Class 11PhysicsSystem of Particles and Rotational MotionMix Example - System of Particles and Rotational Motion
Difficultदो डिस्क जिनके जड़त्व आघूर्ण (moment of inertia) उनके संबंधित अक्षों (डिस्क के लंबवत और केंद्र से गुजरने वाले) के परितः $I_{1}$ और $I_{2}$ हैं,और जो $\omega_{1}$ और $\omega_{2}$ कोणीय गति से घूम रही हैं,उन्हें एक-दूसरे के संपर्क में लाया जाता है ताकि उनके घूर्णन अक्ष संपाती हो जाएं। $(a)$ दो-डिस्क प्रणाली की कोणीय गति क्या है? $(b)$ दर्शाइए कि संयुक्त प्रणाली की गतिज ऊर्जा दोनों डिस्क की प्रारंभिक गतिज ऊर्जाओं के योग से कम है। आप ऊर्जा में इस हानि को कैसे समझाएंगे? $\omega_{1} \neq \omega_{2}$ लें।
(N/A) भाग $(a)$: कोणीय संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,प्रणाली पर कोई बाहरी टॉर्क कार्य नहीं करता है,इसलिए प्रणाली का कुल कोणीय संवेग स्थिर रहता है।
प्रारंभिक कोणीय संवेग $L_{i} = I_{1}\omega_{1} + I_{2}\omega_{2}$ है।
जब डिस्क को जोड़ा जाता है,तो वे एक सामान्य कोणीय गति $\omega$ के साथ घूमती हैं। प्रणाली का कुल जड़त्व आघूर्ण $I = I_{1} + I_{2}$ हो जाता है।
अंतिम कोणीय संवेग $L_{f} = (I_{1} + I_{2})\omega$ है।
$L_{i} = L_{f}$ को बराबर करने पर,हमें मिलता है: $I_{1}\omega_{1} + I_{2}\omega_{2} = (I_{1} + I_{2})\omega$।
अतः,प्रणाली की कोणीय गति $\omega = \frac{I_{1}\omega_{1} + I_{2}\omega_{2}}{I_{1} + I_{2}}$ है।
भाग $(b)$: प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $E_{i} = \frac{1}{2}I_{1}\omega_{1}^{2} + \frac{1}{2}I_{2}\omega_{2}^{2}$ है।
अंतिम गतिज ऊर्जा $E_{f} = \frac{1}{2}(I_{1} + I_{2})\omega^{2} = \frac{1}{2}(I_{1} + I_{2})\left(\frac{I_{1}\omega_{1} + I_{2}\omega_{2}}{I_{1} + I_{2}}\right)^{2} = \frac{(I_{1}\omega_{1} + I_{2}\omega_{2})^{2}}{2(I_{1} + I_{2})}$ है।
गतिज ऊर्जा में हानि $\Delta E = E_{i} - E_{f} = \frac{1}{2}I_{1}\omega_{1}^{2} + \frac{1}{2}I_{2}\omega_{2}^{2} - \frac{(I_{1}\omega_{1} + I_{2}\omega_{2})^{2}}{2(I_{1} + I_{2})}$ है।
इस व्यंजक को सरल करने पर,हमें $\Delta E = \frac{I_{1}I_{2}(\omega_{1} - \omega_{2})^{2}}{2(I_{1} + I_{2})}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $I_{1}, I_{2} > 0$ और $(\omega_{1} - \omega_{2})^{2} > 0$ (क्योंकि $\omega_{1} \neq \omega_{2}$),इसलिए $\Delta E > 0$,जिसका अर्थ है $E_{i} > E_{f}$।
गतिज ऊर्जा में यह हानि डिस्क की सतहों के बीच कार्य करने वाले घर्षण बल के विरुद्ध किए गए कार्य के कारण होती है,जब तक कि वे एक सामान्य कोणीय वेग प्राप्त नहीं कर लेतीं।
प्रारंभिक कोणीय संवेग $L_{i} = I_{1}\omega_{1} + I_{2}\omega_{2}$ है।
