Mix Example - System of Particles and Rotational Motion Questions in Hindi

(B) प्रारंभिक अवस्था: पहली डिस्क का जड़त्व आघूर्ण $I$ और कोणीय वेग $\omega$ है। दूसरी डिस्क स्थिर है $(I_2 = I, \omega_2 = 0)$।
कोणीय संवेग संरक्षण के सिद्धांत के अनुसार: $L_i = L_f$.
$I \omega + I(0) = (I + I) \omega'$,जहाँ $\omega'$ सामान्य कोणीय वेग है।
$I \omega = 2I \omega' \implies \omega' = \frac{\omega}{2}$.
प्रारंभिक घूर्णी गतिज ऊर्जा: $K_i = \frac{1}{2} I \omega^2$.
अंतिम घूर्णी गतिज ऊर्जा: $K_f = \frac{1}{2} (2I) (\omega')^2 = I (\frac{\omega}{2})^2 = \frac{I \omega^2}{4}$.
घूर्णी गतिज ऊर्जा में हानि: $\Delta K = K_i - K_f = \frac{1}{2} I \omega^2 - \frac{1}{4} I \omega^2 = \frac{1}{4} I \omega^2$.

(B) दिया गया है: त्रिज्या $r = 0.5 \ m$,जड़त्व आघूर्ण $I = 10 \ kg \cdot m^2$,प्रारंभिक कोणीय गति $\omega_0 = 70 \ rev/min = 70 \times \frac{2\pi}{60} \ rad/s = \frac{7\pi}{3} \ rad/s$,समय $t = 5.0 \ s$,अभिलंब बल $N = 88 \ N$.
अंतिम कोणीय गति $\omega = 0 \ rad/s$.
कोणीय त्वरण $\alpha = \frac{\omega - \omega_0}{t} = \frac{0 - 7\pi/3}{5} = -\frac{7\pi}{15} \ rad/s^2$.
टॉर्क का परिमाण $\tau = I|\alpha| = 10 \times \frac{7\pi}{15} = \frac{14\pi}{3} \ N \cdot m$.
साथ ही,टॉर्क $\tau = f_k \cdot r = \mu_k N \cdot r$.
दोनों की तुलना करने पर: $\mu_k N r = \frac{14\pi}{3} \implies \mu_k (88)(0.5) = \frac{14\pi}{3}$.
$\mu_k (44) = \frac{14 \times 3.14159}{3} \approx 14.66$.
$\mu_k = \frac{14.66}{44} \approx 0.333$.
अतः,गतिज घर्षण गुणांक लगभग $0.33$ है।

(A) एक ठोस गोले की घूर्णन गतिज ऊर्जा $(KE)$ का सूत्र $KE = \frac{1}{2} I \omega^2$ है।
ठोस गोले के लिए,जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{2}{5} m r^2$ और कोणीय वेग $\omega = 2 \pi n$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$KE = \frac{1}{2} \times (\frac{2}{5} m r^2) \times (2 \pi n)^2 = \frac{1}{5} m r^2 \times 4 \pi^2 n^2 = \frac{4}{5} m r^2 \pi^2 n^2$।
यह दिया गया है कि इस ऊर्जा का $50 \%$ ऊष्मा में परिवर्तित हो जाता है,इसलिए उत्पन्न ऊष्मा $\Delta Q = \frac{1}{2} KE = \frac{1}{2} \times (\frac{4}{5} m r^2 \pi^2 n^2) = \frac{2}{5} m r^2 \pi^2 n^2$।
संबंध $\Delta Q = m S \Delta t$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $\Delta t$ तापमान में वृद्धि है,हमें $\Delta t = \frac{\Delta Q}{m S}$ प्राप्त होता है।
$\Delta Q$ का मान रखने पर,$\Delta t = \frac{2/5 m r^2 \pi^2 n^2}{m S} = \frac{2 \pi^2 n^2 r^2}{5 S}$।

