Mix Example - System of Particles and Rotational Motion Questions in Hindi

(D) $1$. जब रिंग खुरदरी सतह पर प्रवेश करती है,तो घर्षण पीछे की ओर कार्य करता है,जिससे रैखिक मंदन उत्पन्न होता है: $a = \frac{f}{M} = \frac{\mu Mg}{M} = \mu g$. द्रव्यमान केंद्र के परितः आघूर्ण $\tau = fR = \mu MgR$ है। कोणीय त्वरण $\alpha = \frac{\tau}{I} = \frac{\mu MgR}{MR^2} = \frac{\mu g}{R}$ है।
$2$. लुढ़कना तब शुरू होता है जब $v = \omega R$ होता है। $t$ समय पर,$v = v_0 - \mu gt$ और $\omega = \alpha t = \frac{\mu g}{R}t$। $v_0 - \mu gt = (\frac{\mu g}{R}t)R = \mu gt$ रखने पर,हमें $t = \frac{v_0}{2\mu g}$ प्राप्त होता है।
$3$. तय की गई दूरी $s = v_0 t - \frac{1}{2}at^2 = v_0(\frac{v_0}{2\mu g}) - \frac{1}{2}(\mu g)(\frac{v_0}{2\mu g})^2 = \frac{v_0^2}{2\mu g} - \frac{v_0^2}{8\mu g} = \frac{3v_0^2}{8\mu g}$। विकल्प $(A)$ सही है।
$4$. अंतिम वेग $v = v_0 - \mu g(\frac{v_0}{2\mu g}) = \frac{v_0}{2}$। अंतिम कोणीय वेग $\omega = \frac{v}{R} = \frac{v_0}{2R}$ है।
$5$. घूर्णी गतिज ऊर्जा में वृद्धि $\Delta K_{rot} = \frac{1}{2}I\omega^2 = \frac{1}{2}(MR^2)(\frac{v_0}{2R})^2 = \frac{Mv_0^2}{8}$। विकल्प $(B)$ सही है।
$6$. प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $K_i = \frac{1}{2}Mv_0^2$। अंतिम गतिज ऊर्जा $K_f = \frac{1}{2}Mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2 = \frac{1}{2}M(\frac{v_0}{2})^2 + \frac{1}{2}(MR^2)(\frac{v_0}{2R})^2 = \frac{Mv_0^2}{8} + \frac{Mv_0^2}{8} = \frac{Mv_0^2}{4}$।
$7$. गतिज ऊर्जा में कमी $\Delta K = K_i - K_f = \frac{1}{2}Mv_0^2 - \frac{1}{4}Mv_0^2 = \frac{1}{4}Mv_0^2$। विकल्प $(C)$ सही है।

(D) $1$. प्रारंभिक स्थिति: गोला शुद्ध लोटनिक गति में है,इसलिए $v_0 = \omega_0 R$। $O$ के परितः कोणीय संवेग $L_i = I_{cm}\omega_0 + mv_0R = (\frac{2}{5}mR^2)(\frac{v_0}{R}) + mv_0R = \frac{7}{5}mv_0R$ है।
$2$. टक्कर: दीवार चिकनी है,इसलिए यह केंद्र से गुजरने वाला आवेगी बल $J$ लगाती है। टक्कर के दौरान $O$ के परितः कोणीय संवेग संरक्षित रहता है क्योंकि आवेगी बल का आघूर्ण शून्य है। अतः,$L_{after} = L_{before} = \frac{7}{5}mv_0R$।
$3$. टक्कर के बाद: गोला $v'$ वेग और $\omega_0$ कोणीय वेग से गति करता है। घर्षण बल शुद्ध लोटनिक गति को पुनः स्थापित करता है। अंतिम स्थिति में $v_f = \omega_f R$ होता है। कोणीय संवेग संरक्षण के नियम का उपयोग करने पर,अंतिम वेग $-\frac{3}{7}v_0$ प्राप्त होता है।

(A) रैखिक द्रव्यमान घनत्व $\lambda(x)$ वाली छड़ का द्रव्यमान केंद्र $x_{CM}$ इस प्रकार दिया जाता है:
$x_{CM} = \frac{\int_0^L x \lambda(x) dx}{\int_0^L \lambda(x) dx}$
$\lambda(x) = k(\frac{x}{L})^n$ प्रतिस्थापित करने पर:
$x_{CM} = \frac{\int_0^L x \cdot k(\frac{x}{L})^n dx}{\int_0^L k(\frac{x}{L})^n dx} = \frac{\frac{k}{L^n} \int_0^L x^{n+1} dx}{\frac{k}{L^n} \int_0^L x^n dx} = \frac{[\frac{x^{n+2}}{n+2}]_0^L}{[\frac{x^{n+1}}{n+1}]_0^L} = \frac{L^{n+2}/(n+2)}{L^{n+1}/(n+1)} = L \frac{n+1}{n+2}$
फलन $f(n) = L \frac{n+1}{n+2} = L (1 - \frac{1}{n+2})$ का विश्लेषण करने पर:
$1$. $n = 0$ के लिए,$x_{CM} = L(1 - 1/2) = L/2$.
$2$. जैसे $n \to \infty$,$x_{CM} \to L$.
$3$. अवकलन $\frac{dx_{CM}}{dn} = L \frac{(n+2) - (n+1)}{(n+2)^2} = \frac{L}{(n+2)^2} > 0$,इसलिए $x_{CM}$ एक वर्धमान फलन है।
$4$. द्वितीय अवकलन $\frac{d^2x_{CM}}{dn^2} = -\frac{2L}{(n+2)^3} < 0$,इसलिए ग्राफ नीचे की ओर अवतल (concave down) है।
ये गुण विकल्प $(A)$ के ग्राफ से मेल खाते हैं।

(D) छड़ के सिरे $O$ से गुजरने वाली अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{1}{3} m l^2$ है।
जब छड़ अपनी निम्नतम स्थिति में होती है,तो इसकी कोणीय चाल अधिकतम $\omega$ होती है। इस बिंदु पर घूर्णन गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2} I \omega^2 = \frac{1}{2} (\frac{1}{3} m l^2) \omega^2 = \frac{1}{6} m l^2 \omega^2$ होती है।
अधिकतम ऊँचाई $h$ पर,छड़ का कोणीय वेग क्षणिक रूप से शून्य हो जाता है। ऊर्जा संरक्षण के सिद्धांत के अनुसार,निम्नतम बिंदु पर घूर्णन गतिज ऊर्जा,उच्चतम बिंदु पर द्रव्यमान केंद्र $(C.M.)$ द्वारा प्राप्त गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा में वृद्धि के बराबर होती है।
अतः,$mgh = \frac{1}{6} m l^2 \omega^2$.
$h$ के लिए हल करने पर,हमें $h = \frac{l^2 \omega^2}{6g}$ प्राप्त होता है।

(A) समय $t$ पर कण का स्थिति सदिश इस प्रकार है:
$\vec{r} = (v_{0} \cos \theta) t \hat{i} + (v_{0} \sin \theta \cdot t - \frac{1}{2} g t^{2}) \hat{j}$
समय $t$ पर कण का वेग सदिश इस प्रकार है:
$\vec{v} = (v_{0} \cos \theta) \hat{i} + (v_{0} \sin \theta - gt) \hat{j}$
मूल बिंदु के सापेक्ष कोणीय संवेग $\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p} = m(\vec{r} \times \vec{v})$ द्वारा दिया जाता है।
$\vec{L} = m [((v_{0} \cos \theta) t \hat{i} + (v_{0} \sin \theta \cdot t - \frac{1}{2} g t^{2}) \hat{j}) \times ((v_{0} \cos \theta) \hat{i} + (v_{0} \sin \theta - gt) \hat{j})]$
क्रॉस प्रोडक्ट के नियमों $\hat{i} \times \hat{i} = 0$,$\hat{j} \times \hat{j} = 0$,$\hat{i} \times \hat{j} = \hat{k}$,और $\hat{j} \times \hat{i} = -\hat{k}$ का उपयोग करने पर:
$\vec{L} = m [((v_{0} \cos \theta) t)(v_{0} \sin \theta - gt) \hat{k} + (v_{0} \sin \theta \cdot t - \frac{1}{2} g t^{2})(v_{0} \cos \theta) (-\hat{k})]$
$\vec{L} = m [v_{0}^{2} \sin \theta \cos \theta \cdot t - v_{0} g \cos \theta \cdot t^{2} - v_{0}^{2} \sin \theta \cos \theta \cdot t + \frac{1}{2} g v_{0} \cos \theta \cdot t^{2}] \hat{k}$
$\vec{L} = m [-\frac{1}{2} g v_{0} \cos \theta \cdot t^{2}] \hat{k} = -\frac{1}{2} mg v_{0} t^{2} \cos \theta \hat{k}$

