Periodic, Oscillatory motion and its characteristics and types of SHM and Equation of SHM Questions in Hindi

(N/A) $(i)$ $\sin \omega t + \cos \omega t$ को $\sqrt{2} \sin(\omega t + \pi/4)$ के रूप में लिखा जा सकता है। चूंकि $\sin(\omega t + \pi/4 + 2\pi) = \sin(\omega(t + 2\pi/\omega) + \pi/4)$,यह $T = 2\pi/\omega$ आवर्तकाल वाला एक आवर्ती फलन है।
$(ii)$ $\sin \omega t + \cos 2\omega t + \sin 4\omega t$ एक आवर्ती फलन है। व्यक्तिगत आवर्तकाल $T_1 = 2\pi/\omega$,$T_2 = 2\pi/(2\omega) = \pi/\omega$,और $T_3 = 2\pi/(4\omega) = \pi/(2\omega)$ हैं। इन आवर्तकालों का लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ $T = 2\pi/\omega$ है। अतः,यह योग $2\pi/\omega$ आवर्तकाल के साथ आवर्ती है।
$(iii)$ $e^{-\omega t}$ एक अनावर्ती फलन है। जैसे-जैसे $t$ बढ़ता है,यह एकदिश रूप से घटता है और $t \to \infty$ होने पर $0$ की ओर प्रवृत्त होता है,इसलिए यह कभी भी अपना मान दोहराता नहीं है।
$(iv)$ $\log(\omega t)$ एक अनावर्ती फलन है। यह समय $t$ के साथ एकदिश रूप से बढ़ता है और $t \to \infty$ होने पर $\infty$ की ओर अग्रसर होता है,इसलिए यह कभी भी अपना मान दोहराता नहीं है।

(A) $(1)$ $\sin \omega t - \cos \omega t$
$= \sqrt{2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \sin \omega t - \frac{1}{\sqrt{2}} \cos \omega t \right)$
$= \sqrt{2} \sin (\omega t - \pi/4)$
यह फलन $T = 2\pi/\omega$ आवर्तकाल के साथ एक सरल आवर्त गति को दर्शाता है।
$(2)$ $\sin^2 \omega t = \frac{1 - \cos 2\omega t}{2} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cos 2\omega t$
यह फलन आवर्ती है लेकिन सरल आवर्त गति नहीं है क्योंकि यह $1/2$ द्वारा स्थानांतरित संतुलन स्थिति के चारों ओर गति को दर्शाता है। इसका आवर्तकाल $T = \pi/\omega$ है।

(N/A) $t=0$ पर,$OP$ धनात्मक $x$-अक्ष के साथ $45^{\circ} = \pi/4 \text{ rad}$ का कोण बनाता है। $t$ समय के बाद,यह वामावर्त दिशा में $\frac{2\pi}{T}t$ का कोण तय करता है,और $x$-अक्ष के साथ $\left(\frac{2\pi}{T}t + \frac{\pi}{4}\right)$ का कोण बनाता है। $t$ समय पर $x$-अक्ष पर $OP$ का प्रक्षेप $x(t) = A \cos\left(\frac{2\pi}{T}t + \frac{\pi}{4}\right)$ है। $T = 4 \text{ s}$ के लिए,$x(t) = A \cos\left(\frac{\pi}{2}t + \frac{\pi}{4}\right)$,जो $A$ आयाम,$4 \text{ s}$ आवर्तकाल और $\pi/4$ प्रारंभिक कला वाली $SHM$ है।
$(b)$ इस स्थिति में $t=0$ पर,$OP$ $x$-अक्ष के साथ $90^{\circ} = \pi/2 \text{ rad}$ का कोण बनाता है। $t$ समय के बाद,यह दक्षिणावर्त दिशा में $\frac{2\pi}{T}t$ का कोण तय करता है और $x$-अक्ष के साथ $\left(\frac{\pi}{2} - \frac{2\pi}{T}t\right)$ का कोण बनाता है। $t$ समय पर $x$-अक्ष पर $OP$ का प्रक्षेप $x(t) = B \cos\left(\frac{\pi}{2} - \frac{2\pi}{T}t\right) = B \sin\left(\frac{2\pi}{T}t\right)$ है। $T = 30 \text{ s}$ के लिए,$x(t) = B \sin\left(\frac{\pi}{15}t\right) = B \cos\left(\frac{\pi}{15}t - \frac{\pi}{2}\right)$,जो $B$ आयाम,$30 \text{ s}$ आवर्तकाल और $-\pi/2$ प्रारंभिक कला वाली $SHM$ है।

(N/A) दिया गया समीकरण $x = 5 \cos (2 \pi t + \pi / 4)$ है। कोणीय आवृत्ति $\omega = 2 \pi \, rad/s$ है।
$(a)$ $t = 1.5 \, s$ पर विस्थापन:
$x = 5 \cos (2 \pi \times 1.5 + \pi / 4) = 5 \cos (3 \pi + \pi / 4) = 5 \cos (5 \pi / 4) = 5 \times (-1 / \sqrt{2}) \approx -3.535 \, m$.
$(b)$ चाल $v = dx/dt = -5 \times 2 \pi \sin (2 \pi t + \pi / 4)$:
$t = 1.5 \, s$ पर,$v = -10 \pi \sin (3 \pi + \pi / 4) = -10 \pi \times (-1 / \sqrt{2}) = 10 \pi / \sqrt{2} \approx 22.21 \, m/s$.
$(c)$ त्वरण $a = -\omega^2 x$:
$a = -(2 \pi)^2 \times (-3.535) = 4 \pi^2 \times 3.535 \approx 39.48 \times 3.535 \approx 139.56 \, m/s^2$.

(B, C) और $(c)$
तैराक की गति आवर्ती नहीं है। नदी के किनारों के बीच तैराक की गति आगे-पीछे होती है। हालाँकि,इसका कोई निश्चित आवर्तकाल नहीं होता है। ऐसा इसलिए है क्योंकि तैराक द्वारा अपनी आगे-पीछे की यात्रा के दौरान लिया गया समय समान नहीं हो सकता है।
स्वतंत्र रूप से लटके हुए चुंबक की गति,यदि उसे उसकी $N-S$ दिशा से विस्थापित करके छोड़ा जाए,तो वह आवर्ती होती है। ऐसा इसलिए है क्योंकि चुंबक एक निश्चित समय अंतराल के साथ अपनी स्थिति के चारों ओर दोलन करता है।
जब एक हाइड्रोजन अणु अपने द्रव्यमान केंद्र के चारों ओर घूमता है,तो वह समान समय अंतराल के बाद बार-बार उसी स्थिति में आता है। ऐसी गति आवर्ती होती है।
धनुष से छोड़ा गया तीर केवल आगे की दिशा में चलता है। यह वापस नहीं आता है। इसलिए,यह गति आवर्ती नहीं है।