(B, C) मान लीजिए कि छड़ $OX$ अक्ष के साथ $\theta$ कोण बनाती है। सिरे $A$ का वेग $v_A = 3 \ m/s$ ($OX$ के अनुदिश) और सिरे $B$ का वेग $v_B = 4 \ m/s$ ($OY$ के अनुदिश नीचे की ओर) है।
छड़ की लंबाई स्थिर रहने की शर्त के अनुसार,छड़ के अनुदिश वेग के घटक दोनों सिरों के लिए समान होने चाहिए:
$v_A \cos \theta = v_B \sin \theta \implies 3 \cos \theta = 4 \sin \theta \implies \tan \theta = \frac{3}{4}$.
अतः,$\sin \theta = \frac{3}{5}$ और $\cos \theta = \frac{4}{5}$ है।
कोणीय वेग $\omega = \frac{v_A \sin \theta + v_B \cos \theta}{\ell} = \frac{3(3/5) + 4(4/5)}{1} = \frac{9/5 + 16/5}{1} = \frac{25}{5} = 5 \ rad/s$ है।
चूंकि छड़ इस प्रकार घूम रही है कि $A$ दाईं ओर और $B$ नीचे की ओर जा रहा है,इसलिए यह घूर्णन दक्षिणावर्त है।
घूर्णन गतिज ऊर्जा $(KE)_{rot} = \frac{1}{2} I \omega^2 = \frac{1}{2} (\frac{1}{12} m \ell^2) \omega^2 = \frac{1}{2} \times \frac{1}{12} \times 4 \times (1)^2 \times (5)^2 = \frac{25}{6} \ J$ है।
अतः,कथन $B$ और $C$ सही हैं।

(A) $\ell$ लंबाई के सरल लोलक के लिए,क्षैतिज के नीचे $\theta$ कोण पर कोणीय वेग $\omega_1$ ऊर्जा संरक्षण से प्राप्त होता है: $mg(\ell \sin \theta) = \frac{1}{2} m v^2 = \frac{1}{2} m (\omega_1 \ell)^2$. अतः,$\omega_1 = \sqrt{\frac{2g \sin \theta}{\ell}}$.
एक सिरे पर कीलकित $L$ लंबाई की एक समान छड़ के लिए,जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{1}{3} m L^2$ है। जब यह $\theta$ कोण से घूमती है तो खोई हुई स्थितिज ऊर्जा $mg(\frac{L}{2} \sin \theta)$ है। ऊर्जा संरक्षण के अनुसार: $mg(\frac{L}{2} \sin \theta) = \frac{1}{2} I \omega_2^2 = \frac{1}{2} (\frac{1}{3} m L^2) \omega_2^2$. सरल करने पर $\omega_2 = \sqrt{\frac{3g \sin \theta}{L}}$ प्राप्त होता है।
चूंकि गतियाँ तुल्यकालिक हैं,$\omega_1 = \omega_2$,इसलिए $\frac{2}{\ell} = \frac{3}{L}$।
अतः,$L = \frac{3}{2} \ell$।

(A) पिंड के वृत्ताकार पथ की त्रिज्या $R = L/2$ है। अलग होने के क्षण में पिंड का रैखिक वेग $v = \omega R = \frac{\omega L}{2}$ है।
चूंकि पिंड ऊर्ध्वाधर ऊपर की ओर गति कर रहा है,इसलिए उड़ान का समय $T = \frac{2v}{g} = \frac{\omega L}{g}$ द्वारा दिया जाता है।
पिंड के उसी बिंदु पर छड़ तक पहुँचने के लिए,छड़ को $T$ समय में $n$ पूर्ण चक्कर लगाने चाहिए। $n$ चक्करों के लिए समय $T = n \cdot \frac{2\pi}{\omega}$ है।
$T$ के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर: $\frac{\omega L}{g} = n \frac{2\pi}{\omega} \implies n = \frac{\omega^{2} L}{2\pi g}$। अतः,$n$ एक पूर्णांक होना चाहिए।
विकल्प $C$ के लिए,हवा में पिंड द्वारा तय की गई दूरी $2h = 2 \cdot \frac{v^2}{2g} = \frac{v^2}{g} = \frac{(\omega L/2)^2}{g} = \frac{\omega^2 L^2}{4g}$ है,जो $\omega^2$ के समानुपाती है।

