Periodic, Oscillatory motion and its characteristics and types of SHM and Equation of SHM Questions in Hindi

(B) दिया गया है: आवर्तकाल $T = 2 \ s$,आयाम $A = 1 \ cm$,कुल समय $t = 12.5 \ s$.
चक्रों की संख्या $n = \frac{t}{T} = \frac{12.5}{2} = 6.25$ चक्र।
एक पूर्ण चक्र में,तय की गई कुल दूरी $4A = 4 \times 1 \ cm = 4 \ cm$ है।
$6$ पूर्ण चक्रों के लिए,दूरी $D_1 = 6 \times 4 \ cm = 24 \ cm$ है।
शेष $0.25$ चक्र के लिए (जो $\frac{T}{4}$ है),कण माध्य स्थिति से चरम स्थिति तक गति करता है,जो $A = 1 \ cm$ की दूरी तय करता है।
कुल दूरी $D = 24 \ cm + 1 \ cm = 25 \ cm$ है।
$6$ पूर्ण चक्रों के बाद,कण माध्य स्थिति पर वापस आ जाता है। शेष $0.25$ चक्र में,यह माध्य स्थिति से चरम स्थिति तक गति करता है $(A = 1 \ cm)$।
अतः,विस्थापन $d = 1 \ cm$ है।
इसलिए,$\frac{D}{d} = \frac{25 \ cm}{1 \ cm} = 25$।

(D) सरल आवर्त गति के लिए,स्थिति $x(t) = A \sin(\omega t + \phi)$ द्वारा दी जाती है।
$t = 0$ पर,$x_0 = A \sin \phi$ $..........(1)$
संवेग $p(t) = m \frac{dx}{dt} = m A \omega \cos(\omega t + \phi)$ है।
$t = 0$ पर,$p_0 = m A \omega \cos \phi$ $..........(2)$
समीकरण $(1)$ और $(2)$ से,हम प्रारंभिक स्थितियों $x_0$ और $p_0$ का उपयोग करके दो अज्ञात,आयाम $A$ और कला स्थिरांक $\phi$ के लिए हल कर सकते हैं।
विशेष रूप से,$\tan \phi = \frac{m \omega x_0}{p_0}$ और $A = \sqrt{x_0^2 + (p_0 / m \omega)^2}$ है।
चूंकि $A$ और $\phi$ को $x_0$ और $p_0$ द्वारा विशिष्ट रूप से निर्धारित किया जाता है,इसलिए किसी भी समय $t$ पर निकाय की स्थिति पूरी तरह से निर्धारित होती है।
अतः,अभिकथन $(A)$ और कारण $(R)$ दोनों सत्य हैं,और $(R)$,$(A)$ की सही व्याख्या है।

(C) दिया गया गति का समीकरण: $x = A \sin \omega t + B \cos \omega t$।
इसे सरल आवर्त गति के मानक रूप $x = R \sin(\omega t + \phi)$ में व्यक्त करने के लिए,हम $\sqrt{A^2 + B^2}$ से गुणा और भाग करते हैं:
$x = \sqrt{A^2 + B^2} \left( \frac{A}{\sqrt{A^2 + B^2}} \sin \omega t + \frac{B}{\sqrt{A^2 + B^2}} \cos \omega t \right)$।
माना $\frac{A}{\sqrt{A^2 + B^2}} = \cos \phi$ और $\frac{B}{\sqrt{A^2 + B^2}} = \sin \phi$।
तब,$x = \sqrt{A^2 + B^2} (\sin \omega t \cos \phi + \cos \omega t \sin \phi)$।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin(a+b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$x = \sqrt{A^2 + B^2} \sin(\omega t + \phi)$।
यह सरल आवर्त गति का मानक समीकरण है,जिसका आयाम $R = \sqrt{A^2 + B^2} = (A^2 + B^2)^{1/2}$ है।

(D) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 200 \text{ g} = 0.2 \text{ kg}$,आयाम $A = 0.2 \text{ m}$,माध्य स्थिति पर गतिज ऊर्जा $K_{max} = 16 \times 10^{-3} \text{ J}$।
माध्य स्थिति पर,वेग अधिकतम होता है,$v_{max} = A\omega$।
अधिकतम गतिज ऊर्जा का सूत्र $K_{max} = \frac{1}{2} m v_{max}^2 = \frac{1}{2} m (A\omega)^2$ है।
मान रखने पर: $16 \times 10^{-3} = \frac{1}{2} \times 0.2 \times (0.2 \times \omega)^2$।
$16 \times 10^{-3} = 0.1 \times 0.04 \times \omega^2$।
$16 \times 10^{-3} = 0.004 \times \omega^2$।
$\omega^2 = \frac{16 \times 10^{-3}}{4 \times 10^{-3}} = 4$।
$\omega = 2 \text{ rad/s}$।
$S.H.M.$ के लिए सामान्य समीकरण $Y = A \sin(\omega t + \phi)$ है।
प्रारंभिक कला $\phi = 0^{\circ}$ दी गई है,इसलिए $Y = 0.2 \sin(2t)$ प्राप्त होता है।

