SHM of Spring Mass System Questions in Hindi

(D) दिया गया है: लटके हुए पिंड का द्रव्यमान $M = 1 \,kg$,टकराने वाले पिंड का द्रव्यमान $m = 0.5 \,kg$,टकराने वाले पिंड का वेग $v = 3 \,ms^{-1}$,और आवृत्ति $f = \frac{10}{\pi} \,Hz$.
टक्कर के बाद,निकाय का कुल द्रव्यमान $M_{total} = M + m = 1 + 0.5 = 1.5 \,kg$ होगा।
दोलन आवृत्ति का सूत्र $f = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k}{M_{total}}}$ है।
स्प्रिंग नियतांक $k$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर: $k = (2\pi f)^2 M_{total} = (2\pi \times \frac{10}{\pi})^2 \times 1.5 = (20)^2 \times 1.5 = 400 \times 1.5 = 600 \,Nm^{-1}$।
टक्कर के दौरान रैखिक संवेग संरक्षण के नियम का उपयोग करने पर: $m v = (M + m) v'$,जहाँ $v'$ टक्कर के तुरंत बाद संयुक्त द्रव्यमान का वेग है।
$0.5 \times 3 = 1.5 \times v' \Rightarrow 1.5 = 1.5 v' \Rightarrow v' = 1 \,ms^{-1}$।
आयाम $A$ और अधिकतम वेग $v'$ के बीच संबंध $v' = A \omega$ है,जहाँ $\omega = 2\pi f = 2\pi \times \frac{10}{\pi} = 20 \,rad/s$।
$A = \frac{v'}{\omega} = \frac{1}{20} \,m = 0.05 \,m = 5 \,cm$।
अतः,आयाम $5 \,cm$ है और स्प्रिंग नियतांक $600 \,Nm^{-1}$ है।

(B) दिए गए चित्र से,स्थितिज ऊर्जा $U = U_0 + \frac{1}{2}Ky^2$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $U_0$ $y = 0$ पर न्यूनतम स्थितिज ऊर्जा है।
$y = 0$ पर,$U_{\min} = 0.01 \text{ J}$.
$y = 20 \text{ mm} = 20 \times 10^{-3} \text{ m} = 2 \times 10^{-2} \text{ m}$ पर,$U_{\max} = 0.04 \text{ J}$.
स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = U_{\max} - U_{\min} = \frac{1}{2}Ky^2$ है।
मान रखने पर:
$0.04 \text{ J} - 0.01 \text{ J} = \frac{1}{2} \times K \times (2 \times 10^{-2} \text{ m})^2$
$0.03 \text{ J} = \frac{1}{2} \times K \times 4 \times 10^{-4} \text{ m}^2$
$0.03 = K \times 2 \times 10^{-4}$
$K = \frac{0.03}{2 \times 10^{-4}} = \frac{3 \times 10^{-2}}{2 \times 10^{-4}} = 1.5 \times 10^2 \text{ Nm}^{-1} = 150 \text{ Nm}^{-1}$.

(A) $1$. प्रारंभिक स्थिति: $M = 1 \ kg$ द्रव्यमान संतुलन में है। स्प्रिंग में विस्तार $x_0 = \frac{Mg}{k} = \frac{1 \times 10}{600} = \frac{1}{60} \ m$ है।
$2$. टक्कर: $m = 0.5 \ kg$ द्रव्यमान का पिंड $v = 3 \ m \ s^{-1}$ वेग से $M$ से टकराता है। संवेग संरक्षण के नियम से,$(M+m)V = mv$,जहाँ $V$ टक्कर के बाद का सामान्य वेग है।
$3$. $V = \frac{mv}{M+m} = \frac{0.5 \times 3}{1 + 0.5} = 1 \ m \ s^{-1}$।
$4$. नई संतुलन स्थिति: टक्कर के बाद कुल द्रव्यमान $M' = 1.5 \ kg$ है। नया संतुलन विस्तार $x_0' = \frac{M'g}{k} = \frac{1.5 \times 10}{600} = 0.025 \ m = 2.5 \ cm$ है।
$5$. नए संतुलन से विस्थापन: टक्कर पुरानी संतुलन स्थिति $x_0$ पर होती है। नए संतुलन से विस्थापन $x = x_0' - x_0 = 2.5 \ cm - 1.67 \ cm = 0.833 \ cm$ है।
$6$. आयाम की गणना: ऊर्जा संरक्षण के अनुसार,$\frac{1}{2}k A^2 = \frac{1}{2}(M+m)V^2 + \frac{1}{2}k x^2$।
$7$. $600 A^2 = 1.5(1)^2 + 600(0.00833)^2 \implies 600 A^2 = 1.5416$।
$8$. $A^2 = \frac{1.5416}{600} \approx 0.002569 \implies A \approx 0.0506 \ m \approx 5 \ cm$।

