Mix Example - System of Particles and Rotational Motion Questions in Hindi

(D) दिया गया है: द्रव्यमान $(m) = 10 \ kg$,त्रिज्या $(r) = 0.5 \ m$,वेग $(v) = 2 \ m/s$,कुल गतिज ऊर्जा $(E) = 32.8 \ J$।
बिना फिसले लुढ़कते हुए पिंड की कुल गतिज ऊर्जा उसकी स्थानांतरण और घूर्णन गतिज ऊर्जा का योग होती है:
$E = E_{\text{translational}} + E_{\text{rotational}}$
$E = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$
चूंकि $I = mk^2$ और $\omega = \frac{v}{r}$,जहाँ $k$ घूर्णन त्रिज्या है:
$E = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}(mk^2)\left(\frac{v}{r}\right)^2$
$32.8 = \frac{1}{2} \times 10 \times (2)^2 + \frac{1}{2} \times 10 \times k^2 \times \left(\frac{2}{0.5}\right)^2$
$32.8 = 20 + 5 \times k^2 \times (4)^2$
$32.8 = 20 + 80k^2$
$12.8 = 80k^2$
$k^2 = \frac{12.8}{80} = 0.16$
$k = \sqrt{0.16} = 0.4 \ m$.

(C) स्थिति $(i)$: जब खोखला बेलन घूर्णन किए बिना फिसलता है,तो इसमें केवल स्थानांतरण गतिज ऊर्जा होती है।
$K_{trans} = \frac{1}{2}mv^2$
स्थिति $(ii)$: जब खोखला बेलन बिना फिसले लुढ़कता है,तो इसमें स्थानांतरण और घूर्णन दोनों प्रकार की गतिज ऊर्जा होती है।
$K_{total} = K_{trans} + K_{rot} = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$
एक पतले खोखले बेलन के लिए,जड़त्व आघूर्ण $I = mR^2$ और बिना फिसले लुढ़कने के लिए,$\omega = \frac{v}{R}$ होता है।
$K_{total} = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}(mR^2)(\frac{v}{R})^2 = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}mv^2 = mv^2$
गतिज ऊर्जाओं का अनुपात:
$\frac{K_{trans}}{K_{total}} = \frac{\frac{1}{2}mv^2}{mv^2} = \frac{1}{2}$
अतः,अनुपात $1:2$ है।

(A) पिंड की घूर्णन गतिज ऊर्जा $(K_{rot})$ का सूत्र $K_{rot} = \frac{1}{2} I \omega^2$ है,जहाँ $I$ जड़त्व आघूर्ण है और $\omega$ कोणीय गति है।
दिया गया है $I = 3 \ kg \cdot m^2$ और $\omega = 2 \ rad/s$,इसलिए $K_{rot} = \frac{1}{2} \times 3 \times (2)^2 = \frac{1}{2} \times 3 \times 4 = 6 \ J$.
$m$ द्रव्यमान वाले पिंड की स्थानांतरण गतिज ऊर्जा $(K_{trans})$ का सूत्र $K_{trans} = \frac{1}{2} m v^2$ है।
दिया गया है $m = 12 \ kg$ और $K_{trans} = K_{rot} = 6 \ J$,इसलिए समीकरण: $6 = \frac{1}{2} \times 12 \times v^2$.
$6 = 6 \times v^2 \Rightarrow v^2 = 1 \Rightarrow v = 1 \ m/s$.

(D) कथन $(a)$ गलत है क्योंकि द्रव्यमान केंद्र और गुरुत्व केंद्र केवल तभी संपाती होते हैं जब गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र एकसमान हो।
कथन $(b)$ सही है क्योंकि द्रव्यमान केंद्र को उस बिंदु के रूप में परिभाषित किया गया है जहाँ पिंड पर कार्य करने वाला कुल गुरुत्वाकर्षण बल आघूर्ण शून्य होता है।
कथन $(c)$ गलत है क्योंकि बल-युग्म केवल घूर्णन गति उत्पन्न करता है,स्थानांतरण गति नहीं,क्योंकि बल-युग्म का कुल बल शून्य होता है।
कथन $(d)$ सही है क्योंकि $\text{Mechanical Advantage} = \frac{\text{Load}}{\text{Effort}}$। यदि $\text{Mechanical Advantage} > 1$ है,तो $\text{Load} > \text{Effort}$,जिसका अर्थ है कि एक छोटे प्रयास से बड़े भार को उठाया जा सकता है।
अतः,कथन $(b)$ और $(d)$ सही हैं।

(D) पिंड की घूर्णन गतिज ऊर्जा $(K_r)$ का सूत्र $K_r = \frac{1}{2}I\omega^2$ है।
यहाँ $I = 3\ kg\cdot m^2$ और $\omega = 2\ rad/s$ दिया गया है,इसलिए $K_r = \frac{1}{2} \times 3 \times (2)^2 = \frac{1}{2} \times 3 \times 4 = 6\ J$ प्राप्त होता है।
$m$ द्रव्यमान वाले पिंड की स्थानांतरण गतिज ऊर्जा $(K_t)$ का सूत्र $K_t = \frac{1}{2}mv^2$ है।
प्रश्न के अनुसार,$K_r = K_t$ है।
इसलिए,$6 = \frac{1}{2} \times 12 \times v^2$ होगा।
$6 = 6 \times v^2$.
$v^2 = 1$.
अतः,$v = 1\ m/s$ प्राप्त होता है।

(A) लुढ़कती हुई वस्तु की कुल गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2}mv^2(1 + \frac{k^2}{R^2})$ द्वारा दी जाती है।
डिस्क के लिए,घूर्णन त्रिज्या $k$ का मान $\frac{k^2}{R^2} = \frac{1}{2}$ होता है। अतः,$K_{disc} = \frac{1}{2}mv_d^2(1 + \frac{1}{2}) = \frac{3}{4}mv_d^2$.
रिंग के लिए,घूर्णन त्रिज्या $k$ का मान $\frac{k^2}{R^2} = 1$ होता है। अतः,$K_{ring} = \frac{1}{2}mv_r^2(1 + 1) = mv_r^2$.
प्रश्न के अनुसार $K_{disc} = K_{ring}$ है,इसलिए $\frac{3}{4}mv_d^2 = mv_r^2$ होगा।
पदों को व्यवस्थित करने पर,$\frac{v_d^2}{v_r^2} = \frac{4}{3}$ प्राप्त होता है।
अतः,उनके वेगों का अनुपात $\frac{v_d}{v_r} = \sqrt{\frac{4}{3}} = \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}}$ होगा।

(D) कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,बाहरी टॉर्क द्वारा किया गया कार्य घूर्णी गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है।
$W = \tau \cdot \theta = \Delta K$
चूंकि पिंडों को विराम अवस्था में लाया जाता है,इसलिए टॉर्क $\tau$ द्वारा किया गया कार्य प्रारंभिक घूर्णी गतिज ऊर्जा $K$ के बराबर होना चाहिए।
$\tau \cdot \theta = K$
$\theta = \frac{K}{\tau}$
यहाँ,$\theta$ रेडियन में कोणीय विस्थापन है,जो चक्करों की संख्या $n$ से $\theta = 2\pi n$ द्वारा संबंधित है।
चूंकि तीनों वस्तुओं के लिए प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $K$ और लगाया गया टॉर्क $\tau$ समान है,इसलिए कोणीय विस्थापन $\theta$ भी सभी के लिए समान होगा।
अतः,चक्करों की संख्या $n = \frac{\theta}{2\pi} = \frac{K}{2\pi\tau}$ रिंग,ठोस गोले और डिस्क के लिए समान होगी।