(C) विस्थापन का समीकरण $y = A \cos(\pi t + \pi \phi)$ है।
समय के सापेक्ष अवकलन करने पर,वेग $v = \frac{dy}{dt} = -A\pi \sin(\pi t + \pi \phi)$ प्राप्त होता है।
$t = 0$ पर,$y_0 = A \cos(\pi \phi)$ और $v_0 = -A\pi \sin(\pi \phi)$ है।
इससे,$\cos(\pi \phi) = \frac{y_0}{A}$ और $\sin(\pi \phi) = -\frac{v_0}{A\pi}$ प्राप्त होता है।
सर्वसमिका $\cos^2(\pi \phi) + \sin^2(\pi \phi) = 1$ का उपयोग करने पर,$\left(\frac{y_0}{A}\right)^2 + \left(-\frac{v_0}{A\pi}\right)^2 = 1$ मिलता है।
यह सरल होकर $y_0^2 + \frac{v_0^2}{\pi^2} = A^2$ हो जाता है।
दिए गए मान $y_0 = 2 \text{ cm}$ और $v_0 = 2\pi \text{ cm/s}$ रखने पर:
$2^2 + \frac{(2\pi)^2}{\pi^2} = A^2$.
$4 + 4 = A^2$.
$A^2 = 8$.
$A = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \text{ cm}$.

(D) $S.H.M.$ में,एक पूर्ण दोलन $2 \pi \ rad$ के कला परिवर्तन के बराबर होता है।
इसलिए,$n$ दोलनों के लिए,कुल कला परिवर्तन $\Delta \phi = n \times 2 \pi \ rad$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ दिया गया है कि कण $n = 2$ दोलन पूरे करता है।
अतः,कला में परिवर्तन $= 2 \times 2 \pi \ rad = 4 \pi \ rad$ होगा।

(A) रैखिक $S.H.M.$ के एक पूर्ण दोलन में कण द्वारा तय की गई कुल दूरी $4A$ के बराबर होती है,जहाँ $A$ आयाम है।
दोलन का आवर्तकाल $T$,आवृत्ति $n$ से $T = \frac{1}{n}$ सूत्र द्वारा संबंधित है।
औसत चाल को कुल दूरी को कुल समय से विभाजित करके परिभाषित किया जाता है।
अतः,औसत चाल $v_{av} = \frac{\text{कुल दूरी}}{\text{कुल समय}} = \frac{4A}{T} = \frac{4A}{1/n} = 4nA$.

(D) सरल आवर्त गति $(SHM)$ में,एक कण दो चरम स्थितियों,$-A$ और $+A$ के बीच दोलन करता है,जो माध्य स्थिति $0$ से होकर गुजरता है।
एक पूर्ण आवर्तकाल $(T)$ एक पूर्ण दोलन का प्रतिनिधित्व करता है।
माध्य स्थिति $(0)$ से शुरू करते हुए:
$1$. कण $0$ से $+A$ तक जाता है (दूरी = $A$)।
$2$. कण $+A$ से वापस $0$ तक आता है (दूरी = $A$)।
$3$. कण $0$ से $-A$ तक जाता है (दूरी = $A$)।
$4$. कण $-A$ से वापस $0$ तक आता है (दूरी = $A$)।
एक आवर्तकाल में तय की गई कुल दूरी = $A + A + A + A = 4A$।

(B) एक पूर्ण दोलन में,$SHM$ में गति कर रहा कण माध्य स्थिति से एक चरम बिंदु $(A)$ तक,वापस माध्य स्थिति $(A)$ तक,दूसरे चरम बिंदु $(A)$ तक और फिर वापस माध्य स्थिति $(A)$ तक जाता है।
$1$ दोलन में तय की गई कुल दूरी $= A + A + A + A = 4 \ A$ है।
एक पूर्ण दोलन में लगा समय आवर्तकाल $T$ कहलाता है।
दोलन की आवृत्ति $n = \frac{1}{T}$ है,जिसका अर्थ है कि $T = \frac{1}{n}$।
औसत चाल को कुल दूरी और कुल समय के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
$\text{औसत चाल} = \frac{\text{कुल दूरी}}{\text{कुल समय}} = \frac{4 \ A}{T}$।
$T = \frac{1}{n}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\text{औसत चाल} = 4 \ A \ n$ प्राप्त होता है।

