$ से गुजरने वाली और कागज के तल के लंबवत अक्ष के परितः टॉर्क $\tau$ पर विचार करें। निम्नलिखित में से कौन सा/से विकल्प सही है/हैं?
A
यदि बल बिंदु $P$ पर स्पर्शरेखीय रूप से लगाया जाता है,तो जैसे-जैसे पहिया ऊपर चढ़ता है,$\tau$ लगातार घटता जाता है
B
यदि बल बिंदु $X$ पर परिधि के लंबवत लगाया जाता है,तो $\tau$ स्थिर रहता है
C
यदि बल बिंदु $P$ पर परिधि के लंबवत लगाया जाता है,तो $\tau$ शून्य होता है
D
यदि बल बिंदु $S$ पर स्पर्शरेखीय रूप से लगाया जाता है,तो $\tau \neq 0$ लेकिन पहिया कभी भी सीढ़ी पर नहीं चढ़ता है
Solution
(A, B) बिंदु $Q$ के परितः टॉर्क $\tau$ का विश्लेषण करने के लिए,हम पहिये पर कार्य करने वाले बलों पर विचार करते हैं। भार $Mg$ पहिये के केंद्र पर कार्य करता है। $Q$ के परितः गुरुत्वाकर्षण के कारण टॉर्क $\tau_g = Mg \cdot d_{\perp}$ है,जहाँ $d_{\perp}$ $Q$ से गुरुत्वाकर्षण की क्रिया रेखा तक की लंबवत दूरी है। जैसे-जैसे पहिया ऊपर चढ़ता है,यह दूरी बदलती रहती है।
विकल्प $A$ के लिए: यदि बिंदु $P$ पर स्पर्शरेखीय रूप से एक स्थिर बल $F$ लगाया जाता है,तो जैसे-जैसे पहिया घूमता है,$Q$ के परितः बल $F$ की लीवर आर्म बदल जाती है। जैसे-जैसे कोण $\theta$ (संपर्क बिंदु से त्रिज्या का क्षैतिज के साथ कोण) बढ़ता है,$Q$ से बल $F$ की लंबवत दूरी कम हो जाती है,जिससे टॉर्क $\tau$ लगातार घटता जाता है।
विकल्प $B$ के लिए: यदि बल बिंदु $X$ पर परिधि के लंबवत लगाया जाता है,तो बल सदिश हमेशा पहिये के केंद्र से होकर गुजरता है। जैसे-जैसे पहिया ऊपर चढ़ता है,$Q$ के परितः इस बल की लीवर आर्म स्थिर रहती है,इसलिए टॉर्क $\tau$ स्थिर रहता है।
विकल्प $C$ के लिए: यदि बल बिंदु $P$ पर परिधि के लंबवत लगाया जाता है,तो बल सदिश पहिये के केंद्र से होकर गुजरता है। $Q$ के परितः टॉर्क शून्य नहीं है क्योंकि बल सदिश $Q$ से होकर नहीं गुजरता है।
विकल्प $D$ के लिए: यदि बल बिंदु $S$ पर स्पर्शरेखीय रूप से लगाया जाता है,तो बल सदिश क्षैतिज होता है। $Q$ के परितः टॉर्क शून्य नहीं है,लेकिन $F$ के परिमाण के आधार पर,यह सीढ़ी पर चढ़ने के लिए पर्याप्त हो भी सकता है और नहीं भी। हालाँकि,यह कथन कि यह 'कभी नहीं' चढ़ता है,सभी $F$ के लिए सत्य नहीं है।
विकल्प $A$ के लिए: यदि बिंदु $P$ पर स्पर्शरेखीय रूप से एक स्थिर बल $F$ लगाया जाता है,तो जैसे-जैसे पहिया घूमता है,$Q$ के परितः बल $F$ की लीवर आर्म बदल जाती है। जैसे-जैसे कोण $\theta$ (संपर्क बिंदु से त्रिज्या का क्षैतिज के साथ कोण) बढ़ता है,$Q$ से बल $F$ की लंबवत दूरी कम हो जाती है,जिससे टॉर्क $\tau$ लगातार घटता जाता है।
विकल्प $B$ के लिए: यदि बल बिंदु $X$ पर परिधि के लंबवत लगाया जाता है,तो बल सदिश हमेशा पहिये के केंद्र से होकर गुजरता है। जैसे-जैसे पहिया ऊपर चढ़ता है,$Q$ के परितः इस बल की लीवर आर्म स्थिर रहती है,इसलिए टॉर्क $\tau$ स्थिर रहता है।
विकल्प $C$ के लिए: यदि बल बिंदु $P$ पर परिधि के लंबवत लगाया जाता है,तो बल सदिश पहिये के केंद्र से होकर गुजरता है। $Q$ के परितः टॉर्क शून्य नहीं है क्योंकि बल सदिश $Q$ से होकर नहीं गुजरता है।
विकल्प $D$ के लिए: यदि बल बिंदु $S$ पर स्पर्शरेखीय रूप से लगाया जाता है,तो बल सदिश क्षैतिज होता है। $Q$ के परितः टॉर्क शून्य नहीं है,लेकिन $F$ के परिमाण के आधार पर,यह सीढ़ी पर चढ़ने के लिए पर्याप्त हो भी सकता है और नहीं भी। हालाँकि,यह कथन कि यह 'कभी नहीं' चढ़ता है,सभी $F$ के लिए सत्य नहीं है।
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AdvancedMCQ
चित्र $1$ में दिखाए अनुसार एक व्यक्ति अपनी उंगली के सिरे के पास $M$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाली एक वृत्ताकार रिंग को घुमाता है। इस प्रक्रिया में,उंगली रिंग के भीतरी रिम के साथ संपर्क कभी नहीं खोती है। उंगली एक शंकु की सतह बनाती है,जिसे बिंदीदार रेखा द्वारा दिखाया गया है। रिंग और उंगली के संपर्क बिंदु द्वारा बनाए गए पथ की त्रिज्या $r$ है। उंगली $\omega_0$ कोणीय वेग के साथ घूमती है। घूमती हुई रिंग उस छोटे वृत्त के बाहर बिना फिसले लुढ़कती है जो रिंग और उंगली के संपर्क बिंदु द्वारा वर्णित है (चित्र $2$)। रिंग और उंगली के बीच घर्षण गुणांक $\mu$ है और गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण $g$ है।
$(1)$ रिंग की कुल गतिज ऊर्जा है
$[A]$ $M \omega_0^2 R^2$ $[B]$ $\frac{1}{2} M \omega_0^2(R-r)^2$ $[C]$ $M \omega_0^2(R-r)^2$ $[D]$ $\frac{3}{2} M \omega_0^2(R-r)^2$
$(2)$ $\omega_0$ का न्यूनतम मान जिसके नीचे रिंग नीचे गिर जाएगी,वह है
$[A]$ $\sqrt{\frac{g}{\mu(R-r)}}$ $[B]$ $\sqrt{\frac{2 g}{\mu(R-r)}}$ $[C]$ $\sqrt{\frac{3 g}{2 \mu(R-r)}}$ $[D]$ $\sqrt{\frac{g}{2 \mu(R-r)}}$
प्रश्न $(1)$ और $(2)$ के उत्तर दें:
$(1)$ रिंग की कुल गतिज ऊर्जा है
$[A]$ $M \omega_0^2 R^2$ $[B]$ $\frac{1}{2} M \omega_0^2(R-r)^2$ $[C]$ $M \omega_0^2(R-r)^2$ $[D]$ $\frac{3}{2} M \omega_0^2(R-r)^2$
$(2)$ $\omega_0$ का न्यूनतम मान जिसके नीचे रिंग नीचे गिर जाएगी,वह है
$[A]$ $\sqrt{\frac{g}{\mu(R-r)}}$ $[B]$ $\sqrt{\frac{2 g}{\mu(R-r)}}$ $[C]$ $\sqrt{\frac{3 g}{2 \mu(R-r)}}$ $[D]$ $\sqrt{\frac{g}{2 \mu(R-r)}}$
प्रश्न $(1)$ और $(2)$ के उत्तर दें:
A
$C, A$
B
$C, D$
C
$A, D$
D
$A, B$
Solution
(C,A) $(1)$ रिंग का द्रव्यमान केंद्र $(R-r)$ त्रिज्या के वृत्त में $\omega_0$ कोणीय वेग के साथ गति करता है। द्रव्यमान केंद्र का वेग $v_{cm} = \omega_0(R-r)$ है। रिंग अपने द्रव्यमान केंद्र के चारों ओर $\omega$ कोणीय वेग के साथ भी घूमती है। चूंकि यह उंगली पर बिना फिसले लुढ़कती है,इसलिए रिंग पर संपर्क बिंदु का वेग उंगली के सापेक्ष शून्य होना चाहिए। संपर्क बिंदु का वेग $v_{cm} + \omega R = 0$ है (उंगली के फ्रेम में)। अतः,$\omega = -v_{cm}/R = -\omega_0(R-r)/R$। कुल गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2} M v_{cm}^2 + \frac{1}{2} I_{cm} \omega^2 = \frac{1}{2} M \omega_0^2(R-r)^2 + \frac{1}{2} (M R^2) [\omega_0(R-r)/R]^2 = \frac{1}{2} M \omega_0^2(R-r)^2 + \frac{1}{2} M \omega_0^2(R-r)^2 = M \omega_0^2(R-r)^2$। अतः,सही विकल्प $C$ है।
$(2)$ रिंग के नीचे न गिरने के लिए,घर्षण बल का ऊर्ध्वाधर घटक वजन को संतुलित करना चाहिए: $f_v = Mg$। घर्षण बल $f$ संपर्क बिंदु पर कार्य करता है। अभिलंब बल $N$ अभिकेंद्री त्वरण प्रदान करता है: $N = M \omega_0^2(R-r)$। अधिकतम घर्षण $f_{max} = \mu N = \mu M \omega_0^2(R-r)$ है। संतुलन के लिए,$f_{max} \ge Mg$,इसलिए $\mu M \omega_0^2(R-r) \ge Mg$। अतः,$\omega_0 \ge \sqrt{\frac{g}{\mu(R-r)}}$। इसलिए,सही विकल्प $A$ है।
$(2)$ रिंग के नीचे न गिरने के लिए,घर्षण बल का ऊर्ध्वाधर घटक वजन को संतुलित करना चाहिए: $f_v = Mg$। घर्षण बल $f$ संपर्क बिंदु पर कार्य करता है। अभिलंब बल $N$ अभिकेंद्री त्वरण प्रदान करता है: $N = M \omega_0^2(R-r)$। अधिकतम घर्षण $f_{max} = \mu N = \mu M \omega_0^2(R-r)$ है। संतुलन के लिए,$f_{max} \ge Mg$,इसलिए $\mu M \omega_0^2(R-r) \ge Mg$। अतः,$\omega_0 \ge \sqrt{\frac{g}{\mu(R-r)}}$। इसलिए,सही विकल्प $A$ है।
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AdvancedMCQ
$t=0$ समय पर मूल बिंदु पर विराम अवस्था में स्थित $1.0 \ kg$ द्रव्यमान के एक पिंड पर विचार करें। पिंड पर एक बल $\overrightarrow{F}=(\alpha t \hat{i}+\beta \hat{j})$ लगाया जाता है,जहाँ $\alpha=1.0 \ Ns^{-1}$ और $\beta=1.0 \ N$ है। समय $t=1.0 \ s$ पर मूल बिंदु के परितः पिंड पर कार्य करने वाला बल आघूर्ण $\vec{\tau}$ है। निम्नलिखित में से कौन सा/से कथन सत्य है/हैं?
$(A)$ $|\vec{\tau}|=\frac{1}{3} \ Nm$
$(B)$ बल आघूर्ण $\vec{\tau}$,इकाई सदिश $+\hat{k}$ की दिशा में है
$(C)$ $t=1 \ s$ पर पिंड का वेग $\overrightarrow{v}=\frac{1}{2}(\hat{i}+2 \hat{j}) \ ms^{-1}$ है
$(D)$ $t=1 \ s$ पर पिंड के विस्थापन का परिमाण $\frac{1}{6} \ m$ है
$(A)$ $|\vec{\tau}|=\frac{1}{3} \ Nm$
$(B)$ बल आघूर्ण $\vec{\tau}$,इकाई सदिश $+\hat{k}$ की दिशा में है
$(C)$ $t=1 \ s$ पर पिंड का वेग $\overrightarrow{v}=\frac{1}{2}(\hat{i}+2 \hat{j}) \ ms^{-1}$ है
$(D)$ $t=1 \ s$ पर पिंड के विस्थापन का परिमाण $\frac{1}{6} \ m$ है
A
$A, C$
B
$A, B$
C
$A, D$
D
$A, C, D$
Solution
(A) पिंड पर लगाया गया बल $\overrightarrow{F}=(\alpha t) \hat{i}+\beta \hat{j}$ है।
दिया है $\alpha=1.0 \ Ns^{-1}$ और $\beta=1.0 \ N$,अतः $\overrightarrow{F}=t \hat{i}+\hat{j}$ है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम का उपयोग करते हुए,$m \frac{d\overrightarrow{v}}{dt} = \overrightarrow{F}$,जहाँ $m=1.0 \ kg$,हमें $\frac{d\overrightarrow{v}}{dt} = t \hat{i}+\hat{j}$ प्राप्त होता है।
समय $t$ के सापेक्ष समाकलन करने पर ($t=0$ पर $\overrightarrow{v}=0$),हमें $\overrightarrow{v} = \int_{0}^{t} (t \hat{i}+\hat{j}) dt = \frac{t^2}{2} \hat{i} + t \hat{j}$ प्राप्त होता है।
$t=1 \ s$ पर,$\overrightarrow{v} = \frac{1}{2} \hat{i} + \hat{j} = \frac{1}{2}(\hat{i} + 2\hat{j}) \ ms^{-1}$ है। अतः,कथन $(C)$ सत्य है।
स्थिति $\overrightarrow{r}$ ज्ञात करने के लिए वेग का समाकलन करने पर ($t=0$ पर $\overrightarrow{r}=0$),हमें $\overrightarrow{r} = \int_{0}^{t} (\frac{t^2}{2} \hat{i} + t \hat{j}) dt = \frac{t^3}{6} \hat{i} + \frac{t^2}{2} \hat{j}$ प्राप्त होता है।
$t=1 \ s$ पर,$\overrightarrow{r} = \frac{1}{6} \hat{i} + \frac{1}{2} \hat{j}$ है।
विस्थापन $\overrightarrow{s} = \overrightarrow{r}(1) - \overrightarrow{r}(0) = \frac{1}{6} \hat{i} + \frac{1}{2} \hat{j}$ है।
विस्थापन का परिमाण $|\overrightarrow{s}| = \sqrt{(\frac{1}{6})^2 + (\frac{1}{2})^2} = \sqrt{\frac{1}{36} + \frac{9}{36}} = \sqrt{\frac{10}{36}} = \frac{\sqrt{10}}{6} \ m$ है। अतः,कथन $(D)$ असत्य है।
बल आघूर्ण $\vec{\tau} = \overrightarrow{r} \times \overrightarrow{F} = (\frac{t^3}{6} \hat{i} + \frac{t^2}{2} \hat{j}) \times (t \hat{i} + \hat{j})$ है।
$t=1 \ s$ पर,$\vec{\tau} = (\frac{1}{6} \hat{i} + \frac{1}{2} \hat{j}) \times (1 \hat{i} + 1 \hat{j}) = (\frac{1}{6} - \frac{1}{2}) \hat{k} = -\frac{1}{3} \hat{k} \ Nm$ है।
इसका परिमाण $|\vec{\tau}| = \frac{1}{3} \ Nm$ है। अतः,कथन $(A)$ सत्य है और $(B)$ असत्य है।
दिया है $\alpha=1.0 \ Ns^{-1}$ और $\beta=1.0 \ N$,अतः $\overrightarrow{F}=t \hat{i}+\hat{j}$ है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम का उपयोग करते हुए,$m \frac{d\overrightarrow{v}}{dt} = \overrightarrow{F}$,जहाँ $m=1.0 \ kg$,हमें $\frac{d\overrightarrow{v}}{dt} = t \hat{i}+\hat{j}$ प्राप्त होता है।
समय $t$ के सापेक्ष समाकलन करने पर ($t=0$ पर $\overrightarrow{v}=0$),हमें $\overrightarrow{v} = \int_{0}^{t} (t \hat{i}+\hat{j}) dt = \frac{t^2}{2} \hat{i} + t \hat{j}$ प्राप्त होता है।
$t=1 \ s$ पर,$\overrightarrow{v} = \frac{1}{2} \hat{i} + \hat{j} = \frac{1}{2}(\hat{i} + 2\hat{j}) \ ms^{-1}$ है। अतः,कथन $(C)$ सत्य है।
स्थिति $\overrightarrow{r}$ ज्ञात करने के लिए वेग का समाकलन करने पर ($t=0$ पर $\overrightarrow{r}=0$),हमें $\overrightarrow{r} = \int_{0}^{t} (\frac{t^2}{2} \hat{i} + t \hat{j}) dt = \frac{t^3}{6} \hat{i} + \frac{t^2}{2} \hat{j}$ प्राप्त होता है।
$t=1 \ s$ पर,$\overrightarrow{r} = \frac{1}{6} \hat{i} + \frac{1}{2} \hat{j}$ है।
विस्थापन $\overrightarrow{s} = \overrightarrow{r}(1) - \overrightarrow{r}(0) = \frac{1}{6} \hat{i} + \frac{1}{2} \hat{j}$ है।
विस्थापन का परिमाण $|\overrightarrow{s}| = \sqrt{(\frac{1}{6})^2 + (\frac{1}{2})^2} = \sqrt{\frac{1}{36} + \frac{9}{36}} = \sqrt{\frac{10}{36}} = \frac{\sqrt{10}}{6} \ m$ है। अतः,कथन $(D)$ असत्य है।
बल आघूर्ण $\vec{\tau} = \overrightarrow{r} \times \overrightarrow{F} = (\frac{t^3}{6} \hat{i} + \frac{t^2}{2} \hat{j}) \times (t \hat{i} + \hat{j})$ है।
$t=1 \ s$ पर,$\vec{\tau} = (\frac{1}{6} \hat{i} + \frac{1}{2} \hat{j}) \times (1 \hat{i} + 1 \hat{j}) = (\frac{1}{6} - \frac{1}{2}) \hat{k} = -\frac{1}{3} \hat{k} \ Nm$ है।
इसका परिमाण $|\vec{\tau}| = \frac{1}{3} \ Nm$ है। अतः,कथन $(A)$ सत्य है और $(B)$ असत्य है।
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AdvancedMCQ
हाइड्रोजन परमाणु के स्पेक्ट्रम के बोहर सिद्धांत की मुख्य विशेषता कोणीय संवेग का क्वांटमीकरण है जब एक इलेक्ट्रॉन प्रोटॉन के चारों ओर घूम रहा होता है। हम इसे एक द्वि-परमाणुक अणु के लिए सामान्य घूर्णन गति तक विस्तारित करेंगे,इसे दृढ़ मानते हुए। लागू किया जाने वाला नियम बोहर की क्वांटमीकरण स्थिति है।
$1.$ एक द्वि-परमाणुक अणु का जड़त्व आघूर्ण $I$ है। बोहर की क्वांटमीकरण स्थिति के अनुसार,$n$-वें स्तर $(n=1, 2, 3, \dots)$ में इसकी घूर्णन ऊर्जा है:
$(A) \frac{1}{n^2}\left(\frac{h^2}{8 \pi^2 I}\right)$ $(B) \frac{1}{n}\left(\frac{h^2}{8 \pi^2 I}\right)$ $(C) n\left(\frac{h^2}{8 \pi^2 I}\right)$ $(D) n^2\left(\frac{h^2}{8 \pi^2 I}\right)$
$2.$ यह पाया गया है कि $CO$ अणु के लिए मूल अवस्था $(n=1)$ से प्रथम उत्तेजित अवस्था $(n=2)$ तक घूर्णन की उत्तेजना आवृत्ति $\frac{4}{\pi} \times 10^{11} \text{ Hz}$ के करीब है। तो इसके द्रव्यमान केंद्र के परितः $CO$ अणु का जड़त्व आघूर्ण कितना होगा? ($h=2 \pi \times 10^{-34} \text{ Js}$ लें)
$(A) 2.76 \times 10^{-46} \text{ kg m}^2$ $(B) 1.87 \times 10^{-46} \text{ kg m}^2$ $(C) 4.67 \times 10^{-47} \text{ kg m}^2$ $(D) 1.17 \times 10^{-47} \text{ kg m}^2$
$3.$ $CO$ अणु में,$C$ (द्रव्यमान $= 12 \text{ a.m.u.}$) और $O$ (द्रव्यमान $= 16 \text{ a.m.u.}$) के बीच की दूरी,जहाँ $1 \text{ a.m.u.} = \frac{5}{3} \times 10^{-27} \text{ kg}$ है,कितनी होगी?
$(A) 2.4 \times 10^{-10} \text{ m}$ $(B) 1.9 \times 10^{-10} \text{ m}$ $(C) 1.3 \times 10^{-10} \text{ m}$ $(D) 4.4 \times 10^{-11} \text{ m}$
प्रश्न $1, 2$ और $3$ के उत्तर दें।
$1.$ एक द्वि-परमाणुक अणु का जड़त्व आघूर्ण $I$ है। बोहर की क्वांटमीकरण स्थिति के अनुसार,$n$-वें स्तर $(n=1, 2, 3, \dots)$ में इसकी घूर्णन ऊर्जा है:
$(A) \frac{1}{n^2}\left(\frac{h^2}{8 \pi^2 I}\right)$ $(B) \frac{1}{n}\left(\frac{h^2}{8 \pi^2 I}\right)$ $(C) n\left(\frac{h^2}{8 \pi^2 I}\right)$ $(D) n^2\left(\frac{h^2}{8 \pi^2 I}\right)$
$2.$ यह पाया गया है कि $CO$ अणु के लिए मूल अवस्था $(n=1)$ से प्रथम उत्तेजित अवस्था $(n=2)$ तक घूर्णन की उत्तेजना आवृत्ति $\frac{4}{\pi} \times 10^{11} \text{ Hz}$ के करीब है। तो इसके द्रव्यमान केंद्र के परितः $CO$ अणु का जड़त्व आघूर्ण कितना होगा? ($h=2 \pi \times 10^{-34} \text{ Js}$ लें)
$(A) 2.76 \times 10^{-46} \text{ kg m}^2$ $(B) 1.87 \times 10^{-46} \text{ kg m}^2$ $(C) 4.67 \times 10^{-47} \text{ kg m}^2$ $(D) 1.17 \times 10^{-47} \text{ kg m}^2$
$3.$ $CO$ अणु में,$C$ (द्रव्यमान $= 12 \text{ a.m.u.}$) और $O$ (द्रव्यमान $= 16 \text{ a.m.u.}$) के बीच की दूरी,जहाँ $1 \text{ a.m.u.} = \frac{5}{3} \times 10^{-27} \text{ kg}$ है,कितनी होगी?
