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Periodic, Oscillatory motion and its characteristics and types of SHM and Equation of SHM Questions in Hindi
Class 11 Physics · Oscillations · Periodic, Oscillatory motion and its characteristics and types of SHM and Equation of SHM
239+
Questions
Hindi
Language
100%
With Solutions
Showing 50 of 239 questions in Hindi
151
EasyMCQ
$SHM$ किस प्रकार की गति से संबंधित है?
A
आवर्ती गति
B
रेखीय गति
C
वृत्तीय गति
D
यादृच्छिक गति
Solution
(A) $SHM$ का अर्थ है सरल आवर्त गति $(Simple Harmonic Motion)$.
सरल आवर्त गति आवर्ती गति का एक विशेष प्रकार है, जहाँ प्रत्यानयन बल विस्थापन के सीधे समानुपाती होता है और विस्थापन की विपरीत दिशा में कार्य करता है.
चूँकि $SHM$ एक निश्चित समय अंतराल के बाद अपने पथ को दोहराता है, इसलिए यह मूल रूप से आवर्ती गति का ही एक प्रकार है.
सरल आवर्त गति आवर्ती गति का एक विशेष प्रकार है, जहाँ प्रत्यानयन बल विस्थापन के सीधे समानुपाती होता है और विस्थापन की विपरीत दिशा में कार्य करता है.
चूँकि $SHM$ एक निश्चित समय अंतराल के बाद अपने पथ को दोहराता है, इसलिए यह मूल रूप से आवर्ती गति का ही एक प्रकार है.
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Easy
सरल आवर्त गति $(SHM)$ कर रहे कण के लिए विस्थापन और वेग,विस्थापन और त्वरण,तथा वेग और त्वरण के बीच का कलांतर (phase difference) लिखिए।
Solution
सरल आवर्त गति $(SHM)$ कर रहे कण के लिए विस्थापन $x(t) = A \sin(\omega t + \phi)$ द्वारा दिया जाता है।
$1$. वेग $v(t) = \frac{dx}{dt} = A\omega \cos(\omega t + \phi) = A\omega \sin(\omega t + \phi + \frac{\pi}{2})$.
$x(t)$ और $v(t)$ की तुलना करने पर,विस्थापन और वेग के बीच का कलांतर $\frac{\pi}{2}$ रेडियन है।
$2$. त्वरण $a(t) = \frac{dv}{dt} = -A\omega^2 \sin(\omega t + \phi) = A\omega^2 \sin(\omega t + \phi + \pi)$.
$x(t)$ और $a(t)$ की तुलना करने पर,विस्थापन और त्वरण के बीच का कलांतर $\pi$ रेडियन है।
$3$. $v(t) = A\omega \sin(\omega t + \phi + \frac{\pi}{2})$ और $a(t) = A\omega^2 \sin(\omega t + \phi + \pi)$ की तुलना करने पर,वेग और त्वरण के बीच का कलांतर $\pi - \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2}$ रेडियन है।
$1$. वेग $v(t) = \frac{dx}{dt} = A\omega \cos(\omega t + \phi) = A\omega \sin(\omega t + \phi + \frac{\pi}{2})$.
$x(t)$ और $v(t)$ की तुलना करने पर,विस्थापन और वेग के बीच का कलांतर $\frac{\pi}{2}$ रेडियन है।
$2$. त्वरण $a(t) = \frac{dv}{dt} = -A\omega^2 \sin(\omega t + \phi) = A\omega^2 \sin(\omega t + \phi + \pi)$.
$x(t)$ और $a(t)$ की तुलना करने पर,विस्थापन और त्वरण के बीच का कलांतर $\pi$ रेडियन है।
$3$. $v(t) = A\omega \sin(\omega t + \phi + \frac{\pi}{2})$ और $a(t) = A\omega^2 \sin(\omega t + \phi + \pi)$ की तुलना करने पर,वेग और त्वरण के बीच का कलांतर $\pi - \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2}$ रेडियन है।
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Difficult
$SHM$ के लिए बल का नियम लिखिए और $SHM$ कण के आवर्तकाल का सूत्र प्राप्त कीजिए।
Solution
(N/A) $SHM$ कण का त्वरण इस प्रकार है:
$a(t) = -\omega^{2} x(t)$
जहाँ $x(t)$ समय $t$ पर विस्थापन है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,कण पर लगने वाला बल $F$:
$F = m a(t)$
त्वरण का मान रखने पर:
$F = -m \omega^{2} x(t) \quad (1)$
$SHM$ में,प्रत्यानयन बल विस्थापन के सीधे आनुपातिक होता है और माध्य स्थिति की ओर निर्देशित होता है:
$F = -k x(t) \quad (2)$
जहाँ $k$ बल नियतांक है।
समीकरण $(1)$ और $(2)$ की तुलना करने पर:
$k = m \omega^{2}$
$\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$
चूंकि कोणीय आवृत्ति $\omega = \frac{2 \pi}{T}$ है,जहाँ $T$ आवर्तकाल है:
$\frac{2 \pi}{T} = \sqrt{\frac{k}{m}}$
$T = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}}$
$a(t) = -\omega^{2} x(t)$
जहाँ $x(t)$ समय $t$ पर विस्थापन है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,कण पर लगने वाला बल $F$:
$F = m a(t)$
त्वरण का मान रखने पर:
$F = -m \omega^{2} x(t) \quad (1)$
$SHM$ में,प्रत्यानयन बल विस्थापन के सीधे आनुपातिक होता है और माध्य स्थिति की ओर निर्देशित होता है:
$F = -k x(t) \quad (2)$
जहाँ $k$ बल नियतांक है।
समीकरण $(1)$ और $(2)$ की तुलना करने पर:
$k = m \omega^{2}$
$\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$
चूंकि कोणीय आवृत्ति $\omega = \frac{2 \pi}{T}$ है,जहाँ $T$ आवर्तकाल है:
$\frac{2 \pi}{T} = \sqrt{\frac{k}{m}}$
$T = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}}$
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Difficult
सरल आवर्त गति के लिए बल नियम से विस्थापन का व्यंजक प्राप्त कीजिए।
Solution
(N/A) $SHM$ के लिए बल नियम $F = -kx(t)$ है।
चूंकि $F = ma(t)$ और $k = m\omega^2$,हमारे पास $ma(t) = -m\omega^2 x(t)$ है,जो $a(t) = -\omega^2 x(t)$ में सरल हो जाता है।
हम जानते हैं कि त्वरण $a(t) = \frac{dv}{dt}$ और वेग $v(t) = \frac{dx}{dt}$ है।
$a(t) = \frac{dv}{dt}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{dv}{dt} = -\omega^2 x$ प्राप्त होता है।
चेन नियम का उपयोग करते हुए,$\frac{dv}{dx} \cdot \frac{dx}{dt} = -\omega^2 x$,जिसका अर्थ है $v \frac{dv}{dx} = -\omega^2 x$।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर: $\int v dv = -\omega^2 \int x dx$।
$\frac{v^2}{2} = -\omega^2 \frac{x^2}{2} + C$।
चरम स्थिति $x = A$ पर,$v = 0$ है,इसलिए $C = \frac{1}{2} \omega^2 A^2$ है।
इस प्रकार,$v^2 = \omega^2 (A^2 - x^2)$,या $v = \pm \omega \sqrt{A^2 - x^2}$।
चूंकि $v = \frac{dx}{dt}$,हमारे पास $\frac{dx}{\sqrt{A^2 - x^2}} = \omega dt$ है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\sin^{-1}(\frac{x}{A}) = \omega t + \phi$।
अतः,विस्थापन का व्यंजक $x(t) = A \sin(\omega t + \phi)$ है।
चूंकि $F = ma(t)$ और $k = m\omega^2$,हमारे पास $ma(t) = -m\omega^2 x(t)$ है,जो $a(t) = -\omega^2 x(t)$ में सरल हो जाता है।
हम जानते हैं कि त्वरण $a(t) = \frac{dv}{dt}$ और वेग $v(t) = \frac{dx}{dt}$ है।
$a(t) = \frac{dv}{dt}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{dv}{dt} = -\omega^2 x$ प्राप्त होता है।
चेन नियम का उपयोग करते हुए,$\frac{dv}{dx} \cdot \frac{dx}{dt} = -\omega^2 x$,जिसका अर्थ है $v \frac{dv}{dx} = -\omega^2 x$।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर: $\int v dv = -\omega^2 \int x dx$।
$\frac{v^2}{2} = -\omega^2 \frac{x^2}{2} + C$।
चरम स्थिति $x = A$ पर,$v = 0$ है,इसलिए $C = \frac{1}{2} \omega^2 A^2$ है।
इस प्रकार,$v^2 = \omega^2 (A^2 - x^2)$,या $v = \pm \omega \sqrt{A^2 - x^2}$।
चूंकि $v = \frac{dx}{dt}$,हमारे पास $\frac{dx}{\sqrt{A^2 - x^2}} = \omega dt$ है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\sin^{-1}(\frac{x}{A}) = \omega t + \phi$।
अतः,विस्थापन का व्यंजक $x(t) = A \sin(\omega t + \phi)$ है।
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Medium
रैखिक हार्मोनिक ऑसिलेटर (Linear Harmonic Oscillator) क्या है? और नॉन-लीनियर ऑसिलेटर क्या है?
Solution
(N/A) रैखिक हार्मोनिक ऑसिलेटर एक ऐसी प्रणाली है जिसमें किसी कण पर कार्य करने वाला प्रत्यानयन बल $F$ संतुलन स्थिति से उसके विस्थापन $x$ के सीधे आनुपातिक होता है,जिसे $F = -kx$ के रूप में व्यक्त किया जाता है,जहाँ $k$ एक स्थिरांक है।
नॉन-लीनियर ऑसिलेटर में,प्रत्यानयन बल विस्थापन के सीधे आनुपातिक नहीं होता है। इसमें विस्थापन के उच्च-क्रम के पद शामिल हो सकते हैं,जैसे $x^2, x^3, \dots$,जिसका अर्थ है कि बल को $F = -kx - ax^2 - bx^3 - \dots$ के रूप में व्यक्त किया जाता है। ये प्रणालियाँ सरल आवर्त गति (Simple Harmonic Motion) का पालन नहीं करती हैं।
नॉन-लीनियर ऑसिलेटर में,प्रत्यानयन बल विस्थापन के सीधे आनुपातिक नहीं होता है। इसमें विस्थापन के उच्च-क्रम के पद शामिल हो सकते हैं,जैसे $x^2, x^3, \dots$,जिसका अर्थ है कि बल को $F = -kx - ax^2 - bx^3 - \dots$ के रूप में व्यक्त किया जाता है। ये प्रणालियाँ सरल आवर्त गति (Simple Harmonic Motion) का पालन नहीं करती हैं।
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Easy
रैखिक हार्मोनिक ऑसिलेटर और अरेखीय हार्मोनिक ऑसिलेटर क्या है?
Solution
(N/A) रैखिक हार्मोनिक ऑसिलेटर एक ऐसी प्रणाली है जिसमें प्रत्यानयन बल $F$ संतुलन स्थिति से विस्थापन $x$ के सीधे आनुपातिक होता है,अर्थात $F = -kx$,जहाँ $k$ बल नियतांक है। ऐसे ऑसिलेटर की गति को सरल आवर्त गति $(SHM)$ कहा जाता है।
अरेखीय हार्मोनिक ऑसिलेटर एक ऐसी प्रणाली है जिसमें प्रत्यानयन बल $F$ विस्थापन $x$ के आनुपातिक नहीं होता है। ऐसे मामलों में,बल को विस्थापन के अरेखीय फलन के रूप में व्यक्त किया जा सकता है,जैसे $F = -kx - ax^3$ या अन्य उच्च-क्रम के पद। परिणामस्वरूप,अरेखीय ऑसिलेटर की गति सरल आवर्त गति नहीं होती है।
अरेखीय हार्मोनिक ऑसिलेटर एक ऐसी प्रणाली है जिसमें प्रत्यानयन बल $F$ विस्थापन $x$ के आनुपातिक नहीं होता है। ऐसे मामलों में,बल को विस्थापन के अरेखीय फलन के रूप में व्यक्त किया जा सकता है,जैसे $F = -kx - ax^3$ या अन्य उच्च-क्रम के पद। परिणामस्वरूप,अरेखीय ऑसिलेटर की गति सरल आवर्त गति नहीं होती है।
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Easy
आवर्तकाल (Time period) और आवृत्ति (Frequency) के बीच संबंध को दर्शाने वाला समीकरण लिखिए।
Solution
(N/A) तरंग का आवर्तकाल $(T)$ एक पूर्ण दोलन या चक्र को पूरा करने में लगने वाले समय के रूप में परिभाषित किया जाता है।
आवृत्ति $(f)$ को प्रति इकाई समय में पूरे किए गए दोलनों या चक्रों की संख्या के रूप में परिभाषित किया जाता है।
चूंकि आवृत्ति आवर्तकाल का व्युत्क्रम (reciprocal) होती है,इसलिए इनके बीच का संबंध निम्नलिखित समीकरण द्वारा दिया जाता है:
$f = \frac{1}{T}$
वैकल्पिक रूप से,इसे इस प्रकार भी व्यक्त किया जा सकता है:
$T = \frac{1}{f}$
जहाँ $f$ हर्ट्ज़ $(Hz)$ में मापी गई आवृत्ति है और $T$ सेकंड $(s)$ में मापा गया आवर्तकाल है।
आवृत्ति $(f)$ को प्रति इकाई समय में पूरे किए गए दोलनों या चक्रों की संख्या के रूप में परिभाषित किया जाता है।
चूंकि आवृत्ति आवर्तकाल का व्युत्क्रम (reciprocal) होती है,इसलिए इनके बीच का संबंध निम्नलिखित समीकरण द्वारा दिया जाता है:
$f = \frac{1}{T}$
वैकल्पिक रूप से,इसे इस प्रकार भी व्यक्त किया जा सकता है:
$T = \frac{1}{f}$
जहाँ $f$ हर्ट्ज़ $(Hz)$ में मापी गई आवृत्ति है और $T$ सेकंड $(s)$ में मापा गया आवर्तकाल है।
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Easy
वह समीकरण लिखिए जो आवर्तकाल $(T)$ और कोणीय आवृत्ति $(\omega)$ के बीच संबंध को दर्शाता है।
Solution
(N/A) एक दोलन प्रणाली की कोणीय आवृत्ति $(\omega)$ को समय के सापेक्ष कला (phase) के परिवर्तन की दर के रूप में परिभाषित किया जाता है।
एक पूर्ण चक्र के लिए, कला में $2\pi$ रेडियन का परिवर्तन होता है, और इसमें लगा समय आवर्तकाल $(T)$ होता है।
इसलिए, संबंध इस प्रकार है:
$\omega = \frac{2\pi}{T}$
वैकल्पिक रूप से, इसे $T = \frac{2\pi}{\omega}$ के रूप में भी व्यक्त किया जा सकता है।
एक पूर्ण चक्र के लिए, कला में $2\pi$ रेडियन का परिवर्तन होता है, और इसमें लगा समय आवर्तकाल $(T)$ होता है।
इसलिए, संबंध इस प्रकार है:
$\omega = \frac{2\pi}{T}$
वैकल्पिक रूप से, इसे $T = \frac{2\pi}{\omega}$ के रूप में भी व्यक्त किया जा सकता है।
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MediumMCQ
किसी निकाय के दोलन के सामान्य विधा (normal modes) किसे कहते हैं?
