Periodic, Oscillatory motion and its characteristics and types of SHM and Equation of SHM Questions in Hindi

(D) दिया गया विस्थापन संबंध: $x = 3 \sin 100t + 8 \cos^2 50t$ है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $2 \cos^2 A = 1 + \cos 2A$ का उपयोग करते हुए,हम व्यंजक को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$x = 3 \sin 100t + 4(1 + \cos 100t)$
$x = 3 \sin 100t + 4 \cos 100t + 4$
मान लीजिए $y = x - 4$,तो $y = 3 \sin 100t + 4 \cos 100t$ है।
यह $\omega = 100 \text{ rad/s}$ कोणीय आवृत्ति के साथ $S.H.M.$ का मानक रूप है।
आयाम $A = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = 5 \text{ units}$ प्राप्त होता है।
चूंकि गति माध्य स्थिति $x = 4$ के परितः $S.H.M.$ है,इसलिए विस्थापन $y$,$-5$ और $+5$ के बीच दोलन करता है।
अतः,$x = y + 4$,$4 - 5 = -1$ और $4 + 5 = 9$ के बीच दोलन करता है।
मूल बिंदु से अधिकतम विस्थापन $9 \text{ units}$ है।
इसलिए,कथन $(B)$ और $(C)$ दोनों सही हैं।

(C) प्रथम समीकरण के लिए: $y = 2A \cos^2 \omega t$.
सर्वसमिका $\cos^2 \theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}$ का उपयोग करने पर,हमें $y = A(1 + \cos 2\omega t)$ प्राप्त होता है,जो $y - A = A \cos 2\omega t$ है।
यह $A_1 = A$ आयाम और $\omega_1 = 2\omega$ कोणीय आवृत्ति के साथ $S.H.M.$ को दर्शाता है।
अधिकतम चाल $v_{max1} = A_1 \omega_1 = A(2\omega) = 2A\omega$ है।
दूसरे समीकरण के लिए: $y = A(\sin \omega t + \sqrt{3} \cos \omega t)$.
$2$ से गुणा और भाग करने पर,हमें $y = 2A(\frac{1}{2} \sin \omega t + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos \omega t) = 2A \sin(\omega t + \frac{\pi}{3})$ प्राप्त होता है।
यह $A_2 = 2A$ आयाम और $\omega_2 = \omega$ कोणीय आवृत्ति के साथ $S.H.M.$ को दर्शाता है।
अधिकतम चाल $v_{max2} = A_2 \omega_2 = (2A)\omega = 2A\omega$ है।
अधिकतम चालों का अनुपात $\frac{v_{max1}}{v_{max2}} = \frac{2A\omega}{2A\omega} = 1 : 1$ है।

(B) सरल आवर्त गति में,चरम स्थिति से विरामावस्था में शुरू करते हुए:
$t=0$ पर,$x=A$ है।
विस्थापन समीकरण $x = A \cos \omega t$ है।
जब $t = \tau$ होता है,तो तय की गई दूरी $a$ है,इसलिए स्थिति $x = A - a$ है।
$A - a = A \cos \omega \tau \implies \cos \omega \tau = \frac{A - a}{A} \quad ...(i)$
जब $t = 2\tau$ होता है,तो कुल तय की गई दूरी $a + 2a = 3a$ है,इसलिए स्थिति $x = A - 3a$ है।
$A - 3a = A \cos 2\omega \tau \quad ...(ii)$
सर्वसमिका $\cos 2\theta = 2 \cos^2 \theta - 1$ का उपयोग करते हुए:
$\frac{A - 3a}{A} = 2 \left( \frac{A - a}{A} \right)^2 - 1$
$A - 3a = A \left( 2 \frac{(A - a)^2}{A^2} - 1 \right) = \frac{2(A^2 + a^2 - 2Aa) - A^2}{A} = \frac{A^2 + 2a^2 - 4Aa}{A}$
$A^2 - 3aA = A^2 + 2a^2 - 4Aa$
$aA = 2a^2 \implies A = 2a$.
$A = 2a$ को समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$\cos \omega \tau = \frac{2a - a}{2a} = \frac{1}{2}$.
चूंकि $\cos \omega \tau = \cos \frac{\pi}{3}$,इसलिए $\omega \tau = \frac{\pi}{3}$ प्राप्त होता है।
$\frac{2\pi}{T} \tau = \frac{\pi}{3} \implies T = 6\tau$.

(D) $SHM$ के लिए मानक अवकल समीकरण $\frac{d^2x}{dt^2} + \omega^2 x = 0$ है।
दिए गए समीकरण $\frac{d^2x}{dt^2} + ax = 0$ की तुलना मानक समीकरण से करने पर,हमें $\omega^2 = a$ प्राप्त होता है।
अतः,कोणीय आवृत्ति $\omega = \sqrt{a}$ है।
आवर्तकाल $T$ और कोणीय आवृत्ति के बीच का संबंध $T = \frac{2 \pi}{\omega}$ है।
$\omega$ का मान रखने पर,हमें $T = \frac{2 \pi}{\sqrt{a}}$ प्राप्त होता है।

(C) गति का दिया गया समीकरण: $x = A \sin \omega t + B \cos \omega t$ है।
इसे $x = R \sin(\omega t + \phi)$ के रूप में व्यक्त करने के लिए,हम $\sqrt{A^2 + B^2}$ से गुणा और भाग करते हैं:
$x = \sqrt{A^2 + B^2} \left[ \frac{A}{\sqrt{A^2 + B^2}} \sin \omega t + \frac{B}{\sqrt{A^2 + B^2}} \cos \omega t \right]$.
माना $\frac{A}{\sqrt{A^2 + B^2}} = \cos \phi$ और $\frac{B}{\sqrt{A^2 + B^2}} = \sin \phi$ है।
तब समीकरण $x = \sqrt{A^2 + B^2} (\sin \omega t \cos \phi + \cos \omega t \sin \phi)$ हो जाता है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$ का उपयोग करने पर:
$x = \sqrt{A^2 + B^2} \sin(\omega t + \phi)$.
यह $R = \sqrt{A^2 + B^2}$ आयाम वाली सरल आवर्त गति $(SHM)$ को दर्शाता है।