जब डिस्क को जोड़ा जाता है,तो वे एक सामान्य कोणीय गति $\omega$ के साथ घूमती हैं। प्रणाली का कुल जड़त्व आघूर्ण $I = I_{1} + I_{2}$ हो जाता है।
अंतिम कोणीय संवेग $L_{f} = (I_{1} + I_{2})\omega$ है।
$L_{i} = L_{f}$ को बराबर करने पर,हमें मिलता है: $I_{1}\omega_{1} + I_{2}\omega_{2} = (I_{1} + I_{2})\omega$।
अतः,प्रणाली की कोणीय गति $\omega = \frac{I_{1}\omega_{1} + I_{2}\omega_{2}}{I_{1} + I_{2}}$ है।
भाग $(b)$: प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $E_{i} = \frac{1}{2}I_{1}\omega_{1}^{2} + \frac{1}{2}I_{2}\omega_{2}^{2}$ है।
अंतिम गतिज ऊर्जा $E_{f} = \frac{1}{2}(I_{1} + I_{2})\omega^{2} = \frac{1}{2}(I_{1} + I_{2})\left(\frac{I_{1}\omega_{1} + I_{2}\omega_{2}}{I_{1} + I_{2}}\right)^{2} = \frac{(I_{1}\omega_{1} + I_{2}\omega_{2})^{2}}{2(I_{1} + I_{2})}$ है।
गतिज ऊर्जा में हानि $\Delta E = E_{i} - E_{f} = \frac{1}{2}I_{1}\omega_{1}^{2} + \frac{1}{2}I_{2}\omega_{2}^{2} - \frac{(I_{1}\omega_{1} + I_{2}\omega_{2})^{2}}{2(I_{1} + I_{2})}$ है।
इस व्यंजक को सरल करने पर,हमें $\Delta E = \frac{I_{1}I_{2}(\omega_{1} - \omega_{2})^{2}}{2(I_{1} + I_{2})}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $I_{1}, I_{2} > 0$ और $(\omega_{1} - \omega_{2})^{2} > 0$ (क्योंकि $\omega_{1} \neq \omega_{2}$),इसलिए $\Delta E > 0$,जिसका अर्थ है $E_{i} > E_{f}$।
गतिज ऊर्जा में यह हानि डिस्क की सतहों के बीच कार्य करने वाले घर्षण बल के विरुद्ध किए गए कार्य के कारण होती है,जब तक कि वे एक सामान्य कोणीय वेग प्राप्त नहीं कर लेतीं।
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$(1)$ रिंग की कुल गतिज ऊर्जा है
$[A]$ $M \omega_0^2 R^2$ $[B]$ $\frac{1}{2} M \omega_0^2(R-r)^2$ $[C]$ $M \omega_0^2(R-r)^2$ $[D]$ $\frac{3}{2} M \omega_0^2(R-r)^2$
$(2)$ $\omega_0$ का न्यूनतम मान जिसके नीचे रिंग नीचे गिर जाएगी,वह है
$[A]$ $\sqrt{\frac{g}{\mu(R-r)}}$ $[B]$ $\sqrt{\frac{2 g}{\mu(R-r)}}$ $[C]$ $\sqrt{\frac{3 g}{2 \mu(R-r)}}$ $[D]$ $\sqrt{\frac{g}{2 \mu(R-r)}}$
प्रश्न $(1)$ और $(2)$ के उत्तर दें:
$(1)$ रिंग की कुल गतिज ऊर्जा है
$[A]$ $M \omega_0^2 R^2$ $[B]$ $\frac{1}{2} M \omega_0^2(R-r)^2$ $[C]$ $M \omega_0^2(R-r)^2$ $[D]$ $\frac{3}{2} M \omega_0^2(R-r)^2$
$(2)$ $\omega_0$ का न्यूनतम मान जिसके नीचे रिंग नीचे गिर जाएगी,वह है
$[A]$ $\sqrt{\frac{g}{\mu(R-r)}}$ $[B]$ $\sqrt{\frac{2 g}{\mu(R-r)}}$ $[C]$ $\sqrt{\frac{3 g}{2 \mu(R-r)}}$ $[D]$ $\sqrt{\frac{g}{2 \mu(R-r)}}$
प्रश्न $(1)$ और $(2)$ के उत्तर दें:
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