(B) घूर्णन करती वस्तु को रोकने में कठिनाई उसकी घूर्णन गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2} I \omega^2$ द्वारा निर्धारित होती है। चूंकि दोनों वस्तुओं का कोणीय वेग $\omega$ समान है,इसलिए जिस वस्तु का जड़त्व आघूर्ण $I$ कम होगा,उसकी घूर्णन गतिज ऊर्जा कम होगी और उसे रोकना आसान होगा।
$M$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाली रिंग के लिए उसके व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{\text{ring}} = \frac{1}{2} MR^2$ होता है।
$M$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाले ठोस गोले के लिए उसके व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{\text{sphere}} = \frac{2}{5} MR^2$ होता है।
दोनों की तुलना करने पर,$I_{\text{sphere}} = 0.4 MR^2$ और $I_{\text{ring}} = 0.5 MR^2$ प्राप्त होता है।
चूंकि $I_{\text{sphere}} < I_{\text{ring}}$ है,इसलिए ठोस गोले की घूर्णन गतिज ऊर्जा कम है और उसे रोकना आसान है।

(A) $1$. ठोस गोले का उसके व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{2}{5}MR^2$ है।
$2$. गोले का आयतन $V = \frac{4}{3}\pi R^3$ है। डिस्क में बदलने पर आयतन स्थिर रहता है,इसलिए $V = \pi r^2 t$। अतः,$t = \frac{4R^3}{3r^2}$।
$3$. डिस्क का उसके तल के लंबवत और केंद्र से गुजरने वाली अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{cm} = \frac{1}{2}Mr^2$ है।
$4$. समांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करते हुए,किनारे को स्पर्श करने वाली और तल के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{tangent} = I_{cm} + Mr^2 = \frac{1}{2}Mr^2 + Mr^2 = \frac{3}{2}Mr^2$ होगा।
$5$. दिया गया है कि $I_{tangent} = I$,इसलिए $\frac{3}{2}Mr^2 = \frac{2}{5}MR^2$।
$6$. सरल करने पर,$r^2 = \frac{4}{15}R^2$,जिससे $r = \frac{2}{\sqrt{15}}R$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया है कि कोणीय संवेग $L$,रैखिक संवेग $P$ का $n$ गुना है,इसलिए $L = nP$ है।
एक दृढ़ पिंड की कुल गतिज ऊर्जा $(KE)$ उसकी घूर्णन गतिज ऊर्जा $(KE_R)$ और स्थानांतरण गतिज ऊर्जा $(KE_T)$ का योग होती है।
$KE = KE_R + KE_T$
सूत्र $KE_R = \frac{L^2}{2I}$ और $KE_T = \frac{P^2}{2m}$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $I$ जड़त्व आघूर्ण है:
$KE = \frac{L^2}{2I} + \frac{P^2}{2m}$
समीकरण में $L = nP$ प्रतिस्थापित करने पर:
$KE = \frac{(nP)^2}{2I} + \frac{P^2}{2m}$
$KE = \frac{n^2P^2}{2I} + \frac{P^2}{2m}$
$\frac{P^2}{2}$ को कॉमन लेने पर:
$KE = \frac{P^2}{2}\left(\frac{n^2}{I} + \frac{1}{m}\right)$

(A) माना रिंग का द्रव्यमान $M = 2 \ kg$,त्रिज्या $R = 0.5 \ m$ और वेग $v = 1 \ m/s$ है। गेंद का द्रव्यमान $m = 0.1 \ kg$,प्रारंभिक वेग $u_x = -20 \ m/s$ और अंतिम वेग $v_x = 0, v_y = 10 \ m/s$ है। टक्कर बिंदु $h = 0.75 \ m = 1.5R$ ऊँचाई पर है।
$x$-दिशा में गेंद के लिए आवेग-संवेग प्रमेय का उपयोग करने पर: $J_x = m(v_x - u_x) = 0.1(0 - (-20)) = 2 \ Ns$. रिंग पर लगा आवेग $J_x' = -2 \ Ns$ है।
रिंग के लिए,रैखिक संवेग में परिवर्तन $M(v_f - v_i) = J_x'$ है,अतः $2(v_f - 1) = -2$,जिससे $v_f = 0$ प्राप्त होता है।
$1.5R$ ऊँचाई पर रिंग पर लगा आवेग द्रव्यमान केंद्र के परितः कोणीय आवेग उत्पन्न करता है: $\tau_{imp} = J_x' \times (1.5R - R) = -2 \times 0.25 = -0.5 \ Nms$.
प्रारंभिक कोणीय संवेग $L_i = I\omega = (MR^2)(v/R) = MvR = 2 \times 1 \times 0.5 = 1 \ kgm^2/s$.
अंतिम कोणीय संवेग $L_f = L_i + \tau_{imp} = 1 - 0.5 = 0.5 \ kgm^2/s$.
चूँकि $L_f = I\omega_f = (MR^2)\omega_f = (2 \times 0.5^2)\omega_f = 0.5\omega_f$,हमें $0.5 = 0.5\omega_f$ प्राप्त होता है,अतः $\omega_f = 1 \ rad/s$.
चूँकि $v_f = 0$ और $\omega_f \neq 0$ है,इसलिए रिंग अपने द्रव्यमान केंद्र के परितः शुद्ध घूर्णन कर रही है।

(A) कोणीय संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,यदि कोई बाहरी टॉर्क नहीं लगाया जाता है $(\tau_{ext} = 0)$,तो कोणीय संवेग $L = I\omega$ स्थिर रहता है।
घूर्णन गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2} I\omega^2$ द्वारा दी जाती है। $\omega = \frac{L}{I}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $K = \frac{L^2}{2I}$ प्राप्त होता है।
यदि $L$ स्थिर रहता है और जड़त्व आघूर्ण $I$ बढ़ता है,तो गतिज ऊर्जा $K$ कम होनी चाहिए क्योंकि $K \propto \frac{1}{I}$।
कथन-$1$ दावा करता है कि $K$ कम हो जाता है,जो केवल तभी संभव है यदि $I$ में परिवर्तन हो। यदि $I$ स्थिर है और $L$ स्थिर है,तो $\omega$ भी स्थिर रहना चाहिए,और इसलिए $K$ स्थिर रहना चाहिए। अतः कथन-$1$ गलत है।
कथन-$2$ $L$ और $K$ की सही परिभाषाएँ देता है,इसलिए यह सही है।

(D) एक ठोस गोले का उसके व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण का सूत्र है:
$I = \frac{2}{5} M R^2$
चूंकि द्रव्यमान $M$ स्थिर है,इसलिए:
$I \propto R^2$
यह संबंध $I$-अक्ष की ओर खुलने वाले एक परवलय (parabola) को दर्शाता है।
दिए गए विकल्पों की तुलना करने पर,वह ग्राफ जो $I$ में $R$ के वर्ग के अनुपात में वृद्धि को दर्शाता है,वह ग्राफ $D$ है।

