Mix Example - System of Particles and Rotational Motion Questions in Hindi

(A) $M$ द्रव्यमान और $L$ लंबाई वाली एक पतली एकसमान छड़ का उसके लंब समद्विभाजक के परितः जड़त्व आघूर्ण:
$I_1 = \frac{ML^2}{12} \quad ...(1)$
जब छड़ को अर्धवृत्ताकार चाप में मोड़ा जाता है,तो इसकी लंबाई $L$,$r$ त्रिज्या वाले अर्धवृत्त की परिधि बन जाती है,इसलिए $L = \pi r$,जिससे $r = \frac{L}{\pi}$ प्राप्त होता है।
$M$ द्रव्यमान और $r$ त्रिज्या वाले अर्धवृत्ताकार चाप का उसके केंद्र से गुजरने वाली और उसके तल के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण:
$I_2 = Mr^2$
$r = \frac{L}{\pi}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$I_2 = M \left(\frac{L}{\pi}\right)^2 = \frac{ML^2}{\pi^2} \quad ...(2)$
अब,$I_1 : I_2$ का अनुपात ज्ञात करने पर:
$\frac{I_1}{I_2} = \frac{ML^2/12}{ML^2/\pi^2} = \frac{\pi^2}{12}$
चूंकि $\pi^2 \approx 9.87$,इसलिए $\frac{\pi^2}{12} \approx \frac{9.87}{12} < 1$.
अतः,अनुपात $I_1 : I_2 < 1$ होगा।

(B) माना वस्तु का वास्तविक वजन $w$ है और तराजू की दो भुजाओं की लंबाई $p$ और $q$ है।
स्थिति $1$: जब वस्तु को बाएं पलड़े में रखा जाता है,तो यह दाएं पलड़े में $6$ g वजन द्वारा संतुलित होती है।
आघूर्ण (मोमेंट) के सिद्धांत के अनुसार,$w \times p = 6 \times q$
$\Rightarrow \frac{p}{q} = \frac{6}{w} \quad ...(i)$
स्थिति $2$: जब वस्तु को दाएं पलड़े में रखा जाता है,तो यह बाएं पलड़े में $24$ g वजन द्वारा संतुलित होती है।
आघूर्ण (मोमेंट) के सिद्धांत के अनुसार,$24 \times p = w \times q$
$\Rightarrow \frac{p}{q} = \frac{w}{24} \quad ...(ii)$
$(i)$ और $(ii)$ की तुलना करने पर:
$\frac{6}{w} = \frac{w}{24}$
$w^2 = 6 \times 24 = 144$
$w = \sqrt{144} = 12$ g.
अतः,वस्तु का वास्तविक वजन $12$ g है।

(D) गोले के संतुलन में रहने के लिए,उसके भार $(mg)$ की क्रिया रेखा को अवरोध के किनारे से होकर गुजरना चाहिए या उसके पीछे होना चाहिए ताकि वह लुढ़के नहीं।
गोले के केंद्र,नत समतल के साथ संपर्क बिंदु और अवरोध के किनारे द्वारा निर्मित त्रिभुज पर विचार करें।
गोले के केंद्र से किनारे के क्षैतिज स्तर तक की ऊर्ध्वाधर दूरी $R \cos \theta$ है।
नत समतल से गोले के केंद्र की ऊँचाई $R$ है।
इसलिए,नत समतल के सापेक्ष किनारे की ऊर्ध्वाधर ऊँचाई $h = R - R \cos \theta$ है।
अतः,$h = R(1 - \cos \theta)$।

(C) ऊर्जा संरक्षण के सिद्धांत के अनुसार,जब छड़ क्षैतिज से ऊर्ध्वाधर स्थिति में गिरती है,तो स्थितिज ऊर्जा $(P.E.)$ में हुई हानि,घूर्णी गतिज ऊर्जा $(K.E.)$ में हुई वृद्धि के बराबर होती है।
स्थितिज ऊर्जा में हानि $= mg \frac{l}{2}$.
गतिज ऊर्जा में वृद्धि $= \frac{1}{2} I \omega^2$,जहाँ $I = \frac{ml^2}{3}$ कब्जे के परितः जड़त्व आघूर्ण है।
दोनों को बराबर करने पर: $mg \frac{l}{2} = \frac{1}{2} (\frac{ml^2}{3}) \omega^2$.
सरल करने पर: $mg l = \frac{ml^2}{3} \omega^2$,जिससे $\omega^2 = \frac{3g}{l}$ प्राप्त होता है।
ऊर्ध्वाधर स्थिति में,कब्जे की ओर कार्य करने वाला कुल बल छड़ के द्रव्यमान केंद्र के लिए अभिकेंद्र बल प्रदान करता है:
$F - mg = m a_c = m (\frac{l}{2}) \omega^2$.
$\omega^2$ का मान रखने पर: $F = mg + m (\frac{l}{2}) (\frac{3g}{l}) = mg + \frac{3mg}{2} = \frac{5mg}{2}$.

(B) बलाघूर्ण $\tau$ द्वारा विकसित शक्ति $P = \tau \omega$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\omega$ कोणीय वेग है।
चूँकि छड़ विरामावस्था से शुरू होती है,प्रारंभिक कोणीय वेग $\omega_0 = 0$ है।
एक स्थिर बलाघूर्ण $\tau$ दिए जाने पर,कोणीय त्वरण $\alpha$ स्थिर रहता है,जहाँ $\alpha = \frac{\tau}{I}$ ($I$ जड़त्व आघूर्ण है)।
समय $t$ पर कोणीय वेग $\omega = \omega_0 + \alpha t = 0 + \left(\frac{\tau}{I}\right) t = \frac{\tau}{I} t$ द्वारा दिया जाता है।
इसे शक्ति के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $P = \tau \left(\frac{\tau}{I} t\right) = \frac{\tau^2}{I} t$ प्राप्त होता है।
चूँकि $\tau$ और $I$ स्थिर हैं,इसलिए $P \propto t$ है।
यह मूल बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा को दर्शाता है,जो विकल्प $B$ में दिए गए ग्राफ के अनुरूप है।

(A) $1$. घिरनी के किनारे पर लगाया गया निरंतर बल $F$ कब्ज़े के चारों ओर $\tau = F \cdot R$ का निरंतर टॉर्क बनाता है,जहाँ $R$ घिरनी की त्रिज्या है।
$2$. न्यूटन के गति के दूसरे नियम के घूर्णी रूप के अनुसार,$\tau = I \alpha$,जहाँ $I$ जड़त्व आघूर्ण है और $\alpha$ कोणीय त्वरण है। चूँकि $\tau$ स्थिर है,इसलिए $\alpha$ भी स्थिर रहता है।
$3$. विराम अवस्था से शुरू करते हुए,समय $t$ पर कोणीय वेग $\omega = \alpha t$ द्वारा दिया जाता है। जैसे-जैसे $t$ बढ़ता है,$\omega$ रैखिक रूप से बढ़ता है।
$4$. स्थानांतरण दिशा में संतुलन बनाए रखने के लिए,कब्ज़े को लगाए गए बल $F$ को संतुलित करने के लिए एक प्रतिक्रिया बल $F_h$ लगाना पड़ता है। चूँकि घिरनी स्थानांतरण गति नहीं कर रही है,इसलिए घिरनी पर कुल बल शून्य होना चाहिए। इसलिए,कब्ज़े पर बल $F_h$ को हर समय लगाए गए बल $F$ के बराबर और विपरीत होना चाहिए। इस प्रकार,कब्ज़े पर बल स्थिर रहता है।

(C) मान लीजिए छड़ की लंबाई $l$ और उसका द्रव्यमान $m$ है। जब छड़ को क्षैतिज स्थिति से छोड़ा जाता है,तो यांत्रिक ऊर्जा के संरक्षण द्वारा,खोई हुई स्थितिज ऊर्जा ऊर्ध्वाधर स्थिति में पहुँचने पर प्राप्त घूर्णी गतिज ऊर्जा के बराबर होती है:
$mg(l/2) = (1/2)I\omega^2$
चूंकि एक सिरे पर कब्जेदार छड़ के लिए $I = ml^2/3$ होता है,इसलिए हमारे पास है:
$mgl/2 = (1/2)(ml^2/3)\omega^2$
$\omega^2 = 3g/l$
जब छड़ ऊर्ध्वाधर स्थिति में पहुँचती है,तो निचला आधा हिस्सा (द्रव्यमान $m/2$) अलग हो जाता है। ऊपरी आधा हिस्सा (द्रव्यमान $m/2$) शीर्ष पर कब्जेदार रहता है और उसी कोणीय वेग $\omega = \sqrt{3g/l}$ के साथ घूमना जारी रखता है।
अब,ऊपरी आधे हिस्से पर कार्य-ऊर्जा प्रमेय लागू करने पर,जैसे ही यह ऊर्ध्वाधर के साथ $\theta$ कोण तक ऊपर की ओर घूमता है:
गतिज ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta K = K_f - K_i = 0 - (1/2)I_{upper}\omega^2$ है,जहाँ $I_{upper} = (m/2)(l/2)^2/3 = ml^2/24$ है।
गुरुत्वाकर्षण द्वारा किया गया कार्य $W_g = -(m/2)g(h_{cm,f} - h_{cm,i}) = -(m/2)g((l/4) - (l/4)\cos\theta) = -(mgl/8)(1 - \cos\theta)$ है।
$W_g = \Delta K$ को बराबर करने पर:
$-(mgl/8)(1 - \cos\theta) = -(1/2)(ml^2/24)(3g/l)$
$(mgl/8)(1 - \cos\theta) = (mgl/16)$
$1 - \cos\theta = 1/2$
$\cos\theta = 1/2$
$\theta = 60^o$.

