Class 11PhysicsSystem of Particles and Rotational MotionMix Example - System of Particles and Rotational Motion
Medium$20 \; kg$ द्रव्यमान और $20 \; cm$ त्रिज्या वाले एक फ्लाईव्हील के रिम पर नगण्य द्रव्यमान की एक डोरी लपेटी गई है। चित्र में दिखाए अनुसार डोरी पर $25 \; N$ का एक स्थिर खिंचाव बल लगाया जाता है। फ्लाईव्हील को घर्षण रहित बेयरिंग के साथ एक क्षैतिज धुरी पर लगाया गया है।
$(a)$ पहिये का कोणीय त्वरण ज्ञात कीजिए।
$(b)$ जब $2 \; m$ डोरी खुल जाती है,तो खिंचाव बल द्वारा किया गया कार्य ज्ञात कीजिए।
$(c)$ इस बिंदु पर पहिये की गतिज ऊर्जा भी ज्ञात कीजिए। मान लीजिए कि पहिया विरामावस्था से शुरू होता है।
$(d)$ भाग $(b)$ और $(c)$ के उत्तरों की तुलना कीजिए।
$(a)$ पहिये का कोणीय त्वरण ज्ञात कीजिए।
$(b)$ जब $2 \; m$ डोरी खुल जाती है,तो खिंचाव बल द्वारा किया गया कार्य ज्ञात कीजिए।
$(c)$ इस बिंदु पर पहिये की गतिज ऊर्जा भी ज्ञात कीजिए। मान लीजिए कि पहिया विरामावस्था से शुरू होता है।
$(d)$ भाग $(b)$ और $(c)$ के उत्तरों की तुलना कीजिए।
(N/A) हम $I \alpha = \tau$ का उपयोग करते हैं।
आघूर्ण $\tau = F R = 25 \times 0.20 \; Nm = 5.0 \; Nm$ (चूंकि $R = 0.20 \; m$ है)।
$I$ (अपनी धुरी के परितः फ्लाईव्हील का जड़त्व आघूर्ण) $= \frac{M R^2}{2} = \frac{20.0 \times (0.2)^2}{2} = 0.4 \; kg \cdot m^2$.
$\alpha$ (कोणीय त्वरण) $= \frac{\tau}{I} = \frac{5.0 \; Nm}{0.4 \; kg \cdot m^2} = 12.5 \; rad/s^2$.
$(b)$ $2 \; m$ डोरी खोलने के लिए खिंचाव बल द्वारा किया गया कार्य $= F \times d = 25 \; N \times 2 \; m = 50 \; J$.
$(c)$ मान लीजिए $\omega$ अंतिम कोणीय वेग है। प्राप्त गतिज ऊर्जा $= \frac{1}{2} I \omega^2$.
चूंकि पहिया विरामावस्था से शुरू होता है,$\omega^2 = \omega_0^2 + 2 \alpha \theta$,जहाँ $\omega_0 = 0$.
कोणीय विस्थापन $\theta = \frac{\text{खुली हुई डोरी की लंबाई}}{R} = \frac{2 \; m}{0.2 \; m} = 10 \; rad$.
$\omega^2 = 2 \times 12.5 \times 10.0 = 250 \; (rad/s)^2$.
प्राप्त गतिज ऊर्जा $= \frac{1}{2} \times 0.4 \times 250 = 50 \; J$.
$(d)$ उत्तर समान हैं,अर्थात पहिये द्वारा प्राप्त गतिज ऊर्जा बल द्वारा किए गए कार्य के बराबर है। घर्षण के कारण ऊर्जा की कोई हानि नहीं होती है।
आघूर्ण $\tau = F R = 25 \times 0.20 \; Nm = 5.0 \; Nm$ (चूंकि $R = 0.20 \; m$ है)।
$I$ (अपनी धुरी के परितः फ्लाईव्हील का जड़त्व आघूर्ण) $= \frac{M R^2}{2} = \frac{20.0 \times (0.2)^2}{2} = 0.4 \; kg \cdot m^2$.
$\alpha$ (कोणीय त्वरण) $= \frac{\tau}{I} = \frac{5.0 \; Nm}{0.4 \; kg \cdot m^2} = 12.5 \; rad/s^2$.
