$Assertion :$ एक खोखले शाफ्ट को समान पदार्थ और समान द्रव्यमान वाले ठोस शाफ्ट की तुलना में अधिक मजबूत पाया जाता है।
$Reason :$ खोखले बेलन में एक निश्चित मरोड़ (twist) उत्पन्न करने के लिए आवश्यक टॉर्क, समान लंबाई और पदार्थ के ठोस बेलन को मरोड़ने के लिए आवश्यक टॉर्क से अधिक होता है।

चित्र $1$ में दिखाए अनुसार एक व्यक्ति अपनी उंगली के सिरे के पास $M$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाली एक वृत्ताकार रिंग को घुमाता है। इस प्रक्रिया में,उंगली रिंग के भीतरी रिम के साथ संपर्क कभी नहीं खोती है। उंगली एक शंकु की सतह बनाती है,जिसे बिंदीदार रेखा द्वारा दिखाया गया है। रिंग और उंगली के संपर्क बिंदु द्वारा बनाए गए पथ की त्रिज्या $r$ है। उंगली $\omega_0$ कोणीय वेग के साथ घूमती है। घूमती हुई रिंग उस छोटे वृत्त के बाहर बिना फिसले लुढ़कती है जो रिंग और उंगली के संपर्क बिंदु द्वारा वर्णित है (चित्र $2$)। रिंग और उंगली के बीच घर्षण गुणांक $\mu$ है और गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण $g$ है।
$(1)$ रिंग की कुल गतिज ऊर्जा है
$[A]$ $M \omega_0^2 R^2$ $[B]$ $\frac{1}{2} M \omega_0^2(R-r)^2$ $[C]$ $M \omega_0^2(R-r)^2$ $[D]$ $\frac{3}{2} M \omega_0^2(R-r)^2$
$(2)$ $\omega_0$ का न्यूनतम मान जिसके नीचे रिंग नीचे गिर जाएगी,वह है
$[A]$ $\sqrt{\frac{g}{\mu(R-r)}}$ $[B]$ $\sqrt{\frac{2 g}{\mu(R-r)}}$ $[C]$ $\sqrt{\frac{3 g}{2 \mu(R-r)}}$ $[D]$ $\sqrt{\frac{g}{2 \mu(R-r)}}$
प्रश्न $(1)$ और $(2)$ के उत्तर दें:

$R$ त्रिज्या और $M$ द्रव्यमान का एक पहिया $R$ ऊँचाई की एक स्थिर सीढ़ी के निचले भाग पर चित्र में दिखाए अनुसार रखा गया है। पहिये की सतह पर लगातार एक स्थिर बल लगाया जाता है ताकि वह बिना फिसले सीढ़ी पर चढ़ सके। बिंदु $Q$ से गुजरने वाली और कागज के तल के लंबवत अक्ष के परितः टॉर्क $\tau$ पर विचार करें। निम्नलिखित में से कौन सा/से विकल्प सही है/हैं?

$t=0$ समय पर मूल बिंदु पर विराम अवस्था में स्थित $1.0 \ kg$ द्रव्यमान के एक पिंड पर विचार करें। पिंड पर एक बल $\overrightarrow{F}=(\alpha t \hat{i}+\beta \hat{j})$ लगाया जाता है,जहाँ $\alpha=1.0 \ Ns^{-1}$ और $\beta=1.0 \ N$ है। समय $t=1.0 \ s$ पर मूल बिंदु के परितः पिंड पर कार्य करने वाला बल आघूर्ण $\vec{\tau}$ है। निम्नलिखित में से कौन सा/से कथन सत्य है/हैं?
$(A)$ $|\vec{\tau}|=\frac{1}{3} \ Nm$
$(B)$ बल आघूर्ण $\vec{\tau}$,इकाई सदिश $+\hat{k}$ की दिशा में है
$(C)$ $t=1 \ s$ पर पिंड का वेग $\overrightarrow{v}=\frac{1}{2}(\hat{i}+2 \hat{j}) \ ms^{-1}$ है
$(D)$ $t=1 \ s$ पर पिंड के विस्थापन का परिमाण $\frac{1}{6} \ m$ है

$m = 1 \ kg$ द्रव्यमान और $R = 1.25 \ m$ त्रिज्या वाली एक रिंग को खुरदरी क्षैतिज सतह पर रखा गया है। समान द्रव्यमान $m = 1 \ kg$ का एक छोटा पिंड रिंग के शीर्ष पर चिपका हुआ है। जब इसे थोड़ा आगे धक्का दिया जाता है,तो रिंग जमीन पर शुद्ध लोटनिक गति (pure rolling) शुरू कर देती है। रिंग के केंद्र की अधिकतम गति ($m/s$ में) क्या है?

रिक्त स्थान भरें:
$(1)$ यदि $|\vec{A} \times \vec{B}| = \vec{A} \cdot \vec{B}$ है,तो $\vec{A}$ और $\vec{B}$ के बीच का कोण ............ होगा।
$(2)$ घूर्णन गति करते हुए कण के कोणीय संवेग और रैखिक संवेग के बीच का कोण ............ होता है।
$(3)$ $(2\hat{i} + \hat{j})$ स्थिति सदिश वाले कण पर $F\hat{k}$ बल कार्य करता है,तो कण पर लगने वाला टॉर्क ............ होगा।