(C) छड़ को एक सिरे से $l/4$ की दूरी पर धुरी (pivot) पर रखा गया है। धुरी की द्रव्यमान केंद्र $(CM)$ से दूरी $d = |l/2 - l/4| = l/4$ है।
समांतर अक्ष प्रमेय के अनुसार,धुरी के परितः छड़ का जड़त्व आघूर्ण $I$ है:
$I = I_{CM} + md^2 = \frac{ml^2}{12} + m\left(\frac{l}{4}\right)^2 = \frac{ml^2}{12} + \frac{ml^2}{16} = \frac{4ml^2 + 3ml^2}{48} = \frac{7ml^2}{48}$.
जब छड़ को क्षैतिज स्थिति से मुक्त किया जाता है और वह ऊर्ध्वाधर स्थिति में पहुँचती है,तो द्रव्यमान केंद्र $h = l/4$ की ऊर्ध्वाधर दूरी नीचे गिरता है।
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,स्थितिज ऊर्जा में कमी = घूर्णन गतिज ऊर्जा में वृद्धि:
$mgh = \frac{1}{2} I \omega^2$
$mg\left(\frac{l}{4}\right) = \frac{1}{2} \left(\frac{7ml^2}{48}\right) \omega^2$
$\frac{mgl}{4} = \frac{7ml^2}{96} \omega^2$
$\omega^2 = \frac{mgl}{4} \cdot \frac{96}{7ml^2} = \frac{24g}{7l}$
$\omega = \sqrt{\frac{24g}{7l}}$.

(D) जब डोरी तन जाती है,तो बहुत कम समय अंतराल $\Delta t$ के लिए ब्लॉक और डिस्क दोनों पर एक आवेगी तनाव $T$ कार्य करता है।
ब्लॉक के लिए,आवेग-संवेग प्रमेय के अनुसार: $-T \Delta t = m v - m v_0$,जहाँ $v_0 = 5\, m/s$ प्रारंभिक वेग है और $v$ अंतिम वेग है।
डिस्क के लिए,कीलक (hinge) के परितः कोणीय आवेग-कोणीय संवेग प्रमेय के अनुसार: $(T \cdot r) \Delta t = I \omega$,जहाँ $I = \frac{1}{2} m r^2$ डिस्क का जड़त्व आघूर्ण है।
चूंकि डोरी तनी हुई है,इसलिए डिस्क के किनारे पर स्पर्शरेखीय वेग ब्लॉक के वेग के बराबर होना चाहिए,अतः $v = \omega r$,या $\omega = v/r$.
डिस्क के समीकरण में $\omega$ का मान रखने पर: $T \Delta t = \frac{I \omega}{r} = \frac{(\frac{1}{2} m r^2) (v/r)}{r} = \frac{1}{2} m v$.
ब्लॉक के समीकरण में $T \Delta t$ का मान रखने पर: $-(\frac{1}{2} m v) = m v - m v_0$.
पदों को व्यवस्थित करने पर: $m v_0 = m v + \frac{1}{2} m v = \frac{3}{2} m v$.
$v$ के लिए हल करने पर: $v = \frac{2}{3} v_0 = \frac{2}{3} \times 5 = \frac{10}{3}\, m/s$.

(A) यह निकाय मेज और आदमी से बना है। चूंकि मेज एक चिकनी सतह पर है और घूर्णन अक्ष के परितः निकाय पर कोई बाहरी बल आघूर्ण (torque) कार्य नहीं कर रहा है, इसलिए निकाय का कोणीय संवेग $L$ संरक्षित रहता है।
प्रारंभ में, आदमी मेज के किनारे पर केंद्र से $R$ दूरी पर है। निकाय का प्रारंभिक जड़त्व आघूर्ण $I_{initial} = I + MR^2$ है।
जब आदमी केंद्र की ओर आता है, तो घूर्णन अक्ष से उसकी दूरी शून्य हो जाती है। निकाय का अंतिम जड़त्व आघूर्ण $I_{final} = I + M(0)^2 = I$ है।
चूंकि $I_{final} < I_{initial}$ है और कोणीय संवेग $L = I\omega$ संरक्षित है, इसलिए $I_{initial}\omega_{initial} = I_{final}\omega_{final}$ होगा।
अतः, $\omega_{final} = \frac{I_{initial}}{I_{final}} \omega_{initial}$।
चूंकि $I_{initial} > I_{final}$ है, इसलिए $\omega_{final} > \omega_{initial}$ होगा।
इस प्रकार, मेज का कोणीय वेग अवश्य बढ़ेगा।

(B) घूमते हुए पिंड का कोणीय संवेग सदिश $\vec{L}$,$\vec{L} = I\vec{\omega}$ द्वारा दिया जाता है।
जब छड़ ऊर्ध्वाधर के साथ $\theta = 20^o$ के कोण पर एक सिरे से गुजरने वाली धुरी पर घूमती है,तो कोणीय संवेग सदिश $\vec{L}$ घूर्णन अक्ष पर नहीं होता है।
यह छड़ के लंबवत होता है। चूंकि छड़ ऊर्ध्वाधर के साथ $20^o$ का कोण बनाती है,इसलिए यह क्षैतिज के साथ $90^o - 20^o = 70^o$ का कोण बनाती है।
कोणीय संवेग सदिश $\vec{L}$ छड़ के लंबवत होता है,इसलिए यह क्षैतिज तल के साथ $20^o$ का कोण बनाता है।
जैसे-जैसे छड़ घूमती है,कोणीय संवेग सदिश $\vec{L}$ चित्र में दिखाए अनुसार क्षैतिज के साथ $20^o$ के कोण पर नीचे की ओर इंगित करता है।

(B) घूमती हुई छड़ का कोणीय संवेग सदिश $\vec{L}$ घूर्णन अक्ष के साथ संरेखित नहीं है। जैसे-जैसे छड़ घूमती है,कोणीय संवेग सदिश की दिशा लगातार बदलती रहती है,जो एक शंकु का निर्माण करती है।
चूंकि कोणीय संवेग सदिश $\vec{L}$ समय के साथ बदल रहा है,इसलिए छड़ पर एक बाहरी टॉर्क $\vec{\tau} = \frac{d\vec{L}}{dt}$ कार्य कर रहा होगा।
कोणीय संवेग में परिवर्तन क्षैतिज तल में होता है क्योंकि छड़ ऊर्ध्वाधर अक्ष के चारों ओर घूमती है।
इसलिए,इस गति को बनाए रखने के लिए आवश्यक टॉर्क क्षैतिज होना चाहिए।

(C) कण $(0, 8)$ से शुरू होता है और $\vec{v} = 3\hat{i}\,m/s$ के वेग से गति करता है।
$t = 5\,s$ समय के बाद,कण की स्थिति:
$x = x_0 + v_x t = 0 + 3 \times 5 = 15\,m$
$y = y_0 + v_y t = 8 + 0 \times 5 = 8\,m$
स्थिति सदिश $\vec{r} = 15\hat{i} + 8\hat{j}$ है।
मूल बिंदु से दूरी $r = \sqrt{15^2 + 8^2} = \sqrt{225 + 64} = \sqrt{289} = 17\,m$ है।
कोणीय वेग $\omega = \frac{v_{\perp}}{r}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $v_{\perp}$ स्थिति सदिश के लंबवत वेग का घटक है।
ज्यामिति से,$\sin \theta = \frac{y}{r} = \frac{8}{17}$ है।
$\vec{r}$ के लंबवत वेग का घटक $v_{\perp} = v \sin \theta = 3 \times \frac{8}{17} = \frac{24}{17}\,m/s$ है।
अतः,$\omega = \frac{v_{\perp}}{r} = \frac{24/17}{17} = \frac{24}{289}\,rad/s$।

