અ Gujarati
Periodic, Oscillatory motion and its characteristics and types of SHM and Equation of SHM Questions in Gujarati
Class 11 Physics · Oscillations · Periodic, Oscillatory motion and its characteristics and types of SHM and Equation of SHM
239+
Questions
Gujarati
Language
100%
With Solutions
Showing 50 of 239 questions in Gujarati
151
EasyMCQ
$SHM$ કયા પ્રકારની ગતિ સાથે સંકળાયેલ છે?
A
આવર્ત ગતિ
B
સુરેખ ગતિ
C
વર્તુળાકાર ગતિ
D
અનિયમિત ગતિ
Solution
(A) $SHM$ એટલે કે સરળ આવર્ત ગતિ $(Simple Harmonic Motion)$.
સરળ આવર્ત ગતિ એ આવર્ત ગતિનો એક વિશિષ્ટ પ્રકાર છે, જેમાં પુનઃસ્થાપક બળ સ્થાનાંતરના સમપ્રમાણમાં હોય છે અને સ્થાનાંતરની વિરુદ્ધ દિશામાં કાર્ય કરે છે.
જેহেতু $SHM$ ચોક્કસ સમયના અંતરાલ પછી તેનો માર્ગ પુનરાવર્તિત કરે છે, તેથી તે મૂળભૂત રીતે આવર્ત ગતિનો એક પ્રકાર છે.
સરળ આવર્ત ગતિ એ આવર્ત ગતિનો એક વિશિષ્ટ પ્રકાર છે, જેમાં પુનઃસ્થાપક બળ સ્થાનાંતરના સમપ્રમાણમાં હોય છે અને સ્થાનાંતરની વિરુદ્ધ દિશામાં કાર્ય કરે છે.
જેহেতু $SHM$ ચોક્કસ સમયના અંતરાલ પછી તેનો માર્ગ પુનરાવર્તિત કરે છે, તેથી તે મૂળભૂત રીતે આવર્ત ગતિનો એક પ્રકાર છે.
0 likes
View Solution152
Easy
સરળ આવર્ત ગતિ $(SHM)$ કરતા કણ માટે સ્થાનાંતર અને વેગ,સ્થાનાંતર અને પ્રવેગ,તથા વેગ અને પ્રવેગ વચ્ચેનો કળા તફાવત લખો.
Solution
સરળ આવર્ત ગતિ $(SHM)$ કરતા કણ માટે સ્થાનાંતર $x(t) = A \sin(\omega t + \phi)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$1$. વેગ $v(t) = \frac{dx}{dt} = A\omega \cos(\omega t + \phi) = A\omega \sin(\omega t + \phi + \frac{\pi}{2})$.
$x(t)$ અને $v(t)$ ની સરખામણી કરતા,સ્થાનાંતર અને વેગ વચ્ચેનો કળા તફાવત $\frac{\pi}{2}$ રેડિયન છે.
$2$. પ્રવેગ $a(t) = \frac{dv}{dt} = -A\omega^2 \sin(\omega t + \phi) = A\omega^2 \sin(\omega t + \phi + \pi)$.
$x(t)$ અને $a(t)$ ની સરખામણી કરતા,સ્થાનાંતર અને પ્રવેગ વચ્ચેનો કળા તફાવત $\pi$ રેડિયન છે.
$3$. $v(t) = A\omega \sin(\omega t + \phi + \frac{\pi}{2})$ અને $a(t) = A\omega^2 \sin(\omega t + \phi + \pi)$ ની સરખામણી કરતા,વેગ અને પ્રવેગ વચ્ચેનો કળા તફાવત $\pi - \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2}$ રેડિયન છે.
$1$. વેગ $v(t) = \frac{dx}{dt} = A\omega \cos(\omega t + \phi) = A\omega \sin(\omega t + \phi + \frac{\pi}{2})$.
$x(t)$ અને $v(t)$ ની સરખામણી કરતા,સ્થાનાંતર અને વેગ વચ્ચેનો કળા તફાવત $\frac{\pi}{2}$ રેડિયન છે.
$2$. પ્રવેગ $a(t) = \frac{dv}{dt} = -A\omega^2 \sin(\omega t + \phi) = A\omega^2 \sin(\omega t + \phi + \pi)$.
$x(t)$ અને $a(t)$ ની સરખામણી કરતા,સ્થાનાંતર અને પ્રવેગ વચ્ચેનો કળા તફાવત $\pi$ રેડિયન છે.
$3$. $v(t) = A\omega \sin(\omega t + \phi + \frac{\pi}{2})$ અને $a(t) = A\omega^2 \sin(\omega t + \phi + \pi)$ ની સરખામણી કરતા,વેગ અને પ્રવેગ વચ્ચેનો કળા તફાવત $\pi - \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2}$ રેડિયન છે.
0 likes
View Solution153
Difficult
$SHM$ માટે બળનો નિયમ લખો અને $SHM$ કણના આવર્તકાળનું સૂત્ર મેળવો.
Solution
(N/A) $SHM$ કણનો પ્રવેગ નીચે મુજબ છે:
$a(t) = -\omega^{2} x(t)$
જ્યાં $x(t)$ એ સમય $t$ પરનું સ્થાનાંતર છે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,કણ પર લાગતું બળ $F$:
$F = m a(t)$
પ્રવેગનું સૂત્ર મૂકતા:
$F = -m \omega^{2} x(t) \quad (1)$
$SHM$ માં,પુનઃસ્થાપક બળ સ્થાનાંતરના સમપ્રમાણમાં હોય છે અને મધ્યમાન સ્થાન તરફ હોય છે:
$F = -k x(t) \quad (2)$
જ્યાં $k$ એ બળ અચળાંક છે.
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ ની સરખામણી કરતા:
$k = m \omega^{2}$
$\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \frac{2 \pi}{T}$ હોવાથી,જ્યાં $T$ એ આવર્તકાળ છે:
$\frac{2 \pi}{T} = \sqrt{\frac{k}{m}}$
$T = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}}$
$a(t) = -\omega^{2} x(t)$
જ્યાં $x(t)$ એ સમય $t$ પરનું સ્થાનાંતર છે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,કણ પર લાગતું બળ $F$:
$F = m a(t)$
પ્રવેગનું સૂત્ર મૂકતા:
$F = -m \omega^{2} x(t) \quad (1)$
$SHM$ માં,પુનઃસ્થાપક બળ સ્થાનાંતરના સમપ્રમાણમાં હોય છે અને મધ્યમાન સ્થાન તરફ હોય છે:
$F = -k x(t) \quad (2)$
જ્યાં $k$ એ બળ અચળાંક છે.
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ ની સરખામણી કરતા:
$k = m \omega^{2}$
$\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \frac{2 \pi}{T}$ હોવાથી,જ્યાં $T$ એ આવર્તકાળ છે:
$\frac{2 \pi}{T} = \sqrt{\frac{k}{m}}$
$T = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}}$
0 likes
View Solution154
Difficult
સરળ આવર્ત ગતિ માટે બળના નિયમ પરથી સ્થાનાંતરનું સમીકરણ મેળવો.
Solution
(N/A) $SHM$ માટે બળનો નિયમ $F = -kx(t)$ છે.
$F = ma(t)$ અને $k = m\omega^2$ હોવાથી,$ma(t) = -m\omega^2 x(t)$ મળે,જેનું સાદું રૂપ $a(t) = -\omega^2 x(t)$ થાય છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે પ્રવેગ $a(t) = \frac{dv}{dt}$ અને વેગ $v(t) = \frac{dx}{dt}$ છે.
$a(t) = \frac{dv}{dt}$ મૂકતા,$\frac{dv}{dt} = -\omega^2 x$ મળે છે.
ચેઈન રૂલનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{dv}{dx} \cdot \frac{dx}{dt} = -\omega^2 x$,જેનો અર્થ છે કે $v \frac{dv}{dx} = -\omega^2 x$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા: $\int v dv = -\omega^2 \int x dx$.
$\frac{v^2}{2} = -\omega^2 \frac{x^2}{2} + C$.
અંતિમ સ્થાન $x = A$ પર,$v = 0$ હોવાથી,$C = \frac{1}{2} \omega^2 A^2$ મળે છે.
આમ,$v^2 = \omega^2 (A^2 - x^2)$,અથવા $v = \pm \omega \sqrt{A^2 - x^2}$.
$v = \frac{dx}{dt}$ હોવાથી,$\frac{dx}{\sqrt{A^2 - x^2}} = \omega dt$ મળે છે.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\sin^{-1}(\frac{x}{A}) = \omega t + \phi$.
તેથી,સ્થાનાંતરનું સમીકરણ $x(t) = A \sin(\omega t + \phi)$ છે.
$F = ma(t)$ અને $k = m\omega^2$ હોવાથી,$ma(t) = -m\omega^2 x(t)$ મળે,જેનું સાદું રૂપ $a(t) = -\omega^2 x(t)$ થાય છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે પ્રવેગ $a(t) = \frac{dv}{dt}$ અને વેગ $v(t) = \frac{dx}{dt}$ છે.
$a(t) = \frac{dv}{dt}$ મૂકતા,$\frac{dv}{dt} = -\omega^2 x$ મળે છે.
ચેઈન રૂલનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{dv}{dx} \cdot \frac{dx}{dt} = -\omega^2 x$,જેનો અર્થ છે કે $v \frac{dv}{dx} = -\omega^2 x$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા: $\int v dv = -\omega^2 \int x dx$.
$\frac{v^2}{2} = -\omega^2 \frac{x^2}{2} + C$.
અંતિમ સ્થાન $x = A$ પર,$v = 0$ હોવાથી,$C = \frac{1}{2} \omega^2 A^2$ મળે છે.
આમ,$v^2 = \omega^2 (A^2 - x^2)$,અથવા $v = \pm \omega \sqrt{A^2 - x^2}$.
$v = \frac{dx}{dt}$ હોવાથી,$\frac{dx}{\sqrt{A^2 - x^2}} = \omega dt$ મળે છે.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\sin^{-1}(\frac{x}{A}) = \omega t + \phi$.
તેથી,સ્થાનાંતરનું સમીકરણ $x(t) = A \sin(\omega t + \phi)$ છે.
0 likes
View Solution155
Medium
રેખીય હાર્મોનિક ઓસિલેટર (Linear Harmonic Oscillator) એટલે શું? અને નોન-લિનિયર ઓસિલેટર એટલે શું?
Solution
(N/A) રેખીય હાર્મોનિક ઓસિલેટર એ એક એવી સિસ્ટમ છે જેમાં કણ પર લાગતું પુનઃસ્થાપક બળ $F$ એ સંતુલન સ્થિતિથી તેના સ્થાનાંતર $x$ ના સીધા પ્રમાણમાં હોય છે,જેને $F = -kx$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે,જ્યાં $k$ એ અચળાંક છે.
નોન-લિનિયર ઓસિલેટરમાં,પુનઃસ્થાપક બળ સ્થાનાંતરના સીધા પ્રમાણમાં હોતું નથી. તેમાં સ્થાનાંતરના ઉચ્ચ ઘાતવાળા પદો હોઈ શકે છે,જેમ કે $x^2, x^3, \dots$,એટલે કે બળને $F = -kx - ax^2 - bx^3 - \dots$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે. આવી સિસ્ટમો સરળ આવર્ત ગતિ (Simple Harmonic Motion) નું પાલન કરતી નથી.
નોન-લિનિયર ઓસિલેટરમાં,પુનઃસ્થાપક બળ સ્થાનાંતરના સીધા પ્રમાણમાં હોતું નથી. તેમાં સ્થાનાંતરના ઉચ્ચ ઘાતવાળા પદો હોઈ શકે છે,જેમ કે $x^2, x^3, \dots$,એટલે કે બળને $F = -kx - ax^2 - bx^3 - \dots$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે. આવી સિસ્ટમો સરળ આવર્ત ગતિ (Simple Harmonic Motion) નું પાલન કરતી નથી.
0 likes
View Solution156
Easy
રેખીય હાર્મોનિક ઓસિલેટર અને અરેખીય હાર્મોનિક ઓસિલેટર એટલે શું?
Solution
(N/A) રેખીય હાર્મોનિક ઓસિલેટર એ એક એવી સિસ્ટમ છે જેમાં પુનઃસ્થાપક બળ $F$ એ સંતુલન સ્થિતિમાંથી સ્થાનાંતર $x$ ના સીધા પ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $F = -kx$,જ્યાં $k$ એ બળ અચળાંક છે. આવા ઓસિલેટરની ગતિને સરળ આવર્ત ગતિ $(SHM)$ કહેવામાં આવે છે.
અરેખીય હાર્મોનિક ઓસિલેટર એ એક એવી સિસ્ટમ છે જેમાં પુનઃસ્થાપક બળ $F$ એ સ્થાનાંતર $x$ ના પ્રમાણમાં હોતું નથી. આવા કિસ્સાઓમાં,બળને સ્થાનાંતરના અરેખીય વિધેય તરીકે દર્શાવી શકાય છે,જેમ કે $F = -kx - ax^3$ અથવા અન્ય ઉચ્ચ-ક્રમના પદો. પરિણામે,અરેખીય ઓસિલેટરની ગતિ એ સરળ આવર્ત ગતિ હોતી નથી.