(B, C) और $(c)$ सरल आवर्त गति $(SHM)$ हैं और $(a)$ और $(d)$ आवर्त गति हैं,लेकिन सरल आवर्त गति नहीं हैं।
$(a)$ पृथ्वी का अपनी धुरी पर घूमना एक आवर्त गति है क्योंकि यह समान समय अंतराल में अपनी स्थिति को दोहराती है। हालाँकि,यह सरल आवर्त गति नहीं है क्योंकि इसमें एक निश्चित संतुलन बिंदु के चारों ओर आगे-पीछे की गति शामिल नहीं है।
$(b)$ $U$-ट्यूब में दोलन करता पारे का स्तंभ सरल आवर्त गति करता है। पारा एक निश्चित संतुलन स्थिति के चारों ओर एक ही पथ पर आगे-पीछे गति करता है,जो सरल आवर्त गति की शर्तों को पूरा करता है।
$(c)$ जब बॉल बेयरिंग को एक चिकने वक्र कटोरे में सबसे निचले बिंदु से थोड़ा ऊपर से छोड़ा जाता है,तो यह संतुलन स्थिति के चारों ओर आगे-पीछे दोलन करती है। छोटे विस्थापन के लिए,प्रत्यानयन बल विस्थापन के समानुपाती होता है,इसलिए यह सरल आवर्त गति है।
$(d)$ बहुपरमाणुक अणु के कंपन आवर्त गति हैं लेकिन सरल आवर्त गति नहीं हैं। एक बहुपरमाणुक अणु में दोलन की कई प्राकृतिक आवृत्तियाँ होती हैं,और इसका कुल कंपन कई अलग-अलग सरल आवर्त गतियों का अध्यारोपण (superposition) है।

(B AND D) आवर्ती गति वह गति है जो समय के नियमित अंतराल पर स्वयं को दोहराती है।
$(a)$ यह आवर्ती गति नहीं है। विस्थापन $x$ समय $t$ के साथ लगातार बढ़ता है। गति की कोई पुनरावृत्ति नहीं होती है।
$(b)$ यह एक आवर्ती गति है। कण हर $2 \ s$ के बाद अपनी गति को दोहराता है (उदाहरण के लिए,$t = -1 \ s$ से $t = 1 \ s$ तक)। गति की अवधि $T = 2 \ s$ है।
$(c)$ यह आवर्ती गति नहीं है। हालाँकि कण उसी स्थिति में वापस आता है,लेकिन गति का पैटर्न समान समय अंतराल में खुद को नहीं दोहराता है।
$(d)$ यह एक आवर्ती गति है। कण एक ज्यावक्रीय (sinusoidal) पथ का अनुसरण करता है और हर $2 \ s$ के बाद अपनी गति को दोहराता है (उदाहरण के लिए,$t = -1 \ s$ से $t = 1 \ s$ तक)। गति की अवधि $T = 2 \ s$ है।

(A) $\sin \omega t - \cos \omega t = \sqrt{2} \sin(\omega t - \pi/4)$। यह $SHM$ है,जिसका आवर्तकाल $T = 2\pi/\omega$ है।
$(b)$ $\sin^3 \omega t = (3 \sin \omega t - \sin 3 \omega t)/4$। यह दो $SHM$ का अध्यारोपण है,अतः यह आवर्ती है लेकिन $SHM$ नहीं है। इसका आवर्तकाल $T = 2\pi/\omega$ है।
$(c)$ $3 \cos(\pi/4 - 2 \omega t) = 3 \cos(2 \omega t - \pi/4)$। यह $SHM$ है,जिसका आवर्तकाल $T = 2\pi/(2\omega) = \pi/\omega$ है।
$(d)$ $\cos \omega t + \cos 3 \omega t + \cos 5 \omega t$। यह तीन $SHM$ का अध्यारोपण है,अतः यह आवर्ती है लेकिन $SHM$ नहीं है। इसका आवर्तकाल $T = 2\pi/\omega$ है।
$(e)$ $\exp(-\omega^2 t^2)$ एक अ-आवर्ती गति है क्योंकि जैसे-जैसे $t \to \infty$ होता है,यह शून्य की ओर जाता है।
$(f)$ $1 + \omega t + \omega^2 t^2$ एक अ-आवर्ती गति है क्योंकि यह समय के साथ अनंत तक बढ़ती है।

(C) यदि कोई गति बल के नियम $F = -kx \Rightarrow ma = -kx$ द्वारा संचालित होती है,तो वह सरल आवर्त गति $(SHM)$ को दर्शाती है।
$\therefore a = -\left(\frac{k}{m}\right)x$
जहाँ:
$F$ प्रत्यानयन बल है।
$m$ वस्तु का द्रव्यमान है (जो एक नियतांक है)।
$x$ साम्यावस्था से विस्थापन है।
$a$ त्वरण है।
$k$ बल नियतांक है।
$SHM$ के लिए,त्वरण $a$ को विस्थापन $x$ के ऋणात्मक मान के सीधे आनुपातिक होना चाहिए $(a \propto -x)$।
दिए गए समीकरणों में से,केवल $a = -10x$ ही $a = -\omega^2 x$ के रूप में है,जहाँ $\omega^2 = 10$ है।
अतः,सही संबंध $a = -10x$ है।

(A) प्रारंभ में,$t = 0$ पर:
विस्थापन,$x = 1 \; cm$
प्रारंभिक वेग,$v = \omega \; cm/s$
कोणीय आवृत्ति,$\omega = \pi \; rad/s$
$x(t) = A \cos (\omega t + \phi)$ के लिए:
$1 = A \cos (\omega \times 0 + \phi) = A \cos \phi \implies A \cos \phi = 1 \dots (i)$
वेग $v = \frac{dx}{dt} = -A \omega \sin (\omega t + \phi)$
$\omega = -A \omega \sin (\phi) \implies A \sin \phi = -1 \dots (ii)$
$(i)$ और $(ii)$ का वर्ग करके जोड़ने पर:
$A^2 (\cos^2 \phi + \sin^2 \phi) = 1^2 + (-1)^2 = 2$
$A = \sqrt{2} \; cm$
$(ii)$ को $(i)$ से विभाजित करने पर:
$\tan \phi = -1 \implies \phi = \frac{3\pi}{4} \; rad$
$x = B \sin (\omega t + \alpha)$ के लिए:
$1 = B \sin (\alpha) \implies B \sin \alpha = 1 \dots (iii)$
वेग $v = \frac{dx}{dt} = B \omega \cos (\omega t + \alpha)$
$\omega = B \omega \cos (\alpha) \implies B \cos \alpha = 1 \dots (iv)$
$(iii)$ और $(iv)$ का वर्ग करके जोड़ने पर:
$B^2 (\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha) = 1^2 + 1^2 = 2$
$B = \sqrt{2} \; cm$
$(iii)$ को $(iv)$ से विभाजित करने पर:
$\tan \alpha = 1 \implies \alpha = \frac{\pi}{4} \; rad$