$(A) 2.4 \times 10^{-10} \text{ m}$ $(B) 1.9 \times 10^{-10} \text{ m}$ $(C) 1.3 \times 10^{-10} \text{ m}$ $(D) 4.4 \times 10^{-11} \text{ m}$
प्रश्न $1, 2$ और $3$ के उत्तर दें।
A
$(D, B, C)$
B
$(D, B, D)$
C
$(A, B, D)$
D
$(B, B, C)$
Solution
(D,B,C) $1.$ बोहर की क्वांटमीकरण स्थिति के अनुसार,कोणीय संवेग $L = \frac{nh}{2\pi}$ है।
घूर्णन गतिज ऊर्जा $E_n = \frac{L^2}{2I} = \frac{(nh/2\pi)^2}{2I} = n^2 \left(\frac{h^2}{8\pi^2 I}\right)$। अतः,विकल्प $(D)$ सही है।
$2.$ उत्तेजना आवृत्ति $\nu = \frac{E_2 - E_1}{h}$ है।
$E_n = n^2 E_0$,जहाँ $E_0 = \frac{h^2}{8\pi^2 I}$ है।
$\nu = \frac{(2^2 - 1^2) E_0}{h} = \frac{3h^2}{8\pi^2 I h} = \frac{3h}{8\pi^2 I}$।
दिया गया है $\nu = \frac{4}{\pi} \times 10^{11} \text{ Hz}$ और $h = 2\pi \times 10^{-34} \text{ Js}$।
$\frac{4}{\pi} \times 10^{11} = \frac{3(2\pi \times 10^{-34})}{8\pi^2 I} = \frac{3 \times 10^{-34}}{4\pi I}$।
$I = \frac{3 \times 10^{-34} \times \pi}{4\pi \times 4 \times 10^{11}} = \frac{3}{16} \times 10^{-45} = 0.1875 \times 10^{-45} = 1.875 \times 10^{-46} \text{ kg m}^2$। अतः,विकल्प $(B)$ सही है।
$3.$ समानित द्रव्यमान $\mu = \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2} = \frac{12 \times 16}{12 + 16} \text{ a.m.u.} = \frac{192}{28} \text{ a.m.u.} = \frac{48}{7} \times \frac{5}{3} \times 10^{-27} \text{ kg} = \frac{80}{7} \times 10^{-27} \text{ kg}$।
$I = \mu d^2 \implies d = \sqrt{\frac{I}{\mu}} = \sqrt{\frac{1.875 \times 10^{-46}}{11.43 \times 10^{-27}}} \approx \sqrt{0.164 \times 10^{-19}} \approx 1.28 \times 10^{-10} \text{ m}$। अतः,विकल्प $(C)$ सही है।
घूर्णन गतिज ऊर्जा $E_n = \frac{L^2}{2I} = \frac{(nh/2\pi)^2}{2I} = n^2 \left(\frac{h^2}{8\pi^2 I}\right)$। अतः,विकल्प $(D)$ सही है।
$2.$ उत्तेजना आवृत्ति $\nu = \frac{E_2 - E_1}{h}$ है।
$E_n = n^2 E_0$,जहाँ $E_0 = \frac{h^2}{8\pi^2 I}$ है।
$\nu = \frac{(2^2 - 1^2) E_0}{h} = \frac{3h^2}{8\pi^2 I h} = \frac{3h}{8\pi^2 I}$।
दिया गया है $\nu = \frac{4}{\pi} \times 10^{11} \text{ Hz}$ और $h = 2\pi \times 10^{-34} \text{ Js}$।
$\frac{4}{\pi} \times 10^{11} = \frac{3(2\pi \times 10^{-34})}{8\pi^2 I} = \frac{3 \times 10^{-34}}{4\pi I}$।
$I = \frac{3 \times 10^{-34} \times \pi}{4\pi \times 4 \times 10^{11}} = \frac{3}{16} \times 10^{-45} = 0.1875 \times 10^{-45} = 1.875 \times 10^{-46} \text{ kg m}^2$। अतः,विकल्प $(B)$ सही है।
$3.$ समानित द्रव्यमान $\mu = \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2} = \frac{12 \times 16}{12 + 16} \text{ a.m.u.} = \frac{192}{28} \text{ a.m.u.} = \frac{48}{7} \times \frac{5}{3} \times 10^{-27} \text{ kg} = \frac{80}{7} \times 10^{-27} \text{ kg}$।
$I = \mu d^2 \implies d = \sqrt{\frac{I}{\mu}} = \sqrt{\frac{1.875 \times 10^{-46}}{11.43 \times 10^{-27}}} \approx \sqrt{0.164 \times 10^{-19}} \approx 1.28 \times 10^{-10} \text{ m}$। अतः,विकल्प $(C)$ सही है।
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$L$ लंबाई और $m$ द्रव्यमान की एक धातु की छड़ एक सिरे पर धुरी पर टिकी है। $M$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या $(R < L)$ की एक पतली डिस्क को उसके केंद्र पर छड़ के मुक्त सिरे से जोड़ा गया है। डिस्क के जुड़े होने के दो तरीकों पर विचार करें: (स्थिति $A$) डिस्क अपने केंद्र के चारों ओर घूमने के लिए स्वतंत्र नहीं है और (स्थिति $B$) डिस्क अपने केंद्र के चारों ओर घूमने के लिए स्वतंत्र है। छड़-डिस्क प्रणाली समान विस्थापित स्थिति से छोड़े जाने के बाद ऊर्ध्वाधर तल में $SHM$ करती है। निम्नलिखित में से कौन सा/से कथन सत्य है/हैं?
A
$(A)$ स्थिति $A$ में प्रत्यानयन बल आघूर्ण $=$ स्थिति $B$ में प्रत्यानयन बल आघूर्ण
B
$(B)$ स्थिति $A$ में प्रत्यानयन बल आघूर्ण $ < $ स्थिति $B$ में प्रत्यानयन बल आघूर्ण
C
$(C)$ स्थिति $A$ के लिए कोणीय आवृत्ति $>$ स्थिति $B$ के लिए कोणीय आवृत्ति
D
$(D)$ स्थिति $A$ के लिए कोणीय आवृत्ति $ < $ स्थिति $B$ के लिए कोणीय आवृत्ति
Solution
(A,D) छोटे कोणीय विस्थापन $\theta$ के लिए प्रत्यानयन बल आघूर्ण $\tau$ इस प्रकार दिया जाता है: $\tau = -(mg \cdot \frac{L}{2} + Mg \cdot L) \sin \theta \approx -(mg \cdot \frac{L}{2} + Mg \cdot L) \theta$. चूंकि प्रत्यानयन बल आघूर्ण केवल द्रव्यमानों और धुरी के सापेक्ष उनकी स्थिति पर निर्भर करता है,इसलिए यह स्थिति $A$ और $B$ दोनों में समान है। अतः,कथन $(A)$ सत्य है।
कोणीय आवृत्ति $\omega$ इस प्रकार दी जाती है: $\omega = \sqrt{\frac{|\tau|/\theta}{I_{pivot}}}$.
स्थिति $A$ में,डिस्क छड़ से जुड़ी हुई है,इसलिए यह छड़ के साथ घूमती है। जड़त्व आघूर्ण $I_A = I_{rod} + I_{disc, pivot} = \frac{mL^2}{3} + (\frac{MR^2}{2} + ML^2) = \frac{mL^2}{3} + \frac{MR^2}{2} + ML^2$.
स्थिति $B$ में,डिस्क घूमने के लिए स्वतंत्र है,इसलिए यह अपने स्वयं के केंद्र के चारों ओर नहीं घूमती है। जड़त्व आघूर्ण $I_B = I_{rod} + I_{disc, CM} = \frac{mL^2}{3} + ML^2$.
चूंकि $I_A > I_B$ है,और प्रत्यानयन बल आघूर्ण समान है,इसलिए कोणीय आवृत्ति $\omega_A < \omega_B$ होगी। अतः,कथन $(D)$ सत्य है।
कोणीय आवृत्ति $\omega$ इस प्रकार दी जाती है: $\omega = \sqrt{\frac{|\tau|/\theta}{I_{pivot}}}$.
स्थिति $A$ में,डिस्क छड़ से जुड़ी हुई है,इसलिए यह छड़ के साथ घूमती है। जड़त्व आघूर्ण $I_A = I_{rod} + I_{disc, pivot} = \frac{mL^2}{3} + (\frac{MR^2}{2} + ML^2) = \frac{mL^2}{3} + \frac{MR^2}{2} + ML^2$.
स्थिति $B$ में,डिस्क घूमने के लिए स्वतंत्र है,इसलिए यह अपने स्वयं के केंद्र के चारों ओर नहीं घूमती है। जड़त्व आघूर्ण $I_B = I_{rod} + I_{disc, CM} = \frac{mL^2}{3} + ML^2$.
चूंकि $I_A > I_B$ है,और प्रत्यानयन बल आघूर्ण समान है,इसलिए कोणीय आवृत्ति $\omega_A < \omega_B$ होगी। अतः,कथन $(D)$ सत्य है।
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DifficultMCQ
$2 \ kg$ द्रव्यमान और $1 \ m$ त्रिज्या वाली एक पतली रिंग $1 \ m/s$ के वेग से क्षैतिज तल पर बिना फिसले लुढ़क रही है। $1 \ kg$ द्रव्यमान की एक छोटी गेंद,जो विपरीत दिशा में $2 \ m/s$ के वेग से चल रही है,$1.8 \ m$ की ऊँचाई पर रिंग से टकराती है और $1 \ m/s$ के वेग से लंबवत ऊपर की ओर जाती है। टक्कर के तुरंत बाद:
$(A)$ रिंग अपने स्थिर $CM$ के परितः शुद्ध घूर्णन करती है।
$(B)$ रिंग पूरी तरह से रुक जाती है।
$(C)$ रिंग और जमीन के बीच घर्षण बाईं ओर है।
$(D)$ रिंग और जमीन के बीच कोई घर्षण नहीं है।
$(A)$ रिंग अपने स्थिर $CM$ के परितः शुद्ध घूर्णन करती है।
$(B)$ रिंग पूरी तरह से रुक जाती है।
$(C)$ रिंग और जमीन के बीच घर्षण बाईं ओर है।
$(D)$ रिंग और जमीन के बीच कोई घर्षण नहीं है।
A
$A$ और $C$
B
$B$ और $D$
C
$A$ और $D$
D
$B$ और $C$
Solution
(A) माना $M = 2 \ kg$ रिंग का द्रव्यमान है,$R = 1 \ m$ इसकी त्रिज्या है,और $m = 1 \ kg$ गेंद का द्रव्यमान है।
$1$. $x$-अक्ष के अनुदिश रैखिक संवेग का संरक्षण:
प्रारंभिक संवेग $P_i = M(-v_{cm}) + m(v_{ball}) = 2(-1) + 1(2) = 0$.
अंतिम संवेग $P_f = M(v') + m(v'_{ball,x}) = 2(v') + 1(0) = 2v'$.
चूंकि टक्कर के दौरान कोई बाहरी क्षैतिज बल कार्य नहीं करता है,$P_i = P_f \Rightarrow 0 = 2v' \Rightarrow v' = 0$.
इस प्रकार,रिंग का द्रव्यमान केंद्र स्थिर हो जाता है।
$2$. संपर्क बिंदु $P$ के परितः कोणीय संवेग का संरक्षण:
प्रारंभिक कोणीय संवेग $L_i = I_P \omega_i + m v_{ball} r_{\perp, i} = (2MR^2) \omega_i + m v_{ball} (R + h - R) = (2 \times 2 \times 1^2) (1) + 1(2)(1.8) = 4 + 3.6 = 7.6 \ kg \cdot m^2/s$.
अंतिम कोणीय संवेग $L_f = I_P \omega_f + m v'_{ball,y} r_{\perp, f} = (2MR^2) \omega_f + m v'_{ball,y} (R - (1.8 - R)) = (2 \times 2 \times 1^2) \omega_f + 1(1)(0.2) = 4\omega_f + 0.2$.
$L_i = L_f \Rightarrow 7.6 = 4\omega_f + 0.2 \Rightarrow 4\omega_f = 7.4 \Rightarrow \omega_f = 1.85 \ rad/s$.
चूंकि $v_{cm} = 0$ और $\omega_f \neq 0$,रिंग अपने $CM$ के परितः शुद्ध घूर्णन में है। सबसे निचले बिंदु का वेग $v = \omega R$ दाईं ओर है,इसलिए इस गति का विरोध करने के लिए घर्षण बाईं ओर कार्य करता है। अतः,$(A)$ और $(C)$ सही हैं।
$1$. $x$-अक्ष के अनुदिश रैखिक संवेग का संरक्षण:
प्रारंभिक संवेग $P_i = M(-v_{cm}) + m(v_{ball}) = 2(-1) + 1(2) = 0$.
अंतिम संवेग $P_f = M(v') + m(v'_{ball,x}) = 2(v') + 1(0) = 2v'$.
चूंकि टक्कर के दौरान कोई बाहरी क्षैतिज बल कार्य नहीं करता है,$P_i = P_f \Rightarrow 0 = 2v' \Rightarrow v' = 0$.
इस प्रकार,रिंग का द्रव्यमान केंद्र स्थिर हो जाता है।
$2$. संपर्क बिंदु $P$ के परितः कोणीय संवेग का संरक्षण:
प्रारंभिक कोणीय संवेग $L_i = I_P \omega_i + m v_{ball} r_{\perp, i} = (2MR^2) \omega_i + m v_{ball} (R + h - R) = (2 \times 2 \times 1^2) (1) + 1(2)(1.8) = 4 + 3.6 = 7.6 \ kg \cdot m^2/s$.
अंतिम कोणीय संवेग $L_f = I_P \omega_f + m v'_{ball,y} r_{\perp, f} = (2MR^2) \omega_f + m v'_{ball,y} (R - (1.8 - R)) = (2 \times 2 \times 1^2) \omega_f + 1(1)(0.2) = 4\omega_f + 0.2$.
$L_i = L_f \Rightarrow 7.6 = 4\omega_f + 0.2 \Rightarrow 4\omega_f = 7.4 \Rightarrow \omega_f = 1.85 \ rad/s$.
चूंकि $v_{cm} = 0$ और $\omega_f \neq 0$,रिंग अपने $CM$ के परितः शुद्ध घूर्णन में है। सबसे निचले बिंदु का वेग $v = \omega R$ दाईं ओर है,इसलिए इस गति का विरोध करने के लिए घर्षण बाईं ओर कार्य करता है। अतः,$(A)$ और $(C)$ सही हैं।
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AdvancedMCQ
$O$ पर धुरी वाला एक पतला समान छड़,क्षैतिज तल में स्थिर कोणीय गति $\omega$ के साथ घूम रहा है,जैसा कि चित्र में दिखाया गया है। समय $t = 0$ पर,$m$ द्रव्यमान का एक छोटा कीड़ा $O$ से शुरू होता है और छड़ के सापेक्ष स्थिर गति $v$ के साथ दूसरे छोर की ओर बढ़ता है। यह $t = T$ समय पर छड़ के अंत तक पहुँचता है और रुक जाता है। पूरी प्रक्रिया के दौरान सिस्टम की कोणीय गति $\omega$ बनी रहती है। $O$ के परितः सिस्टम पर लगने वाले टॉर्क $(|\vec{\tau}|)$ के परिमाण को समय के फलन के रूप में कौन सा प्लॉट सबसे अच्छी तरह दर्शाता है?
A
एक प्लॉट जो $t < T$ के लिए समय के साथ टॉर्क में रैखिक वृद्धि और $t > T$ के लिए शून्य दर्शाता है।
B
एक प्लॉट जो $t < T$ के लिए स्थिर टॉर्क और $t > T$ के लिए शून्य दर्शाता है।
C
एक प्लॉट जो $t < T$ के लिए समय के साथ टॉर्क में परवलयिक वृद्धि और $t > T$ के लिए शून्य दर्शाता है।
D
एक प्लॉट जो $t < T$ के लिए समय के साथ टॉर्क में रैखिक कमी और $t > T$ के लिए शून्य दर्शाता है।
Solution
(A) धुरी $O$ के परितः कीड़े का कोणीय संवेग $L = I\omega$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $I$ कीड़े का जड़त्व आघूर्ण है। चूंकि कीड़ा $O$ से $r = vt$ दूरी पर है,इसलिए इसका जड़त्व आघूर्ण $I = m(vt)^2 = mv^2t^2$ है।
अतः,$L = (mv^2t^2)\omega = mv^2\omega t^2$.
स्थिर कोणीय गति बनाए रखने के लिए आवश्यक टॉर्क $\tau$ कोणीय संवेग के परिवर्तन की दर है:
$\tau = \frac{dL}{dt} = \frac{d}{dt}(mv^2\omega t^2) = 2mv^2\omega t$.
चूंकि $\tau = 2mv^2\omega t$,इसलिए टॉर्क $0 \le t \le T$ के लिए समय $t$ के सीधे आनुपातिक है। यह मूल बिंदु $(0,0)$ से गुजरने वाली एक सीधी रेखा को दर्शाता है।
$t > T$ के लिए,कीड़ा चलना बंद कर देता है,इसलिए इसका कोणीय संवेग स्थिर हो जाता है और टॉर्क शून्य हो जाता है।
इसलिए,प्लॉट को $t=0$ से $t=T$ तक रैखिक वृद्धि और उसके बाद शून्य दिखाना चाहिए।
अतः,$L = (mv^2t^2)\omega = mv^2\omega t^2$.
स्थिर कोणीय गति बनाए रखने के लिए आवश्यक टॉर्क $\tau$ कोणीय संवेग के परिवर्तन की दर है:
$\tau = \frac{dL}{dt} = \frac{d}{dt}(mv^2\omega t^2) = 2mv^2\omega t$.
चूंकि $\tau = 2mv^2\omega t$,इसलिए टॉर्क $0 \le t \le T$ के लिए समय $t$ के सीधे आनुपातिक है। यह मूल बिंदु $(0,0)$ से गुजरने वाली एक सीधी रेखा को दर्शाता है।
$t > T$ के लिए,कीड़ा चलना बंद कर देता है,इसलिए इसका कोणीय संवेग स्थिर हो जाता है और टॉर्क शून्य हो जाता है।
इसलिए,प्लॉट को $t=0$ से $t=T$ तक रैखिक वृद्धि और उसके बाद शून्य दिखाना चाहिए।
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AdvancedMCQ
$M$ द्रव्यमान और $L$ लंबाई की एक पतली और एकसमान छड़ को अधिक घर्षण वाली फर्श पर ऊर्ध्वाधर रखा गया है। छड़ को विरामावस्था से छोड़ा जाता है ताकि वह फर्श के साथ अपने संपर्क-बिंदु के परितः बिना फिसले घूमते हुए गिरे। जब छड़ ऊर्ध्वाधर के साथ $60^{\circ}$ का कोण बनाती है,तो निम्नलिखित में से कौन सा/से कथन सही है/हैं? [$g$ गुरुत्वीय त्वरण है]
$(1)$ छड़ के द्रव्यमान केंद्र का त्रिज्यीय त्वरण $\frac{3g}{4}$ होगा
$(2)$ छड़ का कोणीय त्वरण $\frac{3\sqrt{3}g}{4L}$ होगा
$(3)$ छड़ की कोणीय गति $\sqrt{\frac{3g}{2L}}$ होगी
$(4)$ फर्श द्वारा छड़ पर लगाया गया अभिलंब प्रतिक्रिया बल $\frac{Mg}{16}$ होगा
$(1)$ छड़ के द्रव्यमान केंद्र का त्रिज्यीय त्वरण $\frac{3g}{4}$ होगा
$(2)$ छड़ का कोणीय त्वरण $\frac{3\sqrt{3}g}{4L}$ होगा
$(3)$ छड़ की कोणीय गति $\sqrt{\frac{3g}{2L}}$ होगी
$(4)$ फर्श द्वारा छड़ पर लगाया गया अभिलंब प्रतिक्रिया बल $\frac{Mg}{16}$ होगा
A
$1, 2, 3$
B
$1, 2, 4$
C
$1, 3, 4$
D
$1, 2$
Solution
(C) हम संपर्क बिंदु को कब्ज़े (hinge) के रूप में मानते हैं।
कार्य-ऊर्जा प्रमेय लागू करने पर:
$W_g = \Delta K.E.$
$Mg \left( \frac{L}{2} (1 - \cos 60^{\circ}) \right) = \frac{1}{2} I \omega^2$
$Mg \left( \frac{L}{2} \cdot \frac{1}{2} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{ML^2}{3} \right) \omega^2$
$\frac{MgL}{4} = \frac{ML^2}{6} \omega^2 \Rightarrow \omega = \sqrt{\frac{3g}{2L}}$ (कथन $3$ सही है)।
$C.M.$ का त्रिज्यीय त्वरण: $a_r = \left( \frac{L}{2} \right) \omega^2 = \frac{L}{2} \cdot \frac{3g}{2L} = \frac{3g}{4}$ (कथन $1$ सही है)।
संपर्क बिंदु के परितः $\tau = I \alpha$ का उपयोग करने पर:
$Mg \left( \frac{L}{2} \sin 60^{\circ} \right) = \left( \frac{ML^2}{3} \right) \alpha$
$\alpha = \frac{3g}{2L} \sin 60^{\circ} = \frac{3g}{2L} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}g}{4L}$ (कथन $2$ सही है)।
$C.M.$ का कुल ऊर्ध्वाधर त्वरण: $a_v = a_r \cos 60^{\circ} + a_t \cos 30^{\circ}$
$a_v = \left( \frac{3g}{4} \right) \left( \frac{1}{2} \right) + \left( \alpha \frac{L}{2} \right) \cos 30^{\circ} = \frac{3g}{8} + \left( \frac{3\sqrt{3}g}{4L} \cdot \frac{L}{2} \right) \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3g}{8} + \frac{9g}{16} = \frac{15g}{16}$.