(C) माध्य स्थिति पर,द्रव्यमान $M$ का वेग अधिकतम होता है,जो $v_1 = \omega_1 A_1 = \sqrt{\frac{k}{M}} A_1$ द्वारा दिया जाता है।
जब माध्य स्थिति पर द्रव्यमान $m$ जोड़ा जाता है,तो संवेग संरक्षित रहता है क्योंकि माध्य स्थिति पर स्प्रिंग बल शून्य होता है।
मान लीजिए $v_2$ द्रव्यमान $m$ जोड़ने के तुरंत बाद संयुक्त द्रव्यमान $(M+m)$ का वेग है।
रैखिक संवेग संरक्षण के नियम से: $M v_1 = (M+m) v_2$.
वेग के व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर: $M \left( \sqrt{\frac{k}{M}} A_1 \right) = (M+m) \left( \sqrt{\frac{k}{M+m}} A_2 \right)$.
समीकरण को सरल करने पर: $\sqrt{Mk} A_1 = \sqrt{(M+m)k} A_2$.
अतः,$\frac{A_1}{A_2} = \sqrt{\frac{M+m}{M}}$.

(D) स्प्रिंग से जुड़े दो-पिंड निकाय के लिए,समतुल्य द्रव्यमान (समानित द्रव्यमान) $\mu$ इस प्रकार दिया जाता है:
$\mu = \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2}$
निकाय की कोणीय आवृत्ति $\omega$ का सूत्र है:
$\omega = \sqrt{\frac{k}{\mu}}$
$\mu$ का मान रखने पर:
$\omega = \sqrt{\frac{k}{\left(\frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2}\right)}}$
$\omega = \sqrt{\frac{k(m_1 + m_2)}{m_1 m_2}}$
$\omega = \sqrt{k \left(\frac{m_1}{m_1 m_2} + \frac{m_2}{m_1 m_2}\right)}$
$\omega = \sqrt{k \left(\frac{1}{m_2} + \frac{1}{m_1}\right)}$
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(C) निकाय की कुल यांत्रिक ऊर्जा $E$,स्थानांतरण गतिज ऊर्जा,घूर्णन गतिज ऊर्जा और स्प्रिंग की स्थितिज ऊर्जा का योग है:
$E = \frac{1}{2} M V^2 + \frac{1}{2} I \omega^2 + \frac{1}{2} K x^2$
चूंकि गोला बिना फिसले लुढ़कता है,$V = R \omega$,इसलिए $\omega = V/R$। ठोस गोले का जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{2}{5} M R^2$ होता है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$E = \frac{1}{2} M V^2 + \frac{1}{2} (\frac{2}{5} M R^2) (\frac{V^2}{R^2}) + \frac{1}{2} K x^2 = \frac{1}{2} M V^2 + \frac{1}{5} M V^2 + \frac{1}{2} K x^2 = \frac{7}{10} M V^2 + \frac{1}{2} K x^2$
चूंकि कुल ऊर्जा संरक्षित रहती है,$\frac{dE}{dt} = 0$:
$\frac{d}{dt} (\frac{7}{10} M V^2 + \frac{1}{2} K x^2) = 0$
$\frac{7}{10} M (2 V \frac{dV}{dt}) + \frac{1}{2} K (2 x \frac{dx}{dt}) = 0$
चूंकि $V = \frac{dx}{dt}$ और $a = \frac{dV}{dt}$:
$\frac{7}{5} M V a + K V x = 0$
$\frac{7}{5} M a + K x = 0 \implies a = -(\frac{5 K}{7 M}) x$
$SHM$ समीकरण $a = -\omega^2 x$ से तुलना करने पर,हमें $\omega^2 = \frac{5 K}{7 M}$ प्राप्त होता है,इसलिए $\omega = \sqrt{\frac{5 K}{7 M}}$।
आवर्तकाल $T = \frac{2 \pi}{\omega} = 2 \pi \sqrt{\frac{7 M}{5 K}}$।