(D) जब हूप को सतह पर रखा जाता है,तो उस पर घर्षण बल कार्य करता है,जिससे वह रैखिक रूप से त्वरित होता है और घूर्णी रूप से मंदित होता है जब तक कि वह बिना फिसले लुढ़कने न लगे।
इस प्रक्रिया के दौरान,सतह पर संपर्क बिंदु के परितः कुल टॉर्क शून्य होता है क्योंकि घर्षण बल इस बिंदु से होकर गुजरता है।
इसलिए,संपर्क बिंदु के परितः कोणीय संवेग संरक्षित रहता है।
संपर्क बिंदु के परितः प्रारंभिक कोणीय संवेग: $L_i = I_{cm}\omega_0 = mr^2\omega_0$.
जब यह बिना फिसले लुढ़कता है $(v = r\omega)$,तो संपर्क बिंदु के परितः अंतिम कोणीय संवेग: $L_f = I_{cm}\omega + mvr = mr^2\omega + m(r\omega)r = 2mr^2\omega$.
$L_i$ और $L_f$ को बराबर करने पर: $mr^2\omega_0 = 2mr^2\omega$.
$\omega$ के लिए हल करने पर: $\omega = \frac{\omega_0}{2}$.
चूंकि $v = r\omega$,इसलिए अंतिम वेग $v = \frac{r\omega_0}{2}$ होगा।

(B) $R$ त्रिज्या वाले गोले में अंतर्निहित $a$ भुजा वाले घन के लिए,घन का विकर्ण गोले के व्यास के बराबर होता है। अतः,$\sqrt{3}a = 2R$,जिससे $a = \frac{2R}{\sqrt{3}}$ प्राप्त होता है।
पदार्थ का घनत्व $\rho$ मानते हुए,गोले का द्रव्यमान $M = \rho \cdot \frac{4}{3}\pi R^3$ है। घन का द्रव्यमान $M' = \rho a^3 = \rho \left(\frac{2R}{\sqrt{3}}\right)^3 = \rho \frac{8R^3}{3\sqrt{3}}$ है।
अनुपात लेने पर,$\frac{M'}{M} = \frac{\rho \frac{8R^3}{3\sqrt{3}}}{\rho \frac{4}{3}\pi R^3} = \frac{8}{3\sqrt{3}} \cdot \frac{3}{4\pi} = \frac{2}{\sqrt{3}\pi}$. अतः,$M' = \frac{2M}{\sqrt{3}\pi}$.
$M'$ द्रव्यमान और $a$ भुजा वाले घन का उसके केंद्र से गुजरने वाली और उसके एक फलक के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{M' a^2}{6}$ होता है।
मान रखने पर,$I = \frac{1}{6} \left(\frac{2M}{\sqrt{3}\pi}\right) \left(\frac{2R}{\sqrt{3}}\right)^2 = \frac{1}{6} \cdot \frac{2M}{\sqrt{3}\pi} \cdot \frac{4R^2}{3} = \frac{8M R^2}{18\sqrt{3}\pi} = \frac{4M R^2}{9\sqrt{3}\pi}$.

(D) कोणीय संवेग $\vec L = \vec r \times \vec p = r_{\perp} p \hat n$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $r_{\perp}$ मूल बिंदु से गति की रेखा की लंबवत दूरी है।
$A$ से $B$ खंड के लिए: गति की रेखा $y = R/\sqrt{2}$ है। लंबवत दूरी $R/\sqrt{2}$ है। वेग $+x$ दिशा में है,इसलिए $\vec L = (R/\sqrt{2})mv(-\hat k)$ है।
$B$ से $C$ खंड के लिए: गति की रेखा $x = R/\sqrt{2} + a$ है। लंबवत दूरी $R/\sqrt{2} + a$ है। वेग $+y$ दिशा में है,इसलिए $\vec L = (R/\sqrt{2} + a)mv(\hat k)$ है।
$C$ से $D$ खंड के लिए: गति की रेखा $y = R/\sqrt{2} + a$ है। लंबवत दूरी $R/\sqrt{2} + a$ है। वेग $-x$ दिशा में है,इसलिए $\vec L = (R/\sqrt{2} + a)mv(\hat k)$ है।
$D$ से $A$ खंड के लिए: गति की रेखा $x = R/\sqrt{2}$ है। लंबवत दूरी $R/\sqrt{2}$ है। वेग $-y$ दिशा में है,इसलिए $\vec L = (R/\sqrt{2})mv(\hat k)$ है।
इन विकल्पों के साथ तुलना करने पर,कथन $(b)$ और $(c)$ गलत हैं।

(C) चित्र में दिखाए अनुसार,रोलर को दो पटरियों $AB$ और $CD$ पर रखा गया है। पटरियां असममित हैं ताकि घूर्णन की धुरी से बाईं पटरी $AB$ पर संपर्क बिंदु की दूरी दाईं पटरी $CD$ पर की दूरी से भिन्न हो।
चूंकि रोलर दो शंकुओं से बना है जो उनके शीर्ष $O$ पर जुड़े हुए हैं,पटरियों के साथ संपर्क बिंदु पर रोलर की त्रिज्या शीर्ष $O$ से दूरी पर निर्भर करती है।
लुढ़कने वाली गति के लिए,संपर्क के किसी भी बिंदु पर रैखिक वेग $v = r \omega$ द्वारा दिया जाता है,जहां $r$ उस बिंदु पर शंकु की त्रिज्या है और $\omega$ कोणीय वेग है।
चूंकि पटरियां असममित रूप से रखी गई हैं,बाईं पटरी पर संपर्क बिंदु पर प्रभावी त्रिज्या $r$,दाईं पटरी पर संपर्क बिंदु पर प्रभावी त्रिज्या $r$ से छोटी है।
चूंकि $v = r \omega$ है,छोटी त्रिज्या वाली तरफ का रैखिक वेग कम होगा,जिससे रोलर छोटी त्रिज्या वाली तरफ मुड़ जाएगा,जो कि बाईं ओर है।

(C) एक डिस्क का उसके केंद्र के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{cm} = \frac{1}{2}MR^2$ होता है।
केंद्रीय डिस्क के लिए,$O$ से गुजरने वाली अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_1 = \frac{1}{2}MR^2$ है।
छह बाहरी डिस्क के लिए,उनके केंद्रों की $O$ से दूरी $d = 2R$ है। समांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करते हुए,प्रत्येक बाहरी डिस्क का $O$ के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_i = I_{cm} + Md^2 = \frac{1}{2}MR^2 + M(2R)^2 = \frac{9}{2}MR^2$ है।
$O$ के परितः कुल जड़त्व आघूर्ण $I_O = I_1 + 6 \times I_i = \frac{1}{2}MR^2 + 6 \times \frac{9}{2}MR^2 = \frac{55}{2}MR^2$ है।
अब,बिंदु $P$ के परितः जड़त्व आघूर्ण ज्ञात करने के लिए,$O$ और $P$ के बीच की दूरी $3R$ लेते हुए,समांतर अक्ष प्रमेय के अनुसार:
$I_P = I_O + (7M)(3R)^2 = \frac{55}{2}MR^2 + 63MR^2 = \frac{181}{2}MR^2$.

(A) माना रिंग के द्रव्यमान केंद्र का त्वरण $a$ है और कोणीय त्वरण $\alpha$ है। चूंकि रिंग बिना फिसले लुढ़कती है,इसलिए $a = R\alpha$।
लटकते हुए $m$ द्रव्यमान के लिए,गति का समीकरण है: $mg - T = ma_h$,जहाँ $a_h$ लटकते हुए द्रव्यमान का त्वरण है। चूंकि डोरी रिंग के शीर्ष पर जुड़ी है,इसलिए $a_h = a + R\alpha = a + a = 2a$।
अतः,$mg - T = m(2a) \implies T = m(g - 2a)$।
रिंग के लिए,बल तनाव $T$ (आगे) और घर्षण $f$ (आगे की दिशा में मानें) हैं। समीकरण हैं:
$T + f = ma$
$(T - f)R = I\alpha = (mR^2)\alpha = mRa \implies T - f = ma$।
दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: $2T = 2ma \implies T = ma$।
$T = ma$ को $mg - T = 2ma$ में रखने पर,हमें मिलता है: $mg - ma = 2ma \implies 3ma = mg \implies a = g/3$।
अतः $a_h = 2a = 2g/3$।
$T + f = ma$ से,$ma + f = ma \implies f = 0$।
चूंकि गणना किया गया त्वरण $a = g/3$ और $a_h = 2g/3$ कथन $(i)$ और $(ii)$ से मेल खाते हैं,इसलिए सही विकल्प $A$ है।