ऊर्ध्वाधर दिशा में $F_{net} = Ma_v$ लागू करने पर:
$Mg - N = M \left( \frac{15g}{16} \right) \Rightarrow N = \frac{Mg}{16}$ (कथन $4$ सही है)।
अतः,कथन $1, 3, 4$ सही हैं।
कार्य-ऊर्जा प्रमेय लागू करने पर:
$W_g = \Delta K.E.$
$Mg \left( \frac{L}{2} (1 - \cos 60^{\circ}) \right) = \frac{1}{2} I \omega^2$
$Mg \left( \frac{L}{2} \cdot \frac{1}{2} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{ML^2}{3} \right) \omega^2$
$\frac{MgL}{4} = \frac{ML^2}{6} \omega^2 \Rightarrow \omega = \sqrt{\frac{3g}{2L}}$ (कथन $3$ सही है)।
$C.M.$ का त्रिज्यीय त्वरण: $a_r = \left( \frac{L}{2} \right) \omega^2 = \frac{L}{2} \cdot \frac{3g}{2L} = \frac{3g}{4}$ (कथन $1$ सही है)।
संपर्क बिंदु के परितः $\tau = I \alpha$ का उपयोग करने पर:
$Mg \left( \frac{L}{2} \sin 60^{\circ} \right) = \left( \frac{ML^2}{3} \right) \alpha$
$\alpha = \frac{3g}{2L} \sin 60^{\circ} = \frac{3g}{2L} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}g}{4L}$ (कथन $2$ सही है)।
$C.M.$ का कुल ऊर्ध्वाधर त्वरण: $a_v = a_r \cos 60^{\circ} + a_t \cos 30^{\circ}$
$a_v = \left( \frac{3g}{4} \right) \left( \frac{1}{2} \right) + \left( \alpha \frac{L}{2} \right) \cos 30^{\circ} = \frac{3g}{8} + \left( \frac{3\sqrt{3}g}{4L} \cdot \frac{L}{2} \right) \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3g}{8} + \frac{9g}{16} = \frac{15g}{16}$.
ऊर्ध्वाधर दिशा में $F_{net} = Ma_v$ लागू करने पर:
$Mg - N = M \left( \frac{15g}{16} \right) \Rightarrow N = \frac{Mg}{16}$ (कथन $4$ सही है)।
अतः,कथन $1, 3, 4$ सही हैं।
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DifficultMCQ
$m$ द्रव्यमान और $L$ लंबाई की एक छड़,अपने एक सिरे पर कीलकित (pivoted) है और ऊर्ध्वाधर लटकी हुई है। $m$ द्रव्यमान की एक गोली $v$ चाल से गति करती हुई छड़ से उसके कीलकित सिरे से $x$ दूरी पर क्षैतिज रूप से टकराती है और उसमें धंस जाती है। संयुक्त निकाय अब कीलक के परितः $\omega$ कोणीय चाल से घूमता है। अधिकतम कोणीय चाल $\omega_M$,$x=x_M$ के लिए प्राप्त होती है। तब
$(A)$ $\omega=\frac{3 v x}{ L ^2+3 x^2}$
$(B)$ $\omega=\frac{12 v x}{L^2+12 x^2}$
$(C)$ $x_M=\frac{L}{\sqrt{3}}$
$(D)$ $\omega_M=\frac{v}{2 L} \sqrt{3}$
$(A)$ $\omega=\frac{3 v x}{ L ^2+3 x^2}$
$(B)$ $\omega=\frac{12 v x}{L^2+12 x^2}$
$(C)$ $x_M=\frac{L}{\sqrt{3}}$
$(D)$ $\omega_M=\frac{v}{2 L} \sqrt{3}$
A
$A, B, C$
B
$A, B, D$
C
$A, C, D$
D
$A, C$
Solution
(C) कीलक बिंदु के परितः कोणीय संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार:
$mvx = I_{total} \omega$
$mvx = \left( \frac{mL^2}{3} + mx^2 \right) \omega$
$\omega = \frac{mvx}{\frac{mL^2}{3} + mx^2} = \frac{3vx}{L^2 + 3x^2}$
यह विकल्प $(A)$ से मेल खाता है।
अधिकतम कोणीय चाल $\omega_M$ ज्ञात करने के लिए,हम $\frac{d\omega}{dx} = 0$ रखते हैं:
$\frac{d}{dx} \left( \frac{3vx}{L^2 + 3x^2} \right) = 3v \left[ \frac{(L^2 + 3x^2)(1) - x(6x)}{(L^2 + 3x^2)^2} \right] = 0$
$L^2 + 3x^2 - 6x^2 = 0 \Rightarrow L^2 = 3x^2 \Rightarrow x_M = \frac{L}{\sqrt{3}}$
यह विकल्प $(C)$ से मेल खाता है।
$\omega$ के समीकरण में $x_M = \frac{L}{\sqrt{3}}$ रखने पर:
$\omega_M = \frac{3v(L/\sqrt{3})}{L^2 + 3(L^2/3)} = \frac{\sqrt{3}vL}{2L^2} = \frac{v\sqrt{3}}{2L}$
यह विकल्प $(D)$ से मेल खाता है।
अतः,विकल्प $(A), (C),$ और $(D)$ सही हैं।
$mvx = I_{total} \omega$
$mvx = \left( \frac{mL^2}{3} + mx^2 \right) \omega$
$\omega = \frac{mvx}{\frac{mL^2}{3} + mx^2} = \frac{3vx}{L^2 + 3x^2}$
यह विकल्प $(A)$ से मेल खाता है।
अधिकतम कोणीय चाल $\omega_M$ ज्ञात करने के लिए,हम $\frac{d\omega}{dx} = 0$ रखते हैं:
$\frac{d}{dx} \left( \frac{3vx}{L^2 + 3x^2} \right) = 3v \left[ \frac{(L^2 + 3x^2)(1) - x(6x)}{(L^2 + 3x^2)^2} \right] = 0$
$L^2 + 3x^2 - 6x^2 = 0 \Rightarrow L^2 = 3x^2 \Rightarrow x_M = \frac{L}{\sqrt{3}}$
यह विकल्प $(C)$ से मेल खाता है।
$\omega$ के समीकरण में $x_M = \frac{L}{\sqrt{3}}$ रखने पर:
$\omega_M = \frac{3v(L/\sqrt{3})}{L^2 + 3(L^2/3)} = \frac{\sqrt{3}vL}{2L^2} = \frac{v\sqrt{3}}{2L}$
यह विकल्प $(D)$ से मेल खाता है।
अतः,विकल्प $(A), (C),$ और $(D)$ सही हैं।
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AdvancedMCQ
$M=0.2 \ kg$ द्रव्यमान का एक कण प्रारंभ में $xy$-समतल में बिंदु $(x=-l, y=-h)$ पर विरामावस्था में है,जहाँ $l=10 \ m$ और $h=1 \ m$ है। कण को $t=0$ समय पर धनात्मक $x$-दिशा में $a=10 \ m/s^2$ के निरंतर त्वरण के साथ त्वरित किया जाता है। मूल बिंदु के सापेक्ष इसका कोणीय संवेग और बलाघूर्ण,$SI$ इकाइयों में,क्रमशः $\vec{L}$ और $\vec{\tau}$ द्वारा दर्शाए गए हैं। $\hat{i}, \hat{j}$ और $\hat{k}$ क्रमशः धनात्मक $x, y$ और $z$-दिशाओं में इकाई सदिश हैं। यदि $\hat{k}=\hat{i} \times \hat{j}$ है,तो निम्नलिखित में से कौन सा/से कथन सही है/हैं?
$(A)$ कण $t=2 \ s$ समय पर बिंदु $(x=l, y=-h)$ पर पहुँचता है।
$(B)$ जब कण बिंदु $(x=l, y=-h)$ से गुजरता है तो $\vec{\tau}=2 \hat{k}$ होता है।
$(C)$ जब कण बिंदु $(x=l, y=-h)$ से गुजरता है तो $\vec{L}=4 \hat{k}$ होता है।
$(D)$ जब कण बिंदु $(x=0, y=-h)$ से गुजरता है तो $\vec{\tau}=\hat{k}$ होता है।
$(A)$ कण $t=2 \ s$ समय पर बिंदु $(x=l, y=-h)$ पर पहुँचता है।
$(B)$ जब कण बिंदु $(x=l, y=-h)$ से गुजरता है तो $\vec{\tau}=2 \hat{k}$ होता है।
$(C)$ जब कण बिंदु $(x=l, y=-h)$ से गुजरता है तो $\vec{L}=4 \hat{k}$ होता है।
$(D)$ जब कण बिंदु $(x=0, y=-h)$ से गुजरता है तो $\vec{\tau}=\hat{k}$ होता है।
A
$A, B, D$
B
$A, B, C$
C
$A, B$
D
$A, D$
Solution
(B) कण की प्रारंभिक स्थिति $P_0 = (-10, -1)$ है।
त्वरण $\vec{a} = 10 \hat{i} \ m/s^2$ है।
$(A)$ $(10, -1)$ बिंदु तक पहुँचने के लिए आवश्यक विस्थापन $\Delta x = 10 - (-10) = 20 \ m$ है।
$s = ut + \frac{1}{2}at^2$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $u=0$:
$20 = \frac{1}{2} \times 10 \times t^2 \Rightarrow t^2 = 4 \Rightarrow t = 2 \ s$। कथन $(A)$ सही है।
$(B)$ बिंदु $(10, -1)$ पर,स्थिति सदिश $\vec{r} = 10 \hat{i} - \hat{j}$ है।
बल $\vec{F} = M\vec{a} = 0.2 \times 10 \hat{i} = 2 \hat{i} \ N$ है।
बलाघूर्ण $\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F} = (10 \hat{i} - \hat{j}) \times (2 \hat{i}) = -2(\hat{j} \times \hat{i}) = 2 \hat{k} \ N \cdot m$ है। कथन $(B)$ सही है।
$(C)$ $t=2 \ s$ पर वेग $v = at = 10 \times 2 = 20 \ m/s$ है,जो $\hat{i}$ दिशा में है।
कोणीय संवेग $\vec{L} = \vec{r} \times M\vec{v} = (10 \hat{i} - \hat{j}) \times (0.2 \times 20 \hat{i}) = (10 \hat{i} - \hat{j}) \times (4 \hat{i}) = -4(\hat{j} \times \hat{i}) = 4 \hat{k} \ kg \cdot m^2/s$ है। कथन $(C)$ सही है।
$(D)$ बिंदु $(0, -1)$ पर,स्थिति सदिश $\vec{r} = -\hat{j}$ है।
बलाघूर्ण $\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F} = (-\hat{j}) \times (2 \hat{i}) = -2(\hat{j} \times \hat{i}) = 2 \hat{k} \ N \cdot m$ है। कथन $(D)$ गलत है।
त्वरण $\vec{a} = 10 \hat{i} \ m/s^2$ है।
$(A)$ $(10, -1)$ बिंदु तक पहुँचने के लिए आवश्यक विस्थापन $\Delta x = 10 - (-10) = 20 \ m$ है।
$s = ut + \frac{1}{2}at^2$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $u=0$:
$20 = \frac{1}{2} \times 10 \times t^2 \Rightarrow t^2 = 4 \Rightarrow t = 2 \ s$। कथन $(A)$ सही है।
$(B)$ बिंदु $(10, -1)$ पर,स्थिति सदिश $\vec{r} = 10 \hat{i} - \hat{j}$ है।
बल $\vec{F} = M\vec{a} = 0.2 \times 10 \hat{i} = 2 \hat{i} \ N$ है।
बलाघूर्ण $\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F} = (10 \hat{i} - \hat{j}) \times (2 \hat{i}) = -2(\hat{j} \times \hat{i}) = 2 \hat{k} \ N \cdot m$ है। कथन $(B)$ सही है।
$(C)$ $t=2 \ s$ पर वेग $v = at = 10 \times 2 = 20 \ m/s$ है,जो $\hat{i}$ दिशा में है।
कोणीय संवेग $\vec{L} = \vec{r} \times M\vec{v} = (10 \hat{i} - \hat{j}) \times (0.2 \times 20 \hat{i}) = (10 \hat{i} - \hat{j}) \times (4 \hat{i}) = -4(\hat{j} \times \hat{i}) = 4 \hat{k} \ kg \cdot m^2/s$ है। कथन $(C)$ सही है।
$(D)$ बिंदु $(0, -1)$ पर,स्थिति सदिश $\vec{r} = -\hat{j}$ है।
बलाघूर्ण $\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F} = (-\hat{j}) \times (2 \hat{i}) = -2(\hat{j} \times \hat{i}) = 2 \hat{k} \ N \cdot m$ है। कथन $(D)$ गलत है।
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$M$ द्रव्यमान और $a$ लंबाई की एक पतली छड़ बिंदु $O$ से गुजरने वाली एक स्थिर ऊर्ध्वाधर अक्ष के परितः क्षैतिज तल में घूमने के लिए स्वतंत्र है। $M$ द्रव्यमान और $a/4$ त्रिज्या की एक पतली वृत्ताकार डिस्क को इस छड़ पर इस प्रकार जड़ा गया है कि इसका केंद्र मुक्त सिरे से $a/4$ की दूरी पर है,ताकि यह अपनी ऊर्ध्वाधर अक्ष के परितः स्वतंत्र रूप से घूम सके,जैसा कि चित्र में दिखाया गया है। मान लीजिए कि छड़ और डिस्क दोनों का घनत्व समान है और गति के दौरान वे क्षैतिज रहते हैं। एक बाहरी स्थिर प्रेक्षक छड़ को $\Omega$ कोणीय वेग के साथ और डिस्क को अपनी ऊर्ध्वाधर अक्ष के परितः $4\Omega$ कोणीय वेग के साथ घूमते हुए पाता है। बिंदु $O$ के परितः निकाय का कुल कोणीय संवेग $\left(\frac{Ma^2\Omega}{48}\right) n$ है। $n$ का मान ज्ञात कीजिए।
A
$30$
B
$35$
C
$49$
D
$50$
Solution
(C) बिंदु $O$ के परितः निकाय का कुल कोणीय संवेग $L$,छड़ के कोणीय संवेग और डिस्क के कोणीय संवेग का योग है।
$1$. $O$ के परितः घूमने वाली छड़ का कोणीय संवेग: $L_{\text{rod}} = I_{\text{rod}} \Omega = \left(\frac{Ma^2}{3}\right) \Omega$.
$2$. $O$ के परितः डिस्क का कोणीय संवेग दो भागों से बना है: इसके द्रव्यमान केंद्र का कक्षीय कोणीय संवेग और अपनी धुरी के परितः इसका स्पिन कोणीय संवेग।
- $O$ से डिस्क के केंद्र की दूरी $r = a - a/4 = 3a/4$ है।
- डिस्क का कक्षीय कोणीय संवेग: $L_{\text{orb}} = M r^2 \Omega = M (3a/4)^2 \Omega = \frac{9}{16} Ma^2 \Omega$.
- डिस्क का स्पिन कोणीय संवेग: $L_{\text{spin}} = I_{\text{disc}} \omega_{\text{spin}} = \left(\frac{M(a/4)^2}{2}\right) (4\Omega) = \left(\frac{Ma^2}{32}\right) (4\Omega) = \frac{1}{8} Ma^2 \Omega$.
$3$. कुल कोणीय संवेग $L = L_{\text{rod}} + L_{\text{orb}} + L_{\text{spin}} = \left(\frac{1}{3} + \frac{9}{16} + \frac{1}{8}\right) Ma^2 \Omega$.
$4$. सामान्य हर $(48)$ ज्ञात करने पर: $L = \left(\frac{16}{48} + \frac{27}{48} + \frac{6}{48}\right) Ma^2 \Omega = \frac{49}{48} Ma^2 \Omega$.
इसकी तुलना $\left(\frac{Ma^2\Omega}{48}\right) n$ से करने पर,हमें $n = 49$ प्राप्त होता है।
$1$. $O$ के परितः घूमने वाली छड़ का कोणीय संवेग: $L_{\text{rod}} = I_{\text{rod}} \Omega = \left(\frac{Ma^2}{3}\right) \Omega$.
$2$. $O$ के परितः डिस्क का कोणीय संवेग दो भागों से बना है: इसके द्रव्यमान केंद्र का कक्षीय कोणीय संवेग और अपनी धुरी के परितः इसका स्पिन कोणीय संवेग।
- $O$ से डिस्क के केंद्र की दूरी $r = a - a/4 = 3a/4$ है।
- डिस्क का कक्षीय कोणीय संवेग: $L_{\text{orb}} = M r^2 \Omega = M (3a/4)^2 \Omega = \frac{9}{16} Ma^2 \Omega$.
- डिस्क का स्पिन कोणीय संवेग: $L_{\text{spin}} = I_{\text{disc}} \omega_{\text{spin}} = \left(\frac{M(a/4)^2}{2}\right) (4\Omega) = \left(\frac{Ma^2}{32}\right) (4\Omega) = \frac{1}{8} Ma^2 \Omega$.
$3$. कुल कोणीय संवेग $L = L_{\text{rod}} + L_{\text{orb}} + L_{\text{spin}} = \left(\frac{1}{3} + \frac{9}{16} + \frac{1}{8}\right) Ma^2 \Omega$.
$4$. सामान्य हर $(48)$ ज्ञात करने पर: $L = \left(\frac{16}{48} + \frac{27}{48} + \frac{6}{48}\right) Ma^2 \Omega = \frac{49}{48} Ma^2 \Omega$.
इसकी तुलना $\left(\frac{Ma^2\Omega}{48}\right) n$ से करने पर,हमें $n = 49$ प्राप्त होता है।
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एक डिस्क को उसके केंद्र $O$ के परितः एकसमान कोणीय चाल $\omega$ से क्षैतिज तल में घूमते हुए मानिए। डिस्क के व्यास के एक तरफ छायांकित भाग और दूसरी तरफ अछायांकित भाग है जैसा कि चित्र में दिखाया गया है। जब डिस्क दिखाए गए अभिविन्यास में होती है,तो दो कंकड़ $P$ और $Q$ को एक साथ $R$ की ओर एक कोण पर प्रक्षेपित किया जाता है। प्रक्षेपण का वेग $y-z$ तल में है और डिस्क के सापेक्ष दोनों कंकड़ों के लिए समान है। मान लीजिए कि $(i)$ वे डिस्क द्वारा $\frac{1}{8}$ घूर्णन पूरा करने से पहले डिस्क पर वापस गिरते हैं,$(ii)$ उनकी परास डिस्क की आधी त्रिज्या से कम है,और $(iii)$ $\omega$ पूरी गति के दौरान स्थिर रहता है। तब
A
$P$ छायांकित भाग में और $Q$ अछायांकित भाग में गिरता है
B
$P$ अछायांकित भाग में और $Q$ छायांकित भाग में गिरता है
C
दोनों $P$ और $Q$ अछायांकित भाग में गिरते हैं
D
दोनों $P$ और $Q$ छायांकित भाग में गिरते हैं
Solution
(A) मान लीजिए कि कंकड़ों की स्थिति केंद्र $O$ से उनकी दूरी $r$ द्वारा परिभाषित है। केंद्र के सापेक्ष कण की कोणीय चाल $\omega_{p} = \frac{v_{\theta}}{r}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $v_{\theta}$ वेग का स्पर्शरेखीय घटक है।
कंकड़ $P$ के लिए,केंद्र $O$ से दूरी $r$ शुरू में घटती है क्योंकि यह $O$ की ओर बढ़ता है और फिर $O$ को पार करने के बाद बढ़ती है। चूंकि $v_{\theta}$ स्थिर है,कोणीय चाल $\omega_{p} = \frac{v_{\theta}}{r}$ शुरू में बढ़ती है और फिर घटती है। $P$ की औसत कोणीय चाल डिस्क की कोणीय चाल $\omega$ से अधिक है। इस प्रकार,$P$ डिस्क की तुलना में बड़ा कोण तय करता है और छायांकित भाग में गिरता है।
कंकड़ $Q$ के लिए,केंद्र $O$ से दूरी $r$ लगातार बढ़ रही है क्योंकि यह $O$ से दूर जा रहा है। परिणामस्वरूप,कोणीय चाल $\omega_{q} = \frac{v_{\theta}}{r}$ लगातार घट रही है। $Q$ की औसत कोणीय चाल डिस्क की कोणीय चाल $\omega$ से कम है। इस प्रकार,$Q$ डिस्क की तुलना में छोटा कोण तय करता है और अछायांकित भाग में गिरता है।
कंकड़ $P$ के लिए,केंद्र $O$ से दूरी $r$ शुरू में घटती है क्योंकि यह $O$ की ओर बढ़ता है और फिर $O$ को पार करने के बाद बढ़ती है। चूंकि $v_{\theta}$ स्थिर है,कोणीय चाल $\omega_{p} = \frac{v_{\theta}}{r}$ शुरू में बढ़ती है और फिर घटती है। $P$ की औसत कोणीय चाल डिस्क की कोणीय चाल $\omega$ से अधिक है। इस प्रकार,$P$ डिस्क की तुलना में बड़ा कोण तय करता है और छायांकित भाग में गिरता है।
कंकड़ $Q$ के लिए,केंद्र $O$ से दूरी $r$ लगातार बढ़ रही है क्योंकि यह $O$ से दूर जा रहा है। परिणामस्वरूप,कोणीय चाल $\omega_{q} = \frac{v_{\theta}}{r}$ लगातार घट रही है। $Q$ की औसत कोणीय चाल डिस्क की कोणीय चाल $\omega$ से कम है। इस प्रकार,$Q$ डिस्क की तुलना में छोटा कोण तय करता है और अछायांकित भाग में गिरता है।
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एक दृढ़ पिंड की सामान्य गति को $(i)$ द्रव्यमान केंद्र की एक अक्ष के परितः गति,और $(ii)$ द्रव्यमान केंद्र से गुजरने वाली तात्क्षणिक अक्ष के परितः गति के संयोजन के रूप में माना जा सकता है। ये अक्षें स्थिर होना आवश्यक नहीं है। उदाहरण के लिए,एक पतली एकसमान डिस्क पर विचार करें जिसे चित्र में दिखाए अनुसार एक द्रव्यमान रहित छड़ के किनारे पर क्षैतिज रूप से वेल्ड (दृढ़ता से स्थिर) किया गया है। जब डिस्क-छड़ प्रणाली को एक क्षैतिज घर्षण रहित तल पर मूल बिंदु के परितः कोणीय चाल $\omega$ के साथ घुमाया जाता है,तो किसी भी क्षण गति को $(i)$ डिस्क के द्रव्यमान केंद्र की $z$-अक्ष के परितः घूर्णन,और $(ii)$ डिस्क के द्रव्यमान केंद्र से गुजरने वाली एक तात्क्षणिक ऊर्ध्वाधर अक्ष के परितः घूर्णन (जैसा कि बिंदुओं $P$ और $Q$ के बदले हुए अभिविन्यास से देखा जा सकता है) के संयोजन के रूप में लिया जा सकता है। इस मामले में दोनों गतियों की कोणीय चाल $\omega$ समान है। अब चित्र में दिखाई गई दो समान प्रणालियों पर विचार करें: स्थिति $(a)$ डिस्क का फलक ऊर्ध्वाधर और $x-z$ तल के समानांतर है; स्थिति $(b)$ डिस्क का फलक $x-y$ तल के साथ $45^{\circ}$ का कोण बनाता है,इसका क्षैतिज व्यास $x$-अक्ष के समानांतर है। दोनों स्थितियों में,डिस्क को बिंदु $P$ पर वेल्ड किया गया है,और प्रणालियों को $z$-अक्ष के परितः स्थिर कोणीय चाल $\omega$ के साथ घुमाया जाता है।
$1.$ तात्क्षणिक अक्ष (द्रव्यमान केंद्र से गुजरने वाली) के परितः कोणीय चाल के संबंध में निम्नलिखित में से कौन सा कथन सही है?