અરેખીય હાર્મોનિક ઓસિલેટર એ એક એવી સિસ્ટમ છે જેમાં પુનઃસ્થાપક બળ $F$ એ સ્થાનાંતર $x$ ના પ્રમાણમાં હોતું નથી. આવા કિસ્સાઓમાં,બળને સ્થાનાંતરના અરેખીય વિધેય તરીકે દર્શાવી શકાય છે,જેમ કે $F = -kx - ax^3$ અથવા અન્ય ઉચ્ચ-ક્રમના પદો. પરિણામે,અરેખીય ઓસિલેટરની ગતિ એ સરળ આવર્ત ગતિ હોતી નથી.
0 likes
View Solution157
Easy
સમયગાળા (Time period) અને આવૃત્તિ (Frequency) વચ્ચેનો સંબંધ દર્શાવતું સમીકરણ લખો.
Solution
(N/A) તરંગનો સમયગાળો $(T)$ એટલે એક સંપૂર્ણ દોલન કે ચક્ર પૂર્ણ કરવા માટે લાગતો સમય.
આવૃત્તિ $(f)$ એટલે એકમ સમયમાં પૂર્ણ થતા દોલનો કે ચક્રની સંખ્યા.
આવૃત્તિ એ સમયગાળાના વ્યસ્ત હોવાથી,તેમની વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબના સમીકરણ દ્વારા દર્શાવી શકાય છે:
$f = \frac{1}{T}$
વૈકલ્પિક રીતે,તેને આ રીતે પણ લખી શકાય:
$T = \frac{1}{f}$
જ્યાં $f$ એ હર્ટ્ઝ $(Hz)$ માં માપવામાં આવતી આવૃત્તિ છે અને $T$ એ સેકન્ડ $(s)$ માં માપવામાં આવતો સમયગાળો છે.
આવૃત્તિ $(f)$ એટલે એકમ સમયમાં પૂર્ણ થતા દોલનો કે ચક્રની સંખ્યા.
આવૃત્તિ એ સમયગાળાના વ્યસ્ત હોવાથી,તેમની વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબના સમીકરણ દ્વારા દર્શાવી શકાય છે:
$f = \frac{1}{T}$
વૈકલ્પિક રીતે,તેને આ રીતે પણ લખી શકાય:
$T = \frac{1}{f}$
જ્યાં $f$ એ હર્ટ્ઝ $(Hz)$ માં માપવામાં આવતી આવૃત્તિ છે અને $T$ એ સેકન્ડ $(s)$ માં માપવામાં આવતો સમયગાળો છે.
0 likes
View Solution158
Easy
સમયગાળા $(T)$ અને કોણીય આવૃત્તિ $(\omega)$ વચ્ચેનો સંબંધ દર્શાવતું સમીકરણ લખો.
Solution
(N/A) દોલિત તંત્રની કોણીય આવૃત્તિ $(\omega)$ એ સમયની સાપેક્ષમાં કળાના ફેરફારનો દર છે.
એક પૂર્ણ ચક્ર માટે, કળામાં $2\pi$ રેડિયનનો ફેરફાર થાય છે અને તે માટે લાગતો સમય એ સમયગાળો $(T)$ છે.
તેથી, આ સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$\omega = \frac{2\pi}{T}$
વૈકલ્પિક રીતે, તેને $T = \frac{2\pi}{\omega}$ તરીકે પણ દર્શાવી શકાય છે.
એક પૂર્ણ ચક્ર માટે, કળામાં $2\pi$ રેડિયનનો ફેરફાર થાય છે અને તે માટે લાગતો સમય એ સમયગાળો $(T)$ છે.
તેથી, આ સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$\omega = \frac{2\pi}{T}$
વૈકલ્પિક રીતે, તેને $T = \frac{2\pi}{\omega}$ તરીકે પણ દર્શાવી શકાય છે.
0 likes
View Solution159
MediumMCQ
સિસ્ટમના ઓસિલેશનના નોર્મલ મોડ્સ (normal modes) કોને કહેવાય છે?
A
સૌથી ઓછી આવૃત્તિ ધરાવતા કંપન મોડ્સ.
B
સૌથી વધુ આવૃત્તિ ધરાવતા કંપન મોડ્સ.
C
કંપનના એવા પ્રકારો જેમાં સિસ્ટમના તમામ ભાગો સમાન આવૃત્તિ સાથે દોલન કરે છે.
D
કંપનના એવા મોડ્સ જ્યાં કંપનવિસ્તાર દરેક જગ્યાએ શૂન્ય હોય છે.
Solution
(C) ઓસિલેશનના નોર્મલ મોડ્સ એ સિસ્ટમમાં કંપનની ચોક્કસ પેટર્ન છે જેમાં સિસ્ટમનો દરેક ભાગ સમાન આવૃત્તિ સાથે સાઈનસૉઇડલ (sinusoidal) રીતે દોલન કરે છે.
આ મોડ્સમાં,સિસ્ટમ એક સંપૂર્ણ એકમ તરીકે ગતિ કરે છે,અને વિવિધ ભાગોના સાપેક્ષ કંપનવિસ્તાર સમય સાથે અચળ રહે છે.
બંને છેડે જડેલી દોરી જેવી સિસ્ટમ માટે,આ મૂળભૂત આવૃત્તિ અને તેના હાર્મોનિક્સ (ઓવરટોન્સ) ને અનુરૂપ છે.
તેથી,સાચું વર્ણન એ છે કે તે કંપનની એવી પેટર્ન છે જેમાં સિસ્ટમના તમામ ભાગો સમાન આવૃત્તિ સાથે દોલન કરે છે.
આ મોડ્સમાં,સિસ્ટમ એક સંપૂર્ણ એકમ તરીકે ગતિ કરે છે,અને વિવિધ ભાગોના સાપેક્ષ કંપનવિસ્તાર સમય સાથે અચળ રહે છે.
બંને છેડે જડેલી દોરી જેવી સિસ્ટમ માટે,આ મૂળભૂત આવૃત્તિ અને તેના હાર્મોનિક્સ (ઓવરટોન્સ) ને અનુરૂપ છે.
તેથી,સાચું વર્ણન એ છે કે તે કંપનની એવી પેટર્ન છે જેમાં સિસ્ટમના તમામ ભાગો સમાન આવૃત્તિ સાથે દોલન કરે છે.
0 likes
View Solution160
EasyMCQ
એક કૃત્રિમ ઉપગ્રહ પૃથ્વીની આસપાસ ભ્રમણ કરી રહ્યો છે. શું તેની વર્તુળાકાર ગતિ એ સરળ આવર્ત ગતિ છે?
A
હા,તે એક સરળ આવર્ત ગતિ છે.
B
ના,તે આવર્ત ગતિ છે પરંતુ સરળ આવર્ત ગતિ નથી.
C
હા,કારણ કે તે એક આવર્ત ગતિ છે.
D
ના,તે આવર્ત ગતિ પણ નથી અને સરળ આવર્ત ગતિ પણ નથી.
Solution
(B) ના,વર્તુળાકાર કક્ષામાં રહેલા કૃત્રિમ ઉપગ્રહની ગતિ એ સરળ આવર્ત ગતિ $(SHM)$ નથી.
સરળ આવર્ત ગતિ થવા માટે,પુનઃસ્થાપક બળ એ સરેરાશ સ્થાનથી સ્થાનાંતરના સીધા પ્રમાણમાં હોવું જોઈએ $(F = -kx)$.
કૃત્રિમ ઉપગ્રહના કિસ્સામાં,ગુરુત્વાકર્ષણ બળ જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ $(F_c = \frac{mv^2}{r})$ પૂરું પાડે છે,જે વર્તુળાકાર કક્ષા માટે મૂલ્યમાં અચળ રહે છે.
જોકે આ ગતિ આવર્ત છે (તે ચોક્કસ સમયના અંતરાલ પછી પુનરાવર્તિત થાય છે),પરંતુ તેમાં $SHM$ માટે જરૂરી રેખીય પુનઃસ્થાપક બળનો અભાવ હોય છે.
સરળ આવર્ત ગતિ થવા માટે,પુનઃસ્થાપક બળ એ સરેરાશ સ્થાનથી સ્થાનાંતરના સીધા પ્રમાણમાં હોવું જોઈએ $(F = -kx)$.
કૃત્રિમ ઉપગ્રહના કિસ્સામાં,ગુરુત્વાકર્ષણ બળ જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ $(F_c = \frac{mv^2}{r})$ પૂરું પાડે છે,જે વર્તુળાકાર કક્ષા માટે મૂલ્યમાં અચળ રહે છે.
જોકે આ ગતિ આવર્ત છે (તે ચોક્કસ સમયના અંતરાલ પછી પુનરાવર્તિત થાય છે),પરંતુ તેમાં $SHM$ માટે જરૂરી રેખીય પુનઃસ્થાપક બળનો અભાવ હોય છે.
0 likes
View Solution161
Easy
નીચેના કિસ્સાઓમાં પુનઃસ્થાપક બળ (restoring force) કોના દ્વારા પૂરું પાડવામાં આવે છે?
$(1)$ દબાયેલી સ્પ્રિંગ.
$(2)$ $U$-ટ્યુબમાં પાણીનું સ્થાનાંતર.
$(3)$ લોલકના ગોળાનું તેના મધ્યમાન સ્થાનથી સ્થાનાંતર.
$(1)$ દબાયેલી સ્પ્રિંગ.
$(2)$ $U$-ટ્યુબમાં પાણીનું સ્થાનાંતર.
$(3)$ લોલકના ગોળાનું તેના મધ્યમાન સ્થાનથી સ્થાનાંતર.
Solution
(N/A) $(1)$ પુનઃસ્થાપક બળ સ્પ્રિંગના દ્રવ્યની સ્થિતિસ્થાપકતા દ્વારા પૂરું પાડવામાં આવે છે,જે હૂકના નિયમ $(F = -kx)$ મુજબ કાર્ય કરે છે.
$(2)$ પુનઃસ્થાપક બળ સ્થાનાંતરિત થયેલા પાણીના સ્તંભના વજન (ગુરુત્વાકર્ષણ) દ્વારા પૂરું પાડવામાં આવે છે,જે દબાણનો તફાવત ઉત્પન્ન કરે છે અને પાણીને સંતુલન સ્થિતિમાં પાછું ખેંચે છે.
$(3)$ પુનઃસ્થાપક બળ લોલકના ગોળાના વજનના સ્પર્શકીય ઘટક $(mg \sin \theta)$ દ્વારા પૂરું પાડવામાં આવે છે,જે ગોળાને તેના મધ્યમાન સ્થાન પર પાછા લાવવા માટે કાર્ય કરે છે.
$(2)$ પુનઃસ્થાપક બળ સ્થાનાંતરિત થયેલા પાણીના સ્તંભના વજન (ગુરુત્વાકર્ષણ) દ્વારા પૂરું પાડવામાં આવે છે,જે દબાણનો તફાવત ઉત્પન્ન કરે છે અને પાણીને સંતુલન સ્થિતિમાં પાછું ખેંચે છે.
$(3)$ પુનઃસ્થાપક બળ લોલકના ગોળાના વજનના સ્પર્શકીય ઘટક $(mg \sin \theta)$ દ્વારા પૂરું પાડવામાં આવે છે,જે ગોળાને તેના મધ્યમાન સ્થાન પર પાછા લાવવા માટે કાર્ય કરે છે.
0 likes
View Solution162
EasyMCQ
એક સરળ આવર્ત દોલક $(SHO)$ તેના અડધા આવર્તકાળમાં કેટલા કંપવિસ્તાર જેટલું અંતર કાપે છે?
A
$1$ કંપવિસ્તાર
B
$2$ કંપવિસ્તાર
C
$3$ કંપવિસ્તાર
D
$4$ કંપવિસ્તાર
Solution
(B) સરળ આવર્ત ગતિ $(SHM)$ માં, આવર્તકાળ $(T)$ એ એક પૂર્ણ દોલન પૂર્ણ કરવા માટે લાગતો સમય છે.
એક પૂર્ણ દોલનમાં મધ્યમાન સ્થાનથી એક અંતિમ સ્થાન $(+A)$ સુધી, ત્યાંથી પાછા મધ્યમાન સ્થાન પર, ત્યારબાદ બીજા અંતિમ સ્થાન $(-A)$ પર અને અંતે ફરીથી મધ્યમાન સ્થાન પર પાછા ફરવાનો સમાવેશ થાય છે.
અડધા આવર્તકાળ $(T/2)$ માં, દોલક એક અંતિમ સ્થાનથી બીજા અંતિમ સ્થાન સુધીનું અંતર કાપે છે.
ધન અંતિમ સ્થાન $(+A)$ થી શરૂ કરીને, તે મધ્યમાન સ્થાન સુધી જાય છે (અંતર $A$) અને ત્યારબાદ ઋણ અંતિમ સ્થાન $(-A)$ સુધી જાય છે (અંતર $A$).
આમ, $T/2$ માં કાપેલું કુલ અંતર $A + A = 2A$ છે, જે $2$ કંપવિસ્તારને અનુરૂપ છે.
એક પૂર્ણ દોલનમાં મધ્યમાન સ્થાનથી એક અંતિમ સ્થાન $(+A)$ સુધી, ત્યાંથી પાછા મધ્યમાન સ્થાન પર, ત્યારબાદ બીજા અંતિમ સ્થાન $(-A)$ પર અને અંતે ફરીથી મધ્યમાન સ્થાન પર પાછા ફરવાનો સમાવેશ થાય છે.
અડધા આવર્તકાળ $(T/2)$ માં, દોલક એક અંતિમ સ્થાનથી બીજા અંતિમ સ્થાન સુધીનું અંતર કાપે છે.
ધન અંતિમ સ્થાન $(+A)$ થી શરૂ કરીને, તે મધ્યમાન સ્થાન સુધી જાય છે (અંતર $A$) અને ત્યારબાદ ઋણ અંતિમ સ્થાન $(-A)$ સુધી જાય છે (અંતર $A$).
આમ, $T/2$ માં કાપેલું કુલ અંતર $A + A = 2A$ છે, જે $2$ કંપવિસ્તારને અનુરૂપ છે.
0 likes
View Solution163
EasyMCQ
$SHM$ માં રહેલા કણનું સ્થાનાંતર $x = 5 \sin(\pi t)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $x$ એ $cm$ માં છે. તો કણ દ્વારા સરેરાશ સ્થાનથી મહત્તમ સ્થાનાંતર સુધી પહોંચવા માટે કેટલો સમય લેવામાં આવશે ($, s$ માં)?
A
$0.25$
B
$0.5$
C
$1.0$
D
$2.0$
Solution
(B) સ્થાનાંતરનું સમીકરણ $x = 5 \sin(\pi t)$ છે.
કણ $t = 0$ સમયે સરેરાશ સ્થાનથી શરૂઆત કરે છે.
મહત્તમ સ્થાનાંતર ત્યારે થાય છે જ્યારે $x = A = 5 \, cm$ હોય.
સમીકરણમાં $x = 5$ મૂકતા: $5 = 5 \sin(\pi t)$.
$5$ વડે ભાગતા,આપણને $1 = \sin(\pi t)$ મળે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin(\pi/2) = 1$,તેથી $\pi t = \pi/2$ થાય.
$t$ માટે ઉકેલતા,આપણને $t = 1/2 = 0.5 \, s$ મળે છે.
તેથી,લાગતો સમય $0.5 \, s$ છે.
કણ $t = 0$ સમયે સરેરાશ સ્થાનથી શરૂઆત કરે છે.
મહત્તમ સ્થાનાંતર ત્યારે થાય છે જ્યારે $x = A = 5 \, cm$ હોય.
સમીકરણમાં $x = 5$ મૂકતા: $5 = 5 \sin(\pi t)$.
$5$ વડે ભાગતા,આપણને $1 = \sin(\pi t)$ મળે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin(\pi/2) = 1$,તેથી $\pi t = \pi/2$ થાય.
$t$ માટે ઉકેલતા,આપણને $t = 1/2 = 0.5 \, s$ મળે છે.
તેથી,લાગતો સમય $0.5 \, s$ છે.
0 likes
View Solution164
Easy
$SHM$ નો આવર્તકાળ $T = 2 \pi \sqrt{\frac{\text{સ્થાનાંતર}}{\text{પ્રવેગ}}}$ સૂત્ર દ્વારા પણ માપી શકાય છે. શું આપણે કહી શકીએ કે આવર્તકાળ સ્થાનાંતર પર આધાર રાખે છે?
Solution
(N/A) ના,આવર્તકાળ સ્થાનાંતર પર આધાર રાખતો નથી. $SHM$ માં,પ્રવેગ $a$ એ સ્થાનાંતર $x$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે,જે $a = -\omega^2 x$ સંબંધ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે. જ્યારે આપણે આને સૂત્રમાં મૂકીએ છીએ,ત્યારે સ્થાનાંતરના પદો ઉડી જાય છે: $T = 2 \pi \sqrt{\frac{x}{\omega^2 x}} = 2 \pi \sqrt{\frac{1}{\omega^2}} = \frac{2 \pi}{\omega}$. આમ,આવર્તકાળ સ્થાનાંતરથી સ્વતંત્ર છે.
0 likes
View Solution165
MediumMCQ
કોઈ સિસ્ટમ દોલન કરે તે માટે કયા મૂળભૂત ગુણધર્મો જરૂરી છે?
A
જડત્વ અને સ્થિતિસ્થાપકતા
B
દળ અને ઘર્ષણ
C
વેગ અને પ્રવેગ
D
બળ અને સ્થાનાંતર
Solution
(A) કોઈપણ સિસ્ટમ દોલિત ગતિ કરે તે માટે તેમાં બે મૂળભૂત ગુણધર્મો હોવા જરૂરી છે:
$1$. જડત્વ: આ સિસ્ટમને ગતિજ ઉર્જા સંગ્રહિત કરવા અને તેના સંતુલન સ્થાનથી આગળ વધવા દે છે.
$2$. સ્થિતિસ્થાપકતા (અથવા પુનઃસ્થાપક બળ): આ સિસ્ટમને સ્થિતિ ઉર્જા સંગ્રહિત કરવા દે છે અને સિસ્ટમને તેના સંતુલન સ્થાન પર પાછા લાવવા માટે જરૂરી બળ પૂરું પાડે છે.
તેથી,સાચો જવાબ જડત્વ અને સ્થિતિસ્થાપકતા છે.
$1$. જડત્વ: આ સિસ્ટમને ગતિજ ઉર્જા સંગ્રહિત કરવા અને તેના સંતુલન સ્થાનથી આગળ વધવા દે છે.
$2$. સ્થિતિસ્થાપકતા (અથવા પુનઃસ્થાપક બળ): આ સિસ્ટમને સ્થિતિ ઉર્જા સંગ્રહિત કરવા દે છે અને સિસ્ટમને તેના સંતુલન સ્થાન પર પાછા લાવવા માટે જરૂરી બળ પૂરું પાડે છે.
તેથી,સાચો જવાબ જડત્વ અને સ્થિતિસ્થાપકતા છે.
0 likes
View Solution166
EasyMCQ
શું દોલિત ગતિ અ-આવર્તક હોઈ શકે?
A
હા
B
ના
C
ક્યારેક
D
તંત્ર પર આધાર રાખે છે
Solution
(B) ના,દોલિત ગતિ અ-આવર્તક હોઈ શકે નહીં. વ્યાખ્યા મુજબ,દોલિત ગતિ એટલે સંતુલન સ્થાનની આસપાસ પદાર્થની પુનરાવર્તિત ગતિ. કારણ કે આ ગતિ ચોક્કસ સમયગાળામાં પોતાનું પુનરાવર્તન કરે છે,તેથી તે સ્વાભાવિક રીતે આવર્તક જ હોય છે.
0 likes
View Solution167
EasyMCQ
$SHM$ ના વિકલ સમીકરણ $\frac{d^{2}x}{dt^{2}} + 100x = 0$ માં આવૃત્તિનું મૂલ્ય કેટલું છે?
A
$\frac{10}{\pi} \ Hz$
B
$\frac{5}{\pi} \ Hz$
C
$\frac{20}{\pi} \ Hz$
D
$\frac{1}{\pi} \ Hz$
Solution
(B) $SHM$ માટેનું સામાન્ય વિકલ સમીકરણ $\frac{d^{2}x}{dt^{2}} + \omega^{2}x = 0$ છે.
આપેલ સમીકરણ $\frac{d^{2}x}{dt^{2}} + 100x = 0$ ને સામાન્ય સમીકરણ સાથે સરખાવતા,આપણને $\omega^{2} = 100$ મળે છે.
વર્ગમૂળ લેતા,કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 10 \ rad/s$ મળે છે.
કોણીય આવૃત્તિ $\omega$ અને આવૃત્તિ $f$ વચ્ચેનો સંબંધ $\omega = 2\pi f$ હોવાથી,$2\pi f = 10$ થાય.
તેથી,આવૃત્તિ $f = \frac{10}{2\pi} = \frac{5}{\pi} \ Hz$ થાય.
આપેલ સમીકરણ $\frac{d^{2}x}{dt^{2}} + 100x = 0$ ને સામાન્ય સમીકરણ સાથે સરખાવતા,આપણને $\omega^{2} = 100$ મળે છે.
વર્ગમૂળ લેતા,કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 10 \ rad/s$ મળે છે.
કોણીય આવૃત્તિ $\omega$ અને આવૃત્તિ $f$ વચ્ચેનો સંબંધ $\omega = 2\pi f$ હોવાથી,$2\pi f = 10$ થાય.
તેથી,આવૃત્તિ $f = \frac{10}{2\pi} = \frac{5}{\pi} \ Hz$ થાય.
0 likes
View Solution168
Medium
આવર્ત ગતિ અને સરળ આવર્ત ગતિ વચ્ચેનો તફાવત લખો.
Solution
(N/A) $1$. આવર્ત ગતિ એ કોઈપણ ગતિ છે જે ચોક્કસ સમયના અંતરાલે પોતાનું પુનરાવર્તન કરે છે. સરળ આવર્ત ગતિ $(SHM)$ એ આવર્ત ગતિનો એક વિશિષ્ટ પ્રકાર છે.
$2$. આવર્ત ગતિમાં,પુનઃસ્થાપક બળ સ્થાનાંતરના પ્રમાણમાં હોય તે જરૂરી નથી. $SHM$ માં,પુનઃસ્થાપક બળ હંમેશા સ્થાનાંતરના સમપ્રમાણમાં અને મધ્યમાન સ્થાન તરફ હોય છે,જે $F = -kx$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
$3$. આવર્ત ગતિ માટે કોઈ ચોક્કસ બળના નિયમની જરૂર હોતી નથી,જ્યારે $SHM$ માટે રેખીય પુનઃસ્થાપક બળની જરૂર હોય છે.
$4$. બધી જ $SHM$ આવર્ત ગતિ છે,પરંતુ બધી આવર્ત ગતિ $SHM$ નથી (દા.ત.,નિયમિત વર્તુળાકાર ગતિ એ આવર્ત ગતિ છે પણ $SHM$ નથી).
$2$. આવર્ત ગતિમાં,પુનઃસ્થાપક બળ સ્થાનાંતરના પ્રમાણમાં હોય તે જરૂરી નથી. $SHM$ માં,પુનઃસ્થાપક બળ હંમેશા સ્થાનાંતરના સમપ્રમાણમાં અને મધ્યમાન સ્થાન તરફ હોય છે,જે $F = -kx$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
$3$. આવર્ત ગતિ માટે કોઈ ચોક્કસ બળના નિયમની જરૂર હોતી નથી,જ્યારે $SHM$ માટે રેખીય પુનઃસ્થાપક બળની જરૂર હોય છે.
$4$. બધી જ $SHM$ આવર્ત ગતિ છે,પરંતુ બધી આવર્ત ગતિ $SHM$ નથી (દા.ત.,નિયમિત વર્તુળાકાર ગતિ એ આવર્ત ગતિ છે પણ $SHM$ નથી).
0 likes
View Solution169
Medium
ખાલી જગ્યા પૂરો:
$1.$ $SHM$ કરતા કણ માટે કોઈપણ સ્થાને સ્થાનાંતર અને ....... નો ગુણોત્તર અચળ રહે છે.
$2.$ સંદર્ભ વર્તુળની ત્રિજ્યા એ ઓસિલેટરના .......... જેટલી હોય છે.
$3.$ $SHO$ ના પ્રતિ સેકન્ડ ફેઝમાં થતો વધારો $=$ ......... .
$4.$ $SHO$ એક આવર્તકાળમાં ......... અંતર કાપે છે.
$1.$ $SHM$ કરતા કણ માટે કોઈપણ સ્થાને સ્થાનાંતર અને ....... નો ગુણોત્તર અચળ રહે છે.
$2.$ સંદર્ભ વર્તુળની ત્રિજ્યા એ ઓસિલેટરના .......... જેટલી હોય છે.
$3.$ $SHO$ ના પ્રતિ સેકન્ડ ફેઝમાં થતો વધારો $=$ ......... .
$4.$ $SHO$ એક આવર્તકાળમાં ......... અંતર કાપે છે.
Solution
(A) $1.$ $SHM$ માં સ્થાનાંતર $x$ અને પ્રવેગ $a$ નો ગુણોત્તર $x/a = -1/\omega^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જે અચળ છે. તેથી,સ્થાનાંતર અને પ્રવેગનો ગુણોત્તર અચળ રહે છે.
$2.$ સંદર્ભ વર્તુળની ત્રિજ્યા એ સરેરાશ સ્થાનથી મહત્તમ સ્થાનાંતર દર્શાવે છે,જે કંપવિસ્તાર $(A)$ છે.
$3.$ $SHO$ નો ફેઝ $\phi = \omega t + \phi_0$ છે. સમયની સાપેક્ષમાં ફેઝમાં થતો ફેરફાર $d\phi/dt = \omega$ છે,જે કોણીય આવૃત્તિ છે.
$4.$ એક સંપૂર્ણ દોલન (આવર્તકાળ $T$) માં,કણ સરેરાશથી અંતિમ $(A)$,અંતિમથી સરેરાશ $(A)$,સરેરાશથી બીજા અંતિમ $(A)$ અને પાછા સરેરાશ $(A)$ સુધી જાય છે. કુલ અંતર $= 4A$ (કંપવિસ્તારના ચાર ગણું).