(B) कण की गति का दिया गया समीकरण $a = -bx$ है।
इसे सरल आवर्त गति $(SHM)$ के मानक समीकरण $a = -\omega^2 x$ के साथ तुलना करने पर,जहाँ $\omega$ कोणीय आवृत्ति है।
दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर,हमें $\omega^2 = b$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\omega = \sqrt{b}$।
$SHM$ का आवर्त काल $T$ सूत्र $T = \frac{2 \pi}{\omega}$ द्वारा दिया जाता है।
$\omega$ का मान प्रतिस्थापित करने पर,हमें $T = \frac{2 \pi}{\sqrt{b}}$ प्राप्त होता है।

(D) सही विकल्प $D$ है।
अवधारणा: $S.H.M.$ के लिए मानक अवकल समीकरण $\frac{d^2 x}{dt^2} + \omega^2 x = 0$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\omega$ कोणीय आवृत्ति है।
दिए गए समीकरण $\frac{d^2 x}{dt^2} + \alpha x = 0$ की तुलना मानक समीकरण से करने पर,हमें $\omega^2 = \alpha$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\omega = \sqrt{\alpha}$।
गति का आवर्तकाल $T$,$T = \frac{2 \pi}{\omega}$ के रूप में परिभाषित है।
$\omega$ का मान प्रतिस्थापित करने पर,हमें $T = \frac{2 \pi}{\sqrt{\alpha}}$ प्राप्त होता है।

(D) $S.H.M.$ के लिए,त्वरण $a$ विस्थापन $x$ के समानुपाती होता है और यह कण की माध्य स्थिति की ओर निर्देशित होता है:
$a = -\omega^2 x = -px$
जहाँ $\omega$ $S.H.M.$ की कोणीय आवृत्ति है।
दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर,हमें $\omega^2 = p$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\omega = \sqrt{p}$।
दोलन का आवर्तकाल $T$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$T = \frac{2 \pi}{\omega}$
$\omega$ का मान प्रतिस्थापित करने पर:
$T = \frac{2 \pi}{\sqrt{p}}$

(B) सरल आवर्त गति $(SHM)$ के लिए मानक अवकल समीकरण $\frac{d^2 x}{d t^2} + \omega^2 x = 0$ है,जिसे $\frac{d^2 x}{d t^2} = -\omega^2 x$ के रूप में लिखा जा सकता है।
दिया गया समीकरण: $\alpha \frac{d^2 x}{d t^2} + \beta x = 0$.
दिए गए समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\frac{d^2 x}{d t^2} = -\frac{\beta}{\alpha} x$.
इसे मानक रूप $\frac{d^2 x}{d t^2} = -\omega^2 x$ के साथ तुलना करने पर,हमें $\omega^2 = \frac{\beta}{\alpha}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\omega = \sqrt{\frac{\beta}{\alpha}}$.
आवर्तकाल $T$ का मान $T = \frac{2 \pi}{\omega}$ द्वारा दिया जाता है।
$\omega$ का मान प्रतिस्थापित करने पर: $T = \frac{2 \pi}{\sqrt{\frac{\beta}{\alpha}}} = 2 \pi \sqrt{\frac{\alpha}{\beta}}$.

(B) रैखिक $S.H.M.$ के लिए मानक समीकरण $x = A \sin(\omega t + \phi)$ है।
दिए गए समीकरण $x = 0.25 \sin(11t + 0.5)$ की तुलना मानक समीकरण से करने पर,हमें कोणीय आवृत्ति $\omega = 11 \ rad/s$ प्राप्त होती है।
$S.H.M.$ का आवर्तकाल $T$,कोणीय आवृत्ति से $T = \frac{2\pi}{\omega}$ सूत्र द्वारा संबंधित है।
दिए गए मान $\pi = \frac{22}{7}$ और $\omega = 11$ रखने पर:
$T = \frac{2 \times (22/7)}{11} = \frac{2 \times 22}{11 \times 7} = \frac{44}{77} = \frac{4}{7} \ s$.
अतः,$S.H.M.$ का आवर्तकाल $\frac{4}{7} \ s$ है।