(D) $1)$ हम जानते हैं कि समचतुर्भुज का विकर्ण उसकी भुजा की लंबाई के समानुपाती होता है।
$\Rightarrow$ विकर्णों का संबंधित अनुपात $5:3:2$ है।
माना कि विकर्णों की लंबाई क्रमशः $5y, 3y,$ और $2y$ है,जैसा कि चित्र में दिखाया गया है।
$2)$ अब,$A_3$ का $A_0$ के सापेक्ष वेग कुल लंबाई $A_0 A_3$ के परिवर्तन की दर है:
$V_{A_3} - V_{A_0} = \frac{d(A_0 A_3)}{dt}$
चूंकि $A_0$ स्थिर है,$V_{A_0} = 0$। कुल लंबाई $A_0 A_3 = 5y + 3y + 2y = 10y$ है।
$V - 0 = \frac{d(10y)}{dt}$
$V = 10 \frac{dy}{dt} \dots (1)$
$3)$ इसी प्रकार,$A_3$ का $A_2$ के सापेक्ष वेग लंबाई $A_2 A_3$ के परिवर्तन की दर है:
$V_{A_3} - V_{A_2} = \frac{d(A_2 A_3)}{dt}$
$V - V_{A_2} = \frac{d(2y)}{dt}$
$V - V_{A_2} = 2 \frac{dy}{dt} \dots (2)$
$4)$ समीकरण $(1)$ से,$\frac{dy}{dt} = \frac{V}{10}$ प्राप्त होता है।
इस मान को समीकरण $(2)$ में रखने पर:
$V - V_{A_2} = 2 \left( \frac{V}{10} \right)$
$V - V_{A_2} = 0.2V$
$V_{A_2} = V - 0.2V = 0.8V$।
अतः,$A_2$ का वेग $0.8V$ है।

(C) छड़ का द्रव्यमान केंद्र निचले सिरे (फर्श पर धुरी बिंदु) से $r = L/2$ की दूरी पर है।
जब छड़ $\alpha$ कोणीय त्वरण के साथ घूमती है,तो द्रव्यमान केंद्र का स्पर्शरेखीय त्वरण $a_t = r \alpha = (L/2) \alpha$ होता है।
यह स्पर्शरेखीय त्वरण छड़ के लंबवत होता है। ऊर्ध्वाधर दिशा में इस त्वरण का घटक (जो द्रव्यमान केंद्र के त्वरण $A$ की दिशा है) $A = a_t \sin \theta$ द्वारा दिया जाता है।
$a_t$ का मान रखने पर,हमें $A = (L/2) \alpha \sin \theta$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों को $2$ से गुणा करने पर,हमें $2A = (L\alpha) \sin \theta$ प्राप्त होता है।

(B) स्थिर कोणीय वेग $\omega$ के साथ शुद्ध लोटनिक गति करती डिस्क के लिए,द्रव्यमान केंद्र का वेग $v_{cm} = R\omega$ है।
केंद्र $C$ के समान क्षैतिज स्तर पर स्थित बिंदु $P$ के लिए,वेग सदिश $\vec{v}_P$,स्थानांतरण वेग $\vec{v}_{cm}$ और स्पर्शरेखीय वेग $\vec{v}_{rot} = \vec{\omega} \times \vec{r}$ का सदिश योग है।
चूंकि $\vec{v}_{cm}$ क्षैतिज है और बिंदु $P$ पर $\vec{v}_{rot}$ ऊर्ध्वाधर है,इसलिए परिमाण $v_P = \sqrt{v_{cm}^2 + (R\omega)^2} = \sqrt{2} v_{cm}$ है। वेग सदिश क्षैतिज के साथ $45^o$ का कोण बनाता है।
बिंदु $P$ का त्वरण पूरी तरह से अभिकेंद्री है,जो केंद्र $C$ की ओर निर्देशित है,जो कि क्षैतिज है।
अतः,वेग सदिश (क्षैतिज के साथ $45^o$ पर) और त्वरण सदिश (क्षैतिज) के बीच का कोण $45^o$ है।

(C) बिना फिसले लुढ़कने वाली रिंग के लिए,द्रव्यमान केंद्र का वेग $u$ है और कोणीय वेग $\omega = u/R$ है।
उच्चतम बिंदु $B$ का वेग $v_B = u + R\omega = u + u = 2u$ है।
उच्चतम बिंदु $B$ का त्वरण पूरी तरह से अभिकेंद्री है,जो रिंग के केंद्र की ओर निर्देशित है,जिसे $a_c = R\omega^2 = R(u/R)^2 = u^2/R$ द्वारा दिया जाता है।
किसी भी बिंदु पर पथ की वक्रता त्रिज्या $R'$ को $R' = v^2 / a_n$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $v$ कण का वेग है और $a_n$ अभिलंब (अभिकेंद्री) त्वरण है।
उच्चतम बिंदु $B$ के लिए मान प्रतिस्थापित करने पर:
$R' = \frac{(2u)^2}{u^2/R} = \frac{4u^2}{u^2/R} = 4R$.

(C) शुद्ध लोटनिक गति के लिए,जमीन के साथ संपर्क बिंदु का वेग शून्य होना चाहिए।
जब दिखाए गए अनुसार आंतरिक त्रिज्या $r$ पर लिपटे धागे पर $F$ बल लगाया जाता है,तो यह द्रव्यमान केंद्र के चारों ओर एक टॉर्क बनाता है जो स्पूल को दक्षिणावर्त घुमाने की प्रवृत्ति रखता है।
जैसे ही स्पूल दक्षिणावर्त घूमता है,जमीन के साथ संपर्क बिंदु में बाईं ओर फिसलने की प्रवृत्ति होती है। इसका विरोध करने के लिए,स्थैतिक घर्षण $f$ दाईं ओर कार्य करता है।
हालाँकि,संपर्क बिंदु $P$ के चारों ओर टॉर्क का विश्लेषण करें। बल $F$ के कारण टॉर्क $\tau_P = F(R-r)$ दक्षिणावर्त दिशा में है। चूंकि यह टॉर्क शून्य नहीं है,इसलिए स्पूल में दक्षिणावर्त दिशा में कोणीय त्वरण $\alpha$ होगा।
शुद्ध लोटनिक गति के लिए,स्पूल को $a_{cm} = \alpha R$ त्वरण के साथ दाईं ओर गति करनी चाहिए।
बलों पर विचार करने पर: $F + f = m a_{cm}$ (जहाँ $f$ दाईं ओर कार्य करने वाला घर्षण है)।
द्रव्यमान केंद्र के चारों ओर टॉर्क पर विचार करने पर: $F r + f R = I \alpha$।
चूंकि स्पूल दाईं ओर गति करता है और दक्षिणावर्त घूमता है,इसलिए धागा और अधिक लिपटता है। इस प्रकार,स्पूल दाईं ओर गति करता है और घर्षण दाईं ओर कार्य करता है।

(B) बिना फिसले लुढ़कने वाले ठोस बेलन के लिए,कुल ऊर्जा संरक्षित रहती है। मान लीजिए $A$ और $B$ के बीच ऊर्ध्वाधर ऊँचाई का अंतर $H$ है।
बिंदु $B$ पर,बेलन खुरदरे ढलान के निचले हिस्से पर पहुँच जाता है। ठोस बेलन $(I = \frac{1}{2}mR^2)$ के लिए स्थानांतरीय गतिज ऊर्जा $K_T$ और घूर्णन गतिज ऊर्जा $K_R$ के बीच संबंध $K_T = 2K_R$ होता है।
ऊर्जा संरक्षण के नियम से,$mgH = K_T + K_R = 2K_R + K_R = 3K_R$। अतः,$K_R = \frac{1}{3}mgH$ और $K_T = \frac{2}{3}mgH$।
$B$ से $C$ तक की सतह चिकनी है,इसलिए टॉर्क लगाने के लिए कोई घर्षण बल नहीं होता है। अतः,कोणीय वेग $\omega$ और घूर्णन गतिज ऊर्जा $K_R$ स्थिर रहते हैं।
$B$ से $C$ तक खोई गई स्थितिज ऊर्जा पूरी तरह से स्थानांतरीय गतिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है। यदि $B$ और $C$ के बीच ऊर्ध्वाधर ऊँचाई का अंतर भी $H$ है,तो अतिरिक्त प्राप्त स्थानांतरीय गतिज ऊर्जा $mgH$ है।
$C$ पर कुल स्थानांतरीय गतिज ऊर्जा $K_{T,C} = K_{T,B} + mgH = \frac{2}{3}mgH + mgH = \frac{5}{3}mgH$ है।
$C$ पर घूर्णन गतिज ऊर्जा $K_{R,C} = K_{R,B} = \frac{1}{3}mgH$ है।
अतः अनुपात $\frac{K_{T,C}}{K_{R,C}} = \frac{\frac{5}{3}mgH}{\frac{1}{3}mgH} = 5$ है।