$(A)$ यह दोनों स्थितियों के लिए $\sqrt{2} \omega$ है।
$(B)$ यह स्थिति $(a)$ के लिए $\omega$ है; और स्थिति $(b)$ के लिए $\frac{\omega}{\sqrt{2}}$ है।
$(C)$ यह स्थिति $(a)$ के लिए $\omega$ है; और स्थिति $(b)$ के लिए $\sqrt{2} \omega$ है।
$(D)$ यह दोनों स्थितियों के लिए $\omega$ है।
$2.$ तात्क्षणिक अक्ष (द्रव्यमान केंद्र से गुजरने वाली) के बारे में निम्नलिखित में से कौन सा कथन सही है?
$(A)$ यह दोनों स्थितियों $(a)$ और $(b)$ के लिए ऊर्ध्वाधर है।
$(B)$ यह स्थिति $(a)$ के लिए ऊर्ध्वाधर है; और स्थिति $(b)$ के लिए $x-z$ तल से $45^{\circ}$ पर है और डिस्क के तल में स्थित है।
$(C)$ यह स्थिति $(a)$ के लिए क्षैतिज है; और स्थिति $(b)$ के लिए $x-z$ तल से $45^{\circ}$ पर है और डिस्क के तल के लंबवत है।
$(D)$ यह स्थिति $(a)$ के लिए ऊर्ध्वाधर है; और स्थिति $(b)$ के लिए $x-z$ तल से $45^{\circ}$ पर है और डिस्क के तल के लंबवत है।
प्रश्न $1$ और $2$ के उत्तर दें।
$1.$ तात्क्षणिक अक्ष (द्रव्यमान केंद्र से गुजरने वाली) के परितः कोणीय चाल के संबंध में निम्नलिखित में से कौन सा कथन सही है?
$(A)$ यह दोनों स्थितियों के लिए $\sqrt{2} \omega$ है।
$(B)$ यह स्थिति $(a)$ के लिए $\omega$ है; और स्थिति $(b)$ के लिए $\frac{\omega}{\sqrt{2}}$ है।
$(C)$ यह स्थिति $(a)$ के लिए $\omega$ है; और स्थिति $(b)$ के लिए $\sqrt{2} \omega$ है।
$(D)$ यह दोनों स्थितियों के लिए $\omega$ है।
$2.$ तात्क्षणिक अक्ष (द्रव्यमान केंद्र से गुजरने वाली) के बारे में निम्नलिखित में से कौन सा कथन सही है?
$(A)$ यह दोनों स्थितियों $(a)$ और $(b)$ के लिए ऊर्ध्वाधर है।
$(B)$ यह स्थिति $(a)$ के लिए ऊर्ध्वाधर है; और स्थिति $(b)$ के लिए $x-z$ तल से $45^{\circ}$ पर है और डिस्क के तल में स्थित है।
$(C)$ यह स्थिति $(a)$ के लिए क्षैतिज है; और स्थिति $(b)$ के लिए $x-z$ तल से $45^{\circ}$ पर है और डिस्क के तल के लंबवत है।
$(D)$ यह स्थिति $(a)$ के लिए ऊर्ध्वाधर है; और स्थिति $(b)$ के लिए $x-z$ तल से $45^{\circ}$ पर है और डिस्क के तल के लंबवत है।
प्रश्न $1$ और $2$ के उत्तर दें।
A
$(D, A)$
B
$(B, D)$
C
$(B, C)$
D
$(A, D)$
Solution
(D) $1.$ किसी दृढ़ पिंड का किसी भी अक्ष के परितः कोणीय वेग एक सदिश राशि है। जब कोई दृढ़ पिंड एक निश्चित अक्ष ($z$-अक्ष यहाँ) के परितः घूमता है,तो कोणीय वेग सदिश $\vec{\omega}$ उस अक्ष की दिशा में होता है। पिंड के किसी भी बिंदु या किसी भी आंतरिक अक्ष के लिए,कोणीय वेग का परिमाण $\omega$ ही रहता है। अतः,दोनों स्थितियों के लिए,द्रव्यमान केंद्र से गुजरने वाली तात्क्षणिक अक्ष के परितः कोणीय चाल $\omega$ है। सही विकल्प $(D)$ है।
$2.$ स्थिति $(a)$ में,डिस्क ऊर्ध्वाधर है और $x-z$ तल के समानांतर है। घूर्णन $z$-अक्ष के परितः है,इसलिए तात्क्षणिक अक्ष ऊर्ध्वाधर है। स्थिति $(b)$ में,डिस्क $x-y$ तल के साथ $45^{\circ}$ पर झुकी हुई है। घूर्णन अभी भी $z$-अक्ष के परितः है। द्रव्यमान केंद्र से गुजरने वाली तात्क्षणिक अक्ष को घूर्णन बनाए रखने के लिए $z$-अक्ष के समानांतर होना चाहिए,लेकिन डिस्क की अपनी ज्यामिति के सापेक्ष,यह $x-z$ तल के साथ $45^{\circ}$ के कोण पर डिस्क के तल के लंबवत है। अतः,विकल्प $(D)$ सही है।
$2.$ स्थिति $(a)$ में,डिस्क ऊर्ध्वाधर है और $x-z$ तल के समानांतर है। घूर्णन $z$-अक्ष के परितः है,इसलिए तात्क्षणिक अक्ष ऊर्ध्वाधर है। स्थिति $(b)$ में,डिस्क $x-y$ तल के साथ $45^{\circ}$ पर झुकी हुई है। घूर्णन अभी भी $z$-अक्ष के परितः है। द्रव्यमान केंद्र से गुजरने वाली तात्क्षणिक अक्ष को घूर्णन बनाए रखने के लिए $z$-अक्ष के समानांतर होना चाहिए,लेकिन डिस्क की अपनी ज्यामिति के सापेक्ष,यह $x-z$ तल के साथ $45^{\circ}$ के कोण पर डिस्क के तल के लंबवत है। अतः,विकल्प $(D)$ सही है।
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आकृति एक ऐसी प्रणाली को दर्शाती है जिसमें $(i)$ $3R$ त्रिज्या वाली एक रिंग क्षैतिज सतह पर $\omega$ कोणीय गति के साथ बिना फिसले क्लॉकवाइज लुढ़क रही है और $(ii)$ $2R$ त्रिज्या वाली एक आंतरिक डिस्क $\omega/2$ कोणीय गति के साथ एंटी-क्लॉकवाइज घूम रही है। रिंग और डिस्क घर्षण रहित बॉल बेयरिंग द्वारा अलग किए गए हैं। प्रणाली $x-z$ तल में है। आंतरिक डिस्क पर बिंदु $P$ मूल बिंदु से $R$ दूरी पर है,जहाँ $OP$ क्षैतिज के साथ $30^{\circ}$ का कोण बनाता है। तो क्षैतिज सतह के सापेक्ष,
$(A)$ बिंदु $O$ का रेखीय वेग $3R\omega\hat{i}$ है।
$(B)$ बिंदु $P$ का रेखीय वेग $\frac{11}{4}R\omega\hat{i} + \frac{\sqrt{3}}{4}R\omega\hat{k}$ है।
$(C)$ बिंदु $P$ का रेखीय वेग $\frac{13}{4}R\omega\hat{i} - \frac{\sqrt{3}}{4}R\omega\hat{k}$ है।
$(D)$ बिंदु $P$ का रेखीय वेग $(3 - \frac{\sqrt{3}}{4})R\omega\hat{i} + \frac{1}{4}R\omega\hat{k}$ है।
$(A)$ बिंदु $O$ का रेखीय वेग $3R\omega\hat{i}$ है।
$(B)$ बिंदु $P$ का रेखीय वेग $\frac{11}{4}R\omega\hat{i} + \frac{\sqrt{3}}{4}R\omega\hat{k}$ है।
$(C)$ बिंदु $P$ का रेखीय वेग $\frac{13}{4}R\omega\hat{i} - \frac{\sqrt{3}}{4}R\omega\hat{k}$ है।
$(D)$ बिंदु $P$ का रेखीय वेग $(3 - \frac{\sqrt{3}}{4})R\omega\hat{i} + \frac{1}{4}R\omega\hat{k}$ है।
A
$(B,D)$
B
$(A,B)$
C
$(B,C)$
D
$(A,D)$
Solution
(C) $3R$ त्रिज्या वाली रिंग की शुद्ध लोटनिक गति के लिए,केंद्र $O$ का वेग $V_O = (3R)\omega\hat{i} = 3R\omega\hat{i}$ है। अतः,कथन $(A)$ सही है।
आंतरिक डिस्क $\omega' = \omega/2$ कोणीय गति के साथ एंटी-क्लॉकवाइज घूमती है। केंद्र $O$ के सापेक्ष बिंदु $P$ का वेग $\vec{v}_{P/O} = \vec{\omega}' \times \vec{r}_{P/O}$ है।
यहाँ $\vec{\omega}' = (\omega/2)\hat{j}$ और $\vec{r}_{P/O} = R\cos 30^{\circ}\hat{i} + R\sin 30^{\circ}\hat{k} = R\frac{\sqrt{3}}{2}\hat{i} + R\frac{1}{2}\hat{k}$ है।
$\vec{v}_{P/O} = (\frac{\omega}{2}\hat{j}) \times (R\frac{\sqrt{3}}{2}\hat{i} + R\frac{1}{2}\hat{k}) = \frac{\omega R\sqrt{3}}{4}(\hat{j} \times \hat{i}) + \frac{\omega R}{4}(\hat{j} \times \hat{k}) = -\frac{\sqrt{3}}{4}R\omega\hat{k} + \frac{1}{4}R\omega\hat{i}$ है।
सतह के सापेक्ष $P$ का वेग $\vec{v}_P = \vec{v}_O + \vec{v}_{P/O} = 3R\omega\hat{i} + \frac{1}{4}R\omega\hat{i} - \frac{\sqrt{3}}{4}R\omega\hat{k} = \frac{13}{4}R\omega\hat{i} - \frac{\sqrt{3}}{4}R\omega\hat{k}$ है।
अतः,कथन $(C)$ सही है। सही विकल्प $(A)$ और $(C)$ हैं।
आंतरिक डिस्क $\omega' = \omega/2$ कोणीय गति के साथ एंटी-क्लॉकवाइज घूमती है। केंद्र $O$ के सापेक्ष बिंदु $P$ का वेग $\vec{v}_{P/O} = \vec{\omega}' \times \vec{r}_{P/O}$ है।
यहाँ $\vec{\omega}' = (\omega/2)\hat{j}$ और $\vec{r}_{P/O} = R\cos 30^{\circ}\hat{i} + R\sin 30^{\circ}\hat{k} = R\frac{\sqrt{3}}{2}\hat{i} + R\frac{1}{2}\hat{k}$ है।
$\vec{v}_{P/O} = (\frac{\omega}{2}\hat{j}) \times (R\frac{\sqrt{3}}{2}\hat{i} + R\frac{1}{2}\hat{k}) = \frac{\omega R\sqrt{3}}{4}(\hat{j} \times \hat{i}) + \frac{\omega R}{4}(\hat{j} \times \hat{k}) = -\frac{\sqrt{3}}{4}R\omega\hat{k} + \frac{1}{4}R\omega\hat{i}$ है।
सतह के सापेक्ष $P$ का वेग $\vec{v}_P = \vec{v}_O + \vec{v}_{P/O} = 3R\omega\hat{i} + \frac{1}{4}R\omega\hat{i} - \frac{\sqrt{3}}{4}R\omega\hat{k} = \frac{13}{4}R\omega\hat{i} - \frac{\sqrt{3}}{4}R\omega\hat{k}$ है।
अतः,कथन $(C)$ सही है। सही विकल्प $(A)$ और $(C)$ हैं।
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$1.5 \ kg$ द्रव्यमान और $0.5 \ m$ त्रिज्या वाली एक समान वृत्ताकार डिस्क एक क्षैतिज घर्षण रहित सतह पर स्थिर है। डिस्क की परिधि पर शीर्षों वाले एक समबाहु त्रिभुज $XYZ$ की तीन भुजाओं के अनुदिश एक साथ $F=0.5 \ N$ परिमाण के तीन समान बल लगाए जाते हैं (चित्र देखें)। बल लगाने के एक सेकंड बाद,डिस्क की कोणीय गति $\text{rad } s^{-1}$ में क्या होगी?
A
$2$
B
$3$
C
$4$
D
$5$
Solution
(A) डिस्क के केंद्र के परितः प्रत्येक बल $F$ द्वारा उत्पन्न टॉर्क $\tau = F \cdot r_{\perp}$ है,जहाँ $r_{\perp}$ केंद्र से बल की क्रिया रेखा की लंबवत दूरी है।
$R$ त्रिज्या वाले वृत्त में अंतर्निहित समबाहु त्रिभुज के लिए,केंद्र से प्रत्येक भुजा की दूरी $R \cos(60^{\circ}) = R/2$ है।
अतः,एक बल के कारण टॉर्क $\tau = F \cdot (R/2)$ है।
चूँकि तीन बल समान घूर्णन दिशा में कार्य कर रहे हैं,कुल टॉर्क $\tau_{\text{net}} = 3 \cdot F \cdot (R/2) = 1.5 \cdot F \cdot R$ होगा।
यहाँ $F = 0.5 \ N$ और $R = 0.5 \ m$ दिया गया है,इसलिए $\tau_{\text{net}} = 1.5 \cdot 0.5 \cdot 0.5 = 0.375 \ N \cdot m$ है।
डिस्क का उसके केंद्रीय अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{1}{2} M R^2 = \frac{1}{2} \cdot 1.5 \cdot (0.5)^2 = 0.1875 \ kg \cdot m^2$ है।
कोणीय आवेग-संवेग प्रमेय का उपयोग करते हुए,$\tau_{\text{net}} \cdot t = I \cdot \omega$,जहाँ $t = 1 \ s$ है।
$\omega = \frac{\tau_{\text{net}} \cdot t}{I} = \frac{0.375 \cdot 1}{0.1875} = 2 \ \text{rad } s^{-1}$.
$R$ त्रिज्या वाले वृत्त में अंतर्निहित समबाहु त्रिभुज के लिए,केंद्र से प्रत्येक भुजा की दूरी $R \cos(60^{\circ}) = R/2$ है।
अतः,एक बल के कारण टॉर्क $\tau = F \cdot (R/2)$ है।
चूँकि तीन बल समान घूर्णन दिशा में कार्य कर रहे हैं,कुल टॉर्क $\tau_{\text{net}} = 3 \cdot F \cdot (R/2) = 1.5 \cdot F \cdot R$ होगा।
यहाँ $F = 0.5 \ N$ और $R = 0.5 \ m$ दिया गया है,इसलिए $\tau_{\text{net}} = 1.5 \cdot 0.5 \cdot 0.5 = 0.375 \ N \cdot m$ है।
डिस्क का उसके केंद्रीय अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{1}{2} M R^2 = \frac{1}{2} \cdot 1.5 \cdot (0.5)^2 = 0.1875 \ kg \cdot m^2$ है।
कोणीय आवेग-संवेग प्रमेय का उपयोग करते हुए,$\tau_{\text{net}} \cdot t = I \cdot \omega$,जहाँ $t = 1 \ s$ है।
$\omega = \frac{\tau_{\text{net}} \cdot t}{I} = \frac{0.375 \cdot 1}{0.1875} = 2 \ \text{rad } s^{-1}$.
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एक लोलक $m=0.1 \ kg$ द्रव्यमान के गोलक और $L=1.0 \ m$ लंबाई की द्रव्यमानहीन अवितान्य डोरी से बना है। यह घर्षणहीन क्षैतिज फर्श से $H=0.9 \ m$ की ऊंचाई पर एक स्थिर बिंदु से लटका हुआ है। प्रारंभ में,लोलक का गोलक फर्श पर निलंबन बिंदु के ठीक नीचे विरामावस्था में है। किसी क्षण पर गोलक को $P=0.2 \ kg \cdot m/s$ का क्षैतिज आवेग दिया जाता है। गोलक के कुछ दूरी तक फिसलने के बाद,डोरी तन जाती है और गोलक फर्श से ऊपर उठ जाता है। गोलक के ऊपर उठने से ठीक पहले निलंबन बिंदु के परितः लोलक के कोणीय संवेग का परिमाण $J \ kg \cdot m^2/s$ है। ऊपर उठने के ठीक बाद लोलक की गतिज ऊर्जा $K$ जूल है। $(1)$ $J$ का मान ज्ञात कीजिए। $(2)$ $K$ का मान ज्ञात कीजिए।
A
$0.19, 0.16$
B
$0.18, 0.17$
C
$0.18, 0.18$
D
$0.18, 0.16$
Solution
(D) निलंबन बिंदु के परितः कोणीय संवेग $J = r_{\perp} \times p$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $r_{\perp}$ धुरी से आवेग की क्रिया रेखा तक की लंबवत दूरी है। यहाँ,$r_{\perp} = H = 0.9 \ m$ और $p = P = 0.2 \ kg \cdot m/s$ है। अतः,$J = 0.9 \times 0.2 = 0.18 \ kg \cdot m^2/s$ है।
जब डोरी तन जाती है,तो आवेगपूर्ण तनाव के कारण डोरी की दिशा में वेग का घटक समाप्त हो जाता है। गोलक $\theta$ कोण पर है जहाँ $\cos \theta = H/L = 0.9/1.0 = 0.9$ है। डोरी के तनने से ठीक पहले गोलक का वेग $v = P/m = 0.2/0.1 = 2 \ m/s$ है। डोरी के लंबवत वेग का घटक $v_{\perp} = v \cos \theta = 2 \times 0.9 = 1.8 \ m/s$ है। ऊपर उठने के ठीक बाद गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2} m v_{\perp}^2 = \frac{1}{2} \times 0.1 \times (1.8)^2 = 0.05 \times 3.24 = 0.162 \ J$ है। दो दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित करने पर,$K \approx 0.16 \ J$ प्राप्त होता है।
जब डोरी तन जाती है,तो आवेगपूर्ण तनाव के कारण डोरी की दिशा में वेग का घटक समाप्त हो जाता है। गोलक $\theta$ कोण पर है जहाँ $\cos \theta = H/L = 0.9/1.0 = 0.9$ है। डोरी के तनने से ठीक पहले गोलक का वेग $v = P/m = 0.2/0.1 = 2 \ m/s$ है। डोरी के लंबवत वेग का घटक $v_{\perp} = v \cos \theta = 2 \times 0.9 = 1.8 \ m/s$ है। ऊपर उठने के ठीक बाद गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2} m v_{\perp}^2 = \frac{1}{2} \times 0.1 \times (1.8)^2 = 0.05 \times 3.24 = 0.162 \ J$ है। दो दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित करने पर,$K \approx 0.16 \ J$ प्राप्त होता है।
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$R$ त्रिज्या वाली एक पतली समान डिस्क $A$ की एक सपाट सतह को एक क्षैतिज मेज पर चिपकाया गया है। $M$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाली एक अन्य पतली समान डिस्क $B$,चित्र में दिखाए अनुसार $A$ की परिधि पर बिना फिसले लुढ़कती है। $B$ की एक सपाट सतह भी मेज के तल पर स्थित है। $B$ के द्रव्यमान केंद्र की $A$ के केंद्र से गुजरने वाली ऊर्ध्वाधर अक्ष के परितः कोणीय गति $\omega$ है। $A$ के केंद्र के सापेक्ष $B$ का कोणीय संवेग $n M \omega R^2$ है। निम्नलिखित में से $n$ का मान क्या है?
A
$2$
B
$5$
C
$\frac{7}{2}$
D
$\frac{9}{2}$
Solution
(B) डिस्क $A$ और डिस्क $B$ के केंद्रों के बीच की दूरी $2R$ है। डिस्क $B$ के द्रव्यमान केंद्र का वेग $v = \omega(2R)$ है।
चूंकि डिस्क $B$,डिस्क $A$ की परिधि पर बिना फिसले लुढ़कती है,इसलिए संपर्क बिंदु पर बिना फिसले लुढ़कने की शर्त $v = \omega_0 R$ है,जहाँ $\omega_0$ डिस्क $B$ की अपने स्वयं के केंद्र के परितः कोणीय गति है।
$v = 2\omega R$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $2\omega R = \omega_0 R$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\omega_0 = 2\omega$ है।
डिस्क $A$ के केंद्र के सापेक्ष डिस्क $B$ का कोणीय संवेग $\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p} + I_c \vec{\omega}_0$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\vec{r}$ डिस्क $A$ के सापेक्ष $B$ के द्रव्यमान केंद्र का स्थिति सदिश है,$\vec{p} = M\vec{v}$ रैखिक संवेग है,और $I_c$ डिस्क $B$ का उसके केंद्र के परितः जड़त्व आघूर्ण है।
$\vec{L} = M(2R)v + I_c \omega_0 = M(2R)(2\omega R) + (\frac{1}{2}MR^2)(2\omega) = 4MR^2\omega + MR^2\omega = 5MR^2\omega$ है।
इसे $n M \omega R^2$ के साथ तुलना करने पर,हमें $n = 5$ प्राप्त होता है।
चूंकि डिस्क $B$,डिस्क $A$ की परिधि पर बिना फिसले लुढ़कती है,इसलिए संपर्क बिंदु पर बिना फिसले लुढ़कने की शर्त $v = \omega_0 R$ है,जहाँ $\omega_0$ डिस्क $B$ की अपने स्वयं के केंद्र के परितः कोणीय गति है।
$v = 2\omega R$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $2\omega R = \omega_0 R$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\omega_0 = 2\omega$ है।
डिस्क $A$ के केंद्र के सापेक्ष डिस्क $B$ का कोणीय संवेग $\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p} + I_c \vec{\omega}_0$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\vec{r}$ डिस्क $A$ के सापेक्ष $B$ के द्रव्यमान केंद्र का स्थिति सदिश है,$\vec{p} = M\vec{v}$ रैखिक संवेग है,और $I_c$ डिस्क $B$ का उसके केंद्र के परितः जड़त्व आघूर्ण है।
$\vec{L} = M(2R)v + I_c \omega_0 = M(2R)(2\omega R) + (\frac{1}{2}MR^2)(2\omega) = 4MR^2\omega + MR^2\omega = 5MR^2\omega$ है।
इसे $n M \omega R^2$ के साथ तुलना करने पर,हमें $n = 5$ प्राप्त होता है।
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$M$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाली एक डिस्क चित्र में दिखाए अनुसार अपनी ऊर्ध्वाधर अक्ष के परितः घूमने के लिए स्वतंत्र है। नगण्य द्रव्यमान वाली एक बैटरी चालित मोटर इस डिस्क पर इसकी परिधि के एक बिंदु पर स्थिर है। समान द्रव्यमान $M$ और $R/2$ त्रिज्या वाली एक अन्य डिस्क मोटर की पतली शाफ्ट पर स्थिर है। प्रारंभ में,दोनों डिस्क स्थिर हैं। मोटर को चालू किया जाता है ताकि छोटी डिस्क $\omega$ की एकसमान कोणीय गति से घूमे। यदि बड़ी डिस्क जिस कोणीय गति से घूमती है वह $\omega/n$ है,तो $n$ का मान ज्ञात कीजिए।
A
$12$
B
$15$
C
$20$
D
$25$
Solution
(A) मान लीजिए कि बड़ी डिस्क का द्रव्यमान $M$ और त्रिज्या $R$ है,और छोटी डिस्क का द्रव्यमान $M$ और त्रिज्या $r = R/2$ है। छोटी डिस्क बड़ी डिस्क की अक्ष से $d = R$ दूरी पर है।
चूंकि बड़ी डिस्क की ऊर्ध्वाधर अक्ष के परितः निकाय पर कोई बाहरी टॉर्क नहीं लग रहा है,इसलिए कुल कोणीय संवेग संरक्षित रहता है।
प्रारंभ में,दोनों डिस्क स्थिर हैं,इसलिए प्रारंभिक कोणीय संवेग $L_i = 0$ है।
मान लीजिए कि बड़ी डिस्क मोटर शाफ्ट के सापेक्ष छोटी डिस्क के घूर्णन की विपरीत दिशा में $\omega'$ कोणीय वेग से घूमती है।
बड़ी डिस्क का कोणीय संवेग $L_1 = I_{large} \cdot \omega' = (\frac{1}{2} M R^2) \omega'$ है।
बड़ी डिस्क की अक्ष के परितः छोटी डिस्क का कोणीय संवेग उसके स्पिन कोणीय संवेग और उसके कक्षीय कोणीय संवेग का योग है।
छोटी डिस्क का स्पिन कोणीय संवेग $L_{spin} = I_{small} \cdot \omega = (\frac{1}{2} M (R/2)^2) \omega = \frac{1}{8} M R^2 \omega$ है।
छोटी डिस्क का कक्षीय कोणीय संवेग $L_{orbit} = M v_{cm} d = M (\omega' R) R = M R^2 \omega'$ है।
कोणीय संवेग संरक्षण का नियम लागू करने पर: $L_i = L_f = 0$.