A
सबसे कम आवृत्ति वाले कंपन के मोड।
B
सबसे अधिक आवृत्ति वाले कंपन के मोड।
C
कंपन के वे पैटर्न जिनमें निकाय के सभी भाग समान आवृत्ति के साथ दोलन करते हैं।
D
कंपन के वे मोड जहाँ आयाम हर जगह शून्य होता है।
Solution
(C) दोलन के सामान्य विधा (normal modes) किसी निकाय में कंपन के वे विशिष्ट पैटर्न हैं जिनमें निकाय का प्रत्येक भाग समान आवृत्ति के साथ ज्यावक्रीय (sinusoidal) रूप से दोलन करता है।
इन मोड में,निकाय एक संपूर्ण इकाई के रूप में गति करता है,और विभिन्न भागों के सापेक्ष आयाम समय के साथ स्थिर रहते हैं।
दोनों सिरों पर बंधी हुई डोरी जैसे निकाय के लिए,ये मूल आवृत्ति और उसके हार्मोनिक्स (ओवरटोन्स) के अनुरूप होते हैं।
इसलिए,सही विवरण यह है कि ये कंपन के वे पैटर्न हैं जिनमें निकाय के सभी भाग समान आवृत्ति के साथ दोलन करते हैं।
इन मोड में,निकाय एक संपूर्ण इकाई के रूप में गति करता है,और विभिन्न भागों के सापेक्ष आयाम समय के साथ स्थिर रहते हैं।
दोनों सिरों पर बंधी हुई डोरी जैसे निकाय के लिए,ये मूल आवृत्ति और उसके हार्मोनिक्स (ओवरटोन्स) के अनुरूप होते हैं।
इसलिए,सही विवरण यह है कि ये कंपन के वे पैटर्न हैं जिनमें निकाय के सभी भाग समान आवृत्ति के साथ दोलन करते हैं।
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EasyMCQ
एक कृत्रिम उपग्रह पृथ्वी के चारों ओर चक्कर लगा रहा है। क्या इसकी वृत्तीय गति एक सरल आवर्त गति है?
A
हाँ,यह एक सरल आवर्त गति है।
B
नहीं,यह एक आवर्ती गति है लेकिन सरल आवर्त गति नहीं है।
C
हाँ,क्योंकि यह एक आवर्ती गति है।
D
नहीं,यह न तो आवर्ती है और न ही सरल आवर्त गति है।
Solution
(B) नहीं,वृत्तीय कक्षा में एक कृत्रिम उपग्रह की गति सरल आवर्त गति $(SHM)$ नहीं है।
किसी गति के $SHM$ होने के लिए,प्रत्यानयन बल (restoring force) को माध्य स्थिति से विस्थापन के सीधे आनुपातिक होना चाहिए $(F = -kx)$।
कृत्रिम उपग्रह के मामले में,गुरुत्वाकर्षण बल आवश्यक अभिकेंद्री बल $(F_c = \frac{mv^2}{r})$ प्रदान करता है,जो वृत्तीय कक्षा के लिए परिमाण में स्थिर रहता है।
यद्यपि यह गति आवर्ती है (यह एक निश्चित समय अंतराल के बाद खुद को दोहराती है),इसमें $SHM$ के लिए आवश्यक रैखिक प्रत्यानयन बल का अभाव होता है।
किसी गति के $SHM$ होने के लिए,प्रत्यानयन बल (restoring force) को माध्य स्थिति से विस्थापन के सीधे आनुपातिक होना चाहिए $(F = -kx)$।
कृत्रिम उपग्रह के मामले में,गुरुत्वाकर्षण बल आवश्यक अभिकेंद्री बल $(F_c = \frac{mv^2}{r})$ प्रदान करता है,जो वृत्तीय कक्षा के लिए परिमाण में स्थिर रहता है।
यद्यपि यह गति आवर्ती है (यह एक निश्चित समय अंतराल के बाद खुद को दोहराती है),इसमें $SHM$ के लिए आवश्यक रैखिक प्रत्यानयन बल का अभाव होता है।
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Easy
निम्नलिखित स्थितियों में प्रत्यानयन बल (restoring force) किसके द्वारा प्रदान किया जाता है?
$(1)$ संपीडित स्प्रिंग।
$(2)$ $U$-ट्यूब में पानी का विस्थापन।
$(3)$ लोलक के गोलक का माध्य स्थिति से विस्थापन।
$(1)$ संपीडित स्प्रिंग।
$(2)$ $U$-ट्यूब में पानी का विस्थापन।
$(3)$ लोलक के गोलक का माध्य स्थिति से विस्थापन।
Solution
(N/A) $(1)$ प्रत्यानयन बल स्प्रिंग के पदार्थ की प्रत्यास्थता द्वारा प्रदान किया जाता है,जो हुक के नियम $(F = -kx)$ के अनुसार कार्य करता है।
$(2)$ प्रत्यानयन बल विस्थापित पानी के स्तंभ के भार (गुरुत्वाकर्षण) द्वारा प्रदान किया जाता है,जो एक दबाव अंतर पैदा करता है और पानी को वापस संतुलन स्थिति में खींचता है।
$(3)$ प्रत्यानयन बल गोलक के भार के स्पर्शरेखीय घटक $(mg \sin \theta)$ द्वारा प्रदान किया जाता है,जो गोलक को उसकी माध्य स्थिति में वापस लाने के लिए कार्य करता है।
$(2)$ प्रत्यानयन बल विस्थापित पानी के स्तंभ के भार (गुरुत्वाकर्षण) द्वारा प्रदान किया जाता है,जो एक दबाव अंतर पैदा करता है और पानी को वापस संतुलन स्थिति में खींचता है।
$(3)$ प्रत्यानयन बल गोलक के भार के स्पर्शरेखीय घटक $(mg \sin \theta)$ द्वारा प्रदान किया जाता है,जो गोलक को उसकी माध्य स्थिति में वापस लाने के लिए कार्य करता है।
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EasyMCQ
एक सरल आवर्त दोलक $(SHO)$ अपने आधे आवर्तकाल में कितने आयाम के बराबर दूरी तय करता है ($\text{आयाम}$ में)?
A
$1$
B
$2$
C
$3$
D
$4$
Solution
(B) सरल आवर्त गति $(SHM)$ में, आवर्तकाल $(T)$ एक पूर्ण दोलन को पूरा करने में लगा समय है।
एक पूर्ण दोलन में माध्य स्थिति से एक चरम स्थिति $(+A)$ तक जाना, वापस माध्य स्थिति पर आना, फिर दूसरी चरम स्थिति $(-A)$ तक जाना और अंत में वापस माध्य स्थिति पर आना शामिल है।
आधे आवर्तकाल $(T/2)$ में, दोलक एक चरम स्थिति से दूसरी चरम स्थिति तक की दूरी तय करता है।
धनात्मक चरम स्थिति $(+A)$ से शुरू होकर, यह माध्य स्थिति तक जाता है (दूरी $A$) और फिर ऋणात्मक चरम स्थिति $(-A)$ तक जाता है (दूरी $A$)।
इस प्रकार, $T/2$ में तय की गई कुल दूरी $A + A = 2A$ है, जो $2$ आयामों के बराबर है।
एक पूर्ण दोलन में माध्य स्थिति से एक चरम स्थिति $(+A)$ तक जाना, वापस माध्य स्थिति पर आना, फिर दूसरी चरम स्थिति $(-A)$ तक जाना और अंत में वापस माध्य स्थिति पर आना शामिल है।
आधे आवर्तकाल $(T/2)$ में, दोलक एक चरम स्थिति से दूसरी चरम स्थिति तक की दूरी तय करता है।
धनात्मक चरम स्थिति $(+A)$ से शुरू होकर, यह माध्य स्थिति तक जाता है (दूरी $A$) और फिर ऋणात्मक चरम स्थिति $(-A)$ तक जाता है (दूरी $A$)।
इस प्रकार, $T/2$ में तय की गई कुल दूरी $A + A = 2A$ है, जो $2$ आयामों के बराबर है।
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EasyMCQ
$SHM$ में एक कण का विस्थापन $x = 5 \sin(\pi t)$ द्वारा दिया गया है,जहाँ $x$ $cm$ में है। कण को माध्य स्थिति से अधिकतम विस्थापन तक पहुँचने में कितना समय लगेगा ($, s$ में)?
A
$0.25$
B
$0.5$
C
$1.0$
D
$2.0$
Solution
(B) विस्थापन का समीकरण $x = 5 \sin(\pi t)$ है।
कण $t = 0$ पर माध्य स्थिति से चलना शुरू करता है।
अधिकतम विस्थापन तब होता है जब $x = A = 5 \, cm$ हो।
समीकरण में $x = 5$ रखने पर: $5 = 5 \sin(\pi t)$।
$5$ से भाग देने पर,हमें $1 = \sin(\pi t)$ प्राप्त होता है।
चूँकि $\sin(\pi/2) = 1$,इसलिए $\pi t = \pi/2$ होगा।
$t$ के लिए हल करने पर,हमें $t = 1/2 = 0.5 \, s$ प्राप्त होता है।
अतः,लिया गया समय $0.5 \, s$ है।
कण $t = 0$ पर माध्य स्थिति से चलना शुरू करता है।
अधिकतम विस्थापन तब होता है जब $x = A = 5 \, cm$ हो।
समीकरण में $x = 5$ रखने पर: $5 = 5 \sin(\pi t)$।
$5$ से भाग देने पर,हमें $1 = \sin(\pi t)$ प्राप्त होता है।
चूँकि $\sin(\pi/2) = 1$,इसलिए $\pi t = \pi/2$ होगा।
$t$ के लिए हल करने पर,हमें $t = 1/2 = 0.5 \, s$ प्राप्त होता है।
अतः,लिया गया समय $0.5 \, s$ है।
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Easy
$SHM$ का आवर्तकाल $T = 2 \pi \sqrt{\frac{\text{विस्थापन}}{\text{त्वरण}}}$ सूत्र द्वारा भी मापा जा सकता है। क्या हम कह सकते हैं कि आवर्तकाल विस्थापन पर निर्भर करता है?
Solution
(N/A) नहीं,आवर्तकाल विस्थापन पर निर्भर नहीं करता है। $SHM$ में,त्वरण $a$ विस्थापन $x$ के सीधे आनुपातिक होता है,जिसे $a = -\omega^2 x$ संबंध द्वारा दर्शाया जाता है। जब हम इसे सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं,तो विस्थापन के पद कट जाते हैं: $T = 2 \pi \sqrt{\frac{x}{\omega^2 x}} = 2 \pi \sqrt{\frac{1}{\omega^2}} = \frac{2 \pi}{\omega}$। इस प्रकार,आवर्तकाल विस्थापन से स्वतंत्र है।
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MediumMCQ
किसी निकाय के दोलन करने के लिए कौन से मूलभूत गुण आवश्यक हैं?
A
जड़त्व और प्रत्यास्थता
B
द्रव्यमान और घर्षण
C
वेग और त्वरण
D
बल और विस्थापन
Solution
(A) किसी निकाय के दोलन गति करने के लिए उसमें दो मूलभूत गुणों का होना आवश्यक है:
$1$. जड़त्व: यह निकाय को गतिज ऊर्जा संग्रहीत करने और अपनी साम्यावस्था स्थिति से आगे बढ़ने की अनुमति देता है।
$2$. प्रत्यास्थता (या प्रत्यानयन बल): यह निकाय को स्थितिज ऊर्जा संग्रहीत करने की अनुमति देता है और निकाय को वापस उसकी साम्यावस्था स्थिति में लाने के लिए आवश्यक बल प्रदान करता है।
अतः,सही उत्तर जड़त्व और प्रत्यास्थता है।
$1$. जड़त्व: यह निकाय को गतिज ऊर्जा संग्रहीत करने और अपनी साम्यावस्था स्थिति से आगे बढ़ने की अनुमति देता है।
$2$. प्रत्यास्थता (या प्रत्यानयन बल): यह निकाय को स्थितिज ऊर्जा संग्रहीत करने की अनुमति देता है और निकाय को वापस उसकी साम्यावस्था स्थिति में लाने के लिए आवश्यक बल प्रदान करता है।
अतः,सही उत्तर जड़त्व और प्रत्यास्थता है।
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EasyMCQ
क्या दोलनी गति अ-आवर्ती हो सकती है?
A
हाँ
B
नहीं
C
कभी-कभी
D
तंत्र पर निर्भर करता है
Solution
(B) नहीं,दोलनी गति अ-आवर्ती नहीं हो सकती है। परिभाषा के अनुसार,दोलनी गति एक संतुलन स्थिति के इर्द-गिर्द किसी वस्तु की पुनरावर्ती गति है। चूंकि यह गति एक निश्चित समय अंतराल में खुद को दोहराती है,इसलिए यह स्वाभाविक रूप से आवर्ती होती है।
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EasyMCQ
$SHM$ के अवकल समीकरण $\frac{d^{2}x}{dt^{2}} + 100x = 0$ में आवृत्ति का मान क्या है?