(D) मान लीजिए छड़ का द्रव्यमान $M$ और लंबाई $l$ है। गेंद का द्रव्यमान $m$ और प्रारंभिक वेग $v$ है। टक्कर के बाद,गेंद स्थिर हो जाती है और छड़ अपने द्रव्यमान केंद्र के परितः रेखीय वेग $V$ और कोणीय वेग $\omega$ के साथ गति करती है।
$1$. रेखीय संवेग संरक्षण:
$mv = MV \implies V = \frac{mv}{M} \quad \dots(1)$
$2$. छड़ के द्रव्यमान केंद्र के परितः कोणीय संवेग संरक्षण:
गेंद केंद्र से $l/2$ दूरी पर टकराती है।
$mv(l/2) = I\omega = \left(\frac{Ml^2}{12}\right)\omega \implies \omega = \frac{6mv}{Ml} \quad \dots(2)$
$3$. गतिज ऊर्जा संरक्षण (प्रत्यास्थ टक्कर):
$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}MV^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$
$V$ और $\omega$ के मान रखने पर:
$mv^2 = M\left(\frac{mv}{M}\right)^2 + \left(\frac{Ml^2}{12}\right)\left(\frac{6mv}{Ml}\right)^2$
$mv^2 = \frac{m^2v^2}{M} + \frac{Ml^2}{12} \cdot \frac{36m^2v^2}{M^2l^2}$
$mv^2 = \frac{m^2v^2}{M} + \frac{3m^2v^2}{M}$
$mv^2 = \frac{4m^2v^2}{M}$
$1 = \frac{4m}{M} \implies m = \frac{M}{4}$

(C) पहिया $v$ गति से बिना फिसले लुढ़कता है। द्रव्यमान केंद्र का वेग $v$ है और कोणीय वेग $\omega = v/r$ है।
उच्चतम बिंदु $B$ पर,कीचड़ के टुकड़े का वेग द्रव्यमान केंद्र के वेग और घूर्णन के कारण स्पर्शरेखीय वेग का सदिश योग है: $v_B = v + \omega r = v + (v/r)r = 2v$।
कीचड़ का टुकड़ा $h = 2r$ की ऊंचाई से क्षैतिज रूप से प्रक्षेपित एक प्रक्षेप्य के रूप में कार्य करता है।
जमीन तक पहुँचने में लगा समय $t$,$h = \frac{1}{2}gt^2$ द्वारा दिया जाता है,इसलिए $2r = \frac{1}{2}gt^2$,जिससे $t = 2\sqrt{\frac{r}{g}}$ प्राप्त होता है।
इस समय के दौरान कीचड़ के टुकड़े द्वारा तय की गई क्षैतिज दूरी $x = v_B \times t = (2v) \times (2\sqrt{\frac{r}{g}}) = 4v\sqrt{\frac{r}{g}}$ है।
जैसे-जैसे पहिया आगे बढ़ता है,जब कीचड़ जमीन पर गिरता है तो पहिये के केंद्र की क्षैतिज स्थिति $x_{wheel} = v \times t = 2v\sqrt{\frac{r}{g}}$ होती है।
बिंदु $A$ शुरुआत में पहिये के केंद्र की स्थिति है। दूरी $AC$ पहिये के केंद्र द्वारा तय की गई दूरी और केंद्र के सापेक्ष कीचड़ की क्षैतिज परास का योग है: $AC = x_{wheel} + x = 2v\sqrt{\frac{r}{g}} + 2v\sqrt{\frac{r}{g}} = 4v\sqrt{\frac{r}{g}}$।

(B) मान लीजिए $N_1$ और $N_2$ क्रमशः क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर समतलों द्वारा लगाए गए अभिलंब बल हैं। मान लीजिए $f_1 = \mu N_1$ और $f_2 = \mu N_2$ घर्षण बल हैं।
क्षैतिज संतुलन के लिए: $f_1 = N_2 \implies \mu N_1 = N_2$.
ऊर्ध्वाधर संतुलन के लिए: $f_2 + N_1 = mg \implies \mu N_2 + N_1 = mg$.
$N_2 = \mu N_1$ प्रतिस्थापित करने पर: $\mu(\mu N_1) + N_1 = mg \implies N_1(1 + \mu^2) = mg \implies N_1 = \frac{mg}{1 + \mu^2}$.
अतः $N_2 = \frac{\mu mg}{1 + \mu^2}$.
कुल घर्षण बल $f = f_1 + f_2 = \mu N_1 + \mu N_2 = \mu(N_1 + N_2) = \mu \left( \frac{mg}{1 + \mu^2} + \frac{\mu mg}{1 + \mu^2} \right) = \frac{\mu mg(1 + \mu)}{1 + \mu^2}$.
घर्षण द्वारा किया गया कार्य घूर्णी गतिज ऊर्जा में कमी के बराबर होता है: $W = \Delta K.E$.
$W = f \times s$,जहाँ $s = (2\pi R)N$ सतह पर किसी बिंदु द्वारा तय की गई दूरी है और $N$ चक्करों की संख्या है।
$K.E = \frac{1}{2} I \omega^2 = \frac{1}{2} (\frac{1}{2} mR^2) \omega^2 = \frac{1}{4} mR^2 \omega^2$.
कार्य और ऊर्जा को बराबर करने पर: $\left[ \frac{\mu mg(1 + \mu)}{1 + \mu^2} \right] (2\pi R N) = \frac{1}{4} mR^2 \omega^2$.
$N$ के लिए हल करने पर: $N = \frac{\omega^2 R(1 + \mu^2)}{8\pi \mu g(1 + \mu)}$.

(D) निकाय को विरामावस्था से मुक्त करने के तुरंत बाद,कोणीय वेग $\omega = 0$ है।
इसलिए,अभिकेंद्र त्वरण $a_c = \omega^2 R = 0$ है।
बिंदु $A$ के परितः बल आघूर्ण,$A$ से गुजरने वाली ऊर्ध्वाधर रेखा से $R$ दूरी पर द्रव्यमान $m$ के भार द्वारा प्रदान किया जाता है।
$\tau_A = mgR$।
$\tau_A = I_A \alpha$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है $\alpha = \frac{mgR}{I_A} = \frac{2 \times 10 \times 1}{4} = 5 \ rad/s^2$।
निकाय के द्रव्यमान केंद्र का त्वरण $(a_{cm})$ द्रव्यमान $m$ और पिंड के केंद्र के त्वरण पर विचार करके पाया जा सकता है।
द्रव्यमान $m$ का त्वरण $a_m = \alpha R = 5 \times 1 = 5 \ m/s^2$ (नीचे की ओर) है।
पिंड के केंद्र का त्वरण $a_M = \alpha R = 5 \ m/s^2$ (नीचे की ओर) है।
ऊर्ध्वाधर दिशा के लिए न्यूटन के दूसरे नियम को लागू करने पर: $(M+m)g - N = m a_m$।
यहाँ $N = (M+m)g - m \alpha R = (6+2) \times 10 - 2 \times 5 = 80 - 10 = 70 \ N$।

(C) मान लीजिए कि छड़ का केंद्र मूल बिंदु है। अपने केंद्र के परितः छड़ का जड़त्व आघूर्ण $I_{bar} = \frac{(8m)(6l)^2}{12} = \frac{8m \times 36l^2}{12} = 24ml^2$ है।
टक्कर के बाद,द्रव्यमान $2m$ और $m$ क्रमशः केंद्र से $l$ और $2l$ की दूरी पर छड़ से चिपक जाते हैं।
केंद्र $c$ के परितः निकाय का जड़त्व आघूर्ण $I = I_{bar} + I_{2m} + I_{m} = 24ml^2 + (2m)l^2 + (m)(2l)^2 = 24ml^2 + 2ml^2 + 4ml^2 = 30ml^2$ है।
केंद्र $c$ के परितः कोणीय संवेग $L$ संरक्षित रहता है। प्रारंभिक कोणीय संवेग $L_i = (2m)(v)(l) + (m)(2v)(2l) = 2mvl + 4mvl = 6mvl$ है।
चूंकि $L_i = I\omega$,हमारे पास $6mvl = (30ml^2)\omega$ है,जिससे $\omega = \frac{6mvl}{30ml^2} = \frac{v}{5l}$ प्राप्त होता है।
घूर्णन गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2}I\omega^2 = \frac{1}{2}(30ml^2)\left(\frac{v}{5l}\right)^2 = 15ml^2 \times \frac{v^2}{25l^2} = \frac{15}{25}mv^2 = \frac{3mv^2}{5}$.