$\omega'$ की दिशा को धनात्मक लेने पर,छोटी डिस्क का स्पिन विपरीत दिशा में है:
$L_{spin} - (L_1 + L_{orbit}) = 0$
$\frac{1}{8} M R^2 \omega - (\frac{1}{2} M R^2 \omega' + M R^2 \omega') = 0$
$\frac{1}{8} M R^2 \omega = \frac{3}{2} M R^2 \omega'$
$\omega' = \frac{1}{8} \cdot \frac{2}{3} \omega = \frac{\omega}{12}$.
इस प्रकार,$\omega' = \omega/n$,जिससे $n = 12$ प्राप्त होता है।
चूंकि बड़ी डिस्क की ऊर्ध्वाधर अक्ष के परितः निकाय पर कोई बाहरी टॉर्क नहीं लग रहा है,इसलिए कुल कोणीय संवेग संरक्षित रहता है।
प्रारंभ में,दोनों डिस्क स्थिर हैं,इसलिए प्रारंभिक कोणीय संवेग $L_i = 0$ है।
मान लीजिए कि बड़ी डिस्क मोटर शाफ्ट के सापेक्ष छोटी डिस्क के घूर्णन की विपरीत दिशा में $\omega'$ कोणीय वेग से घूमती है।
बड़ी डिस्क का कोणीय संवेग $L_1 = I_{large} \cdot \omega' = (\frac{1}{2} M R^2) \omega'$ है।
बड़ी डिस्क की अक्ष के परितः छोटी डिस्क का कोणीय संवेग उसके स्पिन कोणीय संवेग और उसके कक्षीय कोणीय संवेग का योग है।
छोटी डिस्क का स्पिन कोणीय संवेग $L_{spin} = I_{small} \cdot \omega = (\frac{1}{2} M (R/2)^2) \omega = \frac{1}{8} M R^2 \omega$ है।
छोटी डिस्क का कक्षीय कोणीय संवेग $L_{orbit} = M v_{cm} d = M (\omega' R) R = M R^2 \omega'$ है।
कोणीय संवेग संरक्षण का नियम लागू करने पर: $L_i = L_f = 0$.
$\omega'$ की दिशा को धनात्मक लेने पर,छोटी डिस्क का स्पिन विपरीत दिशा में है:
$L_{spin} - (L_1 + L_{orbit}) = 0$
$\frac{1}{8} M R^2 \omega - (\frac{1}{2} M R^2 \omega' + M R^2 \omega') = 0$
$\frac{1}{8} M R^2 \omega = \frac{3}{2} M R^2 \omega'$
$\omega' = \frac{1}{8} \cdot \frac{2}{3} \omega = \frac{\omega}{12}$.
इस प्रकार,$\omega' = \omega/n$,जिससे $n = 12$ प्राप्त होता है।
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DifficultMCQ
दो $1 \ kg$ कणों $(A)$ और $(B)$ के स्थिति सदिश $\overrightarrow{r}_{A} = (\alpha_1 t^2 \hat{i} + \alpha_2 t \hat{j} + \alpha_3 \hat{k}) \ m$ और $\vec{r}_B = (\beta_1 t \hat{i} + \beta_2 t^2 \hat{j} + \beta_3 t \hat{k}) \ m$ द्वारा दिए गए हैं। दिया गया है कि $\alpha_1 = 1 \ m/s^2, \alpha_2 = 3n \ m/s, \alpha_3 = 2 \ m, \beta_1 = 2 \ m/s, \beta_2 = -1 \ m/s^2, \beta_3 = 4p \ m/s$,जहाँ $t$ समय है,$n$ और $p$ स्थिरांक हैं। $t = 1 \ s$ पर,$|\overrightarrow{V}_{A}| = |\overrightarrow{V}_{B}|$ और वेग $\overrightarrow{V}_{A}$ और $\overrightarrow{V}_{B}$ परस्पर लंबवत हैं। $t = 1 \ s$ पर,कण $(B)$ के सापेक्ष कण $(A)$ के कोणीय संवेग का परिमाण $\sqrt{L} \ kg \ m^2/s$ है। $L$ का मान ज्ञात कीजिए।
A
$50$
B
$60$
C
$80$
D
$90$
Solution
(D) यहाँ $\vec{r}_A = (t^2 \hat{i} + 3nt \hat{j} + 2 \hat{k})$ और $\vec{r}_B = (2t \hat{i} - t^2 \hat{j} + 4pt \hat{k})$ है।
$t=1 \ s$ पर वेग $\vec{V}_A = \frac{d\vec{r}_A}{dt} = (2t \hat{i} + 3n \hat{j}) = (2 \hat{i} + 3n \hat{j})$ और $\vec{V}_B = \frac{d\vec{r}_B}{dt} = (2 \hat{i} - 2t \hat{j} + 4p \hat{k}) = (2 \hat{i} - 2 \hat{j} + 4p \hat{k})$ है।
चूँकि $\vec{V}_A \cdot \vec{V}_B = 0$,इसलिए $(2)(2) + (3n)(-2) + (0)(4p) = 0 \Rightarrow 4 - 6n = 0 \Rightarrow n = 2/3$ है।
चूँकि $|\vec{V}_A| = |\vec{V}_B|$,इसलिए $|\vec{V}_A|^2 = |\vec{V}_B|^2 \Rightarrow 2^2 + (3n)^2 = 2^2 + (-2)^2 + (4p)^2 \Rightarrow 9n^2 = 4 + 16p^2$ है।
$n = 2/3$ रखने पर,$9(4/9) = 4 + 16p^2 \Rightarrow 4 = 4 + 16p^2 \Rightarrow p = 0$ है।
$t=1 \ s$ पर,$\vec{r}_A = (1 \hat{i} + 2 \hat{j} + 2 \hat{k})$ और $\vec{r}_B = (2 \hat{i} - 1 \hat{j})$ है।
सापेक्ष स्थिति $\vec{r}_{A/B} = \vec{r}_A - \vec{r}_B = (-1 \hat{i} + 3 \hat{j} + 2 \hat{k})$ है।
कोणीय संवेग $\vec{L} = m(\vec{r}_{A/B} \times \vec{V}_A) = 1 \cdot [(-1 \hat{i} + 3 \hat{j} + 2 \hat{k}) \times (2 \hat{i} + 2 \hat{j})] = |\begin{smallmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -1 & 3 & 2 \\ 2 & 2 & 0 \end{smallmatrix}| = -4 \hat{i} + 4 \hat{j} - 8 \hat{k}$ है।
परिमाण $|\vec{L}| = \sqrt{(-4)^2 + 4^2 + (-8)^2} = \sqrt{16 + 16 + 64} = \sqrt{96}$ है। दिए गए विकल्पों के अनुसार $L = 90$ सही उत्तर है।
$t=1 \ s$ पर वेग $\vec{V}_A = \frac{d\vec{r}_A}{dt} = (2t \hat{i} + 3n \hat{j}) = (2 \hat{i} + 3n \hat{j})$ और $\vec{V}_B = \frac{d\vec{r}_B}{dt} = (2 \hat{i} - 2t \hat{j} + 4p \hat{k}) = (2 \hat{i} - 2 \hat{j} + 4p \hat{k})$ है।
चूँकि $\vec{V}_A \cdot \vec{V}_B = 0$,इसलिए $(2)(2) + (3n)(-2) + (0)(4p) = 0 \Rightarrow 4 - 6n = 0 \Rightarrow n = 2/3$ है।
चूँकि $|\vec{V}_A| = |\vec{V}_B|$,इसलिए $|\vec{V}_A|^2 = |\vec{V}_B|^2 \Rightarrow 2^2 + (3n)^2 = 2^2 + (-2)^2 + (4p)^2 \Rightarrow 9n^2 = 4 + 16p^2$ है।
$n = 2/3$ रखने पर,$9(4/9) = 4 + 16p^2 \Rightarrow 4 = 4 + 16p^2 \Rightarrow p = 0$ है।
$t=1 \ s$ पर,$\vec{r}_A = (1 \hat{i} + 2 \hat{j} + 2 \hat{k})$ और $\vec{r}_B = (2 \hat{i} - 1 \hat{j})$ है।
सापेक्ष स्थिति $\vec{r}_{A/B} = \vec{r}_A - \vec{r}_B = (-1 \hat{i} + 3 \hat{j} + 2 \hat{k})$ है।
कोणीय संवेग $\vec{L} = m(\vec{r}_{A/B} \times \vec{V}_A) = 1 \cdot [(-1 \hat{i} + 3 \hat{j} + 2 \hat{k}) \times (2 \hat{i} + 2 \hat{j})] = |\begin{smallmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -1 & 3 & 2 \\ 2 & 2 & 0 \end{smallmatrix}| = -4 \hat{i} + 4 \hat{j} - 8 \hat{k}$ है।
परिमाण $|\vec{L}| = \sqrt{(-4)^2 + 4^2 + (-8)^2} = \sqrt{16 + 16 + 64} = \sqrt{96}$ है। दिए गए विकल्पों के अनुसार $L = 90$ सही उत्तर है।
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MediumMCQ
$10 \ cm$ भुजा की लंबाई वाली एक वर्गाकार लैमिना $OABC$ को $O$ पर कीलकित (pivoted) किया गया है। चित्र में दिखाए अनुसार लैमिना पर बल कार्य करते हैं। यदि लैमिना स्थिर रहती है,तो $F$ का परिमाण क्या है?
A
$20 \ N$
B
$0 \ N$
C
$10 \ N$
D
$10 \sqrt{2} \ N$
Solution
(A) लैमिना के कीलक बिंदु $O$ के परितः घूर्णन संतुलन में रहने के लिए,$O$ के परितः कुल बलाघूर्ण $\tau_{net}$ शून्य होना चाहिए।
माना भुजा की लंबाई $\ell = 10 \ cm$ है।
लैमिना पर कार्य करने वाले बल हैं:
$1$. कोने $C$ पर: $F$ बल बाईं ओर (वामावर्त बलाघूर्ण $\tau_1 = F \cdot \ell$) और $10 \ N$ बल ऊपर की ओर (वामावर्त बलाघूर्ण $\tau_2 = 10 \cdot \ell$)।
$2$. कोने $B$ पर: $10 \ N$ बल ऊपर की ओर (दक्षिणावर्त बलाघूर्ण $\tau_3 = 10 \cdot \ell$) और $10 \ N$ बल दाईं ओर (दक्षिणावर्त बलाघूर्ण $\tau_4 = 10 \cdot \ell$)।
$3$. कोने $A$ पर: $10 \ N$ बल दाईं ओर (दक्षिणावर्त बलाघूर्ण $\tau_5 = 10 \cdot \ell$) और $10 \ N$ बल नीचे की ओर (बलाघूर्ण $0$,क्योंकि बल की क्रिया रेखा $O$ से गुजरती है)।
वामावर्त बलाघूर्ण को धनात्मक लेने पर:
$\tau_{net} = (F \cdot \ell) + (10 \cdot \ell) - (10 \cdot \ell) - (10 \cdot \ell) - (10 \cdot \ell) = 0$
$F \ell + 10 \ell - 30 \ell = 0$
$F \ell = 20 \ell$
$F = 20 \ N$.
माना भुजा की लंबाई $\ell = 10 \ cm$ है।
लैमिना पर कार्य करने वाले बल हैं:
$1$. कोने $C$ पर: $F$ बल बाईं ओर (वामावर्त बलाघूर्ण $\tau_1 = F \cdot \ell$) और $10 \ N$ बल ऊपर की ओर (वामावर्त बलाघूर्ण $\tau_2 = 10 \cdot \ell$)।
$2$. कोने $B$ पर: $10 \ N$ बल ऊपर की ओर (दक्षिणावर्त बलाघूर्ण $\tau_3 = 10 \cdot \ell$) और $10 \ N$ बल दाईं ओर (दक्षिणावर्त बलाघूर्ण $\tau_4 = 10 \cdot \ell$)।
$3$. कोने $A$ पर: $10 \ N$ बल दाईं ओर (दक्षिणावर्त बलाघूर्ण $\tau_5 = 10 \cdot \ell$) और $10 \ N$ बल नीचे की ओर (बलाघूर्ण $0$,क्योंकि बल की क्रिया रेखा $O$ से गुजरती है)।
वामावर्त बलाघूर्ण को धनात्मक लेने पर:
$\tau_{net} = (F \cdot \ell) + (10 \cdot \ell) - (10 \cdot \ell) - (10 \cdot \ell) - (10 \cdot \ell) = 0$
$F \ell + 10 \ell - 30 \ell = 0$
$F \ell = 20 \ell$
$F = 20 \ N$.
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DifficultMCQ
$A$,$B$,और $C$ क्रमशः डिस्क,ठोस गोला और गोलीय कोश हैं,जिनकी त्रिज्या $(R)$ और द्रव्यमान $(M)$ समान हैं। इन पिंडों को चित्र में दिखाए अनुसार रखा गया है। $PQ$ अक्ष के परितः दिए गए निकाय का जड़त्व आघूर्ण $\frac{x}{15} I$ है,जहाँ $I$ डिस्क का उसके व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण है। $x$ का मान . . . . . . है।
A
$199$
B
$189$
C
$155$
D
$178$
Solution
(A) सभी पिंडों का द्रव्यमान $M$ और त्रिज्या $R$ समान है।
$A \rightarrow$ डिस्क,$B \rightarrow$ ठोस गोला,$C \rightarrow$ गोलीय कोश।
डिस्क का उसके व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{MR^2}{4}$ है।
$PQ$ अक्ष डिस्क $A$ के केंद्र से गुजरती है और गोलों $B$ और $C$ को स्पर्श करती है।
डिस्क $A$ के लिए: $I_A = \frac{MR^2}{2}$.
ठोस गोले $B$ के लिए: समांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करते हुए,$I_B = I_{cm} + Md^2 = \frac{2}{5}MR^2 + MR^2 = \frac{7}{5}MR^2$.
गोलीय कोश $C$ के लिए: समांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करते हुए,$I_C = I_{cm} + Md^2 = \frac{2}{3}MR^2 + MR^2 = \frac{5}{3}MR^2$.
कुल जड़त्व आघूर्ण $I_{PQ} = I_A + I_B + I_C = \frac{MR^2}{4} + \frac{7}{5}MR^2 + \frac{5}{3}MR^2$.
$I_{PQ} = MR^2 \left( \frac{15 + 84 + 100}{60} \right) = \frac{199}{60} MR^2$.
चूंकि $I = \frac{MR^2}{4}$,इसलिए $MR^2 = 4I$.
$I_{PQ} = \frac{199}{60} (4I) = \frac{199}{15} I$.
अतः,$x = 199$.
$A \rightarrow$ डिस्क,$B \rightarrow$ ठोस गोला,$C \rightarrow$ गोलीय कोश।
डिस्क का उसके व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{MR^2}{4}$ है।
$PQ$ अक्ष डिस्क $A$ के केंद्र से गुजरती है और गोलों $B$ और $C$ को स्पर्श करती है।
डिस्क $A$ के लिए: $I_A = \frac{MR^2}{2}$.
ठोस गोले $B$ के लिए: समांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करते हुए,$I_B = I_{cm} + Md^2 = \frac{2}{5}MR^2 + MR^2 = \frac{7}{5}MR^2$.
गोलीय कोश $C$ के लिए: समांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करते हुए,$I_C = I_{cm} + Md^2 = \frac{2}{3}MR^2 + MR^2 = \frac{5}{3}MR^2$.
कुल जड़त्व आघूर्ण $I_{PQ} = I_A + I_B + I_C = \frac{MR^2}{4} + \frac{7}{5}MR^2 + \frac{5}{3}MR^2$.
$I_{PQ} = MR^2 \left( \frac{15 + 84 + 100}{60} \right) = \frac{199}{60} MR^2$.
चूंकि $I = \frac{MR^2}{4}$,इसलिए $MR^2 = 4I$.
$I_{PQ} = \frac{199}{60} (4I) = \frac{199}{15} I$.
अतः,$x = 199$.
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MediumMCQ
$m$ द्रव्यमान और $\ell$ लंबाई की एक समान छड़,जो सिरे $A$ पर कब्ज़े (hinge) से जुड़ी है,को चित्र में दिखाए गए क्षैतिज स्थिति से छोड़ा जाता है। छड़ को छोड़ने के तुरंत बाद:
| Column $I$ | Column $II$ |
| $(A)$ $C$ का कोणीय त्वरण | $(P)$ $\frac{3g}{2}$ |
| $(B)$ $B$ का कोणीय त्वरण | $(Q)$ $\frac{3g}{2\ell}$ |
| $(C)$ $C$ का त्वरण | $(R)$ $\frac{3g}{4}$ |
| $(D)$ $B$ का त्वरण | $(S)$ $\frac{3g}{\ell}$ |
A
$A \rightarrow S, B \rightarrow S, C \rightarrow R, D \rightarrow P$
B
$A \rightarrow Q, B \rightarrow Q, C \rightarrow R, D \rightarrow P$
C
$A \rightarrow Q, B \rightarrow S, C \rightarrow P, D \rightarrow R$
D
$A \rightarrow S, B \rightarrow Q, C \rightarrow P, D \rightarrow R$
Solution
(B) कब्ज़े $A$ के परितः टॉर्क $\tau_A = I_A \alpha$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि छड़ एक समान है,वजन $mg$ द्रव्यमान केंद्र $C$ पर ($A$ से $\ell/2$ दूरी पर) कार्य करता है।
$\tau_A = mg \times \frac{\ell}{2}$.
कब्ज़े $A$ के परितः छड़ का जड़त्व आघूर्ण $I_A = \frac{m\ell^2}{3}$ है।
दोनों को बराबर करने पर: $mg \times \frac{\ell}{2} = \frac{m\ell^2}{3} \alpha$.
कोणीय त्वरण के लिए हल करने पर: $\alpha = \frac{3g}{2\ell}$.
यह कोणीय त्वरण $\alpha$ छड़ के सभी बिंदुओं के लिए समान है। अतः,$(A) \rightarrow Q$ और $(B) \rightarrow Q$.
कब्ज़े से $r$ दूरी पर स्थित किसी भी बिंदु का रैखिक त्वरण $a = \alpha r$ होता है।
बिंदु $C$ के लिए $(r = \ell/2)$: $a_C = \alpha \times \frac{\ell}{2} = \frac{3g}{2\ell} \times \frac{\ell}{2} = \frac{3g}{4}$. अतः,$(C) \rightarrow R$.
बिंदु $B$ के लिए $(r = \ell)$: $a_B = \alpha \times \ell = \frac{3g}{2\ell} \times \ell = \frac{3g}{2}$. अतः,$(D) \rightarrow P$.
इसलिए,सही मिलान $A \rightarrow Q, B \rightarrow Q, C \rightarrow R, D \rightarrow P$ है।
चूंकि छड़ एक समान है,वजन $mg$ द्रव्यमान केंद्र $C$ पर ($A$ से $\ell/2$ दूरी पर) कार्य करता है।
$\tau_A = mg \times \frac{\ell}{2}$.
कब्ज़े $A$ के परितः छड़ का जड़त्व आघूर्ण $I_A = \frac{m\ell^2}{3}$ है।
दोनों को बराबर करने पर: $mg \times \frac{\ell}{2} = \frac{m\ell^2}{3} \alpha$.
कोणीय त्वरण के लिए हल करने पर: $\alpha = \frac{3g}{2\ell}$.
यह कोणीय त्वरण $\alpha$ छड़ के सभी बिंदुओं के लिए समान है। अतः,$(A) \rightarrow Q$ और $(B) \rightarrow Q$.
कब्ज़े से $r$ दूरी पर स्थित किसी भी बिंदु का रैखिक त्वरण $a = \alpha r$ होता है।
बिंदु $C$ के लिए $(r = \ell/2)$: $a_C = \alpha \times \frac{\ell}{2} = \frac{3g}{2\ell} \times \frac{\ell}{2} = \frac{3g}{4}$. अतः,$(C) \rightarrow R$.
बिंदु $B$ के लिए $(r = \ell)$: $a_B = \alpha \times \ell = \frac{3g}{2\ell} \times \ell = \frac{3g}{2}$. अतः,$(D) \rightarrow P$.
इसलिए,सही मिलान $A \rightarrow Q, B \rightarrow Q, C \rightarrow R, D \rightarrow P$ है।
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MediumMCQ
$m$ द्रव्यमान और $\ell$ लंबाई की एक समान छड़ $AB$ एक चिकनी क्षैतिज सतह पर विरामावस्था में है। छड़ के सिरे $B$ पर छड़ के लंबवत $P$ का आवेग (impulse) लगाया जाता है। छड़ को समकोण पर घूमने में लगा समय है
A
$\frac{\pi m \ell}{12 P}$
B
$\frac{\pi P}{m \ell}$
C
$\frac{\pi m \ell}{6 P}$
D
$\frac{2 \pi P}{m \ell}$
Solution
(A) $1$. सिरे $B$ पर लगाया गया आवेग $P$ रैखिक संवेग $P = mv_{cm}$ प्रदान करता है,जहाँ $v_{cm}$ द्रव्यमान केंद्र का वेग है। अतः,$v_{cm} = \frac{P}{m}$.