A
$\frac{10}{\pi} \ Hz$
B
$\frac{5}{\pi} \ Hz$
C
$\frac{20}{\pi} \ Hz$
D
$\frac{1}{\pi} \ Hz$
Solution
(B) $SHM$ के लिए सामान्य अवकल समीकरण $\frac{d^{2}x}{dt^{2}} + \omega^{2}x = 0$ है।
दिए गए समीकरण $\frac{d^{2}x}{dt^{2}} + 100x = 0$ की तुलना सामान्य समीकरण से करने पर,हमें $\omega^{2} = 100$ प्राप्त होता है।
वर्गमूल लेने पर,कोणीय आवृत्ति $\omega = 10 \ rad/s$ प्राप्त होती है।
चूंकि कोणीय आवृत्ति $\omega$ और आवृत्ति $f$ के बीच संबंध $\omega = 2\pi f$ है,इसलिए $2\pi f = 10$ होगा।
अतः,आवृत्ति $f = \frac{10}{2\pi} = \frac{5}{\pi} \ Hz$ है।
दिए गए समीकरण $\frac{d^{2}x}{dt^{2}} + 100x = 0$ की तुलना सामान्य समीकरण से करने पर,हमें $\omega^{2} = 100$ प्राप्त होता है।
वर्गमूल लेने पर,कोणीय आवृत्ति $\omega = 10 \ rad/s$ प्राप्त होती है।
चूंकि कोणीय आवृत्ति $\omega$ और आवृत्ति $f$ के बीच संबंध $\omega = 2\pi f$ है,इसलिए $2\pi f = 10$ होगा।
अतः,आवृत्ति $f = \frac{10}{2\pi} = \frac{5}{\pi} \ Hz$ है।
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Medium
आवर्ती गति और सरल आवर्त गति के बीच अंतर लिखिए।
Solution
(N/A) $1$. आवर्ती गति वह गति है जो समय के निश्चित अंतराल पर स्वयं को दोहराती है। सरल आवर्त गति $(SHM)$ आवर्ती गति का एक विशिष्ट प्रकार है।
$2$. आवर्ती गति में,प्रत्यानयन बल का विस्थापन के समानुपाती होना आवश्यक नहीं है। $SHM$ में,प्रत्यानयन बल हमेशा विस्थापन के सीधे समानुपाती होता है और माध्य स्थिति की ओर निर्देशित होता है,जिसे $F = -kx$ द्वारा दिया जाता है।
$3$. आवर्ती गति के लिए किसी विशिष्ट बल नियम की आवश्यकता नहीं होती है,जबकि $SHM$ के लिए एक रैखिक प्रत्यानयन बल की आवश्यकता होती है।
$4$. सभी $SHM$ आवर्ती होते हैं,लेकिन सभी आवर्ती गतियां $SHM$ नहीं होती हैं (उदाहरण के लिए,एकसमान वृत्तीय गति आवर्ती है लेकिन $SHM$ नहीं है)।
$2$. आवर्ती गति में,प्रत्यानयन बल का विस्थापन के समानुपाती होना आवश्यक नहीं है। $SHM$ में,प्रत्यानयन बल हमेशा विस्थापन के सीधे समानुपाती होता है और माध्य स्थिति की ओर निर्देशित होता है,जिसे $F = -kx$ द्वारा दिया जाता है।
$3$. आवर्ती गति के लिए किसी विशिष्ट बल नियम की आवश्यकता नहीं होती है,जबकि $SHM$ के लिए एक रैखिक प्रत्यानयन बल की आवश्यकता होती है।
$4$. सभी $SHM$ आवर्ती होते हैं,लेकिन सभी आवर्ती गतियां $SHM$ नहीं होती हैं (उदाहरण के लिए,एकसमान वृत्तीय गति आवर्ती है लेकिन $SHM$ नहीं है)।
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रिक्त स्थान भरें:
$1.$ $SHM$ निष्पादित करने वाले कण के लिए किसी भी स्थिति पर विस्थापन और ....... का अनुपात स्थिर रहता है।
$2.$ संदर्भ वृत्त की त्रिज्या ऑसिलेटर के .......... के बराबर होती है।
$3.$ $SHO$ के प्रति सेकंड चरण (phase) में वृद्धि $=$ ......... .
$4.$ $SHO$ एक आवर्त काल में ......... दूरी तय करता है।
$1.$ $SHM$ निष्पादित करने वाले कण के लिए किसी भी स्थिति पर विस्थापन और ....... का अनुपात स्थिर रहता है।
$2.$ संदर्भ वृत्त की त्रिज्या ऑसिलेटर के .......... के बराबर होती है।
$3.$ $SHO$ के प्रति सेकंड चरण (phase) में वृद्धि $=$ ......... .
$4.$ $SHO$ एक आवर्त काल में ......... दूरी तय करता है।
Solution
(A) $1.$ $SHM$ में विस्थापन $x$ और त्वरण $a$ का अनुपात $x/a = -1/\omega^2$ द्वारा दिया जाता है,जो स्थिर है। अतः,विस्थापन और त्वरण का अनुपात स्थिर रहता है।
$2.$ संदर्भ वृत्त की त्रिज्या माध्य स्थिति से अधिकतम विस्थापन को दर्शाती है,जो आयाम $(A)$ है।
$3.$ $SHO$ का चरण $\phi = \omega t + \phi_0$ है। समय के सापेक्ष चरण में परिवर्तन की दर $d\phi/dt = \omega$ है,जो कोणीय आवृत्ति है।
$4.$ एक पूर्ण दोलन (आवर्त काल $T$) में,कण माध्य से चरम $(A)$,चरम से माध्य $(A)$,माध्य से दूसरे चरम $(A)$ और वापस माध्य $(A)$ तक जाता है। कुल दूरी $= 4A$ (आयाम का चार गुना)।
$2.$ संदर्भ वृत्त की त्रिज्या माध्य स्थिति से अधिकतम विस्थापन को दर्शाती है,जो आयाम $(A)$ है।
$3.$ $SHO$ का चरण $\phi = \omega t + \phi_0$ है। समय के सापेक्ष चरण में परिवर्तन की दर $d\phi/dt = \omega$ है,जो कोणीय आवृत्ति है।
$4.$ एक पूर्ण दोलन (आवर्त काल $T$) में,कण माध्य से चरम $(A)$,चरम से माध्य $(A)$,माध्य से दूसरे चरम $(A)$ और वापस माध्य $(A)$ तक जाता है। कुल दूरी $= 4A$ (आयाम का चार गुना)।
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रिक्त स्थान भरें:
$1.$ $SHM$ में ......... राशियाँ हमेशा धनात्मक होती हैं।
$2.$ एक आवर्ती गति जो बल नियम ......... का पालन करती है,वह केवल सरल आवर्त गति है।
$3.$ $2 \ s$ के आवर्तकाल वाला एक $SHO$ अपनी गति के पथ के निचले सिरे से दोलन शुरू करता है,तो $t = 2 \ s$ समय पर इसकी कला (phase) .......... होगी।
$1.$ $SHM$ में ......... राशियाँ हमेशा धनात्मक होती हैं।
$2.$ एक आवर्ती गति जो बल नियम ......... का पालन करती है,वह केवल सरल आवर्त गति है।
$3.$ $2 \ s$ के आवर्तकाल वाला एक $SHO$ अपनी गति के पथ के निचले सिरे से दोलन शुरू करता है,तो $t = 2 \ s$ समय पर इसकी कला (phase) .......... होगी।
Solution
(N/A) $1.$ $SHM$ में,बल और त्वरण के परिमाण हमेशा धनात्मक होते हैं।
$2.$ एक आवर्ती गति जो बल नियम $F = -kx$ का पालन करती है,वह सरल आवर्त गति है।
$3.$ दिया गया है $T = 2 \ s$,प्रारंभिक स्थिति निचले सिरे (चरम स्थिति) पर है,इसलिए प्रारंभिक कला $\phi = \frac{3\pi}{2}$ है।
कला $\theta = \frac{2\pi t}{T} + \phi = \frac{2\pi}{2} \times 2 + \frac{3\pi}{2} = 2\pi + \frac{3\pi}{2} = \frac{7\pi}{2} \ rad$.
$2.$ एक आवर्ती गति जो बल नियम $F = -kx$ का पालन करती है,वह सरल आवर्त गति है।
$3.$ दिया गया है $T = 2 \ s$,प्रारंभिक स्थिति निचले सिरे (चरम स्थिति) पर है,इसलिए प्रारंभिक कला $\phi = \frac{3\pi}{2}$ है।
कला $\theta = \frac{2\pi t}{T} + \phi = \frac{2\pi}{2} \times 2 + \frac{3\pi}{2} = 2\pi + \frac{3\pi}{2} = \frac{7\pi}{2} \ rad$.
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सरल आवर्त गति की दो मूल विशेषताएँ क्या हैं?
Solution
(N/A) सरल आवर्त गति की दो मूल विशेषताएँ निम्नलिखित हैं:
$(i)$ कण का त्वरण उसके माध्य स्थिति से विस्थापन के सीधे समानुपाती होता है,अर्थात $a \propto -x$।
$(ii)$ त्वरण की दिशा हमेशा माध्य स्थिति की ओर होती है,जो विस्थापन की दिशा के विपरीत होती है।
$(i)$ कण का त्वरण उसके माध्य स्थिति से विस्थापन के सीधे समानुपाती होता है,अर्थात $a \propto -x$।
$(ii)$ त्वरण की दिशा हमेशा माध्य स्थिति की ओर होती है,जो विस्थापन की दिशा के विपरीत होती है।
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MediumMCQ
एक आवर्तकाल में दोलक द्वारा तय की गई दूरी और आयाम के बीच का अनुपात क्या है?
A
$1$
B
$2$
C
$4$
D
$8$
Solution
(C) एक आवर्तकाल $(T)$ में,सरल आवर्त गति $(SHM)$ करने वाला दोलक माध्य स्थिति से चरम स्थिति $(+A)$ तक जाता है,फिर वापस माध्य स्थिति पर आता है,उसके बाद दूसरी चरम स्थिति $(-A)$ तक जाता है,और अंत में माध्य स्थिति पर वापस लौटता है।
तय की गई कुल दूरी $(d)$ इन विस्थापनों के परिमाणों का योग है:
$d = |+A| + |-A| + |-A| + |+A| = 4A$
यहाँ,$A$ दोलन का आयाम है।
तय की गई दूरी $(d)$ और आयाम $(A)$ का अनुपात है:
$\text{Ratio} = \frac{d}{A} = \frac{4A}{A} = 4$
तय की गई कुल दूरी $(d)$ इन विस्थापनों के परिमाणों का योग है:
$d = |+A| + |-A| + |-A| + |+A| = 4A$
यहाँ,$A$ दोलन का आयाम है।
तय की गई दूरी $(d)$ और आयाम $(A)$ का अनुपात है:
$\text{Ratio} = \frac{d}{A} = \frac{4A}{A} = 4$
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दिखाइए कि $y = \sin \omega t - \cos \omega t$ द्वारा निरूपित कण की गति $\frac{2\pi}{\omega}$ के आवर्तकाल के साथ सरल आवर्त गति $(SHM)$ है।
Solution
दिया गया विस्थापन समीकरण $y = \sin \omega t - \cos \omega t$ है।
इसे $SHM$ के मानक रूप $y = A \sin(\omega t + \phi)$ में व्यक्त करने के लिए,हम $\sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$ से गुणा और भाग करते हैं:
$y = \sqrt{2} \left[ \frac{1}{\sqrt{2}} \sin \omega t - \frac{1}{\sqrt{2}} \cos \omega t \right]$
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin(A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $\cos(\pi/4) = 1/\sqrt{2}$ और $\sin(\pi/4) = 1/\sqrt{2}$ है:
$y = \sqrt{2} \left[ \sin \omega t \cos \frac{\pi}{4} - \cos \omega t \sin \frac{\pi}{4} \right]$
$y = \sqrt{2} \sin \left( \omega t - \frac{\pi}{4} \right)$
यह समीकरण $y = A \sin(\omega t + \phi)$ के रूप में है,जहाँ आयाम $A = \sqrt{2}$ और कला नियतांक $\phi = -\pi/4$ है।
कोणीय आवृत्ति $\omega$ है। आवर्तकाल $T$ संबंध $T = \frac{2\pi}{\omega}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि गति को समय के ज्या (sine) फलन के रूप में व्यक्त किया जा सकता है,इसलिए यह $T = \frac{2\pi}{\omega}$ के आवर्तकाल के साथ $SHM$ को दर्शाता है।
इसे $SHM$ के मानक रूप $y = A \sin(\omega t + \phi)$ में व्यक्त करने के लिए,हम $\sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$ से गुणा और भाग करते हैं:
$y = \sqrt{2} \left[ \frac{1}{\sqrt{2}} \sin \omega t - \frac{1}{\sqrt{2}} \cos \omega t \right]$
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin(A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $\cos(\pi/4) = 1/\sqrt{2}$ और $\sin(\pi/4) = 1/\sqrt{2}$ है:
$y = \sqrt{2} \left[ \sin \omega t \cos \frac{\pi}{4} - \cos \omega t \sin \frac{\pi}{4} \right]$
$y = \sqrt{2} \sin \left( \omega t - \frac{\pi}{4} \right)$
यह समीकरण $y = A \sin(\omega t + \phi)$ के रूप में है,जहाँ आयाम $A = \sqrt{2}$ और कला नियतांक $\phi = -\pi/4$ है।
कोणीय आवृत्ति $\omega$ है। आवर्तकाल $T$ संबंध $T = \frac{2\pi}{\omega}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि गति को समय के ज्या (sine) फलन के रूप में व्यक्त किया जा सकता है,इसलिए यह $T = \frac{2\pi}{\omega}$ के आवर्तकाल के साथ $SHM$ को दर्शाता है।
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DifficultMCQ
$SHM$ कर रहे एक कण का समीकरण $x = 3 \cos(\frac{\pi}{2}t)$ cm द्वारा दिया गया है,जहाँ $t$ सेकंड में है। पहले $8.5$ सेकंड में कण द्वारा तय की गई दूरी है:
A
$24 + \frac{3}{\sqrt{2}}$ cm
B
$27 - \frac{3}{\sqrt{2}}$ cm
C
$24 - \frac{3}{\sqrt{2}}$ cm
D
$27 + \frac{3}{\sqrt{2}}$ cm
Solution
(B) दिया गया समीकरण $x(t) = 3 \cos(\frac{\pi}{2}t)$ है।
कोणीय आवृत्ति $\omega = \frac{\pi}{2}$ rad/s है।
आवर्तकाल $T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{\pi/2} = 4$ s है।
एक आवर्तकाल ($T = 4$ s) में,कण $4A$ की दूरी तय करता है,जहाँ $A = 3$ cm है।
अतः,एक आवर्तकाल में दूरी = $4 \times 3 = 12$ cm.
$8.5$ सेकंड में,आवर्तकालों की संख्या $n = \frac{8.5}{4} = 2.125$ है।
$2$ पूर्ण आवर्तकालों में दूरी = $2 \times 12 = 24$ cm.