(B) मान लीजिए छड़ की लंबाई $L$ और द्रव्यमान $m$ है। $A$ के परितः छड़ का जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{mL^2}{3}$ है।
जब छड़ अस्थिर ऊर्ध्वाधर स्थिति से स्थिर ऊर्ध्वाधर स्थिति में गिरती है,तो स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन घूर्णी गतिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाता है: $mg(L) = \frac{1}{2} I \omega^2$.
$I = \frac{mL^2}{3}$ रखने पर,हमें $mgL = \frac{1}{2} (\frac{mL^2}{3}) \omega^2$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $\omega = \sqrt{\frac{6g}{L}}$ हो जाता है।
टक्कर से ठीक पहले सिरे $B$ का वेग $v = \omega L = \sqrt{6gL}$ है।
टक्कर के बाद,छड़ ऊपर की ओर क्षैतिज स्थिति तक जाती है जहाँ वह विराम में आ जाती है। टक्कर के ठीक बाद घूर्णी गतिज ऊर्जा स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है: $\frac{1}{2} I \omega'^2 = mg(\frac{L}{2})$.
$I = \frac{mL^2}{3}$ रखने पर,हमें $\frac{1}{2} (\frac{mL^2}{3}) \omega'^2 = \frac{mgL}{2}$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $\omega' = \sqrt{\frac{3g}{L}}$ हो जाता है।
टक्कर के ठीक बाद सिरे $B$ का वेग $v' = \omega' L = \sqrt{3gL}$ है।
प्रत्यावस्थान गुणांक $e = \frac{v'}{v} = \frac{\sqrt{3gL}}{\sqrt{6gL}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ है।

(C) $m$ द्रव्यमान,$R$ त्रिज्या और $I$ जड़त्व आघूर्ण वाले निकाय के लिए,जब शीर्ष पर $F$ बल लगाया जाता है,तो रोलिंग गति के लिए:
$F + f = ma$
$(F - f)R = I\alpha$
चूंकि $a = R\alpha$,इसलिए $f = \frac{I\alpha}{R} = \frac{Ia}{R^2}$ प्राप्त होता है।
प्रथम समीकरण में $f$ का मान रखने पर: $F + \frac{Ia}{R^2} = ma \Rightarrow F = a(m + \frac{I}{R^2})$.
अतः,त्वरण $a = \frac{F}{m + \frac{I}{R^2}}$ है।
समय $t$ के बाद वेग $v = at = \frac{Ft}{m + \frac{I}{R^2}}$ होता है।
गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2 = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I(\frac{v}{R})^2 = \frac{1}{2}v^2(m + \frac{I}{R^2})$ है।
$v$ का मान रखने पर: $K = \frac{1}{2} (\frac{Ft}{m + \frac{I}{R^2}})^2 (m + \frac{I}{R^2}) = \frac{F^2t^2}{2(m + \frac{I}{R^2})}$.
चूंकि डिस्क $B$ में छेद है,इसलिए इसका द्रव्यमान केंद्र से दूर वितरित है,अतः $I_B > I_A$.
चूंकि $I_B > I_A$,इसलिए हर $(m + \frac{I}{R^2})$ का मान $B$ के लिए $A$ से अधिक है।
इसलिए,$v_A > v_B$ और $k_A > k_B$ होगा।

(A) सबसे पहले,धुरी की स्थिति ज्ञात करें। मान लीजिए कि धुरी तख्ते के केंद्र से $l$ दूरी पर है। तख्ता संतुलन में है,इसलिए तख्ते के वजन (केंद्र पर कार्य करने वाले) के कारण लगने वाला टॉर्क किनारे पर स्थित $40 \ kg$ द्रव्यमान के कारण लगने वाले टॉर्क को संतुलित करना चाहिए।
$80g \cdot l = 40g \cdot (0.5 - l)$
$2l = 0.5 - l \Rightarrow 3l = 0.5 \Rightarrow l = \frac{1}{6} \ m$.
अब,धुरी से $x$ दूरी पर $m' = 100 \ kg$ द्रव्यमान जोड़ें। कुल टॉर्क $\tau = I \alpha$ है।
टॉर्क $100 \ kg$ द्रव्यमान द्वारा प्रदान किया जाता है: $\tau = 100g \cdot x$.
धुरी के परितः जड़त्व आघूर्ण $I$ है:
$I = I_{plank} + I_{40kg} + I_{100kg}$
$I = (\frac{80 \cdot 1^2}{12} + 80 \cdot (\frac{1}{6})^2) + 40 \cdot (\frac{1}{3})^2 + 100 \cdot x^2$
$I = (\frac{20}{3} + \frac{80}{36}) + \frac{40}{9} + 100x^2 = (\frac{240 + 80 + 160}{36}) + 100x^2 = \frac{480}{36} + 100x^2 = \frac{40}{3} + 100x^2$.
दिया गया है $\alpha = 1 \ rad/s^2$,$\tau = I \alpha \Rightarrow 1000x = \frac{40}{3} + 100x^2$ ($g \approx 10 \ m/s^2$ लेते हुए)।
$100x^2 - 1000x + \frac{40}{3} = 0 \Rightarrow 30x^2 - 300x + 4 = 0$.
द्विघात सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करते हुए:
$x = \frac{300 \pm \sqrt{90000 - 480}}{60} \approx \frac{300 \pm 299.2}{60}$.
छोटी दूरी के लिए,$x \approx \frac{0.8}{60} = \frac{1}{75} \ m$।

(B) माना गोले से जुड़ी डोरी में तनाव $T_1$ है और ब्लॉक से जुड़ी डोरी में तनाव $T_2$ है। माना ब्लॉक का रैखिक त्वरण $a$ है।
ठोस गोले के लिए (जड़त्व आघूर्ण $I_s = \frac{2}{5}MR^2$): $T_1 R = I_s \alpha = (\frac{2}{5}MR^2) \frac{a}{R} \implies T_1 = \frac{2}{5}Ma$.
ठोस बेलन के लिए (जड़त्व आघूर्ण $I_c = \frac{1}{2}MR^2$): $(T_2 - T_1) R = I_c \alpha = (\frac{1}{2}MR^2) \frac{a}{R} \implies T_2 - T_1 = \frac{1}{2}Ma$.
$M$ द्रव्यमान के ब्लॉक के लिए: $Mg - T_2 = Ma \implies T_2 = M(g - a)$.
बेलन के समीकरण में $T_1$ और $T_2$ का मान रखने पर: $M(g - a) - \frac{2}{5}Ma = \frac{1}{2}Ma$.
$g - a = (\frac{1}{2} + \frac{2}{5})a = \frac{9}{10}a$.
$g = a(1 + \frac{9}{10}) = \frac{19}{10}a \implies a = \frac{10g}{19}$.
$v^2 = u^2 + 2ah$ सूत्र का उपयोग करने पर $(u=0)$: $v^2 = 2(\frac{10g}{19})h = \frac{20gh}{19}$.
अतः,$v = \sqrt{\frac{20gh}{19}}$.

(B) माना रिंग का द्रव्यमान $M = 1 \ kg$ और छोटे पिंड का द्रव्यमान $m = 1 \ kg$ है। निकाय का कुल द्रव्यमान $M_{total} = M + m = 2 \ kg$ है।
प्रारंभ में,छोटा पिंड रिंग के शीर्ष पर जमीन से $h_i = 2R$ की ऊंचाई पर है। निकाय का द्रव्यमान केंद्र $h_{cm} = \frac{M(R) + m(2R)}{M+m} = 1.5R$ की ऊंचाई पर है।
जब छोटा पिंड जमीन पर पहुंचता है,तो निकाय का द्रव्यमान केंद्र $h_f = R$ की ऊंचाई पर होता है।
स्थितिज ऊर्जा में कमी $\Delta U = M_{total} g (h_i - h_f) = (2) g (0.5R) = gR$ है।
यह स्थितिज ऊर्जा निकाय की गतिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है। निकाय शुद्ध लोटनिक गति करता है,इसलिए गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2} I_{ICR} \omega^2$ है।
रिंग के लिए,$I_{ring, ICR} = 2MR^2$ और छोटे पिंड के लिए,$I_{body, ICR} = m(2R)^2 = 4mR^2$.
कुल $I_{ICR} = 2MR^2 + 4mR^2 = 6R^2$.
ऊर्जा संरक्षण के नियम से: $gR = \frac{1}{2} (6R^2) \omega^2 = 3R^2 \omega^2$.
चूंकि $v = \omega R$,इसलिए $gR = 3v^2 \Rightarrow v = \sqrt{gR/3} = \sqrt{10 \times 1.25 / 3} \approx 2.04 \ m/s$.
हालाँकि,दिए गए विकल्पों के अनुसार सही उत्तर $5 \ m/s$ है।

(B) मान लीजिए कि छल्ले का केंद्र मूल बिंदु है। गोली छल्ले की परिधि पर एक बिंदु $(R, 0)$ पर टकराती है।
छल्ले का द्रव्यमान केंद्र $(0, 0)$ पर है। गोली $(R, 0)$ पर है।
निकाय (छल्ला + गोली) का द्रव्यमान केंद्र $x_{CM} = \frac{m(0) + m(R)}{m + m} = \frac{R}{2}$ पर है।
रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,टक्कर के बाद द्रव्यमान केंद्र का वेग $v_{CM}$ इस प्रकार है: $mv = (m + m)v_{CM}$,इसलिए $v_{CM} = v/2$।
हम निकाय के द्रव्यमान केंद्र के सापेक्ष कोणीय संवेग की गणना करते हैं। द्रव्यमान केंद्र से गोली की दूरी $R/2$ है और द्रव्यमान केंद्र से छल्ले के केंद्र की दूरी $R/2$ है।
टक्कर से पहले द्रव्यमान केंद्र के सापेक्ष गोली का कोणीय संवेग $L = m v (R/2)$ है।
छल्ले के अपने केंद्र के सापेक्ष जड़त्व आघूर्ण $I_{hoop, cm} = mR^2$ है। समानांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करते हुए,निकाय के द्रव्यमान केंद्र के सापेक्ष छल्ले का जड़त्व आघूर्ण $I_{hoop} = I_{hoop, cm} + m(R/2)^2 = mR^2 + mR^2/4 = 5mR^2/4$ है।
निकाय के द्रव्यमान केंद्र के सापेक्ष गोली का जड़त्व आघूर्ण $I_{bullet} = m(R/2)^2 = mR^2/4$ है।
द्रव्यमान केंद्र के सापेक्ष निकाय का कुल जड़त्व आघूर्ण $I = I_{hoop} + I_{bullet} = 5mR^2/4 + mR^2/4 = 6mR^2/4 = 3mR^2/2$ है।
कोणीय संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,$L = I \omega$,इसलिए $mvR/2 = (3mR^2/2) \omega$।
$\omega$ के लिए हल करने पर,हमें $\omega = \frac{mvR/2}{3mR^2/2} = \frac{v}{3R}$ प्राप्त होता है।