(A, C) मान लीजिए छड़ की लंबाई $L$ और द्रव्यमान $m$ है। द्रव्यमान केंद्र $A$ से $L/2$ दूरी पर है।
जब छड़ क्षैतिज के साथ $\theta$ कोण बनाती है,तो द्रव्यमान केंद्र $h = (L/2) \sin \theta$ नीचे गिर जाता है।
ऊर्जा संरक्षण के नियम से,स्थितिज ऊर्जा में कमी घूर्णन गतिज ऊर्जा में वृद्धि के बराबर होती है:
$mg(L/2) \sin \theta = \frac{1}{2} I \omega^2$,जहाँ $I = mL^2/3$ है।
$mg(L/2) \sin \theta = \frac{1}{2} (mL^2/3) \omega^2 \Rightarrow \omega^2 \propto \sin \theta \Rightarrow \omega \propto \sqrt{\sin \theta}$।
चूंकि सिरे $B$ की गति $v = \omega L$ है,इसलिए $v \propto \sqrt{\sin \theta}$। अतः,विकल्प $A$ सही है।
कोणीय त्वरण $\alpha$ के लिए,$A$ के परितः बलाघूर्ण $\tau = mg(L/2) \cos \theta$ है।
$\tau = I \alpha$ का उपयोग करने पर,हमें $mg(L/2) \cos \theta = (mL^2/3) \alpha$ प्राप्त होता है।
यह दर्शाता है कि $\alpha \propto \cos \theta$। अतः,विकल्प $C$ भी सही है।

(A) मान लीजिए कि छड़ का द्रव्यमान केंद्र मूल बिंदु है। अपने केंद्र के परितः छड़ का जड़त्व आघूर्ण $I_{rod} = \frac{(20m)(12)^2}{12} = 240m \text{ cm}^2$ है।
छड़ के द्रव्यमान केंद्र के परितः कोणीय संवेग संरक्षण के नियम का उपयोग करते हुए:
$L_i = L_f$
प्रारंभिक कोणीय संवेग $L_i = (2m)(v)(2) + (m)(v)(4) = 4mv + 4mv = 8mv$.
प्रणाली का अंतिम जड़त्व आघूर्ण $I_f = I_{rod} + I_{mass1} + I_{mass2} = 240m + (2m)(2)^2 + (m)(4)^2 = 240m + 8m + 16m = 264m \text{ cm}^2$.
चूंकि $L_f = I_f \omega$,हमें $8mv = 264m \omega$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{v}{\omega} = \frac{264}{8} = 33$.

(B) घनत्व $\rho = \frac{M}{\frac{4}{3}\pi R^3}$.
छोटे भाग का द्रव्यमान $m_1 = \frac{M}{8}$. चूँकि $\rho = \frac{m_1}{V_1} = \frac{m_1}{\frac{4}{3}\pi r^3}$,इसलिए $\frac{M}{\frac{4}{3}\pi R^3} = \frac{M/8}{\frac{4}{3}\pi r^3} \Rightarrow r^3 = \frac{R^3}{8} \Rightarrow r = \frac{R}{2}$.
$I_1$ (गोले का उसके केंद्र से गुजरने वाली अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण) $= \frac{2}{5}m_1r^2 = \frac{2}{5}(\frac{M}{8})(\frac{R}{2})^2 = \frac{2}{5} \times \frac{M}{8} \times \frac{R^2}{4} = \frac{M R^2}{80}$.
बड़े भाग का द्रव्यमान $m_2 = M - \frac{M}{8} = \frac{7M}{8}$.
$I_2$ (डिस्क का उसके व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण) $= \frac{m_2 R_D^2}{4}$,जहाँ $R_D = 2R$.
$I_2 = \frac{(\frac{7M}{8})(2R)^2}{4} = \frac{(\frac{7M}{8})(4R^2)}{4} = \frac{7M R^2}{8}$.
अनुपात $\frac{I_2}{I_1} = \frac{7M R^2 / 8}{M R^2 / 80} = \frac{7}{8} \times 80 = 70$.