शेष समय $0.5$ s है।
$t = 8$ s पर,कण की स्थिति $x(8) = 3 \cos(\frac{\pi}{2} \times 8) = 3 \cos(4\pi) = 3$ cm है।
$t = 8.5$ s पर,कण की स्थिति $x(8.5) = 3 \cos(\frac{\pi}{2} \times 8.5) = 3 \cos(4\pi + \frac{\pi}{4}) = 3 \cos(\frac{\pi}{4}) = 3 \times \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{3}{\sqrt{2}}$ cm है।
अंतिम $0.5$ s में तय की गई दूरी $|x(8.5) - x(8)| = |\frac{3}{\sqrt{2}} - 3| = 3 - \frac{3}{\sqrt{2}}$ cm है।
कुल दूरी = $24 + (3 - \frac{3}{\sqrt{2}}) = 27 - \frac{3}{\sqrt{2}}$ cm.
कोणीय आवृत्ति $\omega = \frac{\pi}{2}$ rad/s है।
आवर्तकाल $T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{\pi/2} = 4$ s है।
एक आवर्तकाल ($T = 4$ s) में,कण $4A$ की दूरी तय करता है,जहाँ $A = 3$ cm है।
अतः,एक आवर्तकाल में दूरी = $4 \times 3 = 12$ cm.
$8.5$ सेकंड में,आवर्तकालों की संख्या $n = \frac{8.5}{4} = 2.125$ है।
$2$ पूर्ण आवर्तकालों में दूरी = $2 \times 12 = 24$ cm.
शेष समय $0.5$ s है।
$t = 8$ s पर,कण की स्थिति $x(8) = 3 \cos(\frac{\pi}{2} \times 8) = 3 \cos(4\pi) = 3$ cm है।
$t = 8.5$ s पर,कण की स्थिति $x(8.5) = 3 \cos(\frac{\pi}{2} \times 8.5) = 3 \cos(4\pi + \frac{\pi}{4}) = 3 \cos(\frac{\pi}{4}) = 3 \times \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{3}{\sqrt{2}}$ cm है।
अंतिम $0.5$ s में तय की गई दूरी $|x(8.5) - x(8)| = |\frac{3}{\sqrt{2}} - 3| = 3 - \frac{3}{\sqrt{2}}$ cm है।
कुल दूरी = $24 + (3 - \frac{3}{\sqrt{2}}) = 27 - \frac{3}{\sqrt{2}}$ cm.
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MediumMCQ
उस फलन की पहचान करें जो आवर्ती गति का प्रतिनिधित्व करता है।
A
$e^{-\omega t}$
B
$e^{\omega t}$
C
$\log_{e}(\omega t)$
D
$\sin \omega t + \cos \omega t$
Solution
(D) एक फलन $f(t)$ आवर्ती होता है यदि वह समय के एक निश्चित अंतराल $T$ के बाद अपने मान को दोहराता है,अर्थात $f(t) = f(t + T)$।
$1$. फलन $e^{-\omega t}$,$e^{\omega t}$,और $\log_{e}(\omega t)$ अ-आवर्ती फलन हैं क्योंकि वे नियमित अंतराल पर अपने मानों को नहीं दोहराते हैं।
$2$. फलन $f(t) = \sin \omega t + \cos \omega t$ के लिए,हम $t$ को $t + T$ से बदलकर आवर्तता की जाँच कर सकते हैं:
$f(t + T) = \sin(\omega(t + T)) + \cos(\omega(t + T)) = \sin(\omega t + \omega T) + \cos(\omega t + \omega T)$।
$3$. यदि हम $T = \frac{2\pi}{\omega}$ लेते हैं,तो $\omega T = 2\pi$ होता है। इसे प्रतिस्थापित करने पर:
$f(t + T) = \sin(\omega t + 2\pi) + \cos(\omega t + 2\pi) = \sin \omega t + \cos \omega t = f(t)$।
चूंकि फलन $T = \frac{2\pi}{\omega}$ के समय अंतराल के बाद खुद को दोहराता है,इसलिए यह एक आवर्ती गति का प्रतिनिधित्व करता है।
$1$. फलन $e^{-\omega t}$,$e^{\omega t}$,और $\log_{e}(\omega t)$ अ-आवर्ती फलन हैं क्योंकि वे नियमित अंतराल पर अपने मानों को नहीं दोहराते हैं।
$2$. फलन $f(t) = \sin \omega t + \cos \omega t$ के लिए,हम $t$ को $t + T$ से बदलकर आवर्तता की जाँच कर सकते हैं:
$f(t + T) = \sin(\omega(t + T)) + \cos(\omega(t + T)) = \sin(\omega t + \omega T) + \cos(\omega t + \omega T)$।
$3$. यदि हम $T = \frac{2\pi}{\omega}$ लेते हैं,तो $\omega T = 2\pi$ होता है। इसे प्रतिस्थापित करने पर:
$f(t + T) = \sin(\omega t + 2\pi) + \cos(\omega t + 2\pi) = \sin \omega t + \cos \omega t = f(t)$।
चूंकि फलन $T = \frac{2\pi}{\omega}$ के समय अंतराल के बाद खुद को दोहराता है,इसलिए यह एक आवर्ती गति का प्रतिनिधित्व करता है।
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DifficultMCQ
समय का वह फलन जो $\frac{\pi}{\omega}$ आवर्तकाल वाली सरल आवर्त गति $(SHM)$ को दर्शाता है,वह है:
A
$\sin (\omega t)+\cos (\omega t)$
B
$\cos (\omega t)+\cos (2 \omega t)+\cos (3 \omega t)$
C
$\sin ^{2}(\omega t)$
D
$3 \cos \left(\frac{\pi}{4}-2 \omega t\right)$
Solution
(D) सरल आवर्त गति $(SHM)$ का आवर्तकाल $T = \frac{2\pi}{\omega'}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\omega'$ $SHM$ की कोणीय आवृत्ति है।
दिया गया है $T = \frac{\pi}{\omega}$,इसलिए $\frac{\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{\omega'}$,जिसका अर्थ है $\omega' = 2\omega$।
हमें वह फलन खोजना है जो $2\omega$ कोणीय आवृत्ति के साथ $SHM$ को दर्शाता है।
विकल्प $(C)$ के लिए: $\sin^2(\omega t) = \frac{1 - \cos(2\omega t)}{2} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\cos(2\omega t)$। यह एक अचर पद और $2\omega$ कोणीय आवृत्ति वाली $SHM$ को दर्शाता है।
विकल्प $(D)$ के लिए: $3 \cos \left(\frac{\pi}{4} - 2\omega t\right) = 3 \cos \left(2\omega t - \frac{\pi}{4}\right)$। यह $x(t) = A \cos(\omega' t + \phi)$ के रूप का मानक $SHM$ समीकरण है,जिसमें कोणीय आवृत्ति $\omega' = 2\omega$ है।
दोनों $(C)$ और $(D)$ में सही आवृत्ति है,लेकिन $(D)$ एक शुद्ध $SHM$ फलन है,जबकि $(C)$ में एक अचर पद शामिल है।
दिया गया है $T = \frac{\pi}{\omega}$,इसलिए $\frac{\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{\omega'}$,जिसका अर्थ है $\omega' = 2\omega$।
हमें वह फलन खोजना है जो $2\omega$ कोणीय आवृत्ति के साथ $SHM$ को दर्शाता है।
विकल्प $(C)$ के लिए: $\sin^2(\omega t) = \frac{1 - \cos(2\omega t)}{2} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\cos(2\omega t)$। यह एक अचर पद और $2\omega$ कोणीय आवृत्ति वाली $SHM$ को दर्शाता है।
विकल्प $(D)$ के लिए: $3 \cos \left(\frac{\pi}{4} - 2\omega t\right) = 3 \cos \left(2\omega t - \frac{\pi}{4}\right)$। यह $x(t) = A \cos(\omega' t + \phi)$ के रूप का मानक $SHM$ समीकरण है,जिसमें कोणीय आवृत्ति $\omega' = 2\omega$ है।
दोनों $(C)$ और $(D)$ में सही आवृत्ति है,लेकिन $(D)$ एक शुद्ध $SHM$ फलन है,जबकि $(C)$ में एक अचर पद शामिल है।
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DifficultMCQ
बिंदु $A$ एक $0.36\, m$ त्रिज्या वाले वृत्त की परिधि पर एकसमान चाल से गति करता है और $0.1\, s$ में $30^{\circ}$ का कोण तय करता है। व्यास $MN$ पर $A$ का लंबवत प्रक्षेप $P$,$P$ की सरल आवर्त गति को दर्शाता है। जब $P$,$M$ को स्पर्श करता है,तो प्रति इकाई द्रव्यमान प्रत्यानयन बल ...... $N/kg$ होगा।
A
$100$
B
$0.49$
C
$50$
D
$9.87$
Solution
(D) दिया गया है कि बिंदु $A$,$t = 0.1\, s$ समय में $\theta = 30^{\circ} = \frac{\pi}{6} \text{ रेडियन}$ का कोण तय करता है।
चूंकि चाल एकसमान है,कोणीय वेग $\omega = \frac{\theta}{t} = \frac{\pi/6}{0.1} = \frac{\pi}{0.6} = \frac{5\pi}{3} \text{ rad/s}$ है।
वृत्त की त्रिज्या $R = 0.36\, m$ है,जो सरल आवर्त गति के आयाम $A_{amp}$ को दर्शाती है।
सरल आवर्त गति करने वाले $m$ द्रव्यमान के कण पर लगने वाला प्रत्यानयन बल $F = -m\omega^2 x$ होता है,जहाँ $x$ विस्थापन है।
जब $P$,$M$ को स्पर्श करता है,तो विस्थापन $x$ आयाम $R = 0.36\, m$ के बराबर होता है।
प्रति इकाई द्रव्यमान प्रत्यानयन बल $\frac{F}{m} = \omega^2 R$ है।
मान रखने पर: $\frac{F}{m} = \left(\frac{5\pi}{3}\right)^2 \times 0.36 = \frac{25\pi^2}{9} \times 0.36$.
$\pi^2 \approx 9.87$ का उपयोग करने पर,$\frac{F}{m} = \frac{25 \times 9.87}{9} \times 0.36 = 25 \times 9.87 \times 0.04 = 25 \times 0.3948 = 9.87\, N/kg$ प्राप्त होता है।
चूंकि चाल एकसमान है,कोणीय वेग $\omega = \frac{\theta}{t} = \frac{\pi/6}{0.1} = \frac{\pi}{0.6} = \frac{5\pi}{3} \text{ rad/s}$ है।
वृत्त की त्रिज्या $R = 0.36\, m$ है,जो सरल आवर्त गति के आयाम $A_{amp}$ को दर्शाती है।
सरल आवर्त गति करने वाले $m$ द्रव्यमान के कण पर लगने वाला प्रत्यानयन बल $F = -m\omega^2 x$ होता है,जहाँ $x$ विस्थापन है।
जब $P$,$M$ को स्पर्श करता है,तो विस्थापन $x$ आयाम $R = 0.36\, m$ के बराबर होता है।
प्रति इकाई द्रव्यमान प्रत्यानयन बल $\frac{F}{m} = \omega^2 R$ है।
मान रखने पर: $\frac{F}{m} = \left(\frac{5\pi}{3}\right)^2 \times 0.36 = \frac{25\pi^2}{9} \times 0.36$.
$\pi^2 \approx 9.87$ का उपयोग करने पर,$\frac{F}{m} = \frac{25 \times 9.87}{9} \times 0.36 = 25 \times 9.87 \times 0.04 = 25 \times 0.3948 = 9.87\, N/kg$ प्राप्त होता है।
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AdvancedMCQ
एक बिंदु कण पर प्रत्यानयन बल $F = -k x^3$ कार्य करता है। जब आयाम $A$ है,तो दोलन का आवर्तकाल $T$ है। आयाम $2A$ के लिए आवर्तकाल होगा
A
$T$
B
$T/2$
C
$2T$
D
$4T$
Solution
(B) प्रत्यानयन बल $F = -kx^3$ द्वारा दिया गया है। स्थितिज ऊर्जा $U = \int kx^3 dx = \frac{1}{4} kx^4$ है।
$m$ द्रव्यमान वाले कण के लिए जो $A$ आयाम के साथ दोलन करता है,कुल ऊर्जा $E = \frac{1}{4} kA^4$ है।
किसी भी स्थिति $x$ पर वेग $v$ के लिए: $\frac{1}{2} mv^2 + \frac{1}{4} kx^4 = \frac{1}{4} kA^4$.
$v = \frac{dx}{dt} = \sqrt{\frac{k}{2m}} \sqrt{A^4 - x^4}$.
आवर्तकाल $T$,$x=0$ से $x=A$ तक जाने में लगे समय का $4$ गुना है:
$T = 4 \int_0^A \frac{dx}{\sqrt{\frac{k}{2m}} \sqrt{A^4 - x^4}} = 4 \sqrt{\frac{2m}{k}} \int_0^A \frac{dx}{\sqrt{A^4 - x^4}}$.
माना $x = Ay$,तो $dx = A dy$। जब $x=0, y=0$; जब $x=A, y=1$।
$T = 4 \sqrt{\frac{2m}{k}} \int_0^1 \frac{A dy}{\sqrt{A^4 - A^4 y^4}} = \frac{4}{A} \sqrt{\frac{2m}{k}} \int_0^1 \frac{dy}{\sqrt{1 - y^4}}$.
अतः,$T \propto \frac{1}{A}$।
यदि आयाम $A$ से बदलकर $2A$ हो जाता है,तो नया आवर्तकाल $T'$ इस प्रकार होगा: $\frac{T'}{T} = \frac{A}{2A} = \frac{1}{2}$।
इसलिए,$T' = T/2$।
$m$ द्रव्यमान वाले कण के लिए जो $A$ आयाम के साथ दोलन करता है,कुल ऊर्जा $E = \frac{1}{4} kA^4$ है।
किसी भी स्थिति $x$ पर वेग $v$ के लिए: $\frac{1}{2} mv^2 + \frac{1}{4} kx^4 = \frac{1}{4} kA^4$.
$v = \frac{dx}{dt} = \sqrt{\frac{k}{2m}} \sqrt{A^4 - x^4}$.
आवर्तकाल $T$,$x=0$ से $x=A$ तक जाने में लगे समय का $4$ गुना है:
$T = 4 \int_0^A \frac{dx}{\sqrt{\frac{k}{2m}} \sqrt{A^4 - x^4}} = 4 \sqrt{\frac{2m}{k}} \int_0^A \frac{dx}{\sqrt{A^4 - x^4}}$.