(N/A) आकृति $(a)$ के लिए:
आवर्त काल,$T = 2 \, s$
आयाम,$A = 3 \, cm$
समय $t = 0$ पर,कण $P$ ऋणात्मक $y$-अक्ष पर है। त्रिज्या सदिश $OP$ द्वारा धनात्मक $x$-अक्ष के साथ बनाया गया कोण $\phi = -\frac{\pi}{2}$ (या $\frac{3\pi}{2}$) है।
$x$-प्रक्षेप के लिए सरल आवर्त गति का समीकरण $x = A \cos \left( \frac{2\pi t}{T} + \phi \right)$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $x = 3 \cos \left( \frac{2\pi t}{2} - \frac{\pi}{2} \right) = 3 \cos \left( \pi t - \frac{\pi}{2} \right) = 3 \sin(\pi t) \, cm$.
आकृति $(b)$ के लिए:
आवर्त काल,$T = 4 \, s$
आयाम,$A = 2 \, m$
समय $t = 0$ पर,कण $P$ ऋणात्मक $x$-अक्ष पर है। त्रिज्या सदिश $OP$ द्वारा धनात्मक $x$-अक्ष के साथ बनाया गया कोण $\phi = \pi$ है।
$x$-प्रक्षेप के लिए सरल आवर्त गति का समीकरण $x = A \cos \left( \frac{2\pi t}{T} + \phi \right)$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $x = 2 \cos \left( \frac{2\pi t}{4} + \pi \right) = 2 \cos \left( \frac{\pi t}{2} + \pi \right) = -2 \cos \left( \frac{\pi t}{2} \right) \, m$.

(N/A) $SHM$ के लिए सामान्य समीकरण $x = A \cos (\omega t + \phi)$ है।
$(a)\; x = -2 \sin (3t + \pi/3) = 2 \cos (3t + \pi/3 + \pi/2) = 2 \cos (3t + 5\pi/6)$.
$x = A \cos (\omega t + \phi)$ से तुलना करने पर,हमें $A = 2 \text{ cm}$,$\omega = 3 \text{ rad/s}$,और $\phi = 5\pi/6 = 150^{\circ}$ प्राप्त होता है।
$(b)\; x = \cos (\pi/6 - t) = \cos (t - \pi/6)$.
$x = A \cos (\omega t + \phi)$ से तुलना करने पर,हमें $A = 1 \text{ cm}$,$\omega = 1 \text{ rad/s}$,और $\phi = -\pi/6 = -30^{\circ}$ प्राप्त होता है।
$(c)\; x = 3 \sin (2\pi t + \pi/4) = 3 \cos (2\pi t + \pi/4 - \pi/2) = 3 \cos (2\pi t - \pi/4)$.
$x = A \cos (\omega t + \phi)$ से तुलना करने पर,हमें $A = 3 \text{ cm}$,$\omega = 2\pi \text{ rad/s}$,और $\phi = -\pi/4 = -45^{\circ}$ प्राप्त होता है।
$(d)\; x = 2 \cos (\pi t)$.
$x = A \cos (\omega t + \phi)$ से तुलना करने पर,हमें $A = 2 \text{ cm}$,$\omega = \pi \text{ rad/s}$,और $\phi = 0$ प्राप्त होता है।

(B) कई भौतिक घटनाओं को समझने के लिए दोलनी गति का अध्ययन आवश्यक है। दोलनी गति आवर्ती गति का एक प्रकार है जिसमें कोई पिंड अपनी माध्य स्थिति के इर्द-गिर्द आगे-पीछे गति करता है। कई प्राकृतिक घटनाएं,जैसे कि ठोस में परमाणुओं का कंपन,ध्वनि तरंगों का प्रसार,और विद्युत चुंबकीय तरंगों का व्यवहार,मौलिक रूप से दोलनी गति के सिद्धांतों पर आधारित हैं।

(D) आवर्ती गति के वर्णन के लिए आवर्तकाल $(T)$,आवृत्ति ($f$ या $\nu$),विस्थापन $(x)$,आयाम $(A)$,और कला $(\phi)$ जैसी बुनियादी अवधारणाओं की आवश्यकता होती है।
ये पैरामीटर सामूहिक रूप से गति की स्थिति,समय और विस्तार को परिभाषित करते हैं।

(B) ध्वनि तरंगों (यांत्रिक तरंगों) और विद्युतचुंबकीय तरंगों का उत्पादन और प्रसार संतुलन स्थिति के चारों ओर कणों या क्षेत्रों के दोलन को शामिल करता है।
ये दोलन समय के नियमित अंतराल पर खुद को दोहराते हैं।
ऐसी गति,जो समय के एक निश्चित अंतराल के बाद खुद को दोहराती है,उसे आवर्ती गति (Periodic motion) कहा जाता है।
इसलिए,तरंग प्रसार की मौलिक प्रकृति आवर्ती गति पर आधारित है।

(N/A) यदि कोई पिंड एक निश्चित बिंदु के परितः,एक निश्चित पथ पर,समय के निश्चित अंतराल पर अपनी गति को दोहराता है,तो उसकी गति को आवर्ती गति कहा जाता है।
उदाहरण:
$(1)$ एक कीड़ा एक ढलान पर ऊपर चढ़ता है और नीचे गिर जाता है; वह प्रारंभिक बिंदु पर वापस आ जाता है और प्रक्रिया को समान रूप से दोहराता है। यदि हम जमीन से उसकी ऊंचाई और समय के बीच एक ग्राफ खींचें,तो यह चित्र $(a)$ जैसा दिखेगा।
$(2)$ यदि कोई बच्चा सीढ़ी चढ़ता है,नीचे आता है और प्रक्रिया को दोहराता है,तो उसकी जमीन से ऊंचाई और समय का ग्राफ चित्र $(b)$ जैसा दिखेगा।
$(3)$ जब आप अपनी हथेली और जमीन के बीच गेंद को उछालने का खेल खेलते हैं,तो उसकी ऊंचाई और समय का ग्राफ चित्र $(c)$ जैसा दिखेगा।

