एक समान छड़ (रेखीय प्रसार गुणांक $\alpha$) के तापमान में $\Delta T$ की सूक्ष्म वृद्धि करने पर,उसके लंब समद्विभाजक के परितः जड़त्व आघूर्ण $I$ में होने वाली वृद्धि ज्ञात कीजिए।

एक घूर्णन करती वस्तु का कोणीय संवेग $L$ है। यदि इसकी आवृत्ति दोगुनी कर दी जाए और इसकी गतिज ऊर्जा आधी कर दी जाए,तो इसका नया कोणीय संवेग क्या होगा?

$L$ लंबाई की एक छड़ जिसके एक सिरे पर $m$ द्रव्यमान का एक छोटा पिंड है,छड़ के मध्य बिंदु के परितः एक ऊर्ध्वाधर तल में $\omega$ की समान कोणीय गति से घूम रही है। घूर्णन के दौरान,किसी क्षण जब छड़ क्षैतिज होती है,तो पिंड छड़ से अलग हो जाता है लेकिन छड़ उसी $\omega$ के साथ घूमना जारी रखती है। पिंड ऊर्ध्वाधर ऊपर की ओर जाता है,वापस आता है और उसी बिंदु पर छड़ तक पहुँच जाता है। उस स्थान पर गुरुत्वीय त्वरण $g$ है।

एक समान डिस्क पर $F$ परिमाण के दो समान बल कार्य करते हैं। उनमें से एक डिस्क के स्पर्शरेखीय कार्य करता है,जबकि दूसरा डिस्क के केंद्र बिंदु पर कार्य करता है। डिस्क की सतह और जमीन की सतह के बीच घर्षण $nF$ है। यदि $r$ डिस्क की त्रिज्या है,तो $n$ का मान क्या होगा?

$1.5 \ kg$ द्रव्यमान और $0.5 \ m$ त्रिज्या वाली एक समान वृत्ताकार डिस्क एक क्षैतिज घर्षण रहित सतह पर स्थिर है। डिस्क की परिधि पर शीर्षों वाले एक समबाहु त्रिभुज $XYZ$ की तीन भुजाओं के अनुदिश एक साथ $F=0.5 \ N$ परिमाण के तीन समान बल लगाए जाते हैं (चित्र देखें)। बल लगाने के एक सेकंड बाद,डिस्क की कोणीय गति $\text{rad } s^{-1}$ में क्या होगी?

चित्र $1$ में दिखाए अनुसार एक व्यक्ति अपनी उंगली के सिरे के पास $M$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाली एक वृत्ताकार रिंग को घुमाता है। इस प्रक्रिया में,उंगली रिंग के भीतरी रिम के साथ संपर्क कभी नहीं खोती है। उंगली एक शंकु की सतह बनाती है,जिसे बिंदीदार रेखा द्वारा दिखाया गया है। रिंग और उंगली के संपर्क बिंदु द्वारा बनाए गए पथ की त्रिज्या $r$ है। उंगली $\omega_0$ कोणीय वेग के साथ घूमती है। घूमती हुई रिंग उस छोटे वृत्त के बाहर बिना फिसले लुढ़कती है जो रिंग और उंगली के संपर्क बिंदु द्वारा वर्णित है (चित्र $2$)। रिंग और उंगली के बीच घर्षण गुणांक $\mu$ है और गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण $g$ है।
$(1)$ रिंग की कुल गतिज ऊर्जा है
$[A]$ $M \omega_0^2 R^2$ $[B]$ $\frac{1}{2} M \omega_0^2(R-r)^2$ $[C]$ $M \omega_0^2(R-r)^2$ $[D]$ $\frac{3}{2} M \omega_0^2(R-r)^2$
$(2)$ $\omega_0$ का न्यूनतम मान जिसके नीचे रिंग नीचे गिर जाएगी,वह है
$[A]$ $\sqrt{\frac{g}{\mu(R-r)}}$ $[B]$ $\sqrt{\frac{2 g}{\mu(R-r)}}$ $[C]$ $\sqrt{\frac{3 g}{2 \mu(R-r)}}$ $[D]$ $\sqrt{\frac{g}{2 \mu(R-r)}}$
प्रश्न $(1)$ और $(2)$ के उत्तर दें: