दोलन (Oscillation) और कंपन (Vibration) के बीच अंतर लिखिए।

फलन $f(t) = A \cos \omega t$ के लिए आवर्तकाल $T = \frac{2\pi}{\omega}$ क्यों लिया जाता है?

जब $m$ द्रव्यमान का एक कण $x$-अक्ष पर $V(x)=kx^2$ के रूप के विभव में गति करता है,तो यह सरल आवर्त गति करता है। इसका आवर्तकाल $\sqrt{\frac{m}{k}}$ के समानुपाती होता है,जिसे विमीय विश्लेषण का उपयोग करके आसानी से देखा जा सकता है। हालाँकि,कण की गति तब भी आवर्ती हो सकती है जब उसकी स्थितिज ऊर्जा $x=0$ के दोनों ओर $kx^2$ से अलग तरीके से बढ़ती है और उसकी कुल ऊर्जा ऐसी होती है कि कण अनंत तक पलायन नहीं करता है। $m$ द्रव्यमान के एक कण पर विचार करें जो $x$-अक्ष पर गति कर रहा है। इसकी स्थितिज ऊर्जा मूल बिंदु के निकट $|x|$ के लिए $V(x)=\alpha x^4$ $(\alpha>0)$ है और $|x| \geq X_0$ के लिए $V_0$ के बराबर एक स्थिरांक हो जाती है (चित्र देखें)।
$1.$ यदि कण की कुल ऊर्जा $E$ है,तो यह आवर्ती गति केवल तभी करेगा यदि
$(A)$ $E < 0$
$(B)$ $E > 0$
$(C)$ $V_0 > E > 0$
$(D)$ $E > V_0$
$2.$ छोटे आयाम $A$ की आवर्ती गति के लिए,इस कण का आवर्तकाल $T$ किसके समानुपाती है?
$(A)$ $A \sqrt{\frac{m}{\alpha}}$
$(B)$ $\frac{1}{A} \sqrt{\frac{m}{\alpha}}$
$(C)$ $A \sqrt{\frac{\alpha}{m}}$
$(D)$ $A \sqrt{\frac{\alpha}{m}}$
$3.$ $|x|>X_0$ के लिए इस कण का त्वरण है
$(A)$ $V_0$ के समानुपाती
$(B)$ $\frac{V_0}{mX_0}$ के समानुपाती
$(C)$ $\sqrt{\frac{V_0}{mX_0}}$ के समानुपाती
$(D)$ शून्य
प्रश्न $1, 2$ और $3$ के उत्तर दें।

यदि सरल आवर्त गति कर रहे एक कण का विस्थापन $x = 0.5 \cos (125.6 t)$ द्वारा दिया गया है,तो कण का दोलन काल लगभग कितना होगा ($s$ में)? (यहाँ $x$ मीटर में विस्थापन है और $t$ सेकंड में समय है)

सरल आवर्त गति $(SHM)$ कर रहे कण के लिए विस्थापन और वेग,विस्थापन और त्वरण,तथा वेग और त्वरण के बीच का कलांतर (phase difference) लिखिए।

सरल आवर्त गति करते हुए एक कण की गति को विस्थापन फलन $x(t) = A \cos (\omega t + \phi)$ द्वारा वर्णित किया गया है। यदि कण की प्रारंभिक $(t = 0)$ स्थिति $1 \; cm$ है और इसका प्रारंभिक वेग $\omega \; cm/s$ है,तो इसका आयाम और प्रारंभिक कला कोण क्या है? कण की कोणीय आवृत्ति $\pi \; s^{-1}$ है। यदि कोसाइन फलन के बजाय,हम $SHM$ का वर्णन करने के लिए साइन फलन चुनें: $x = B \sin (\omega t + \alpha)$,तो उपरोक्त प्रारंभिक स्थितियों के साथ कण का आयाम और प्रारंभिक कला क्या होगी?