(N/A) यदि कोई पिंड एक निश्चित समय अंतराल में किसी स्थिर बिंदु के इर्द-गिर्द आगे-पीछे या ऊपर-नीचे गति करता है,तो ऐसी गति को दोलनी गति कहा जाता है।
उदाहरण के लिए:
$(1)$ एक कटोरे में रखा गया गेंद नीचे संतुलन में होगा। यदि इसे इस बिंदु से थोड़ा विस्थापित किया जाए,तो यह कटोरे में दोलन करेगा।
$(2)$ दीवार घड़ी के पेंडुलम की गति एक दोलनी गति है।
$(3)$ एक भारित स्प्रिंग की गति,जब स्प्रिंग से जुड़े भार को उसकी माध्य स्थिति से एक बार थोड़ा खींचकर छोड़ दिया जाता है।
प्रत्येक दोलनी गति आवर्ती (periodic) होती है,लेकिन प्रत्येक आवर्ती गति का दोलनी होना आवश्यक नहीं है।
इस प्रकार की गति में प्रत्यानयन बल (restoring force) उत्पन्न होता है,इसलिए इस गति को जारी रखने के लिए लगातार किसी बाहरी बल की आवश्यकता नहीं होती है। इस प्रकार की गति को हार्मोनिक गति के रूप में भी जाना जाता है।

(N/A) सरल आवर्त गति $(SHM)$ को एक रेखीय पथ पर एक निश्चित बिंदु के चारों ओर होने वाली आवर्ती गति के रूप में परिभाषित किया जाता है,जहाँ वस्तु पर कार्य करने वाला प्रत्यानयन बल (restoring force) हमेशा निश्चित बिंदु (माध्य स्थिति) की ओर निर्देशित होता है और माध्य स्थिति से वस्तु के विस्थापन के सीधे आनुपातिक होता है।
गणितीय रूप से,इसे $F = -kx$ के रूप में व्यक्त किया जाता है,जहाँ $F$ प्रत्यानयन बल है,$x$ माध्य स्थिति से विस्थापन है,और $k$ बल नियतांक है।
$SHM$ के महत्वपूर्ण लक्षण:
$1$. यह गति आवर्ती और दोलनी होती है।
$2$. प्रत्यानयन बल हमेशा माध्य स्थिति की ओर निर्देशित होता है।
$3$. प्रत्यानयन बल का परिमाण माध्य स्थिति से विस्थापन के सीधे आनुपातिक होता है $(F \propto x)$।
$4$. कण का त्वरण भी विस्थापन के आनुपातिक होता है और माध्य स्थिति की ओर निर्देशित होता है $(a = -\omega^2 x)$।
$5$. सरल आवर्त गति करने वाली वस्तु को सरल आवर्त दोलक (Simple Harmonic Oscillator) कहा जाता है।

(N/A)

आवर्ती गति	सरल आवर्त गति $(SHM)$
$(1)$ सभी $SHM$ आवर्ती गति होते हैं,लेकिन सभी आवर्ती गति $SHM$ नहीं होती हैं।	$(1)$ $SHM$ आवर्ती गति का एक विशिष्ट प्रकार है।
$(2)$ प्रत्यानयन बल का माध्य स्थिति से विस्थापन के समानुपाती होना आवश्यक नहीं है।	$(2)$ प्रत्यानयन बल हमेशा विस्थापन के सीधे समानुपाती होता है और माध्य स्थिति की ओर निर्देशित होता है $(F = -kx)$।

(N/A)

दोलन (Oscillations)	कंपन (Vibrations)
$(1)$ दोलन करने वाली वस्तु की आवृत्ति आमतौर पर कम होती है।	$(1)$ कंपन करने वाली वस्तु की आवृत्ति आमतौर पर अधिक होती है।
$(2)$ उदाहरण: पेड़ की शाखाओं का दोलन।	$(2)$ उदाहरण: संगीत वाद्ययंत्र के तार का कंपन।

(N/A) आवर्तकाल: समय का वह सबसे छोटा अंतराल जिसके बाद गति दोहराई जाती है,उसे आवर्तकाल कहते हैं। एक दोलन पूरा करने में लगने वाले समय को आवर्तकाल कहते हैं। इसे $T$ द्वारा दर्शाया जाता है। इसका $SI$ मात्रक सेकंड $(s)$ है। इसका विमीय सूत्र $[M^0 L^0 T^1]$ है।
आवृत्ति: एक सेकंड में पूरे किए गए दोलनों की संख्या को आवृत्ति कहते हैं। इसे $f$ या $\nu$ द्वारा दर्शाया जाता है। इसका $SI$ मात्रक $Hz$ (हर्ट्ज़) या $s^{-1}$ है। इसका विमीय सूत्र $[M^0 L^0 T^{-1}]$ है।
संबंध: आवृत्ति,आवर्तकाल का व्युत्क्रम होती है। गणितीय रूप से,$f = \frac{1}{T}$ या $T = \frac{1}{f}$।

(N/A) विस्थापन: किसी भी क्षण पर एक दोलक (सरल आवर्त गति करने वाला पिंड) की उसकी संतुलन (स्थिर या संदर्भ) स्थिति से दूरी को उस क्षण पर दोलक का विस्थापन कहा जाता है।
संतुलन बिंदु के एक तरफ विस्थापन को धनात्मक और दूसरी तरफ ऋणात्मक माना जाता है। संक्षेप में,विस्थापन शून्य,धनात्मक और ऋणात्मक मान रख सकता है।
विस्थापन का तात्पर्य विचारधीन किसी भी भौतिक गुण में समय के साथ होने वाले परिवर्तन से है। इसके उदाहरण निम्नलिखित हैं:
$(1)$ एक सतह पर स्टील की गेंद की रेखीय गति के मामले में,समय के फलन के रूप में शुरुआती बिंदु से दूरी इसका स्थिति विस्थापन है। मूल बिंदु का चयन सुविधा का विषय है।
$(2)$ चित्र $(a)$ में दिखाए अनुसार,एक स्प्रिंग से जुड़े $m$ द्रव्यमान के ब्लॉक पर विचार करें,जिसका दूसरा सिरा एक कठोर दीवार से जुड़ा है। ब्लॉक एक घर्षण रहित सतह पर चलता है। ब्लॉक की गति को दीवार से उसकी दूरी या विस्थापन $x$ के संदर्भ में वर्णित किया जा सकता है।