(D) माना गोले पर कार्य करने वाला घर्षण बल $f$ समतल के ऊपर की ओर है।
$M$ द्रव्यमान के तख्ते के लिए,समतल के अनुदिश गति का समीकरण है:
$M a_1 = M g \sin \theta + f$ --- $(1)$
जहाँ $a_1$ तख्ते का समतल के नीचे की ओर त्वरण है।
$m$ द्रव्यमान के गोले के लिए,माना $a_2$ तख्ते के सापेक्ष गोले का नीचे की ओर त्वरण है। गोले के केंद्र के परितः आघूर्ण (torque) का समीकरण है:
$f \cdot r = I \alpha = (\frac{1}{2} m r^2) \alpha$
चूंकि गोला तख्ते पर बिना फिसले लुढ़कता है,$a_2 = \alpha r$,इसलिए $f = \frac{1}{2} m a_2$,जिससे $a_2 = \frac{2f}{m}$ प्राप्त होता है।
तख्ते के सापेक्ष गोले के लिए गति का समीकरण है:
$m a_2 = m g \sin \theta - f - m a_1$ --- $(2)$
समीकरण $(1)$ से $a_1 = g \sin \theta + \frac{f}{M}$ का मान $(2)$ में रखने पर:
$m (\frac{2f}{m}) = m g \sin \theta - f - m (g \sin \theta + \frac{f}{M})$
$2f = m g \sin \theta - f - m g \sin \theta - \frac{m f}{M}$
$3f = - \frac{m f}{M}$
$f (3 + \frac{m}{M}) = 0$
चूंकि $(3 + \frac{m}{M}) \neq 0$,इसलिए $f = 0$ प्राप्त होता है।

(D) मान लीजिए तख्ते का द्रव्यमान $M$ है और गोले का द्रव्यमान $m$ है। तख्ते का त्वरण $a_p$ और गोले का त्वरण $a_s$ है। चूंकि गोला फिसलता नहीं है,इसलिए तख्ते के सापेक्ष गोले के संपर्क बिंदु का त्वरण शून्य होना चाहिए। घर्षण $f$ गोले पर आगे की दिशा में और तख्ते पर पीछे की दिशा में कार्य करता है। गोले के लिए,$f = m a_s$ और $\tau = f R = I \alpha = (\frac{2}{5} m R^2) \alpha$। चूंकि फिसलन नहीं है,$a_s = \alpha R$,इसलिए $f = \frac{2}{5} m a_s$। इसका अर्थ है $a_s = \frac{f}{m}$। तख्ते का त्वरण $a_p = \frac{F - f}{M}$ है। ऐसे निकायों के लिए सामान्यतः $a_s < a_p$ सत्य होता है,इसलिए कथन $A$ सही है। गोले पर घर्षण द्वारा किया गया कार्य $W_f = \Delta K_{sphere} = K_{trans} + K_{rot} = \frac{1}{2} m v_s^2 + \frac{1}{2} I \omega^2$ है। चूंकि $v_s = \omega R$,$W_f = \frac{1}{2} m v_s^2 + \frac{1}{2} (\frac{2}{5} m R^2) (\frac{v_s}{R})^2 = \frac{1}{2} m v_s^2 + \frac{1}{5} m v_s^2 = \frac{7}{10} m v_s^2$,जो गोले की कुल गतिज ऊर्जा है। अतः,कथन $B$ सही है। कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,निकाय (तख्ता + गोला) पर सभी बलों द्वारा किया गया कुल कार्य कुल गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है। केवल बाहरी बल $F$ कार्य कर रहा है। घर्षण एक आंतरिक बल है,इसलिए निकाय पर इसका शुद्ध कार्य शून्य है। अतः,$W_F = \Delta K_{total}$। कथन $C$ भी सही है। चूंकि सभी कथन $A, B,$ और $C$ सही हैं,इसलिए गलत कथन 'उपरोक्त में से कोई नहीं' है।

(A) निकाय एक क्षैतिज सतह पर बिना फिसले लुढ़क रहा है। जमीन के साथ संपर्क बिंदु तात्क्षणिक घूर्णन अक्ष $(IAR)$ है।
शुद्ध लोटनिक गति के लिए,रिंग के केंद्र का वेग $v_0 = R\omega$ है,जहाँ $\omega$ कोणीय वेग है।
निकाय की गतिज ऊर्जा $KE = \frac{1}{2} I_{IAR} \omega^2$ द्वारा दी जाती है।
सबसे पहले,हम संपर्क बिंदु के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{IAR}$ की गणना करते हैं।
रिंग का द्रव्यमान $m$ और त्रिज्या $R$ है। कणों के द्रव्यमान $m$,$2m$,और $m$ हैं जो केंद्र के सापेक्ष क्रमशः $(0, R)$,$(-R, 0)$,और $(R, 0)$ स्थितियों पर हैं।
संपर्क बिंदु $(0, -R)$ पर है।
संपर्क बिंदु से कणों की दूरी के वर्ग:
$(0, R)$ पर $m$ द्रव्यमान के कण के लिए: $r_1^2 = 0^2 + (R - (-R))^2 = (2R)^2 = 4R^2$.
$(-R, 0)$ पर $2m$ द्रव्यमान के कण के लिए: $r_2^2 = (-R - 0)^2 + (0 - (-R))^2 = R^2 + R^2 = 2R^2$.
$(R, 0)$ पर $m$ द्रव्यमान के कण के लिए: $r_3^2 = (R - 0)^2 + (0 - (-R))^2 = R^2 + R^2 = 2R^2$.
$m$ द्रव्यमान की रिंग के लिए,$I_{ring, IAR} = I_{cm} + mR^2 = mR^2 + mR^2 = 2mR^2$.
कुल $I_{IAR} = m(4R^2) + 2m(2R^2) + m(2R^2) + 2mR^2 = 4mR^2 + 4mR^2 + 2mR^2 + 2mR^2 = 12mR^2$.
$I_{IAR}$ और $\omega = v_0/R$ का मान गतिज ऊर्जा के सूत्र में रखने पर:
$KE = \frac{1}{2} (12mR^2) (v_0/R)^2 = 6mR^2 (v_0^2/R^2) = 6mv_0^2$.

(C) गोले के रुकने के लिए,घर्षण के कारण लगने वाला कुल आवेग (impulse) रैखिक और कोणीय दोनों गतियों को रोकना चाहिए।
मान लीजिए गोले का द्रव्यमान $m$ है और केंद्र के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{2}{5}mR^2$ है।
घर्षण बल $f$ रैखिक गति का विरोध करने के लिए पीछे की दिशा में कार्य करता है,और टॉर्क $\tau = fR$ कोणीय गति का विरोध करने के लिए कार्य करता है।
मान लीजिए गोले को रुकने में लगा समय $t$ है।
रैखिक गति के लिए आवेग-संवेग प्रमेय से: $f t = m v_0$.
कोणीय आवेग-संवेग प्रमेय से: $\tau t = I \omega_0$,जो $(fR) t = (\frac{2}{5}mR^2) \omega_0$ देता है।
कोणीय समीकरण में $ft = m v_0$ प्रतिस्थापित करने पर: $(m v_0) R = \frac{2}{5} m R^2 \omega_0$.
इसे सरल करने पर,हमें $v_0 = \frac{2}{5} \omega_0 R$ या $5v_0 = 2\omega_0 R$ प्राप्त होता है।

(D) मान लीजिए कि निचली स्थिति में,$v$ द्रव्यमान केंद्र की रैखिक गति है और $\omega$ इसके केंद्र के परितः घूर्णन की कोणीय गति है।
यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण के नियम से,खोई हुई स्थितिज ऊर्जा प्राप्त गतिज ऊर्जा के बराबर होती है:
$Mgl = \frac{1}{2} M v^2 + \frac{1}{2} I_{cm} \omega^2$
चूंकि गोला बिना फिसले लुढ़कता है,$v = R\omega$ और $I_{cm} = \frac{2}{5}MR^2$.
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$Mgl = \frac{1}{2} M v^2 + \frac{1}{2} (\frac{2}{5} M R^2) (\frac{v}{R})^2$
$Mgl = \frac{1}{2} M v^2 + \frac{1}{5} M v^2 = \frac{7}{10} M v^2$
$v = \sqrt{\frac{10gl}{7}}$
बिंदु $P$ के परितः कोणीय संवेग $L$,द्रव्यमान केंद्र के परितः कोणीय संवेग और $P$ के परितः द्रव्यमान केंद्र के कोणीय संवेग का योग है:
$L = I_{cm} \omega + Mvl$
$L = (\frac{2}{5} M R^2) (\frac{v}{R}) + Mvl = \frac{2}{5} MRv + Mvl$
$L = Mv (l + \frac{2}{5}R)$
$v = \sqrt{\frac{10gl}{7}}$ रखने पर:
$L = M \sqrt{\frac{10gl}{7}} [l + \frac{2}{5}R]$