माना $x = Ay$,तो $dx = A dy$। जब $x=0, y=0$; जब $x=A, y=1$।
$T = 4 \sqrt{\frac{2m}{k}} \int_0^1 \frac{A dy}{\sqrt{A^4 - A^4 y^4}} = \frac{4}{A} \sqrt{\frac{2m}{k}} \int_0^1 \frac{dy}{\sqrt{1 - y^4}}$.
अतः,$T \propto \frac{1}{A}$।
यदि आयाम $A$ से बदलकर $2A$ हो जाता है,तो नया आवर्तकाल $T'$ इस प्रकार होगा: $\frac{T'}{T} = \frac{A}{2A} = \frac{1}{2}$।
इसलिए,$T' = T/2$।
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AdvancedMCQ
$L$ लंबाई की एक छड़ का एक सिरा $R$ त्रिज्या वाले पहिये की परिधि पर एक बिंदु पर स्थिर है। दूसरा सिरा पहिये के केंद्र से गुजरने वाली एक सीधी चैनल पर स्वतंत्र रूप से फिसल रहा है,जैसा कि नीचे दिए गए चित्र में दिखाया गया है। पहिया $O$ के परितः एक स्थिर कोणीय वेग $\omega$ के साथ घूम रहा है। $T = \frac{2 \pi}{\omega}$ लेते हुए,छड़ की गति है
A
सरल आवर्त गति जिसका आवर्तकाल $T$ है
B
सरल आवर्त गति जिसका आवर्तकाल $T / 2$ है
C
सरल आवर्त गति नहीं है लेकिन $T$ आवर्तकाल के साथ आवर्ती गति है
D
सरल आवर्त गति नहीं है लेकिन $T / 2$ आवर्तकाल के साथ आवर्ती गति है
Solution
(C) मान लीजिए कि परिधि पर बिंदु की स्थिति $(R \cos \theta, R \sin \theta)$ है,जहाँ $\theta = \omega t$ है। छड़ का दूसरा सिरा केंद्र $O$ से क्षैतिज अक्ष के साथ $x$ दूरी पर है। छड़ द्वारा बने त्रिभुज में पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करने पर,$L^2 = (x - R \cos \theta)^2 + (R \sin \theta)^2$ प्राप्त होता है।
इसका विस्तार करने पर,$L^2 = x^2 - 2xR \cos \theta + R^2 \cos^2 \theta + R^2 \sin^2 \theta$,जो सरल होकर $L^2 = x^2 - 2xR \cos \theta + R^2$ हो जाता है।
यह $x$ में एक द्विघात समीकरण है: $x^2 - (2R \cos \theta)x + (R^2 - L^2) = 0$।
$x$ के लिए हल करने पर,$x = R \cos \theta + \sqrt{R^2 \cos^2 \theta - (R^2 - L^2)} = R \cos \theta + \sqrt{L^2 - R^2 \sin^2 \theta}$ प्राप्त होता है।
चूंकि गति $\cos \theta$ और $\sin^2 \theta$ (जहाँ $\theta = \omega t$) पर निर्भर करती है,इसलिए स्थिति $x(t)$ एक आवर्ती फलन है जिसका आवर्तकाल $T = \frac{2 \pi}{\omega}$ है। हालाँकि,वर्गमूल पद के कारण,गति सरल आवर्त गति नहीं है (जिसके लिए $x(t) = A \cos(\omega t + \phi)$ की आवश्यकता होती है)। अतः,गति आवर्ती है लेकिन सरल आवर्त नहीं है।
इसका विस्तार करने पर,$L^2 = x^2 - 2xR \cos \theta + R^2 \cos^2 \theta + R^2 \sin^2 \theta$,जो सरल होकर $L^2 = x^2 - 2xR \cos \theta + R^2$ हो जाता है।
यह $x$ में एक द्विघात समीकरण है: $x^2 - (2R \cos \theta)x + (R^2 - L^2) = 0$।
$x$ के लिए हल करने पर,$x = R \cos \theta + \sqrt{R^2 \cos^2 \theta - (R^2 - L^2)} = R \cos \theta + \sqrt{L^2 - R^2 \sin^2 \theta}$ प्राप्त होता है।
चूंकि गति $\cos \theta$ और $\sin^2 \theta$ (जहाँ $\theta = \omega t$) पर निर्भर करती है,इसलिए स्थिति $x(t)$ एक आवर्ती फलन है जिसका आवर्तकाल $T = \frac{2 \pi}{\omega}$ है। हालाँकि,वर्गमूल पद के कारण,गति सरल आवर्त गति नहीं है (जिसके लिए $x(t) = A \cos(\omega t + \phi)$ की आवश्यकता होती है)। अतः,गति आवर्ती है लेकिन सरल आवर्त नहीं है।
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MediumMCQ
एक पिंड साम्यावस्था $x=0$ के परितः आयाम $a$ और आवर्तकाल $T$ के साथ सरल आवर्त गति कर रहा है। गति करते हुए इस पिंड के यादृच्छिक रूप से बड़ी संख्या में स्नैपशॉट लिए जाते हैं। पिंड के बहुत छोटे अंतराल $x$ से $x+|dx|$ में पाए जाने की प्रायिकता कहाँ सबसे अधिक है?
A
$x=\pm a$
B
$x=0$
C
$x=\pm \frac{a}{2}$
D
$x=\pm \frac{a}{\sqrt{2}}$
Solution
(A) सरल आवर्त गति में,पिंड का वेग $v = \omega \sqrt{a^2 - x^2}$ द्वारा दिया जाता है।
पिंड द्वारा एक छोटे अंतराल $dx$ में बिताया गया समय $dt$ इस प्रकार है: $dt = \frac{dx}{v} = \frac{dx}{\omega \sqrt{a^2 - x^2}}$।
अंतराल $dx$ में पिंड के पाए जाने की प्रायिकता $P(x)dx$ उस अंतराल में बिताए गए समय के समानुपाती होती है,अर्थात $P(x) \propto \frac{1}{v} = \frac{1}{\omega \sqrt{a^2 - x^2}}$।
जैसे-जैसे $x \to \pm a$ होता है,वेग $v \to 0$ हो जाता है,जिसका अर्थ है कि बिताया गया समय $dt \to \infty$ हो जाता है।
इसलिए,पिंड के पाए जाने की प्रायिकता चरम स्थितियों $x = \pm a$ पर सबसे अधिक होती है।
अतः,सही विकल्प $A$ है।
पिंड द्वारा एक छोटे अंतराल $dx$ में बिताया गया समय $dt$ इस प्रकार है: $dt = \frac{dx}{v} = \frac{dx}{\omega \sqrt{a^2 - x^2}}$।
अंतराल $dx$ में पिंड के पाए जाने की प्रायिकता $P(x)dx$ उस अंतराल में बिताए गए समय के समानुपाती होती है,अर्थात $P(x) \propto \frac{1}{v} = \frac{1}{\omega \sqrt{a^2 - x^2}}$।
जैसे-जैसे $x \to \pm a$ होता है,वेग $v \to 0$ हो जाता है,जिसका अर्थ है कि बिताया गया समय $dt \to \infty$ हो जाता है।
इसलिए,पिंड के पाए जाने की प्रायिकता चरम स्थितियों $x = \pm a$ पर सबसे अधिक होती है।
अतः,सही विकल्प $A$ है।
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AdvancedMCQ
नीचे दिए गए चित्र में दिखाए गए एक-आयामी विभव $V(x)$ पर विचार करें। $m$ द्रव्यमान का एक शास्त्रीय कण इसके प्रभाव में गति करता है और इसकी कुल ऊर्जा $E$ नीचे दिखाई गई है। यह गति है
A
अनावर्ती
B
स्थिर
C
आवर्ती लेकिन सरल आवर्त गति नहीं
D
सरल आवर्त गति
Solution
(C) सही उत्तर $C$ है।
दिए गए स्थितिज ऊर्जा वक्र $V(x)$ में,कण टर्निंग पॉइंट्स $r_1$ और $r_2$ के बीच सीमित है जहाँ कुल ऊर्जा $E$,स्थितिज ऊर्जा $V(x)$ के बराबर है।
चूंकि कण दो बिंदुओं के बीच सीमित है और स्थितिज ऊर्जा परिमित है,इसलिए कण $r_1$ और $r_2$ के बीच आगे-पीछे दोलन करेगा,जिससे गति आवर्ती हो जाती है।
हालाँकि,गति के सरल आवर्त होने के लिए,स्थितिज ऊर्जा को संतुलन स्थिति $r_0$ के सापेक्ष सममित होना चाहिए और $U(x) = \frac{1}{2} k (x - r_0)^2$ के रूप का पालन करना चाहिए।
जैसा कि चित्र में देखा गया है,स्थितिज ऊर्जा वक्र $V(x)$ संतुलन स्थिति $r_0$ के सापेक्ष सममित नहीं है (यह असममित है)। इसलिए,गति आवर्ती है लेकिन सरल आवर्त गति नहीं है।
दिए गए स्थितिज ऊर्जा वक्र $V(x)$ में,कण टर्निंग पॉइंट्स $r_1$ और $r_2$ के बीच सीमित है जहाँ कुल ऊर्जा $E$,स्थितिज ऊर्जा $V(x)$ के बराबर है।
चूंकि कण दो बिंदुओं के बीच सीमित है और स्थितिज ऊर्जा परिमित है,इसलिए कण $r_1$ और $r_2$ के बीच आगे-पीछे दोलन करेगा,जिससे गति आवर्ती हो जाती है।
हालाँकि,गति के सरल आवर्त होने के लिए,स्थितिज ऊर्जा को संतुलन स्थिति $r_0$ के सापेक्ष सममित होना चाहिए और $U(x) = \frac{1}{2} k (x - r_0)^2$ के रूप का पालन करना चाहिए।
जैसा कि चित्र में देखा गया है,स्थितिज ऊर्जा वक्र $V(x)$ संतुलन स्थिति $r_0$ के सापेक्ष सममित नहीं है (यह असममित है)। इसलिए,गति आवर्ती है लेकिन सरल आवर्त गति नहीं है।
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AdvancedMCQ
$x < 0$ के लिए एक विभव $V(x) = k(x+a)^2 / 2$ और $x > 0$ के लिए $V(x) = k(x-a)^2 / 2$ द्वारा दिया गया है। इस विभव में आवर्ती गति करने वाले कण के लिए,उसकी ऊर्जा $E$ के फलन के रूप में दोलन काल $T$ का योजनाबद्ध परिवर्तन क्या होगा?
A
B
C
D
Solution
(B) विभव इस प्रकार दिया गया है:
$V(x) = \begin{cases} \frac{k(x+a)^2}{2}, & x < 0 \\ \frac{k(x-a)^2}{2}, & x > 0 \end{cases}$
यह $x = 0$ पर जुड़े दो आधे परवलय को दर्शाता है। स्थितिज ऊर्जा $U(x) = mV(x)$ है।
$E$ ऊर्जा वाले कण के लिए,टर्निंग पॉइंट $U(x) = E$ द्वारा प्राप्त किए जाते हैं।
यदि $E$ छोटा है,तो कण दो कुओं में से एक में (या तो $x < 0$ या $x > 0$) दोलन करता है। इस मामले में,गति सरल आवर्त गति है,इसलिए आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{m/k}$ है,जो $E$ से स्वतंत्र है।
जैसे-जैसे $E$ बढ़ता है,कण अंततः $x = 0$ पर अवरोध को पार कर जाता है। $E > V(0) = ka^2/2$ के लिए,कण दोनों क्षेत्रों में दोलन करता है। कुल आवर्तकाल $T$ प्रत्येक क्षेत्र में व्यतीत समय का योग है। जैसे-जैसे $E$ और बढ़ता है,कण विभव के सपाट भागों में अधिक समय व्यतीत करता है,जिससे आवर्तकाल $T$,$E$ के साथ बढ़ता है। इस प्रकार,ग्राफ कम $E$ के लिए एक स्थिर $T$ दिखाता है,जिसके बाद एक उछाल और उच्च $E$ के लिए बढ़ता हुआ $T$ आता है,जो ग्राफ $(b)$ के अनुरूप है।
$V(x) = \begin{cases} \frac{k(x+a)^2}{2}, & x < 0 \\ \frac{k(x-a)^2}{2}, & x > 0 \end{cases}$
यह $x = 0$ पर जुड़े दो आधे परवलय को दर्शाता है। स्थितिज ऊर्जा $U(x) = mV(x)$ है।
$E$ ऊर्जा वाले कण के लिए,टर्निंग पॉइंट $U(x) = E$ द्वारा प्राप्त किए जाते हैं।
यदि $E$ छोटा है,तो कण दो कुओं में से एक में (या तो $x < 0$ या $x > 0$) दोलन करता है। इस मामले में,गति सरल आवर्त गति है,इसलिए आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{m/k}$ है,जो $E$ से स्वतंत्र है।
जैसे-जैसे $E$ बढ़ता है,कण अंततः $x = 0$ पर अवरोध को पार कर जाता है। $E > V(0) = ka^2/2$ के लिए,कण दोनों क्षेत्रों में दोलन करता है। कुल आवर्तकाल $T$ प्रत्येक क्षेत्र में व्यतीत समय का योग है। जैसे-जैसे $E$ और बढ़ता है,कण विभव के सपाट भागों में अधिक समय व्यतीत करता है,जिससे आवर्तकाल $T$,$E$ के साथ बढ़ता है। इस प्रकार,ग्राफ कम $E$ के लिए एक स्थिर $T$ दिखाता है,जिसके बाद एक उछाल और उच्च $E$ के लिए बढ़ता हुआ $T$ आता है,जो ग्राफ $(b)$ के अनुरूप है।
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MediumMCQ
एक कण $y$-अक्ष पर $y=0$ के परितः $SHM$ कर रहा है। किसी क्षण पर इसकी स्थिति $y = (7 \, m) \sin(\pi t)$ द्वारा दी गई है। $0$ से $0.5 \, s$ के समयांतराल के लिए इसका औसत वेग ........... $m/s$ है।
A
$14$
B
$7$
C
$1/7$
D
$28$
Solution
(A) औसत वेग को कुल विस्थापन और कुल समयांतराल के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
$v_{\text{avg}} = \frac{\Delta y}{\Delta t} = \frac{y(t_2) - y(t_1)}{t_2 - t_1}$
दिया गया स्थिति समीकरण $y(t) = 7 \sin(\pi t)$ है।
$t_1 = 0 \, s$ पर,$y_1 = 7 \sin(0) = 0 \, m$.