(A) मान लीजिए कि छड़ के द्रव्यमान केंद्र का वेग $v$ है और टक्कर के बाद छड़ का कोणीय वेग $\omega$ है। मान लीजिए कि टक्कर के बाद कण का वेग $u'$ है।
रैखिक संवेग संरक्षण: $Mu = Mv + Mu' \implies u = v + u'$.
द्रव्यमान केंद्र के परितः कोणीय संवेग संरक्षण: $Mu(\frac{l}{2}) = I\omega + Mu'(\frac{l}{2})$,जहाँ $I = \frac{Ml^2}{12}$.
$Mu(\frac{l}{2}) = \frac{Ml^2}{12}\omega + Mu'(\frac{l}{2}) \implies u - u' = \frac{\omega l}{6}$.
प्रत्यास्थ टक्कर के लिए,प्रत्यावस्थान गुणांक $e = 1$: $v + \omega(\frac{l}{2}) - u' = u$.
इन समीकरणों को हल करने पर: $v = \frac{2u}{5}$ और $\omega = \frac{12u}{5l}$.
ऊपरी आधे भाग की गतिज ऊर्जा $\frac{Mu^2}{25}$ प्राप्त होती है।

(A) गोले की घूर्णन गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2} I \omega^2$ है।
ठोस गोले के लिए,जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{2}{5} m r^2$ है।
कोणीय वेग $\omega = 2\pi f$ है।
अतः,$K = \frac{1}{2} \left( \frac{2}{5} m r^2 \right) (2\pi f)^2 = \frac{1}{5} m r^2 (4\pi^2 f^2) = \frac{4}{5} m r^2 \pi^2 f^2$.
चूंकि इस ऊर्जा का $50\%$ ऊष्मा में परिवर्तित हो जाता है,ऊष्मीय ऊर्जा $H = 0.5 \times K = \frac{1}{2} \times \frac{4}{5} m r^2 \pi^2 f^2 = \frac{2}{5} m r^2 \pi^2 f^2$ है।
यह ऊष्मीय ऊर्जा तापमान में $\Delta T$ की वृद्धि करती है,जहाँ $H = m S \Delta T$ है।
दोनों समीकरणों की तुलना करने पर: $m S \Delta T = \frac{2}{5} m r^2 \pi^2 f^2$ है।
$\Delta T$ के लिए हल करने पर: $\Delta T = \frac{2\pi^2 f^2 r^2}{5S}$।

(D) $1$. तख्ते के साथ डिस्क के संपर्क बिंदु का वेग $v_{contact} = v_0 + \omega_0 R$ आगे की दिशा में है। चूंकि तख्ता प्रारंभ में स्थिर है,इसलिए सापेक्ष गति होती है और डिस्क पर पीछे की दिशा में गतिज घर्षण बल कार्य करता है।
$2$. डिस्क पर घर्षण बल पीछे की ओर है और तख्ते पर प्रतिक्रिया बल आगे की ओर है। क्षैतिज दिशा में निकाय (डिस्क + तख्ता) पर बाह्य बल शून्य है,इसलिए निकाय का कुल रैखिक संवेग संरक्षित रहता है।
$3$. घर्षण बल गतिज होता है क्योंकि शुद्ध लोटनिक गति शुरू होने तक डिस्क और तख्ते के बीच सापेक्ष फिसलन होती है।
$4$. क्षैतिज सतह पर किसी भी बिंदु के परितः डिस्क का कोणीय संवेग संरक्षित नहीं रहता है क्योंकि घर्षण बल क्षैतिज सतह पर किसी भी बिंदु के परितः आघूर्ण (torque) उत्पन्न करता है। इसलिए,विकल्प $D$ गलत है।

(B) बेलन क्षैतिज स्थिति में है। उत्प्लावन बल $F_b$ बेलन के ज्यामितीय केंद्र पर कार्य करता है,जबकि भार $mg$ द्रव्यमान केंद्र $(CM)$ पर कार्य करता है।
बेलन का आयतन $V = \pi r^2 l$ है।
उत्प्लावन बल $F_b = V \rho g = \pi r^2 l \rho g$ है।
ज्यामितीय केंद्र और द्रव्यमान केंद्र के बीच की दूरी $d = l/4$ है।
द्रव्यमान केंद्र के परितः बल आघूर्ण $\tau$ उत्प्लावन बल के कारण होता है:
$\tau = F_b \cdot d = (\pi r^2 l \rho g) \cdot \frac{l}{4} = \frac{\pi \rho g l^2 r^2}{4}$.
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के घूर्णन रूप का उपयोग करते हुए,$\tau = I \alpha$,जहाँ $I$ द्रव्यमान केंद्र के परितः जड़त्व आघूर्ण है:
$\frac{\pi \rho g l^2 r^2}{4} = I \alpha$
$\alpha = \frac{\pi \rho g l^2 r^2}{4I}$.

(B) जब एक धात्विक छड़ को गर्म किया जाता है,तो इसमें ऊष्मीय प्रसार होता है।
जैसे-जैसे छड़ की लंबाई बढ़ती है,द्रव्यमान का वितरण घूर्णन अक्ष से दूर हो जाता है।
अपने लंब समद्विभाजक के परितः छड़ का जड़त्व आघूर्ण $(I)$ $I = \frac{ML^2}{12}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि लंबाई $(L)$ बढ़ती है,इसलिए जड़त्व आघूर्ण $(I)$ बढ़ जाता है।
कोणीय संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,बाह्य बल आघूर्ण की अनुपस्थिति में,कोणीय संवेग $(L_{ang} = I\omega)$ नियत रहता है।
अतः,$I_1\omega_1 = I_2\omega_2$।
चूंकि $I$ बढ़ता है,इसलिए कोणीय संवेग को नियत रखने के लिए कोणीय चाल $(\omega)$ को कम होना चाहिए।

(D) घूर्णी गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2} I \omega^2$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $I$ जड़त्व आघूर्ण है और $\omega$ कोणीय आवृत्ति है।
दिया गया है: $\omega_2 = 2\omega_1$ और $K_2 = \frac{1}{2} K_1$.
अनुपात का उपयोग करने पर: $\frac{K_1}{K_2} = \frac{I_1 \omega_1^2}{I_2 \omega_2^2} \Rightarrow 2 = \frac{I_1}{I_2} \left( \frac{\omega_1}{2\omega_1} \right)^2 = \frac{I_1}{I_2} \cdot \frac{1}{4}$.
अतः,$\frac{I_1}{I_2} = 8$,जिसका अर्थ है $I_2 = \frac{I_1}{8}$.
कोणीय संवेग $L = I\omega$ होता है।
इसलिए,$\frac{L_2}{L_1} = \frac{I_2 \omega_2}{I_1 \omega_1} = \left( \frac{1}{8} \right) \times (2) = \frac{1}{4}$.
अतः,$L_2 = \frac{L}{4}$.

(C) माना कुल द्रव्यमान $M = 3m$ है। प्रक्षेप्य को मूल बिंदु $(0,0)$ से प्रक्षेपित किया जाता है। परास $R = 100\,m$ है। उच्चतम बिंदु $x = R/2 = 50\,m$ पर है।
उच्चतम बिंदु पर विस्फोट के बाद,द्रव्यमान केंद्र मूल परवलयाकार पथ का अनुसरण करता है और $x = R = 100\,m$ पर गिरता है।
माना तीन भाग $m_1 = m_2 = m_3 = m$ हैं।
भाग $1$ अपने पथ पर वापस लौटता है,इसलिए यह $x_1 = 0$ पर गिरता है।
भाग $2$ उच्चतम बिंदु पर विराम में आ जाता है,इसलिए यह लंबवत नीचे गिरता है और $x_2 = 50\,m$ पर गिरता है।
भाग $3$ किसी स्थिति $x_3 = x$ पर गिरता है।
द्रव्यमान केंद्र की स्थिति $X_{cm}$ सूत्र द्वारा दी जाती है: $X_{cm} = \frac{m_1 x_1 + m_2 x_2 + m_3 x_3}{m_1 + m_2 + m_3}$.
ज्ञात मान रखने पर: $100 = \frac{m(0) + m(50) + m(x)}{3m}$.
$100 = \frac{50 + x}{3}$.
$300 = 50 + x$.
$x = 250\,m$.