(A) द्रव्यमान केंद्र $(C.M.)$ की स्थानांतरण गति के लिए:
$F + f = ma$ (जहाँ $f$ घर्षण बल है)
$C.M.$ के परितः घूर्णन गति के लिए:
$R(F - f) = I\alpha$
शुद्ध लोटनिक गति के लिए,शर्त $a = R\alpha$ है,जिसका अर्थ है $\alpha = a/R$.
घूर्णन गति के समीकरण में $\alpha$ का मान रखने पर:
$R(F - f) = I(a/R) \implies F - f = \frac{I}{R^2} a$
स्थानांतरण गति के समीकरण से,$a = \frac{F + f}{m}$. यह मान रखने पर:
$F - f = \frac{I}{R^2} \left( \frac{F + f}{m} \right)$
$mR^2(F - f) = I(F + f)$
$F(mR^2 - I) = f(mR^2 + I)$
$f = F \frac{mR^2 - I}{mR^2 + I}$
चिकनी सतह पर बाहरी घर्षण की आवश्यकता के बिना शुद्ध लोटनिक गति होने के लिए,हमें $f = 0$ की आवश्यकता है।
इसका अर्थ है $mR^2 - I = 0$,या $I = mR^2$.
दिए गए विकल्पों में से,एक पतली पाइप (या रिंग) का जड़त्व आघूर्ण उसके केंद्रीय अक्ष के परितः $I = mR^2$ होता है।

(A) जब डिस्क को खुरदरी सतह पर रखा जाता है,तो फिसलन होती है। संपर्क बिंदु पर सापेक्ष गति का विरोध करने के लिए,गतिज घर्षण $f$ वेग $v_0$ की विपरीत दिशा में कार्य करता है।
रेखीय गति के लिए,घर्षण बल $f$ मंदन $a = \frac{f}{m}$ प्रदान करता है।
घूर्णी गति के लिए,द्रव्यमान केंद्र के परितः घर्षण के कारण टॉर्क $\tau = f \cdot r$ है। चूंकि टॉर्क प्रारंभिक कोणीय वेग $\omega_0$ का विरोध करता है,यह कोणीय मंदन $\alpha = \frac{\tau}{I} = \frac{f \cdot r}{\frac{1}{2} m r^2} = \frac{2f}{mr}$ प्रदान करता है।
यदि डिस्क $t$ समय के बाद स्थिर हो जाती है,तो रेखीय वेग और कोणीय वेग दोनों एक साथ शून्य हो जाते हैं:
$v_0 - at = 0 \implies t = \frac{v_0}{a} = \frac{v_0 m}{f}$
$\omega_0 - \alpha t = 0 \implies t = \frac{\omega_0}{\alpha} = \frac{\omega_0 mr}{2f}$
समय $t$ के लिए दोनों समीकरणों की तुलना करने पर:
$\frac{v_0 m}{f} = \frac{\omega_0 mr}{2f}$
$\frac{v_0}{\omega_0 r} = \frac{1}{2}$

(A) माना ठोस गोले का द्रव्यमान $M$ और त्रिज्या $R$ है। द्रव्यमान केंद्र के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{2}{5}MR^2$ है।
रेखीय गति के लिए न्यूटन का दूसरा नियम लागू करने पर: $F + f = Ma$,जहाँ $f$ घर्षण बल है।
द्रव्यमान केंद्र के परितः आघूर्ण का समीकरण: $F(R/2) - fR = I\alpha = (\frac{2}{5}MR^2)\alpha$.
चूंकि संपर्क बिंदु पर कोई फिसलन नहीं है,द्रव्यमान केंद्र का त्वरण $a = R\alpha$,इसलिए $\alpha = a/R$.
$\alpha$ का मान रखने पर: $F/2 - f = \frac{2}{5}Ma \implies f = F/2 - \frac{2}{5}Ma$.
रेखीय समीकरण में $f$ का मान रखने पर: $F + F/2 - \frac{2}{5}Ma = Ma \implies \frac{3F}{2} = \frac{7}{5}Ma \implies a = \frac{15F}{14M}$.
कोणीय त्वरण $\alpha = a/R = \frac{15F}{14MR}$ है।
शीर्ष बिंदु का त्वरण $a_{top} = a + R\alpha = a + a = 2a$ होगा।
अतः,$a_{top} = 2 \times \frac{15F}{14M} = \frac{15F}{7M}$.

(B) शुद्ध लोटनिक गति (pure rolling) के लिए,संपर्क बिंदु $P$ को सतह के सापेक्ष स्थिर होना चाहिए।
मान लीजिए $a_{cm}$ द्रव्यमान केंद्र का त्वरण है और $\alpha$ कोणीय त्वरण है।
शुद्ध लोटनिक गति के लिए शर्त $a_{cm} = R\alpha$ है।
रेखीय गति के लिए न्यूटन का दूसरा नियम लागू करने पर: $F - f = M a_{cm} \Rightarrow a_{cm} = \frac{F - f}{M}$।
द्रव्यमान केंद्र के परितः घूर्णन गति के लिए न्यूटन का दूसरा नियम लागू करने पर: $\tau = I\alpha \Rightarrow fR = I\alpha \Rightarrow \alpha = \frac{fR}{I}$।
इन मानों को लोटनिक गति की शर्त में रखने पर: $\frac{F - f}{M} = R \left( \frac{fR}{I} \right) = \frac{fR^2}{I}$।
$F - f = \frac{M R^2}{I} f \Rightarrow F = f \left( 1 + \frac{M R^2}{I} \right)$।
चूंकि $F$ धनात्मक है,इसलिए $f$ भी धनात्मक होना चाहिए,जिसका अर्थ है कि यह $F$ की दिशा में (आगे की दिशा में) कार्य करता है।

(D) केवल स्थानांतरण गति के कारण,फिसलने की प्रवृत्ति का विरोध करने के लिए घर्षण बल $f^{\prime}$ को पीछे की ओर कार्य करना चाहिए।
केवल घूर्णन गति के कारण,बल $F$ (जो द्रव्यमान केंद्र $C$ के ऊपर लगाया गया है) द्वारा उत्पन्न टॉर्क घूर्णन की प्रवृत्ति पैदा करता है,जो संपर्क बिंदु पर आगे की ओर घर्षण बल $f^{\prime \prime}$ बनाता है।
इस प्रकार,शुद्ध घर्षण बल की दिशा $f^{\prime}$ और $f^{\prime \prime}$ के सापेक्ष परिमाण पर निर्भर करती है।
चूंकि द्रव्यमान केंद्र $C$ के ऊपर बल $F$ के अनुप्रयोग बिंदु की सटीक ऊंचाई निर्दिष्ट नहीं है,इसलिए इन विपरीत घर्षण घटकों के सापेक्ष परिमाण निर्धारित नहीं किए जा सकते हैं।
इसलिए,शुद्ध घर्षण बल की दिशा की व्याख्या नहीं की जा सकती है।

(B) जब स्पूल की आंतरिक त्रिज्या $r$ (बाहरी त्रिज्या $R$ के साथ) पर लंबवत ऊपर की ओर बल $F$ लगाया जाता है,तो यह स्पूल के द्रव्यमान केंद्र के परितः एक टॉर्क उत्पन्न करता है।
चूंकि बल केंद्र के दाईं ओर लगाया जाता है,इसलिए यह द्रव्यमान केंद्र के परितः दक्षिणावर्त (clockwise) टॉर्क उत्पन्न करता है।
यह टॉर्क स्पूल को दक्षिणावर्त दिशा में घुमाने की प्रवृत्ति रखता है।
इस घूर्णन के कारण,जमीन के साथ स्पूल का संपर्क बिंदु बाईं ओर जाने की प्रवृत्ति रखता है।
इसलिए,इस गति की प्रवृत्ति का विरोध करने के लिए स्थैतिक घर्षण बल $f$ विपरीत दिशा में,यानी दाईं ओर कार्य करता है।