(A) जब $M$ द्रव्यमान को नत समतल पर $x$ की छोटी दूरी से विस्थापित किया जाता है,तो एक स्प्रिंग $x$ से संकुचित हो जाती है और दूसरी $x$ से खिंच जाती है।
दोनों स्प्रिंगें विस्थापन के विपरीत दिशा में एक ही दिशा में प्रत्यानयन बल (restoring force) लगाती हैं।
कुल प्रत्यानयन बल $F = -kx - kx = -2kx$ है।
इसे सरल आवर्त गति के मानक समीकरण $F = -k_{eff} x$ के साथ तुलना करने पर,हमें प्रभावी स्प्रिंग नियतांक $k_{eff} = 2k$ प्राप्त होता है।
दोलन का आवर्तकाल $T = 2 \pi \sqrt{\frac{M}{k_{eff}}}$ द्वारा दिया जाता है।
$k_{eff} = 2k$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $T = 2 \pi \sqrt{\frac{M}{2k}}$ प्राप्त होता है।

(B) स्प्रिंग-द्रव्यमान निकाय के लिए दोलन काल $T = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $m$ कुल द्रव्यमान है और $k$ स्प्रिंग नियतांक है।
स्थिति $1$: जब $700 \,g$ के ब्लॉक को हटा दिया जाता है,तो शेष द्रव्यमान $m_1 = (500 + 400) \,g = 900 \,g = 0.9 \,kg$ है।
दोलन काल $T_1 = 3 \,s$ है।
अतः,$3 = 2 \pi \sqrt{\frac{0.9}{k}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $9 = 4 \pi^2 \left( \frac{0.9}{k} \right) \Rightarrow k = \frac{4 \pi^2 \times 0.9}{9} = 0.4 \pi^2 \,N/m$.
स्थिति $2$: जब $700 \,g$ और $500 \,g$ दोनों ब्लॉकों को हटा दिया जाता है,तो शेष द्रव्यमान $m_2 = 400 \,g = 0.4 \,kg$ है।
नया दोलन काल $T_2$ इस प्रकार होगा:
$T_2 = 2 \pi \sqrt{\frac{m_2}{k}} = 2 \pi \sqrt{\frac{0.4}{0.4 \pi^2}}$.
$T_2 = 2 \pi \sqrt{\frac{1}{\pi^2}} = 2 \pi \left( \frac{1}{\pi} \right) = 2 \,s$.

(D) धात्विक तार $k_1$ प्रभावी स्प्रिंग नियतांक वाली एक स्प्रिंग के रूप में कार्य करता है। हुक के नियम के अनुसार,$x$ विस्तार के लिए प्रत्यानयन बल $F = \frac{YA}{L}x$ द्वारा दिया जाता है। अतः,तार का स्प्रिंग नियतांक $k_1 = \frac{YA}{L}$ है।
चूंकि तार और स्प्रिंग श्रेणी क्रम में जुड़े हुए हैं,इसलिए निकाय का तुल्य स्प्रिंग नियतांक $k_{eq}$ समीकरण $\frac{1}{k_{eq}} = \frac{1}{k_1} + \frac{1}{k}$ द्वारा दिया जाता है।
$k_1 = \frac{YA}{L}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{1}{k_{eq}} = \frac{L}{YA} + \frac{1}{k} = \frac{kL + YA}{kYA}$ प्राप्त होता है।
अतः,$k_{eq} = \frac{kYA}{kL + YA}$ है।
स्प्रिंग निकाय से जुड़े $m$ द्रव्यमान के लिए दोलन काल $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k_{eq}}}$ होता है।
$k_{eq}$ का मान रखने पर,हमें $T = 2\pi \sqrt{\frac{m(kL + YA)}{kYA}}$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 100 \,g = 0.1 \,kg$, स्प्रिंग नियतांक $k = 1 \,N/m$, और आवेग $I = 2 \,Ns$।
चूंकि ब्लॉक दो स्प्रिंगों के बीच है, प्रभावी स्प्रिंग नियतांक $k_{eff} = k + k = 2 \,N/m$ होगा।
आवेग $I$ द्वारा प्रदान किया गया प्रारंभिक वेग $v$, $I = m \Delta v$ द्वारा दिया जाता है, इसलिए $v = I/m = 2 / 0.1 = 20 \,m/s$।
निकाय की कोणीय आवृत्ति $\omega = \sqrt{k_{eff}/m} = \sqrt{2 / 0.1} = \sqrt{20} \,rad/s$ है।
साम्यावस्था स्थिति से अधिकतम विस्थापन (आयाम $A$) $A = v / \omega$ द्वारा दिया जाता है।
$A = 20 / \sqrt{20} = \sqrt{20} \approx 4.47 \,m$।
विकल्पों में दिए गए निकटतम पूर्णांक के अनुसार, अधिकतम विस्थापन $4 \,m$ है।