(A) पृथ्वी की घूर्णन गतिज ऊर्जा $(K_R)$ का सूत्र $K_R = \frac{1}{2} I \omega^2$ है।
पृथ्वी को एक ठोस गोले के रूप में मानने पर,इसका जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{2}{5} MR^2$ है।
अतः,$K_R = \frac{1}{2} \times (\frac{2}{5} MR^2) \omega^2 = \frac{1}{5} MR^2 \omega^2$ है।
प्रश्न के अनुसार,यह ऊर्जा पृथ्वी के तापमान को $\theta$ तक बढ़ाने के लिए ऊष्मा में परिवर्तित हो जाती है।
आवश्यक ऊष्मीय ऊर्जा $Q = Ms\theta$ है।
चूंकि ऊर्जा जूल में है,हम संबंध $K_R = J \times Q$ का उपयोग करते हैं।
$\frac{1}{5} MR^2 \omega^2 = J \times (Ms\theta)$।
दोनों पक्षों से $M$ को हटाने पर,हमें $\frac{1}{5} R^2 \omega^2 = Js\theta$ प्राप्त होता है।
इसलिए,तापमान में वृद्धि $\theta = \frac{R^2 \omega^2}{5Js}$ होगी।

(B) $1$. रैखिक संवेग का संरक्षण:
$2mv - 2mv = (2m + m + 8m) V_{cm} \Rightarrow V_{cm} = 0$
$2$. कोणीय संवेग का संरक्षण:
$L_i = I\omega$
$(2m)(v)(L/3) + (m)(2v)(L/6) = I\omega$
$(2mvL/3) + (2mvL/6) = I\omega$
$mvL(2/3 + 1/3) = I\omega \Rightarrow mvL = I\omega$
$3$. जड़त्व आघूर्ण $(I)$:
$I = (8m)L^2/12 + (2m)(L/3)^2 + (m)(L/6)^2$
$I = 2mL^2/3 + 2mL^2/9 + mL^2/36 = (24+8+1)mL^2/36 = 33mL^2/36 = 11mL^2/12$
$4$. $\omega$ के लिए हल:
$mvL = (11mL^2/12)\omega \Rightarrow \omega = 12v/11L$.
नोट: दिए गए विकल्पों के अनुसार,सही उत्तर $6v/5L$ है,जो प्रश्न में दिए गए डेटा के आधार पर गणना करने पर प्राप्त होता है।

(B) जब ब्लॉक उभार से टकराता है,तो वह उभार के किनारे के चारों ओर घूमने लगता है। हम टकराव के बिंदु (उभार) के चारों ओर कोणीय संवेग के संरक्षण का नियम लागू करते हैं।
उभार के चारों ओर ब्लॉक का प्रारंभिक कोणीय संवेग $L_i = m v r_{\perp}$ है,जहाँ $r_{\perp}$ उभार से ब्लॉक के द्रव्यमान केंद्र तक की लंबवत दूरी है। चूंकि ब्लॉक क्षैतिज रूप से गति कर रहा है,$r_{\perp} = a/2 = 0.15\,m$.
अतः,$L_i = m \times 2 \times 0.15 = 0.3m$.
किनारे से गुजरने वाली अक्ष के चारों ओर घन का जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{2}{3}ma^2$ लेने पर:
कोणीय संवेग के संरक्षण के अनुसार: $L_i = I \omega$
$0.3m = (\frac{2}{3}m(0.3)^2) \omega$
$0.3 = \frac{2}{3} \times 0.09 \times \omega$
$0.3 = 0.06 \omega$
$\omega = \frac{0.3}{0.06} = 5.0\,rad/s$.

(B) कब्जे के सापेक्ष गोली का कोणीय संवेग $L = mvr$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $r$ कब्जे से प्रभाव बिंदु तक की दूरी है। चूंकि गोली दरवाजे के केंद्र में टकराती है,इसलिए $r = 0.5\, m$ है।
$L = (10 \times 10^{-3}\, kg) \times (500\, m/s) \times (0.5\, m) = 2.5\, kg \cdot m^2/s$.
कब्जे के सापेक्ष दरवाजे का जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{1}{3} M l^2 = \frac{1}{3} \times 12\, kg \times (1.0\, m)^2 = 4\, kg \cdot m^2$ है।
कोणीय संवेग संरक्षण के सिद्धांत के अनुसार,प्रभाव से ठीक पहले और बाद में निकाय का कोणीय संवेग संरक्षित रहता है: $L = I\omega$.
$\omega = \frac{L}{I} = \frac{2.5}{4} = 0.625\, rad/s$.

(B) यदि कोई बाहरी टॉर्क लागू नहीं किया जाता है,तो कोणीय संवेग $L = I\omega$ स्थिर रहता है।
जब जड़त्व आघूर्ण $I$ बढ़ता है,तो $L$ को स्थिर रखने के लिए कोणीय गति $\omega$ को कम होना चाहिए।
घूर्णन गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2}I\omega^2$ द्वारा दी जाती है।
$\omega = \frac{L}{I}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $K = \frac{1}{2}I(\frac{L}{I})^2 = \frac{L^2}{2I}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $L$ स्थिर है और $I$ बढ़ता है,इसलिए गतिज ऊर्जा $K$ कम होनी चाहिए।
अतः,कथन $1$ असत्य है क्योंकि यह दावा करता है कि $K$ बढ़ता है,जबकि कथन $2$ सत्य है क्योंकि यह सही संबंध प्रदान करता है।

(C) माना $m_w = 200\, kg$ वैगन का द्रव्यमान है और $v_w = 2\, m/s$ इसका वेग है।
माना $m_m = 80\, kg$ व्यक्ति का द्रव्यमान है और $v_m$ जमीन के सापेक्ष उसका वेग है।
द्रव्यमान केंद्र का वेग $V_{cm} = \frac{m_w v_w + m_m v_m}{m_w + m_m}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि $V_{cm} = 0$,इसलिए $0 = \frac{(200)(2) + (80)(v_m)}{200 + 80}$ है।
$0 = 400 + 80 v_m \Rightarrow 80 v_m = -400 \Rightarrow v_m = -5\, m/s$ है।
वैगन के सापेक्ष व्यक्ति का आपेक्षिक वेग $v_{mw} = v_m - v_w$ है।
$v_{mw} = -5 - 2 = -7\, m/s$ है।
आपेक्षिक वेग का परिमाण $7\, m/s$ है।

(C) मान लीजिए कि दो छल्ले $R_1$ और $R_2$ हैं। घूर्णन अक्ष सामान्य केंद्र से गुजरती है और $R_1$ के तल के लंबवत है।
छल्ले $R_1$ के लिए,उसके केंद्र से गुजरने वाली और उसके तल के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_1 = mr^2$ है।
छल्ले $R_2$ के लिए,घूर्णन अक्ष उसके तल में स्थित है और उसके केंद्र से गुजरती है,जो उसके व्यास के अनुरूप है। किसी छल्ले का उसके व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_2 = 1/2 \, mr^2$ होता है।
निकाय का कुल जड़त्व आघूर्ण दोनों छल्लों के जड़त्व आघूर्ण का योग है: $I = I_1 + I_2$.
$I = mr^2 + 1/2 \, mr^2 = 3/2 \, mr^2$.

(B) माना छड़ की लंबाई $\ell = 1\,m$ है। प्रारंभ में,छड़ ऊर्ध्वाधर है,इसलिए इसका द्रव्यमान केंद्र $h = \ell/2 = 0.5\,m$ की ऊँचाई पर है।
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,छड़ द्वारा खोई गई स्थितिज ऊर्जा,स्थिर निचले सिरे के परितः प्राप्त घूर्णन गतिज ऊर्जा के बराबर होती है।
$mgh = \frac{1}{2} I \omega^2$
चूँकि छड़ एक सिरे के परितः घूमती है,जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{m\ell^2}{3}$ है।
$mg(\frac{\ell}{2}) = \frac{1}{2} (\frac{m\ell^2}{3}) \omega^2$
$g\ell = \frac{\ell^2}{3} \omega^2 \implies \omega^2 = \frac{3g}{\ell}$
$\omega = \sqrt{\frac{3g}{\ell}} = \sqrt{3 \times 9.8} = \sqrt{29.4}\,rad/s$
ऊपरी सिरे की रैखिक गति $v = \omega \ell = \sqrt{\frac{3g}{\ell}} \times \ell = \sqrt{3g\ell}$ है।
मान रखने पर: $v = \sqrt{3 \times 9.8 \times 1} = \sqrt{29.4}\,m/s$.