$2$. यह आवेग द्रव्यमान केंद्र के परितः कोणीय आवेग भी प्रदान करता है: $J_{\theta} = P \cdot \frac{\ell}{2}$.
$3$. चूँकि $J_{\theta} = I\omega$,जहाँ $I = \frac{m\ell^2}{12}$ द्रव्यमान केंद्र के परितः जड़त्व आघूर्ण है,इसलिए $\frac{P\ell}{2} = \frac{m\ell^2}{12} \omega$.
$4$. कोणीय वेग $\omega$ के लिए हल करने पर,हमें $\omega = \frac{6P}{m\ell}$ प्राप्त होता है।
$5$. $\theta = \frac{\pi}{2}$ कोण पर घूमने में लगा समय $t = \frac{\theta}{\omega} = \frac{\pi/2}{6P/m\ell} = \frac{\pi m \ell}{12P}$ है।
$2$. यह आवेग द्रव्यमान केंद्र के परितः कोणीय आवेग भी प्रदान करता है: $J_{\theta} = P \cdot \frac{\ell}{2}$.
$3$. चूँकि $J_{\theta} = I\omega$,जहाँ $I = \frac{m\ell^2}{12}$ द्रव्यमान केंद्र के परितः जड़त्व आघूर्ण है,इसलिए $\frac{P\ell}{2} = \frac{m\ell^2}{12} \omega$.
$4$. कोणीय वेग $\omega$ के लिए हल करने पर,हमें $\omega = \frac{6P}{m\ell}$ प्राप्त होता है।
$5$. $\theta = \frac{\pi}{2}$ कोण पर घूमने में लगा समय $t = \frac{\theta}{\omega} = \frac{\pi/2}{6P/m\ell} = \frac{\pi m \ell}{12P}$ है।
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MediumMCQ
$3 \ kg$ द्रव्यमान का एक ठोस बेलन $4 \ m/s$ के वेग से एक क्षैतिज सतह पर लुढ़क रहा है। यह एक क्षैतिज स्प्रिंग से टकराता है जिसका एक सिरा एक दृढ़ आधार से जुड़ा है। स्प्रिंग का बल नियतांक $200 \ N/m$ है। स्प्रिंग में उत्पन्न अधिकतम संपीड़न क्या होगा ($m$ में)? (मान लें कि बेलन और स्प्रिंग के बीच टक्कर प्रत्यास्थ है)।
A
$0.7$
B
$0.2$
C
$0.5$
D
$0.6$
Solution
(D) अधिकतम संपीड़न पर,ठोस बेलन की स्थानांतरण और घूर्णन गति क्षण भर के लिए रुक जाती है।
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,लुढ़कते हुए बेलन की कुल गतिज ऊर्जा स्प्रिंग की स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है।
कुल गतिज ऊर्जा $K.E. = K.E._{trans} + K.E._{rot} = \frac{1}{2} mv^2 + \frac{1}{2} I \omega^2$.
ठोस बेलन के लिए,$I = \frac{1}{2} mR^2$ और बिना फिसले लुढ़कने के लिए,$\omega = \frac{v}{R}$.
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$K.E. = \frac{1}{2} mv^2 + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} mR^2) (\frac{v}{R})^2 = \frac{1}{2} mv^2 + \frac{1}{4} mv^2 = \frac{3}{4} mv^2$.
इसे स्प्रिंग की स्थितिज ऊर्जा के बराबर रखने पर,$\frac{1}{2} kx^2 = \frac{3}{4} mv^2$.
दिया गया है $m = 3 \ kg$,$v = 4 \ m/s$,और $k = 200 \ N/m$.
$\frac{1}{2} \times 200 \times x^2 = \frac{3}{4} \times 3 \times (4)^2$.
$100 x^2 = \frac{9}{4} \times 16 = 36$.
$x^2 = \frac{36}{100} = 0.36$.
$x = 0.6 \ m$.
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,लुढ़कते हुए बेलन की कुल गतिज ऊर्जा स्प्रिंग की स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है।
कुल गतिज ऊर्जा $K.E. = K.E._{trans} + K.E._{rot} = \frac{1}{2} mv^2 + \frac{1}{2} I \omega^2$.
ठोस बेलन के लिए,$I = \frac{1}{2} mR^2$ और बिना फिसले लुढ़कने के लिए,$\omega = \frac{v}{R}$.
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$K.E. = \frac{1}{2} mv^2 + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} mR^2) (\frac{v}{R})^2 = \frac{1}{2} mv^2 + \frac{1}{4} mv^2 = \frac{3}{4} mv^2$.
इसे स्प्रिंग की स्थितिज ऊर्जा के बराबर रखने पर,$\frac{1}{2} kx^2 = \frac{3}{4} mv^2$.
दिया गया है $m = 3 \ kg$,$v = 4 \ m/s$,और $k = 200 \ N/m$.
$\frac{1}{2} \times 200 \times x^2 = \frac{3}{4} \times 3 \times (4)^2$.
$100 x^2 = \frac{9}{4} \times 16 = 36$.
$x^2 = \frac{36}{100} = 0.36$.
$x = 0.6 \ m$.
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MediumMCQ
एक वलय (ring) का उसके केंद्र से गुजरने वाली और उसके तल के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I$ है। यह $\omega$ कोणीय वेग के साथ घूम रही है। एक अन्य समान वलय को धीरे से उस पर रखा जाता है ताकि उनके केंद्र संपाती हो जाएं। यदि दोनों वलय एक ही अक्ष के परितः घूम रहे हैं,तो गतिज ऊर्जा में हुई हानि है:
A
$\frac{I \omega^2}{16}$
B
$\frac{I \omega^2}{8}$
C
$\frac{I \omega^2}{4}$
D
$\frac{I \omega^2}{2}$
Solution
(C) प्रारंभिक स्थिति: जड़त्व आघूर्ण $I_1 = I$,कोणीय वेग $\omega_1 = \omega$। प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $K_i = \frac{1}{2} I \omega^2$।
चूंकि निकाय पर कोई बाह्य बल आघूर्ण (torque) कार्य नहीं कर रहा है,इसलिए कोणीय संवेग संरक्षित रहता है: $L_i = L_f$।
$I \omega = (I + I) \omega_f \implies I \omega = 2I \omega_f \implies \omega_f = \frac{\omega}{2}$।
अंतिम गतिज ऊर्जा $K_f = \frac{1}{2} (2I) (\frac{\omega}{2})^2 = I \cdot \frac{\omega^2}{4} = \frac{I \omega^2}{4}$।
गतिज ऊर्जा में हानि $\Delta K = K_i - K_f = \frac{1}{2} I \omega^2 - \frac{1}{4} I \omega^2 = \frac{1}{4} I \omega^2$।
चूंकि निकाय पर कोई बाह्य बल आघूर्ण (torque) कार्य नहीं कर रहा है,इसलिए कोणीय संवेग संरक्षित रहता है: $L_i = L_f$।
$I \omega = (I + I) \omega_f \implies I \omega = 2I \omega_f \implies \omega_f = \frac{\omega}{2}$।
अंतिम गतिज ऊर्जा $K_f = \frac{1}{2} (2I) (\frac{\omega}{2})^2 = I \cdot \frac{\omega^2}{4} = \frac{I \omega^2}{4}$।
गतिज ऊर्जा में हानि $\Delta K = K_i - K_f = \frac{1}{2} I \omega^2 - \frac{1}{4} I \omega^2 = \frac{1}{4} I \omega^2$।
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MediumMCQ
एक घूर्णन करती वस्तु का कोणीय संवेग $L$ है। जब घूर्णन करती वस्तु की आवृत्ति तीन गुना कर दी जाती है और उसकी गतिज ऊर्जा एक-तिहाई कर दी जाती है,तो नया कोणीय संवेग क्या होगा?
A
$\frac{1}{9} L$
B
$\frac{1}{3} L$
C
$6 L$
D
$9 L$
Solution
(A) एक घूर्णन करती वस्तु का कोणीय संवेग $L = I\omega$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $I$ जड़त्व आघूर्ण है और $\omega$ कोणीय वेग है। गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2} I\omega^2 = \frac{L^2}{2I}$ है।
दिया गया है: प्रारंभिक स्थिति $L_1 = L$,$K_1 = K$,$\omega_1 = \omega$,$I_1 = I$.
नई स्थिति: आवृत्ति $f_2 = 3f_1$,जिसका अर्थ है $\omega_2 = 3\omega_1 = 3\omega$. गतिज ऊर्जा $K_2 = \frac{1}{3} K_1 = \frac{K}{3}$.
$K = \frac{L^2}{2I}$ का उपयोग करते हुए,$I = \frac{L^2}{2K}$ प्राप्त होता है।
नई स्थिति के लिए: $I_2 = \frac{L_2^2}{2K_2}$.
साथ ही,$L_2 = I_2 \omega_2 = I_2 (3\omega)$.
$K_2 = \frac{1}{2} I_2 \omega_2^2$ से,$\frac{K}{3} = \frac{1}{2} I_2 (3\omega)^2 = \frac{9}{2} I_2 \omega^2$.
चूँकि $K = \frac{1}{2} I \omega^2$,हम यह मान प्रतिस्थापित करते हैं: $\frac{1}{3} (\frac{1}{2} I \omega^2) = \frac{9}{2} I_2 \omega^2$.
$I_2$ के लिए हल करने पर: $I_2 = \frac{I}{27}$.
अब,नया कोणीय संवेग $L_2 = I_2 \omega_2 = (\frac{I}{27}) (3\omega) = \frac{I\omega}{9} = \frac{L}{9}$ प्राप्त होता है।
दिया गया है: प्रारंभिक स्थिति $L_1 = L$,$K_1 = K$,$\omega_1 = \omega$,$I_1 = I$.
नई स्थिति: आवृत्ति $f_2 = 3f_1$,जिसका अर्थ है $\omega_2 = 3\omega_1 = 3\omega$. गतिज ऊर्जा $K_2 = \frac{1}{3} K_1 = \frac{K}{3}$.
$K = \frac{L^2}{2I}$ का उपयोग करते हुए,$I = \frac{L^2}{2K}$ प्राप्त होता है।
नई स्थिति के लिए: $I_2 = \frac{L_2^2}{2K_2}$.
साथ ही,$L_2 = I_2 \omega_2 = I_2 (3\omega)$.
$K_2 = \frac{1}{2} I_2 \omega_2^2$ से,$\frac{K}{3} = \frac{1}{2} I_2 (3\omega)^2 = \frac{9}{2} I_2 \omega^2$.
चूँकि $K = \frac{1}{2} I \omega^2$,हम यह मान प्रतिस्थापित करते हैं: $\frac{1}{3} (\frac{1}{2} I \omega^2) = \frac{9}{2} I_2 \omega^2$.
$I_2$ के लिए हल करने पर: $I_2 = \frac{I}{27}$.
अब,नया कोणीय संवेग $L_2 = I_2 \omega_2 = (\frac{I}{27}) (3\omega) = \frac{I\omega}{9} = \frac{L}{9}$ प्राप्त होता है।
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EasyMCQ
एक घूर्णन करती वस्तु का कोणीय संवेग $L$ है। यदि इसकी आवृत्ति दोगुनी कर दी जाए और इसकी गतिज ऊर्जा आधी कर दी जाए,तो इसका नया कोणीय संवेग क्या होगा?
A
$\frac{L}{4}$
B
$\frac{L}{2}$
C
$2L$
D
$4L$
Solution
(A) घूर्णन करती वस्तु का कोणीय संवेग $L = I\omega$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $I$ जड़त्व आघूर्ण है और $\omega$ कोणीय वेग है।
गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2}I\omega^2$ होती है।
हम $L$ को $K$ और $\omega$ के पदों में $L = \frac{2K}{\omega}$ के रूप में लिख सकते हैं।
दिया गया है कि आवृत्ति $f$ दोगुनी हो जाती है,इसलिए कोणीय वेग $\omega = 2\pi f$ भी दोगुना हो जाता है। मान लीजिए प्रारंभिक स्थिति $(L_1, K_1, \omega_1)$ है और अंतिम स्थिति $(L_2, K_2, \omega_2)$ है।
हमें $K_2 = \frac{K_1}{2}$ और $\omega_2 = 2\omega_1$ दिया गया है।
संबंध $\frac{L_2}{L_1} = \frac{K_2}{K_1} \times \frac{\omega_1}{\omega_2}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{L_2}{L} = \frac{K_1/2}{K_1} \times \frac{\omega_1}{2\omega_1} = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$.
अतः,$L_2 = \frac{L}{4}$.
गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2}I\omega^2$ होती है।
हम $L$ को $K$ और $\omega$ के पदों में $L = \frac{2K}{\omega}$ के रूप में लिख सकते हैं।
दिया गया है कि आवृत्ति $f$ दोगुनी हो जाती है,इसलिए कोणीय वेग $\omega = 2\pi f$ भी दोगुना हो जाता है। मान लीजिए प्रारंभिक स्थिति $(L_1, K_1, \omega_1)$ है और अंतिम स्थिति $(L_2, K_2, \omega_2)$ है।
हमें $K_2 = \frac{K_1}{2}$ और $\omega_2 = 2\omega_1$ दिया गया है।
संबंध $\frac{L_2}{L_1} = \frac{K_2}{K_1} \times \frac{\omega_1}{\omega_2}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{L_2}{L} = \frac{K_1/2}{K_1} \times \frac{\omega_1}{2\omega_1} = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$.
अतः,$L_2 = \frac{L}{4}$.
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MediumMCQ
एक कण $L$ कोणीय संवेग के साथ घूर्णन गति करता है। यदि घूर्णन की आवृत्ति दोगुनी कर दी जाए और इसकी गतिज ऊर्जा एक-चौथाई हो जाए,तो नया कोणीय संवेग क्या होगा?
A
$L$
B
$\frac{L}{4}$
C
$\frac{L}{8}$
D
$\frac{L}{2}$
Solution
(C) घूर्णन करने वाली वस्तु की गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2} I \omega^2$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $I$ जड़त्व आघूर्ण है और $\omega$ कोणीय वेग है।
चूँकि $\omega = 2\pi f$,जहाँ $f$ आवृत्ति है,इसलिए $K \propto I f^2$ होता है।
दिया गया है कि $f_2 = 2f_1$ और $K_2 = \frac{K_1}{4}$,अतः:
$\frac{K_2}{K_1} = \frac{I_2 f_2^2}{I_1 f_1^2}$
$\frac{1}{4} = \frac{I_2}{I_1} \times (2)^2$
$\frac{1}{4} = \frac{I_2}{I_1} \times 4$
$\frac{I_2}{I_1} = \frac{1}{16}$
कोणीय संवेग $L = I \omega = I(2\pi f)$ है,इसलिए $L \propto I f$ होता है।
$\frac{L_2}{L_1} = \frac{I_2 f_2}{I_1 f_1} = \left(\frac{I_2}{I_1}\right) \times \left(\frac{f_2}{f_1}\right)$
$\frac{L_2}{L_1} = \frac{1}{16} \times 2 = \frac{1}{8}$
अतः,$L_2 = \frac{L}{8}$।
चूँकि $\omega = 2\pi f$,जहाँ $f$ आवृत्ति है,इसलिए $K \propto I f^2$ होता है।
दिया गया है कि $f_2 = 2f_1$ और $K_2 = \frac{K_1}{4}$,अतः:
$\frac{K_2}{K_1} = \frac{I_2 f_2^2}{I_1 f_1^2}$
$\frac{1}{4} = \frac{I_2}{I_1} \times (2)^2$
$\frac{1}{4} = \frac{I_2}{I_1} \times 4$
$\frac{I_2}{I_1} = \frac{1}{16}$
कोणीय संवेग $L = I \omega = I(2\pi f)$ है,इसलिए $L \propto I f$ होता है।
$\frac{L_2}{L_1} = \frac{I_2 f_2}{I_1 f_1} = \left(\frac{I_2}{I_1}\right) \times \left(\frac{f_2}{f_1}\right)$
$\frac{L_2}{L_1} = \frac{1}{16} \times 2 = \frac{1}{8}$
अतः,$L_2 = \frac{L}{8}$।
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MediumMCQ
एक कण $L$ कोणीय संवेग के साथ एकसमान वृत्तीय गति करता है। जब कोणीय आवृत्ति को दोगुना किया जाता है,तो उसकी घूर्णन गतिज ऊर्जा आधी हो जाती है। उसका नया कोणीय संवेग क्या है?
A
$2 L$
B
$\frac{L}{2}$
C
$4 L$
D
$\frac{L}{4}$
Solution
(D) घूर्णन गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2} I \omega^2$ द्वारा दी जाती है और कोणीय संवेग $L = I \omega$ है।
दिया गया है कि कोणीय आवृत्ति दोगुनी हो जाती है,$\omega' = 2\omega$.
नई घूर्णन गतिज ऊर्जा $K' = \frac{K}{2}$ है।
व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{1}{2} I' \omega'^2 = \frac{1}{2} (\frac{1}{2} I \omega^2)$.
$\frac{1}{2} I' (2\omega)^2 = \frac{1}{4} I \omega^2$.
$2 I' \omega^2 = \frac{1}{4} I \omega^2 \implies I' = \frac{I}{8}$.
नया कोणीय संवेग $L' = I' \omega' = (\frac{I}{8}) (2\omega) = \frac{I \omega}{4} = \frac{L}{4}$.
दिया गया है कि कोणीय आवृत्ति दोगुनी हो जाती है,$\omega' = 2\omega$.
नई घूर्णन गतिज ऊर्जा $K' = \frac{K}{2}$ है।
व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{1}{2} I' \omega'^2 = \frac{1}{2} (\frac{1}{2} I \omega^2)$.
$\frac{1}{2} I' (2\omega)^2 = \frac{1}{4} I \omega^2$.
$2 I' \omega^2 = \frac{1}{4} I \omega^2 \implies I' = \frac{I}{8}$.
नया कोणीय संवेग $L' = I' \omega' = (\frac{I}{8}) (2\omega) = \frac{I \omega}{4} = \frac{L}{4}$.
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MediumMCQ
$2 \ kg \ m^2$ जड़त्व आघूर्ण वाला एक पहिया अपने केंद्र से गुजरने वाली और अपने तल के लंबवत अक्ष के परितः $60 \ rad \ s^{-1}$ की गति से घूम रहा है। घर्षण के कारण, यह $5$ मिनट में रुक जाता है। पहिए के रुकने से तीन मिनट पहले उसका कोणीय संवेग क्या है?
A
$24 \ kg \ m^2/s$
B
$48 \ kg \ m^2/s$
C
$72 \ kg \ m^2/s$
D
$96 \ kg \ m^2/s$
Solution
(C) दिया गया है: जड़त्व आघूर्ण $I = 2 \ kg \ m^2$, प्रारंभिक कोणीय वेग $\omega_0 = 60 \ rad \ s^{-1}$, और रुकने का समय $t_{total} = 5 \ min = 300 \ s$.
चूंकि पहिया रुक जाता है, अंतिम कोणीय वेग $\omega_f = 0$.
कोणीय त्वरण $\alpha = \frac{\omega_f - \omega_0}{t_{total}} = \frac{0 - 60}{300} = -0.2 \ rad \ s^{-2}$.
हमें पहिए के रुकने से $3$ मिनट पहले का कोणीय संवेग ज्ञात करना है। यह समय शुरुआत से $t = 5 - 3 = 2 \ \text{मिनट}$ है।
$t = 2 \ min = 120 \ s$.
$t = 120 \ s$ पर कोणीय वेग $\omega = \omega_0 + \alpha t = 60 + (-0.2)(120) = 60 - 24 = 36 \ rad \ s^{-1}$.
कोणीय संवेग $L = I\omega = 2 \times 36 = 72 \ kg \ m^2 \ s^{-1}$.
चूंकि पहिया रुक जाता है, अंतिम कोणीय वेग $\omega_f = 0$.
कोणीय त्वरण $\alpha = \frac{\omega_f - \omega_0}{t_{total}} = \frac{0 - 60}{300} = -0.2 \ rad \ s^{-2}$.
हमें पहिए के रुकने से $3$ मिनट पहले का कोणीय संवेग ज्ञात करना है। यह समय शुरुआत से $t = 5 - 3 = 2 \ \text{मिनट}$ है।
$t = 2 \ min = 120 \ s$.
$t = 120 \ s$ पर कोणीय वेग $\omega = \omega_0 + \alpha t = 60 + (-0.2)(120) = 60 - 24 = 36 \ rad \ s^{-1}$.
कोणीय संवेग $L = I\omega = 2 \times 36 = 72 \ kg \ m^2 \ s^{-1}$.
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MediumMCQ
$M$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाली डिस्क के रिम पर चार कण,प्रत्येक का द्रव्यमान $m$,सममित रूप से स्थित हैं। डिस्क के तल के लंबवत और एक कण से गुजरने वाली अक्ष के परितः निकाय का जड़त्व आघूर्ण क्या है?
A
$16 mR^2$
B
$(M/2 + 6m)R^2$
C
$(M/2 + 8m)R^2$
D
$(M/2 + 4m)R^2$
Solution
(C) $1$. डिस्क का उसकी केंद्रीय अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{cm} = \frac{1}{2}MR^2$ है।
$2$. समांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करते हुए,डिस्क के रिम पर स्थित एक बिंदु से गुजरने वाली (तल के लंबवत) अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{disc} = I_{cm} + MR^2 = \frac{1}{2}MR^2 + MR^2 = \frac{3}{2}MR^2$ है।
$3$. मान लीजिए कि चार कण $(R, 0), (0, R), (-R, 0), (0, -R)$ पर स्थित हैं। मान लीजिए कि अक्ष $(R, 0)$ पर स्थित कण से गुजरती है।
$4$. अक्ष से चार कणों की दूरियाँ: $r_1 = 0$,$r_2 = \sqrt{R^2 + R^2} = R\sqrt{2}$,$r_3 = \sqrt{(2R)^2 + 0} = 2R$,$r_4 = \sqrt{R^2 + R^2} = R\sqrt{2}$ हैं।
$5$. कणों का जड़त्व आघूर्ण $I_{particles} = m(r_1^2 + r_2^2 + r_3^2 + r_4^2) = m(0 + 2R^2 + 4R^2 + 2R^2) = 8mR^2$ है।
$6$. कुल जड़त्व आघूर्ण $I = I_{disc} + I_{particles} = \frac{3}{2}MR^2 + 8mR^2 = (\frac{M}{2} + 8m)R^2$ है।
$2$. समांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करते हुए,डिस्क के रिम पर स्थित एक बिंदु से गुजरने वाली (तल के लंबवत) अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{disc} = I_{cm} + MR^2 = \frac{1}{2}MR^2 + MR^2 = \frac{3}{2}MR^2$ है।
$3$. मान लीजिए कि चार कण $(R, 0), (0, R), (-R, 0), (0, -R)$ पर स्थित हैं। मान लीजिए कि अक्ष $(R, 0)$ पर स्थित कण से गुजरती है।
$4$. अक्ष से चार कणों की दूरियाँ: $r_1 = 0$,$r_2 = \sqrt{R^2 + R^2} = R\sqrt{2}$,$r_3 = \sqrt{(2R)^2 + 0} = 2R$,$r_4 = \sqrt{R^2 + R^2} = R\sqrt{2}$ हैं।
$5$. कणों का जड़त्व आघूर्ण $I_{particles} = m(r_1^2 + r_2^2 + r_3^2 + r_4^2) = m(0 + 2R^2 + 4R^2 + 2R^2) = 8mR^2$ है।
$6$. कुल जड़त्व आघूर्ण $I = I_{disc} + I_{particles} = \frac{3}{2}MR^2 + 8mR^2 = (\frac{M}{2} + 8m)R^2$ है।
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$m$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाले एक ठोस गोले का उसके द्रव्यमान केंद्र से गुजरने वाली अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I$ है। इसे $t$ मोटाई की एक डिस्क में पुनर्गठित किया जाता है,जिसका उसकी रिम (किनारे) से गुजरने वाली और उसके तल के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I$ ही रहता है। तो डिस्क की त्रिज्या क्या है?