$2.$ સંદર્ભ વર્તુળની ત્રિજ્યા એ સરેરાશ સ્થાનથી મહત્તમ સ્થાનાંતર દર્શાવે છે,જે કંપવિસ્તાર $(A)$ છે.
$3.$ $SHO$ નો ફેઝ $\phi = \omega t + \phi_0$ છે. સમયની સાપેક્ષમાં ફેઝમાં થતો ફેરફાર $d\phi/dt = \omega$ છે,જે કોણીય આવૃત્તિ છે.
$4.$ એક સંપૂર્ણ દોલન (આવર્તકાળ $T$) માં,કણ સરેરાશથી અંતિમ $(A)$,અંતિમથી સરેરાશ $(A)$,સરેરાશથી બીજા અંતિમ $(A)$ અને પાછા સરેરાશ $(A)$ સુધી જાય છે. કુલ અંતર $= 4A$ (કંપવિસ્તારના ચાર ગણું).
0 likes
View Solution170
Medium
ખાલી જગ્યા પૂરો:
$1.$ $SHM$ માં ......... રાશિઓ હંમેશા ધન હોય છે.
$2.$ જે આવર્ત ગતિ બળના નિયમ ......... નું પાલન કરે છે,તે જ સરળ આવર્ત ગતિ છે.
$3.$ $2 \ s$ ના આવર્તકાળ ધરાવતો $SHO$ તેની ગતિના માર્ગના નીચેના છેડેથી દોલન શરૂ કરે છે,તો $t = 2 \ s$ સમયે તેનો કળા (phase) .......... હશે.
$1.$ $SHM$ માં ......... રાશિઓ હંમેશા ધન હોય છે.
$2.$ જે આવર્ત ગતિ બળના નિયમ ......... નું પાલન કરે છે,તે જ સરળ આવર્ત ગતિ છે.
$3.$ $2 \ s$ ના આવર્તકાળ ધરાવતો $SHO$ તેની ગતિના માર્ગના નીચેના છેડેથી દોલન શરૂ કરે છે,તો $t = 2 \ s$ સમયે તેનો કળા (phase) .......... હશે.
Solution
(N/A) $1.$ $SHM$ માં,બળ અને પ્રવેગના મૂલ્યો હંમેશા ધન હોય છે.
$2.$ જે આવર્ત ગતિ બળના નિયમ $F = -kx$ નું પાલન કરે છે,તે સરળ આવર્ત ગતિ છે.
$3.$ આપેલ છે $T = 2 \ s$,પ્રારંભિક સ્થાન નીચેના છેડે (અંતિમ સ્થાન) હોવાથી,પ્રારંભિક કળા $\phi = \frac{3\pi}{2}$ થાય.
કળા $\theta = \frac{2\pi t}{T} + \phi = \frac{2\pi}{2} \times 2 + \frac{3\pi}{2} = 2\pi + \frac{3\pi}{2} = \frac{7\pi}{2} \ rad$.
$2.$ જે આવર્ત ગતિ બળના નિયમ $F = -kx$ નું પાલન કરે છે,તે સરળ આવર્ત ગતિ છે.
$3.$ આપેલ છે $T = 2 \ s$,પ્રારંભિક સ્થાન નીચેના છેડે (અંતિમ સ્થાન) હોવાથી,પ્રારંભિક કળા $\phi = \frac{3\pi}{2}$ થાય.
કળા $\theta = \frac{2\pi t}{T} + \phi = \frac{2\pi}{2} \times 2 + \frac{3\pi}{2} = 2\pi + \frac{3\pi}{2} = \frac{7\pi}{2} \ rad$.
0 likes
View Solution171
Medium
સરળ આવર્ત ગતિના બે મૂળભૂત લક્ષણો કયા છે?
Solution
(N/A) સરળ આવર્ત ગતિના બે મૂળભૂત લક્ષણો નીચે મુજબ છે:
$(i)$ કણનો પ્રવેગ તેના મધ્યમાન સ્થાનથી સ્થાનાંતરના સમપ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $a \propto -x$.
$(ii)$ પ્રવેગની દિશા હંમેશા મધ્યમાન સ્થાન તરફ હોય છે,જે સ્થાનાંતરની દિશાની વિરુદ્ધ હોય છે.
$(i)$ કણનો પ્રવેગ તેના મધ્યમાન સ્થાનથી સ્થાનાંતરના સમપ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $a \propto -x$.
$(ii)$ પ્રવેગની દિશા હંમેશા મધ્યમાન સ્થાન તરફ હોય છે,જે સ્થાનાંતરની દિશાની વિરુદ્ધ હોય છે.
0 likes
View Solution172
MediumMCQ
એક આવર્તકાળમાં દોલક દ્વારા કાપેલું અંતર અને કંપવિસ્તાર વચ્ચેનો ગુણોત્તર કેટલો છે?
A
$1$
B
$2$
C
$4$
D
$8$
Solution
(C) એક આવર્તકાળ $(T)$ માં,સરળ આવર્ત ગતિ $(SHM)$ કરતો દોલક મધ્યમાન સ્થાનથી અંતિમ સ્થાન $(+A)$ સુધી જાય છે,પછી પાછો મધ્યમાન સ્થાન પર આવે છે,ત્યારબાદ બીજા અંતિમ સ્થાન $(-A)$ પર જાય છે,અને અંતે મધ્યમાન સ્થાન પર પાછો ફરે છે.
કાપેલું કુલ અંતર $(d)$ એ આ સ્થાનાંતરોના મૂલ્યોનો સરવાળો છે:
$d = |+A| + |-A| + |-A| + |+A| = 4A$
અહીં,$A$ એ દોલનનો કંપવિસ્તાર છે.
કાપેલા અંતર $(d)$ અને કંપવિસ્તાર $(A)$ નો ગુણોત્તર:
$\text{Ratio} = \frac{d}{A} = \frac{4A}{A} = 4$
કાપેલું કુલ અંતર $(d)$ એ આ સ્થાનાંતરોના મૂલ્યોનો સરવાળો છે:
$d = |+A| + |-A| + |-A| + |+A| = 4A$
અહીં,$A$ એ દોલનનો કંપવિસ્તાર છે.
કાપેલા અંતર $(d)$ અને કંપવિસ્તાર $(A)$ નો ગુણોત્તર:
$\text{Ratio} = \frac{d}{A} = \frac{4A}{A} = 4$
0 likes
View Solution173
Medium
દર્શાવો કે $y = \sin \omega t - \cos \omega t$ દ્વારા દર્શાવેલ કણની ગતિ એ $\frac{2\pi}{\omega}$ આવર્તકાળ ધરાવતી સરળ આવર્ત ગતિ $(SHM)$ છે.
Solution
આપેલ સ્થાનાંતરનું સમીકરણ $y = \sin \omega t - \cos \omega t$ છે.
આને $SHM$ ના પ્રમાણિત સ્વરૂપ $y = A \sin(\omega t + \phi)$ માં દર્શાવવા માટે,આપણે $\sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$ વડે ગુણીએ અને ભાગીએ:
$y = \sqrt{2} \left[ \frac{1}{\sqrt{2}} \sin \omega t - \frac{1}{\sqrt{2}} \cos \omega t \right]$
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin(A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $\cos(\pi/4) = 1/\sqrt{2}$ અને $\sin(\pi/4) = 1/\sqrt{2}$ છે:
$y = \sqrt{2} \left[ \sin \omega t \cos \frac{\pi}{4} - \cos \omega t \sin \frac{\pi}{4} \right]$
$y = \sqrt{2} \sin \left( \omega t - \frac{\pi}{4} \right)$
આ સમીકરણ $y = A \sin(\omega t + \phi)$ ના સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં કંપવિસ્તાર $A = \sqrt{2}$ અને કળા અચળાંક $\phi = -\pi/4$ છે.
કોણીય આવૃત્તિ $\omega$ છે. આવર્તકાળ $T$ એ સંબંધ $T = \frac{2\pi}{\omega}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આમ,આ ગતિ સમયના સાઈન વિધેય તરીકે દર્શાવી શકાય છે,તેથી તે $T = \frac{2\pi}{\omega}$ જેટલા આવર્તકાળ સાથેની $SHM$ દર્શાવે છે.
આને $SHM$ ના પ્રમાણિત સ્વરૂપ $y = A \sin(\omega t + \phi)$ માં દર્શાવવા માટે,આપણે $\sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$ વડે ગુણીએ અને ભાગીએ:
$y = \sqrt{2} \left[ \frac{1}{\sqrt{2}} \sin \omega t - \frac{1}{\sqrt{2}} \cos \omega t \right]$
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin(A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $\cos(\pi/4) = 1/\sqrt{2}$ અને $\sin(\pi/4) = 1/\sqrt{2}$ છે:
$y = \sqrt{2} \left[ \sin \omega t \cos \frac{\pi}{4} - \cos \omega t \sin \frac{\pi}{4} \right]$
$y = \sqrt{2} \sin \left( \omega t - \frac{\pi}{4} \right)$
આ સમીકરણ $y = A \sin(\omega t + \phi)$ ના સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં કંપવિસ્તાર $A = \sqrt{2}$ અને કળા અચળાંક $\phi = -\pi/4$ છે.
કોણીય આવૃત્તિ $\omega$ છે. આવર્તકાળ $T$ એ સંબંધ $T = \frac{2\pi}{\omega}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આમ,આ ગતિ સમયના સાઈન વિધેય તરીકે દર્શાવી શકાય છે,તેથી તે $T = \frac{2\pi}{\omega}$ જેટલા આવર્તકાળ સાથેની $SHM$ દર્શાવે છે.
0 likes
View Solution174
DifficultMCQ
$SHM$ કરતા કણનું સમીકરણ $x = 3 \cos(\frac{\pi}{2}t)$ cm દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $t$ સેકન્ડમાં છે. પ્રથમ $8.5$ સેકન્ડમાં કણ દ્વારા કાપેલું અંતર કેટલું હશે?
A
$24 + \frac{3}{\sqrt{2}}$ cm
B
$27 - \frac{3}{\sqrt{2}}$ cm
C
$24 - \frac{3}{\sqrt{2}}$ cm
D
$27 + \frac{3}{\sqrt{2}}$ cm
Solution
(B) આપેલ સમીકરણ $x(t) = 3 \cos(\frac{\pi}{2}t)$ છે.
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \frac{\pi}{2}$ rad/s છે.
આવર્તકાળ $T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{\pi/2} = 4$ s છે.
એક આવર્તકાળ ($T = 4$ s) માં,કણ $4A$ જેટલું અંતર કાપે છે,જ્યાં $A = 3$ cm છે.
તેથી,એક આવર્તકાળમાં અંતર = $4 \times 3 = 12$ cm.
$8.5$ સેકન્ડમાં,આવર્તકાળની સંખ્યા $n = \frac{8.5}{4} = 2.125$ છે.
$2$ પૂર્ણ આવર્તકાળમાં અંતર = $2 \times 12 = 24$ cm.
બાકી રહેતો સમય $0.5$ s છે.
$t = 8$ s પર,કણનું સ્થાન $x(8) = 3 \cos(\frac{\pi}{2} \times 8) = 3 \cos(4\pi) = 3$ cm છે.
$t = 8.5$ s પર,કણનું સ્થાન $x(8.5) = 3 \cos(\frac{\pi}{2} \times 8.5) = 3 \cos(4\pi + \frac{\pi}{4}) = 3 \cos(\frac{\pi}{4}) = 3 \times \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{3}{\sqrt{2}}$ cm છે.
છેલ્લી $0.5$ s માં કાપેલું અંતર $|x(8.5) - x(8)| = |\frac{3}{\sqrt{2}} - 3| = 3 - \frac{3}{\sqrt{2}}$ cm છે.
કુલ અંતર = $24 + (3 - \frac{3}{\sqrt{2}}) = 27 - \frac{3}{\sqrt{2}}$ cm.
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \frac{\pi}{2}$ rad/s છે.
આવર્તકાળ $T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{\pi/2} = 4$ s છે.
એક આવર્તકાળ ($T = 4$ s) માં,કણ $4A$ જેટલું અંતર કાપે છે,જ્યાં $A = 3$ cm છે.
તેથી,એક આવર્તકાળમાં અંતર = $4 \times 3 = 12$ cm.
$8.5$ સેકન્ડમાં,આવર્તકાળની સંખ્યા $n = \frac{8.5}{4} = 2.125$ છે.
$2$ પૂર્ણ આવર્તકાળમાં અંતર = $2 \times 12 = 24$ cm.
બાકી રહેતો સમય $0.5$ s છે.
$t = 8$ s પર,કણનું સ્થાન $x(8) = 3 \cos(\frac{\pi}{2} \times 8) = 3 \cos(4\pi) = 3$ cm છે.
$t = 8.5$ s પર,કણનું સ્થાન $x(8.5) = 3 \cos(\frac{\pi}{2} \times 8.5) = 3 \cos(4\pi + \frac{\pi}{4}) = 3 \cos(\frac{\pi}{4}) = 3 \times \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{3}{\sqrt{2}}$ cm છે.