(C) त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करके,हम समीकरण को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$x = \frac{A}{2}(1 - \cos 2\omega t) + \frac{B}{2}(1 + \cos 2\omega t) + \frac{C}{2} \sin 2\omega t$
$x = \frac{A+B}{2} + \frac{B-A}{2} \cos 2\omega t + \frac{C}{2} \sin 2\omega t$
किसी फलन के $SHM$ को प्रदर्शित करने के लिए,उसे $x = x_0 + A' \sin(2\omega t + \phi)$ के रूप में होना चाहिए।
$(A)$ यदि $A=0, B=0, C \neq 0$ हो,तो $x = \frac{C}{2} \sin 2\omega t$. यह $SHM$ को प्रदर्शित करता है।
$(B)$ यदि $A=-B, C=2B$ हो,तो $x = 0 + B \cos 2\omega t + B \sin 2\omega t$. यह समान आवृत्ति वाली साइन और कोसाइन तरंगों का संयोजन है,जो $|B\sqrt{2}|$ आयाम के साथ $SHM$ को प्रदर्शित करता है।
$(C)$ यदि $A=B, C=0$ हो,तो $x = \frac{A+A}{2} + \frac{A-A}{2} \cos 2\omega t + 0 = A$. चूँकि $x$ यहाँ स्थिर है,इसलिए यह $SHM$ को प्रदर्शित नहीं करता है।
$(D)$ यदि $A=B, C=2B$ हो,तो $x = A + B \sin 2\omega t$. यह $x=A$ माध्य स्थिति के परितः दोलन करते हुए $SHM$ को प्रदर्शित करता है।

(C) दिया गया विस्थापन समीकरण:
$y = 0.2 \sin (10 \pi t + 1.5 \pi) \cos (10 \pi t + 1.5 \pi)$
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin(2A) = 2 \sin A \cos A$ का उपयोग करते हुए,हम समीकरण को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$y = 0.1 \times [2 \sin (10 \pi t + 1.5 \pi) \cos (10 \pi t + 1.5 \pi)]$
$y = 0.1 \sin [2(10 \pi t + 1.5 \pi)]$
$y = 0.1 \sin (20 \pi t + 3 \pi)$
यह सरल आवर्त गति $(SHM)$ के मानक समीकरण $y = A \sin(\omega t + \phi)$ के रूप में है,जहाँ कोणीय आवृत्ति $\omega = 20 \pi \ rad/s$ है।
आवर्तकाल $T$ इस प्रकार है:
$T = \frac{2 \pi}{\omega} = \frac{2 \pi}{20 \pi} = \frac{1}{10} \ s = 0.1 \ s$.
अतः,यह गति $0.1 \ s$ के आवर्तकाल वाली सरल आवर्त गति है।

(C) दिया गया समीकरण: $x = 3 \sin 100t + 8 \cos^2 50t$.
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\cos^2 \theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}$ का उपयोग करने पर:
$x = 3 \sin 100t + 8 \left( \frac{1 + \cos 100t}{2} \right)$
$x = 3 \sin 100t + 4 + 4 \cos 100t$
$x = 3 \sin 100t + 4 \cos 100t + 4$
मान लीजिए $3 = A \cos \phi$ और $4 = A \sin \phi$,तो $A = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$.
समीकरण $x = 5 \sin(100t + \phi) + 4$ बन जाता है।
यह $x = 4$ माध्य स्थिति के चारों ओर $5 \text{ units}$ के आयाम के साथ $S.H.M.$ को दर्शाता है।
मूल बिंदु से अधिकतम विस्थापन $x_{max} = 4 + 5 = 9 \text{ units}$ है।
विकल्प $C$ गलत है क्योंकि आयाम $5$ है,$\sqrt{73}$ नहीं।

(B) दिया गया समीकरण: $y = \sin \omega t - \cos \omega t$ है।
$\sqrt{2}$ से गुणा और भाग करने पर:
$y = \sqrt{2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \sin \omega t - \frac{1}{\sqrt{2}} \cos \omega t \right)$ प्राप्त होता है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin(A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$ का उपयोग करते हुए:
$y = \sqrt{2} \sin \left( \omega t - \frac{\pi}{4} \right)$।
यह सरल आवर्त गति $(S.H.M.)$ के मानक समीकरण $y = A \sin(\omega t + \phi)$ के रूप में है,जहाँ $A$ आयाम है और $\omega$ कोणीय आवृत्ति है।
समीकरणों की तुलना करने पर,आयाम $A = \sqrt{2}$ है।
आवर्तकाल $T$ का मान $T = \frac{2\pi}{\omega}$ होता है।
अतः,यह गति $S.H.M.$ है जिसका आवर्तकाल $\frac{2\pi}{\omega}$ और आयाम $\sqrt{2}$ है।

(D) $S.H.M.$ के लिए सामान्य समीकरण $y = A \sin(\omega t + \phi)$ है।
यहाँ आयाम $A = 0.5\, cm$ और आवर्तकाल $T = 0.4\, s$ दिया गया है।
कोणीय आवृत्ति $\omega$ की गणना करने पर,$\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{0.4} = 5\pi\, rad/s$.
प्रारंभिक कला $\phi = \pi/2$ है।
इन मानों को सामान्य समीकरण में रखने पर:
$y = 0.5 \sin(5\pi t + \pi/2)$.
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin(\theta + \pi/2) = \cos(\theta)$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$y = 0.5 \cos(5\pi t)$.

(C) दिया गया विस्थापन समीकरण: $x = a \sin \omega t + b \cos \omega t$.
इसे सरल करने के लिए,हम $\sqrt{a^2 + b^2}$ से गुणा और भाग करते हैं:
$x = \sqrt{a^2 + b^2} \left( \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}} \sin \omega t + \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}} \cos \omega t \right)$.
मान लीजिए $\cos \phi = \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ और $\sin \phi = \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}}$.
तब समीकरण बन जाता है: $x = \sqrt{a^2 + b^2} (\sin \omega t \cos \phi + \cos \omega t \sin \phi)$.
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$x = A' \sin(\omega t + \phi)$,जहाँ $A' = \sqrt{a^2 + b^2}$ परिणामी आयाम है।
चूँकि विस्थापन $x = A' \sin(\omega t + \phi)$ के रूप में व्यक्त किया गया है,इसलिए गति सरल आवर्त है।
प्रत्येक सरल आवर्त गति आवर्ती भी होती है।
अतः,गति सरल आवर्त और आवर्ती दोनों है।

(D) दिया गया स्थिति सदिश: $\overrightarrow{r} = (\widehat{i} + 2\widehat{j}) A \cos \omega t$.
इसे $\overrightarrow{r} = x \widehat{i} + y \widehat{j}$ के साथ तुलना करने पर:
$x = A \cos \omega t$ $...(1)$
$y = 2A \cos \omega t$ $...(2)$
समीकरण $(1)$ से,$\cos \omega t = \frac{x}{A}$। इस मान को समीकरण $(2)$ में रखने पर:
$y = 2A \left( \frac{x}{A} \right) = 2x$.
चूंकि $y = 2x$ मूल बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण है,इसलिए गति एक सीधी रेखा पर है।
चूंकि $x = A \cos \omega t$ और $y = 2A \cos \omega t$ समय के फलन हैं जिनमें $\cos \omega t$ शामिल है,कण मूल बिंदु के चारों ओर दोलन करता है,जो सरल आवर्त गति है।
चूंकि गति $T = \frac{2\pi}{\omega}$ के समय अंतराल के बाद खुद को दोहराती है,इसलिए गति आवर्ती है।
अतः,दिए गए सभी कथन सही हैं।

(B) गति का दिया गया समीकरण $x = a \cos(\alpha t)$ है।
यह सरल आवर्त गति $(SHM)$ को दर्शाता है जहाँ कण माध्य स्थिति $x = 0$ के परितः $x = +a$ और $x = -a$ की सीमाओं के बीच दोलन करता है।
$1$. यदि कोई गति निश्चित समय अंतराल पर स्वयं को दोहराती है,तो उसे आवर्ती गति कहा जाता है। यहाँ,आवर्तकाल $T = \frac{2\pi}{\alpha}$ है,इसलिए गति आवर्ती है।
$2$. यदि कोई कण एक निश्चित माध्य स्थिति के इर्द-गिर्द आगे-पीछे गति करता है,तो उसे दोलनी गति कहा जाता है। चूँकि कण माध्य स्थिति $x = 0$ के परितः $x = +a$ और $x = -a$ के बीच दोलन करता है,इसलिए यह गति दोलनी है।
अतः,यह गति आवर्ती और दोलनी दोनों है।

(B) दिया गया है,$y = \sin^3 \omega t = \frac{1}{4} [3 \sin \omega t - \sin 3 \omega t]$।
सरल आवर्त गति $(SHM)$ को $y = A \sin(\omega t + \phi)$ के रूप में एक एकल ज्या (sine) या कोज्या (cosine) फलन द्वारा परिभाषित किया जाता है।
चूंकि दिया गया समीकरण अलग-अलग आवृत्तियों ($\omega$ और $3\omega$) वाले दो आवर्ती फलनों का अध्यारोपण है,इसलिए यह $SHM$ नहीं है।
हालाँकि,क्योंकि यह गति आवर्ती फलनों से बनी है,इसलिए कुल गति आवर्ती है।

(B) दिया गया विस्थापन समीकरण: $x = a \sin^2 \omega t$ है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin^2 \theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2}$ का उपयोग करते हुए,हम समीकरण को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$x = \frac{a}{2}(1 - \cos 2\omega t) = \frac{a}{2} - \frac{a}{2} \cos 2\omega t$ है।
यह समीकरण $x = \frac{a}{2}$ माध्य स्थिति के परितः सरल आवर्त गति $(SHM)$ को दर्शाता है,जिसका आयाम $\frac{a}{2}$ और कोणीय आवृत्ति $\omega' = 2\omega$ है।
गति की आवृत्ति $f$ का मान $f = \frac{\omega'}{2\pi} = \frac{2\omega}{2\pi} = \frac{\omega}{\pi}$ है।
अतः,यह गति $\frac{\omega}{\pi}$ आवृत्ति वाली सरल आवर्त गति है।

(C) कण $B$ त्रिज्या के वृत्त में $\omega = \frac{2\pi}{T}$ कोणीय वेग के साथ गति करता है।
$t=0$ पर,कण धनात्मक $y$-अक्ष पर है। जैसे-जैसे यह दक्षिणावर्त गति करता है,$t$ समय पर धनात्मक $y$-अक्ष के साथ बना कोण $\theta = \omega t = \frac{2\pi t}{T}$ होता है।
त्रिज्या सदिश धनात्मक $x$-अक्ष के साथ जो कोण $\phi$ बनाता है,वह $\phi = \frac{\pi}{2} - \theta = \frac{\pi}{2} - \omega t$ है।
त्रिज्या सदिश का $x$-प्रक्षेप $x(t) = B \cos(\phi) = B \cos\left( \frac{\pi}{2} - \omega t \right)$ है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\cos(\frac{\pi}{2} - \theta) = \sin(\theta)$ का उपयोग करने पर,हमें $x(t) = B \sin(\omega t) = B \sin\left( \frac{2\pi t}{T} \right)$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया समीकरण $x = x_0 \sin^2 \omega t$ है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin^2 \theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2}$ का उपयोग करते हुए,हम समीकरण को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$x = x_0 \left( \frac{1 - \cos 2\omega t}{2} \right) = \frac{x_0}{2} - \frac{x_0}{2} \cos 2\omega t$.
यह $\frac{x_0}{2}$ के स्थिर विस्थापन के साथ एक सरल आवर्त गति को दर्शाता है।
सरल आवर्त गति का मानक रूप $x' = A \cos(\omega' t + \phi)$ है,जहाँ $x' = x - \frac{x_0}{2}$ है।
यहाँ,आयाम $A = \frac{x_0}{2}$ और कोणीय आवृत्ति $\omega' = 2\omega$ है।
आवर्तकाल $T = \frac{2\pi}{\omega'} = \frac{2\pi}{2\omega} = \frac{\pi}{\omega}$ प्राप्त होता है।

(C) दोलन का आवर्तकाल $T$,$T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $T = \frac{\pi}{2}$ और $m = 1\,kg$ दिया गया है,इसलिए $\frac{\pi}{2} = 2\pi \sqrt{\frac{1}{k}}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\frac{1}{4} = 4 \cdot \frac{1}{k}$,जिससे $k = 16$ प्राप्त होता है।
छोटे दोलनों के लिए,प्रत्यानयन बल $F = -kx = -16x$ होता है।
छोटे $x$ के लिए $\sin x \approx x$ होता है,इसलिए हम $F = -16 \sin x$ लिख सकते हैं।
स्थितिज ऊर्जा $U$,$U = -\int F dx = -\int (-16 \sin x) dx = -16 \cos x + C$ द्वारा दी जाती है।
अतः,स्थितिज ऊर्जा $-16 \cos x$ हो सकती है।

(D) माना गति का समीकरण $x = A \cos(\omega t + \phi)$ है। सरलता के लिए,यदि $t=0$ पर कला शून्य है तो $x = A \cos(\omega t)$ का उपयोग किया जा सकता है।
दिए गए समय पर स्थितियाँ:
$a = A \cos(\omega t_0)$
$b = A \cos(2\omega t_0)$
$c = A \cos(3\omega t_0)$
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\cos(3\theta) + \cos(\theta) = 2 \cos(2\theta) \cos(\theta)$ का उपयोग करने पर:
$a + c = A \cos(3\omega t_0) + A \cos(\omega t_0) = A [2 \cos(2\omega t_0) \cos(\omega t_0)]$
$b = A \cos(2\omega t_0)$ का मान रखने पर:
$a + c = 2b \cos(\omega t_0)$
$\cos(\omega t_0) = \frac{a+c}{2b}$
$\omega t_0 = \cos^{-1} \left( \frac{a+c}{2b} \right)$
चूंकि $\omega = 2\pi f$,इसलिए $2\pi f t_0 = \cos^{-1} \left( \frac{a+c}{2b} \right)$
$f = \frac{1}{2\pi t_0} \cos^{-1} \left( \frac{a+c}{2b} \right)$

(D) रैखिक $S.H.M.$ में,कण पर कार्य करने वाला प्रत्यानयन बल $F$ संतुलन स्थिति से विस्थापन $x$ के सीधे समानुपाती होना चाहिए और संतुलन स्थिति की ओर निर्देशित होना चाहिए।
गणितीय रूप से,इसे $F = -bx$ के रूप में व्यक्त किया जाता है,जहाँ $b$ एक धनात्मक बल स्थिरांक है।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,$-bx$ (जहाँ $b$ एक धनात्मक स्थिरांक है) सरल आवर्त गति के लिए प्रत्यानयन बल को दर्शाता है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(A) दिया गया समीकरण: $y = 5(\sin 3\pi t + \sqrt{3} \cos 3\pi t) \ cm$.
हम इसे $y = A \sin(\omega t + \phi)$ के रूप में लिख सकते हैं।
$2$ से गुणा और भाग करने पर: $y = 5 \times 2 \left( \frac{1}{2} \sin 3\pi t + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos 3\pi t \right)$.
सर्वसमिका $\sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ का उपयोग करते हुए,$\cos \phi = 1/2$ और $\sin \phi = \sqrt{3}/2$ लेने पर,हमें $\phi = \pi/3$ प्राप्त होता है।
अतः,$y = 10 \sin(3\pi t + \pi/3) \ cm$.
आयाम $A = 10 \ cm$.
कोणीय आवृत्ति $\omega = 3\pi \ rad/s$.
आवर्तकाल $T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{3\pi} = \frac{2}{3} \ s$.

(A) प्रति इकाई द्रव्यमान स्थितिज ऊर्जा का सूत्र $v = \frac{1}{2} \omega^2 x^2$ है।
दिए गए व्यंजक $v = 8 \times 10^4 x^2$ के साथ तुलना करने पर,हमें $\frac{1}{2} \omega^2 = 8 \times 10^4$ प्राप्त होता है।
अतः,$\omega^2 = 16 \times 10^4$,जिससे $\omega = 400\, \text{rad/s}$ मिलता है।
कण की कुल ऊर्जा $E = \frac{1}{2} m \omega^2 A^2$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ $m = 10\, \text{g}$,$E = 8 \times 10^7\, \text{erg}$,और $\omega = 400\, \text{rad/s}$ है।
इन मानों को रखने पर: $8 \times 10^7 = \frac{1}{2} \times 10 \times (400)^2 \times A^2$.
$8 \times 10^7 = 5 \times 160000 \times A^2 = 800000 \times A^2$.
$A^2 = \frac{8 \times 10^7}{8 \times 10^5} = 100$.
अतः,$A = 10\, \text{cm}$.
इस प्रकार,विस्थापन का समीकरण $x = 10 \sin(400 t + \phi)\, \text{cm}$ है।

(C) त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\cos(A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B$ का उपयोग करके,हम दिए गए समीकरण को सरल बना सकते हैं:
$y = A(\cos 2\omega t \cos \omega t + \sin 2\omega t \sin \omega t)$
$y = A \cos(2\omega t - \omega t)$
$y = A \cos(\omega t)$
चूंकि फलन $y = A \cos(\omega t)$ सरल आवर्त गति को दर्शाता है,इसलिए फलन की प्रकृति सरल आवर्त (Simple harmonic) है।

(C) दिया गया समीकरण $4v^2 = 25 - x^2$ है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $x^2 + 4v^2 = 25$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों को $25$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{x^2}{25} + \frac{4v^2}{25} = 1$ प्राप्त होता है,जिसे $\frac{x^2}{5^2} + \frac{v^2}{(5/2)^2} = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
इसे $SHM$ के लिए दीर्घवृत्त के मानक समीकरण $\frac{x^2}{A^2} + \frac{v^2}{(A\omega)^2} = 1$ के साथ तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
आयाम $A = 5$ और $A\omega = \frac{5}{2}$।
दूसरे समीकरण में $A = 5$ रखने पर: $5\omega = \frac{5}{2} \Rightarrow \omega = \frac{1}{2} \text{ rad/s}$।
आवर्तकाल $T$ का सूत्र $T = \frac{2\pi}{\omega}$ है।
$\omega = \frac{1}{2}$ रखने पर,हमें $T = \frac{2\pi}{1/2} = 4\pi \text{ s}$ प्राप्त होता है।

(A) $SHM$ के लिए दिया गया समीकरण $x = A \sin(\omega t + \phi)$ है,जहाँ $A = 3\, cm$ और $\omega = \frac{2\pi}{18} = \frac{\pi}{9}\, rad/s$ है।
आवर्तकाल $T$ का मान $T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{\pi/9} = 18\, s$ है।
कुल समय $t = 36\, s$ दिया गया है,जो $2T$ (दो पूर्ण दोलनों) के बराबर है।
एक पूर्ण दोलन में,कण $4A$ की दूरी तय करता है।
इसलिए,$2$ पूर्ण दोलनों में,तय की गई दूरी $2 \times 4A = 8A$ होगी।
$A = 3\, cm$ का मान रखने पर,तय की गई दूरी $8 \times 3 = 24\, cm$ प्राप्त होती है।