A
$\frac{2 R}{\sqrt{15}}$
B
$\sqrt{\frac{2}{15}} R$
C
$\frac{4 R}{\sqrt{15}}$
D
$\frac{R}{4}$
Solution
(A) ठोस गोले का उसके द्रव्यमान केंद्र के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{2}{5} m R^2$ होता है।
$m$ द्रव्यमान और $r$ त्रिज्या वाली डिस्क का उसकी रिम से गुजरने वाली और उसके तल के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण समांतर अक्ष प्रमेय द्वारा: $I_{rim} = I_{cm} + m r^2 = \frac{1}{2} m r^2 + m r^2 = \frac{3}{2} m r^2$ होता है।
चूंकि दोनों स्थितियों में जड़त्व आघूर्ण समान है $(I_{sphere} = I_{disc})$:
$\frac{2}{5} m R^2 = \frac{3}{2} m r^2$.
$r$ के लिए हल करने पर:
$r^2 = \frac{2}{5} \times \frac{2}{3} R^2 = \frac{4}{15} R^2$.
अतः,$r = \sqrt{\frac{4}{15}} R = \frac{2 R}{\sqrt{15}}$।
$m$ द्रव्यमान और $r$ त्रिज्या वाली डिस्क का उसकी रिम से गुजरने वाली और उसके तल के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण समांतर अक्ष प्रमेय द्वारा: $I_{rim} = I_{cm} + m r^2 = \frac{1}{2} m r^2 + m r^2 = \frac{3}{2} m r^2$ होता है।
चूंकि दोनों स्थितियों में जड़त्व आघूर्ण समान है $(I_{sphere} = I_{disc})$:
$\frac{2}{5} m R^2 = \frac{3}{2} m r^2$.
$r$ के लिए हल करने पर:
$r^2 = \frac{2}{5} \times \frac{2}{3} R^2 = \frac{4}{15} R^2$.
अतः,$r = \sqrt{\frac{4}{15}} R = \frac{2 R}{\sqrt{15}}$।
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$R$ त्रिज्या वाले एक ठोस धात्विक गोले का उसके व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण '$I$' है। इसे पिघलाकर $r$ त्रिज्या की एक समान मोटाई वाली ठोस डिस्क में ढाला जाता है। यदि डिस्क का उसके किनारे से गुजरने वाली और उसके तल के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण भी '$I$' है,तो अनुपात $\frac{r}{R}$ क्या है?
A
$\frac{1}{\sqrt{2}}$
B
$\frac{2}{\sqrt{5}}$
C
$\frac{2}{\sqrt{10}}$
D
$\frac{2}{\sqrt{15}}$
Solution
(D) $M$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाले ठोस गोले का उसके व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण $(I)$:
$I = \frac{2}{5} MR^2$ ... $(i)$
$M$ द्रव्यमान और $r$ त्रिज्या वाली ठोस डिस्क का उसके केंद्र से गुजरने वाली और तल के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{cm} = \frac{1}{2} Mr^2$ होता है। समांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करते हुए,उसके किनारे से गुजरने वाली और तल के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण:
$I = I_{cm} + Mr^2 = \frac{1}{2} Mr^2 + Mr^2 = \frac{3}{2} Mr^2$ ... (ii)
चूंकि गोले को डिस्क में ढाला गया है,इसलिए द्रव्यमान $M$ समान रहेगा। समीकरण $(i)$ और (ii) की तुलना करने पर:
$\frac{2}{5} MR^2 = \frac{3}{2} Mr^2$
$\frac{r^2}{R^2} = \frac{2 \times 2}{5 \times 3} = \frac{4}{15}$
$\frac{r}{R} = \sqrt{\frac{4}{15}} = \frac{2}{\sqrt{15}}$
$I = \frac{2}{5} MR^2$ ... $(i)$
$M$ द्रव्यमान और $r$ त्रिज्या वाली ठोस डिस्क का उसके केंद्र से गुजरने वाली और तल के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{cm} = \frac{1}{2} Mr^2$ होता है। समांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करते हुए,उसके किनारे से गुजरने वाली और तल के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण:
$I = I_{cm} + Mr^2 = \frac{1}{2} Mr^2 + Mr^2 = \frac{3}{2} Mr^2$ ... (ii)
चूंकि गोले को डिस्क में ढाला गया है,इसलिए द्रव्यमान $M$ समान रहेगा। समीकरण $(i)$ और (ii) की तुलना करने पर:
$\frac{2}{5} MR^2 = \frac{3}{2} Mr^2$
$\frac{r^2}{R^2} = \frac{2 \times 2}{5 \times 3} = \frac{4}{15}$
$\frac{r}{R} = \sqrt{\frac{4}{15}} = \frac{2}{\sqrt{15}}$
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$M$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाले एक ठोस गोले का उसके व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण $I$ है। इसे $t$ मोटाई की एक डिस्क में पुनर्गठित किया जाता है,जिसका उसके किनारे से गुजरने वाली और उसके तल के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I$ ही रहता है। डिस्क की त्रिज्या होगी:
A
$\frac{4 R}{\sqrt{11}}$
B
$\frac{3 R}{4}$
C
$\frac{2 R}{\sqrt{15}}$
D
$\frac{2 R}{3}$
Solution
(C) ठोस गोले का उसके व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{2}{5} MR^2$ होता है।
जब गोले को $R'$ त्रिज्या और $M$ द्रव्यमान की डिस्क में पुनर्गठित किया जाता है,तो डिस्क का उसके किनारे से गुजरने वाली और उसके तल के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण समांतर अक्ष प्रमेय के अनुसार $I' = I_{cm} + Md^2 = \frac{1}{2} MR'^2 + MR'^2 = \frac{3}{2} MR'^2$ होता है।
दिया गया है कि $I' = I$,इसलिए दोनों व्यंजकों को बराबर करने पर:
$\frac{3}{2} MR'^2 = \frac{2}{5} MR^2$.
दोनों पक्षों से $M$ को काटने पर,हमें $R'^2 = \frac{2}{5} \times \frac{2}{3} R^2 = \frac{4}{15} R^2$ प्राप्त होता है।
वर्गमूल लेने पर,$R' = \sqrt{\frac{4}{15}} R = \frac{2}{\sqrt{15}} R$ प्राप्त होता है।
जब गोले को $R'$ त्रिज्या और $M$ द्रव्यमान की डिस्क में पुनर्गठित किया जाता है,तो डिस्क का उसके किनारे से गुजरने वाली और उसके तल के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण समांतर अक्ष प्रमेय के अनुसार $I' = I_{cm} + Md^2 = \frac{1}{2} MR'^2 + MR'^2 = \frac{3}{2} MR'^2$ होता है।
दिया गया है कि $I' = I$,इसलिए दोनों व्यंजकों को बराबर करने पर:
$\frac{3}{2} MR'^2 = \frac{2}{5} MR^2$.
दोनों पक्षों से $M$ को काटने पर,हमें $R'^2 = \frac{2}{5} \times \frac{2}{3} R^2 = \frac{4}{15} R^2$ प्राप्त होता है।
वर्गमूल लेने पर,$R' = \sqrt{\frac{4}{15}} R = \frac{2}{\sqrt{15}} R$ प्राप्त होता है।
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एक वलय (ring) और एक चकती (disc) का द्रव्यमान और त्रिज्या समान है। वलय के अपने तल में स्थित स्पर्शरेखा के परितः जड़त्व आघूर्ण और चकती के अपने व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण का अनुपात क्या है ($: 1$ में)?
A
$6$
B
$4$
C
$2$
D
$8$
Solution
(A) माना कि वलय और चकती दोनों का द्रव्यमान $M$ और त्रिज्या $R$ है।
वलय के लिए,इसके व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण $\frac{1}{2}MR^2$ होता है। समांतर अक्ष प्रमेय के अनुसार,इसके तल में स्थित स्पर्शरेखा के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = I_{diameter} + MR^2 = \frac{1}{2}MR^2 + MR^2 = \frac{3}{2}MR^2$ होगा।
चकती के लिए,इसके व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण $I' = \frac{1}{4}MR^2$ होता है।
अतः,अनुपात $\frac{I}{I'} = \frac{\frac{3}{2}MR^2}{\frac{1}{4}MR^2} = \frac{3}{2} \times 4 = 6$ है।
इस प्रकार,अनुपात $6: 1$ है।
वलय के लिए,इसके व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण $\frac{1}{2}MR^2$ होता है। समांतर अक्ष प्रमेय के अनुसार,इसके तल में स्थित स्पर्शरेखा के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = I_{diameter} + MR^2 = \frac{1}{2}MR^2 + MR^2 = \frac{3}{2}MR^2$ होगा।
चकती के लिए,इसके व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण $I' = \frac{1}{4}MR^2$ होता है।
अतः,अनुपात $\frac{I}{I'} = \frac{\frac{3}{2}MR^2}{\frac{1}{4}MR^2} = \frac{3}{2} \times 4 = 6$ है।
इस प्रकार,अनुपात $6: 1$ है।
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$M$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाले एक ठोस गोले का उसके व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण $I$ है। इसे $t$ मोटाई की एक डिस्क में पुनर्गठित किया जाता है,जिसका उसके किनारे से गुजरने वाली और उसके तल के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I$ ही रहता है। डिस्क की त्रिज्या क्या होगी?
A
$R/\sqrt{19}$
B
$R/\sqrt{15}$
C
$2R/\sqrt{15}$
D
$2R/\sqrt{19}$
Solution
(C) ठोस गोले का उसके व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{2}{5}MR^2$ होता है।
जब गोले को $M$ द्रव्यमान और $r$ त्रिज्या की डिस्क में पुनर्गठित किया जाता है,तो डिस्क के किनारे से गुजरने वाली और उसके तल के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण समांतर अक्ष प्रमेय द्वारा दिया जाता है: $I_{edge} = I_{cm} + Mr^2 = \frac{1}{2}Mr^2 + Mr^2 = \frac{3}{2}Mr^2$।
चूंकि जड़त्व आघूर्ण समान रहता है,हम दोनों व्यंजकों को बराबर करते हैं:
$\frac{3}{2}Mr^2 = \frac{2}{5}MR^2$।
दोनों पक्षों को $M$ से विभाजित करने और $r$ के लिए हल करने पर:
$r^2 = \frac{2}{5} \times \frac{2}{3} R^2 = \frac{4}{15} R^2$।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$r = \frac{2R}{\sqrt{15}}$।
जब गोले को $M$ द्रव्यमान और $r$ त्रिज्या की डिस्क में पुनर्गठित किया जाता है,तो डिस्क के किनारे से गुजरने वाली और उसके तल के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण समांतर अक्ष प्रमेय द्वारा दिया जाता है: $I_{edge} = I_{cm} + Mr^2 = \frac{1}{2}Mr^2 + Mr^2 = \frac{3}{2}Mr^2$।
चूंकि जड़त्व आघूर्ण समान रहता है,हम दोनों व्यंजकों को बराबर करते हैं:
$\frac{3}{2}Mr^2 = \frac{2}{5}MR^2$।
दोनों पक्षों को $M$ से विभाजित करने और $r$ के लिए हल करने पर:
$r^2 = \frac{2}{5} \times \frac{2}{3} R^2 = \frac{4}{15} R^2$।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$r = \frac{2R}{\sqrt{15}}$।
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MediumMCQ
एक वलय (ring) का उसके केंद्र से गुजरने वाली और उसके तल के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I$ है। यह $\omega$ कोणीय वेग से घूम रही है। एक अन्य समान वलय को धीरे से उस पर इस प्रकार रखा जाता है कि उनके केंद्र संपाती हो जाएं। यदि दोनों वलय एक ही अक्ष के परितः घूम रही हैं,तो गतिज ऊर्जा में हुई हानि है
A
$\frac{I \omega^2}{2}$
B
$\frac{I \omega^2}{4}$
C
$\frac{I \omega^2}{6}$
D
$\frac{I \omega^2}{8}$
Solution
(B) प्रारंभिक स्थिति: जड़त्व आघूर्ण $I_1 = I$,कोणीय वेग $\omega_1 = \omega$. प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $KE_i = \frac{1}{2} I \omega^2$.
चूंकि निकाय पर कोई बाह्य बल आघूर्ण कार्य नहीं कर रहा है,इसलिए कोणीय संवेग संरक्षित रहता है: $L_i = L_f$.
$I \omega = (I + I) \omega_2$,जहाँ $\omega_2$ अंतिम कोणीय वेग है।
$I \omega = 2I \omega_2 \implies \omega_2 = \frac{\omega}{2}$.
अंतिम गतिज ऊर्जा $KE_f = \frac{1}{2} (2I) \omega_2^2 = I \left(\frac{\omega}{2}\right)^2 = \frac{I \omega^2}{4}$.
गतिज ऊर्जा में हानि $\Delta KE = KE_i - KE_f = \frac{1}{2} I \omega^2 - \frac{1}{4} I \omega^2 = \frac{1}{4} I \omega^2$.
चूंकि निकाय पर कोई बाह्य बल आघूर्ण कार्य नहीं कर रहा है,इसलिए कोणीय संवेग संरक्षित रहता है: $L_i = L_f$.
$I \omega = (I + I) \omega_2$,जहाँ $\omega_2$ अंतिम कोणीय वेग है।
$I \omega = 2I \omega_2 \implies \omega_2 = \frac{\omega}{2}$.
अंतिम गतिज ऊर्जा $KE_f = \frac{1}{2} (2I) \omega_2^2 = I \left(\frac{\omega}{2}\right)^2 = \frac{I \omega^2}{4}$.
गतिज ऊर्जा में हानि $\Delta KE = KE_i - KE_f = \frac{1}{2} I \omega^2 - \frac{1}{4} I \omega^2 = \frac{1}{4} I \omega^2$.
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एक ठोस गोला अपने व्यास के परितः शुद्ध घूर्णन गति में है। इसके कोणीय संवेग $(L)$ और गतिज ऊर्जा $(K)$ का अनुपात $\frac{\pi}{22}$ है। गोले का कोणीय वेग $(\omega)$ ज्ञात कीजिए। ($\pi = \frac{22}{7}$ लें) ($rad/s$ में)
A
$10$
B
$7$
C
$14$
D
$21$
Solution
(C) घूर्णन करती वस्तु का कोणीय संवेग $L = I\omega$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $I$ जड़त्व आघूर्ण है और $\omega$ कोणीय वेग है।
घूर्णन गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2} I \omega^2$ द्वारा दी जाती है।
कोणीय संवेग और गतिज ऊर्जा का अनुपात $\frac{L}{K} = \frac{I\omega}{\frac{1}{2} I \omega^2} = \frac{2}{\omega}$ है।
दिए गए अनुपात $\frac{L}{K} = \frac{\pi}{22}$ को समीकरण में रखने पर:
$\frac{2}{\omega} = \frac{\pi}{22}$.
$\pi = \frac{22}{7}$ का मान रखने पर:
$\frac{2}{\omega} = \frac{22/7}{22} = \frac{1}{7}$.
$\omega$ के लिए हल करने पर:
$\omega = 2 \times 7 = 14 \ rad/s$.
अतः,गोले का कोणीय वेग $14 \ rad/s$ है।
घूर्णन गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2} I \omega^2$ द्वारा दी जाती है।
कोणीय संवेग और गतिज ऊर्जा का अनुपात $\frac{L}{K} = \frac{I\omega}{\frac{1}{2} I \omega^2} = \frac{2}{\omega}$ है।
दिए गए अनुपात $\frac{L}{K} = \frac{\pi}{22}$ को समीकरण में रखने पर:
$\frac{2}{\omega} = \frac{\pi}{22}$.
$\pi = \frac{22}{7}$ का मान रखने पर:
$\frac{2}{\omega} = \frac{22/7}{22} = \frac{1}{7}$.
$\omega$ के लिए हल करने पर:
$\omega = 2 \times 7 = 14 \ rad/s$.
अतः,गोले का कोणीय वेग $14 \ rad/s$ है।
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DifficultMCQ
$L$ लंबाई और $M$ द्रव्यमान की एक पतली समान छड़ अपने केंद्र से गुजरने वाली एक क्षैतिज अक्ष के परितः स्वतंत्र रूप से दोलन कर रही है। इसकी अधिकतम कोणीय गति $\omega$ है। इसका द्रव्यमान केंद्र कितनी अधिकतम ऊँचाई तक ऊपर उठेगा? [जहाँ $g$ गुरुत्वीय त्वरण है]
A
$\frac{\omega^2 L^2}{12 g^2}$
B
$\frac{\omega^2 L^2 g}{6}$
C
$\frac{\omega^2 g}{12 L^2}$
D
$\frac{\omega^2 L^2}{24 g}$
Solution
(D) छड़ के केंद्र से गुजरने वाली अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{ML^2}{12}$ है।
निचले बिंदु पर,छड़ की गतिज ऊर्जा अधिकतम होती है,जो $K.E. = \frac{1}{2} I \omega^2$ द्वारा दी जाती है।
$I$ का मान रखने पर,हमें $K.E. = \frac{1}{2} \times \frac{ML^2}{12} \times \omega^2 = \frac{ML^2 \omega^2}{24}$ प्राप्त होता है।
जैसे-जैसे छड़ दोलन करती है,यह गतिज ऊर्जा अधिकतम ऊँचाई $h$ पर गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है।
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,$P.E. = K.E.$
$Mgh = \frac{ML^2 \omega^2}{24}$.
$h$ के लिए हल करने पर,हमें $h = \frac{L^2 \omega^2}{24g}$ प्राप्त होता है।
निचले बिंदु पर,छड़ की गतिज ऊर्जा अधिकतम होती है,जो $K.E. = \frac{1}{2} I \omega^2$ द्वारा दी जाती है।
$I$ का मान रखने पर,हमें $K.E. = \frac{1}{2} \times \frac{ML^2}{12} \times \omega^2 = \frac{ML^2 \omega^2}{24}$ प्राप्त होता है।
जैसे-जैसे छड़ दोलन करती है,यह गतिज ऊर्जा अधिकतम ऊँचाई $h$ पर गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है।
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,$P.E. = K.E.$
$Mgh = \frac{ML^2 \omega^2}{24}$.
$h$ के लिए हल करने पर,हमें $h = \frac{L^2 \omega^2}{24g}$ प्राप्त होता है।
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MediumMCQ
घूर्णन गतिशीलता (rotational dynamics) के मामले में,निम्नलिखित में से कौन सा कथन सही है?
$[\vec{\omega} = \text{कोणीय वेग}, \vec{v} = \text{रैखिक वेग}, \vec{r} = \text{स्थिति सदिश}, \vec{\alpha} = \text{कोणीय त्वरण}, \vec{a} = \text{रैखिक त्वरण}, \vec{L} = \text{कोणीय संवेग}, \vec{p} = \text{रैखिक संवेग}, \vec{\tau} = \text{बल आघूर्ण}, \vec{f} = \text{बल}]$
$[\vec{\omega} = \text{कोणीय वेग}, \vec{v} = \text{रैखिक वेग}, \vec{r} = \text{स्थिति सदिश}, \vec{\alpha} = \text{कोणीय त्वरण}, \vec{a} = \text{रैखिक त्वरण}, \vec{L} = \text{कोणीय संवेग}, \vec{p} = \text{रैखिक संवेग}, \vec{\tau} = \text{बल आघूर्ण}, \vec{f} = \text{बल}]$
A
$\vec{v} = \vec{r} \times \vec{\omega}, \vec{\alpha} = \vec{r} \times \vec{a}, \vec{L} = \vec{r} \times \vec{p}, \vec{\tau} = \vec{f} \times \vec{r}$
B
$\vec{v} = \vec{\omega} \times \vec{r}, \vec{\alpha} = \vec{a} \times \vec{r}, \vec{L} = \vec{p} \times \vec{r}, \vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{f}$
C
$\vec{v} = \vec{\omega} \times \vec{r}, \vec{\alpha} = \vec{a} \times \vec{r}, \vec{L} = \vec{r} \times \vec{p}, \vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{f}$
D
$\vec{v} = \vec{\omega} \times \vec{r}, \vec{\alpha} = \vec{a} \times \vec{r}, \vec{L} = \vec{p} \cdot \vec{r}, \vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{f}$
Solution
(C) $1$. रैखिक वेग $(\vec{v})$: घूर्णन गति में किसी कण का रैखिक वेग,कोणीय वेग सदिश $(\vec{\omega})$ और स्थिति सदिश $(\vec{r})$ के सदिश गुणनफल द्वारा दिया जाता है,अर्थात $\vec{v} = \vec{\omega} \times \vec{r}$।
$2$. कोणीय त्वरण $(\vec{\alpha})$: कोणीय त्वरण और रैखिक त्वरण $(\vec{a})$ के बीच का संबंध $\vec{a} = \vec{\alpha} \times \vec{r}$ द्वारा दर्शाया जाता है। सदिश गुणों का उपयोग करते हुए,$\vec{\alpha} = \vec{a} \times \vec{r}$ इस संबंध का मानक निरूपण है।
$3$. कोणीय संवेग $(\vec{L})$: किसी कण का कोणीय संवेग,स्थिति सदिश और रैखिक संवेग का सदिश गुणनफल होता है,अर्थात $\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p}$।
$4$. बल आघूर्ण $(\vec{\tau})$: बल आघूर्ण,स्थिति सदिश और बल सदिश का सदिश गुणनफल होता है,अर्थात $\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{f}$।
अतः,विकल्प $C$ में दिए गए सभी संबंध सही हैं।
$2$. कोणीय त्वरण $(\vec{\alpha})$: कोणीय त्वरण और रैखिक त्वरण $(\vec{a})$ के बीच का संबंध $\vec{a} = \vec{\alpha} \times \vec{r}$ द्वारा दर्शाया जाता है। सदिश गुणों का उपयोग करते हुए,$\vec{\alpha} = \vec{a} \times \vec{r}$ इस संबंध का मानक निरूपण है।
$3$. कोणीय संवेग $(\vec{L})$: किसी कण का कोणीय संवेग,स्थिति सदिश और रैखिक संवेग का सदिश गुणनफल होता है,अर्थात $\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p}$।
$4$. बल आघूर्ण $(\vec{\tau})$: बल आघूर्ण,स्थिति सदिश और बल सदिश का सदिश गुणनफल होता है,अर्थात $\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{f}$।
अतः,विकल्प $C$ में दिए गए सभी संबंध सही हैं।
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EasyMCQ
एक पतली एकसमान छड़ का उसके केंद्र से गुजरने वाली लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I$ है। यदि उसी छड़ को मोड़कर एक वलय (रिंग) बना दिया जाए और उसके व्यास के परितः उसका जड़त्व आघूर्ण $I^{\prime}$ हो,तो अनुपात $\frac{I}{I^{\prime}}$ क्या होगा?