છેલ્લી $0.5$ s માં કાપેલું અંતર $|x(8.5) - x(8)| = |\frac{3}{\sqrt{2}} - 3| = 3 - \frac{3}{\sqrt{2}}$ cm છે.
કુલ અંતર = $24 + (3 - \frac{3}{\sqrt{2}}) = 27 - \frac{3}{\sqrt{2}}$ cm.
0 likes
View Solution175
MediumMCQ
આવર્ત ગતિ દર્શાવતું વિધેય ઓળખો.
A
$e^{-\omega t}$
B
$e^{\omega t}$
C
$\log_{e}(\omega t)$
D
$\sin \omega t + \cos \omega t$
Solution
(D) વિધેય $f(t)$ આવર્ત છે જો તે સમયના નિશ્ચિત અંતરાલ $T$ પછી તેનું મૂલ્ય પુનરાવર્તિત કરે,એટલે કે $f(t) = f(t + T)$.
$1$. વિધેયો $e^{-\omega t}$,$e^{\omega t}$,અને $\log_{e}(\omega t)$ એ અ-આવર્ત વિધેયો છે કારણ કે તે નિયમિત અંતરાલે તેમના મૂલ્યોનું પુનરાવર્તન કરતા નથી.
$2$. વિધેય $f(t) = \sin \omega t + \cos \omega t$ માટે,આપણે $t$ ને $t + T$ વડે બદલીને આવર્તતા ચકાસી શકીએ છીએ:
$f(t + T) = \sin(\omega(t + T)) + \cos(\omega(t + T)) = \sin(\omega t + \omega T) + \cos(\omega t + \omega T)$.
$3$. જો આપણે $T = \frac{2\pi}{\omega}$ લઈએ,તો $\omega T = 2\pi$ થાય. આ કિંમત મૂકતા:
$f(t + T) = \sin(\omega t + 2\pi) + \cos(\omega t + 2\pi) = \sin \omega t + \cos \omega t = f(t)$.
આમ,વિધેય $T = \frac{2\pi}{\omega}$ જેટલા સમયગાળા પછી પોતાનું પુનરાવર્તન કરે છે,તેથી તે આવર્ત ગતિ દર્શાવે છે.
$1$. વિધેયો $e^{-\omega t}$,$e^{\omega t}$,અને $\log_{e}(\omega t)$ એ અ-આવર્ત વિધેયો છે કારણ કે તે નિયમિત અંતરાલે તેમના મૂલ્યોનું પુનરાવર્તન કરતા નથી.
$2$. વિધેય $f(t) = \sin \omega t + \cos \omega t$ માટે,આપણે $t$ ને $t + T$ વડે બદલીને આવર્તતા ચકાસી શકીએ છીએ:
$f(t + T) = \sin(\omega(t + T)) + \cos(\omega(t + T)) = \sin(\omega t + \omega T) + \cos(\omega t + \omega T)$.
$3$. જો આપણે $T = \frac{2\pi}{\omega}$ લઈએ,તો $\omega T = 2\pi$ થાય. આ કિંમત મૂકતા:
$f(t + T) = \sin(\omega t + 2\pi) + \cos(\omega t + 2\pi) = \sin \omega t + \cos \omega t = f(t)$.
આમ,વિધેય $T = \frac{2\pi}{\omega}$ જેટલા સમયગાળા પછી પોતાનું પુનરાવર્તન કરે છે,તેથી તે આવર્ત ગતિ દર્શાવે છે.
0 likes
View Solution176
DifficultMCQ
સમયનું વિધેય જે $\frac{\pi}{\omega}$ આવર્તકાળ ધરાવતી સરળ આવર્ત ગતિ $(SHM)$ દર્શાવે છે તે છે:
A
$\sin (\omega t)+\cos (\omega t)$
B
$\cos (\omega t)+\cos (2 \omega t)+\cos (3 \omega t)$
C
$\sin ^{2}(\omega t)$
D
$3 \cos \left(\frac{\pi}{4}-2 \omega t\right)$
Solution
(D) સરળ આવર્ત ગતિ $(SHM)$ નો આવર્તકાળ $T = \frac{2\pi}{\omega'}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\omega'$ એ $SHM$ ની કોણીય આવૃત્તિ છે.
આપેલ છે કે $T = \frac{\pi}{\omega}$,તેથી $\frac{\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{\omega'}$,જેનો અર્થ છે કે $\omega' = 2\omega$.
આપણે એવું વિધેય શોધવાનું છે જે $2\omega$ કોણીય આવૃત્તિ સાથે $SHM$ દર્શાવે.
વિકલ્પ $(C)$ માટે: $\sin^2(\omega t) = \frac{1 - \cos(2\omega t)}{2} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\cos(2\omega t)$. આ એક અચળ પદ અને $2\omega$ કોણીય આવૃત્તિ ધરાવતી $SHM$ દર્શાવે છે.
વિકલ્પ $(D)$ માટે: $3 \cos \left(\frac{\pi}{4} - 2\omega t\right) = 3 \cos \left(2\omega t - \frac{\pi}{4}\right)$. આ $x(t) = A \cos(\omega' t + \phi)$ સ્વરૂપનું પ્રમાણિત $SHM$ સમીકરણ છે,જેમાં કોણીય આવૃત્તિ $\omega' = 2\omega$ છે.
બંને $(C)$ અને $(D)$ સાચી આવૃત્તિ ધરાવે છે,પરંતુ $(D)$ એ શુદ્ધ $SHM$ વિધેય છે,જ્યારે $(C)$ માં અચળ પદનો સમાવેશ થાય છે.
આપેલ છે કે $T = \frac{\pi}{\omega}$,તેથી $\frac{\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{\omega'}$,જેનો અર્થ છે કે $\omega' = 2\omega$.
આપણે એવું વિધેય શોધવાનું છે જે $2\omega$ કોણીય આવૃત્તિ સાથે $SHM$ દર્શાવે.
વિકલ્પ $(C)$ માટે: $\sin^2(\omega t) = \frac{1 - \cos(2\omega t)}{2} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\cos(2\omega t)$. આ એક અચળ પદ અને $2\omega$ કોણીય આવૃત્તિ ધરાવતી $SHM$ દર્શાવે છે.
વિકલ્પ $(D)$ માટે: $3 \cos \left(\frac{\pi}{4} - 2\omega t\right) = 3 \cos \left(2\omega t - \frac{\pi}{4}\right)$. આ $x(t) = A \cos(\omega' t + \phi)$ સ્વરૂપનું પ્રમાણિત $SHM$ સમીકરણ છે,જેમાં કોણીય આવૃત્તિ $\omega' = 2\omega$ છે.
બંને $(C)$ અને $(D)$ સાચી આવૃત્તિ ધરાવે છે,પરંતુ $(D)$ એ શુદ્ધ $SHM$ વિધેય છે,જ્યારે $(C)$ માં અચળ પદનો સમાવેશ થાય છે.
0 likes
View Solution177
DifficultMCQ
બિંદુ $A$ એ $0.36\, m$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળના પરિઘ પર સમાન ઝડપે ગતિ કરે છે અને $0.1\, s$ માં $30^{\circ}$ ખૂણો કાપે છે. વ્યાસ $MN$ પર $A$ નો લંબ પ્રક્ષેપ $P$ એ $P$ ની સરળ આવર્ત ગતિ દર્શાવે છે. જ્યારે $P$ એ $M$ ને સ્પર્શે ત્યારે એકમ દળ દીઠ પુનઃસ્થાપક બળ ...... $N/kg$ હશે.
A
$100$
B
$0.49$
C
$50$
D
$9.87$
Solution
(D) આપેલ છે કે,બિંદુ $A$ એ $t = 0.1\, s$ સમયમાં $\theta = 30^{\circ} = \frac{\pi}{6} \text{ રેડિયન}$ ખૂણો કાપે છે.
ઝડપ સમાન હોવાથી,કોણીય વેગ $\omega = \frac{\theta}{t} = \frac{\pi/6}{0.1} = \frac{\pi}{0.6} = \frac{5\pi}{3} \text{ rad/s}$ મળે.
વર્તુળની ત્રિજ્યા $R = 0.36\, m$ છે,જે સરળ આવર્ત ગતિનો કંપવિસ્તાર $A_{amp}$ દર્શાવે છે.
સરળ આવર્ત ગતિ કરતા $m$ દળના કણ પર લાગતું પુનઃસ્થાપક બળ $F = -m\omega^2 x$ છે,જ્યાં $x$ એ સ્થાનાંતર છે.
જ્યારે $P$ એ $M$ ને સ્પર્શે,ત્યારે સ્થાનાંતર $x$ એ કંપવિસ્તાર $R = 0.36\, m$ જેટલું હોય છે.
એકમ દળ દીઠ પુનઃસ્થાપક બળ $\frac{F}{m} = \omega^2 R$ થાય.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{F}{m} = \left(\frac{5\pi}{3}\right)^2 \times 0.36 = \frac{25\pi^2}{9} \times 0.36$.
$\pi^2 \approx 9.87$ લેતા,$\frac{F}{m} = \frac{25 \times 9.87}{9} \times 0.36 = 25 \times 9.87 \times 0.04 = 25 \times 0.3948 = 9.87\, N/kg$ મળે.
ઝડપ સમાન હોવાથી,કોણીય વેગ $\omega = \frac{\theta}{t} = \frac{\pi/6}{0.1} = \frac{\pi}{0.6} = \frac{5\pi}{3} \text{ rad/s}$ મળે.
વર્તુળની ત્રિજ્યા $R = 0.36\, m$ છે,જે સરળ આવર્ત ગતિનો કંપવિસ્તાર $A_{amp}$ દર્શાવે છે.
સરળ આવર્ત ગતિ કરતા $m$ દળના કણ પર લાગતું પુનઃસ્થાપક બળ $F = -m\omega^2 x$ છે,જ્યાં $x$ એ સ્થાનાંતર છે.
જ્યારે $P$ એ $M$ ને સ્પર્શે,ત્યારે સ્થાનાંતર $x$ એ કંપવિસ્તાર $R = 0.36\, m$ જેટલું હોય છે.
એકમ દળ દીઠ પુનઃસ્થાપક બળ $\frac{F}{m} = \omega^2 R$ થાય.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{F}{m} = \left(\frac{5\pi}{3}\right)^2 \times 0.36 = \frac{25\pi^2}{9} \times 0.36$.
$\pi^2 \approx 9.87$ લેતા,$\frac{F}{m} = \frac{25 \times 9.87}{9} \times 0.36 = 25 \times 9.87 \times 0.04 = 25 \times 0.3948 = 9.87\, N/kg$ મળે.
0 likes
View Solution178
AdvancedMCQ
એક બિંદુવત કણ પર પુનઃસ્થાપક બળ $F = -k x^3$ લાગે છે. જ્યારે કંપવિસ્તાર $A$ હોય ત્યારે દોલનનો આવર્તકાળ $T$ છે. તો $2A$ કંપવિસ્તાર માટે આવર્તકાળ કેટલો થશે?
A
$T$
B
$T/2$
C
$2T$
D
$4T$
Solution
(B) પુનઃસ્થાપક બળ $F = -kx^3$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. સ્થિતિઊર્જા $U = \int kx^3 dx = \frac{1}{4} kx^4$ છે.
$m$ દળ ધરાવતા કણ માટે જે $A$ કંપવિસ્તાર સાથે દોલન કરે છે,કુલ ઊર્જા $E = \frac{1}{4} kA^4$ છે.
કોઈપણ સ્થાન $x$ પર વેગ $v$ માટે: $\frac{1}{2} mv^2 + \frac{1}{4} kx^4 = \frac{1}{4} kA^4$.
$v = \frac{dx}{dt} = \sqrt{\frac{k}{2m}} \sqrt{A^4 - x^4}$.
આવર્તકાળ $T$ એ $x=0$ થી $x=A$ સુધી જવા માટે લાગતા સમયના $4$ ગણો છે:
$T = 4 \int_0^A \frac{dx}{\sqrt{\frac{k}{2m}} \sqrt{A^4 - x^4}} = 4 \sqrt{\frac{2m}{k}} \int_0^A \frac{dx}{\sqrt{A^4 - x^4}}$.
ધારો કે $x = Ay$,તો $dx = A dy$. જ્યારે $x=0, y=0$; જ્યારે $x=A, y=1$.
$T = 4 \sqrt{\frac{2m}{k}} \int_0^1 \frac{A dy}{\sqrt{A^4 - A^4 y^4}} = \frac{4}{A} \sqrt{\frac{2m}{k}} \int_0^1 \frac{dy}{\sqrt{1 - y^4}}$.
આમ,$T \propto \frac{1}{A}$.
જો કંપવિસ્તાર $A$ થી બદલાઈને $2A$ થાય,તો નવો આવર્તકાળ $T'$ એ $\frac{T'}{T} = \frac{A}{2A} = \frac{1}{2}$ મુજબ મળે.
તેથી,$T' = T/2$.
$m$ દળ ધરાવતા કણ માટે જે $A$ કંપવિસ્તાર સાથે દોલન કરે છે,કુલ ઊર્જા $E = \frac{1}{4} kA^4$ છે.
