$STATEMENT-1$ यदि किसी पिंड पर उसके द्रव्यमान केंद्र के परितः कोई बाह्य बल आघूर्ण (torque) नहीं है,तो द्रव्यमान केंद्र का वेग नियत रहता है। क्योंकि
$STATEMENT-2$ एक विलगित निकाय (isolated system) का रैखिक संवेग नियत रहता है।

$L$ लंबाई और $M$ द्रव्यमान की एक पतली समान छड़ अपने केंद्र से गुजरने वाली एक क्षैतिज अक्ष के परितः स्वतंत्र रूप से दोलन कर रही है। इसकी अधिकतम कोणीय गति $\omega$ है। इसका द्रव्यमान केंद्र कितनी अधिकतम ऊँचाई तक ऊपर उठेगा? [जहाँ $g$ गुरुत्वीय त्वरण है]

दो डिस्क जिनके जड़त्व आघूर्ण (moment of inertia) उनके संबंधित अक्षों (डिस्क के लंबवत और केंद्र से गुजरने वाले) के परितः $I_{1}$ और $I_{2}$ हैं,और जो $\omega_{1}$ और $\omega_{2}$ कोणीय गति से घूम रही हैं,उन्हें एक-दूसरे के संपर्क में लाया जाता है ताकि उनके घूर्णन अक्ष संपाती हो जाएं। $(a)$ दो-डिस्क प्रणाली की कोणीय गति क्या है? $(b)$ दर्शाइए कि संयुक्त प्रणाली की गतिज ऊर्जा दोनों डिस्क की प्रारंभिक गतिज ऊर्जाओं के योग से कम है। आप ऊर्जा में इस हानि को कैसे समझाएंगे? $\omega_{1} \neq \omega_{2}$ लें।

दो डिस्क $A$ और $B$ एक ऊर्ध्वाधर धुरी पर समाक्षीय रूप से लगी हैं। सामान्य अक्ष के परितः डिस्क का जड़त्व आघूर्ण $I$ और $2I$ है। डिस्क $A$ को $x_1$ दूरी तक संकुचित स्प्रिंग की स्थितिज ऊर्जा का उपयोग करके $2\omega$ का प्रारंभिक कोणीय वेग दिया जाता है। डिस्क $B$ को समान स्प्रिंग नियतांक वाली और $x_2$ दूरी तक संकुचित स्प्रिंग द्वारा $\omega$ का कोणीय वेग दिया जाता है। दोनों डिस्क दक्षिणावर्त दिशा में घूमती हैं।
$1.$ $x_1/x_2$ का अनुपात क्या है?
$(A)$ $2$ $(B)$ $1/2$ $(C)$ $\sqrt{2}$ $(D)$ $1/\sqrt{2}$
$2.$ जब डिस्क $B$ को डिस्क $A$ के संपर्क में लाया जाता है,तो वे $t$ समय में एक सामान्य कोणीय वेग प्राप्त कर लेती हैं। इस अवधि के दौरान एक डिस्क द्वारा दूसरी डिस्क पर लगाया गया औसत घर्षण बल आघूर्ण क्या है?
$(A)$ $\frac{2I\omega}{3t}$ $(B)$ $\frac{9I\omega}{2t}$ $(C)$ $\frac{9I\omega}{4t}$ $(D)$ $\frac{3I\omega}{2t}$
$3.$ इस प्रक्रिया के दौरान गतिज ऊर्जा में हुई हानि क्या है?
$(A)$ $\frac{I\omega^2}{2}$ $(B)$ $\frac{I\omega^2}{3}$ $(C)$ $\frac{I\omega^2}{4}$ $(D)$ $\frac{I\omega^2}{6}$

आकृति एक ऐसी प्रणाली को दर्शाती है जिसमें $(i)$ $3R$ त्रिज्या वाली एक रिंग क्षैतिज सतह पर $\omega$ कोणीय गति के साथ बिना फिसले क्लॉकवाइज लुढ़क रही है और $(ii)$ $2R$ त्रिज्या वाली एक आंतरिक डिस्क $\omega/2$ कोणीय गति के साथ एंटी-क्लॉकवाइज घूम रही है। रिंग और डिस्क घर्षण रहित बॉल बेयरिंग द्वारा अलग किए गए हैं। प्रणाली $x-z$ तल में है। आंतरिक डिस्क पर बिंदु $P$ मूल बिंदु से $R$ दूरी पर है,जहाँ $OP$ क्षैतिज के साथ $30^{\circ}$ का कोण बनाता है। तो क्षैतिज सतह के सापेक्ष,
$(A)$ बिंदु $O$ का रेखीय वेग $3R\omega\hat{i}$ है।
$(B)$ बिंदु $P$ का रेखीय वेग $\frac{11}{4}R\omega\hat{i} + \frac{\sqrt{3}}{4}R\omega\hat{k}$ है।
$(C)$ बिंदु $P$ का रेखीय वेग $\frac{13}{4}R\omega\hat{i} - \frac{\sqrt{3}}{4}R\omega\hat{k}$ है।
$(D)$ बिंदु $P$ का रेखीय वेग $(3 - \frac{\sqrt{3}}{4})R\omega\hat{i} + \frac{1}{4}R\omega\hat{k}$ है।

$R$ त्रिज्या और $m$ द्रव्यमान का एक खोखला गोला $m$ द्रव्यमान के पानी से पूरी तरह भरा हुआ है। यह एक क्षैतिज तल पर इस प्रकार लुढ़कता है कि इसका द्रव्यमान केंद्र $v$ वेग से चलता है। यदि यह शुद्ध लोटनिक गति (pure rolling) करता है,तो निम्नलिखित में से कौन सा कथन सही है?