A
$\frac{3}{2} \pi^{2}$
B
$\frac{8}{3} \pi^{2}$
C
$\frac{2}{3} \pi^{2}$
D
$\frac{5}{3} \pi^{2}$
Solution
(C) $M$ द्रव्यमान और $L$ लंबाई वाली एक पतली एकसमान छड़ का उसके केंद्र से गुजरने वाली और उसकी लंबाई के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{ML^2}{12}$ होता है।
जब छड़ को $R$ त्रिज्या वाली वलय में मोड़ा जाता है,तो वलय की परिधि छड़ की लंबाई के बराबर होती है,इसलिए $L = 2\pi R$,जिसका अर्थ है $R = \frac{L}{2\pi}$।
वलय का उसके व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण $I^{\prime} = \frac{MR^2}{2}$ होता है।
$R = \frac{L}{2\pi}$ को $I^{\prime}$ के व्यंजक में रखने पर,हमें $I^{\prime} = \frac{M}{2} \left(\frac{L}{2\pi}\right)^2 = \frac{ML^2}{8\pi^2}$ प्राप्त होता है।
अब,अनुपात $\frac{I}{I^{\prime}} = \frac{\frac{ML^2}{12}}{\frac{ML^2}{8\pi^2}} = \frac{8\pi^2}{12} = \frac{2\pi^2}{3}$ होता है।
जब छड़ को $R$ त्रिज्या वाली वलय में मोड़ा जाता है,तो वलय की परिधि छड़ की लंबाई के बराबर होती है,इसलिए $L = 2\pi R$,जिसका अर्थ है $R = \frac{L}{2\pi}$।
वलय का उसके व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण $I^{\prime} = \frac{MR^2}{2}$ होता है।
$R = \frac{L}{2\pi}$ को $I^{\prime}$ के व्यंजक में रखने पर,हमें $I^{\prime} = \frac{M}{2} \left(\frac{L}{2\pi}\right)^2 = \frac{ML^2}{8\pi^2}$ प्राप्त होता है।
अब,अनुपात $\frac{I}{I^{\prime}} = \frac{\frac{ML^2}{12}}{\frac{ML^2}{8\pi^2}} = \frac{8\pi^2}{12} = \frac{2\pi^2}{3}$ होता है।
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DifficultMCQ
$1 \,kg$ द्रव्यमान की एक वस्तु को एक भारहीन डोरी से लटकाया गया है जो चित्र में दिखाए अनुसार $2 \,kg$ द्रव्यमान की घिरनी के ऊपर से गुजरती है। द्रव्यमान को जमीन से $1.6 \,m$ की ऊंचाई से छोड़ा जाता है। यह किस वेग से जमीन से टकराएगी?
A
$16 \,ms^{-1}$
B
$8 \,ms^{-1}$
C
$4 \sqrt{2} \,ms^{-1}$
D
$4 \,ms^{-1}$
Solution
(D) दिया गया है,वस्तु का द्रव्यमान $m_1 = 1 \,kg$ है।
घिरनी का द्रव्यमान $m_2 = 2 \,kg$ है।
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,द्रव्यमान द्वारा खोई गई स्थितिज ऊर्जा,द्रव्यमान की गतिज ऊर्जा और घिरनी की घूर्णन गतिज ऊर्जा के योग के बराबर होती है।
$m_1 g h = \frac{1}{2} m_1 v^2 + \frac{1}{2} I \omega^2$
चूंकि घिरनी एक डिस्क है,इसका जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{1}{2} m_2 R^2$ है। साथ ही,$\omega = \frac{v}{R}$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$m_1 g h = \frac{1}{2} m_1 v^2 + \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} m_2 R^2 \right) \left( \frac{v}{R} \right)^2$
$m_1 g h = \frac{1}{2} m_1 v^2 + \frac{1}{4} m_2 v^2$
दिए गए मानों $(m_1 = 1 \,kg, m_2 = 2 \,kg, g = 10 \,ms^{-2}, h = 1.6 \,m)$ को रखने पर:
$1 \times 10 \times 1.6 = \frac{1}{2} \times 1 \times v^2 + \frac{1}{4} \times 2 \times v^2$
$16 = 0.5 v^2 + 0.5 v^2$
$16 = v^2$
$v = 4 \,ms^{-1}$
घिरनी का द्रव्यमान $m_2 = 2 \,kg$ है।
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,द्रव्यमान द्वारा खोई गई स्थितिज ऊर्जा,द्रव्यमान की गतिज ऊर्जा और घिरनी की घूर्णन गतिज ऊर्जा के योग के बराबर होती है।
$m_1 g h = \frac{1}{2} m_1 v^2 + \frac{1}{2} I \omega^2$
चूंकि घिरनी एक डिस्क है,इसका जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{1}{2} m_2 R^2$ है। साथ ही,$\omega = \frac{v}{R}$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$m_1 g h = \frac{1}{2} m_1 v^2 + \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} m_2 R^2 \right) \left( \frac{v}{R} \right)^2$
$m_1 g h = \frac{1}{2} m_1 v^2 + \frac{1}{4} m_2 v^2$
दिए गए मानों $(m_1 = 1 \,kg, m_2 = 2 \,kg, g = 10 \,ms^{-2}, h = 1.6 \,m)$ को रखने पर:
$1 \times 10 \times 1.6 = \frac{1}{2} \times 1 \times v^2 + \frac{1}{4} \times 2 \times v^2$
$16 = 0.5 v^2 + 0.5 v^2$
$16 = v^2$
$v = 4 \,ms^{-1}$
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MediumMCQ
दो फ्लाईव्हील एक नॉन-स्लिपिंग बेल्ट द्वारा जुड़े हुए हैं,जैसा कि चित्र में दिखाया गया है। $I_1 = 4 \ kg \ m^2$,$r_1 = 20 \ cm$,$I_2 = 20 \ kg \ m^2$ और $r_2 = 30 \ cm$ है। छोटे पहिये पर $10 \ Nm$ का टॉर्क लगाया जाता है। कॉलम $I$ की प्रविष्टियों को कॉलम $II$ की उपयुक्त प्रविष्टियों के साथ मिलाएं।
| भौतिक राशियाँ | उनके संख्यात्मक मान ($SI$ इकाइयों में) |
| a. छोटे पहिये का कोणीय त्वरण | $1$. $5/3$ |
| b. बड़े पहिये पर टॉर्क | $2$. $100/3$ |
| c. बड़े पहिये का कोणीय त्वरण | $3$. $5/2$ |
A
$a-iii, b-ii, c-i$
B
$a-iii, b-i, c-ii$
C
$a-ii, b-i, c-iii$
D
$a-ii, b-iii, c-i$
Solution
(A) दिया गया है: $I_1 = 4 \ kg \ m^2$,$r_1 = 0.2 \ m$,$I_2 = 20 \ kg \ m^2$,$r_2 = 0.3 \ m$,$\tau_1 = 10 \ Nm$.
चूंकि बेल्ट नॉन-स्लिपिंग है,रिम का रैखिक त्वरण समान होगा: $a = \alpha_1 r_1 = \alpha_2 r_2$.
छोटे पहिये के लिए: $\tau_1 = I_1 \alpha_1 \implies 10 = 4 \alpha_1 \implies \alpha_1 = 2.5 = 5/2 \ rad/s^2$.
बड़े पहिये के लिए: $\alpha_2 = \alpha_1 (r_1 / r_2) = (5/2) \times (0.2 / 0.3) = (5/2) \times (2/3) = 5/3 \ rad/s^2$.
बड़े पहिये पर टॉर्क: $\tau_2 = I_2 \alpha_2 = 20 \times (5/3) = 100/3 \ Nm$.
मिलान: $a \to 3, b \to 2, c \to 1$.
चूंकि बेल्ट नॉन-स्लिपिंग है,रिम का रैखिक त्वरण समान होगा: $a = \alpha_1 r_1 = \alpha_2 r_2$.
छोटे पहिये के लिए: $\tau_1 = I_1 \alpha_1 \implies 10 = 4 \alpha_1 \implies \alpha_1 = 2.5 = 5/2 \ rad/s^2$.
बड़े पहिये के लिए: $\alpha_2 = \alpha_1 (r_1 / r_2) = (5/2) \times (0.2 / 0.3) = (5/2) \times (2/3) = 5/3 \ rad/s^2$.
बड़े पहिये पर टॉर्क: $\tau_2 = I_2 \alpha_2 = 20 \times (5/3) = 100/3 \ Nm$.
मिलान: $a \to 3, b \to 2, c \to 1$.
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MediumMCQ
$l$ लंबाई और $\rho$ घनत्व वाली एक समान छड़ अपने एक सिरे से गुजरने वाली ऊर्ध्वाधर अक्ष के परितः घूम रही है। यदि $\omega$ छड़ का कोणीय वेग है,तो छड़ के प्रति इकाई क्षेत्रफल पर लगने वाला अभिकेंद्री बल क्या है?
A
$\frac{\rho \omega^2 l^2}{4}$
B
$\frac{\rho \omega^2 l^2}{12}$
C
$\frac{\rho \omega^2 l^2}{2}$
D
$\frac{\rho \omega^2 l^2}{8}$
Solution
(C) घूर्णन अक्ष से $x$ दूरी पर $dx$ लंबाई और $A$ अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल का एक सूक्ष्म खंड मानिए।
इस सूक्ष्म खंड का द्रव्यमान $dm = \rho A dx$ है।
इस सूक्ष्म खंड पर कार्य करने वाला अभिकेंद्री बल $dF = (dm) x \omega^2 = (\rho A dx) x \omega^2$ है।
छड़ पर कुल अभिकेंद्री बल $F$,$x = 0$ से $x = l$ तक $dF$ का समाकलन है:
$F = \int_0^l \rho A \omega^2 x dx = \rho A \omega^2 \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^l = \frac{\rho A \omega^2 l^2}{2}$.
प्रति इकाई क्षेत्रफल पर अभिकेंद्री बल $\frac{F}{A} = \frac{\rho \omega^2 l^2}{2}$ द्वारा प्राप्त होता है।
इस सूक्ष्म खंड का द्रव्यमान $dm = \rho A dx$ है।
इस सूक्ष्म खंड पर कार्य करने वाला अभिकेंद्री बल $dF = (dm) x \omega^2 = (\rho A dx) x \omega^2$ है।
छड़ पर कुल अभिकेंद्री बल $F$,$x = 0$ से $x = l$ तक $dF$ का समाकलन है:
$F = \int_0^l \rho A \omega^2 x dx = \rho A \omega^2 \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^l = \frac{\rho A \omega^2 l^2}{2}$.
प्रति इकाई क्षेत्रफल पर अभिकेंद्री बल $\frac{F}{A} = \frac{\rho \omega^2 l^2}{2}$ द्वारा प्राप्त होता है।
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DifficultMCQ
$m$ द्रव्यमान का एक पतला खोखला गोला $m$ द्रव्यमान के द्रव से पूरी तरह भरा हुआ है। जब गोला $v$ वेग से लुढ़कता है,तो निकाय की गतिज ऊर्जा क्या होगी? (घर्षण की उपेक्षा करें)
A
$\frac{1}{2} m v^2$
B
$m v^2$
C
$\frac{4}{3} m v^2$
D
$\frac{4}{5} m v^2$
Solution
(C) निकाय का कुल द्रव्यमान $M = m + m = 2m$ है।
चूंकि गोला लुढ़क रहा है,कुल गतिज ऊर्जा स्थानांतरीय गतिज ऊर्जा और घूर्णन गतिज ऊर्जा का योग है।
स्थानांतरीय गतिज ऊर्जा $K_t = \frac{1}{2} M v^2 = \frac{1}{2} (2m) v^2 = m v^2$ है।
द्रव से भरे खोखले गोले के लिए,द्रव गोले के साथ नहीं घूमता है (अश्यान द्रव मानते हुए)। इसलिए,केवल खोल घूमता है। एक पतले खोखले गोले का जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{2}{3} m r^2$ है।
घूर्णन गतिज ऊर्जा $K_r = \frac{1}{2} I \omega^2 = \frac{1}{2} (\frac{2}{3} m r^2) (\frac{v}{r})^2 = \frac{1}{3} m v^2$ है।
कुल गतिज ऊर्जा $K = K_t + K_r = m v^2 + \frac{1}{3} m v^2 = \frac{4}{3} m v^2$ है।
चूंकि गोला लुढ़क रहा है,कुल गतिज ऊर्जा स्थानांतरीय गतिज ऊर्जा और घूर्णन गतिज ऊर्जा का योग है।
स्थानांतरीय गतिज ऊर्जा $K_t = \frac{1}{2} M v^2 = \frac{1}{2} (2m) v^2 = m v^2$ है।
द्रव से भरे खोखले गोले के लिए,द्रव गोले के साथ नहीं घूमता है (अश्यान द्रव मानते हुए)। इसलिए,केवल खोल घूमता है। एक पतले खोखले गोले का जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{2}{3} m r^2$ है।
घूर्णन गतिज ऊर्जा $K_r = \frac{1}{2} I \omega^2 = \frac{1}{2} (\frac{2}{3} m r^2) (\frac{v}{r})^2 = \frac{1}{3} m v^2$ है।
कुल गतिज ऊर्जा $K = K_t + K_r = m v^2 + \frac{1}{3} m v^2 = \frac{4}{3} m v^2$ है।
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DifficultMCQ
$1 \,m$ त्रिज्या और $1 \,kg$ द्रव्यमान वाला एक समान बेलन अपनी अक्ष पर $20 \,rad/s$ के कोणीय वेग से घूम रहा है। एक निश्चित क्षण पर, बेलन को चित्र में दिखाए अनुसार एक कोने में रखा जाता है। क्षैतिज दीवार और बेलन के बीच घर्षण गुणांक $\mu$ है, जबकि ऊर्ध्वाधर दीवार घर्षण रहित है। यदि रुकने से पहले बेलन द्वारा किए गए चक्करों की संख्या $5$ है, तो $\mu$ का मान ज्ञात कीजिए। (गुरुत्वीय त्वरण $g=10 \,m/s^2$)
A
$\frac{3}{\pi}$
B
$\frac{2}{\pi}$
C
$\frac{1}{\pi}$
D
$\frac{0.4}{\pi}$
Solution
(C) माना $m$ द्रव्यमान है, $R$ त्रिज्या है, $\omega_0$ प्रारंभिक कोणीय वेग है और $\alpha$ कोणीय मंदन है।
फ्री बॉडी डायग्राम से, ऊर्ध्वाधर बल संतुलित हैं: $N_2 = mg$.
क्षैतिज दीवार के साथ संपर्क बिंदु पर कार्य करने वाला घर्षण बल $f = \mu N_2 = \mu mg$ है।
बेलन के केंद्र के परितः आघूर्ण $\tau$ इस घर्षण बल द्वारा प्रदान किया जाता है: $\tau = f \cdot R = \mu mgR$.
संबंध $\tau = I \alpha$ का उपयोग करते हुए, जहाँ $I = \frac{1}{2} mR^2$ बेलन का उसकी अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण है:
$\mu mgR = \frac{1}{2} mR^2 \alpha \implies \alpha = \frac{2 \mu g}{R}$.
दिए गए चक्करों की संख्या $n = 5$ है, इसलिए कुल कोणीय विस्थापन $\theta = n \cdot 2\pi = 10\pi \,rad$ है।
कोणीय गति के समीकरण $\omega^2 = \omega_0^2 - 2 \alpha \theta$ का उपयोग करते हुए और अंतिम कोणीय वेग $\omega = 0$ रखने पर:
$0 = (20)^2 - 2 \left( \frac{2 \mu g}{R} \right) \theta$.
मान $g = 10 \,m/s^2$, $R = 1 \,m$, और $\theta = 10\pi$ रखने पर:
$0 = 400 - 2 \left( \frac{2 \cdot \mu \cdot 10}{1} \right) (10\pi)$.
$400 = 400 \mu \pi \implies \mu = \frac{1}{\pi}$.
फ्री बॉडी डायग्राम से, ऊर्ध्वाधर बल संतुलित हैं: $N_2 = mg$.
क्षैतिज दीवार के साथ संपर्क बिंदु पर कार्य करने वाला घर्षण बल $f = \mu N_2 = \mu mg$ है।
बेलन के केंद्र के परितः आघूर्ण $\tau$ इस घर्षण बल द्वारा प्रदान किया जाता है: $\tau = f \cdot R = \mu mgR$.
संबंध $\tau = I \alpha$ का उपयोग करते हुए, जहाँ $I = \frac{1}{2} mR^2$ बेलन का उसकी अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण है:
$\mu mgR = \frac{1}{2} mR^2 \alpha \implies \alpha = \frac{2 \mu g}{R}$.
दिए गए चक्करों की संख्या $n = 5$ है, इसलिए कुल कोणीय विस्थापन $\theta = n \cdot 2\pi = 10\pi \,rad$ है।
कोणीय गति के समीकरण $\omega^2 = \omega_0^2 - 2 \alpha \theta$ का उपयोग करते हुए और अंतिम कोणीय वेग $\omega = 0$ रखने पर:
$0 = (20)^2 - 2 \left( \frac{2 \mu g}{R} \right) \theta$.
मान $g = 10 \,m/s^2$, $R = 1 \,m$, और $\theta = 10\pi$ रखने पर:
$0 = 400 - 2 \left( \frac{2 \cdot \mu \cdot 10}{1} \right) (10\pi)$.
$400 = 400 \mu \pi \implies \mu = \frac{1}{\pi}$.
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MediumMCQ
$1 \ m$ व्यास वाली एक पतली एकसमान वृत्ताकार डिस्क का तापमान $10^{\circ} C$ तक बढ़ाया जाता है। डिस्क के केंद्र से गुजरने वाली और उसके तल के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण में प्रतिशत वृद्धि क्या होगी? (रेखीय प्रसार गुणांक $\alpha = 11 \times 10^{-6} /{ }^{\circ} C$)
A
$0.0055$
B
$0.011$
C
$0.022$
D
$0.044$
Solution
(C) एक वृत्ताकार डिस्क का उसके केंद्र से गुजरने वाली और उसके तल के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{1}{2} M R^2$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि द्रव्यमान $M$ स्थिर रहता है,इसलिए जड़त्व आघूर्ण में परिवर्तन त्रिज्या $R$ में परिवर्तन पर निर्भर करता है।
तापमान में छोटे परिवर्तन $\Delta t$ के लिए,त्रिज्या में परिवर्तन $\Delta R = R \alpha \Delta t$ होता है।
नई त्रिज्या $R' = R(1 + \alpha \Delta t)$ होगी।
नया जड़त्व आघूर्ण $I' = \frac{1}{2} M (R')^2 = \frac{1}{2} M R^2 (1 + \alpha \Delta t)^2$ होगा।
छोटे मानों के लिए द्विपद सन्निकटन $(1 + x)^n \approx 1 + nx$ का उपयोग करने पर,$I' \approx \frac{1}{2} M R^2 (1 + 2 \alpha \Delta t) = I(1 + 2 \alpha \Delta t)$ प्राप्त होता है।
जड़त्व आघूर्ण में भिन्नात्मक परिवर्तन $\frac{\Delta I}{I} = \frac{I' - I}{I} = 2 \alpha \Delta t$ है।
दिए गए मानों को रखने पर: $\alpha = 11 \times 10^{-6} /{ }^{\circ} C$ और $\Delta t = 10^{\circ} C$.
$\frac{\Delta I}{I} = 2 \times (11 \times 10^{-6}) \times 10 = 220 \times 10^{-6} = 0.00022$.
अतः प्रतिशत वृद्धि $0.00022 \times 100 = 0.022 \%$ है।
चूंकि द्रव्यमान $M$ स्थिर रहता है,इसलिए जड़त्व आघूर्ण में परिवर्तन त्रिज्या $R$ में परिवर्तन पर निर्भर करता है।
तापमान में छोटे परिवर्तन $\Delta t$ के लिए,त्रिज्या में परिवर्तन $\Delta R = R \alpha \Delta t$ होता है।
नई त्रिज्या $R' = R(1 + \alpha \Delta t)$ होगी।
नया जड़त्व आघूर्ण $I' = \frac{1}{2} M (R')^2 = \frac{1}{2} M R^2 (1 + \alpha \Delta t)^2$ होगा।
छोटे मानों के लिए द्विपद सन्निकटन $(1 + x)^n \approx 1 + nx$ का उपयोग करने पर,$I' \approx \frac{1}{2} M R^2 (1 + 2 \alpha \Delta t) = I(1 + 2 \alpha \Delta t)$ प्राप्त होता है।
जड़त्व आघूर्ण में भिन्नात्मक परिवर्तन $\frac{\Delta I}{I} = \frac{I' - I}{I} = 2 \alpha \Delta t$ है।
दिए गए मानों को रखने पर: $\alpha = 11 \times 10^{-6} /{ }^{\circ} C$ और $\Delta t = 10^{\circ} C$.
$\frac{\Delta I}{I} = 2 \times (11 \times 10^{-6}) \times 10 = 220 \times 10^{-6} = 0.00022$.
अतः प्रतिशत वृद्धि $0.00022 \times 100 = 0.022 \%$ है।
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View SolutionSystem of Particles and Rotational Motion — Mix Example - System of Particles and Rotational Motion · Frequently Asked Questions
1Are these System of Particles and Rotational Motion questions useful for JEE and NEET?
Yes. All questions in this section are mapped to JEE Main and NEET exam patterns. Previous year questions from JEE Main, NEET, GUJCET and state-level exams are included with full solutions.
2Can I switch to Hindi or Gujarati for these questions?
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