(D) वृत्तीय गति में एक कण का कोणीय संवेग $L = I\omega$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $I$ जड़त्व आघूर्ण है और $\omega$ कोणीय वेग है।
गतिज ऊर्जा $E$ का मान $E = \frac{1}{2}I\omega^2$ होता है।
इनसे,हम लिख सकते हैं $L = \frac{2E}{\omega}$।
दिया गया है: आवृत्ति $f$ दोगुनी हो जाती है,इसलिए कोणीय वेग $\omega' = 2\omega$। गतिज ऊर्जा आधी हो जाती है,इसलिए $E' = \frac{E}{2}$।
नया कोणीय संवेग $L'$ होगा:
$L' = \frac{2E'}{\omega'} = \frac{2(E/2)}{2\omega} = \frac{E}{2\omega} = \frac{1}{4} \left( \frac{2E}{\omega} \right) = \frac{L}{4}$।

(A) मान लीजिए कि टक्कर के बाद निकाय के द्रव्यमान केंद्र का वेग $V_{CM}$ है।
चूंकि निकाय पर कोई बाहरी क्षैतिज बल कार्य नहीं कर रहा है,इसलिए निकाय का रैखिक संवेग संरक्षित रहता है।
मान लीजिए कि $2m$ द्रव्यमान के वेग की दिशा धनात्मक ($+y$ दिशा) है और $m$ द्रव्यमान के वेग की दिशा ऋणात्मक ($-y$ दिशा) है।
निकाय का प्रारंभिक रैखिक संवेग है:
$P_i = (2m)(v) + (m)(-2v) = 2mv - 2mv = 0$
टक्कर के बाद,दोनों द्रव्यमान छड़ से चिपक जाते हैं,इसलिए निकाय का कुल द्रव्यमान $M_{total} = 8m + 2m + m = 11m$ है।
रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार:
$P_i = P_f$
$0 = (11m) V_{CM}$
इसलिए,$V_{CM} = 0$.

(C) दिया गया है: प्रारंभिक कोणीय वेग $\omega_0 = 0$,कोणीय त्वरण $\alpha = 8 \ rad \ s^{-2}$.
$1$. $t = 5 \ s$ के लिए: कोणीय विस्थापन $\theta_5 = \omega_0 t + \frac{1}{2} \alpha t^2 = 0(5) + \frac{1}{2}(8)(5)^2 = 100 \ rad$.
$5 \ s$ में चक्करों की संख्या $n_5 = \frac{\theta_5}{2\pi} = \frac{100}{2\pi}$ है।
$2$. $t = 6 \ s$ के लिए: कोणीय विस्थापन $\theta_6 = \omega_0 t + \frac{1}{2} \alpha t^2 = 0(6) + \frac{1}{2}(8)(6)^2 = 144 \ rad$.
छठे सेकंड में चक्करों की संख्या $\Delta n = \frac{\theta_6 - \theta_5}{2\pi} = \frac{144 - 100}{2\pi} = \frac{44}{2\pi}$ है।
$3$. $6 \ s$ के बाद टॉर्क शून्य हो जाता है,इसलिए $\alpha = 0$. $t = 6 \ s$ पर कोणीय वेग $\omega_6 = \omega_0 + \alpha t = 0 + (8)(6) = 48 \ rad \ s^{-1}$.
सातवें सेकंड में (अर्थात $t=6$ से $t=7$ तक),कोणीय विस्थापन $\theta_7 = \omega_6 \times \Delta t = 48 \times 1 = 48 \ rad$.
सातवें सेकंड में चक्करों की संख्या $\frac{48}{2\pi}$ है।

(C) बेलन $A$ की प्रारंभिक कोणीय गति $\omega_{0A} = 50 \text{ rev/s}$ है।
बेलन $B$ की प्रारंभिक कोणीय गति $\omega_{0B} = 0 \text{ rev/s}$ है।
मान लीजिए कोणीय त्वरण का परिमाण $\alpha = 1 \text{ rev/s}^2$ है।
बेलन $A$ के लिए,$t$ समय के बाद कोणीय गति $\omega_A = \omega_{0A} - \alpha t = 50 - 1t$ होगी।
बेलन $B$ के लिए,$t$ समय के बाद कोणीय गति $\omega_B = \omega_{0B} + \alpha t = 0 + 1t = t$ होगी।
जब दोनों बेलनों की कोणीय गति समान हो जाती है,तो $\omega_A = \omega_B$ होता है।
इसलिए,$50 - t = t$.
$2t = 50$.
$t = 25 \text{ सेकंड}$।

(A) प्रारंभिक कोणीय वेग $\omega_0 = 100 \ rpm = 100 \times \frac{2\pi}{60} \ rad/s = \frac{10\pi}{3} \ rad/s$.
अंतिम कोणीय वेग $\omega = 0 \ rad/s$ और समय $t = 15 \ s$ है।
घूर्णन गति के समीकरण $\omega = \omega_0 + \alpha t$ का उपयोग करने पर:
$0 = \frac{10\pi}{3} + \alpha(15) \implies \alpha = -\frac{10\pi}{45} = -\frac{2\pi}{9} \ rad/s^2$.
अब,कुल कोणीय विस्थापन $\theta = \omega_0 t + \frac{1}{2} \alpha t^2$:
$\theta = (\frac{10\pi}{3})(15) + \frac{1}{2}(-\frac{2\pi}{9})(15)^2 = 50\pi - 25\pi = 25\pi \ rad$.
चक्करों की संख्या $N = \frac{\theta}{2\pi} = \frac{25\pi}{2\pi} = 12.5$ चक्कर।

(A) कोणीय संवेग $L = I\omega$ द्वारा दिया जाता है।
घूर्णन गतिज ऊर्जा $E_K = \frac{1}{2} I \omega^2$ द्वारा दी जाती है।
इन दो समीकरणों से,हम लिख सकते हैं $I = \frac{L}{\omega}$। इस मान को गतिज ऊर्जा के समीकरण में रखने पर:
$E_K = \frac{1}{2} (\frac{L}{\omega}) \omega^2 = \frac{1}{2} L \omega$।
अतः,$L = \frac{2 E_K}{\omega}$।
मान लीजिए प्रारंभिक स्थिति $(L_1, E_{K1}, \omega_1)$ है और अंतिम स्थिति $(L_2, E_{K2}, \omega_2)$ है।
दिया गया है: $\omega_2 = 2\omega_1$ और $E_{K2} = \frac{E_{K1}}{2}$।
अनुपात लेने पर:
$\frac{L_2}{L_1} = \frac{2 E_{K2} / \omega_2}{2 E_{K1} / \omega_1} = \frac{E_{K2}}{E_{K1}} \times \frac{\omega_1}{\omega_2}$।
दिए गए मानों को रखने पर:
$\frac{L_2}{L_1} = (\frac{1}{2}) \times (\frac{1}{2}) = \frac{1}{4}$।
इस प्रकार,$L_2 = \frac{L_1}{4} = \frac{L}{4}$।