(N/A) एक आवर्ती फलन वह फलन है जो अपने मानों को नियमित अंतराल या आवर्तकाल में दोहराता है।
भौतिकी में,आवर्ती फलनों का उपयोग आवर्ती गति को दर्शाने के लिए किया जाता है।
सबसे सरल आवर्ती फलन ज्या (sine) और कोज्या (cosine) फलन हैं।
फलन $f(t) = A \cos \omega t$ पर विचार करें।
इस फलन का आवर्तकाल $T = \frac{2 \pi}{\omega}$ है,क्योंकि जब तर्क $\omega t$ को $2 \pi$ रेडियन के पूर्णांक गुणज से बढ़ाया जाता है,तो फलन का मान समान रहता है।
इस प्रकार,फलन $f(t)$,$T$ आवर्तकाल के साथ आवर्ती है,जो $f(t) = f(t + T)$ को संतुष्ट करता है।
इसी प्रकार,$f(t) = A \sin \omega t$ भी समान आवर्तकाल $T$ वाला एक आवर्ती फलन है।
ज्या और कोज्या फलनों का रैखिक संयोजन,$f(t) = A \sin \omega t + B \cos \omega t$,भी $T$ आवर्तकाल वाला एक आवर्ती फलन है।
हम इसे $f(t) = D \sin(\omega t + \phi)$ के रूप में व्यक्त कर सकते हैं,जहाँ $D = \sqrt{A^2 + B^2}$ परिणामी आयाम है और $\phi$ कला नियतांक है।

(N/A) आवर्ती $\text{sine}$ और $\text{cosine}$ फलन मौलिक हैं क्योंकि किसी भी जटिल आवर्ती फलन को विभिन्न आवृत्तियों और आयामों के $\text{sine}$ और $\text{cosine}$ फलनों के अध्यारोपण (योग) के रूप में व्यक्त किया जा सकता है,जिसे $\text{Fourier}$ श्रेणी के रूप में जाना जाता है। यह भौतिकविदों को जटिल दोलनी गतियों को सरल,प्रबंधनीय हार्मोनिक घटकों में विभाजित करके उनका विश्लेषण करने की अनुमति देता है।

(N/A) $1$. आवर्ती गति: वह गति जो निश्चित समय अंतराल के बाद स्वयं को दोहराती है,आवर्ती गति कहलाती है। उदाहरण के लिए,पृथ्वी का सूर्य के चारों ओर घूमना या घड़ी की सुइयों की गति।
$2$. दोलनी गति: वह गति जिसमें कोई वस्तु एक निश्चित बिंदु (माध्य स्थिति) के इर्द-गिर्द आगे-पीछे गति करती है,दोलनी गति कहलाती है। उदाहरण के लिए,सरल लोलक की गति या वाद्य यंत्र में तार का कंपन।
नोट: सभी दोलनी गतियां आवर्ती होती हैं,लेकिन सभी आवर्ती गतियां दोलनी नहीं होती हैं।

(N/A) $1$. आवर्ती गति: वह गति जो निश्चित समय अंतराल के बाद स्वयं को दोहराती है,आवर्ती गति कहलाती है। इसके लिए विस्थापन के समानुपाती प्रत्यानयन बल (restoring force) का होना आवश्यक नहीं है। उदाहरण: पृथ्वी की सूर्य के चारों ओर गति।
$2$. सरल आवर्त गति $(SHM)$: यह आवर्ती गति का एक विशेष प्रकार है जिसमें प्रत्यानयन बल माध्य स्थिति से विस्थापन के सीधे समानुपाती होता है और हमेशा माध्य स्थिति की ओर निर्देशित होता है। गति का समीकरण $F = -kx$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $k$ बल नियतांक है और $x$ विस्थापन है। उदाहरण: छोटे आयामों के लिए सरल लोलक की गति।

(N/A) सरल आवर्त गति $(SHM)$ एक विशेष प्रकार की आवर्ती गति है जिसमें प्रत्यानयन बल माध्य स्थिति से विस्थापन के सीधे समानुपाती होता है और हमेशा माध्य स्थिति की ओर निर्देशित होता है। गणितीय रूप से,$F = -kx$,जहाँ $k$ बल नियतांक है और $x$ विस्थापन है।
$SHM$ की महत्वपूर्ण विशेषताएँ निम्नलिखित हैं:
$1$. यह गति आवर्ती और दोलनी होती है।
$2$. प्रत्यानयन बल हमेशा विस्थापन के समानुपाती होता है $(F \propto -x)$।
$3$. कण का त्वरण विस्थापन के समानुपाती होता है और माध्य स्थिति की ओर निर्देशित होता है $(a = -\omega^2 x)$।
$4$. निकाय की कुल यांत्रिक ऊर्जा संरक्षित रहती है।
$5$. इस गति को ज्या (sine) या कोज्या (cosine) फलन द्वारा दर्शाया जा सकता है,जैसे $x(t) = A \sin(\omega t + \phi)$।

(N/A) $1$. परिभाषा: दोलन किसी पिंड की माध्य स्थिति के परितः होने वाली किसी भी आवर्ती गति के लिए एक सामान्य शब्द है। कंपन दोलन का एक विशिष्ट प्रकार है जो अपेक्षाकृत उच्च आवृत्ति पर होता है।
$2$. आवृत्ति: दोलन किसी भी आवृत्ति पर हो सकते हैं,जिसमें बहुत कम आवृत्तियाँ भी शामिल हैं (जैसे,लोलक का झूलना)। कंपन में आमतौर पर उच्च-आवृत्ति वाले दोलन शामिल होते हैं (जैसे,गिटार के तार या स्पीकर के डायाफ्राम का कंपन)।
$3$. संदर्भ: 'दोलन' शब्द का प्रयोग अक्सर यांत्रिकी और बड़े पैमाने की प्रणालियों (जैसे झूला या लोलक) के संदर्भ में किया जाता है। 'कंपन' शब्द का प्रयोग आमतौर पर ध्वनिकी,संरचनात्मक इंजीनियरिंग और आणविक गतिशीलता के संदर्भ में किया जाता है।
$4$. उदाहरण: एक सरल लोलक का झूलना एक दोलन है। ट्यूनिंग फोर्क या कंपन करते तार की तीव्र गति एक कंपन है।

(N/A) $1$. आवर्तकाल $(T)$: किसी दोलन करने वाले कण द्वारा एक पूर्ण दोलन पूरा करने में लिए गए समय को आवर्तकाल कहते हैं। इसका $SI$ मात्रक सेकंड $(s)$ है।
$2$. आवृत्ति ($f$ या $\nu$): एक सेकंड में कण द्वारा पूरे किए गए दोलनों की संख्या को आवृत्ति कहते हैं। इसका $SI$ मात्रक हर्ट्ज़ $(Hz)$ है,जहाँ $1 \ Hz = 1 \ s^{-1}$ है।
$3$. संबंध: आवृत्ति,आवर्तकाल का व्युत्क्रम होती है। गणितीय रूप में,$f = \frac{1}{T}$ या $T = \frac{1}{f}$।