(B) जब $m$ द्रव्यमान की वस्तु को स्प्रिंग से लटकाया जाता है,तो वह गुरुत्वाकर्षण बल के तहत पहले से ही संतुलन में होती है $(mg = kx_0)$।
जब ऊर्ध्वाधर नीचे की ओर एक अतिरिक्त बल $F$ लगाया जाता है,तो स्प्रिंग $x$ की मात्रा से और खिंच जाती है।
हुक के नियम के अनुसार,नई संतुलन स्थिति तक पहुँचने के लिए स्प्रिंग में उत्पन्न प्रत्यानयन बल (restoring force) को अतिरिक्त लगाए गए बल $F$ को संतुलित करना चाहिए।
इसलिए,अतिरिक्त बल $F$ अतिरिक्त स्प्रिंग बल $kx$ के बराबर होता है।
$F = kx$
$x$ के लिए हल करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$x = \frac{F}{k}$

(A) स्प्रिंग-ब्लॉक प्रणाली का आवर्तकाल $T$ सूत्र $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ द्वारा दिया जाता है।
यदि द्रव्यमान $m$ को $4m$ से बदल दिया जाए,तो नया आवर्तकाल $T'$ होगा $T' = 2\pi \sqrt{\frac{4m}{k}} = 2 \times (2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}) = 2T$।
चूंकि आवर्तकाल दोगुना हो जाता है,इसलिए घड़ी को एक दोलन पूरा करने में दोगुना समय लगता है।
इसका मतलब है कि घड़ी धीमी चलती है। हर $1 \text{ s}$ के वास्तविक समय के लिए,घड़ी केवल $0.5 \text{ s}$ दर्ज करती है,जिसका अर्थ है कि यह हर $1 \text{ s}$ में $0.5 \text{ s}$ पीछे हो जाती है।

(B) दिया गया है: बल $F = 6.4 \,N$, विस्तार $x = 0.1 \,m$, और आवर्तकाल $T = \frac{\pi}{4} \,s$.
सबसे पहले, हुक के नियम का उपयोग करके स्प्रिंग नियतांक $k$ की गणना करें: $F = kx$.
$6.4 = k \times 0.1 \implies k = 64 \,N/m$.
स्प्रिंग-द्रव्यमान प्रणाली के आवर्तकाल का सूत्र $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ है।
मान रखने पर: $\frac{\pi}{4} = 2\pi \sqrt{\frac{m}{64}}$.
दोनों पक्षों को $\pi$ से विभाजित करने पर: $\frac{1}{4} = 2 \sqrt{\frac{m}{64}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\frac{1}{16} = 4 \times \frac{m}{64}$.
$\frac{1}{16} = \frac{m}{16}$.
अतः, $m = 1 \,kg$.

(A) दोलन की कोणीय आवृत्ति $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$ द्वारा दी जाती है।
ब्लॉक के स्प्रिंग के साथ संपर्क खोने के लिए, ब्लॉक का ऊपर की ओर त्वरण गुरुत्वीय त्वरण $g$ से अधिक होना चाहिए।
ब्लॉक तब संपर्क खो देता है जब ऊपर की ओर त्वरण $a = \omega^2 x$, $g$ के बराबर हो जाता है, जहाँ $x$ संतुलन स्थिति से विस्थापन है।
संतुलन स्थिति में, स्प्रिंग का संपीड़न $x_0 = \frac{mg}{k} = \frac{10 \times 10}{400} = 0.25 \text{ m} = 25 \text{ cm}$ होता है।
जब ब्लॉक अपने दोलन के उच्चतम बिंदु पर होता है, तो प्रत्यानयन बल नीचे की ओर निर्देशित होता है। ब्लॉक तब संपर्क खो देता है जब ऊपर की ओर त्वरण $g$ के बराबर होता है। चूंकि $SHM$ में अधिकतम ऊपर की ओर त्वरण $\omega^2 A$ है, जहाँ $A$ आयाम है, इसलिए यदि $A > x_0$ है तो ब्लॉक संपर्क खो देगा।
प्रश्न उस विस्तार (या प्राकृतिक लंबाई से विस्थापन) के बारे में पूछता है जिस पर संपर्क खो जाता है। ब्लॉक तब संपर्क खो देता है जब स्प्रिंग बल शून्य हो जाता है, जो तब होता है जब स्प्रिंग अपनी प्राकृतिक लंबाई पर वापस आ जाती है ($x = 0$ प्राकृतिक लंबाई के सापेक्ष)।
हालाँकि, इस मानक समस्या के संदर्भ में, ब्लॉक तब संपर्क खो देता है जब ऊपर की ओर त्वरण $g$ के बराबर होता है। यह संतुलन स्थिति पर होता है यदि आयाम $A = x_0 = 25 \text{ cm}$ हो।