(C) घूर्णन गतिज ऊर्जा $K$ का सूत्र $K = \frac{L^2}{2I}$ है,जहाँ $L$ कोणीय संवेग है और $I$ जड़त्व आघूर्ण है।
यह दिया गया है कि घूर्णन गतिज ऊर्जा समान है,इसलिए $K_1 = K_2$.
अतः,$\frac{L_1^2}{2I_1} = \frac{L_2^2}{2I_2}$.
कोणीय संवेग के अनुपात के लिए समीकरण को व्यवस्थित करने पर,हमें $\frac{L_1^2}{L_2^2} = \frac{I_1}{I_2}$ प्राप्त होता है।
दिए गए मान $I_1 = I$ और $I_2 = 2I$ रखने पर,$\frac{L_1^2}{L_2^2} = \frac{I}{2I} = \frac{1}{2}$.
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,कोणीय संवेग का अनुपात $\frac{L_1}{L_2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ प्राप्त होता है।

(D) प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $(K.E.)_i = \frac{1}{2} I \omega^2 + \frac{1}{2} m v^2$
$I = \frac{1}{2} M R^2 = \frac{1}{2} \times 2 \times (0.2)^2 = 0.04 \ kg \cdot m^2$
$(K.E.)_i = \frac{1}{2} \times 0.04 \times (3)^2 + \frac{1}{2} \times 0.5 \times (5)^2 = 0.18 + 6.25 = 6.43 \ J$
कोणीय संवेग संरक्षण के नियम से: $L_i = L_f$
$I \omega + m v R = (I + m R^2) \omega_f$
$0.04 \times 3 + 0.5 \times 5 \times 0.2 = (0.04 + 0.5 \times (0.2)^2) \omega_f$
$0.12 + 0.5 = (0.04 + 0.02) \omega_f$
$0.62 = 0.06 \omega_f \Rightarrow \omega_f = \frac{0.62}{0.06} = 10.33 \ rad/s$
अंतिम गतिज ऊर्जा $(K.E.)_f = \frac{1}{2} (I + m R^2) \omega_f^2 = \frac{1}{2} (0.06) \times (10.33)^2 = 0.03 \times 106.7 = 3.20 \ J$
ऊर्जा में हानि $\Delta E = (K.E.)_i - (K.E.)_f = 6.43 - 3.20 = 3.23 \ J \approx 3.25 \ J$ (निकटतम विकल्प)।

(B) एक पतले खोखले बेलन के लिए,जड़त्व आघूर्ण $I = MR^2$ है,इसलिए घूर्णन त्रिज्या $K$ के लिए $K^2/R^2 = 1$ होता है।
स्थिति $1$: बिना घूर्णन के फिसलना।
गतिज ऊर्जा केवल स्थानांतरणीय है: $E_1 = \frac{1}{2} Mv^2$.
स्थिति $2$: बिना फिसले लुढ़कना।
कुल गतिज ऊर्जा स्थानांतरणीय और घूर्णन गतिज ऊर्जा का योग है: $E_2 = \frac{1}{2} Mv^2 + \frac{1}{2} I\omega^2$.
चूंकि $v = R\omega$ और $I = MR^2$,इसलिए $E_2 = \frac{1}{2} Mv^2 + \frac{1}{2} (MR^2)(v/R)^2 = \frac{1}{2} Mv^2 + \frac{1}{2} Mv^2 = Mv^2$ होता है।
गतिज ऊर्जाओं का अनुपात: $E_1 / E_2 = (\frac{1}{2} Mv^2) / (Mv^2) = 1/2$.
अतः,अनुपात $1 : 2$ है।

(C) $T$ तापमान पर गोले की त्रिज्या $R_T = R_0(1 + \alpha \Delta T)$ द्वारा दी जाती है।
$\Delta T = 100^{\circ}C$ के लिए,$R_{100} = R_0(1 + 100\alpha)$.
ठोस गोले का जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{2}{5}MR^2$ होता है।
चूंकि गोले पर कोई बाहरी टॉर्क कार्य नहीं करता है,इसलिए कोणीय संवेग संरक्षित रहता है: $I_0 \omega_0 = I_{100} \omega_{100}$.
मान रखने पर: $\frac{2}{5}MR_0^2 \omega_0 = \frac{2}{5}MR_{100}^2 \omega_{100}$.
$R_0^2 \omega_0 = [R_0(1 + 100\alpha)]^2 \omega_{100}$.
$R_0^2 \omega_0 = R_0^2(1 + 200\alpha) \omega_{100}$ (छोटे $x$ के लिए द्विपद सन्निकटन $(1+x)^n \approx 1+nx$ का उपयोग करते हुए)।
$\omega_{100} = \frac{\omega_0}{1 + 200\alpha} = \frac{\omega_0}{1 + 200(2.0 \times 10^{-5})} = \frac{\omega_0}{1 + 0.004} = \frac{\omega_0}{1.004}$.
$\omega_{100} \approx 0.996 \omega_0$.

(C) मान लीजिए कि $x$ समबाहु त्रिभुज के केंद्र $O$ से प्रत्येक भुजा की लंबवत दूरी है।
चूंकि त्रिभुज समबाहु है,केंद्र से प्रत्येक भुजा की दूरी समान होती है।
बिंदु $O$ के परितः बल $F$ द्वारा उत्पन्न बलाघूर्ण $\tau = F \times x$ द्वारा दिया जाता है।
त्रिभुज की भुजाओं के अनुदिश बलों $\vec F_1, \vec F_2$ और $\vec F_3$ की दिशाओं को देखने पर,हम देख सकते हैं कि $\vec F_1$ और $\vec F_2$ $O$ के परितः समान घूर्णन दिशा (जैसे दक्षिणावर्त) में बलाघूर्ण उत्पन्न करते हैं,जबकि $\vec F_3$ विपरीत दिशा में बलाघूर्ण उत्पन्न करता है।
$O$ के परितः कुल बलाघूर्ण शून्य होने के लिए,बलाघूर्णों का योग शून्य होना चाहिए:
$\tau_1 + \tau_2 - \tau_3 = 0$
$F_1 x + F_2 x - F_3 x = 0$
$x$ से विभाजित करने पर (चूंकि $x \neq 0$):
$F_1 + F_2 - F_3 = 0$
अतः,$F_3 = F_1 + F_2$.

(D) $m$ द्रव्यमान और $r$ त्रिज्या वाले एक पतले गोलीय कोश का उसके व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{diam} = \frac{2}{3} mr^2$ होता है।
तीसरे कोश के लिए,$XX'$ अक्ष उसके व्यास से होकर गुजरती है। इसलिए,इसका जड़त्व आघूर्ण $I_3 = \frac{2}{3} mr^2$ है।
अन्य दो कोशों के लिए,$XX'$ अक्ष उनकी स्पर्शरेखा है। समांतर अक्ष प्रमेय के अनुसार,स्पर्शरेखा के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{tangent} = I_{cm} + md^2$ होता है,जहाँ $d = r$ है। अतः,$I_1 = I_2 = \frac{2}{3} mr^2 + mr^2 = \frac{5}{3} mr^2$ है।
$XX'$ अक्ष के परितः प्रणाली का कुल जड़त्व आघूर्ण $I = I_1 + I_2 + I_3 = \frac{5}{3} mr^2 + \frac{5}{3} mr^2 + \frac{2}{3} mr^2 = \frac{12}{3} mr^2 = 4 mr^2$ है।