કોઈપણ સ્થાન $x$ પર વેગ $v$ માટે: $\frac{1}{2} mv^2 + \frac{1}{4} kx^4 = \frac{1}{4} kA^4$.
$v = \frac{dx}{dt} = \sqrt{\frac{k}{2m}} \sqrt{A^4 - x^4}$.
આવર્તકાળ $T$ એ $x=0$ થી $x=A$ સુધી જવા માટે લાગતા સમયના $4$ ગણો છે:
$T = 4 \int_0^A \frac{dx}{\sqrt{\frac{k}{2m}} \sqrt{A^4 - x^4}} = 4 \sqrt{\frac{2m}{k}} \int_0^A \frac{dx}{\sqrt{A^4 - x^4}}$.
ધારો કે $x = Ay$,તો $dx = A dy$. જ્યારે $x=0, y=0$; જ્યારે $x=A, y=1$.
$T = 4 \sqrt{\frac{2m}{k}} \int_0^1 \frac{A dy}{\sqrt{A^4 - A^4 y^4}} = \frac{4}{A} \sqrt{\frac{2m}{k}} \int_0^1 \frac{dy}{\sqrt{1 - y^4}}$.
આમ,$T \propto \frac{1}{A}$.
જો કંપવિસ્તાર $A$ થી બદલાઈને $2A$ થાય,તો નવો આવર્તકાળ $T'$ એ $\frac{T'}{T} = \frac{A}{2A} = \frac{1}{2}$ મુજબ મળે.
તેથી,$T' = T/2$.
0 likes
View Solution179
AdvancedMCQ
$L$ લંબાઈના સળિયાનો એક છેડો $R$ ત્રિજ્યાવાળા પૈડાની પરિઘ પરના એક બિંદુ પર જડેલો છે. બીજો છેડો પૈડાના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી સીધી ચેનલ પર મુક્તપણે સરકે છે,જે નીચેની આકૃતિમાં દર્શાવેલ છે. પૈડું $O$ ની આસપાસ અચળ કોણીય વેગ $\omega$ થી ફરે છે. $T = \frac{2 \pi}{\omega}$ લેતા,સળિયાની ગતિ કેવી હશે?
A
સરળ આવર્ત ગતિ,જેનો આવર્તકાળ $T$ છે
B
સરળ આવર્ત ગતિ,જેનો આવર્તકાળ $T / 2$ છે
C
સરળ આવર્ત ગતિ નથી,પરંતુ $T$ આવર્તકાળ ધરાવતી આવર્ત ગતિ છે
D
સરળ આવર્ત ગતિ નથી,પરંતુ $T / 2$ આવર્તકાળ ધરાવતી આવર્ત ગતિ છે
Solution
(C) ધારો કે પરિઘ પરના બિંદુનું સ્થાન $(R \cos \theta, R \sin \theta)$ છે,જ્યાં $\theta = \omega t$ છે. સળિયાનો બીજો છેડો કેન્દ્ર $O$ થી આડા અક્ષ પર $x$ અંતરે છે. સળિયા દ્વારા બનતા ત્રિકોણમાં પાયથાગોરસના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$L^2 = (x - R \cos \theta)^2 + (R \sin \theta)^2$ મળે છે.
આનું વિસ્તરણ કરતા,$L^2 = x^2 - 2xR \cos \theta + R^2 \cos^2 \theta + R^2 \sin^2 \theta$,જેનું સાદું રૂપ $L^2 = x^2 - 2xR \cos \theta + R^2$ થાય છે.
આ $x$ માં એક દ્વિઘાત સમીકરણ છે: $x^2 - (2R \cos \theta)x + (R^2 - L^2) = 0$.
$x$ માટે ઉકેલતા,$x = R \cos \theta + \sqrt{R^2 \cos^2 \theta - (R^2 - L^2)} = R \cos \theta + \sqrt{L^2 - R^2 \sin^2 \theta}$ મળે છે.
ગતિ $\cos \theta$ અને $\sin^2 \theta$ (જ્યાં $\theta = \omega t$) પર આધારિત હોવાથી,સ્થાન $x(t)$ એ $T = \frac{2 \pi}{\omega}$ આવર્તકાળ ધરાવતું આવર્ત વિધેય છે. જોકે,વર્ગમૂળના પદને કારણે,આ ગતિ સરળ આવર્ત ગતિ નથી (જેના માટે $x(t) = A \cos(\omega t + \phi)$ હોવું જરૂરી છે). આમ,ગતિ આવર્ત છે પણ સરળ આવર્ત નથી.
આનું વિસ્તરણ કરતા,$L^2 = x^2 - 2xR \cos \theta + R^2 \cos^2 \theta + R^2 \sin^2 \theta$,જેનું સાદું રૂપ $L^2 = x^2 - 2xR \cos \theta + R^2$ થાય છે.
આ $x$ માં એક દ્વિઘાત સમીકરણ છે: $x^2 - (2R \cos \theta)x + (R^2 - L^2) = 0$.
$x$ માટે ઉકેલતા,$x = R \cos \theta + \sqrt{R^2 \cos^2 \theta - (R^2 - L^2)} = R \cos \theta + \sqrt{L^2 - R^2 \sin^2 \theta}$ મળે છે.
ગતિ $\cos \theta$ અને $\sin^2 \theta$ (જ્યાં $\theta = \omega t$) પર આધારિત હોવાથી,સ્થાન $x(t)$ એ $T = \frac{2 \pi}{\omega}$ આવર્તકાળ ધરાવતું આવર્ત વિધેય છે. જોકે,વર્ગમૂળના પદને કારણે,આ ગતિ સરળ આવર્ત ગતિ નથી (જેના માટે $x(t) = A \cos(\omega t + \phi)$ હોવું જરૂરી છે). આમ,ગતિ આવર્ત છે પણ સરળ આવર્ત નથી.
0 likes
View Solution180
MediumMCQ
એક પદાર્થ સંતુલન સ્થિતિ $x=0$ ની આસપાસ કંપવિસ્તાર $a$ અને આવર્તકાળ $T$ સાથે સરળ આવર્ત ગતિ કરે છે. આ ગતિ કરતા પદાર્થના યાદચ્છિક રીતે મોટી સંખ્યામાં ફોટા (snapshots) લેવામાં આવે છે. પદાર્થ ખૂબ જ નાના અંતરાલ $x$ થી $x+|dx|$ માં મળી આવવાની સંભાવના ક્યાં સૌથી વધુ હશે?
A
$x=\pm a$
B
$x=0$
C
$x=\pm \frac{a}{2}$
D
$x=\pm \frac{a}{\sqrt{2}}$
Solution
(A) સરળ આવર્ત ગતિમાં,પદાર્થનો વેગ $v = \omega \sqrt{a^2 - x^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પદાર્થ દ્વારા નાના અંતરાલ $dx$ માં વિતાવવામાં આવેલ સમય $dt$ એ $dt = \frac{dx}{v} = \frac{dx}{\omega \sqrt{a^2 - x^2}}$ છે.
અંતરાલ $dx$ માં પદાર્થ મળી આવવાની સંભાવના $P(x)dx$ એ તે અંતરાલમાં વિતાવેલા સમયના પ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $P(x) \propto \frac{1}{v} = \frac{1}{\omega \sqrt{a^2 - x^2}}$.
જેમ $x \to \pm a$ થાય,તેમ વેગ $v \to 0$ થાય છે,જેનો અર્થ છે કે વિતાવેલો સમય $dt \to \infty$ થાય છે.
તેથી,પદાર્થને શોધવાની સંભાવના અંતિમ સ્થાનો $x = \pm a$ પર સૌથી વધુ હોય છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.
પદાર્થ દ્વારા નાના અંતરાલ $dx$ માં વિતાવવામાં આવેલ સમય $dt$ એ $dt = \frac{dx}{v} = \frac{dx}{\omega \sqrt{a^2 - x^2}}$ છે.
અંતરાલ $dx$ માં પદાર્થ મળી આવવાની સંભાવના $P(x)dx$ એ તે અંતરાલમાં વિતાવેલા સમયના પ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $P(x) \propto \frac{1}{v} = \frac{1}{\omega \sqrt{a^2 - x^2}}$.
જેમ $x \to \pm a$ થાય,તેમ વેગ $v \to 0$ થાય છે,જેનો અર્થ છે કે વિતાવેલો સમય $dt \to \infty$ થાય છે.
તેથી,પદાર્થને શોધવાની સંભાવના અંતિમ સ્થાનો $x = \pm a$ પર સૌથી વધુ હોય છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.
0 likes
View Solution181
AdvancedMCQ
નીચેની આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ એક-પરિમાણીય પોટેન્શિયલ $V(x)$ ધ્યાનમાં લો. $m$ દળનો એક શાસ્ત્રીય કણ તેની અસર હેઠળ ગતિ કરે છે અને તેની કુલ ઉર્જા $E$ નીચે મુજબ છે. આ ગતિ કેવી છે?
A
અ-આવર્તક
B
સ્થિર
C
આવર્તક પરંતુ સરળ આવર્ત ગતિ નથી
D
સરળ આવર્ત ગતિ
Solution
(C) સાચો જવાબ $C$ છે.
આપેલ પોટેન્શિયલ ઉર્જા વક્ર $V(x)$ માં,કણ ટર્નિંગ પોઈન્ટ્સ $r_1$ અને $r_2$ ની વચ્ચે મર્યાદિત છે જ્યાં કુલ ઉર્જા $E$ એ પોટેન્શિયલ ઉર્જા $V(x)$ જેટલી છે.
કણ બે બિંદુઓ વચ્ચે મર્યાદિત હોવાથી અને પોટેન્શિયલ ઉર્જા મર્યાદિત હોવાથી,કણ $r_1$ અને $r_2$ ની વચ્ચે આગળ-પાછળ દોલન કરશે,જે ગતિને આવર્તક બનાવે છે.
જો કે,ગતિ સરળ આવર્ત ગતિ હોવા માટે,પોટેન્શિયલ ઉર્જા સંતુલન સ્થિતિ $r_0$ ની આસપાસ સંમિત હોવી જોઈએ અને $U(x) = \frac{1}{2} k (x - r_0)^2$ સ્વરૂપનું પાલન કરવું જોઈએ.
આકૃતિમાં જોયા મુજબ,પોટેન્શિયલ ઉર્જા વક્ર $V(x)$ એ સંતુલન સ્થિતિ $r_0$ ની આસપાસ સંમિત નથી (તે અસંમિત છે). તેથી,ગતિ આવર્તક છે પરંતુ સરળ આવર્ત ગતિ નથી.
આપેલ પોટેન્શિયલ ઉર્જા વક્ર $V(x)$ માં,કણ ટર્નિંગ પોઈન્ટ્સ $r_1$ અને $r_2$ ની વચ્ચે મર્યાદિત છે જ્યાં કુલ ઉર્જા $E$ એ પોટેન્શિયલ ઉર્જા $V(x)$ જેટલી છે.
કણ બે બિંદુઓ વચ્ચે મર્યાદિત હોવાથી અને પોટેન્શિયલ ઉર્જા મર્યાદિત હોવાથી,કણ $r_1$ અને $r_2$ ની વચ્ચે આગળ-પાછળ દોલન કરશે,જે ગતિને આવર્તક બનાવે છે.
જો કે,ગતિ સરળ આવર્ત ગતિ હોવા માટે,પોટેન્શિયલ ઉર્જા સંતુલન સ્થિતિ $r_0$ ની આસપાસ સંમિત હોવી જોઈએ અને $U(x) = \frac{1}{2} k (x - r_0)^2$ સ્વરૂપનું પાલન કરવું જોઈએ.
આકૃતિમાં જોયા મુજબ,પોટેન્શિયલ ઉર્જા વક્ર $V(x)$ એ સંતુલન સ્થિતિ $r_0$ ની આસપાસ સંમિત નથી (તે અસંમિત છે). તેથી,ગતિ આવર્તક છે પરંતુ સરળ આવર્ત ગતિ નથી.
0 likes
View Solution182
AdvancedMCQ
એક પોટેન્શિયલ $x < 0$ માટે $V(x) = k(x+a)^2 / 2$ અને $x > 0$ માટે $V(x) = k(x-a)^2 / 2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. આ પોટેન્શિયલમાં આવર્ત ગતિ કરતા કણ માટે,તેની ઉર્જા $E$ ના વિધેય તરીકે દોલનનો આવર્તકાળ $T$ નો આલેખ કેવો હશે?
A
B
C
D
Solution
(B) પોટેન્શિયલ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$V(x) = \begin{cases} \frac{k(x+a)^2}{2}, & x < 0 \\ \frac{k(x-a)^2}{2}, & x > 0 \end{cases}$
આ $x = 0$ પર જોડાયેલા બે અડધા પેરાબોલા દર્શાવે છે. પોટેન્શિયલ ઉર્જા $U(x) = mV(x)$ છે.
$E$ ઉર્જા ધરાવતા કણ માટે,ટર્નિંગ પોઈન્ટ્સ $U(x) = E$ દ્વારા મળે છે.
જો $E$ નાનું હોય,તો કણ બેમાંથી એક વેલમાં (કાં તો $x < 0$ અથવા $x > 0$) દોલન કરે છે. આ કિસ્સામાં,ગતિ સરળ આવર્ત ગતિ છે,તેથી આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{m/k}$ છે,જે $E$ થી સ્વતંત્ર છે.