(B) चित्र के अनुसार,जब द्रव्यमान $m$ को दाईं ओर $x$ की अल्प दूरी तक विस्थापित किया जाता है,तो $k_1$ नियतांक वाली स्प्रिंग $x$ तक खिंच जाती है और $k_2$ नियतांक वाली स्प्रिंग $x$ तक दब जाती है।
पहली स्प्रिंग द्वारा द्रव्यमान $m$ पर लगने वाला प्रत्यानयन बल $F_1 = -k_1 x$ है।
दूसरी स्प्रिंग द्वारा द्रव्यमान $m$ पर लगने वाला प्रत्यानयन बल $F_2 = -k_2 x$ है।
कुल प्रत्यानयन बल $F = F_1 + F_2 = -(k_1 + k_2)x$ है।
यह $F = -k_{eq} x$ के रूप में है,जहाँ तुल्य स्प्रिंग नियतांक $k_{eq} = k_1 + k_2$ है।
द्रव्यमान-स्प्रिंग प्रणाली के लिए दोलन का आवर्तकाल $T = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k_{eq}}}$ द्वारा दिया जाता है।
$k_{eq}$ का मान रखने पर,हमें $T = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k_1 + k_2}}$ प्राप्त होता है।

(B) सरल आवर्त गति में कण का अधिकतम वेग $V_{\max} = A \omega$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $A$ आयाम है और $\omega = \sqrt{\frac{K}{m}}$ कोणीय आवृत्ति है।
कण $A$ के लिए: $(V_{\max})_A = A_A \sqrt{\frac{K_1}{m}}$.
कण $B$ के लिए: $(V_{\max})_B = A_B \sqrt{\frac{K_2}{2m}}$.
दिया गया है कि $(V_{\max})_A = (V_{\max})_B$,इसलिए:
$A_A \sqrt{\frac{K_1}{m}} = A_B \sqrt{\frac{K_2}{2m}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$A_A^2 \frac{K_1}{m} = A_B^2 \frac{K_2}{2m}$.
आयामों के अनुपात $\frac{A_A}{A_B}$ के लिए व्यवस्थित करने पर:
$\frac{A_A^2}{A_B^2} = \frac{K_2}{2m} \cdot \frac{m}{K_1} = \frac{K_2}{2K_1}$.
अतः,$\frac{A_A}{A_B} = \sqrt{\frac{K_2}{2K_1}}$.

(C) सरल आवर्त दोलक का प्रारंभिक आवर्तकाल $T = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ द्वारा दिया जाता है।
जब $l$ लंबाई और $k$ स्प्रिंग नियतांक वाली स्प्रिंग को दो बराबर भागों में काटा जाता है,तो प्रत्येक भाग की लंबाई $l' = \frac{l}{2}$ हो जाती है।
चूंकि स्प्रिंग नियतांक $k$ स्प्रिंग की लंबाई के व्युत्क्रमानुपाती होता है $(k \propto \frac{1}{l})$,इसलिए प्रत्येक भाग के लिए नया स्प्रिंग नियतांक $k' = 2k$ होगा।
समान द्रव्यमान $m$ और नए स्प्रिंग नियतांक $k'$ के साथ नया आवर्तकाल $T' = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k'}} = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{2k}}$ होगा।
$T = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ का मान रखने पर,हमें $T' = \frac{1}{\sqrt{2}} \times (2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}}) = \frac{T}{\sqrt{2}}$ प्राप्त होता है।

