निम्नलिखित चार ग्राफों में से कौन सा ग्राफ एक समान त्रिकोणीय लैमिना के उसके आधार से $x$ दूरी पर स्थित एक समानांतर अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I$ के $x$ के साथ परिवर्तन को सबसे अच्छी तरह दर्शाता है?

$10 \ cm$ भुजा की लंबाई वाली एक वर्गाकार लैमिना $OABC$ को $O$ पर कीलकित (pivoted) किया गया है। चित्र में दिखाए अनुसार लैमिना पर बल कार्य करते हैं। यदि लैमिना स्थिर रहती है,तो $F$ का परिमाण क्या है?

$l$ लंबाई की एक समान छड़ को नगण्य त्रिज्या वाले एक ऊर्ध्वाधर शाफ्ट के एक सिरे पर धुरी पर रखा गया है। जब शाफ्ट $\omega$ कोणीय गति से घूमता है,तो छड़ उसके साथ $\theta$ कोण बनाती है (चित्र देखें)। $\theta$ ज्ञात करने के लिए,द्रव्यमान केंद्र $(CM)$ के परितः कोणीय संवेग के परिवर्तन की दर (दिशा कागज के अंदर की ओर) $\frac{m l^{2}}{12} \omega^{2} \sin \theta \cos \theta$ को $CM$ के परितः क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर बलों $F_{H}$ और $F_{V}$ द्वारा प्रदान किए गए टॉर्क के बराबर करें। तो $\theta$ का मान इस प्रकार है:

एक दृढ़ पिंड की सामान्य गति को $(i)$ द्रव्यमान केंद्र की एक अक्ष के परितः गति,और $(ii)$ द्रव्यमान केंद्र से गुजरने वाली तात्क्षणिक अक्ष के परितः गति के संयोजन के रूप में माना जा सकता है। ये अक्षें स्थिर होना आवश्यक नहीं है। उदाहरण के लिए,एक पतली एकसमान डिस्क पर विचार करें जिसे चित्र में दिखाए अनुसार एक द्रव्यमान रहित छड़ के किनारे पर क्षैतिज रूप से वेल्ड (दृढ़ता से स्थिर) किया गया है। जब डिस्क-छड़ प्रणाली को एक क्षैतिज घर्षण रहित तल पर मूल बिंदु के परितः कोणीय चाल $\omega$ के साथ घुमाया जाता है,तो किसी भी क्षण गति को $(i)$ डिस्क के द्रव्यमान केंद्र की $z$-अक्ष के परितः घूर्णन,और $(ii)$ डिस्क के द्रव्यमान केंद्र से गुजरने वाली एक तात्क्षणिक ऊर्ध्वाधर अक्ष के परितः घूर्णन (जैसा कि बिंदुओं $P$ और $Q$ के बदले हुए अभिविन्यास से देखा जा सकता है) के संयोजन के रूप में लिया जा सकता है। इस मामले में दोनों गतियों की कोणीय चाल $\omega$ समान है। अब चित्र में दिखाई गई दो समान प्रणालियों पर विचार करें: स्थिति $(a)$ डिस्क का फलक ऊर्ध्वाधर और $x-z$ तल के समानांतर है; स्थिति $(b)$ डिस्क का फलक $x-y$ तल के साथ $45^{\circ}$ का कोण बनाता है,इसका क्षैतिज व्यास $x$-अक्ष के समानांतर है। दोनों स्थितियों में,डिस्क को बिंदु $P$ पर वेल्ड किया गया है,और प्रणालियों को $z$-अक्ष के परितः स्थिर कोणीय चाल $\omega$ के साथ घुमाया जाता है।
$1.$ तात्क्षणिक अक्ष (द्रव्यमान केंद्र से गुजरने वाली) के परितः कोणीय चाल के संबंध में निम्नलिखित में से कौन सा कथन सही है?
$(A)$ यह दोनों स्थितियों के लिए $\sqrt{2} \omega$ है।
$(B)$ यह स्थिति $(a)$ के लिए $\omega$ है; और स्थिति $(b)$ के लिए $\frac{\omega}{\sqrt{2}}$ है।
$(C)$ यह स्थिति $(a)$ के लिए $\omega$ है; और स्थिति $(b)$ के लिए $\sqrt{2} \omega$ है।
$(D)$ यह दोनों स्थितियों के लिए $\omega$ है।
$2.$ तात्क्षणिक अक्ष (द्रव्यमान केंद्र से गुजरने वाली) के बारे में निम्नलिखित में से कौन सा कथन सही है?
$(A)$ यह दोनों स्थितियों $(a)$ और $(b)$ के लिए ऊर्ध्वाधर है।
$(B)$ यह स्थिति $(a)$ के लिए ऊर्ध्वाधर है; और स्थिति $(b)$ के लिए $x-z$ तल से $45^{\circ}$ पर है और डिस्क के तल में स्थित है।
$(C)$ यह स्थिति $(a)$ के लिए क्षैतिज है; और स्थिति $(b)$ के लिए $x-z$ तल से $45^{\circ}$ पर है और डिस्क के तल के लंबवत है।
$(D)$ यह स्थिति $(a)$ के लिए ऊर्ध्वाधर है; और स्थिति $(b)$ के लिए $x-z$ तल से $45^{\circ}$ पर है और डिस्क के तल के लंबवत है।
प्रश्न $1$ और $2$ के उत्तर दें।

डिस्क $A$ और डिस्क $B$ (जिसमें छेद है) का द्रव्यमान और त्रिज्या समान है,और उन पर एक डोरी लपेटी गई है जैसा कि दिखाया गया है। प्रत्येक निकाय की डोरी पर समान बल $F$ लगाया जाता है। घर्षण रोलिंग के लिए पर्याप्त है। समय $t$ के बाद,$A$ का वेग $v_A$ है और $B$ का वेग $v_B$ है,और उनकी गतिज ऊर्जा क्रमशः $k_A$ और $k_B$ है। तो:

$r$ त्रिज्या और $S$ विशिष्ट ऊष्मा वाला एक धातु का गोला अपने केंद्र से गुजरने वाली अक्ष पर $n$ चक्कर प्रति सेकंड की गति से घूम रहा है। इसे अचानक रोक दिया जाता है और इसकी ऊर्जा का $50 \%$ भाग इसके तापमान को बढ़ाने में उपयोग किया जाता है। तो,गोले के तापमान में वृद्धि है