(A) जब पृथ्वी घूमना बंद कर देती है,तो उसकी घूर्णन गतिज ऊर्जा ऊष्मीय ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है।
घूर्णन गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2} I \omega^2$ है।
एक ठोस गोले के लिए,जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{2}{5} M R^2$ होता है।
अतः,$K = \frac{1}{2} (\frac{2}{5} M R^2) \omega^2 = \frac{1}{5} M R^2 \omega^2$।
यह ऊर्जा ऊष्मा $Q = M S \Delta \theta$ में परिवर्तित हो जाती है,जहाँ $M$ द्रव्यमान है,$S$ विशिष्ट ऊष्मा है और $\Delta \theta$ तापमान में परिवर्तन है।
ऊष्मा के यांत्रिक तुल्यांक $W = JQ$ का उपयोग करते हुए,हमें प्राप्त होता है $\frac{1}{5} M R^2 \omega^2 = J (M S \Delta \theta)$।
$\Delta \theta$ के लिए हल करने पर,$\Delta \theta = \frac{R^2 \omega^2}{5Js}$ प्राप्त होता है।

(D) फ्लाईव्हील घूर्णी ऊर्जा को संग्रहीत करने के लिए उपयोग किया जाने वाला एक भारी घूमने वाला यांत्रिक उपकरण है। स्टीम इंजन में,ऊर्जा का उत्पादन अक्सर चक्रीय या रुक-रुक कर होता है। फ्लाईव्हील,अपने बड़े जड़त्व आघूर्ण (moment of inertia) के कारण,घूर्णी गति में परिवर्तन का विरोध करता है। जब इंजन अतिरिक्त ऊर्जा उत्पन्न करता है,तो फ्लाईव्हील अपने कोणीय वेग को बढ़ाकर उसे अवशोषित कर लेता है। जब इंजन कम ऊर्जा उत्पन्न करता है,तो फ्लाईव्हील स्थिर कोणीय वेग बनाए रखने के लिए संग्रहीत ऊर्जा को छोड़ देता है। इस प्रकार,यह टॉर्क में होने वाले उतार-चढ़ाव को कम करके इंजन की गति को एकसमान रखने में मदद करता है। इसलिए,सही विकल्प $D$ है।

(B) कोणीय संवेग संरक्षण के सिद्धांत के अनुसार, $L = I\omega = \text{नियतांक}$.
जब '$m$' द्रव्यमान का श्यान द्रव प्लेटफॉर्म पर गिराया जाता है, तो यह बाहर की ओर फैलता है। इससे निकाय का जड़त्व आघूर्ण $(I)$ बढ़ जाता है। चूँकि $L$ नियत है, इसलिए कोणीय वेग $(\omega)$ घट जाता है।
जैसे ही द्रव किनारे तक पहुँचता है और प्लेटफॉर्म से नीचे गिर जाता है, निकाय का जड़त्व आघूर्ण $(I)$ घटकर अपने मूल मान की ओर वापस आ जाता है। परिणामस्वरूप, कोणीय वेग $(\omega)$ पुनः बढ़ जाता है।

(D) किसी निकाय का रैखिक संवेग $P$,कुल द्रव्यमान $M$ और द्रव्यमान केंद्र के वेग $v_{cm}$ के गुणनफल के बराबर होता है,अर्थात $P = M \cdot v_{cm}$।
चूंकि डिस्क अपने द्रव्यमान केंद्र से गुजरने वाली एक स्थिर अक्ष के परितः घूम रही है,इसलिए डिस्क का द्रव्यमान केंद्र स्थिर रहता है।
अतः,द्रव्यमान केंद्र का वेग $v_{cm} = 0$ है।
परिणामस्वरूप,रैखिक संवेग $P = 2 \ kg \times 0 \ m/s = 0 \ kg \cdot m/s$ होगा।
चूंकि $0 \ kg \cdot m/s$ विकल्पों $A$,$B$ या $C$ में नहीं दिया गया है,इसलिए सही विकल्प $D$ है।

(D) वस्तु की घूर्णन गतिज ऊर्जा $K_{rot} = \frac{1}{2} I \omega^2$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ $I = 3 \ kg \cdot m^2$ और $\omega = 2 \ rad/s$ दिया गया है,अतः $K_{rot} = \frac{1}{2} \times 3 \times (2)^2 = \frac{1}{2} \times 3 \times 4 = 6 \ J$ है।
द्रव्यमान की स्थानांतरण गतिज ऊर्जा $K_{trans} = \frac{1}{2} m v^2$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ $m = 12 \ kg$ दिया गया है,अतः $K_{trans} = K_{rot}$ रखने पर:
$\frac{1}{2} \times 12 \times v^2 = 6$
$6 \times v^2 = 6$
$v^2 = 1$
$v = 1 \ m/s$.

(B) ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,गिरते हुए द्रव्यमान द्वारा खोई गई स्थितिज ऊर्जा,द्रव्यमान की गतिज ऊर्जा और पहिए की घूर्णन गतिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है।
प्रारंभिक ऊर्जा = अंतिम ऊर्जा
$mgh = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$
चूंकि रस्सी फिसलती नहीं है,इसलिए द्रव्यमान का रैखिक वेग $v$ और पहिए का कोणीय वेग $\omega$ के बीच संबंध $v = r\omega$ है।
ऊर्जा समीकरण में $v = r\omega$ रखने पर:
$mgh = \frac{1}{2}m(r\omega)^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$
$mgh = \frac{1}{2}(mr^2 + I)\omega^2$
$\omega$ के लिए हल करने पर:
$\omega^2 = \frac{2mgh}{I + mr^2}$
$\omega = \sqrt{\frac{2mgh}{I + mr^2}}$

(D) नत तल पर लुढ़कने वाली वस्तु द्वारा लिया गया समय $t = \sqrt{\frac{2h}{g \sin^2 \theta} (1 + \frac{I}{MR^2})}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
चूँकि जड़त्व आघूर्ण $I$ द्रव्यमान के वितरण पर निर्भर करता है,और घूर्णन त्रिज्या $k$ को $I = Mk^2$ द्वारा परिभाषित किया जाता है,इसलिए लिया गया समय जड़त्व आघूर्ण और घूर्णन त्रिज्या दोनों पर निर्भर करता है।
एक ठोस गोले के लिए $I = \frac{2}{5}MR^2$ होता है और एक चकती के लिए $I = \frac{1}{2}MR^2$ होता है।
चूँकि उनके जड़त्व आघूर्ण और घूर्णन त्रिज्याएँ अलग-अलग हैं,इसलिए वे अलग-अलग समय पर आधार पर पहुँचते हैं।
अतः,$(a)$ तथा $(c)$ दोनों सही हैं।

(B) नियत कोणीय वेग $\omega$ के साथ किसी पिंड को घुमाने के लिए किया गया कार्य $W = \frac{1}{2} I \omega^2$ द्वारा दिया जाता है। कार्य न्यूनतम होने के लिए,निकाय का जड़त्व आघूर्ण $I$ न्यूनतम होना चाहिए।
मान लीजिए कि घूर्णन अक्ष $0.3 \, kg$ द्रव्यमान से $x$ दूरी पर है। तब $0.7 \, kg$ द्रव्यमान से इसकी दूरी $(1.4 - x)$ होगी।
जड़त्व आघूर्ण $I = m_1 x^2 + m_2 (L - x)^2 = 0.3 x^2 + 0.7 (1.4 - x)^2$ है।
न्यूनतम $I$ ज्ञात करने के लिए,हम $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं और इसे शून्य के बराबर रखते हैं:
$\frac{dI}{dx} = 0.3(2x) + 0.7(2)(1.4 - x)(-1) = 0$
$0.6x - 1.4(1.4 - x) = 0$
$0.6x - 1.96 + 1.4x = 0$
$2.0x = 1.96$
$x = 0.98 \, m$.
अतः,अक्ष को $0.3 \, kg$ द्रव्यमान से $0.98 \, m$ की दूरी से गुजरना चाहिए।