(N/A) $1$. विस्थापन चर: दोलनी गति के संदर्भ में,विस्थापन चर किसी भी दिए गए समय $t$ पर वस्तु की उसकी माध्य (संतुलन) स्थिति से स्थिति में परिवर्तन को दर्शाता है। इसे आमतौर पर $x(t)$ या $y(t)$ द्वारा निरूपित किया जाता है।
$2$. आवर्ती फलन: यदि कोई फलन समय के नियमित अंतराल पर अपने मानों को दोहराता है,तो उसे आवर्ती फलन कहा जाता है। गणितीय रूप से,एक फलन $f(t)$ आवर्ती होता है यदि $f(t + T) = f(t)$ सभी $t$ के लिए सत्य हो,जहाँ $T$ एक धनात्मक स्थिरांक है जिसे फलन का आवर्तकाल (time period) कहा जाता है।

(N/A) आवर्तकाल $T$ को सबसे छोटे धनात्मक समय अंतराल के रूप में परिभाषित किया गया है जिसके बाद फलन अपने मान को दोहराता है।
फलन $f(t) = A \cos \omega t$ के लिए,आवर्तकता की शर्त $f(t + T) = f(t)$ है।
फलन को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $A \cos \omega(t + T) = A \cos \omega t$ प्राप्त होता है।
इसका तात्पर्य है कि $\cos(\omega t + \omega T) = \cos \omega t$।
हम जानते हैं कि कोसाइन फलन $2\pi$ के अंतराल के बाद अपने मान को दोहराता है,अर्थात $\cos(\theta + 2\pi) = \cos \theta$।
तर्कों की तुलना करने पर,हमें $\omega T = 2\pi$ प्राप्त होता है।
इसलिए,आवर्तकाल $T = \frac{2\pi}{\omega}$ है।

(N/A) सरल आवर्त गति $(SHM)$: एक रैखिक पथ पर एक निश्चित बिंदु के चारों ओर होने वाली वह आवर्ती गति,जिसमें प्रत्यानयन बल (restoring force) निश्चित बिंदु की ओर कार्य करता है और उस बिंदु से वस्तु के विस्थापन के सीधे आनुपातिक होता है,सरल आवर्त गति कहलाती है।
वैकल्पिक रूप से,सरल आवर्त गति एक ऐसी आवर्ती गति है जिसमें विस्थापन समय का एक ज्यावक्रीय फलन (sinusoidal function) होता है।
दोलनी गति में,किसी भी बिंदु से माध्य स्थिति की ओर एक प्रत्यानयन बल कार्य करता है। इसलिए,सरल आवर्त गति में मूल बिंदु से कण का विस्थापन $x$,समय $t$ के साथ इस प्रकार बदलता है:
$x(t) = A \cos (\omega t + \phi)$
जहाँ $A$ आयाम है,$\omega$ कोणीय आवृत्ति है,और $\phi$ प्रारंभिक कला नियतांक है।
आकृति में एक कण को $X$-अक्ष के मूल बिंदु के चारों ओर $+A$ और $-A$ की सीमाओं के बीच आगे-पीछे दोलन करते हुए दिखाया गया है।

(N/A) विस्थापन $x$ बनाम समय $t$ का ग्राफ समय के एक निरंतर फलन के रूप में विस्थापन को दर्शाता है। यह समीकरण $x(t) = A \cos(\omega t + \phi)$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$A$,$\omega$ और $\phi$ स्थिरांक हैं जो $SHM$ (सरल आवर्त गति) की विशेषताओं को निर्धारित करते हैं।
सरल आवर्त गति के लिए समय के निरंतर फलन के रूप में विस्थापन का ग्राफ नीचे दिखाया गया है:
[ग्राफ जो $t = 0$ पर $x = A$ से शुरू होने वाली एक कोसाइन तरंग को दर्शाता है,जो $A$ और $-A$ के बीच दोलन करती है]
समीकरण $x(t) = A \cos(\omega t + \phi)$ में प्रयुक्त मानक प्रतीकों को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:
$x(t)$: समय $t$ के फलन के रूप में विस्थापन $x$
$A$: आयाम
$\omega$: कोणीय आवृत्ति
$\omega t + \phi$: कला (समय-निर्भर)
$\phi$: कला स्थिरांक

(N/A) आयाम: $SHM$ कर रहे कण के उसके माध्य स्थिति से अधिकतम विस्थापन के परिमाण को $SHM$ का आयाम कहा जाता है।
आयाम का प्रतीक $A$ या $a$ है और इसका $SI$ मात्रक $m$ है। इसका विमीय सूत्र $[M^0 L^1 T^0]$ है।
$SHM$ कण का विस्थापन दो चरम बिंदुओं $+A$ और $-A$ के बीच दोलन करता है।
दो अलग-अलग आयामों के लिए प्रारंभिक कला $\phi = 0$ के साथ समय के फलन के रूप में विस्थापन का आलेख चित्र में दिखाया गया है। वक्र $1$ और $2$ क्रमशः $A$ और $B$ आयाम वाले $SHM$ को दर्शाते हैं,जहाँ $x(t) = A \cos \omega t$ और $x(t) = B \cos \omega t$ है।

(N/A) आवर्तकाल: एक दोलक द्वारा एक पूर्ण दोलन पूरा करने में लिए गए समय को आवर्तकाल $(T)$ कहा जाता है।
कोणीय आवृत्ति: एक दोलक की आवृत्ति के $2\pi$ गुना को कोणीय आवृत्ति $(\omega)$ कहा जाता है।
$A$ आयाम और $t=0$ पर प्रारंभिक कला $\phi = 0$ के साथ सरल आवर्त गति $(SHM)$ करने वाले कण का विस्थापन:
$x(t) = A \sin(\omega t)$ ... $(1)$
चूंकि गति $T$ आवर्तकाल के साथ आवर्ती है,इसलिए $T$ समय के बाद विस्थापन दोहराया जाता है:
$x(t) = x(t + T)$
$A \sin(\omega t) = A \sin(\omega(t + T))$
चूंकि ज्या (sine) फलन $2\pi$ के आवर्तकाल के साथ आवर्ती है,इसलिए गति को दोहराने के लिए कला में $2\pi$ की वृद्धि होनी चाहिए:
$\omega(t + T) = \omega t + 2\pi$
$\omega t + \omega T = \omega t + 2\pi$
$\omega T = 2\pi$
अतः,संबंध इस प्रकार है:
$\omega = \frac{2\pi}{T}$
चूंकि आवृत्ति $v = \frac{1}{T}$ है,हम लिख सकते हैं:
$\omega = 2\pi v$