(A) कण $B$ त्रिज्या के वृत्त में $T = 30 \ s$ के आवर्तकाल के साथ गति करता है। कोणीय वेग $\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{30} = \frac{\pi}{15} \ rad/s$ है।
$t = 0$ पर,कण धनात्मक $y$-अक्ष के साथ $\theta_0$ कोण पर है। चूंकि यह प्रथम चतुर्थांश में $y$-अक्ष से $45^\circ$ पर है,इसलिए धनात्मक $x$-अक्ष के साथ इसका कोण $\phi_0 = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ = \pi/4$ है।
चूंकि गति घड़ी की दिशा में है,इसलिए $t$ समय पर कोण $\theta(t) = \phi_0 - \omega t = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi t}{15}$ होगा।
$x$-प्रक्षेप $x(t) = B \cos(\theta(t)) = B \cos\left( \frac{\pi}{4} - \frac{\pi t}{15} \right)$ है।
$\cos(-\theta) = \cos(\theta)$ का उपयोग करते हुए,हमें $x(t) = B \cos\left( \frac{\pi t}{15} - \frac{\pi}{4} \right)$ प्राप्त होता है।
वैकल्पिक रूप से,$\cos(\theta) = \sin(\theta + \pi/2)$ सर्वसमिका का उपयोग करते हुए,हम इसे $x(t) = B \sin\left( \frac{\pi t}{15} - \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2} \right) = B \sin\left( \frac{\pi t}{15} + \frac{\pi}{4} \right)$ के रूप में लिख सकते हैं।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,समीकरण $x(t) = B \sin\left( \frac{2\pi t}{30} + \frac{\pi}{4} \right)$ विकल्प $A$ से मेल खाता है।

(B) मान लीजिए कि चरम स्थिति से विरामावस्था में शुरू होने वाली गति का समीकरण $x(t) = A \cos(\omega t)$ है।
$t=0$ पर विरामावस्था में होने के कारण,स्थिति $x(0) = A$ है।
चरम स्थिति से तय की गई दूरी $d(t) = A - A \cos(\omega t) = A(1 - \cos(\omega t))$ है।
पहले $\tau \, s$ में,दूरी $d(\tau) = a \implies A(1 - \cos(\omega \tau)) = a$ है।
अगले $\tau \, s$ में (कुल समय $2\tau$),कुल दूरी $a + 2a = 3a$ है।
अतः,$A(1 - \cos(2\omega \tau)) = 3a$ है।
पहले समीकरण से,$\cos(\omega \tau) = 1 - \frac{a}{A}$ है।
दूसरे समीकरण से,$\cos(2\omega \tau) = 1 - \frac{3a}{A}$ है।
सर्वसमिका $\cos(2\theta) = 2\cos^2(\theta) - 1$ का उपयोग करने पर,$2(1 - \frac{a}{A})^2 - 1 = 1 - \frac{3a}{A}$ प्राप्त होता है।
इस समीकरण को हल करने पर,$\frac{2a}{A} = 1 \implies A = 2a$ प्राप्त होता है।
$\cos(\omega \tau) = 1 - \frac{a}{2a} = 0.5$ रखने पर,$\omega \tau = \frac{\pi}{3} \implies \omega = \frac{\pi}{3\tau}$ प्राप्त होता है।
आवर्तकाल $T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{\pi / 3\tau} = 6\tau$ है।

(A) सरल आवर्त गति $(SHM)$ का मानक समीकरण $\frac{d^2x}{dt^2} + \omega^2x = 0$ होता है।
दिए गए समीकरण $\frac{d^2x}{dt^2} + \pi^2x = 0$ की तुलना मानक समीकरण से करने पर,हमें $\omega^2 = \pi^2$ प्राप्त होता है।
वर्गमूल लेने पर,$\omega = \pi \, rad/s$ प्राप्त होता है।
कोणीय आवृत्ति $\omega$ और आवृत्ति $f$ के बीच का संबंध $\omega = 2\pi f$ है।
अतः,$f = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{\pi}{2\pi} = 0.5 \, Hz$ होगा।

(B) चरम स्थितियाँ $x_1 = -3 \, cm$ और $x_2 = 9 \, cm$ हैं।
माध्य स्थिति $x_0$ चरम स्थितियों का मध्यबिंदु है: $x_0 = \frac{-3 + 9}{2} = 3 \, cm$.
आयाम $A$ माध्य स्थिति से चरम स्थिति तक की दूरी है: $A = 9 - 3 = 6 \, cm$.
कोणीय आवृत्ति $\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{0.5} = 4\pi \, rad/s$.
$SHM$ के लिए सामान्य समीकरण $x(t) = x_0 + A \sin(\omega t + \phi)$ है।
मान रखने पर: $x(t) = 3 + 6 \sin(4\pi t + \phi)$.
$t = 0$ पर,$x = 0$: $0 = 3 + 6 \sin(\phi) \implies \sin(\phi) = -1/2$.
इससे $\phi = 7\pi/6$ या $11\pi/6$ प्राप्त होता है।
चूंकि कण $t = 0$ पर ऋणात्मक दिशा में गति कर रहा है,वेग $v = \frac{dx}{dt} = 6(4\pi) \cos(4\pi t + \phi)$ को $t = 0$ पर ऋणात्मक होना चाहिए।
$\phi = 7\pi/6$ के लिए,$\cos(7\pi/6) = -\sqrt{3}/2 < 0$ (सही)।
$\phi = 11\pi/6$ के लिए,$\cos(11\pi/6) = \sqrt{3}/2 > 0$ (गलत)।
अतः,समीकरण $x = 3 + 6 \sin(4\pi t + 7\pi/6)$ है।

(C) सरल आवर्त गति $(SHM)$ में,कण $+A$ और $-A$ चरम स्थितियों के बीच दोलन करता है।
एक पूर्ण आवर्तकाल $T$ वह समय है जिसमें कण $+A$ से $-A$ तक जाता है और वापस $+A$ पर आता है।
आधे आवर्तकाल $(T/2)$ में,कण एक चरम स्थिति से दूसरी चरम स्थिति तक पहुँचता है।
उदाहरण के लिए,यदि कण $+A$ से शुरू होता है,तो $T/2$ समय के बाद यह $-A$ पर पहुँच जाएगा।
तय की गई दूरी कुल पथ की लंबाई है,जो $|+A - (-A)| = 2A$ है।