(D) माना छड़ की लंबाई $l$ है और इसका द्रव्यमान $m$ है,इसलिए $W = mg$। प्रारंभ में,छड़ संतुलन में है। जब सिरे $B$ पर मौजूद व्यक्ति छड़ को छोड़ देता है,तो छड़ अपने द्रव्यमान केंद्र $G$ ($A$ से $l/2$ दूरी पर) पर कार्य करने वाले भार के कारण उत्पन्न टॉर्क के कारण दूसरे सिरे $A$ के परितः घूमने लगती है।
बिंदु $A$ के परितः टॉर्क $\tau = W \cdot \frac{l}{2}$ है।
बिंदु $A$ के परितः छड़ का जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{ml^2}{3}$ है।
$\tau = I\alpha$ का उपयोग करने पर,$W \cdot \frac{l}{2} = \left(\frac{ml^2}{3}\right)\alpha$।
$W = mg$ रखने पर,$mg \cdot \frac{l}{2} = \frac{ml^2}{3} \alpha$,जिसे सरल करने पर $\alpha = \frac{3g}{2l}$ प्राप्त होता है।
द्रव्यमान केंद्र $G$ का रेखीय त्वरण $a = \frac{l}{2} \alpha = \frac{l}{2} \cdot \frac{3g}{2l} = \frac{3g}{4}$ है।
अब,द्रव्यमान केंद्र की ऊर्ध्वाधर गति के लिए न्यूटन के दूसरे नियम को लागू करने पर: $W - N = ma$,जहाँ $N$ बिंदु $A$ पर व्यक्ति द्वारा लगाया गया अभिलंब बल है।
$mg - N = m \left(\frac{3g}{4}\right)$।
$N = mg - \frac{3mg}{4} = \frac{mg}{4} = \frac{W}{4}$।
अतः,दूसरा व्यक्ति $W/4$ बल महसूस करेगा।

(D) दिया गया है कि बल आघूर्ण $\overrightarrow{\tau} = \overrightarrow{A} \times \overrightarrow{L}$ है। चूँकि $\overrightarrow{\tau} = \frac{d\overrightarrow{L}}{dt}$,इसलिए $\frac{d\overrightarrow{L}}{dt} = \overrightarrow{A} \times \overrightarrow{L}$ है।
$1$. सदिश गुणनफल की परिभाषा के अनुसार,$\frac{d\overrightarrow{L}}{dt}$,$\overrightarrow{A}$ और $\overrightarrow{L}$ दोनों के लम्बवत् होता है। अतः $\frac{d\overrightarrow{L}}{dt} \perp \overrightarrow{L}$,जिससे विकल्प $(a)$ सही है।
$2$. $\overrightarrow{L}$ के परिमाण की जाँच करने के लिए,$L^2 = \overrightarrow{L} \cdot \overrightarrow{L}$ लें। समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{d}{dt}(L^2) = 2\overrightarrow{L} \cdot \frac{d\overrightarrow{L}}{dt}$। चूँकि $\frac{d\overrightarrow{L}}{dt} \perp \overrightarrow{L}$,इसलिए अदिश गुणनफल $\overrightarrow{L} \cdot \frac{d\overrightarrow{L}}{dt} = 0$ होगा। अतः,$\frac{d}{dt}(L^2) = 0$,जिसका अर्थ है कि परिमाण $L$ नियत है। अतः विकल्प $(c)$ सही है।
$3$. चूँकि $\frac{d\overrightarrow{L}}{dt} = \overrightarrow{A} \times \overrightarrow{L}$,$\overrightarrow{L}$ के परिवर्तन की दर हमेशा $\overrightarrow{A}$ के लम्बवत् होती है। $\overrightarrow{A}$ की दिशा में $\overrightarrow{L}$ का घटक $L_A = \overrightarrow{L} \cdot \hat{A}$ द्वारा दिया जाता है। समय के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{dL_A}{dt} = \frac{d\overrightarrow{L}}{dt} \cdot \hat{A} = (\overrightarrow{A} \times \overrightarrow{L}) \cdot \hat{A}$। चूँकि सदिश गुणनफल $(\overrightarrow{A} \times \overrightarrow{L})$,$\overrightarrow{A}$ के लम्बवत् है,इसलिए $\hat{A}$ के साथ अदिश गुणनफल शून्य होगा। अतः $\frac{dL_A}{dt} = 0$,जिसका अर्थ है कि $\overrightarrow{A}$ की दिशा में $\overrightarrow{L}$ का घटक नियत है। अतः विकल्प $(b)$ सही है।
चूँकि सभी कथन सही हैं,इसलिए उत्तर $(d)$ है।

(A) अवरोध $O$ से टकराने से पूर्व,$O$ के सापेक्ष घन का कोणीय संवेग $L = Mv(a/2)$ है।
$O$ से टकराने के बाद,घन $O$ से होकर जाने वाली भुजा के परितः घूमेगा। कोणीय संवेग $L = I\omega$ है,जहाँ $I$ उस भुजा के परितः घन का जड़त्व आघूर्ण है जो $O$ से होकर गुजरती है।
समांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करते हुए,$I = I_{cm} + Md^2$,जहाँ $I_{cm} = \frac{Ma^2}{6}$ और $d = \sqrt{(a/2)^2 + (a/2)^2} = \frac{a}{\sqrt{2}}$ है।
अतः,$I = \frac{Ma^2}{6} + M(\frac{a^2}{2}) = \frac{Ma^2 + 3Ma^2}{6} = \frac{4Ma^2}{6} = \frac{2Ma^2}{3}$।
$O$ के परितः कोणीय संवेग संरक्षण के नियम से:
$Mv(a/2) = I\omega$
$Mv(a/2) = (\frac{2Ma^2}{3})\omega$
$\omega = \frac{Mv(a/2) \cdot 3}{2Ma^2} = \frac{3v}{4a}$।

(A) माना छड़ की लंबाई $l = 2L$ है। छड़ का द्रव्यमान केंद्र संपर्क बिंदु से $l/2 = L$ की दूरी पर है।
प्रारंभ में,फर्श से द्रव्यमान केंद्र की ऊँचाई $h = (l/2) \sin\alpha = L \sin\alpha$ है।
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,स्थितिज ऊर्जा में कमी घूर्णन गतिज ऊर्जा में वृद्धि के बराबर होती है:
$mgh = \frac{1}{2} I \omega^2$
यहाँ,$I$ संपर्क बिंदु के परित: छड़ का जड़त्व आघूर्ण है,जो $I = \frac{ml^2}{3} = \frac{m(2L)^2}{3} = \frac{4mL^2}{3}$ है।
मान रखने पर:
$mg(L \sin\alpha) = \frac{1}{2} \left( \frac{4mL^2}{3} \right) \omega^2$
$mgL \sin\alpha = \frac{2mL^2}{3} \omega^2$
$g \sin\alpha = \frac{2L}{3} \omega^2$
$\omega^2 = \frac{3g \sin\alpha}{2L}$
$\omega = \sqrt{\frac{3g \sin\alpha}{2L}}$