$t_2 = 0.5 \, s$ पर,$y_2 = 7 \sin(\pi \times 0.5) = 7 \sin(\pi/2) = 7 \times 1 = 7 \, m$.
विस्थापन $\Delta y = y_2 - y_1 = 7 - 0 = 7 \, m$.
समयांतराल $\Delta t = 0.5 - 0 = 0.5 \, s$.
अतः,$v_{\text{avg}} = \frac{7}{0.5} = 14 \, m/s$.
$v_{\text{avg}} = \frac{\Delta y}{\Delta t} = \frac{y(t_2) - y(t_1)}{t_2 - t_1}$
दिया गया स्थिति समीकरण $y(t) = 7 \sin(\pi t)$ है।
$t_1 = 0 \, s$ पर,$y_1 = 7 \sin(0) = 0 \, m$.
$t_2 = 0.5 \, s$ पर,$y_2 = 7 \sin(\pi \times 0.5) = 7 \sin(\pi/2) = 7 \times 1 = 7 \, m$.
विस्थापन $\Delta y = y_2 - y_1 = 7 - 0 = 7 \, m$.
समयांतराल $\Delta t = 0.5 - 0 = 0.5 \, s$.
अतः,$v_{\text{avg}} = \frac{7}{0.5} = 14 \, m/s$.
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EasyMCQ
सही परिभाषा की पहचान करें।
A
यदि समय के प्रत्येक निश्चित अंतराल के बाद,कोई कण अपनी गति को दोहराता है,तो उस गति को आवर्ती गति कहा जाता है।
B
एक निश्चित समय अंतराल में अपने माध्य स्थिति के चारों ओर एक ही पथ पर कण की आगे-पीछे की गति को दोलनी गति कहा जाता है।
C
एकल साइन (sine) और कोसाइन (cosine) फलनों के संदर्भ में वर्णित दोलनी गति को सरल आवर्त गति कहा जाता है।
D
उपरोक्त सभी।
Solution
(D) आवर्ती गति को ऐसी गति के रूप में परिभाषित किया जाता है जो समय के नियमित अंतराल पर खुद को दोहराती है।
दोलनी गति को एक निश्चित समय अंतराल के भीतर माध्य स्थिति के चारों ओर कण की आगे-पीछे की गति के रूप में परिभाषित किया जाता है।
सरल आवर्त गति दोलनी गति का एक विशिष्ट प्रकार है जिसे गणितीय रूप से एकल साइन या कोसाइन फलन का उपयोग करके वर्णित किया जा सकता है।
चूंकि तीनों कथन वैज्ञानिक रूप से सटीक परिभाषाएं हैं,इसलिए सही विकल्प $(d)$ है।
दोलनी गति को एक निश्चित समय अंतराल के भीतर माध्य स्थिति के चारों ओर कण की आगे-पीछे की गति के रूप में परिभाषित किया जाता है।
सरल आवर्त गति दोलनी गति का एक विशिष्ट प्रकार है जिसे गणितीय रूप से एकल साइन या कोसाइन फलन का उपयोग करके वर्णित किया जा सकता है।
चूंकि तीनों कथन वैज्ञानिक रूप से सटीक परिभाषाएं हैं,इसलिए सही विकल्प $(d)$ है।
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EasyMCQ
$S.H.M.$ कर रहे एक कण का विस्थापन $x = 0.01 \sin 100 \pi(t + 0.05)$ द्वारा दिया गया है। आवर्तकाल ........ $s$ है।
A
$0.01$
B
$0.02$
C
$0.1$
D
$0.2$
Solution
(B) विस्थापन के लिए दिया गया समीकरण $x = 0.01 \sin 100 \pi(t + 0.05)$ है।
इसे $S.H.M.$ के मानक समीकरण $x = A \sin(\omega t + \phi)$ के साथ तुलना करने पर,हम कोणीय आवृत्ति $\omega = 100 \pi \, rad/s$ प्राप्त करते हैं।
आवर्तकाल $T$ कोणीय आवृत्ति से सूत्र $T = \frac{2 \pi}{\omega}$ द्वारा संबंधित है।
$\omega$ का मान रखने पर:
$T = \frac{2 \pi}{100 \pi} = \frac{1}{50} = 0.02 \, s$.
अतः,आवर्तकाल $0.02 \, s$ है।
इसे $S.H.M.$ के मानक समीकरण $x = A \sin(\omega t + \phi)$ के साथ तुलना करने पर,हम कोणीय आवृत्ति $\omega = 100 \pi \, rad/s$ प्राप्त करते हैं।
आवर्तकाल $T$ कोणीय आवृत्ति से सूत्र $T = \frac{2 \pi}{\omega}$ द्वारा संबंधित है।
$\omega$ का मान रखने पर:
$T = \frac{2 \pi}{100 \pi} = \frac{1}{50} = 0.02 \, s$.
अतः,आवर्तकाल $0.02 \, s$ है।
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EasyMCQ
सरल आवर्त गति के समीकरण को किस रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है? (प्रत्येक पद का अपना सामान्य अर्थ है):
A
$x = A \sin(\omega t + \phi)$
B
$x = A \cos(\omega t - \phi)$
C
$x = a \sin(\omega t) + b \cos(\omega t)$
D
$x = A \sin(\omega t + \phi) + B \sin(2\omega t + \phi)$
Solution
(D) सही उत्तर $(D)$ है।
सरल आवर्त गति $(S.H.M.)$ को एक एकल आवृत्ति घटक द्वारा परिभाषित किया जाता है।
विकल्प $(A)$,$(B)$,और $(C)$ एकल कोणीय आवृत्ति $\omega$ के साथ $S.H.M.$ के मानक रूप हैं।
विकल्प $(D)$ दो अलग-अलग आवृत्तियों ($\omega$ और $2\omega$) वाले $S.H.M.$ का अध्यारोपण दर्शाता है।
चूंकि परिणामी गति में कई आवृत्तियाँ शामिल हैं,इसलिए यह सरल आवर्त गति नहीं है,बल्कि एक जटिल आवर्ती गति है।
सरल आवर्त गति $(S.H.M.)$ को एक एकल आवृत्ति घटक द्वारा परिभाषित किया जाता है।
विकल्प $(A)$,$(B)$,और $(C)$ एकल कोणीय आवृत्ति $\omega$ के साथ $S.H.M.$ के मानक रूप हैं।
विकल्प $(D)$ दो अलग-अलग आवृत्तियों ($\omega$ और $2\omega$) वाले $S.H.M.$ का अध्यारोपण दर्शाता है।
चूंकि परिणामी गति में कई आवृत्तियाँ शामिल हैं,इसलिए यह सरल आवर्त गति नहीं है,बल्कि एक जटिल आवर्ती गति है।
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EasyMCQ
सरल आवर्त गति $(S.H.M.)$ के बारे में गलत कथन का चयन करें।
A
पिंड एकसमान त्वरित होता है।
B
पिंड का वेग सभी क्षणों पर सुचारू रूप से बदलता है।
C
दोलन का आयाम संतुलन स्थिति के सापेक्ष सममित होता है।
D
दोलन की आवृत्ति आयाम से स्वतंत्र होती है।
Solution
(A) $S.H.M.$ में,त्वरण $a$ को समीकरण $a = -\omega^2 x$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\omega$ कोणीय आवृत्ति है और $x$ संतुलन स्थिति से विस्थापन है।
चूंकि त्वरण $a$ विस्थापन $x$ पर निर्भर करता है,इसलिए यह पूरी गति के दौरान स्थिर नहीं रहता है।
अतः,पिंड एकसमान रूप से त्वरित नहीं होता है; बल्कि,इसका त्वरण विस्थापन के साथ रैखिक रूप से बदलता है।
इसलिए,यह कथन कि पिंड एकसमान रूप से त्वरित होता है,गलत है।
चूंकि त्वरण $a$ विस्थापन $x$ पर निर्भर करता है,इसलिए यह पूरी गति के दौरान स्थिर नहीं रहता है।
अतः,पिंड एकसमान रूप से त्वरित नहीं होता है; बल्कि,इसका त्वरण विस्थापन के साथ रैखिक रूप से बदलता है।
इसलिए,यह कथन कि पिंड एकसमान रूप से त्वरित होता है,गलत है।
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EasyMCQ
$F = -5(x - 2)$ बल के अंतर्गत गति करने वाले कण के लिए,गति ........... है।
A
$S.H.M.$
B
दोलनी (Oscillatory)
C
स्थानांतरीय (Translatory)
D
$(a)$ और $(b)$ दोनों
Solution
(D) दिया गया बल $F = -5(x - 2)$ है।
माना $x' = x - 2$,तो $F = -5x'$ होगा।
चूंकि बल साम्यावस्था से विस्थापन के ऋणात्मक समानुपाती है $(F \propto -x')$,इसलिए यह गति सरल आवर्त गति $(S.H.M.)$ है।
प्रत्येक $S.H.M.$ एक दोलनी गति भी होती है।
अतः,यह गति $S.H.M.$ और दोलनी दोनों है।
माना $x' = x - 2$,तो $F = -5x'$ होगा।
चूंकि बल साम्यावस्था से विस्थापन के ऋणात्मक समानुपाती है $(F \propto -x')$,इसलिए यह गति सरल आवर्त गति $(S.H.M.)$ है।
प्रत्येक $S.H.M.$ एक दोलनी गति भी होती है।
अतः,यह गति $S.H.M.$ और दोलनी दोनों है।
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MediumMCQ
एक कण समीकरण $4 \frac{d^2 x}{d t^2} + 320 x = 0$ के अनुसार सरल आवर्त गति करता है। इसका दोलन काल ......... है।
A
$\frac{2 \pi}{5 \sqrt{3}} \ s$
B
$\frac{\pi}{3 \sqrt{2}} \ s$
C
$\frac{\pi}{2 \sqrt{5}} \ s$
D
$\frac{2 \pi}{\sqrt{3}} \ s$
Solution
(C) दिया गया समीकरण $4 \frac{d^2 x}{d t^2} + 320 x = 0$ है।
$4$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{d^2 x}{d t^2} + 80 x = 0$ प्राप्त होता है।
चूंकि त्वरण $a = \frac{d^2 x}{d t^2}$ है,हम $a = -80 x$ लिख सकते हैं।
इसे $S.H.M.$ के मानक समीकरण $a = -\omega^2 x$ के साथ तुलना करने पर,हमें $\omega^2 = 80$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$\omega = \sqrt{80} = \sqrt{16 \times 5} = 4 \sqrt{5} \ rad/s$ है।
दोलन काल $T$ का सूत्र $T = \frac{2 \pi}{\omega}$ है।
$\omega$ का मान रखने पर,$T = \frac{2 \pi}{4 \sqrt{5}} = \frac{\pi}{2 \sqrt{5}} \ s$ प्राप्त होता है।
$4$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{d^2 x}{d t^2} + 80 x = 0$ प्राप्त होता है।
चूंकि त्वरण $a = \frac{d^2 x}{d t^2}$ है,हम $a = -80 x$ लिख सकते हैं।
इसे $S.H.M.$ के मानक समीकरण $a = -\omega^2 x$ के साथ तुलना करने पर,हमें $\omega^2 = 80$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$\omega = \sqrt{80} = \sqrt{16 \times 5} = 4 \sqrt{5} \ rad/s$ है।
दोलन काल $T$ का सूत्र $T = \frac{2 \pi}{\omega}$ है।
$\omega$ का मान रखने पर,$T = \frac{2 \pi}{4 \sqrt{5}} = \frac{\pi}{2 \sqrt{5}} \ s$ प्राप्त होता है।
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View Solution190
EasyMCQ
एक कण की $S.H.M.$ समीकरण $x = 2 \sin \omega t + 4 \cos \omega t$ द्वारा दी गई है। इसके दोलन का आयाम ........ इकाई है।
A
$4$
B
$2$
C
$6$
D
$2 \sqrt{5}$
Solution
(D) दिया गया समीकरण $x = 2 \sin \omega t + 4 \cos \omega t$ है।
$x = A_1 \sin \omega t + A_2 \cos \omega t$ के रूप के किसी भी समीकरण को $x = A \sin(\omega t + \phi)$ के रूप में फिर से लिखा जा सकता है,जहाँ आयाम $A$ का मान $A = \sqrt{A_1^2 + A_2^2}$ होता है।
यहाँ,$A_1 = 2$ और $A_2 = 4$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$A = \sqrt{2^2 + 4^2}$
$A = \sqrt{4 + 16}$
$A = \sqrt{20}$
$A = \sqrt{4 \times 5} = 2 \sqrt{5}$.
अतः,दोलन का आयाम $2 \sqrt{5}$ इकाई है।
$x = A_1 \sin \omega t + A_2 \cos \omega t$ के रूप के किसी भी समीकरण को $x = A \sin(\omega t + \phi)$ के रूप में फिर से लिखा जा सकता है,जहाँ आयाम $A$ का मान $A = \sqrt{A_1^2 + A_2^2}$ होता है।
यहाँ,$A_1 = 2$ और $A_2 = 4$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$A = \sqrt{2^2 + 4^2}$
$A = \sqrt{4 + 16}$
$A = \sqrt{20}$
$A = \sqrt{4 \times 5} = 2 \sqrt{5}$.
अतः,दोलन का आयाम $2 \sqrt{5}$ इकाई है।
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EasyMCQ
$S.H.M.$ का समीकरण,जिसका आयाम $A$ और कोणीय आवृत्ति $\omega$ है,जिसमें सभी दूरियाँ एक चरम स्थिति से मापी जाती हैं और समय को दूसरी चरम स्थिति पर शून्य माना जाता है,वह क्या है?