(C) दिया गया विस्थापन समीकरण $y = A \sin \omega t - B \cos \omega t$ है।
आयाम ज्ञात करने के लिए,हम समीकरण को $y = R \sin(\omega t - \phi)$ के रूप में व्यक्त करते हैं।
माना $A = R \cos \phi$ और $B = R \sin \phi$ है।
तब,$y = R \cos \phi \sin \omega t - R \sin \phi \cos \omega t = R \sin(\omega t - \phi)$ होगा।
$A$ और $B$ के व्यंजकों का वर्ग करके जोड़ने पर:
$A^2 + B^2 = R^2 \cos^2 \phi + R^2 \sin^2 \phi = R^2(\cos^2 \phi + \sin^2 \phi) = R^2$.
अतः,आयाम $R = \sqrt{A^2 + B^2}$ होगा।

(A) दिया गया है: अधिकतम गति,$v_{\max} = 0.5 \ m s^{-1}$; अधिकतम त्वरण,$a_{\max} = 1.0 \ m s^{-2}$.
हम जानते हैं कि $SHM$ के लिए,अधिकतम गति $v_{\max} = \omega A$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\omega$ कोणीय आवृत्ति है और $A$ आयाम है।
साथ ही,अधिकतम त्वरण $a_{\max} = \omega^2 A$ द्वारा दिया जाता है।
अधिकतम त्वरण के समीकरण को अधिकतम गति के समीकरण से विभाजित करने पर:
$\frac{a_{\max}}{v_{\max}} = \frac{\omega^2 A}{\omega A} = \omega$.
दिए गए मानों को रखने पर:
$\omega = \frac{1.0 \ m s^{-2}}{0.5 \ m s^{-1}} = 2 \ rad \ s^{-1}$.
अतः,दोलन की कोणीय आवृत्ति $2 \ rad \ s^{-1}$ है।

(B) दिया गया फलन $f(t) = \sin^2 \omega t$ है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin^2 \theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2}$ का उपयोग करते हुए,हम फलन को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$f(t) = \frac{1 - \cos(2\omega t)}{2} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cos(2\omega t)$.
पद $\cos(2\omega t)$ कोणीय आवृत्ति $\omega' = 2\omega$ वाले एक आवर्ती फलन को दर्शाता है।
किसी आवर्ती फलन $\cos(\omega' t)$ का आवर्तकाल $T = \frac{2\pi}{\omega'}$ द्वारा दिया जाता है।
$\omega' = 2\omega$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $T = \frac{2\pi}{2\omega} = \frac{\pi}{\omega}$ प्राप्त होता है।
अतः,गति का आवर्तकाल $\frac{\pi}{\omega} \ s$ है।

(D) सरल आवर्त गति के लिए सामान्य समीकरण $x = A \cos (\omega t + \phi)$ है।
दिए गए समीकरण $x = 0.5 \cos (125.6 t)$ की तुलना सामान्य समीकरण से करने पर,हमें कोणीय आवृत्ति $\omega = 125.6 \ rad/s$ प्राप्त होती है।
दोलन काल $T$ और कोणीय आवृत्ति $\omega$ के बीच का संबंध $T = \frac{2\pi}{\omega}$ है।
मान रखने पर,हमें $T = \frac{2 \times 3.14}{125.6}$ प्राप्त होता है।
$T = \frac{6.28}{125.6} = 0.05 \ s$।
अतः,दोलन काल $0.05 \ s$ है।

(D) गति का दिया गया समीकरण $4 \frac{d^2 y}{dt^2} + \pi^2 y = 0$ है।
$4$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{d^2 y}{dt^2} + \frac{\pi^2}{4} y = 0$ प्राप्त होता है।
सरल आवर्त गति के लिए सामान्य समीकरण $\frac{d^2 y}{dt^2} + \omega^2 y = 0$ है।
दोनों समीकरणों की तुलना करने पर,हमें $\omega^2 = \frac{\pi^2}{4}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\omega = \frac{\pi}{2} \ rad/s$।
आवर्तकाल $T$ का सूत्र $T = \frac{2\pi}{\omega}$ है।
$\omega$ का मान रखने पर,हमें $T = \frac{2\pi}{\pi/2} = 2\pi \times \frac{2}{\pi} = 4 \ s$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया है कि कण पर कार्य करने वाला बल $F = -kx + F_0$ है।
हम इसे $F = -k(x - \frac{F_0}{k})$ के रूप में लिख सकते हैं।
मान लीजिए $y = x - \frac{F_0}{k}$,तो बल $F = -ky$ हो जाता है।
यह सरल आवर्त गति $(SHM)$ के लिए प्रत्यानयन बल का मानक रूप है,जहाँ माध्य स्थिति $F = 0$ द्वारा परिभाषित होती है।
$F = 0$ रखने पर,हमें $-k(x - \frac{F_0}{k}) = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x = \frac{F_0}{k}$।
अतः,कण $x = \frac{F_0}{k}$ माध्य स्थिति के परितः दोलन करेगा।
$F = -ky$ की तुलना मानक $SHM$ समीकरण $F = -m\omega^2 y$ से करने पर,हमें $m\omega^2 = k$ प्राप्त होता है।
इसलिए,कोणीय आवृत्ति $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$ है।