(N/A) सरल आवर्त गति का सामान्य समीकरण $x(t) = A \sin(\omega t + \phi)$ है।
दी गई प्रारंभिक कला $\phi = 0$ के लिए,समीकरण $x(t) = A \sin(\omega t)$ हो जाता है।
यह $t = 0$ पर मूल बिंदु से शुरू होने वाली एक ज्या तरंग (sine wave) को दर्शाता है। यदि गति चरम स्थिति से शुरू होती है,तो समीकरण $x(t) = A \cos(\omega t)$ होता है।
दिया गया ग्राफ विभिन्न आवर्तकालों के लिए विस्थापन बनाम समय को दर्शाता है।
इस आरेख में,वक्र $(b)$ का आवर्तकाल वक्र $(a)$ की तुलना में आधा $(T_b = T_a / 2)$ है और इसकी आवृत्ति दोगुनी $(f_b = 2f_a)$ है।

(N/A) सरल आवर्त गति $(SHM)$ एक विशेष प्रकार की आवर्ती गति है जिसमें किसी कण पर कार्य करने वाला प्रत्यानयन बल (restoring force) माध्य स्थिति से उसके विस्थापन के सीधे आनुपातिक होता है और हमेशा माध्य स्थिति की ओर निर्देशित होता है।
गणितीय रूप से,इसे $F = -kx$ के रूप में व्यक्त किया जाता है,जहाँ $F$ प्रत्यानयन बल है,$x$ संतुलन स्थिति से विस्थापन है,और $k$ बल नियतांक है।
$SHM$ में,कण का त्वरण भी उसके विस्थापन के आनुपातिक होता है और इसे $a = -\omega^2 x$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\omega$ कोणीय आवृत्ति है।

सरल आवर्त गति $(SHM)$ करने वाले कण का विस्थापन $x(t)$ समीकरण $x(t) = A \sin(\omega t + \phi)$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $A$ आयाम है,$\omega$ कोणीय आवृत्ति है,और $\phi$ प्रारंभिक कला नियतांक है।
यदि हम मान लें कि कण $t = 0$ पर माध्य स्थिति से शुरू होता है और $\phi = 0$ है,तो समीकरण $x(t) = A \sin(\omega t)$ हो जाता है।
$x(t)$ बनाम $t$ का ग्राफ एक ज्यावक्रीय तरंग (sinusoidal wave) है।
$1$. $t = 0$ पर,$x = 0$ है।
$2$. $t = T/4$ पर,$x = A$ (अधिकतम धनात्मक विस्थापन) है।
$3$. $t = T/2$ पर,$x = 0$ है।
$4$. $t = 3T/4$ पर,$x = -A$ (अधिकतम ऋणात्मक विस्थापन) है।
$5$. $t = T$ पर,$x = 0$ है।
यह ग्राफ $T = 2\pi/\omega$ के आवर्तकाल के साथ $+A$ और $-A$ के बीच दोलन करता है।

(A) $SHM$ (सरल आवर्त गति) की विशेषताओं का निर्धारण प्रत्यानयन बल (restoring force) द्वारा किया जाता है।
$SHM$ में,प्रत्यानयन बल $F$ साम्यावस्था से विस्थापन $x$ के सीधे समानुपाती होता है और विपरीत दिशा में कार्य करता है,जिसे $F = -kx$ द्वारा दर्शाया जाता है,जहाँ $k$ बल नियतांक है।
यह प्रत्यानयन बल ही वह मूलभूत कारक है जो दोलन की आवृत्ति,आवर्तकाल और आयाम को निर्धारित करता है।

(N/A) $SHM$ (सरल आवर्त गति) के आयाम को दोलन करने वाले कण के उसके माध्य या संतुलन स्थिति से अधिकतम विस्थापन के रूप में परिभाषित किया जाता है।
यह संतुलन बिंदु के दोनों ओर गति की सीमा को दर्शाता है।
गणितीय रूप से,यदि $SHM$ में किसी कण का विस्थापन $x(t) = A \sin(\omega t + \phi)$ द्वारा दिया जाता है,तो $A$ गति का आयाम है।
आयाम का $SI$ मात्रक मीटर $(m)$ है।

(N/A) आवर्तकाल $(T)$,जिसे समय अवधि भी कहा जाता है,को उस न्यूनतम समय अंतराल के रूप में परिभाषित किया जाता है जिसके बाद किसी वस्तु की गति स्वयं को दोहराती है।
दोलनी या सरल आवर्त गति के संदर्भ में,यह वह समय है जो एक कण द्वारा एक पूर्ण दोलन या चक्र पूरा करने में लिया जाता है।
आवर्तकाल का $SI$ मात्रक सेकंड $(s)$ है।

(N/A) आवर्तकाल $T$ को किसी वस्तु द्वारा एक पूर्ण दोलन पूरा करने में लिए गए समय के रूप में परिभाषित किया जाता है।
कोणीय आवृत्ति $\omega$ को कला कोण के परिवर्तन की दर के रूप में परिभाषित किया जाता है,जो $\omega = \frac{2\pi}{T}$ द्वारा दी जाती है।
इसलिए,आवर्तकाल $T$ और कोणीय आवृत्ति $\omega$ के बीच का संबंध $T = \frac{2\pi}{\omega}$ है।

(N/A) मान लीजिए कि एक कण $R$ त्रिज्या के वृत्त में एक क्षैतिज तल में स्थिर कोणीय गति $\omega$ के साथ गति कर रहा है।
किसी भी समय $t$ पर कण की स्थिति को एक संदर्भ व्यास के सापेक्ष $\theta = \omega t$ कोण द्वारा दर्शाया जा सकता है।
यदि हम कण की स्थिति को वृत्त के व्यास पर प्रक्षेपित करते हैं,तो समय $t$ पर वृत्त के केंद्र से प्रक्षेप का विस्थापन $y$ समीकरण $y = R \sin(\omega t)$ द्वारा दिया जाता है।
यह समीकरण $y = R \sin(\omega t)$ सरल आवर्त गति $(SHM)$ करने वाले कण के विस्थापन को दर्शाता है।
जैसा कि चित्र में दिखाया गया है,जैसे-जैसे कण वृत्ताकार पथ पर $A, B, C, D, E, F, G$ बिंदुओं से होकर गुजरता है,ऊर्ध्वाधर व्यास पर उसका प्रक्षेप केंद्र $O$ से होकर चरम बिंदुओं $S$ और $Q$ के बीच आगे-पीछे गति करता है। प्रक्षेप की यह दोलन गति ही सरल आवर्त गति है।