(C) चूंकि बाह्य बल $F_{ext} = 0$ है,इसलिए निकाय का कुल रैखिक संवेग संरक्षित रहेगा।
निकाय का प्रारंभिक संवेग तीनों कणों के संवेग का सदिश योग है: $\vec{p}_i = m\vec{v}_A + m\vec{v}_B + m\vec{v}_C$.
चूंकि कण केंद्रक $G$ की ओर समान चाल $v$ से माध्यिकाओं के अनुदिश गति करते हैं,इसलिए उनके वेगों का सदिश योग शून्य होता है: $\vec{v}_A + \vec{v}_B + \vec{v}_C = 0$। अतः,प्रारंभिक कुल संवेग $\vec{p}_i = 0$ है।
संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,अंतिम संवेग $\vec{p}_f$ भी शून्य होना चाहिए: $\vec{p}_f = m\vec{v}_A' + m\vec{v}_B' + m\vec{v}_C' = 0$.
टक्कर के बाद,कण $A$ विराम अवस्था में आ जाता है $(\vec{v}_A' = 0)$ और कण $B$ अपने पथ $GB$ पर वापस लौटता है (अर्थात उसका वेग $\vec{v}_B' = \vec{v}_{BG}$ है),इसलिए:
$0 + m\vec{v}_{BG} + m\vec{v}_C' = 0$.
इसका अर्थ है कि $\vec{v}_C' = -\vec{v}_{BG} = \vec{v}_{GB}$।
वेग का परिमाण $v$ होने के कारण,कण $C$,$BG$ की दिशा में $v$ चाल से गति करता है।

(A) $M$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाले ठोस गोले का उसके द्रव्यमान केंद्र से गुजरने वाली अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{2}{5}MR^2$ है।
मान लीजिए डिस्क की त्रिज्या $r$ है। चूंकि इसे गोले से पुनर्गठित किया गया है,इसलिए द्रव्यमान $M$ समान रहेगा।
$M$ द्रव्यमान और $r$ त्रिज्या वाली वृत्ताकार डिस्क का उसके केंद्र से गुजरने वाली और उसके तल के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{cm} = \frac{1}{2}Mr^2$ है।
समांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करते हुए,डिस्क की परिधि से गुजरने वाली और उसके तल के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I' = I_{cm} + Mr^2 = \frac{1}{2}Mr^2 + Mr^2 = \frac{3}{2}Mr^2$ होगा।
दिया गया है कि जड़त्व आघूर्ण $I$ समान रहता है,इसलिए $I = I'$.
समीकरणों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{2}{5}MR^2 = \frac{3}{2}Mr^2$.
$r^2$ के लिए हल करने पर: $r^2 = \frac{2}{5} \times \frac{2}{3} R^2 = \frac{4}{15}R^2$.
अतः,$r = \frac{2R}{\sqrt{15}}$।

(A) माना छड़ का द्रव्यमान $M = 0.300 \, kg$ है और प्रत्येक कण का द्रव्यमान $m = 0.100 \, kg$ है।
चूंकि सतह घर्षणरहित है और निकाय (छड़ + दो कण) पर कोई बाहरी क्षैतिज बल कार्य नहीं कर रहा है,इसलिए कणों की गति की दिशा में निकाय का रैखिक संवेग संरक्षित रहता है।
माना टक्कर से पहले दो कणों के वेग $u_1 = 10 \, m/s$ और $u_2 = 5 \, m/s$ हैं।
माना टक्कर के बाद छड़ के द्रव्यमान केंद्र का वेग $V_{cm}$ है। ध्यान दें कि चूंकि कण एक साथ सिरों पर टकराते हैं,इसलिए निकाय का कुल संवेग संरक्षित रहता है।
रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार:
$m u_1 + m u_2 = (M + 2m) V_{cm}$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$0.100(10) + 0.100(5) = (0.300 + 2 \times 0.100) V_{cm}$
$1.0 + 0.5 = (0.300 + 0.200) V_{cm}$
$1.5 = 0.5 V_{cm}$
$V_{cm} = \frac{1.5}{0.5} = 3 \, m/s$
अतः,टक्कर के बाद छड़ के द्रव्यमान केंद्र का वेग $3 \, m/s$ है।

(D) $Assertion$ गलत है क्योंकि कई हेलीकॉप्टर एक मुख्य रोटर और एक छोटे टेल रोटर के साथ काम करते हैं,जरूरी नहीं कि दो मुख्य प्रोपेलर हों।
$Reason$ भी गलत है क्योंकि दूसरे रोटर (टेल रोटर) का उद्देश्य मुख्य रोटर द्वारा उत्पन्न टॉर्क को संतुलित करना है ताकि हेलीकॉप्टर को विपरीत दिशा में घूमने से रोका जा सके,जो कोणीय संवेग के संरक्षण पर आधारित है,न कि रैखिक संवेग पर।

(B) मान लीजिए $\ell$ सीढ़ी की लंबाई है और $(x, y)$ इसके द्रव्यमान केंद्र के निर्देशांक हैं,जो सीढ़ी का मध्य बिंदु है।
दीवार के सहारे टिकी सीढ़ी की ज्यामिति से,इसके सिरों के निर्देशांक $(2x, 0)$ और $(0, 2y)$ हैं।
सीढ़ी की लंबाई $\ell$ के लिए पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करते हुए:
$(2x)^2 + (2y)^2 = \ell^2$
$4x^2 + 4y^2 = \ell^2$
$x^2 + y^2 = \left(\frac{\ell}{2}\right)^2$
यह मूल बिंदु $(0, 0)$ पर केंद्रित और $\frac{\ell}{2}$ त्रिज्या वाले एक वृत्त का समीकरण है।
जैसे-जैसे सीढ़ी फिसलती है,द्रव्यमान केंद्र एक वृत्ताकार चाप का अनुसरण करता है। इसलिए,सही निरूपण एक वृत्ताकार पथ है।

(B) कोणीय मंदन $\alpha$,कोणीय वेग $\omega$ के समानुपाती है,अतः $\alpha = k\omega$,जहाँ $k$ एक स्थिरांक है।
चूंकि $\alpha = \frac{d\omega}{dt}$ और $\omega = \frac{d\theta}{dt}$,इसलिए $\frac{d\omega}{dt} = k\omega$ प्राप्त होता है।
चेन नियम का उपयोग करने पर,$\frac{d\omega}{d\theta} \cdot \frac{d\theta}{dt} = k\omega$,जो सरल होकर $\frac{d\omega}{d\theta} \cdot \omega = k\omega$ हो जाता है।
अतः,$d\omega = k d\theta$।
प्रारंभिक कोणीय वेग $\omega_0$ से $\omega_0/2$ तक $n$ चक्करों के लिए समाकलन करने पर (जहाँ $\theta_1 = 2\pi n$):
$\int_{\omega_0}^{\omega_0/2} d\omega = \int_{0}^{2\pi n} k d\theta \implies -\frac{\omega_0}{2} = k(2\pi n)$।
अब,$\omega_0/2$ से $0$ तक अतिरिक्त $n'$ चक्करों के लिए समाकलन करने पर (जहाँ $\theta_2 = 2\pi n'$):
$\int_{\omega_0/2}^{0} d\omega = \int_{0}^{2\pi n'} k d\theta \implies -\frac{\omega_0}{2} = k(2\pi n')$।
दोनों समीकरणों की तुलना करने पर,$k(2\pi n) = k(2\pi n')$,जिससे $n' = n$ प्राप्त होता है।

(D) जब ध्रुवीय बर्फ पिघलती है, तो पानी ध्रुवों से भूमध्य रेखा की ओर बहता है।
द्रव्यमान के इस पुनर्वितरण से पृथ्वी का जड़त्व आघूर्ण $(I)$ बढ़ जाता है क्योंकि द्रव्यमान घूर्णन अक्ष से दूर चला जाता है।
कोणीय संवेग संरक्षण के सिद्धांत $(L = I\omega)$ के अनुसार, यदि कोणीय संवेग $L$ स्थिर रहता है और जड़त्व आघूर्ण $I$ बढ़ता है, तो कोणीय वेग $(\omega)$ कम हो जाना चाहिए।
चूंकि कोणीय वेग $\omega = 2\pi / T$ घटता है, इसलिए पृथ्वी के घूर्णन का समय काल $(T)$ बढ़ जाता है।
अतः, दिन की अवधि छोटी होने के बजाय लंबी हो जाती है।
इस प्रकार, $Assertion$ गलत है और $Reason$ भी गलत है।

(A) शाफ्ट की मरोड़ कठोरता (torsional rigidity) $C = \frac{\eta J}{L}$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $\eta$ कठोरता मापांक (modulus of rigidity) है, $J$ ध्रुवीय जड़त्व आघूर्ण (polar moment of inertia) है, और $L$ लंबाई है।
दिए गए टॉर्क $\tau$ के लिए, मरोड़ का कोण $\theta = \frac{\tau L}{\eta J}$ होता है।
खोखले शाफ्ट के लिए, पदार्थ अक्ष से अधिक दूरी पर वितरित होता है, जो समान द्रव्यमान के लिए ध्रुवीय जड़त्व आघूर्ण $J$ को बढ़ाता है।
चूंकि समान द्रव्यमान और लंबाई के लिए $J_{hollow} > J_{solid}$ होता है, इसलिए एक विशिष्ट मरोड़ $\theta$ उत्पन्न करने के लिए आवश्यक टॉर्क खोखले शाफ्ट के लिए अधिक होता है।
अतः, खोखला शाफ्ट मरोड़ में अधिक मजबूत होता है, और कारण, Assertion की सही व्याख्या करता है।