જેમ $E$ વધે છે,કણ $x = 0$ પરના અવરોધને ઓળંગે છે. $E > V(0) = ka^2/2$ માટે,કણ બંને પ્રદેશોમાં દોલન કરે છે. કુલ આવર્તકાળ $T$ એ દરેક પ્રદેશમાં વિતાવેલા સમયનો સરવાળો છે. જેમ $E$ વધુ વધે છે,કણ પોટેન્શિયલના સપાટ ભાગોમાં વધુ સમય વિતાવે છે,જેના કારણે આવર્તકાળ $T$ એ $E$ સાથે વધે છે. આમ,આલેખ ઓછા $E$ માટે અચળ $T$ દર્શાવે છે,ત્યારબાદ એક કૂદકો અને ઉચ્ચ $E$ માટે વધતો $T$ દર્શાવે છે,જે આલેખ $(b)$ ને અનુરૂપ છે.
$V(x) = \begin{cases} \frac{k(x+a)^2}{2}, & x < 0 \\ \frac{k(x-a)^2}{2}, & x > 0 \end{cases}$
આ $x = 0$ પર જોડાયેલા બે અડધા પેરાબોલા દર્શાવે છે. પોટેન્શિયલ ઉર્જા $U(x) = mV(x)$ છે.
$E$ ઉર્જા ધરાવતા કણ માટે,ટર્નિંગ પોઈન્ટ્સ $U(x) = E$ દ્વારા મળે છે.
જો $E$ નાનું હોય,તો કણ બેમાંથી એક વેલમાં (કાં તો $x < 0$ અથવા $x > 0$) દોલન કરે છે. આ કિસ્સામાં,ગતિ સરળ આવર્ત ગતિ છે,તેથી આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{m/k}$ છે,જે $E$ થી સ્વતંત્ર છે.
જેમ $E$ વધે છે,કણ $x = 0$ પરના અવરોધને ઓળંગે છે. $E > V(0) = ka^2/2$ માટે,કણ બંને પ્રદેશોમાં દોલન કરે છે. કુલ આવર્તકાળ $T$ એ દરેક પ્રદેશમાં વિતાવેલા સમયનો સરવાળો છે. જેમ $E$ વધુ વધે છે,કણ પોટેન્શિયલના સપાટ ભાગોમાં વધુ સમય વિતાવે છે,જેના કારણે આવર્તકાળ $T$ એ $E$ સાથે વધે છે. આમ,આલેખ ઓછા $E$ માટે અચળ $T$ દર્શાવે છે,ત્યારબાદ એક કૂદકો અને ઉચ્ચ $E$ માટે વધતો $T$ દર્શાવે છે,જે આલેખ $(b)$ ને અનુરૂપ છે.
0 likes
View Solution183
MediumMCQ
એક કણ $y$-અક્ષ પર $y=0$ ની આસપાસ $SHM$ કરી રહ્યો છે. કોઈ ક્ષણે તેનું સ્થાન $y = (7 \, m) \sin(\pi t)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. $0$ થી $0.5 \, s$ ના સમયગાળા માટે તેનો સરેરાશ વેગ ........... $m/s$ છે.
A
$14$
B
$7$
C
$1/7$
D
$28$
Solution
(A) સરેરાશ વેગ એટલે કુલ સ્થાનાંતર અને કુલ સમયગાળાનો ગુણોત્તર.
$v_{\text{avg}} = \frac{\Delta y}{\Delta t} = \frac{y(t_2) - y(t_1)}{t_2 - t_1}$
આપેલ સ્થાનનું સમીકરણ $y(t) = 7 \sin(\pi t)$ છે.
$t_1 = 0 \, s$ સમયે,$y_1 = 7 \sin(0) = 0 \, m$.
$t_2 = 0.5 \, s$ સમયે,$y_2 = 7 \sin(\pi \times 0.5) = 7 \sin(\pi/2) = 7 \times 1 = 7 \, m$.
સ્થાનાંતર $\Delta y = y_2 - y_1 = 7 - 0 = 7 \, m$.
સમયગાળો $\Delta t = 0.5 - 0 = 0.5 \, s$.
તેથી,$v_{\text{avg}} = \frac{7}{0.5} = 14 \, m/s$.
$v_{\text{avg}} = \frac{\Delta y}{\Delta t} = \frac{y(t_2) - y(t_1)}{t_2 - t_1}$
આપેલ સ્થાનનું સમીકરણ $y(t) = 7 \sin(\pi t)$ છે.
$t_1 = 0 \, s$ સમયે,$y_1 = 7 \sin(0) = 0 \, m$.
$t_2 = 0.5 \, s$ સમયે,$y_2 = 7 \sin(\pi \times 0.5) = 7 \sin(\pi/2) = 7 \times 1 = 7 \, m$.
સ્થાનાંતર $\Delta y = y_2 - y_1 = 7 - 0 = 7 \, m$.
સમયગાળો $\Delta t = 0.5 - 0 = 0.5 \, s$.
તેથી,$v_{\text{avg}} = \frac{7}{0.5} = 14 \, m/s$.
0 likes
View Solution184
EasyMCQ
સાચી વ્યાખ્યા ઓળખો.
A
જો દરેક ચોક્કસ સમયના અંતરાલ પછી,કણ તેની ગતિનું પુનરાવર્તન કરે,તો તે ગતિને આવર્ત ગતિ કહેવામાં આવે છે.
B
ચોક્કસ સમયના અંતરાલમાં કણની તેના મધ્યમાન સ્થાનની આસપાસ સમાન પથ પર થતી આગળ-પાછળની ગતિને દોલિત ગતિ કહેવામાં આવે છે.
C
એક જ સાઈન (sine) અને કોસાઈન (cosine) વિધેયોના સંદર્ભમાં વર્ણવેલ દોલિત ગતિને સરળ આવર્ત ગતિ કહેવામાં આવે છે.
D
આ તમામ.
Solution
(D) આવર્ત ગતિ એટલે એવી ગતિ જે સમયના નિયમિત અંતરાલે પોતાનું પુનરાવર્તન કરે છે.
દોલિત ગતિ એટલે કણની તેના મધ્યમાન સ્થાનની આસપાસ નિશ્ચિત સમયના અંતરાલમાં થતી આગળ-પાછળની ગતિ.
સરળ આવર્ત ગતિ એ દોલિત ગતિનો એક વિશિષ્ટ પ્રકાર છે જેને ગાણિતિક રીતે એક જ સાઈન અથવા કોસાઈન વિધેયનો ઉપયોગ કરીને વર્ણવી શકાય છે.
આ ત્રણેય વિધાનો વૈજ્ઞાનિક રીતે સચોટ વ્યાખ્યાઓ હોવાથી,સાચો વિકલ્પ $(d)$ છે.
દોલિત ગતિ એટલે કણની તેના મધ્યમાન સ્થાનની આસપાસ નિશ્ચિત સમયના અંતરાલમાં થતી આગળ-પાછળની ગતિ.
સરળ આવર્ત ગતિ એ દોલિત ગતિનો એક વિશિષ્ટ પ્રકાર છે જેને ગાણિતિક રીતે એક જ સાઈન અથવા કોસાઈન વિધેયનો ઉપયોગ કરીને વર્ણવી શકાય છે.
આ ત્રણેય વિધાનો વૈજ્ઞાનિક રીતે સચોટ વ્યાખ્યાઓ હોવાથી,સાચો વિકલ્પ $(d)$ છે.
0 likes
View Solution185
EasyMCQ
$S.H.M.$ કરતા કણનું સ્થાનાંતર $x = 0.01 \sin 100 \pi(t + 0.05)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. તો તેનો આવર્તકાળ ........ $s$ છે.
A
$0.01$
B
$0.02$
C
$0.1$
D
$0.2$
Solution
(B) સ્થાનાંતર માટેનું આપેલ સમીકરણ $x = 0.01 \sin 100 \pi(t + 0.05)$ છે.
આ સમીકરણને $S.H.M.$ ના પ્રમાણિત સમીકરણ $x = A \sin(\omega t + \phi)$ સાથે સરખાવતા,આપણને કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 100 \pi \, rad/s$ મળે છે.
આવર્તકાળ $T$ અને કોણીય આવૃત્તિ વચ્ચેનો સંબંધ $T = \frac{2 \pi}{\omega}$ છે.
$\omega$ ની કિંમત મૂકતા:
$T = \frac{2 \pi}{100 \pi} = \frac{1}{50} = 0.02 \, s$.
આમ,આવર્તકાળ $0.02 \, s$ છે.
આ સમીકરણને $S.H.M.$ ના પ્રમાણિત સમીકરણ $x = A \sin(\omega t + \phi)$ સાથે સરખાવતા,આપણને કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 100 \pi \, rad/s$ મળે છે.
આવર્તકાળ $T$ અને કોણીય આવૃત્તિ વચ્ચેનો સંબંધ $T = \frac{2 \pi}{\omega}$ છે.
$\omega$ ની કિંમત મૂકતા:
$T = \frac{2 \pi}{100 \pi} = \frac{1}{50} = 0.02 \, s$.
આમ,આવર્તકાળ $0.02 \, s$ છે.
0 likes
View Solution186
EasyMCQ
સરળ આવર્ત ગતિનું સમીકરણ નીચેનામાંથી કયું ન હોઈ શકે? (દરેક પદ તેના સામાન્ય અર્થમાં છે):
A
$x = A \sin(\omega t + \phi)$
B
$x = A \cos(\omega t - \phi)$
C
$x = a \sin(\omega t) + b \cos(\omega t)$
D
$x = A \sin(\omega t + \phi) + B \sin(2\omega t + \phi)$
Solution
(D) સાચો જવાબ $(D)$ છે.
સરળ આવર્ત ગતિ $(S.H.M.)$ એક જ આવૃત્તિ ઘટક દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
વિકલ્પ $(A)$,$(B)$,અને $(C)$ એ એક જ કોણીય આવૃત્તિ $\omega$ ધરાવતી $S.H.M.$ ના પ્રમાણિત સ્વરૂપો છે.
વિકલ્પ $(D)$ એ બે અલગ-અલગ આવૃત્તિઓ ($\omega$ અને $2\omega$) ધરાવતી $S.H.M.$ નું સંપાતીકરણ દર્શાવે છે.
પરિણામી ગતિમાં એક કરતા વધુ આવૃત્તિઓ હોવાથી,તે સરળ આવર્ત ગતિ નથી,પરંતુ એક જટિલ આવર્ત ગતિ છે.
સરળ આવર્ત ગતિ $(S.H.M.)$ એક જ આવૃત્તિ ઘટક દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
વિકલ્પ $(A)$,$(B)$,અને $(C)$ એ એક જ કોણીય આવૃત્તિ $\omega$ ધરાવતી $S.H.M.$ ના પ્રમાણિત સ્વરૂપો છે.
વિકલ્પ $(D)$ એ બે અલગ-અલગ આવૃત્તિઓ ($\omega$ અને $2\omega$) ધરાવતી $S.H.M.$ નું સંપાતીકરણ દર્શાવે છે.
પરિણામી ગતિમાં એક કરતા વધુ આવૃત્તિઓ હોવાથી,તે સરળ આવર્ત ગતિ નથી,પરંતુ એક જટિલ આવર્ત ગતિ છે.
0 likes
View Solution187
EasyMCQ
સરળ આવર્ત ગતિ $(S.H.M.)$ વિશે ખોટું વિધાન પસંદ કરો.
A
પદાર્થ સમાન પ્રવેગી ગતિ કરે છે.
B
પદાર્થનો વેગ દરેક ક્ષણે સરળતાથી બદલાય છે.
C
દોલનનો કંપવિસ્તાર સંતુલન સ્થાનની આસપાસ સંમિત હોય છે.
D
દોલનની આવૃત્તિ કંપવિસ્તારથી સ્વતંત્ર છે.
Solution
(A) $S.H.M.$ માં,પ્રવેગ $a$ એ સમીકરણ $a = -\omega^2 x$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\omega$ એ કોણીય આવૃત્તિ છે અને $x$ એ સંતુલન સ્થાનથી સ્થાનાંતર છે.
જેમ કે પ્રવેગ $a$ એ સ્થાનાંતર $x$ પર આધાર રાખે છે,તેથી તે ગતિ દરમિયાન અચળ રહેતો નથી.
તેથી,પદાર્થ સમાન પ્રવેગી ગતિ કરતો નથી; તેના બદલે,તેનો પ્રવેગ સ્થાનાંતર સાથે રેખીય રીતે બદલાય છે.
આમ,પદાર્થ સમાન પ્રવેગી ગતિ કરે છે તે વિધાન ખોટું છે.
જેમ કે પ્રવેગ $a$ એ સ્થાનાંતર $x$ પર આધાર રાખે છે,તેથી તે ગતિ દરમિયાન અચળ રહેતો નથી.
તેથી,પદાર્થ સમાન પ્રવેગી ગતિ કરતો નથી; તેના બદલે,તેનો પ્રવેગ સ્થાનાંતર સાથે રેખીય રીતે બદલાય છે.
