निम्नलिखित में से कौन से उदाहरण (लगभग) सरल आवर्त गति को दर्शाते हैं और कौन से आवर्त गति को दर्शाते हैं लेकिन सरल आवर्त गति नहीं?
$(a)$ पृथ्वी का अपनी धुरी पर घूमना।
$(b)$ $U$-ट्यूब में दोलन करते पारे के स्तंभ की गति।
$(c)$ एक चिकने वक्र कटोरे के अंदर बॉल बेयरिंग की गति,जब उसे सबसे निचले बिंदु से थोड़ा ऊपर एक बिंदु से छोड़ा जाता है।
$(d)$ एक बहुपरमाणुक अणु के अपने संतुलन स्थिति के चारों ओर सामान्य कंपन।

एक कण का विस्थापन $x = 3 \sin 100t + 8 \cos^2 50t$ संबंध के अनुसार बदलता है। इस गति के बारे में निम्नलिखित में से कौन सा/से सही है/हैं?

विस्थापन चर (displacement variable) और आवर्ती फलन (periodic function) की परिभाषा लिखिए।

$L$ लंबाई की एक छड़ का एक सिरा $R$ त्रिज्या वाले पहिये की परिधि पर एक बिंदु पर स्थिर है। दूसरा सिरा पहिये के केंद्र से गुजरने वाली एक सीधी चैनल पर स्वतंत्र रूप से फिसल रहा है,जैसा कि नीचे दिए गए चित्र में दिखाया गया है। पहिया $O$ के परितः एक स्थिर कोणीय वेग $\omega$ के साथ घूम रहा है। $T = \frac{2 \pi}{\omega}$ लेते हुए,छड़ की गति है

$y = \sin \omega t - \cos \omega t$ द्वारा निरूपित कण की गति है

जब $m$ द्रव्यमान का एक कण $x$-अक्ष पर $V(x)=kx^2$ के रूप के विभव में गति करता है,तो यह सरल आवर्त गति करता है। इसका आवर्तकाल $\sqrt{\frac{m}{k}}$ के समानुपाती होता है,जिसे विमीय विश्लेषण का उपयोग करके आसानी से देखा जा सकता है। हालाँकि,कण की गति तब भी आवर्ती हो सकती है जब उसकी स्थितिज ऊर्जा $x=0$ के दोनों ओर $kx^2$ से अलग तरीके से बढ़ती है और उसकी कुल ऊर्जा ऐसी होती है कि कण अनंत तक पलायन नहीं करता है। $m$ द्रव्यमान के एक कण पर विचार करें जो $x$-अक्ष पर गति कर रहा है। इसकी स्थितिज ऊर्जा मूल बिंदु के निकट $|x|$ के लिए $V(x)=\alpha x^4$ $(\alpha>0)$ है और $|x| \geq X_0$ के लिए $V_0$ के बराबर एक स्थिरांक हो जाती है (चित्र देखें)।
$1.$ यदि कण की कुल ऊर्जा $E$ है,तो यह आवर्ती गति केवल तभी करेगा यदि
$(A)$ $E < 0$
$(B)$ $E > 0$
$(C)$ $V_0 > E > 0$
$(D)$ $E > V_0$
$2.$ छोटे आयाम $A$ की आवर्ती गति के लिए,इस कण का आवर्तकाल $T$ किसके समानुपाती है?
$(A)$ $A \sqrt{\frac{m}{\alpha}}$
$(B)$ $\frac{1}{A} \sqrt{\frac{m}{\alpha}}$
$(C)$ $A \sqrt{\frac{\alpha}{m}}$
$(D)$ $A \sqrt{\frac{\alpha}{m}}$
$3.$ $|x|>X_0$ के लिए इस कण का त्वरण है
$(A)$ $V_0$ के समानुपाती
$(B)$ $\frac{V_0}{mX_0}$ के समानुपाती
$(C)$ $\sqrt{\frac{V_0}{mX_0}}$ के समानुपाती
$(D)$ शून्य
प्रश्न $1, 2$ और $3$ के उत्तर दें।