$M$ द्रव्यमान का एक तख्ता (plank) एक चिकने नत समतल (inclined plane) पर रखा है और $m$ द्रव्यमान का एक गोला भी तख्ते पर रखा है। गोले और तख्ते के बीच घर्षण पर्याप्त है। यदि तख्ते और गोले को विरामावस्था से मुक्त किया जाता है,तो गोले पर लगने वाला घर्षण बल है:

$l$ लंबाई और $M$ द्रव्यमान की एक छड़ एक घर्षणहीन क्षैतिज सतह पर रखी है जिस पर वह किसी भी तरह से चलने के लिए स्वतंत्र है। $v$ चाल से गति करती हुई $m$ द्रव्यमान की एक गेंद चित्र में दिखाए अनुसार छड़ के एक सिरे से प्रत्यास्थ रूप से टकराती है। यदि टक्कर के बाद गेंद स्थिर हो जाती है,तो गेंद का द्रव्यमान क्या होना चाहिए?

एक छड़ $AB$ चित्र में दिखाए अनुसार $A$ से गुजरने वाली क्षैतिज अक्ष के परितः एक ऊर्ध्वाधर तल में घूमने के लिए स्वतंत्र है। इसे अस्थिर संतुलन की स्थिति में विराम से थोड़ा विचलित किया जाता है और जब यह अगली बार ऊर्ध्वाधर होती है,तो सिरा $B$ एक स्थिर खूंटी से टकराता है और वापस उछलता है। यदि छड़ उस क्षण विराम में आ जाती है जब $AB$ क्षैतिज है (जैसा कि चित्र में दिखाया गया है),तो:

$5 \text{ g}$ द्रव्यमान और $4/3 \text{ cm}$ त्रिज्या का एक पतला वृत्ताकार सिक्का शुरू में एक क्षैतिज $xy$-तल में है। सिक्के को उसके केंद्र से $r = 2/3 \text{ cm}$ की दूरी पर $J = \sqrt{\frac{\pi}{2}} \times 10^{-2} \text{ N-s}$ का आवेग देकर लंबवत ऊपर ($+z$ दिशा) उछाला जाता है। सिक्का अपने व्यास के परितः घूमता है और $+z$ दिशा में गति करता है। जब तक सिक्का अपनी प्रारंभिक स्थिति में वापस आता है,तब तक वह $n$ घूर्णन पूरा करता है। $n$ का मान ज्ञात कीजिए। [दिया गया है: गुरुत्वीय त्वरण $g = 10 \text{ m/s}^2$]

$m = 1 \, kg$ द्रव्यमान का एक ब्लॉक $v = 6 \, m/s$ के वेग के साथ घर्षण रहित क्षैतिज सतह पर फिसल रहा है और चित्र में दिखाए अनुसार एक समान ऊर्ध्वाधर छड़ से टकराकर उससे चिपक जाता है। छड़ $O$ बिंदु पर धुरी पर घूमती है और टक्कर के परिणामस्वरूप क्षण भर के लिए रुकने से पहले $\theta$ कोण बनाती है। यदि छड़ का द्रव्यमान $M = 2 \, kg$ और लंबाई $l = 1 \, m$ है,तो $\theta$ का मान लगभग क्या होगा ($^{\circ}$ में)? ($g = 10 \, m/s^2$ लें)

हाइड्रोजन परमाणु के स्पेक्ट्रम के बोहर सिद्धांत की मुख्य विशेषता कोणीय संवेग का क्वांटमीकरण है जब एक इलेक्ट्रॉन प्रोटॉन के चारों ओर घूम रहा होता है। हम इसे एक द्वि-परमाणुक अणु के लिए सामान्य घूर्णन गति तक विस्तारित करेंगे,इसे दृढ़ मानते हुए। लागू किया जाने वाला नियम बोहर की क्वांटमीकरण स्थिति है।
$1.$ एक द्वि-परमाणुक अणु का जड़त्व आघूर्ण $I$ है। बोहर की क्वांटमीकरण स्थिति के अनुसार,$n$-वें स्तर $(n=1, 2, 3, \dots)$ में इसकी घूर्णन ऊर्जा है:
$(A) \frac{1}{n^2}\left(\frac{h^2}{8 \pi^2 I}\right)$ $(B) \frac{1}{n}\left(\frac{h^2}{8 \pi^2 I}\right)$ $(C) n\left(\frac{h^2}{8 \pi^2 I}\right)$ $(D) n^2\left(\frac{h^2}{8 \pi^2 I}\right)$
$2.$ यह पाया गया है कि $CO$ अणु के लिए मूल अवस्था $(n=1)$ से प्रथम उत्तेजित अवस्था $(n=2)$ तक घूर्णन की उत्तेजना आवृत्ति $\frac{4}{\pi} \times 10^{11} \text{ Hz}$ के करीब है। तो इसके द्रव्यमान केंद्र के परितः $CO$ अणु का जड़त्व आघूर्ण कितना होगा? ($h=2 \pi \times 10^{-34} \text{ Js}$ लें)
$(A) 2.76 \times 10^{-46} \text{ kg m}^2$ $(B) 1.87 \times 10^{-46} \text{ kg m}^2$ $(C) 4.67 \times 10^{-47} \text{ kg m}^2$ $(D) 1.17 \times 10^{-47} \text{ kg m}^2$
$3.$ $CO$ अणु में,$C$ (द्रव्यमान $= 12 \text{ a.m.u.}$) और $O$ (द्रव्यमान $= 16 \text{ a.m.u.}$) के बीच की दूरी,जहाँ $1 \text{ a.m.u.} = \frac{5}{3} \times 10^{-27} \text{ kg}$ है,कितनी होगी?
$(A) 2.4 \times 10^{-10} \text{ m}$ $(B) 1.9 \times 10^{-10} \text{ m}$ $(C) 1.3 \times 10^{-10} \text{ m}$ $(D) 4.4 \times 10^{-11} \text{ m}$
प्रश्न $1, 2$ और $3$ के उत्तर दें।