$(b)$ $2 \; m$ डोरी खोलने के लिए खिंचाव बल द्वारा किया गया कार्य $= F \times d = 25 \; N \times 2 \; m = 50 \; J$.
$(c)$ मान लीजिए $\omega$ अंतिम कोणीय वेग है। प्राप्त गतिज ऊर्जा $= \frac{1}{2} I \omega^2$.
चूंकि पहिया विरामावस्था से शुरू होता है,$\omega^2 = \omega_0^2 + 2 \alpha \theta$,जहाँ $\omega_0 = 0$.
कोणीय विस्थापन $\theta = \frac{\text{खुली हुई डोरी की लंबाई}}{R} = \frac{2 \; m}{0.2 \; m} = 10 \; rad$.
$\omega^2 = 2 \times 12.5 \times 10.0 = 250 \; (rad/s)^2$.
प्राप्त गतिज ऊर्जा $= \frac{1}{2} \times 0.4 \times 250 = 50 \; J$.
$(d)$ उत्तर समान हैं,अर्थात पहिये द्वारा प्राप्त गतिज ऊर्जा बल द्वारा किए गए कार्य के बराबर है। घर्षण के कारण ऊर्जा की कोई हानि नहीं होती है।
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$1.$ तात्क्षणिक अक्ष (द्रव्यमान केंद्र से गुजरने वाली) के परितः कोणीय चाल के संबंध में निम्नलिखित में से कौन सा कथन सही है?
$(A)$ यह दोनों स्थितियों के लिए $\sqrt{2} \omega$ है।
$(B)$ यह स्थिति $(a)$ के लिए $\omega$ है; और स्थिति $(b)$ के लिए $\frac{\omega}{\sqrt{2}}$ है।
$(C)$ यह स्थिति $(a)$ के लिए $\omega$ है; और स्थिति $(b)$ के लिए $\sqrt{2} \omega$ है।
$(D)$ यह दोनों स्थितियों के लिए $\omega$ है।
$2.$ तात्क्षणिक अक्ष (द्रव्यमान केंद्र से गुजरने वाली) के बारे में निम्नलिखित में से कौन सा कथन सही है?
$(A)$ यह दोनों स्थितियों $(a)$ और $(b)$ के लिए ऊर्ध्वाधर है।
$(B)$ यह स्थिति $(a)$ के लिए ऊर्ध्वाधर है; और स्थिति $(b)$ के लिए $x-z$ तल से $45^{\circ}$ पर है और डिस्क के तल में स्थित है।
$(C)$ यह स्थिति $(a)$ के लिए क्षैतिज है; और स्थिति $(b)$ के लिए $x-z$ तल से $45^{\circ}$ पर है और डिस्क के तल के लंबवत है।
$(D)$ यह स्थिति $(a)$ के लिए ऊर्ध्वाधर है; और स्थिति $(b)$ के लिए $x-z$ तल से $45^{\circ}$ पर है और डिस्क के तल के लंबवत है।
प्रश्न $1$ और $2$ के उत्तर दें।
$1.$ तात्क्षणिक अक्ष (द्रव्यमान केंद्र से गुजरने वाली) के परितः कोणीय चाल के संबंध में निम्नलिखित में से कौन सा कथन सही है?
$(A)$ यह दोनों स्थितियों के लिए $\sqrt{2} \omega$ है।
$(B)$ यह स्थिति $(a)$ के लिए $\omega$ है; और स्थिति $(b)$ के लिए $\frac{\omega}{\sqrt{2}}$ है।
$(C)$ यह स्थिति $(a)$ के लिए $\omega$ है; और स्थिति $(b)$ के लिए $\sqrt{2} \omega$ है।
$(D)$ यह दोनों स्थितियों के लिए $\omega$ है।
$2.$ तात्क्षणिक अक्ष (द्रव्यमान केंद्र से गुजरने वाली) के बारे में निम्नलिखित में से कौन सा कथन सही है?