(C) रैखिक संवेग संरक्षण के नियम से,द्रव्यमान केंद्र का वेग $(v_{cm})$ इस प्रकार है:
$m(2v) - m(v) = (2m)v_{cm} \Rightarrow v_{cm} = v/2$ दाईं ओर।
द्रव्यमान केंद्र के परितः कोणीय संवेग संरक्षण के नियम से:
$L_i = L_f$
$m(2v)(b/2) + m(v)(b/2) = I\omega$
जहाँ $I = m(b/2)^2 + m(b/2)^2 = mb^2/2$ है।
$(3/2)mvb = (mb^2/2)\omega \Rightarrow \omega = 3v/b$।
शुरुआत में $y = b/2$ पर स्थित स्केटर की गति द्रव्यमान केंद्र के स्थानांतरण और उसके परितः घूर्णन का संयोजन है:
$x(t) = v_{cm}t + (b/2)\sin(\omega t) = 0.5vt + 0.5b\sin(3vt/b)$
$y(t) = (b/2)\cos(\omega t) = 0.5b\cos(3vt/b)$
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(B) माना वलय $A$ का द्रव्यमान $m$ है और निकाय $B$ का द्रव्यमान $m$ है। प्रारंभ में,वलय बिना फिसले लुढ़क रही है,इसलिए इसका कोणीय वेग $\omega = v/R$ है। कुल प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $K_i = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2 = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}(mR^2)(v/R)^2 = mv^2$ है।
अधिकतम ऊँचाई $h$ पर,वलय और निकाय $B$ एक साथ सामान्य क्षैतिज वेग $v'$ के साथ चलते हैं। क्षैतिज दिशा में रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार: $mv = (m + m)v'$,जिससे हमें $v' = v/2$ प्राप्त होता है।
चूंकि सभी सतहें चिकनी हैं,इसलिए कोई घर्षण नहीं है,अतः गति के दौरान वलय का कोणीय वेग $\omega$ स्थिर रहता है।
यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण के नियम का उपयोग करते हुए:
$K_i = K_f + U_f$
$mv^2 = \frac{1}{2}(m+m)(v')^2 + \frac{1}{2}I\omega^2 + mgh$
$mv^2 = \frac{1}{2}(2m)(v/2)^2 + \frac{1}{2}(mR^2)(v/R)^2 + mgh$
$mv^2 = \frac{1}{4}mv^2 + \frac{1}{2}mv^2 + mgh$
$mv^2 = \frac{3}{4}mv^2 + mgh$
$mgh = mv^2 - \frac{3}{4}mv^2 = \frac{1}{4}mv^2$
$h = \frac{v^2}{4g}$

(C) निकाय का द्रव्यमान केंद्र $(CM)$ छड़ के मध्य बिंदु पर है। प्रत्येक पिंड की $CM$ से दूरी $r = L/2$ है।
आवेग $J = MV$ एक सिरे पर लगाया जाता है। छड़ के लंबवत आवेग का घटक $J_{\perp} = J \sin 30^{\circ} = MV \sin 30^{\circ} = MV(1/2) = MV/2$ है।
$CM$ के परितः कोणीय आवेग $\tau_{impulse} = J_{\perp} \times r = (MV/2) \times (L/2) = MVL/4$ है।
कोणीय आवेग कोणीय संवेग में परिवर्तन के बराबर होता है: $\tau_{impulse} = I \omega$,जहाँ $I$ $CM$ के परितः जड़त्व आघूर्ण है।
$CM$ के परितः दोनों पिंडों का जड़त्व आघूर्ण $I = M(L/2)^2 + M(L/2)^2 = 2M(L^2/4) = ML^2/2$ है।
कोणीय आवेग को कोणीय संवेग में परिवर्तन के बराबर रखने पर:
$ML^2/2 \times \omega = MVL/4$
$\omega$ के लिए हल करने पर:
$\omega = \frac{MVL/4}{ML^2/2} = \frac{MVL}{4} \times \frac{2}{ML^2} = \frac{V}{2L}$.
अतः,कोणीय वेग $\frac{V}{2L}$ है।

(A) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 2 \, kg$,लंबाई $L = 1 \, m$,आवेग $J = 10 \, Ns$.
छड़ के ऊपरी सिरे के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{1}{3} m L^2$ है।
मान रखने पर: $I = \frac{1}{3} \times 2 \times (1)^2 = \frac{2}{3} \, kg \cdot m^2$.
कोणीय आवेग कोणीय संवेग में परिवर्तन के बराबर होता है:
$J \times L = I \omega - 0$
$10 \times 1 = \frac{2}{3} \omega$
$\omega = \frac{10 \times 3}{2} = 15 \, rad/s$.
प्रभाव के ठीक बाद छड़ की गतिज ऊर्जा इस प्रकार है:
$KE = \frac{1}{2} I \omega^2$
$KE = \frac{1}{2} \times \left(\frac{2}{3}\right) \times (15)^2$
$KE = \frac{1}{3} \times 225 = 75 \, J$.

(B) छड़ अपने द्रव्यमान केंद्र $(C.M.)$ के परितः स्थानांतरण और घूर्णन दोनों गति करेगी।
रैखिक संवेग संरक्षण के नियम से:
$m v_0 = M V_{CM} \implies V_{CM} = \frac{m v_0}{M} \dots(1)$
$C.M.$ के परितः कोणीय संवेग संरक्षण के नियम से:
$m v_0 x = I \omega = \left( \frac{M L^2}{12} \right) \omega \implies \omega = \frac{12 m v_0 x}{M L^2} \dots(2)$
बिंदु $A$ के स्थिर रहने के लिए,$C.M.$ का वेग घूर्णन के कारण बिंदु $A$ के वेग के बराबर होना चाहिए:
$V_{CM} = \omega \left( \frac{L}{2} \right) \dots(3)$
$(1)$ और $(2)$ को $(3)$ में रखने पर:
$\frac{m v_0}{M} = \left( \frac{12 m v_0 x}{M L^2} \right) \left( \frac{L}{2} \right)$
$\frac{m v_0}{M} = \frac{6 m v_0 x}{M L}$
$1 = \frac{6 x}{L} \implies x = \frac{L}{6}$

(D) रैखिक संवेग के समीकरण से,$m v_{cm} = J$,अतः $v_{cm} = \frac{J}{m}$।
द्रव्यमान केंद्र $(CM)$ के परितः कोणीय संवेग के समीकरण से,$J \cdot \frac{l}{2} = I \omega = \frac{m l^2}{12} \cdot \omega$,जिससे $\omega = \frac{6 J}{m l}$ प्राप्त होता है।
समय $t = \frac{\pi m l}{12 J}$ पर,छड़ द्वारा घुमाया गया कोण $\theta = \omega t = \left( \frac{6 J}{m l} \right) \left( \frac{\pi m l}{12 J} \right) = \frac{\pi}{2}$ है।
$CM$ के परितः घूर्णन के कारण कण $P$ का स्पर्शरेखीय वेग $v_t = r \omega = \frac{l}{6} \cdot \frac{6 J}{m l} = \frac{J}{m}$ है।
चूंकि छड़ $\frac{\pi}{2}$ कोण से घूम चुकी है,इसलिए घूर्णन के कारण वेग सदिश अब प्रारंभिक वेग सदिश $v_{cm}$ के लंबवत है।
कण $P$ का परिणामी वेग $v_p = \sqrt{v_{cm}^2 + v_t^2} = \sqrt{\left( \frac{J}{m} \right)^2 + \left( \frac{J}{m} \right)^2} = \sqrt{2} \frac{J}{m}$ है।

(A) दिया गया है: कण का द्रव्यमान $= m$,छड़ का द्रव्यमान $= M$,छड़ की लंबाई $= L$।
हिंज (कब्जे) के परितः कोणीय संवेग संरक्षण का नियम लागू करने पर:
$m v (L/2) = I \omega$
चूंकि हिंज के परितः छड़ का जड़त्व आघूर्ण $I = M L^2 / 3$ है:
$m v (L/2) = (M L^2 / 3) \omega$
$\omega = (3 m v) / (2 M L)$
चूंकि टक्कर प्रत्यास्थ है और कण स्थिर हो जाता है,इसलिए कण की प्रारंभिक गतिज ऊर्जा छड़ की घूर्णन गतिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है:
$(1/2) m v^2 = (1/2) I \omega^2$
$(1/2) m v^2 = (1/2) (M L^2 / 3) [(3 m v) / (2 M L)]^2$
$m v^2 = (M L^2 / 3) [9 m^2 v^2 / (4 M^2 L^2)]$
$m v^2 = (3 m^2 v^2) / (4 M)$
$1 = (3 m) / (4 M)$
$M / m = 3 / 4$

(D) घूर्णन गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2}I\omega^2$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $I$ घूर्णन अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण है।
$1$. $y$-अक्ष के परितः घूर्णन के लिए: द्रव्यमान $m$,$y$-अक्ष पर स्थित हैं,इसलिए अक्ष से उनकी दूरी $0$ है। द्रव्यमान $M$,$y$-अक्ष से $a$ दूरी पर हैं। अतः,$I_y = M(a)^2 + M(a)^2 = 2Ma^2$। गतिज ऊर्जा $K_y = \frac{1}{2}(2Ma^2)\omega^2 = Ma^2\omega^2$ है। यह $m$ से स्वतंत्र है।
$2$. $z$-अक्ष के परितः घूर्णन के लिए: द्रव्यमान $M$,$z$-अक्ष से $a$ दूरी पर हैं और द्रव्यमान $m$,$z$-अक्ष से $b$ दूरी पर हैं। अतः,$I_z = M(a)^2 + M(a)^2 + m(b)^2 + m(b)^2 = 2Ma^2 + 2mb^2$। गतिज ऊर्जा $K_z = \frac{1}{2}(2Ma^2 + 2mb^2)\omega^2 = (Ma^2 + mb^2)\omega^2$ है। यह $m$ पर निर्भर करती है।
$3$. चूंकि जड़त्व आघूर्ण $I$ घूर्णन अक्ष पर निर्भर करता है,इसलिए घूर्णन गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2}I\omega^2$ भी घूर्णन अक्ष पर निर्भर करती है।
अतः,सभी कथन सही हैं।