(D) चक्करों की कुल संख्या $\omega-t$ ग्राफ के अंतर्गत क्षेत्रफल के बराबर होती है।
यह ग्राफ एक समलंब चतुर्भुज (trapezium) है,जिसकी समांतर भुजाओं की लंबाई $5 \text{ min}$ (आधार) और $2.5 \text{ min}$ (ऊपरी सपाट भाग,$3.5 - 1 = 2.5$) है।
यहाँ ऊँचाई (कोणीय वेग) $\omega = 3000 \text{ rpm}$ है।
चक्करों की संख्या $= \frac{1}{2} \times (\text{समांतर भुजाओं का योग}) \times \text{ऊँचाई}$
$= \frac{1}{2} \times (5 + 2.5) \times 3000 = \frac{1}{2} \times 7.5 \times 3000 = 11250$ चक्कर।

(B) चूँकि निकाय पर कोई बाह्य बल आघूर्ण कार्य नहीं कर रहा है,इसलिए कोणीय संवेग $L = I\omega$ नियत रहता है।
जैसे-जैसे कछुआ जीवा पर गति करता है,केंद्र से उसकी दूरी $r$ बदलती है।
निकाय का जड़त्व आघूर्ण $I = I_{\text{platform}} + mr^2$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $m$ कछुए का द्रव्यमान है और $r$ केंद्र से उसकी दूरी है।
प्रारंभ में,कछुआ किनारे पर $(r = R)$ है,इसलिए जड़त्व आघूर्ण अधिकतम है। जैसे-जैसे वह जीवा के मध्य बिंदु (मंच के केंद्र के सबसे निकटतम बिंदु) की ओर बढ़ता है,दूरी $r$ घटती है,जिससे जड़त्व आघूर्ण $I$ घट जाता है।
चूँकि $L = I\omega$ नियत है,यदि $I$ घटता है,तो कोणीय वेग $\omega$ बढ़ना चाहिए।
केंद्र के सबसे निकटतम बिंदु को पार करने के बाद,दूरी $r$ फिर से बढ़ने लगती है,जिससे जड़त्व आघूर्ण $I$ बढ़ता है,जिसके परिणामस्वरूप कोणीय वेग $\omega$ घट जाता है।
अतः,कोणीय वेग पहले बढ़ता है और फिर घटता है।

(D) एक ठोस गोले का उसके व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण का सूत्र है: $I = \frac{2}{5}MR^2$.
चूंकि द्रव्यमान $M$ नियत है,इसलिए हम इस संबंध को $I \propto R^2$ के रूप में लिख सकते हैं।
यह $y = kx^2$ के रूप का एक परवलय (parabola) समीकरण है,जहाँ $y = I$ और $x = R$ है।
अतः,$I$ और $R$ के बीच का ग्राफ मूल बिंदु $(0,0)$ से शुरू होने वाला और ऊपर की ओर खुलने वाला एक परवलय होगा।
दिए गए विकल्पों की तुलना करने पर,विकल्प $D$ में दर्शाया गया ग्राफ इस परवलयिक संबंध को प्रदर्शित करता है।

(C) दिया गया समीकरण $I = I_{cm} + Mx^2$ है। यह समीकरण $y = c + ax^2$ के रूप में है,जो $I$-अक्ष के सापेक्ष सममित एक परवलय को दर्शाता है।
जब $x = 0$ होता है,तब $I = I_{cm}$ होता है,इसलिए परवलय का शीर्ष $(0, I_{cm})$ पर स्थित है।
अतः,ग्राफ एक परवलय है जो $I$-अक्ष के सापेक्ष सममित है और मूल बिंदु से होकर नहीं गुजरता है। यह ग्राफ विकल्प $C$ में दर्शाया गया है।

(A) कोणीय संवेग $L$ तथा कोणीय वेग $\omega$ के बीच का संबंध सूत्र $L = I\omega$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $I$ जड़त्व आघूर्ण (moment of inertia) है।
यदि जड़त्व आघूर्ण $I$ नियत रहता है,तो समीकरण $L = I\omega$ एक रैखिक संबंध $y = mx$ को दर्शाता है,जहाँ $I$ ढाल (slope) के रूप में कार्य करता है।
अतः,$L$ और $\omega$ के बीच का ग्राफ मूल बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा होगी जिसकी ढाल $I$ के बराबर नियत होगी।
यह ग्राफ विकल्प $A$ में दर्शाया गया है।

(B) घूर्णन अक्ष से $r$ दूरी पर स्थित एक कण के लिए कोणीय संवेग $L$ और रेखीय संवेग $P$ के बीच का संबंध $L = rP$ द्वारा दिया जाता है।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक (natural logarithm) लेने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\log_e L = \log_e (rP)$
लघुगणक के गुणधर्म $\log(ab) = \log a + \log b$ का उपयोग करने पर:
$\log_e L = \log_e P + \log_e r$
यह समीकरण एक सरल रेखा $y = mx + c$ के रूप में है,जहाँ $y = \log_e L$,$x = \log_e P$,ढाल $m = 1$ और अंतःखंड $c = \log_e r$ है।
चूंकि अंतःखंड $c = \log_e r$ सामान्यतः शून्य नहीं होता है,इसलिए ग्राफ $1$ की ढाल वाली एक सीधी रेखा होगी जो मूल बिंदु से होकर नहीं गुजरेगी। यह ग्राफ विकल्प $B$ में दर्शाया गया है।

(B) $M$ द्रव्यमान और $a$ त्रिज्या वाले ठोस गोले का उसके व्यास के परित: जड़त्व आघूर्ण $I_{cm} = \frac{2}{5}Ma^2$ होता है।
माना घूर्णन अक्ष भुजा $AB$ है जो गोलों $1$ और $2$ से होकर गुजरती है।
गोलों $1$ और $2$ के लिए,अक्ष उनके केंद्रों से गुजरती है,इसलिए अक्ष के परित: उनका जड़त्व आघूर्ण $I_1 = I_2 = \frac{2}{5}Ma^2$ है।
गोलों $3$ और $4$ के लिए,अक्ष उनके केंद्रों से $b$ लंबवत दूरी पर है। समांतर अक्ष प्रमेय $I = I_{cm} + Md^2$ का उपयोग करने पर,हमें $I_3 = I_4 = \frac{2}{5}Ma^2 + Mb^2$ प्राप्त होता है।
अक्ष $AB$ के परित: निकाय का कुल जड़त्व आघूर्ण $I_{total} = I_1 + I_2 + I_3 + I_4$ है।
$I_{total} = \frac{2}{5}Ma^2 + \frac{2}{5}Ma^2 + (\frac{2}{5}Ma^2 + Mb^2) + (\frac{2}{5}Ma^2 + Mb^2)$.
$I_{total} = 4 \times (\frac{2}{5}Ma^2) + 2Mb^2 = \frac{8}{5}Ma^2 + 2Mb^2$.