A
$x = A \sin \omega t$
B
$x = A(\cos \omega t + \sin \omega t)$
C
$x = A - A \cos \omega t$
D
$x = A + A \cos \omega t$
Solution
(D) मान लीजिए कि दो चरम स्थितियाँ $x = 0$ और $x = 2A$ हैं।
$t = 0$ पर,कण 'दूसरी' चरम स्थिति पर है। मान लीजिए कि यह स्थिति $x = 2A$ है।
$S.H.M.$ के लिए सामान्य समीकरण $x' = A \cos(\omega t + \phi)$ है,जहाँ $x'$ को माध्य स्थिति $x = A$ से मापा जाता है।
अतः,$x - A = A \cos(\omega t + \phi)$।
$t = 0$ पर,$x = 2A$,इसलिए $2A - A = A \cos(\phi) \implies A = A \cos(\phi) \implies \cos(\phi) = 1 \implies \phi = 0$।
समीकरण में $\phi = 0$ रखने पर: $x - A = A \cos(\omega t) \implies x = A + A \cos(\omega t)$।
$t = 0$ पर,कण 'दूसरी' चरम स्थिति पर है। मान लीजिए कि यह स्थिति $x = 2A$ है।
$S.H.M.$ के लिए सामान्य समीकरण $x' = A \cos(\omega t + \phi)$ है,जहाँ $x'$ को माध्य स्थिति $x = A$ से मापा जाता है।
अतः,$x - A = A \cos(\omega t + \phi)$।
$t = 0$ पर,$x = 2A$,इसलिए $2A - A = A \cos(\phi) \implies A = A \cos(\phi) \implies \cos(\phi) = 1 \implies \phi = 0$।
समीकरण में $\phi = 0$ रखने पर: $x - A = A \cos(\omega t) \implies x = A + A \cos(\omega t)$।
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View Solution192
MediumMCQ
आकृति $S.H.M.$ में एक वस्तु का स्थिति-समय ग्राफ दर्शाती है। इस गति को निरूपित करने वाला सही समीकरण .......... है।
A
$2 \sin \left(\frac{2 \pi}{5} t+\frac{\pi}{6}\right)$
B
$4 \sin \left(\frac{\pi}{5} t+\frac{\pi}{6}\right)$
C
$4 \sin \left(\frac{\pi}{6} t+\frac{\pi}{3}\right)$
D
$4 \sin \left(\frac{\pi}{6} t+\frac{\pi}{6}\right)$
Solution
(D) $S.H.M.$ के लिए सामान्य समीकरण $x = A \sin(\omega t + \phi)$ है।
ग्राफ से,आयाम $A = 4 \, cm$ है।
कण $t=5 \, s$ पर माध्य स्थिति $(x=0)$ से गुजरता है और $t=11 \, s$ पर फिर से माध्य स्थिति पर पहुँचता है। आधा चक्र पूरा करने में लगा समय $11 - 5 = 6 \, s$ है। इसलिए,आवर्तकाल $T = 2 \times 6 = 12 \, s$ है।
कोणीय आवृत्ति $\omega = \frac{2 \pi}{T} = \frac{2 \pi}{12} = \frac{\pi}{6} \, rad/s$ है।
$t = 0$ पर,विस्थापन $x = 2 \, cm$ है। इन मानों को सामान्य समीकरण में रखने पर:
$2 = 4 \sin(\omega(0) + \phi)$
$2 = 4 \sin(\phi)$
$\sin(\phi) = \frac{1}{2}$
$\phi = \frac{\pi}{6}$ (क्योंकि कण धनात्मक चरम की ओर गति कर रहा है)।
अतः,समीकरण $x = 4 \sin \left(\frac{\pi}{6} t + \frac{\pi}{6}\right)$ है।
ग्राफ से,आयाम $A = 4 \, cm$ है।
कण $t=5 \, s$ पर माध्य स्थिति $(x=0)$ से गुजरता है और $t=11 \, s$ पर फिर से माध्य स्थिति पर पहुँचता है। आधा चक्र पूरा करने में लगा समय $11 - 5 = 6 \, s$ है। इसलिए,आवर्तकाल $T = 2 \times 6 = 12 \, s$ है।
कोणीय आवृत्ति $\omega = \frac{2 \pi}{T} = \frac{2 \pi}{12} = \frac{\pi}{6} \, rad/s$ है।
$t = 0$ पर,विस्थापन $x = 2 \, cm$ है। इन मानों को सामान्य समीकरण में रखने पर:
$2 = 4 \sin(\omega(0) + \phi)$
$2 = 4 \sin(\phi)$
$\sin(\phi) = \frac{1}{2}$
$\phi = \frac{\pi}{6}$ (क्योंकि कण धनात्मक चरम की ओर गति कर रहा है)।
अतः,समीकरण $x = 4 \sin \left(\frac{\pi}{6} t + \frac{\pi}{6}\right)$ है।
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MediumMCQ
एक कण $T = 4 \ s$ के आवर्तकाल के साथ सरल आवर्त गति $(SHM)$ कर रहा है। $t = 0$ पर,कण एक ऐसी स्थिति में है जहाँ $x$-अक्ष के साथ उसका कोणीय स्थान $45^\circ$ है। $x$-अक्ष के अनुदिश कण का विस्थापन समीकरण ज्ञात कीजिए।
A
$x = a \sin(\frac{\pi}{2}t + \frac{\pi}{4})$
B
$x = a \cos(\frac{\pi}{2}t + \frac{\pi}{4})$
C
$x = a \sin(\frac{\pi}{4}t + \frac{\pi}{2})$
D
$x = a \cos(\frac{\pi}{4}t + \frac{\pi}{4})$
Solution
(B) $SHM$ में विस्थापन के लिए सामान्य समीकरण $x(t) = a \cos(\omega t + \phi)$ है,जहाँ $a$ आयाम है,$\omega$ कोणीय आवृत्ति है,और $\phi$ प्रारंभिक कला कोण है।
दिए गए आवर्तकाल $T = 4 \ s$ के लिए,कोणीय आवृत्ति $\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2} \ \text{rad/s}$ है।
$t = 0$ पर,कण $x$-अक्ष के साथ $45^\circ$ के कोण पर है,इसलिए प्रारंभिक कला $\phi = 45^\circ = \frac{\pi}{4} \ \text{rad}$ है।
इन मानों को सामान्य समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $x(t) = a \cos(\frac{\pi}{2}t + \frac{\pi}{4})$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।
दिए गए आवर्तकाल $T = 4 \ s$ के लिए,कोणीय आवृत्ति $\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2} \ \text{rad/s}$ है।
$t = 0$ पर,कण $x$-अक्ष के साथ $45^\circ$ के कोण पर है,इसलिए प्रारंभिक कला $\phi = 45^\circ = \frac{\pi}{4} \ \text{rad}$ है।
इन मानों को सामान्य समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $x(t) = a \cos(\frac{\pi}{2}t + \frac{\pi}{4})$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।
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DifficultMCQ
$0.1 \ kg$ द्रव्यमान का एक बिंदु कण $0.1 \ m$ के आयाम के साथ $S.H.M.$ कर रहा है। जब कण माध्य स्थिति से गुजरता है,तो उसकी गतिज ऊर्जा $8 \times 10^{-3} \ J$ होती है। यदि दोलन की प्रारंभिक कला $45^{\circ}$ है,तो इस कण की गति का समीकरण ज्ञात कीजिए।
A
$y=0.1 \sin \left(\pm 4 t+\frac{\pi}{4}\right)$
B
$y=0.2 \sin \left(\pm 4 t+\frac{\pi}{4}\right)$
C
$y=0.1 \sin \left(\pm 2 t+\frac{\pi}{4}\right)$
D
$y=0.2 \sin \left(\pm 2 t+\frac{\pi}{4}\right)$
Solution
(A) $S.H.M.$ में कण का विस्थापन $y = a \sin (\omega t + \phi)$ द्वारा दिया जाता है।
वेग $v = \frac{dy}{dt} = \omega a \cos (\omega t + \phi)$ है।
माध्य स्थिति पर वेग अधिकतम होता है,जहाँ $v_{max} = \omega a$ होता है।
माध्य स्थिति पर गतिज ऊर्जा $K.E._{max} = \frac{1}{2} m v_{max}^2 = \frac{1}{2} m \omega^2 a^2$ है।
यहाँ $m = 0.1 \ kg$,$a = 0.1 \ m$,और $K.E._{max} = 8 \times 10^{-3} \ J$ दिया गया है,इसलिए:
$8 \times 10^{-3} = \frac{1}{2} \times 0.1 \times \omega^2 \times (0.1)^2$.
$8 \times 10^{-3} = 0.5 \times 0.1 \times \omega^2 \times 0.01$.
$8 \times 10^{-3} = 0.0005 \times \omega^2$.
$\omega^2 = \frac{8 \times 10^{-3}}{5 \times 10^{-4}} = 16$.
$\omega = \pm 4 \ rad/s$.
प्रारंभिक कला $\phi = 45^{\circ} = \frac{\pi}{4} \ rad$ होने के कारण,गति का समीकरण $y = 0.1 \sin (\pm 4t + \frac{\pi}{4})$ प्राप्त होता है।
वेग $v = \frac{dy}{dt} = \omega a \cos (\omega t + \phi)$ है।
माध्य स्थिति पर वेग अधिकतम होता है,जहाँ $v_{max} = \omega a$ होता है।
माध्य स्थिति पर गतिज ऊर्जा $K.E._{max} = \frac{1}{2} m v_{max}^2 = \frac{1}{2} m \omega^2 a^2$ है।
यहाँ $m = 0.1 \ kg$,$a = 0.1 \ m$,और $K.E._{max} = 8 \times 10^{-3} \ J$ दिया गया है,इसलिए:
$8 \times 10^{-3} = \frac{1}{2} \times 0.1 \times \omega^2 \times (0.1)^2$.
$8 \times 10^{-3} = 0.5 \times 0.1 \times \omega^2 \times 0.01$.
$8 \times 10^{-3} = 0.0005 \times \omega^2$.
$\omega^2 = \frac{8 \times 10^{-3}}{5 \times 10^{-4}} = 16$.
$\omega = \pm 4 \ rad/s$.
प्रारंभिक कला $\phi = 45^{\circ} = \frac{\pi}{4} \ rad$ होने के कारण,गति का समीकरण $y = 0.1 \sin (\pm 4t + \frac{\pi}{4})$ प्राप्त होता है।
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MediumMCQ
समय $t$ पर एक कण का विस्थापन इस प्रकार दिया गया है: $x = A \sin (-2 \omega t) + B \sin^2 \omega t$. तब,
A
कण की गति $\sqrt{A^2 + \frac{B^2}{4}}$ आयाम के साथ $SHM$ है।
B
कण की गति $SHM$ नहीं है,लेकिन $T = \pi / \omega$ के आवर्तकाल के साथ दोलनी गति है।
C
कण की गति $T = \pi / 2 \omega$ के आवर्तकाल के साथ दोलनी गति है।
D
कण की गति अनावर्ती (aperiodic) है।
Solution
(A) कण का विस्थापन $x = A \sin (-2 \omega t) + B \sin^2 \omega t$ द्वारा दिया गया है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin^2 \theta = \frac{1 - \cos 2 \theta}{2}$ का उपयोग करने पर:
$x = -A \sin 2 \omega t + \frac{B}{2} (1 - \cos 2 \omega t)$.
$x = -A \sin 2 \omega t - \frac{B}{2} \cos 2 \omega t + \frac{B}{2}$.
माना $x' = x - \frac{B}{2} = -(A \sin 2 \omega t + \frac{B}{2} \cos 2 \omega t)$.
यह $x' = -R \sin (2 \omega t + \phi)$ के रूप में है,जहाँ $R = \sqrt{A^2 + (B/2)^2} = \sqrt{A^2 + \frac{B^2}{4}}$.
चूंकि विस्थापन को माध्य स्थिति $x = B/2$ के परितः एक एकल ज्या (sine) फलन के रूप में व्यक्त किया जा सकता है,इसलिए यह गति $\sqrt{A^2 + \frac{B^2}{4}}$ आयाम के साथ सरल आवर्त गति $(SHM)$ है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin^2 \theta = \frac{1 - \cos 2 \theta}{2}$ का उपयोग करने पर:
$x = -A \sin 2 \omega t + \frac{B}{2} (1 - \cos 2 \omega t)$.
$x = -A \sin 2 \omega t - \frac{B}{2} \cos 2 \omega t + \frac{B}{2}$.
माना $x' = x - \frac{B}{2} = -(A \sin 2 \omega t + \frac{B}{2} \cos 2 \omega t)$.
यह $x' = -R \sin (2 \omega t + \phi)$ के रूप में है,जहाँ $R = \sqrt{A^2 + (B/2)^2} = \sqrt{A^2 + \frac{B^2}{4}}$.