(N/A) मान लीजिए कि एक कण $O$ केंद्र और $A$ त्रिज्या वाले वृत्तीय पथ पर अचर कोणीय चाल $\omega$ से वामावर्त (anti-clockwise) दिशा में गति कर रहा है। समय $t$ पर कण $P$ स्थिति पर है और इसकी कला $\theta = \omega t + \phi$ है,जहाँ $\phi$ प्रारंभिक कला है।
$1$. विस्थापन: $X$-अक्ष पर स्थिति सदिश $\vec{OP}$ का प्रक्षेप $x(t) = A \cos(\omega t + \phi)$ है।
$2$. वेग: वृत्तीय गति में कण का वेग $v = A\omega$ है जो स्पर्शरेखीय दिशा में होता है। इस वेग सदिश का $X$-अक्ष पर प्रक्षेप सरल आवर्त गति $(SHM)$ का वेग देता है:
$v(t) = \frac{dx}{dt} = -A\omega \sin(\omega t + \phi)$.
$3$. त्वरण: वृत्तीय गति में कण का अभिकेंद्र त्वरण $a_c = A\omega^2$ है जो केंद्र $O$ की ओर होता है। इस त्वरण सदिश का $X$-अक्ष पर प्रक्षेप $SHM$ का त्वरण देता है:
$a(t) = \frac{dv}{dt} = -A\omega^2 \cos(\omega t + \phi) = -\omega^2 x(t)$.
यह पुष्टि करता है कि यह गति सरल आवर्त गति है।

(N/A) समय $t=0$ पर,कण स्थिति $P_{1}$ पर है और इसका स्थिति सदिश $\overrightarrow{OP}_{1}$ धनात्मक $X$-अक्ष के साथ $\phi$ कोण बनाता है।
$X$-अक्ष पर $OP_{1}$ का प्रक्षेप $OP_{1}^{\prime}$ है।
समय $t=t$ पर,कण $\omega t$ का कोणीय विस्थापन तय करके बिंदु $P_{2}$ पर पहुँचता है और इसका स्थिति सदिश $\overrightarrow{OP}_{2}$ $X$-अक्ष के साथ $\omega t+\phi$ कोण बनाता है।
$X$-अक्ष पर स्थिति सदिश $OP_{2}$ का प्रक्षेप $OP_{2}^{\prime}$ है।
जैसे-जैसे कण $P$ एक वृत्त पर गति करता है,$X$-अक्ष पर इसके लंबवत प्रक्षेप का मान $x(t)=A \cos(\omega t+\phi)$ द्वारा दिया जाता है। यह किसी भी समय पर स्थिति सदिश का $X$-घटक है।
यह समीकरण $SHM$ का सामान्य समीकरण है।
इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि संदर्भ वृत्त के व्यास पर एकसमान वृत्तीय गति का प्रक्षेप $SHM$ है।
एकसमान वृत्तीय पथ पर गति करने वाले कण को संदर्भ कण कहा जाता है और संदर्भ कण के वृत्तीय पथ को संदर्भ वृत्त कहा जाता है।
यदि संदर्भ कण का प्रक्षेप $Y$-अक्ष पर लिया जाए,तो $Y$-अक्ष पर कण का विस्थापन $y(t)=A \sin(\omega t+\phi)$ होता है।

(A) रैखिक सरल आवर्त गति $(SHM)$ एक व्यास पर एकसमान वृत्तीय गति $(UCM)$ का प्रक्षेप है।
$UCM$ में,कण केंद्र की ओर निर्देशित एक स्थिर अभिकेंद्री बल $F_c = \frac{mv^2}{r} = m\omega^2r$ का अनुभव करता है।
रैखिक $SHM$ में,कण एक प्रत्यानयन बल $F = -m\omega^2x$ का अनुभव करता है,जो माध्य स्थिति से विस्थापन $x$ के समानुपाती होता है और माध्य स्थिति की ओर निर्देशित होता है।
हालाँकि प्रक्षेप की गतिकी (स्थिति,वेग,त्वरण) $SHM$ से मेल खाती है,लेकिन बलों की भौतिक प्रकृति अलग है: $UCM$ के लिए स्थिर परिमाण वाले बल की आवश्यकता होती है,जबकि $SHM$ के लिए ऐसे बल की आवश्यकता होती है जो विस्थापन के साथ रैखिक रूप से बदलता है।

(A) वृत्त के किसी भी व्यास पर समान वृत्तीय गति का प्रक्षेप सरल आवर्त गति $(SHM)$ होता है।
मान लीजिए कि एक कण $A$ त्रिज्या के वृत्त में स्थिर कोणीय वेग $\omega$ के साथ गति कर रहा है।
किसी भी समय $t$ पर कण की स्थिति को कोण $\theta = \omega t + \phi$ द्वारा दर्शाया जा सकता है।
$x$-अक्ष पर इस स्थिति का प्रक्षेप $x(t) = A \cos(\omega t + \phi)$ द्वारा दिया जाता है।
यह समीकरण सरल आवर्त गति करने वाले कण के विस्थापन को दर्शाता है।

(N/A) संदर्भ वृत्त $A$ त्रिज्या का एक वृत्त है (जहाँ $A$ सरल आवर्त गति का आयाम है) जिसका केंद्र निर्देशांक प्रणाली के मूल बिंदु पर स्थित होता है।
संदर्भ कण एक काल्पनिक कण है जो संदर्भ वृत्त की परिधि पर एक समान कोणीय वेग $\omega$ के साथ गति करता है।
इस संदर्भ कण की स्थिति का संदर्भ वृत्त के किसी भी व्यास पर प्रक्षेप सरल आवर्त गति $(SHM)$ करता है। $SHM$ का विस्थापन $x(t) = A \cos(\omega t + \phi)$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $A$ संदर्भ वृत्त की त्रिज्या है और $\omega t + \phi$ समय $t$ पर संदर्भ कण की कोणीय स्थिति है।

(A) एकसमान वृत्तीय गति एक स्थिर गति के साथ वृत्ताकार पथ पर एक कण की गति है।
जब हम इस गति को वृत्त के व्यास पर प्रक्षेपित करते हैं,तो यह प्रक्षेप सरल आवर्त गति $(SHM)$ करता है।
माध्य स्थिति (वृत्त का केंद्र) से इस प्रक्षेप का अधिकतम विस्थापन वृत्ताकार पथ की त्रिज्या के बराबर होता है।
इसलिए,परिणामी $SHM$ का आयाम वृत्त की त्रिज्या के बराबर होता है।

(A) सरल आवर्त गति $(SHM)$ कर रहे कण की कोणीय आवृत्ति $\omega$ को समय के सापेक्ष कला (phase) में परिवर्तन की दर के रूप में परिभाषित किया जाता है।
यह दोलन के आवर्तकाल $T$ से $\omega = \frac{2\pi}{T}$ सूत्र द्वारा संबंधित है, जहाँ $2\pi$ एक पूर्ण चक्र में कुल कला परिवर्तन को दर्शाता है।
वैकल्पिक रूप से, यह आवृत्ति $f$ के साथ $\omega = 2\pi f$ द्वारा भी संबंधित है।