(A) सरल आवर्त गति $(SHM)$ के लिए,हम जानते हैं कि:
अधिकतम त्वरण $|a_{\max}| = \omega^2 A$ होता है।
अधिकतम वेग $|v_{\max}| = \omega A$ होता है।
यहाँ,$\omega$ कोणीय आवृत्ति है और $A$ आयाम है।
अतः,अधिकतम त्वरण और अधिकतम वेग का अनुपात है:
$\frac{|a_{\max}|}{|v_{\max}|} = \frac{\omega^2 A}{\omega A} = \omega$।

(D) दिया गया है: कण का द्रव्यमान $m = 0.4 \text{ kg}$,आयाम $A = 0.4 \text{ m}$,प्रारंभिक कला $\phi = \pi / 4$ है।
माध्य स्थिति पर गतिज ऊर्जा दोलक की कुल ऊर्जा के बराबर होती है,जो $KE = \frac{1}{2} m \omega^2 A^2$ द्वारा दी जाती है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $256 \times 10^{-3} = \frac{1}{2} \times 0.4 \times \omega^2 \times (0.4)^2$.
$0.256 = 0.2 \times \omega^2 \times 0.16$.
$0.256 = 0.032 \times \omega^2$.
$\omega^2 = \frac{0.256}{0.032} = 8$.
$\omega = \sqrt{8} = 2 \sqrt{2} \text{ rad/s}$.
सरल आवर्त गति का सामान्य समीकरण $x = A \sin(\omega t + \phi)$ है।
मानों को रखने पर,हमें $x = 0.4 \sin \left((2 \sqrt{2}) t + \frac{\pi}{4}\right)$ प्राप्त होता है।

(D) $SHM$ में कण का विस्थापन $x(t) = A \cos(\omega t + \phi)$ द्वारा दिया जाता है।
$t=0$ पर पहले कण के लिए,$x_1 = A$. अतः,$A = A \cos(\phi_1) \implies \phi_1 = 0$.
इस प्रकार,$x_1(t) = A \cos(\omega t)$.
$t=0$ पर दूसरे कण के लिए,$x_2 = -A/2$. अतः,$-A/2 = A \cos(\phi_2) \implies \phi_2 = 2\pi/3$ या $4\pi/3$. चूंकि कण पहले कण की ओर आ रहा है (धनात्मक दिशा की ओर गति कर रहा है),इसका वेग $v_2 = -A\omega \sin(\phi_2)$ धनात्मक होना चाहिए। अतः,$\sin(\phi_2)$ ऋणात्मक होना चाहिए,इसलिए $\phi_2 = 4\pi/3$.
इस प्रकार,$x_2(t) = A \cos(\omega t + 4\pi/3)$.
वे तब पार करते हैं जब $x_1(t) = x_2(t)$:
$A \cos(\omega t) = A \cos(\omega t + 4\pi/3)$.
$\cos(\theta) = \cos(2\pi - \theta)$ का उपयोग करते हुए,हमें मिलता है $\omega t = 2\pi - (\omega t + 4\pi/3) = 2\pi - \omega t - 4\pi/3$.
$2\omega t = 2\pi/3 \implies \omega t = \pi/3$.
चूंकि $\omega = 2\pi/T$,हमें मिलता है $(2\pi/T)t = \pi/3 \implies t = T/6$.

(D) विस्थापन का समीकरण $x(t) = 8 \sin \left( \frac{\pi t}{4} \right) \text{ cm}$ है।
$t = 0 \text{ s}$ पर,विस्थापन $x(0) = 8 \sin(0) = 0 \text{ cm}$ है।
$t = 2 \text{ s}$ पर,विस्थापन $x(2) = 8 \sin \left( \frac{\pi \times 2}{4} \right) = 8 \sin \left( \frac{\pi}{2} \right) = 8 \times 1 = 8 \text{ cm}$ है।
समय अंतराल $t = 0 \text{ s}$ से $t = 2 \text{ s}$ में विस्थापन $\Delta x = x(2) - x(0) = 8 \text{ cm} - 0 \text{ cm} = 8 \text{ cm}$ है।