(B) दिया गया फलन: $x = \sin \omega t - \cos \omega t$
हम इसे इस प्रकार लिख सकते हैं: $x = \sqrt{2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \sin \omega t - \frac{1}{\sqrt{2}} \cos \omega t \right)$
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin(A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $B = \frac{\pi}{4}$:
$x = \sqrt{2} \sin \left( \omega t - \frac{\pi}{4} \right)$
इसकी तुलना सरल आवर्त गति $(SHM)$ के मानक समीकरण $x = A \sin(\omega t + \phi)$ से करने पर:
यहाँ,आयाम $A = \sqrt{2}$ है और कोणीय आवृत्ति $\omega$ है।
आवर्तकाल $T$ का सूत्र $T = \frac{2\pi}{\omega}$ होता है।
चूंकि फलन को $A \sin(\omega t + \phi)$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है,इसलिए यह $\frac{2\pi}{\omega}$ आवर्तकाल वाली एक सरल आवर्त गति को दर्शाता है।

(D) चित्र से,वृत्त की त्रिज्या $A = 2 \text{ cm}$ है।
परिक्रमण का आवर्तकाल $T = 1 \text{ s}$ है।
कोणीय आवृत्ति $\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{1} = 2\pi \text{ rad/s}$ है।
$t = 0$ पर,कण $P$ धनात्मक $x$-अक्ष के साथ $60^\circ$ या $\frac{\pi}{3}$ रेडियन के कोण पर है।
स्थिति सदिश का $x$-प्रक्षेप $x(t) = A \cos(\omega t + \phi)$ द्वारा दिया जाता है।
$t = 0$ पर,$x(0) = A \cos(\phi) = 2 \cos(60^\circ) = 2 \times 0.5 = 1 \text{ cm}$ है।
मान रखने पर,$x(t) = 2 \cos(2\pi t + \frac{\pi}{3})$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(B) $SHM$ के लिए विस्थापन का समीकरण $x = a \sin(\omega t + \phi)$ है।
$t = \frac{T}{4}$ पर,कोणीय विस्थापन $\omega t = \frac{2\pi}{T} \cdot \frac{T}{4} = \frac{\pi}{2}$ है।
दिया गया है कि $x = -\frac{a}{2}$,इसलिए समीकरण में मान रखने पर:
$-\frac{a}{2} = a \sin(\frac{\pi}{2} + \phi)$
$-\frac{1}{2} = \cos(\phi)$.
इससे कला नियतांक के लिए दो संभावित मान मिलते हैं: $\phi = \frac{2\pi}{3}$ या $\phi = \frac{4\pi}{3}$।
वेग का समीकरण $v = \frac{dx}{dt} = a\omega \cos(\omega t + \phi)$ है।
$t = \frac{T}{4}$ पर,$v = a\omega \cos(\frac{\pi}{2} + \phi) = -a\omega \sin(\phi)$।
चूंकि वेग धनात्मक है,$-a\omega \sin(\phi) > 0$,जिसका अर्थ है कि $\sin(\phi) < 0$।
$\phi = \frac{2\pi}{3}$ के लिए,$\sin(\frac{2\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2} > 0$ (अस्वीकार्य)।
$\phi = \frac{4\pi}{3}$ के लिए,$\sin(\frac{4\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2} < 0$ (स्वीकार्य)।
अतः,प्रारंभिक कला $\phi = \frac{4\pi}{3}$ है।

(B) ग्राफ से,फलन का अधिकतम मान (आयाम) $A = 5$ है।
यह इंगित करता है कि समीकरण $y = 5 \sin(kx)$ के रूप में है।
ग्राफ $x = 0$ से $x = 2\pi$ तक एक पूर्ण चक्र पूरा करता है,जिसका अर्थ है कि आवर्तकाल $T = 2\pi$ है।
आवर्तकाल का सूत्र $T = \frac{2\pi}{k}$ है।
$T = 2\pi$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $2\pi = \frac{2\pi}{k}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $k = 1$ है।
अतः,ग्राफ का समीकरण $y = 5 \sin x$ है।

(B) $SHM$ का दिया गया समीकरण $2 \frac{d^2x}{dt^2} + 32x = 0$ है।
$2$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{d^2x}{dt^2} + 16x = 0$ प्राप्त होता है,या $\frac{d^2x}{dt^2} = -16x$ $...(i)$।
$SHM$ का मानक अवकल समीकरण $\frac{d^2x}{dt^2} = -\omega^2x$ $...(ii)$ है।
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ की तुलना करने पर,हमें $\omega^2 = 16$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\omega = 4 \text{ rad/s}$।
आवर्तकाल $T$ का सूत्र $T = \frac{2\pi}{\omega}$ है।
$\omega$ का मान रखने पर,$T = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2} \text{ s}$।

(C) गति का दिया गया समीकरण: $y = a(\sin \omega t + \cos \omega t)$ है।
$\sqrt{2}$ से गुणा और भाग करने पर:
$y = a\sqrt{2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \sin \omega t + \frac{1}{\sqrt{2}} \cos \omega t \right)$ प्राप्त होता है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ का उपयोग करते हुए,हम लिख सकते हैं:
$y = a\sqrt{2} (\sin \omega t \cos \frac{\pi}{4} + \cos \omega t \sin \frac{\pi}{4})$
$y = a\sqrt{2} \sin(\omega t + \frac{\pi}{4})$
यह समीकरण $y = A \sin(\omega t + \phi)$ के रूप की सरल आवर्त गति $(S.H.M.)$ को दर्शाता है,जहाँ आयाम $A = a\sqrt{2}$ है।