$(A)$ यह दोनों स्थितियों $(a)$ और $(b)$ के लिए ऊर्ध्वाधर है।
$(B)$ यह स्थिति $(a)$ के लिए ऊर्ध्वाधर है; और स्थिति $(b)$ के लिए $x-z$ तल से $45^{\circ}$ पर है और डिस्क के तल में स्थित है।
$(C)$ यह स्थिति $(a)$ के लिए क्षैतिज है; और स्थिति $(b)$ के लिए $x-z$ तल से $45^{\circ}$ पर है और डिस्क के तल के लंबवत है।
$(D)$ यह स्थिति $(a)$ के लिए ऊर्ध्वाधर है; और स्थिति $(b)$ के लिए $x-z$ तल से $45^{\circ}$ पर है और डिस्क के तल के लंबवत है।
प्रश्न $1$ और $2$ के उत्तर दें।
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$(a)$ $h = \frac{R}{2}$ $(i)$ गोला बिना फिसले स्थिर वेग से लुढ़कता है और ऊर्जा का कोई नुकसान नहीं होता है। $(b)$ $h = R$ $(ii)$ गोला घड़ी की दिशा में घूमता है,घर्षण से ऊर्जा खो देता है। $(c)$ $h = \frac{3R}{2}$ $(iii)$ गोला घड़ी की विपरीत दिशा में घूमता है,घर्षण से ऊर्जा खो देता है। $(d)$ $h = \frac{7R}{5}$ $(iv)$ गोले में केवल स्थानांतरीय गति होती है,घर्षण से ऊर्जा खो देता है।
| $(a)$ $h = \frac{R}{2}$ | $(i)$ गोला बिना फिसले स्थिर वेग से लुढ़कता है और ऊर्जा का कोई नुकसान नहीं होता है। |
| $(b)$ $h = R$ | $(ii)$ गोला घड़ी की दिशा में घूमता है,घर्षण से ऊर्जा खो देता है। |
| $(c)$ $h = \frac{3R}{2}$ | $(iii)$ गोला घड़ी की विपरीत दिशा में घूमता है,घर्षण से ऊर्जा खो देता है। |
| $(d)$ $h = \frac{7R}{5}$ | $(iv)$ गोले में केवल स्थानांतरीय गति होती है,घर्षण से ऊर्जा खो देता है। |
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$1.$ जब डिस्क का द्रव्यमान केंद्र अपनी संतुलन स्थिति से $x$ विस्थापन पर होता है,तो डिस्क पर कार्य करने वाला कुल बाहरी बल क्या है?
$(A) -kx$ $(B) -2kx$ $(C) -\frac{2kx}{3}$ $(D) -\frac{4kx}{3}$
$2.$ डिस्क का द्रव्यमान केंद्र किस कोणीय आवृत्ति $\omega$ के साथ सरल आवर्त गति करता है?
$(A) \sqrt{\frac{k}{M}}$ $(B) \sqrt{\frac{2k}{M}}$ $(C) \sqrt{\frac{2k}{3M}}$ $(D) \sqrt{\frac{4k}{3M}}$
$3.$ $V_0$ का अधिकतम मान क्या है जिसके लिए डिस्क बिना फिसले लुढ़केगी?
$(A) \mu g \sqrt{\frac{M}{k}}$ $(B) \mu g \sqrt{\frac{M}{2k}}$ $(C) \mu g \sqrt{\frac{3M}{k}}$ $(D) \mu g \sqrt{\frac{5M}{2k}}$
$1.$ जब डिस्क का द्रव्यमान केंद्र अपनी संतुलन स्थिति से $x$ विस्थापन पर होता है,तो डिस्क पर कार्य करने वाला कुल बाहरी बल क्या है?
$(A) -kx$ $(B) -2kx$ $(C) -\frac{2kx}{3}$ $(D) -\frac{4kx}{3}$
$2.$ डिस्क का द्रव्यमान केंद्र किस कोणीय आवृत्ति $\omega$ के साथ सरल आवर्त गति करता है?
$(A) \sqrt{\frac{k}{M}}$ $(B) \sqrt{\frac{2k}{M}}$ $(C) \sqrt{\frac{2k}{3M}}$ $(D) \sqrt{\frac{4k}{3M}}$
$3.$ $V_0$ का अधिकतम मान क्या है जिसके लिए डिस्क बिना फिसले लुढ़केगी?
$(A) \mu g \sqrt{\frac{M}{k}}$ $(B) \mu g \sqrt{\frac{M}{2k}}$ $(C) \mu g \sqrt{\frac{3M}{k}}$ $(D) \mu g \sqrt{\frac{5M}{2k}}$
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