(C) दिया गया है,आयाम $A = 2 \,m$।
अधिकतम त्वरण $a_{max} = A \omega^2$ और अधिकतम वेग $v_{max} = A \omega$ है।
प्रश्न के अनुसार,$|A \omega^2| - |A \omega| = 4$।
$A = 2$ रखने पर:
$2 \omega^2 - 2 \omega = 4$
$\omega^2 - \omega - 2 = 0$
$(\omega - 2)(\omega + 1) = 0$।
चूंकि $\omega > 0$,हमें $\omega = 2 \,rad/s$ प्राप्त होता है।
आवर्तकाल $T = \frac{2 \pi}{\omega} = \frac{2 \pi}{2} = \pi = \frac{22}{7} \,s$।
विस्थापन $y = 1 \,m$ पर वेग $v = \omega \sqrt{A^2 - y^2}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
$v = 2 \sqrt{2^2 - 1^2} = 2 \sqrt{4 - 1} = 2 \sqrt{3} \,ms^{-1}$।

(B) दिया गया है कि कण का तात्कालिक विस्थापन $x = A \sin^2(\omega t - \frac{\pi}{4})$ है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin^2 \theta = \frac{1 - \cos(2\theta)}{2}$ का उपयोग करते हुए,हम व्यंजक को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$x = A \left[ \frac{1 - \cos(2(\omega t - \frac{\pi}{4}))}{2} \right]$
$x = \frac{A}{2} [1 - \cos(2\omega t - \frac{\pi}{2})]$
सरल आवर्त गति में,सामान्य रूप $x = x_0 + A' \cos(\omega' t + \phi)$ होता है।
इस व्यंजक की तुलना करने पर,दोलन की कोणीय आवृत्ति $\omega' = 2\omega$ प्राप्त होती है।
आवर्तकाल $T'$ का सूत्र $T' = \frac{2\pi}{\omega'}$ है।
$\omega' = 2\omega$ रखने पर,हमें $T' = \frac{2\pi}{2\omega} = \frac{\pi}{\omega}$ प्राप्त होता है।

(A) कण का द्रव्यमान $m = 0.1 \ kg$ है।
$\text{SHM}$ करने वाले कण का आयाम $A = 0.1 \ m$ है।
कण की प्रारंभिक कला $\phi = 45^{\circ} = \pi/4$ है।
$\text{SHM}$ करने वाले कण का सामान्य समीकरण $x(t) = A \sin(\omega t + \phi)$ है।
जब कण माध्य स्थिति से गुजरता है,तो उसकी गतिज ऊर्जा अधिकतम होती है,जो इस प्रकार है:
$KE_{max} = \frac{1}{2} m \omega^2 A^2 = 8 \times 10^{-3} \ J$.
मान रखने पर:
$\frac{1}{2} \times 0.1 \times \omega^2 \times (0.1)^2 = 8 \times 10^{-3}$.
$0.05 \times \omega^2 \times 0.01 = 8 \times 10^{-3}$.
$0.0005 \times \omega^2 = 0.008$.
$\omega^2 = \frac{0.008}{0.0005} = 16$.
$\omega = 4 \ rad/s$.
$\omega$,$A$,और $\phi$ के मानों को सामान्य समीकरण में रखने पर:
$x(t) = 0.1 \sin(4t + \pi/4)$.

(C) सरल आवर्त गति $(SHM)$ करने वाले कण के लिए,द्रव्यमान $m = 4 \text{ mg} = 4 \times 10^{-6} \text{ kg}$ है।
कोणीय आवृत्ति $\omega = 40 \text{ rad s}^{-1}$ है।
स्थितिज ऊर्जा $V(x) = a + bx^2$ द्वारा दी गई है।
प्रत्यानयन बल $F = -\frac{dV}{dx} = -\frac{d}{dx}(a + bx^2) = -2bx$ होता है।
$SHM$ के लिए,प्रत्यानयन बल $F = -m\omega^2x$ भी होता है।
बल के दोनों समीकरणों की तुलना करने पर,$2b = m\omega^2$ प्राप्त होता है।
अतः,$b = \frac{m\omega^2}{2}$.
मान रखने पर: $b = \frac{(4 \times 10^{-6} \text{ kg}) \times (40 \text{ rad s}^{-1})^2}{2}$.
$b = \frac{4 \times 10^{-6} \times 1600}{2} = 2 \times 10^{-6} \times 1600 = 3200 \times 10^{-6} \text{ J m}^{-2}$.