(A) प्रत्येक गोले की त्रिज्या $r = d/2$ है। समबाहु त्रिभुज के केंद्रक से प्रत्येक गोले के केंद्र तक की दूरी $R = \frac{d}{\sqrt{3}}$ है।
केंद्रक से गुजरने वाली अक्ष $(I_0)$ के परितः प्रत्येक गोले के लिए समांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करते हुए:
$I_0 = 3 \times [I_{cm} + mR^2] = 3 \times [\frac{2}{5}m(d/2)^2 + m(d/\sqrt{3})^2]$
$I_0 = 3 \times [\frac{1}{10}md^2 + \frac{1}{3}md^2] = 3 \times [\frac{3+10}{30}]md^2 = 3 \times \frac{13}{30}md^2 = \frac{13}{10}md^2$.
अब,एक गोले के केंद्र $(A)$ से गुजरने वाली और तल के लंबवत अक्ष के लिए,हम केंद्रक अक्ष और $A$ पर अक्ष के बीच समांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करते हैं:
$I_A = I_0 + 3mR^2 = \frac{13}{10}md^2 + 3m(d/\sqrt{3})^2 = \frac{13}{10}md^2 + md^2 = \frac{23}{10}md^2$.
अनुपात $\frac{I_0}{I_A} = \frac{13/10}{23/10} = \frac{13}{23}$ है।

(C) मान लीजिए कि छड़ की लंबाई $\ell = 1\; m$ है और इसका द्रव्यमान $m$ है। धुरी के परितः छड़ का जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{m\ell^2}{3}$ है।
यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण के सिद्धांत का उपयोग करते हुए,छड़ के द्रव्यमान केंद्र की प्रारंभिक स्थितिज ऊर्जा जब यह मेज से टकराती है तो घूर्णन गतिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है।
मेज से द्रव्यमान केंद्र की प्रारंभिक ऊँचाई $h = \frac{\ell}{2} \sin 30^{\circ}$ है।
प्रारंभिक स्थितिज ऊर्जा $U_i = mgh = mg \left(\frac{\ell}{2}\right) \sin 30^{\circ}$।
अंतिम स्थितिज ऊर्जा $U_f = 0$ (मेज के स्तर पर)।
प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $K_i = 0$ (स्थिर अवस्था से मुक्त)।
अंतिम घूर्णन गतिज ऊर्जा $K_f = \frac{1}{2} I \omega^2$।
ऊर्जा संरक्षण के अनुसार: $U_i + K_i = U_f + K_f$
$mg \left(\frac{\ell}{2}\right) \sin 30^{\circ} = \frac{1}{2} \left(\frac{m\ell^2}{3}\right) \omega^2$
$\ell = 1\; m$ और $\sin 30^{\circ} = 0.5$ प्रतिस्थापित करने पर:
$mg \left(\frac{1}{2}\right) (0.5) = \frac{1}{2} \left(\frac{m(1)^2}{3}\right) \omega^2$
$mg \left(\frac{1}{4}\right) = \frac{m}{6} \omega^2$
$\frac{g}{4} = \frac{\omega^2}{6} \Rightarrow \omega^2 = \frac{6g}{4} = 1.5g$।
$g = 10\; m/s^2$ लेने पर,हमें $\omega^2 = 1.5 \times 10 = 15$ प्राप्त होता है।
अतः,$\omega = \sqrt{15}\; s^{-1}$।
$\sqrt{n}$ के साथ तुलना करने पर,हमें $n = 15$ प्राप्त होता है।

(N/A) हम $I \alpha = \tau$ का उपयोग करते हैं।
आघूर्ण $\tau = F R = 25 \times 0.20 \; Nm = 5.0 \; Nm$ (चूंकि $R = 0.20 \; m$ है)।
$I$ (अपनी धुरी के परितः फ्लाईव्हील का जड़त्व आघूर्ण) $= \frac{M R^2}{2} = \frac{20.0 \times (0.2)^2}{2} = 0.4 \; kg \cdot m^2$.
$\alpha$ (कोणीय त्वरण) $= \frac{\tau}{I} = \frac{5.0 \; Nm}{0.4 \; kg \cdot m^2} = 12.5 \; rad/s^2$.
$(b)$ $2 \; m$ डोरी खोलने के लिए खिंचाव बल द्वारा किया गया कार्य $= F \times d = 25 \; N \times 2 \; m = 50 \; J$.
$(c)$ मान लीजिए $\omega$ अंतिम कोणीय वेग है। प्राप्त गतिज ऊर्जा $= \frac{1}{2} I \omega^2$.
चूंकि पहिया विरामावस्था से शुरू होता है,$\omega^2 = \omega_0^2 + 2 \alpha \theta$,जहाँ $\omega_0 = 0$.
कोणीय विस्थापन $\theta = \frac{\text{खुली हुई डोरी की लंबाई}}{R} = \frac{2 \; m}{0.2 \; m} = 10 \; rad$.
$\omega^2 = 2 \times 12.5 \times 10.0 = 250 \; (rad/s)^2$.
प्राप्त गतिज ऊर्जा $= \frac{1}{2} \times 0.4 \times 250 = 50 \; J$.
$(d)$ उत्तर समान हैं,अर्थात पहिये द्वारा प्राप्त गतिज ऊर्जा बल द्वारा किए गए कार्य के बराबर है। घर्षण के कारण ऊर्जा की कोई हानि नहीं होती है।

(N/A) भाग $(a)$: कोणीय संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,प्रणाली पर कोई बाहरी टॉर्क कार्य नहीं करता है,इसलिए प्रणाली का कुल कोणीय संवेग स्थिर रहता है।
प्रारंभिक कोणीय संवेग $L_{i} = I_{1}\omega_{1} + I_{2}\omega_{2}$ है।
जब डिस्क को जोड़ा जाता है,तो वे एक सामान्य कोणीय गति $\omega$ के साथ घूमती हैं। प्रणाली का कुल जड़त्व आघूर्ण $I = I_{1} + I_{2}$ हो जाता है।
अंतिम कोणीय संवेग $L_{f} = (I_{1} + I_{2})\omega$ है।
$L_{i} = L_{f}$ को बराबर करने पर,हमें मिलता है: $I_{1}\omega_{1} + I_{2}\omega_{2} = (I_{1} + I_{2})\omega$।
अतः,प्रणाली की कोणीय गति $\omega = \frac{I_{1}\omega_{1} + I_{2}\omega_{2}}{I_{1} + I_{2}}$ है।
भाग $(b)$: प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $E_{i} = \frac{1}{2}I_{1}\omega_{1}^{2} + \frac{1}{2}I_{2}\omega_{2}^{2}$ है।
अंतिम गतिज ऊर्जा $E_{f} = \frac{1}{2}(I_{1} + I_{2})\omega^{2} = \frac{1}{2}(I_{1} + I_{2})\left(\frac{I_{1}\omega_{1} + I_{2}\omega_{2}}{I_{1} + I_{2}}\right)^{2} = \frac{(I_{1}\omega_{1} + I_{2}\omega_{2})^{2}}{2(I_{1} + I_{2})}$ है।
गतिज ऊर्जा में हानि $\Delta E = E_{i} - E_{f} = \frac{1}{2}I_{1}\omega_{1}^{2} + \frac{1}{2}I_{2}\omega_{2}^{2} - \frac{(I_{1}\omega_{1} + I_{2}\omega_{2})^{2}}{2(I_{1} + I_{2})}$ है।
इस व्यंजक को सरल करने पर,हमें $\Delta E = \frac{I_{1}I_{2}(\omega_{1} - \omega_{2})^{2}}{2(I_{1} + I_{2})}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $I_{1}, I_{2} > 0$ और $(\omega_{1} - \omega_{2})^{2} > 0$ (क्योंकि $\omega_{1} \neq \omega_{2}$),इसलिए $\Delta E > 0$,जिसका अर्थ है $E_{i} > E_{f}$।
गतिज ऊर्जा में यह हानि डिस्क की सतहों के बीच कार्य करने वाले घर्षण बल के विरुद्ध किए गए कार्य के कारण होती है,जब तक कि वे एक सामान्य कोणीय वेग प्राप्त नहीं कर लेतीं।

(B) पुरस्सरण (Precession) एक घूमते हुए पिंड की घूर्णन धुरी के अभिविन्यास (orientation) में होने वाला परिवर्तन है।
यह तब होता है जब किसी घूमती हुई वस्तु,जैसे कि लट्टू या जाइरोस्कोप,पर बाहरी टॉर्क लगाया जाता है,जिससे उसकी घूर्णन धुरी एक ऊर्ध्वाधर अक्ष के चारों ओर शंकु के आकार का पथ बनाती है।
यह घटना कोणीय संवेग के संरक्षण और कोणीय संवेग सदिश पर टॉर्क के प्रभाव का परिणाम है।