(A) $M$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाली वस्तु के लिए,जिसका जड़त्व आघूर्ण $I = kMR^2$ है,उच्चतम बिंदु पर (संपर्क बिंदु से $2R$ की दूरी पर) लगाया गया स्पर्शरेखीय बल $F$ एक टॉर्क $\tau = F(2R) - f(R) = I\alpha$ उत्पन्न करता है,जहाँ $f$ घर्षण बल है और $\alpha = a/R$ कोणीय त्वरण है।
अतः,$2FR - fR = (kMR^2)(a/R) \Rightarrow 2F - f = kMa$.
रैखिक बल का समीकरण $F + f = Ma$ है।
इन दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: $(2F - f) + (F + f) = kMa + Ma \Rightarrow 3F = (k+1)Ma \Rightarrow a = \frac{3F}{(k+1)M}$.
ठोस गोले $(A)$ के लिए,$k = 2/5$ और $M = 5m$: $a_A = \frac{3F}{(2/5 + 1)5m} = \frac{3F}{(7/5)5m} = \frac{3F}{7m}$.
गोलीय कोश $(B)$ के लिए,$k = 2/3$ और $M = m$: $a_B = \frac{3F}{(2/3 + 1)m} = \frac{3F}{(5/3)m} = \frac{9F}{5m}$.
अनुपात $a_A/a_B = (3F/7m) / (9F/5m) = (3/7) \times (5/9) = 15/63 = 5/21$.

(D) दिया गया स्थिति सदिश $\vec{r} = 10t^2\hat{i} + 5t^3\hat{j}$ है।
वेग $\vec{v} = \frac{d\vec{r}}{dt} = 20t\hat{i} + 15t^2\hat{j}$ है।
$t = 1 \text{ s}$ पर,$\vec{v} = 20\hat{i} + 15\hat{j} \text{ m/s}$ है।
रैखिक संवेग $\vec{p} = m\vec{v} = 0.1(20\hat{i} + 15\hat{j}) = (2\hat{i} + 1.5\hat{j}) \text{ kg} \cdot \text{m/s}$ है। अतः,कथन $A$ सही है।
त्वरण $\vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt} = 20\hat{i} + 30t\hat{j}$ है।
$t = 1 \text{ s}$ पर,$\vec{a} = 20\hat{i} + 30\hat{j} \text{ m/s}^2$ है।
बल $\vec{F} = m\vec{a} = 0.1(20\hat{i} + 30\hat{j}) = (2\hat{i} + 3\hat{j}) \text{ N}$ है। अतः,कथन $B$ सही है।
$t = 1 \text{ s}$ पर,$\vec{r} = 10(1)^2\hat{i} + 5(1)^3\hat{j} = 10\hat{i} + 5\hat{j}$ है।
कोणीय संवेग $\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p} = (10\hat{i} + 5\hat{j}) \times (2\hat{i} + 1.5\hat{j}) = (15\hat{k} - 10\hat{k}) = 5\hat{k} \text{ J} \cdot \text{s}$ है। अतः,कथन $C$ गलत है।
बल आघूर्ण $\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F} = (10\hat{i} + 5\hat{j}) \times (2\hat{i} + 3\hat{j}) = (30\hat{k} - 10\hat{k}) = 20\hat{k} \text{ N} \cdot \text{m}$ है। अतः,कथन $D$ सही है।
इसलिए,कथन $A, B$ और $D$ सही हैं।