(A) मान लीजिए कि कण को वर्ग की किसी एक भुजा की ओर $x$ की छोटी दूरी से विस्थापित किया जाता है। स्प्रिंगें प्रत्यानयन बल लगाएंगी।
ज्यामिति को ध्यान में रखते हुए,निकाय के लिए प्रभावी स्प्रिंग नियतांक $k_{eff}$ को कण पर कार्य करने वाले कुल प्रत्यानयन बल $F_R$ की गणना करके निर्धारित किया जा सकता है।
जब कण को $x$ से विस्थापित किया जाता है,तो विस्थापन की दिशा में चार स्प्रिंगों से लगने वाले बलों के घटकों का योग होता है।
प्रत्यानयन बल $F_R = (k + k + 2k + 2k) \cdot x \cdot \cos^2(45^\circ) = (6k) \cdot x \cdot (1/2) = 3kx$ द्वारा दिया जाता है।
इस प्रकार,कोणीय आवृत्ति $\omega = \sqrt{\frac{k_{eff}}{m}} = \sqrt{\frac{3k}{m}}$ है।
दोलन का आवर्तकाल $T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi \sqrt{\frac{m}{3k}}$ है।

(C) दिया गया है: अधिकतम चाल $v_{\max} = 15 \,cm/s$. आवर्तकाल $T = 628 \,ms = 0.628 \,s$.
हम जानते हैं कि $v_{\max} = A\omega$, जहाँ $A$ आयाम है और $\omega$ कोणीय आवृत्ति है।
चूँकि $\omega = \frac{2\pi}{T}$, इसलिए $v_{\max} = A \times \frac{2\pi}{T}$.
मान रखने पर: $15 = A \times \frac{2 \times 3.14}{0.628}$.
$15 = A \times \frac{6.28}{0.628}$.
$15 = A \times 10$.
$A = \frac{15}{10} = 1.5 \,cm$.

(B) दिया गया द्रव्यमान $m_1 = 1.0 \,kg$, विस्तार $l_1 = 5 \,cm = 0.05 \,m$ है।
हुक के नियम का उपयोग करते हुए, $m_1 g = k l_1$, जहाँ $k$ स्प्रिंग नियतांक है।
$k = \frac{m_1 g}{l_1} = \frac{1.0 \times 10}{0.05} = 200 \,N/m$।
अब, $m_2 = 2.0 \,kg$ द्रव्यमान के लिए, कोणीय आवृत्ति $\omega = \sqrt{\frac{k}{m_2}}$ द्वारा दी जाती है।
$\omega = \sqrt{\frac{200}{2.0}} = \sqrt{100} = 10 \,rad/s$।
ब्लॉक को $A = 10 \,cm = 0.1 \,m$ तक खींचा जाता है, जो दोलन का आयाम है।
अधिकतम वेग $v_{\max} = A \omega$ द्वारा दिया जाता है।
$v_{\max} = 0.1 \,m \times 10 \,rad/s = 1 \,m/s$।

(B) स्प्रिंग-द्रव्यमान निकाय के लिए दोलनों का आवर्तकाल $T = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $m$ दोलन करने वाला द्रव्यमान है और $k$ स्प्रिंग नियतांक है।
स्थिति $I$: जब $700 \,g$ द्रव्यमान को हटा दिया जाता है,तो शेष द्रव्यमान $m_1 = 500 \,g + 400 \,g = 900 \,g = 0.9 \,kg$ है। आवर्तकाल $T_1 = 3 \,s$ है।
$3 = 2 \pi \sqrt{\frac{0.9}{k}} \quad \dots(i)$
स्थिति $II$: जब $500 \,g$ द्रव्यमान को और हटा दिया जाता है,तो शेष द्रव्यमान $m_2 = 400 \,g = 0.4 \,kg$ है। मान लीजिए नया आवर्तकाल $T_2$ है।
$T_2 = 2 \pi \sqrt{\frac{0.4}{k}} \quad \dots(ii)$
समीकरण $(ii)$ को समीकरण $(i)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{T_2}{3} = \frac{2 \pi \sqrt{\frac{0.4}{k}}}{2 \pi \sqrt{\frac{0.9}{k}}} = \sqrt{\frac{0.4}{0.9}} = \sqrt{\frac{4}{9}} = \frac{2}{3}$
$T_2 = 3 \times \frac{2}{3} = 2 \,s$
अतः,निकाय $2 \,s$ के आवर्तकाल के साथ दोलन करेगा।

(C) जब $K_1$ और $K_2$ बल नियतांक वाली दो स्प्रिंगों को श्रेणी क्रम (एक सिरे से दूसरा सिरा) में जोड़ा जाता है,तो कुल विस्तार $x$,व्यक्तिगत विस्तार $x_1$ और $x_2$ के योग के बराबर होता है।
निकाय पर लगाए गए बल $F$ के लिए,$x_1 = F/K_1$ और $x_2 = F/K_2$ होता है।
कुल विस्तार $x = x_1 + x_2 = F/K_1 + F/K_2$ है।
यदि $K$ तुल्य बल नियतांक है,तो $x = F/K$ लिखा जा सकता है।
अतः,$F/K = F/K_1 + F/K_2$,जिसे सरल करने पर $1/K = 1/K_1 + 1/K_2$ प्राप्त होता है।
$K$ के लिए हल करने पर,हमें $K = \frac{K_1 K_2}{K_1 + K_2}$ प्राप्त होता है।