चूंकि विस्थापन को माध्य स्थिति $x = B/2$ के परितः एक एकल ज्या (sine) फलन के रूप में व्यक्त किया जा सकता है,इसलिए यह गति $\sqrt{A^2 + \frac{B^2}{4}}$ आयाम के साथ सरल आवर्त गति $(SHM)$ है।
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EasyMCQ
उस फलन की पहचान करें जो गैर-आवर्ती गति का प्रतिनिधित्व करता है।
A
$e^{-\omega t}$
B
$\sin \omega t$
C
$\sin \omega t + \cos \omega t$
D
$\sin (\omega t + \pi / 4)$
Solution
(A) एक आवर्ती फलन वह है जो समय के नियमित अंतराल पर अपने मानों को दोहराता है।
$\sin \omega t$,$\cos \omega t$ और उनके रैखिक संयोजन जैसे फलन आवर्ती होते हैं क्योंकि वे $T = 2\pi / \omega$ की समयावधि के बाद अपने मानों को दोहराते हैं।
फलन $f(t) = e^{-\omega t}$ एक चरघातांकी क्षय फलन है।
जैसे-जैसे $t$ बढ़ता है,$e^{-\omega t}$ एकदिश रूप से घटता है और $t \to \infty$ होने पर शून्य के करीब पहुंच जाता है।
चूंकि यह कभी भी अपने मानों को नहीं दोहराता है,इसलिए यह एक गैर-आवर्ती गति का प्रतिनिधित्व करता है।
$\sin \omega t$,$\cos \omega t$ और उनके रैखिक संयोजन जैसे फलन आवर्ती होते हैं क्योंकि वे $T = 2\pi / \omega$ की समयावधि के बाद अपने मानों को दोहराते हैं।
फलन $f(t) = e^{-\omega t}$ एक चरघातांकी क्षय फलन है।
जैसे-जैसे $t$ बढ़ता है,$e^{-\omega t}$ एकदिश रूप से घटता है और $t \to \infty$ होने पर शून्य के करीब पहुंच जाता है।
चूंकि यह कभी भी अपने मानों को नहीं दोहराता है,इसलिए यह एक गैर-आवर्ती गति का प्रतिनिधित्व करता है।
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EasyMCQ
चित्र में दिखाए अनुसार,केंद्र $O$ के चारों ओर $r$ त्रिज्या के वृत्ताकार पथ पर $\omega$ कोणीय वेग से घूमते हुए कण $P$ के लिए,समय $t$ पर $x$-अक्ष पर $OP$ का प्रक्षेप ................. है।
A
$x(t)=r \cos \left(\omega t+\frac{\pi}{6}\right)$
B
$x(t)=r \cos (\omega t)$
C
$x(t)=r \sin \left(\omega t+\frac{\pi}{6}\right)$
D
$x(t)=r \cos \left(\omega t-\frac{\pi}{6}\right)$
Solution
(A) कण $P$ एकसमान वृत्तीय गति कर रहा है। $t=0$ पर,स्थिति सदिश $OP$ धनात्मक $x$-अक्ष के साथ $30^{\circ}$ (या $\pi/6$ रेडियन) का कोण बनाता है।
किसी भी समय $t$ पर,कण वामावर्त दिशा में $\omega t$ कोण से घूमता है।
इसलिए,समय $t$ पर स्थिति सदिश $OP$ द्वारा धनात्मक $x$-अक्ष के साथ बनाया गया कुल कोण $\theta = \omega t + 30^{\circ} = \omega t + \frac{\pi}{6}$ है।
$x$-अक्ष पर स्थिति सदिश $OP$ का प्रक्षेप $x(t) = r \cos(\theta)$ द्वारा दिया जाता है।
$\theta$ का मान रखने पर,हमें $x(t) = r \cos \left(\omega t + \frac{\pi}{6}\right)$ प्राप्त होता है।
किसी भी समय $t$ पर,कण वामावर्त दिशा में $\omega t$ कोण से घूमता है।
इसलिए,समय $t$ पर स्थिति सदिश $OP$ द्वारा धनात्मक $x$-अक्ष के साथ बनाया गया कुल कोण $\theta = \omega t + 30^{\circ} = \omega t + \frac{\pi}{6}$ है।
$x$-अक्ष पर स्थिति सदिश $OP$ का प्रक्षेप $x(t) = r \cos(\theta)$ द्वारा दिया जाता है।
$\theta$ का मान रखने पर,हमें $x(t) = r \cos \left(\omega t + \frac{\pi}{6}\right)$ प्राप्त होता है।
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View Solution198
MediumMCQ
एक रैखिक सरल आवर्त गति $(SHM)$ में:
$(A)$ प्रत्यानयन बल विस्थापन के सीधे आनुपातिक होता है।
$(B)$ त्वरण और विस्थापन दिशा में विपरीत होते हैं।
$(C)$ माध्य स्थिति पर वेग अधिकतम होता है।
$(D)$ चरम बिंदुओं पर त्वरण न्यूनतम होता है।
नीचे दिए गए विकल्पों में से सही उत्तर चुनें:
$(A)$ प्रत्यानयन बल विस्थापन के सीधे आनुपातिक होता है।
$(B)$ त्वरण और विस्थापन दिशा में विपरीत होते हैं।
$(C)$ माध्य स्थिति पर वेग अधिकतम होता है।
$(D)$ चरम बिंदुओं पर त्वरण न्यूनतम होता है।
नीचे दिए गए विकल्पों में से सही उत्तर चुनें:
A
केवल $(A), (B)$ और $(C)$
B
केवल $(C)$ और $(D)$
C
केवल $(A), (B)$ और $(D)$
D
केवल $(A), (C)$ और $(D)$
Solution
(A) एक रैखिक सरल आवर्त गति $(SHM)$ में:
$(A)$ प्रत्यानयन बल $F = -kx$ द्वारा दिया जाता है,जिसका अर्थ है कि बल विस्थापन $x$ के सीधे आनुपातिक है और विपरीत दिशा में कार्य करता है। अतः,कथन $(A)$ सत्य है।
$(B)$ त्वरण $a$ को $a = -\omega^2 x$ द्वारा दिया जाता है। चूंकि त्वरण विस्थापन के ऋणात्मक के आनुपातिक है,इसलिए वे हमेशा विपरीत दिशा में होते हैं। अतः,कथन $(B)$ सत्य है।
$(C)$ $SHM$ में वेग $v$ को $v = \omega \sqrt{A^2 - x^2}$ द्वारा दिया जाता है। माध्य स्थिति $(x = 0)$ पर,वेग $v = \omega A$ होता है,जो अधिकतम मान है। अतः,कथन $(C)$ सत्य है।
$(D)$ त्वरण का परिमाण $|a| = \omega^2 |x|$ है। चरम बिंदुओं $(x = \pm A)$ पर,विस्थापन अधिकतम होता है,इसलिए त्वरण भी अधिकतम होता है। अतः,कथन $(D)$ असत्य है।
इसलिए,कथन $(A), (B)$ और $(C)$ सही हैं।
$(A)$ प्रत्यानयन बल $F = -kx$ द्वारा दिया जाता है,जिसका अर्थ है कि बल विस्थापन $x$ के सीधे आनुपातिक है और विपरीत दिशा में कार्य करता है। अतः,कथन $(A)$ सत्य है।
$(B)$ त्वरण $a$ को $a = -\omega^2 x$ द्वारा दिया जाता है। चूंकि त्वरण विस्थापन के ऋणात्मक के आनुपातिक है,इसलिए वे हमेशा विपरीत दिशा में होते हैं। अतः,कथन $(B)$ सत्य है।
$(C)$ $SHM$ में वेग $v$ को $v = \omega \sqrt{A^2 - x^2}$ द्वारा दिया जाता है। माध्य स्थिति $(x = 0)$ पर,वेग $v = \omega A$ होता है,जो अधिकतम मान है। अतः,कथन $(C)$ सत्य है।
$(D)$ त्वरण का परिमाण $|a| = \omega^2 |x|$ है। चरम बिंदुओं $(x = \pm A)$ पर,विस्थापन अधिकतम होता है,इसलिए त्वरण भी अधिकतम होता है। अतः,कथन $(D)$ असत्य है।
इसलिए,कथन $(A), (B)$ और $(C)$ सही हैं।
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MediumMCQ
यदि $x=5 \sin \left(\pi t+\frac{\pi}{3}\right) \text{ m}$ सरल आवर्त गति करने वाले एक कण की गति को दर्शाता है,तो गति का आयाम और आवर्तकाल क्रमशः हैं
A
$5 \text{ m}, 2 \text{ s}$
B
$5 \text{ cm}, 1 \text{ s}$
C
$5 \text{ m}, 1 \text{ s}$
D
$5 \text{ cm}, 2 \text{ s}$
Solution
(A) सरल आवर्त गति का सामान्य समीकरण $x = A \sin(\omega t + \phi)$ है।
दिए गए समीकरण $x = 5 \sin \left(\pi t + \frac{\pi}{3}\right) \text{ m}$ की तुलना सामान्य समीकरण से करने पर:
आयाम $A = 5 \text{ m}$ प्राप्त होता है।
कोणीय आवृत्ति $\omega = \pi \text{ rad/s}$ प्राप्त होती है।
आवर्तकाल $T$ और कोणीय आवृत्ति के बीच संबंध $T = \frac{2\pi}{\omega}$ है।
$\omega$ का मान रखने पर: $T = \frac{2\pi}{\pi} = 2 \text{ s}$।
अतः,आयाम $5 \text{ m}$ है और आवर्तकाल $2 \text{ s}$ है।
दिए गए समीकरण $x = 5 \sin \left(\pi t + \frac{\pi}{3}\right) \text{ m}$ की तुलना सामान्य समीकरण से करने पर:
आयाम $A = 5 \text{ m}$ प्राप्त होता है।
कोणीय आवृत्ति $\omega = \pi \text{ rad/s}$ प्राप्त होती है।
आवर्तकाल $T$ और कोणीय आवृत्ति के बीच संबंध $T = \frac{2\pi}{\omega}$ है।
$\omega$ का मान रखने पर: $T = \frac{2\pi}{\pi} = 2 \text{ s}$।
अतः,आयाम $5 \text{ m}$ है और आवर्तकाल $2 \text{ s}$ है।
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View Solution200
AdvancedMCQ
जब $m$ द्रव्यमान का एक कण $x$-अक्ष पर $V(x)=kx^2$ के रूप के विभव में गति करता है,तो यह सरल आवर्त गति करता है। इसका आवर्तकाल $\sqrt{\frac{m}{k}}$ के समानुपाती होता है,जिसे विमीय विश्लेषण का उपयोग करके आसानी से देखा जा सकता है। हालाँकि,कण की गति तब भी आवर्ती हो सकती है जब उसकी स्थितिज ऊर्जा $x=0$ के दोनों ओर $kx^2$ से अलग तरीके से बढ़ती है और उसकी कुल ऊर्जा ऐसी होती है कि कण अनंत तक पलायन नहीं करता है। $m$ द्रव्यमान के एक कण पर विचार करें जो $x$-अक्ष पर गति कर रहा है। इसकी स्थितिज ऊर्जा मूल बिंदु के निकट $|x|$ के लिए $V(x)=\alpha x^4$ $(\alpha>0)$ है और $|x| \geq X_0$ के लिए $V_0$ के बराबर एक स्थिरांक हो जाती है (चित्र देखें)।
$1.$ यदि कण की कुल ऊर्जा $E$ है,तो यह आवर्ती गति केवल तभी करेगा यदि
$(A)$ $E < 0$
$(B)$ $E > 0$
$(C)$ $V_0 > E > 0$
$(D)$ $E > V_0$
$2.$ छोटे आयाम $A$ की आवर्ती गति के लिए,इस कण का आवर्तकाल $T$ किसके समानुपाती है?
$(A)$ $A \sqrt{\frac{m}{\alpha}}$
$(B)$ $\frac{1}{A} \sqrt{\frac{m}{\alpha}}$
$(C)$ $A \sqrt{\frac{\alpha}{m}}$
$(D)$ $A \sqrt{\frac{\alpha}{m}}$
$3.$ $|x|>X_0$ के लिए इस कण का त्वरण है
$(A)$ $V_0$ के समानुपाती
$(B)$ $\frac{V_0}{mX_0}$ के समानुपाती
$(C)$ $\sqrt{\frac{V_0}{mX_0}}$ के समानुपाती
$(D)$ शून्य
प्रश्न $1, 2$ और $3$ के उत्तर दें।
$1.$ यदि कण की कुल ऊर्जा $E$ है,तो यह आवर्ती गति केवल तभी करेगा यदि
$(A)$ $E < 0$
$(B)$ $E > 0$
$(C)$ $V_0 > E > 0$
$(D)$ $E > V_0$
$2.$ छोटे आयाम $A$ की आवर्ती गति के लिए,इस कण का आवर्तकाल $T$ किसके समानुपाती है?
$(A)$ $A \sqrt{\frac{m}{\alpha}}$
$(B)$ $\frac{1}{A} \sqrt{\frac{m}{\alpha}}$
$(C)$ $A \sqrt{\frac{\alpha}{m}}$
$(D)$ $A \sqrt{\frac{\alpha}{m}}$
$3.$ $|x|>X_0$ के लिए इस कण का त्वरण है
$(A)$ $V_0$ के समानुपाती
$(B)$ $\frac{V_0}{mX_0}$ के समानुपाती
$(C)$ $\sqrt{\frac{V_0}{mX_0}}$ के समानुपाती
$(D)$ शून्य
प्रश्न $1, 2$ और $3$ के उत्तर दें।
A
$(A, B, C)$
B
$(C, B, D)$
C
$(C, B, A)$
D
$(A, C, D)$
Solution
(C) $1.$ आवर्ती गति के लिए,कण को विभव कूप (potential well) में फँसा होना चाहिए। चूँकि $V(x) \geq 0$ और जैसे $|x| \to X_0$ होता है,$V(x) \to V_0$ होता है,कण केवल तभी फँसा रहेगा यदि $0 < E < V_0$ हो। अतः,सही विकल्प $(C)$ है।
$2.$ स्थितिज ऊर्जा $V(x) = \alpha x^4$ है। कुल ऊर्जा $E = \frac{1}{2} m v^2 + \alpha x^4 = \alpha A^4$ है।
$v = \frac{dx}{dt} = \sqrt{\frac{2\alpha}{m} (A^4 - x^4)}$।
$T = 4 \int_0^A \frac{dx}{v} = 4 \sqrt{\frac{m}{2\alpha}} \int_0^A \frac{dx}{\sqrt{A^4 - x^4}}$।
माना $x = Au$,तो $dx = A du$।
$T = 4 \sqrt{\frac{m}{2\alpha}} \frac{1}{A} \int_0^1 \frac{du}{\sqrt{1 - u^4}}$।
अतः,$T \propto \frac{1}{A} \sqrt{\frac{m}{\alpha}}$। सही विकल्प $(B)$ है।
$3.$ $|x| > X_0$ के लिए,स्थितिज ऊर्जा $V(x) = V_0$ (एक स्थिरांक) है। बल $F = -\frac{dV}{dx} = 0$ है। चूँकि $F = ma$,इसलिए त्वरण $a = 0$ है। सही विकल्प $(D)$ है।
$2.$ स्थितिज ऊर्जा $V(x) = \alpha x^4$ है। कुल ऊर्जा $E = \frac{1}{2} m v^2 + \alpha x^4 = \alpha A^4$ है।
$v = \frac{dx}{dt} = \sqrt{\frac{2\alpha}{m} (A^4 - x^4)}$।
$T = 4 \int_0^A \frac{dx}{v} = 4 \sqrt{\frac{m}{2\alpha}} \int_0^A \frac{dx}{\sqrt{A^4 - x^4}}$।
माना $x = Au$,तो $dx = A du$।
$T = 4 \sqrt{\frac{m}{2\alpha}} \frac{1}{A} \int_0^1 \frac{du}{\sqrt{1 - u^4}}$।
अतः,$T \propto \frac{1}{A} \sqrt{\frac{m}{\alpha}}$। सही विकल्प $(B)$ है।
$3.$ $|x| > X_0$ के लिए,स्थितिज ऊर्जा $V(x) = V_0$ (एक स्थिरांक) है। बल $F = -\frac{dV}{dx} = 0$ है। चूँकि $F = ma$,इसलिए त्वरण $a = 0$ है। सही विकल्प $(D)$ है।
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View SolutionOscillations — Periodic, Oscillatory motion and its characteristics and types of SHM and Equation of SHM · Frequently Asked Questions
1Are these Oscillations questions useful for JEE and NEET?
Yes. All questions in this section are mapped to JEE Main and NEET exam patterns. Previous year questions from JEE Main, NEET, GUJCET and state-level exams are included with full solutions.
2Can I switch to Hindi or Gujarati for these questions?
Yes. Use the language tabs in the hero section or the sidebar to view the same questions and solutions in English, Hindi or Gujarati.
3How do I generate a question paper from this subtopic?
Use the Vedclass Exam Paper Generator — select the chapter and subtopic, set difficulty, and generate Sets A, B, C, D automatically. First 3 chapters of every subject are free.
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