(D) बिंदु $O$ के परितः कण का कोणीय संवेग $L = mvd$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $m$ द्रव्यमान है,$v$ वेग है,और $d$ बिंदु $O$ से गति की रेखा की लंबवत दूरी है। चूंकि कण मुक्त रूप से गिर रहा है,इसका वेग $v$ समय के साथ बढ़ता है,जबकि $d$ स्थिर रहता है। इसलिए,कोणीय संवेग $L$ बढ़ता है।
$O$ के परितः कण का जड़त्व आघूर्ण $I = mr^2$ है,जहाँ $r$ बिंदु $O$ से कण की दूरी है। जैसे-जैसे कण नीचे गिरता है,दूरी $r$ घटती है,इसलिए जड़त्व आघूर्ण $I$ घटता है।
$O$ के परितः कण का कोणीय वेग $\omega = \frac{v_{\perp}}{r} = \frac{v \sin \theta}{r}$ द्वारा दिया जाता है। जैसे-जैसे कण नीचे गिरता है,$v$ बढ़ता है,$\sin \theta$ बढ़ता है (क्योंकि $\theta$ बढ़ता है),और $r$ घटता है। परिणामस्वरूप,कोणीय वेग $\omega$ बढ़ता है।
चूंकि सभी कथन सही हैं,इसलिए सही विकल्प $D$ है।

(D) मुक्त अंतरिक्ष में,व्यक्ति पर कोई बाहरी टॉर्क कार्य नहीं करता है,इसलिए उसका कोणीय संवेग $(L)$ संरक्षित रहता है।
अपने शरीर का आकार बदलकर (बाहें फैलाकर या सिकोड़कर),व्यक्ति अपना जड़त्व आघूर्ण $(I)$ बदलता है।
सूत्र $L = I \omega$ के अनुसार,यदि $I$ बदलता है,तो $L$ को स्थिर रखने के लिए कोणीय वेग $(\omega)$ को भी बदलना होगा।
इसके अलावा,घूर्णन गतिज ऊर्जा $K.E. = \frac{L^2}{2I}$ द्वारा दी जाती है। चूंकि $L$ स्थिर है,इसलिए $I$ में परिवर्तन के परिणामस्वरूप घूर्णन गतिज ऊर्जा में भी परिवर्तन होता है।
अतः,अपने शरीर का आकार बदलकर,व्यक्ति अपना जड़त्व आघूर्ण,कोणीय वेग और घूर्णन गतिज ऊर्जा बदल सकता है।
इसलिए,सही विकल्प $D$ है।

(D) बिना फिसले लुढ़कने वाली वलय के लिए,जमीन के साथ संपर्क बिंदु $A$ का वेग शून्य है,इसलिए $v_A = u - R\omega = 0$,जिसका अर्थ है $u = R\omega$।
शीर्ष बिंदु $B$ का वेग $v_B = u + R\omega = 2u$ है।
अतः,वलय पर किसी भी बिंदु $P$ के लिए गति की सीमा $0 \leq v \leq 2u$ है।
मान लीजिए $P$ एक ऐसा बिंदु है कि त्रिज्या $CP$ क्षैतिज के साथ $\theta$ कोण बनाती है। $P$ का वेग सदिश,स्थानांतरीय वेग $\vec{u}$ और घूर्णी वेग $\vec{v}_{rot} = \vec{\omega} \times \vec{r}$ का सदिश योग है।
वेग का परिमाण $v_P = \sqrt{u^2 + (R\omega)^2 + 2u(R\omega)\cos(\theta + 90^\circ)}$ है।
चूंकि $u = R\omega$,$v_P = \sqrt{u^2 + u^2 + 2u^2(-\sin\theta)} = u\sqrt{2(1 - \sin\theta)}$।
विकल्प $B$ के लिए: यदि $CP$ क्षैतिज है,$\theta = 0^\circ$,तो $v_P = u\sqrt{2(1 - 0)} = u\sqrt{2}$। यह सही है।
विकल्प $C$ के लिए: यदि $\theta = 30^\circ$ है और $P$ क्षैतिज स्तर से नीचे है,तो $v_P = u\sqrt{2(1 - \sin 30^\circ)} = u\sqrt{2(1 - 0.5)} = u\sqrt{2(0.5)} = u$। यह भी सही है।
इसलिए,सभी कथन सही हैं।

(C) न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,किसी पिंड के द्रव्यमान केंद्र की गति उस पर कार्य करने वाले कुल बाह्य बल द्वारा निर्धारित होती है,$F_{ext} = Ma_{cm}$।
यो-यो के दाईं ओर गति करने के लिए,लगाए गए बल का क्षैतिज घटक दाईं ओर निर्देशित होना चाहिए।
$1$. बल $F_1$ क्षैतिज रूप से दाईं ओर लगाया जाता है। इसलिए,जब $F_1$ लगाया जाता है,तो यो-यो पर कुल बल दाईं ओर होता है,जिससे द्रव्यमान केंद्र दाईं ओर गति करता है।
$2$. बल $F_3$ लंबवत ऊपर की ओर लगाया जाता है। इसका कोई क्षैतिज घटक नहीं है,इसलिए यह द्रव्यमान केंद्र को क्षैतिज रूप से गति नहीं कराएगा।
$3$. बल $F_2$ को एक ऐसे कोण पर लगाया जाता है कि इसका क्षैतिज घटक दाईं ओर निर्देशित हो। इसलिए,जब $F_2$ लगाया जाता है,तो द्रव्यमान केंद्र भी दाईं ओर गति करेगा।
विकल्पों की तुलना करने पर,विकल्प $C$ एक सही कथन है।

(D) माना $F$ आरोपित बल है,$m$ द्रव्यमान है,और $R$ डिस्क की त्रिज्या है। परिधि $s = 2\pi R$ है।
$A$ और $B$ के बीच,डिस्क बिना फिसले लुढ़कती है। गति के समीकरण हैं:
$F - f = ma_1$ और $fR = I\alpha = (\frac{1}{2}mR^2)\alpha$। चूँकि $a_1 = R\alpha$,हमें $f = \frac{1}{2}ma_1$ प्राप्त होता है। इसे प्रतिस्थापित करने पर,$F - \frac{1}{2}ma_1 = ma_1 \implies F = \frac{3}{2}ma_1 \implies a_1 = \frac{2F}{3m}$।
दूरी $AB = s = 2\pi R = \frac{1}{2}a_1 T^2$ है। अतः,$T^2 = \frac{4\pi R}{a_1} = \frac{4\pi R}{2F/3m} = \frac{6\pi mR}{F}$।
बिंदु $B$ पर,रैखिक वेग $v_B = a_1 T$ और कोणीय वेग $\omega_B = \alpha T = \frac{a_1}{R}T$ है।
$B$ के दाईं ओर,सतह चिकनी है,इसलिए घर्षण $f = 0$ है। नया रैखिक त्वरण $a_2 = F/m$ है। चूँकि $F = \frac{3}{2}ma_1$,इसलिए $a_2 = \frac{3}{2}a_1 > a_1$। अतः,रैखिक त्वरण बढ़ जाता है।
$B$ के बाद $T$ समय में,तय की गई दूरी $d = v_B T + \frac{1}{2}a_2 T^2 = (a_1 T)T + \frac{1}{2}(\frac{3}{2}a_1)T^2 = a_1 T^2 + \frac{3}{4}a_1 T^2 = \frac{7}{4}a_1 T^2$ है। चूँकि $s = \frac{1}{2}a_1 T^2$,इसलिए $d = \frac{7}{2}s > s$ है।
$B$ के दाईं ओर कोई घर्षण न होने के कारण,कोणीय वेग $\omega_B = \frac{a_1 T}{R}$ स्थिर रहता है। एक घूर्णन के लिए लगा समय $t = \frac{2\pi}{\omega_B} = \frac{2\pi R}{a_1 T} = \frac{s}{a_1 T} = \frac{\frac{1}{2}a_1 T^2}{a_1 T} = \frac{T}{2}$ है।
सभी कथन सही हैं।