(C) दिया गया विस्थापन समीकरण $x = 4(\cos \pi t + \sin \pi t)$ है।
आयाम ज्ञात करने के लिए,हम समीकरण को $x = A \sin(\omega t + \phi)$ के रूप में व्यक्त करते हैं।
$\sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$ से गुणा और भाग करने पर:
$x = 4 \sqrt{2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \cos \pi t + \frac{1}{\sqrt{2}} \sin \pi t \right)$.
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $\sin \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ और $\cos \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ है:
$x = 4 \sqrt{2} \left( \sin \frac{\pi}{4} \cos \pi t + \cos \frac{\pi}{4} \sin \pi t \right)$.
$x = 4 \sqrt{2} \sin \left( \pi t + \frac{\pi}{4} \right)$.
इसे मानक $SHM$ समीकरण $x = A \sin(\omega t + \phi)$ के साथ तुलना करने पर,आयाम $A = 4 \sqrt{2}$ प्राप्त होता है।

(C) गति का दिया गया समीकरण: $x(t) = A \sin^2(\alpha t)$ है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin^2 \theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2}$ का उपयोग करते हुए, हम समीकरण को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$x(t) = A \left[ \frac{1 - \cos(2\alpha t)}{2} \right] = \frac{A}{2} - \frac{A}{2} \cos(2\alpha t)$।
सरल आवर्त गति $(SHM)$ के लिए सामान्य समीकरण $x(t) = a_1 + a_2 \cos(\omega t)$ है, जहाँ $\omega$ कोणीय आवृत्ति है।
दिए गए समीकरण की तुलना सामान्य रूप से करने पर, हम कोणीय आवृत्ति $\omega = 2\alpha$ प्राप्त करते हैं।
कोणीय आवृत्ति $\omega$ और आवर्तकाल $T$ के बीच संबंध $\omega = \frac{2\pi}{T}$ होता है।
दिया गया है कि $T = 0.2 \ s$, इसलिए:
$2\alpha = \frac{2\pi}{0.2}$
$\alpha = \frac{\pi}{0.2} = \frac{\pi}{1/5} = 5\pi \ rad/s$।
अतः, $\alpha$ का मान $5\pi \ rad/s$ है।

(D) सरल आवर्त गति एक आवर्ती गति है।
परिभाषा के अनुसार,आवर्तकाल $T$ समय का वह न्यूनतम अंतराल है जिसके बाद कण की गति स्वयं को दोहराती है।
इसका अर्थ है कि किसी भी समय $t = nT$ (जहाँ $n$ एक पूर्णांक है) पर,कण अपनी प्रारंभिक स्थिति में वापस आ जाता है।
चूंकि कण अपनी प्रारंभिक स्थिति से गति शुरू करता है,इसलिए $2T$ समय के बाद,वह दो पूर्ण चक्र पूरे कर लेगा और वापस शुरुआती बिंदु पर आ जाएगा।
अतः,प्रारंभिक स्थिति से विस्थापन $0$ होगा।

(B) सरल आवर्त गति का सामान्य समीकरण $x = A \cos(\omega t)$ है।
दिए गए समीकरण $x = 2 \cos(t)$ की तुलना सामान्य समीकरण से करने पर,हमें कोणीय आवृत्ति $\omega = 1 \text{ rad/s}$ प्राप्त होती है।
आवर्तकाल $T$ और कोणीय आवृत्ति $\omega$ के बीच का संबंध $T = \frac{2 \pi}{\omega}$ है।
$\omega$ का मान रखने पर:
$T = \frac{2 \pi}{1} = 2 \pi \text{ s}$।
अतः,कण का आवर्तकाल $2 \pi \text{ सेकंड}$ है।

(C) दिया गया समीकरण: $4v^2 = 25 - x^2$ है।
$4$ से भाग देने पर,हमें $v^2 = \frac{25}{4} - \frac{x^2}{4}$ प्राप्त होता है।
इस समीकरण की तुलना सरल आवर्त गति $(SHM)$ के मानक समीकरण $v^2 = \omega^2(A^2 - x^2)$ से करने पर,हम इसे $v^2 = \frac{1}{4}(25 - x^2)$ के रूप में लिख सकते हैं।
अतः,$\omega^2 = \frac{1}{4}$,जिसका अर्थ है कि $\omega = \frac{1}{2} \text{ rad/s}$।
आवर्तकाल $T$ का सूत्र $T = \frac{2\pi}{\omega}$ है।
$\omega$ का मान रखने पर: $T = \frac{2\pi}{1/2} = 4\pi \text{ s}$।