(D) दिया गया विस्थापन समीकरण: $x = a \sin \omega t + b \cos \omega t$.
आयाम ज्ञात करने के लिए,हम समीकरण को $x = A \sin(\omega t + \phi)$ के रूप में लिखते हैं।
मान लीजिए $a = A \cos \phi$ और $b = A \sin \phi$.
तब $x = A \cos \phi \sin \omega t + A \sin \phi \cos \omega t = A \sin(\omega t + \phi)$.
$a$ और $b$ के व्यंजकों का वर्ग करके जोड़ने पर:
$a^2 + b^2 = A^2 \cos^2 \phi + A^2 \sin^2 \phi = A^2(\cos^2 \phi + \sin^2 \phi) = A^2$.
अतः,आयाम $A = \sqrt{a^2 + b^2}$.
चूंकि समीकरण को एक एकल ज्या (sine) फलन के रूप में व्यक्त किया जा सकता है,इसलिए गति $\sqrt{a^2 + b^2}$ आयाम वाली $SHM$ है।

(D) $SHM$ में,एक कण माध्य स्थिति से शुरू होकर चरम स्थिति $(+A)$ तक जाता है,वापस माध्य स्थिति पर आता है,दूसरी चरम स्थिति $(-A)$ तक जाता है,और एक आवर्तकाल $(T)$ में वापस माध्य स्थिति पर लौट आता है।
माध्य से चरम स्थिति तक तय की गई दूरी $= A$.
चरम स्थिति से माध्य स्थिति तक तय की गई दूरी $= A$.
माध्य से दूसरी चरम स्थिति तक तय की गई दूरी $= A$.
दूसरी चरम स्थिति से माध्य स्थिति तक तय की गई दूरी $= A$.
एक आवर्तकाल में तय की गई कुल दूरी $= A + A + A + A = 4\,A$.

(D) आवर्ती गति वह गति है जो समय के निश्चित अंतराल पर खुद को दोहराती है।
$1$. पृथ्वी का अपनी धुरी पर घूमना हर $24$ घंटे में दोहराया जाता है।
$2$. एक स्वतंत्र रूप से लटका हुआ छड़ चुंबक जिसे उसकी $N-S$ दिशा से विस्थापित करके छोड़ा गया हो,दोलन करता है,जो एक प्रकार की आवर्ती गति है।
$3$. घड़ी की सुइयों की गति निश्चित अंतराल पर दोहराई जाती है।
$4$. धनुष से छोड़ा गया तीर एक सीधी रेखा (या प्रक्षेप्य पथ) में चलता है और नियमित अंतराल पर अपनी गति को नहीं दोहराता है। इसलिए,यह आवर्ती गति नहीं है।

(C) फलन $f(t) = \sin^2(\omega t)$ को $f(t) = \frac{1 - \cos(2\omega t)}{2} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\cos(2\omega t)$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यह एक आवर्ती फलन है क्योंकि यह एक नियतांक और कोसाइन फलन का योग है।
इस फलन की कोणीय आवृत्ति $2\omega$ है। इसलिए,आवर्तकाल $T = \frac{2\pi}{2\omega} = \frac{\pi}{\omega}$ है।
किसी गति के सरल आवर्त गति $(SHM)$ होने के लिए,त्वरण विस्थापन के ऋणात्मक के समानुपाती होना चाहिए,अर्थात $a = \frac{d^2y}{dt^2} \propto -y$।
माना $y = \sin^2(\omega t)$।
तब,$\frac{dy}{dt} = 2\sin(\omega t) \cdot \cos(\omega t) \cdot \omega = \omega \sin(2\omega t)$।
और,$\frac{d^2y}{dt^2} = \omega \cdot \cos(2\omega t) \cdot 2\omega = 2\omega^2 \cos(2\omega t)$।
चूंकि $\frac{d^2y}{dt^2}$,$-y$ के समानुपाती नहीं है (क्योंकि $\cos(2\omega t)$,$\sin^2(\omega t)$ के समानुपाती नहीं है),इसलिए यह गति आवर्ती है लेकिन $SHM$ नहीं है।
अतः,यह फलन $\frac{\pi}{\omega}$ आवर्तकाल वाली एक आवर्ती गति को दर्शाता है,जो सरल आवर्त गति नहीं है।

(A) एक समान चाल से गति कर रहे कण की वृत्तीय गति में,कण एक निश्चित समय अंतराल के बाद अपनी गति को दोहराता है,जो आवर्ती गति की परिभाषा को पूरा करता है।
हालाँकि,कण किसी निश्चित माध्य स्थिति के इर्द-गिर्द दोलन नहीं करता है,जो सरल आवर्त गति के लिए एक आवश्यक शर्त है।
इसलिए,कण की गति आवर्ती है लेकिन सरल आवर्त नहीं है।

(A) सरल आवर्त गति $(S.H.M.)$ में कण का विस्थापन $y = a \sin(\omega t + \phi)$ द्वारा दिया जाता है।
वेग $v = \frac{dy}{dt} = a\omega \cos(\omega t + \phi)$ है।
माध्य स्थिति पर वेग अधिकतम होता है,जहाँ $v_{max} = a\omega$ है।
माध्य स्थिति पर गतिज ऊर्जा $K.E._{max} = \frac{1}{2} m v_{max}^2 = \frac{1}{2} m (a\omega)^2$ होती है।
यहाँ $m = 0.1 \, kg$,$a = 0.1 \, m$,और $K.E._{max} = 8 \times 10^{-3} \, J$ दिया गया है।
इन मानों को रखने पर: $\frac{1}{2} \times 0.1 \times \omega^2 \times (0.1)^2 = 8 \times 10^{-3}$।
$0.05 \times 0.01 \times \omega^2 = 8 \times 10^{-3} \implies 0.0005 \times \omega^2 = 0.008$।
$\omega^2 = \frac{0.008}{0.0005} = 16 \implies \omega = 4 \, rad/s$।
प्रारंभिक कला $\phi = 45^o = \pi/4 \, rad$ है।
अतः,गति का समीकरण $y = 0.1 \sin(\pm 4t + \pi/4)$ है।

(A) सरल आवर्त गति $(SHM)$ को एक ऐसी आवर्ती गति के रूप में परिभाषित किया जाता है जिसमें प्रत्यानयन बल विस्थापन के सीधे आनुपातिक होता है और विस्थापन की विपरीत दिशा में कार्य करता है। इसके परिणामस्वरूप माध्य स्थिति के इर्द-गिर्द आगे-पीछे की गति होती है। $SHM$ में कण का वेग $v = \omega \sqrt{A^2 - x^2}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $A$ आयाम है,$x$ विस्थापन है और $\omega$ कोणीय आवृत्ति है। दिए गए कारण में $A$ के स्थान पर $k$ का उपयोग किया गया था,जो आयाम के लिए संकेतन की दृष्टि से गलत है। हालाँकि,यह सूत्र $SHM$ में वेग के परिवर्तन का सही वर्णन करता है,जो गति की आवर्ती और आगे-पीछे की प्रकृति की पुष्टि करता है। अतः,दोनों कथन सही हैं और वेग का समीकरण गति की प्रकृति को स्पष्ट करता है।