(B) प्रारंभ में जब छड़ ऊर्ध्वाधर खड़ी है,तब इसकी स्थितिज ऊर्जा $U_i = mg\frac{l}{2}$ है।
जब यह फर्श से टकराती है,तो इसकी स्थितिज ऊर्जा घूर्णन गतिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है।
ऊर्जा संरक्षण के नियम से: $U_i = K_f$.
$mg\left(\frac{l}{2}\right) = \frac{1}{2}I\omega^2$,जहाँ $I = \frac{ml^2}{3}$ कब्जे $A$ के परितः छड़ का जड़त्व आघूर्ण है।
$I$ और $\omega = \frac{v_B}{l}$ का मान रखने पर:
$mg\left(\frac{l}{2}\right) = \frac{1}{2}\left(\frac{ml^2}{3}\right)\left(\frac{v_B}{l}\right)^2$.
$mg\frac{l}{2} = \frac{1}{6}mv_B^2$.
$v_B^2 = 3gl$.
$v_B = \sqrt{3gl}$.

(A) कोणीय त्वरण $\alpha$ को समय के सापेक्ष कोणीय वेग के परिवर्तन की दर के रूप में परिभाषित किया गया है,जो $\alpha = \frac{d\omega}{dt}$ द्वारा दिया जाता है।
ग्राफ के अनुसार,$\alpha$ $\omega-t$ ग्राफ के ढलान (slope) को दर्शाता है।
कोणीय त्वरण का परिमाण $|\alpha| = |\frac{d\omega}{dt}|$ है,जो किसी भी बिंदु पर वक्र के स्पर्शरेखा की तीव्रता (ढलान का निरपेक्ष मान) के अनुरूप है।
ग्राफ $A$ में,वक्र एक तीव्र ढलान के साथ शुरू होता है और जैसे-जैसे $t$ बढ़ता है,यह सपाट होता जाता है। इसका मतलब है कि ढलान $\frac{d\omega}{dt}$ धनात्मक है और इसका परिमाण समय के साथ घट रहा है।
ग्राफ $B$ में,ढलान स्थिर है,इसलिए $\alpha$ स्थिर है।
ग्राफ $C$ में,ढलान स्थिर (ऋणात्मक) है,इसलिए $\alpha$ का परिमाण स्थिर है।
ग्राफ $D$ में,जैसे-जैसे $t$ बढ़ता है,वक्र अधिक तीव्र होता जाता है,जिसका अर्थ है कि ढलान का परिमाण बढ़ रहा है।
इसलिए,ग्राफ $A$ में कोणीय त्वरण का परिमाण लगातार घट रहा है।

(A) माना अर्धगोले का द्रव्यमान $M = 3m$ है। चूंकि निकाय पर कोई बाहरी क्षैतिज बल कार्य नहीं कर रहा है,इसलिए द्रव्यमान केंद्र की क्षैतिज स्थिति स्थिर रहती है।
माना अर्धगोले का दाईं ओर विस्थापन $x$ है। मेज के सापेक्ष कण का क्षैतिज विस्थापन बाईं ओर $(R \sin \theta - x)$ है।
द्रव्यमान केंद्र के क्षैतिज विस्थापन को शून्य के बराबर रखने पर:
$m(R \sin \theta - x) - M x = 0$
$m R \sin \theta = (M + m) x$
$M = 3m$ प्रतिस्थापित करने पर:
$m R \sin \theta = (3m + m) x = 4m x$
$x = \frac{R \sin \theta}{4}$
समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dx}{dt} = \frac{R \cos \theta}{4} \frac{d\theta}{dt}$
दिया गया है कि अर्धगोले का वेग $v = \frac{dx}{dt}$ है और केंद्र के सापेक्ष कण का कोणीय वेग $\omega = \frac{d\theta}{dt}$ है:
$v = \frac{R \cos \theta}{4} \omega$
$\omega = \frac{4v}{R \cos \theta}$

(D) $1$. चूंकि सतह चिकनी है और निकाय (कण + वेज) पर कोई बाहरी क्षैतिज बल कार्य नहीं कर रहा है,इसलिए निकाय का रैखिक संवेग क्षैतिज दिशा में संरक्षित रहता है।
$2$. वेज के सापेक्ष अधिकतम ऊँचाई $h$ पर,कण और वेज समान क्षैतिज वेग $V$ से चलते हैं। संवेग संरक्षण के नियम से: $mv_0 = (m + M)V$,इसलिए $V = \frac{mv_0}{m+M}$।
$3$. द्रव्यमान केंद्र $(COM)$ फ्रेम में,कुल संवेग शून्य होता है। अधिकतम ऊँचाई $h$ पर,कण और वेज के बीच सापेक्ष वेग शून्य होता है (वे क्षैतिज रूप से एक साथ चलते हैं)। चूंकि $COM$ फ्रेम में कुल संवेग शून्य है,इसलिए दोनों को $COM$ फ्रेम के सापेक्ष स्थिर होना चाहिए।
$4$. $COM$ फ्रेम में,कुल ऊर्जा $COM$ के सापेक्ष निकाय की गतिज ऊर्जा और स्थितिज ऊर्जा का योग है। अधिकतम ऊँचाई $h$ पर,सापेक्ष गतिज ऊर्जा शून्य होती है,जिसका अर्थ है कि $COM$ के सापेक्ष प्रारंभिक गतिज ऊर्जा स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तित हो गई है।
$5$. अतः,कथन $(B)$ और $(C)$ दोनों सही हैं।

(C) माना द्रव्यमान घनत्व $\rho \text{ kg/m}^2$ है।
माना भुजाएँ $PQ = RS = a$ और $QR = PS = b$ हैं। मान लीजिए $a > b$ है।
आयताकार प्लेट का द्रव्यमान $M = \rho ab$ है।
आयताकार प्लेट का उसके केंद्र के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{cm} = M(a^2 + b^2)/12$ है।
केंद्र से बिंदु $P$ की दूरी $\sqrt{(a/2)^2 + (b/2)^2} = \sqrt{a^2 + b^2}/2$ है।
समांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करते हुए,$P$ के परितः आयताकार प्लेट का जड़त्व आघूर्ण $I = I_{cm} + M(a^2 + b^2)/4 = M(a^2 + b^2)/3$ है।
त्रिभुज $PQR$ का द्रव्यमान $M' = M/2 = \rho ab/2$ है।
त्रिभुज $PQR$ का उसके केंद्रक $G$ से गुजरने वाली और प्लेट के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_G = M'(a^2 + b^2)/18$ है।
केंद्रक $G$ से बिंदु $P$ की दूरी $d^2 = (2a/3)^2 + (b/3)^2 = (4a^2 + b^2)/9$ है।
समांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करते हुए,$P$ के परितः त्रिभुज $PQR$ का जड़त्व आघूर्ण $I_P = I_G + M'd^2 = (M/2)(a^2 + b^2)/18 + (M/2)(4a^2 + b^2)/9 = (M/2)(a^2 + b^2 + 8a^2 + 2b^2)/18 = (M/2)(9a^2 + 3b^2)/18 = (M/2)(3a^2 + b^2)/6$ है।
$I_P$ की तुलना $I/2 = (M/2)(a^2 + b^2)/3 = (M/2)(2a^2 + 2b^2)/6$ से करने पर,चूंकि $a > b$,इसलिए $3a^2 + b^2 > 2a^2 + 2b^2$,अतः $I_P > I/2$ प्राप्त होता है।