(C) निकाय का कुल द्रव्यमान $M = m + m = 2m$ है।
चूंकि गोला खोखला है और पानी से भरा है,खोल (shell) का जड़त्व आघूर्ण $I_{shell} = \frac{2}{3} m R^2$ है।
शुद्ध लोटनिक गति के लिए,$\omega = \frac{v}{R}$।
जमीन पर एक बिंदु के परितः कोणीय संवेग $L = I_{cm} \omega + M v R$ है।
मान रखने पर: $L = (\frac{2}{3} m R^2) \times (\frac{v}{R}) + (2m) v R$।
$L = \frac{2}{3} m v R + 2 m v R = \frac{8}{3} m v R$।

(D) मान लीजिए $v_{cm}$ बेलन के द्रव्यमान केंद्र का वेग है और $\omega$ इसका कोणीय वेग है।
बेलन और तख्ते के बीच संपर्क बिंदु (निचला बिंदु) पर,बेलन का वेग तख्ते के वेग के बराबर होना चाहिए क्योंकि यहाँ कोई फिसलन नहीं है। अतः,$v_{cm} - R\omega = v$ (यह मानते हुए कि $v_{cm}$ दाईं ओर है और $\omega$ दक्षिणावर्त है)।
बेलन और ऊपरी डोरी के बीच संपर्क बिंदु (ऊपरी बिंदु) पर,बेलन का वेग डोरी के वेग के बराबर होना चाहिए। चूँकि डोरी दीवार से जुड़ी है,इसलिए इसका वेग $0$ है। अतः,$v_{cm} + R\omega = 0$.
इन दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: $(v_{cm} - R\omega) + (v_{cm} + R\omega) = v + 0$,जो $2v_{cm} = v$ देता है,इसलिए $v_{cm} = v/2$.
समीकरणों को घटाने पर: $(v_{cm} - R\omega) - (v_{cm} + R\omega) = v - 0$,जो $-2R\omega = v$ देता है,इसलिए $\omega = -v/(2R)$ (ऋणात्मक चिह्न वामावर्त घूर्णन को दर्शाता है)।
अतः,बेलन के द्रव्यमान केंद्र की गति $v/2$ है।

(D) $m$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाली डिस्क के लिए जो कोणीय वेग $\omega$ और रैखिक वेग $v = R\omega$ से लुढ़क रही है:
द्रव्यमान केंद्र $O$ के परितः कोणीय संवेग $L_O = I_O \omega = (\frac{1}{2}mR^2)\omega$ है।
किसी भी बिंदु $P$ के परितः कोणीय संवेग $\vec{L}_P = \vec{L}_{cm} + \vec{r}_{cm/P} \times m\vec{v}_{cm}$ द्वारा दिया जाता है।
बिंदु $B$ (संपर्क बिंदु) के लिए: $\vec{L}_B = I_O \omega + mR^2 \omega = \frac{1}{2}mR^2 \omega + mR^2 \omega = \frac{3}{2}mR^2 \omega$।
बिंदु $A$ (सबसे ऊपरी बिंदु) के लिए: $\vec{L}_A = I_O \omega - mR^2 \omega = \frac{1}{2}mR^2 \omega - mR^2 \omega = -\frac{1}{2}mR^2 \omega$।
परिमाण $|L_B| = \frac{3}{2}mR^2 \omega$ और $|L_A| = \frac{1}{2}mR^2 \omega$ है। अतः,$|L_B| = 3|L_A|$।
चूंकि $L_A$ ऋणात्मक है,यह वामावर्त है,और $L_B$ धनात्मक है,यह दक्षिणावर्त है। इसलिए,सभी कथन सही हैं।

(D) जब एक बेलन नत समतल पर बिना फिसले लुढ़कता है,तो घर्षण बल $f$ वस्तु पर कार्य करने वाले कुल बलाघूर्ण (torque) और कुल बल पर निर्भर करता है।
$M$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाले बेलन के लिए,गति का समीकरण $Mg \sin \theta - f = Ma$ है और द्रव्यमान केंद्र के परितः बलाघूर्ण का समीकरण $fR = I\alpha = (\frac{1}{2}MR^2)(\frac{a}{R})$ है।
इन्हें हल करने पर,हमें $f = \frac{1}{3}Mg \sin \theta$ प्राप्त होता है,जो ऊपर की दिशा में होता है।
हालाँकि,यदि कोई बाहरी बल (जैसे आरोपित बल $F$) मौजूद है,तो घर्षण की दिशा फिसलने की प्रवृत्ति का विरोध करने या लुढ़कने के लिए आवश्यक बलाघूर्ण प्रदान करने के लिए बदल सकती है।
यदि बाहरी बल इस प्रकार लगाया जाता है कि लुढ़कने के लिए आवश्यक बलाघूर्ण पहले से ही मिल रहा हो,तो घर्षण बल शून्य हो सकता है।
इस प्रकार,बाहरी बल और गति की स्थितियों के आधार पर घर्षण ऊपर की ओर,नीचे की ओर या शून्य हो सकता है।
इसलिए,कथन $(B)$ और $(C)$ सही हैं।

(D) जब रिंग खुरदरी सतह पर प्रवेश करती है,तो वह $v_0$ वेग के साथ आगे की ओर फिसल रही होती है और उसका प्रारंभिक कोणीय वेग शून्य $(\omega = 0)$ होता है।
$1$. चूंकि रिंग फिसल रही है,इसलिए उस पर गतिज घर्षण बल $f = \mu N = \mu Mg$ कार्य करता है,जो कि सीमांत घर्षण है।
$2$. घर्षण बल संपर्क बिंदु पर गति की दिशा के विपरीत कार्य करता है।
$3$. घर्षण बल $f$ द्रव्यमान केंद्र के परितः $\tau = f \times R$ का टॉर्क उत्पन्न करता है। चूंकि घर्षण निचले बिंदु पर बाईं ओर कार्य करता है,इसलिए टॉर्क दक्षिणावर्त दिशा में होता है,जो दक्षिणावर्त दिशा में कोणीय त्वरण $\alpha$ उत्पन्न करता है।
अतः,दिए गए सभी कथन सही हैं।

(C) $1$. जब रिंग खुरदरी सतह पर प्रवेश करती है,तो गतिज घर्षण बल $f = \mu Mg$ उसके वेग $v_0$ की विपरीत दिशा में कार्य करता है।
$2$. चूंकि रिंग पर एक बाहरी बल (घर्षण) कार्य करता है,इसलिए रैखिक संवेग संरक्षित नहीं रहता है।
$3$. घर्षण बल रिंग के द्रव्यमान केंद्र $(CM)$ के परितः एक टॉर्क लगाता है,जिससे वह घूमने लगती है। इसलिए,$CM$ के परितः कोणीय संवेग संरक्षित नहीं रहता है।
$4$. घर्षण बल सतह के साथ संपर्क बिंदु पर कार्य करता है। यदि हम क्षैतिज सतह पर किसी भी बिंदु को संदर्भ बिंदु के रूप में चुनते हैं,तो घर्षण बल की क्रिया रेखा इस बिंदु से होकर गुजरती है। इस प्रकार,क्षैतिज सतह पर किसी भी बिंदु के परितः घर्षण के कारण टॉर्क शून्य होता है। परिणामस्वरूप,रिंग का कोणीय संवेग क्षैतिज सतह पर किसी भी बिंदु के परितः संरक्षित रहता है।
$5$. चूंकि घर्षण एक असंरक्षी बल है,यह निकाय पर कार्य करता है,इसलिए यांत्रिक ऊर्जा संरक्षित नहीं रहती है।

(D) जब रिंग खुरदरी सतह पर प्रवेश करती है,तो गतिज घर्षण $v_0$ वेग की विपरीत दिशा में कार्य करता है। घर्षण बल $f = \mu Mg$ है।
यह बल रैखिक गति में मंदन उत्पन्न करता है: $a = -\frac{f}{M} = -\mu g$।
साथ ही,यह घर्षण बल द्रव्यमान केंद्र के परितः टॉर्क प्रदान करता है: $\tau = fR = \mu MgR$।
कोणीय त्वरण $\alpha = \frac{\tau}{I} = \frac{\mu MgR}{MR^2} = \frac{\mu g}{R}$ है।
मान लीजिए $t$ वह समय है जब शुद्ध रोलिंग शुरू होती है। इस समय,द्रव्यमान केंद्र का वेग $v = v_0 - at = v_0 - \mu gt$ और कोणीय वेग $\omega = \alpha t = \frac{\mu gt}{R}$ है।
शुद्ध रोलिंग के लिए,$v = \omega R$,इसलिए $v_0 - \mu gt = (\frac{\mu gt}{R})R = \mu gt$।
इससे $2\mu gt = v_0$,या $t = \frac{v_0}{2\mu g}$ प्राप्त होता है।
इस समय वेग $v = v_0 - \mu g(\frac{v_0}{2\mu g}) = v_0 - \frac{v_0}{2} = \frac{v_0}{2}$ है।
शुद्ध रोलिंग तब शुरू होती है जब संपर्क बिंदु सतह के सापेक्ष स्थिर हो जाता है। अतः,सभी कथन सही हैं।