L लंबाई और M द्रव्यमान का एक समान पतला लकड़ी | vedclass

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Question

(C) जब लकड़ी के तख्ते $AB$ पर एक आवेग $J$ दिया जाता है,तो दो चरम स्थितियाँ संभव हैं:$(i)$ आवेग मिलते ही तख्ता $A$ के परितः घूमने लगता है।$(ii)$ तख्ता

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$J^{2} / 2 M^{2} g < h < 9 J^{2} / 8 M^{2} g$

Vedclass · Answer

(C) जब लकड़ी के तख्ते $AB$ पर एक आवेग $J$ दिया जाता है,तो दो चरम स्थितियाँ संभव हैं:$(i)$ आवेग मिलते ही तख्ता $A$ के परितः घूमने लगता है।$(ii)$ तख्ता बिना किसी घूर्णन के ऊर्ध्वाधर ऊपर की ओर गति करता है।स्थिति $I$: $A$ के परितः घूर्णन।$A$ के परितः कोणीय संवेग संरक्षित रहता है: $I_{A} \omega = J L$जहाँ $I_{A} = \frac{M L^{2}}{3}$ बिंदु $A$ के परितः जड़त्व आघूर्ण है।$\frac{M L^{2}}{3} \omega = L J \Rightarrow \omega = \frac{3 J}{M L}$द्रव्यमान केंद्र का रेखीय वेग $v = \left(\frac{L}{2}\right) \omega = \frac{3 J}{2 M}$ होगा।ऊर्जा संरक्षण के नियम से,$\frac{1}{2} M v^{2} = M g h \Rightarrow h = \frac{v^{2}}{2 g} = \frac{9 J^{2}}{8 M^{2} g}$।स्थिति $II$: बिना घूर्णन के शुद्ध ऊर्ध्वाधर गति।रेखीय संवेग संरक्षण से,$J = M v \Rightarrow v = \frac{J}{M}$।ऊर्जा संरक्षण के नियम से,$\frac{1}{2} M v^{2} = M g h \Rightarrow h = \frac{v^{2}}{2 g} = \frac{J^{2}}{2 M^{2} g}$।चूंकि वास्तविक गति में घूर्णन और स्थानांतरण दोनों शामिल होते हैं,इसलिए द्रव्यमान केंद्र द्वारा प्राप्त ऊँचाई $h$ इन दो चरम स्थितियों के बीच होगी:$\frac{J^{2}}{2 M^{2} g} < h < \frac{9 J^{2}}{8 M^{2} g}$।

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