(B, C) दिया गया है $V = A x(x-4) = A x^2 - 4Ax \ J$.
कण पर कार्य करने वाला बल $F = -\frac{dV}{dx} = -(2Ax - 4A) = -2A(x-2) \ N$ है।
चूंकि $F \propto -(x-2)$,कण $x = 2 \ m$ की माध्य स्थिति के परितः सरल आवर्त गति $(SHM)$ करता है।
$SHM$ में,चाल माध्य स्थिति पर अधिकतम होती है,इसलिए $x = 2 \ m$ पर चाल अधिकतम है।
$F = -2A(x-2)$ की तुलना मानक $SHM$ समीकरण $F = -k(x-x_0)$ से करने पर,स्प्रिंग नियतांक $k = 2A$ प्राप्त होता है।
कोणीय आवृत्ति $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{2A}{0.02}} = \sqrt{100A} = 10\sqrt{A} \ rad/s$ है।
आवर्तकाल $T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{10\sqrt{A}} = \frac{\pi}{5\sqrt{A}} \ s$ है।
अतः,कथन $B$ और $C$ सही हैं।

(A) मान लीजिए स्प्रिंग में विस्तार $x$ है। स्प्रिंग की कुल लंबाई $L+x$ हो जाती है।
जब द्रव्यमान एक क्षैतिज वृत्त में घूमता है,तो अभिकेंद्र बल स्प्रिंग बल के क्षैतिज घटक द्वारा प्रदान किया जाता है।
स्प्रिंग बल $F = Kx$ है,जहाँ $K$ स्प्रिंग नियतांक है।
स्प्रिंग बल का क्षैतिज घटक $Kx \sin \theta = m \omega^{2} r$ है,जहाँ $r = (L+x) \sin \theta$ वृत्ताकार पथ की त्रिज्या है।
इस प्रकार,$Kx \sin \theta = m \omega^{2} (L+x) \sin \theta$.
दोनों पक्षों से $\sin \theta$ को हटाने पर,हमें $Kx = m \omega^{2} (L+x)$ प्राप्त होता है।
हम जानते हैं कि ऊर्ध्वाधर दोलनों की कोणीय आवृत्ति $\omega_{0} = \sqrt{\frac{K}{m}}$ है,जिसका अर्थ है $K = m \omega_{0}^{2}$।
समीकरण में $K$ का मान प्रतिस्थापित करने पर: $m \omega_{0}^{2} x = m \omega^{2} (L+x)$।
$m$ से विभाजित करने पर: $\omega_{0}^{2} x = \omega^{2} L + \omega^{2} x$।
$x$ के लिए हल करने हेतु पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $x(\omega_{0}^{2} - \omega^{2}) = \omega^{2} L$।
अतः,$x = \frac{\omega^{2} L}{\omega_{0}^{2} - \omega^{2}}$।

(B) विन्यास $(a)$ के लिए, स्प्रिंगें श्रेणीक्रम में हैं। तुल्य स्प्रिंग नियतांक $k_1$ इस प्रकार है: $\frac{1}{k_1} = \frac{1}{k} + \frac{1}{k} = \frac{2}{k}$, अतः $k_1 = \frac{k}{2}$।
आवर्तकाल $T_1 = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k_1}} = 2\pi \sqrt{\frac{2m}{k}} = 2 \,s$ है।
विन्यास $(b)$ के लिए, स्प्रिंगें समांतर क्रम में हैं। तुल्य स्प्रिंग नियतांक $k_2$ का मान $k_2 = k + k = 2k$ है।
आवर्तकाल $T_2 = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k_2}} = 2\pi \sqrt{\frac{m}{2k}}$ है।
दोनों आवर्तकालों का अनुपात लेने पर: $\frac{T_1}{T_2} = \frac{2\pi \sqrt{2m/k}}{2\pi \sqrt{m/2k}} = \sqrt{\frac{2m}{k} \cdot \frac{2k}{m}} = \sqrt{4} = 2$।
अतः, $T_2 = \frac{T_1}{2} = \frac{2 \,s}{2} = 1 \,s$ प्राप्त होता है।