(A) $SHM$ के लिए विस्थापन समीकरण $x = A \sin(\omega t + \phi)$ द्वारा दिया जाता है।
समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $\frac{dx}{dt} = A \omega \cos(\omega t + \phi)$ प्राप्त होता है।
सर्वसमिका $\cos \theta = \sqrt{1 - \sin^2 \theta}$ का उपयोग करते हुए,$\frac{dx}{dt} = A \omega \sqrt{1 - \sin^2(\omega t + \phi)}$ प्राप्त होता है।
$\sin(\omega t + \phi) = \frac{x}{A}$ प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{dx}{dt} = A \omega \sqrt{1 - \frac{x^2}{A^2}}$ प्राप्त होता है।
इसे सरल करने पर,$\frac{dx}{dt} = \omega \sqrt{A^2 - x^2}$ प्राप्त होता है।
चूँकि $A^2 - x^2 = -(x^2 - A^2)$,हम लिख सकते हैं कि $\frac{dx}{dt} = \omega \sqrt{-(x^2 - A^2)}$।
$i = \sqrt{-1}$ का उपयोग करने पर,हमें $\frac{dx}{dt} = i \omega \sqrt{x^2 - A^2}$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया समीकरण $x = 4(\cos \pi t + \sin \pi t)$ है।
हम इसे $x = A \sin(\omega t + \phi)$ या $x = A \cos(\omega t + \phi)$ के रूप में फिर से लिख सकते हैं।
$\sqrt{4^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$ से गुणा और भाग करने पर।
$x = 4\sqrt{2} \left( \frac{4}{4\sqrt{2}} \cos \pi t + \frac{4}{4\sqrt{2}} \sin \pi t \right)$.
$x = 4\sqrt{2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \cos \pi t + \frac{1}{\sqrt{2}} \sin \pi t \right)$.
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ का उपयोग करके,हम लिख सकते हैं:
$x = 4\sqrt{2} \sin(\pi t + \frac{\pi}{4})$.
इसे मानक समीकरण $x = A \sin(\omega t + \phi)$ के साथ तुलना करने पर,आयाम $A = 4\sqrt{2}$ प्राप्त होता है।

(A) वेग $v$,विस्थापन $x$ का समय $t$ के सापेक्ष अवकलन है: $v = \frac{dx}{dt} = 50a \cos(50t + \frac{\pi}{3})$.
कण के विराम अवस्था में आने के लिए,$v = 0$ होना चाहिए। अतः,$\cos(50t + \frac{\pi}{3}) = 0$। पहला धनात्मक मान तब प्राप्त होता है जब $50t + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2}$,जिससे $50t = \frac{\pi}{6}$ प्राप्त होता है,अतः $t_1 = \frac{\pi}{300} \text{ s}$।
त्वरण $a_{acc}$,वेग $v$ का समय $t$ के सापेक्ष अवकलन है: $a_{acc} = \frac{dv}{dt} = -2500a \sin(50t + \frac{\pi}{3})$.
शून्य त्वरण के लिए,$a_{acc} = 0$ होना चाहिए। अतः,$\sin(50t + \frac{\pi}{3}) = 0$। पहला धनात्मक मान तब प्राप्त होता है जब $50t + \frac{\pi}{3} = \pi$,जिससे $50t = \frac{2\pi}{3}$ प्राप्त होता है,अतः $t_2 = \frac{2\pi}{150} = \frac{\pi}{75} \text{ s}$।
अतः,$t_1 = \frac{\pi}{300} \text{ s}$ और $t_2 = \frac{\pi}{75} \text{ s}$ है।

(B) दिए गए फलनों का विश्लेषण इस प्रकार है:
$A$. $\sin^2 \omega t = \frac{1-\cos 2\omega t}{2}$. यह $T = \pi/\omega$ आवर्तकाल वाला एक आवर्ती फलन है, लेकिन यह सरल आवर्त गति $(SHM)$ नहीं है क्योंकि इसमें एक अचर पद और $2\omega$ आवृत्ति है। अतः, $A-II$.
$B$. $\sin^3 \omega t = \frac{3\sin \omega t - \sin 3\omega t}{4}$. यह $T = 2\pi/\omega$ आवर्तकाल वाला एक आवर्ती फलन है, लेकिन यह $SHM$ नहीं है क्योंकि इसमें कई आवृत्तियाँ शामिल हैं। अतः, $B-I$.
$C$. $\sin \omega t + \cos \pi \omega t$ अ-आवर्ती है क्योंकि आवृत्तियों का अनुपात $\omega/\pi\omega = 1/\pi$ एक अपरिमेय संख्या है। अतः, $C-III$.
$D$. $\cos \omega t + \cos 2\omega t$ एक आवर्ती फलन है जिसका आवर्तकाल $T = 2\pi/\omega$ है, लेकिन यह $SHM$ नहीं है क्योंकि यह दो अलग-अलग आवृत्तियों का अध्यारोपण है। अतः, $D-IV$.
इसलिए, सही मिलान $A-II, B-I, C-III, D-IV$ है।