(B) दिया गया समीकरण $y = A_{0} + A \sin \omega t + B \cos \omega t$ है।
आयाम ज्ञात करने के लिए,हम समय-निर्भर भाग को $R \sin(\omega t + \phi)$ के रूप में व्यक्त करते हैं।
मान लीजिए $A = R \cos \phi$ और $B = R \sin \phi$ है।
तब $A^{2} + B^{2} = R^{2} (\cos^{2} \phi + \sin^{2} \phi) = R^{2}$ होगा।
अतः,$R = \sqrt{A^{2} + B^{2}}$।
समीकरण $y = A_{0} + \sqrt{A^{2} + B^{2}} \sin(\omega t + \phi)$ बन जाता है।
यहाँ,$A_{0}$ माध्य स्थिति में विस्थापन को दर्शाता है,और त्रिकोणमितीय पद का गुणांक,$\sqrt{A^{2} + B^{2}}$,दोलन का आयाम दर्शाता है।

(D) एक पूर्ण कंपन में,कण एक स्थिति से शुरू होता है,चरम बिंदु तक जाता है,वापस शुरुआती स्थिति पर आता है,दूसरे चरम बिंदु तक जाता है और अंततः वापस शुरुआती स्थिति पर लौट आता है।
इसलिए,एक पूर्ण दोलन में कण का कुल विस्थापन $0$ होता है।
चूंकि औसत वेग को कुल विस्थापन और कुल समय के अनुपात के रूप में परिभाषित किया गया है,इसलिए हमारे पास है:
$\text{औसत वेग} = \frac{\text{कुल विस्थापन}}{\text{कुल समय}} = \frac{0}{T} = 0$.

(D) आकृति से,वृत्त की त्रिज्या $A = 3 \ m$ है और आवर्तकाल $T = 4 \ s$ है।
कोणीय वेग $\omega = \frac{2 \pi}{T} = \frac{2 \pi}{4} = \frac{\pi}{2} \ rad/s$ द्वारा दिया जाता है।
$t = 0$ पर,कण $P$ धनात्मक $y$-अक्ष पर है,जिसका अर्थ है कि इसका स्थिति सदिश धनात्मक $x$-अक्ष के साथ $\phi = \frac{\pi}{2}$ का कोण बनाता है।
किसी भी समय $t$ पर कण का $y$-निर्देशांक $y(t) = A \sin(\omega t + \phi)$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,$y(t) = 3 \sin\left(\frac{\pi t}{2} + \frac{\pi}{2}\right)$।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin(\theta + \frac{\pi}{2}) = \cos \theta$ का उपयोग करने पर,हमें $y(t) = 3 \cos\left(\frac{\pi t}{2}\right)$ प्राप्त होता है।

(D) $SHM$ में,एक कण $+A$ और $-A$ चरम स्थितियों के बीच दोलन करता है।
माध्य स्थिति $(x=0)$ से शुरू होकर,कण $+A$ तक जाता है (दूरी $= A$)।
फिर यह $+A$ से $-A$ तक जाता है (दूरी $= 2A$)।
अंत में,यह $-A$ से वापस माध्य स्थिति $(x=0)$ पर आता है (दूरी $= A$)।
एक पूर्ण दोलन (एक आवर्तकाल) में तय की गई कुल दूरी $= A + 2A + A = 4A$ है।

(N/A) सरल आवर्त गति $(SHM)$ करते हुए कण के लिए,त्वरण $(a)$ और स्थिति $(x)$ के बीच का संबंध इस प्रकार है:
$a = -\omega^2 x$ ... $(i)$
जहाँ $\omega$ कोणीय आवृत्ति है।
$1$. $t = 0.3 \; s$ पर:
कण उस क्षेत्र में है जहाँ $x < 0$ (ऋणात्मक स्थिति) है। $x-t$ ग्राफ का ढाल,जो वेग $(v = dx/dt)$ को दर्शाता है,वह भी ऋणात्मक है। समीकरण $(i)$ का उपयोग करने पर,चूँकि $x$ ऋणात्मक है,$a = -\omega^2 (-|x|) = +\omega^2 |x|$,इसलिए त्वरण धनात्मक है।
चिह्न: स्थिति: ऋणात्मक,वेग: ऋणात्मक,त्वरण: धनात्मक।
$2$. $t = 1.2 \; s$ पर:
कण उस क्षेत्र में है जहाँ $x > 0$ (धनात्मक स्थिति) है। $x-t$ ग्राफ का ढाल धनात्मक है,इसलिए वेग धनात्मक है। समीकरण $(i)$ का उपयोग करने पर,चूँकि $x$ धनात्मक है,$a = -\omega^2 (+|x|) = -\omega^2 |x|$,इसलिए त्वरण ऋणात्मक है।
चिह्न: स्थिति: धनात्मक,वेग: धनात्मक,त्वरण: ऋणात्मक।
$3$. $t = -1.2 \; s$ पर:
कण उस क्षेत्र में है जहाँ $x < 0$ (ऋणात्मक स्थिति) है। इस बिंदु पर $x-t$ ग्राफ का ढाल धनात्मक है (वक्र ऊपर की ओर जा रहा है),इसलिए वेग धनात्मक है। समीकरण $(i)$ का उपयोग करने पर,चूँकि $x$ ऋणात्मक है,$a = -\omega^2 (-|x|) = +\omega^2 |x|$,इसलिए त्वरण धनात्मक है।
चिह्न: स्थिति: ऋणात्मक,वेग: धनात्मक,त्वरण: धनात्मक।

(N/A) आवृत्ति $(f)$ प्रति इकाई समय में धड़कनों की संख्या है।
दिया गया है: $60$ सेकंड में $75$ धड़कन।
$f = 75 / 60 \, s^{-1} = 1.25 \, Hz$.
आवर्तकाल $(T)$ आवृत्ति का व्युत्क्रम होता है।
$T = 1 / f = 1 / 1.25 \, s = 0.8 \, s$.