(B) मान लीजिए कि कण को ऊर्ध्वाधर नीचे की ओर $x$ की छोटी दूरी से विस्थापित किया जाता है।
ऊर्ध्वाधर स्प्रिंग $x$ तक खिंचती है,जो ऊपर की ओर $F_1 = kx$ का प्रत्यानयन बल प्रदान करती है।
दो झुकी हुई स्प्रिंगें ऊर्ध्वाधर के साथ $135^\circ$ के कोण पर हैं। जब कण $x$ नीचे जाता है,तो प्रत्येक झुकी हुई स्प्रिंग की लंबाई में परिवर्तन $\Delta l = x \cos(135^\circ - 90^\circ) = x \cos(45^\circ) = \frac{x}{\sqrt{2}}$ होता है।
प्रत्येक झुकी हुई स्प्रिंग के लिए ऊर्ध्वाधर दिशा में प्रत्यानयन बल का घटक $F_2 = k \Delta l \cos(45^\circ) = k (\frac{x}{\sqrt{2}}) (\frac{1}{\sqrt{2}}) = \frac{kx}{2}$ है।
कुल प्रत्यानयन बल $F_{net} = F_1 + 2 F_2 = kx + 2(\frac{kx}{2}) = kx + kx = 2kx$ है।
अतः,तुल्य स्प्रिंग नियतांक $K_{eq} = 2k$ है।
दोलन का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{K_{eq}}} = 2\pi \sqrt{\frac{m}{2k}}$ है।

(A) इस निकाय में $m_1 = 1 \ kg$ और $m_2 = 200 \ g = 0.2 \ kg$ के दो द्रव्यमान $k = 150 \ N/m$ स्प्रिंग नियतांक वाली स्प्रिंग से जुड़े हैं।
दो-पिंड स्प्रिंग-द्रव्यमान निकाय के लिए,समतुल्य द्रव्यमान (रिड्यूस्ड मास) $\mu$ इस प्रकार है:
$\mu = \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2} = \frac{1 \times 0.2}{1 + 0.2} = \frac{0.2}{1.2} = \frac{1}{6} \ kg$.
निकाय की कोणीय आवृत्ति $\omega$ इस प्रकार दी जाती है:
$\omega = \sqrt{\frac{k}{\mu}} = \sqrt{\frac{150}{1/6}} = \sqrt{150 \times 6} = \sqrt{900} = 30 \ rad/s$.
अतः,कोणीय आवृत्ति $30 \ rad/s$ है।

(C) स्प्रिंग से जुड़े $m$ द्रव्यमान के दोलन की आवृत्ति $v = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k}{m}}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $k$ स्प्रिंग नियतांक है।
हम जानते हैं कि स्प्रिंग नियतांक $k$ स्प्रिंग की लंबाई $L$ के व्युत्क्रमानुपाती होता है,अर्थात $k \propto 1/L$।
जब स्प्रिंग की लंबाई आधी कर दी जाती है $(L' = L/2)$,तो नया स्प्रिंग नियतांक $k'$ का मान $k' = k \cdot (L/L') = k \cdot (L / (L/2)) = 2k$ हो जाता है।
नई आवृत्ति $v_2$ का मान $v_2 = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k'}{m}} = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{2k}{m}}$ है।
इसे $v_2 = \sqrt{2} \cdot \left( \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k}{m}} \right) = \sqrt{2} v_1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
अतः,अनुपात $v_2/v_1 = \sqrt{2}$ है।

(C) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 200 \text{ g} = 0.2 \text{ kg}$,विस्तार $x = 2 \text{ mm} = 2 \times 10^{-3} \text{ m}$,$g = 10 \text{ m/s}^2$.
सबसे पहले,संतुलन पर हुक के नियम का उपयोग करके स्प्रिंग स्थिरांक $k$ की गणना करें: $mg = kx \implies k = \frac{mg}{x} = \frac{0.2 \times 10}{2 \times 10^{-3}} = 1000 \text{ N/m}$.
सिस्टम की आवृत्ति $f = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k}{m}} = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{1000}{0.2}} = \frac{1}{2\pi} \sqrt{5000} = \frac{50\sqrt{2}}{2\pi} = \frac{25\sqrt{2}}{\pi} \text{ Hz}$.
अधिकतम ऊर्जा $E = \frac{1}{2} k A^2 = \frac{1}{2} \times 1000 \times (2 \times 10^{-3})^2 = 500 \times 4 \times 10^{-6} = 2 \times 10^{-3} \text{ J}$.