આમ,પદાર્થ સમાન પ્રવેગી ગતિ કરે છે તે વિધાન ખોટું છે.
0 likes
View Solution188
EasyMCQ
$F = -5(x - 2)$ બળ હેઠળ ગતિ કરતા કણ માટે,ગતિ ........... છે.
A
$S.H.M.$
B
દોલિત (Oscillatory)
C
સ્થાનાંતરીય (Translatory)
D
$(a)$ અને $(b)$ બંને
Solution
(D) આપેલ બળ $F = -5(x - 2)$ છે.
ધારો કે $x' = x - 2$,તો $F = -5x'$ થાય.
અહીં બળ એ સંતુલન સ્થિતિથી સ્થાનાંતરના ઋણ પ્રમાણમાં છે $(F \propto -x')$,તેથી આ ગતિ સરળ આવર્ત ગતિ $(S.H.M.)$ છે.
દરેક $S.H.M.$ એ દોલિત ગતિ પણ હોય છે.
તેથી,આ ગતિ $S.H.M.$ અને દોલિત બંને છે.
ધારો કે $x' = x - 2$,તો $F = -5x'$ થાય.
અહીં બળ એ સંતુલન સ્થિતિથી સ્થાનાંતરના ઋણ પ્રમાણમાં છે $(F \propto -x')$,તેથી આ ગતિ સરળ આવર્ત ગતિ $(S.H.M.)$ છે.
દરેક $S.H.M.$ એ દોલિત ગતિ પણ હોય છે.
તેથી,આ ગતિ $S.H.M.$ અને દોલિત બંને છે.
0 likes
View Solution189
MediumMCQ
એક કણ સમીકરણ $4 \frac{d^2 x}{d t^2} + 320 x = 0$ મુજબ સરળ આવર્ત ગતિ કરે છે. તેનો દોલનનો આવર્તકાળ ......... છે.
A
$\frac{2 \pi}{5 \sqrt{3}} \ s$
B
$\frac{\pi}{3 \sqrt{2}} \ s$
C
$\frac{\pi}{2 \sqrt{5}} \ s$
D
$\frac{2 \pi}{\sqrt{3}} \ s$
Solution
(C) આપેલ સમીકરણ $4 \frac{d^2 x}{d t^2} + 320 x = 0$ છે.
$4$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{d^2 x}{d t^2} + 80 x = 0$ મળે છે.
પ્રવેગ $a = \frac{d^2 x}{d t^2}$ હોવાથી,આપણે $a = -80 x$ લખી શકીએ.
આને $S.H.M.$ ના પ્રમાણિત સમીકરણ $a = -\omega^2 x$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\omega^2 = 80$ મળે છે.
તેથી,$\omega = \sqrt{80} = \sqrt{16 \times 5} = 4 \sqrt{5} \ rad/s$.
આવર્તકાળ $T$ નું સૂત્ર $T = \frac{2 \pi}{\omega}$ છે.
$\omega$ ની કિંમત મૂકતા,$T = \frac{2 \pi}{4 \sqrt{5}} = \frac{\pi}{2 \sqrt{5}} \ s$ મળે છે.
$4$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{d^2 x}{d t^2} + 80 x = 0$ મળે છે.
પ્રવેગ $a = \frac{d^2 x}{d t^2}$ હોવાથી,આપણે $a = -80 x$ લખી શકીએ.
આને $S.H.M.$ ના પ્રમાણિત સમીકરણ $a = -\omega^2 x$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\omega^2 = 80$ મળે છે.
તેથી,$\omega = \sqrt{80} = \sqrt{16 \times 5} = 4 \sqrt{5} \ rad/s$.
આવર્તકાળ $T$ નું સૂત્ર $T = \frac{2 \pi}{\omega}$ છે.
$\omega$ ની કિંમત મૂકતા,$T = \frac{2 \pi}{4 \sqrt{5}} = \frac{\pi}{2 \sqrt{5}} \ s$ મળે છે.
0 likes
View Solution190
EasyMCQ
એક કણની $S.H.M.$ સમીકરણ $x = 2 \sin \omega t + 4 \cos \omega t$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. તેના દોલનનો કંપવિસ્તાર ........ એકમ છે.
A
$4$
B
$2$
C
$6$
D
$2 \sqrt{5}$
Solution
(D) આપેલ સમીકરણ $x = 2 \sin \omega t + 4 \cos \omega t$ છે.
$x = A_1 \sin \omega t + A_2 \cos \omega t$ સ્વરૂપના કોઈપણ સમીકરણને $x = A \sin(\omega t + \phi)$ તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે,જ્યાં કંપવિસ્તાર $A$ એ $A = \sqrt{A_1^2 + A_2^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$A_1 = 2$ અને $A_2 = 4$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$A = \sqrt{2^2 + 4^2}$
$A = \sqrt{4 + 16}$
$A = \sqrt{20}$
$A = \sqrt{4 \times 5} = 2 \sqrt{5}$.
તેથી,દોલનનો કંપવિસ્તાર $2 \sqrt{5}$ એકમ છે.
$x = A_1 \sin \omega t + A_2 \cos \omega t$ સ્વરૂપના કોઈપણ સમીકરણને $x = A \sin(\omega t + \phi)$ તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે,જ્યાં કંપવિસ્તાર $A$ એ $A = \sqrt{A_1^2 + A_2^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$A_1 = 2$ અને $A_2 = 4$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$A = \sqrt{2^2 + 4^2}$
$A = \sqrt{4 + 16}$
$A = \sqrt{20}$
$A = \sqrt{4 \times 5} = 2 \sqrt{5}$.
તેથી,દોલનનો કંપવિસ્તાર $2 \sqrt{5}$ એકમ છે.
0 likes
View Solution191
EasyMCQ
$S.H.M.$ નું સમીકરણ,જેનો કંપવિસ્તાર $A$ અને કોણીય આવૃત્તિ $\omega$ છે,જેમાં તમામ અંતરો એક અંતિમ સ્થાનથી માપવામાં આવે છે અને સમય બીજા અંતિમ સ્થાન પર શૂન્ય લેવામાં આવે છે,તે શું છે?
A
$x = A \sin \omega t$
B
$x = A(\cos \omega t + \sin \omega t)$
C
$x = A - A \cos \omega t$
D
$x = A + A \cos \omega t$
Solution
(D) ધારો કે બે અંતિમ સ્થાનો $x = 0$ અને $x = 2A$ છે.
$t = 0$ સમયે,કણ 'બીજા' અંતિમ સ્થાન પર છે. ધારો કે આ સ્થાન $x = 2A$ છે.
$S.H.M.$ માટેનું સામાન્ય સમીકરણ $x' = A \cos(\omega t + \phi)$ છે,જ્યાં $x'$ એ મધ્યમાન સ્થાન $x = A$ થી માપવામાં આવે છે.
તેથી,$x - A = A \cos(\omega t + \phi)$.
$t = 0$ સમયે,$x = 2A$,તેથી $2A - A = A \cos(\phi) \implies A = A \cos(\phi) \implies \cos(\phi) = 1 \implies \phi = 0$.
સમીકરણમાં $\phi = 0$ મૂકતા: $x - A = A \cos(\omega t) \implies x = A + A \cos(\omega t)$.
$t = 0$ સમયે,કણ 'બીજા' અંતિમ સ્થાન પર છે. ધારો કે આ સ્થાન $x = 2A$ છે.
$S.H.M.$ માટેનું સામાન્ય સમીકરણ $x' = A \cos(\omega t + \phi)$ છે,જ્યાં $x'$ એ મધ્યમાન સ્થાન $x = A$ થી માપવામાં આવે છે.
તેથી,$x - A = A \cos(\omega t + \phi)$.
$t = 0$ સમયે,$x = 2A$,તેથી $2A - A = A \cos(\phi) \implies A = A \cos(\phi) \implies \cos(\phi) = 1 \implies \phi = 0$.
સમીકરણમાં $\phi = 0$ મૂકતા: $x - A = A \cos(\omega t) \implies x = A + A \cos(\omega t)$.
0 likes
View Solution192
MediumMCQ
આકૃતિ $S.H.M.$ માં રહેલા પદાર્થનો સ્થાન-સમય આલેખ દર્શાવે છે. આ ગતિને દર્શાવતું સાચું સમીકરણ .......... છે.
A
$2 \sin \left(\frac{2 \pi}{5} t+\frac{\pi}{6}\right)$
B
$4 \sin \left(\frac{\pi}{5} t+\frac{\pi}{6}\right)$
C
$4 \sin \left(\frac{\pi}{6} t+\frac{\pi}{3}\right)$
D
$4 \sin \left(\frac{\pi}{6} t+\frac{\pi}{6}\right)$
Solution
(D) $S.H.M.$ માટેનું સામાન્ય સમીકરણ $x = A \sin(\omega t + \phi)$ છે.
આલેખ પરથી,કંપવિસ્તાર $A = 4 \, cm$ છે.
કણ $t=5 \, s$ સમયે સરેરાશ સ્થાન $(x=0)$ માંથી પસાર થાય છે અને $t=11 \, s$ સમયે ફરીથી સરેરાશ સ્થાન પર પહોંચે છે. અડધું ચક્ર પૂર્ણ કરવા માટે લાગતો સમય $11 - 5 = 6 \, s$ છે. તેથી,આવર્તકાળ $T = 2 \times 6 = 12 \, s$ છે.
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \frac{2 \pi}{T} = \frac{2 \pi}{12} = \frac{\pi}{6} \, rad/s$ છે.
$t = 0$ સમયે,સ્થાનાંતર $x = 2 \, cm$ છે. આ કિંમતોને સામાન્ય સમીકરણમાં મૂકતા:
$2 = 4 \sin(\omega(0) + \phi)$
$2 = 4 \sin(\phi)$
$\sin(\phi) = \frac{1}{2}$
$\phi = \frac{\pi}{6}$ (કારણ કે કણ ધન અંતિમ બિંદુ તરફ ગતિ કરી રહ્યો છે).
આમ,સમીકરણ $x = 4 \sin \left(\frac{\pi}{6} t + \frac{\pi}{6}\right)$ છે.
આલેખ પરથી,કંપવિસ્તાર $A = 4 \, cm$ છે.
કણ $t=5 \, s$ સમયે સરેરાશ સ્થાન $(x=0)$ માંથી પસાર થાય છે અને $t=11 \, s$ સમયે ફરીથી સરેરાશ સ્થાન પર પહોંચે છે. અડધું ચક્ર પૂર્ણ કરવા માટે લાગતો સમય $11 - 5 = 6 \, s$ છે. તેથી,આવર્તકાળ $T = 2 \times 6 = 12 \, s$ છે.
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \frac{2 \pi}{T} = \frac{2 \pi}{12} = \frac{\pi}{6} \, rad/s$ છે.
$t = 0$ સમયે,સ્થાનાંતર $x = 2 \, cm$ છે. આ કિંમતોને સામાન્ય સમીકરણમાં મૂકતા:
$2 = 4 \sin(\omega(0) + \phi)$
$2 = 4 \sin(\phi)$
$\sin(\phi) = \frac{1}{2}$
$\phi = \frac{\pi}{6}$ (કારણ કે કણ ધન અંતિમ બિંદુ તરફ ગતિ કરી રહ્યો છે).
આમ,સમીકરણ $x = 4 \sin \left(\frac{\pi}{6} t + \frac{\pi}{6}\right)$ છે.
0 likes
View Solution193
MediumMCQ
એક કણ $T = 4 \ s$ ના આવર્તકાળ સાથે સરળ આવર્ત ગતિ $(SHM)$ કરે છે. $t = 0$ સમયે,કણ એવી સ્થિતિમાં છે જ્યાં $x$-અક્ષ સાથે તેનો કોણીય સ્થાન $45^\circ$ છે. $x$-અક્ષ પર કણનું સ્થાનાંતર સમીકરણ શોધો.
A
$x = a \sin(\frac{\pi}{2}t + \frac{\pi}{4})$
B
$x = a \cos(\frac{\pi}{2}t + \frac{\pi}{4})$
C
$x = a \sin(\frac{\pi}{4}t + \frac{\pi}{2})$
D
$x = a \cos(\frac{\pi}{4}t + \frac{\pi}{4})$
Solution
(B) $SHM$ માં સ્થાનાંતર માટેનું સામાન્ય સમીકરણ $x(t) = a \cos(\omega t + \phi)$ છે,જ્યાં $a$ એ કંપવિસ્તાર છે,$\omega$ એ કોણીય આવૃત્તિ છે,અને $\phi$ એ પ્રારંભિક કળા છે.
આપેલ આવર્તકાળ $T = 4 \ s$ માટે,કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2} \ \text{rad/s}$ થાય.
$t = 0$ સમયે,કણ $x$-અક્ષ સાથે $45^\circ$ ના ખૂણે છે,તેથી પ્રારંભિક કળા $\phi = 45^\circ = \frac{\pi}{4} \ \text{rad}$ છે.
આ કિંમતોને સામાન્ય સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $x(t) = a \cos(\frac{\pi}{2}t + \frac{\pi}{4})$ મળે છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.
આપેલ આવર્તકાળ $T = 4 \ s$ માટે,કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2} \ \text{rad/s}$ થાય.
$t = 0$ સમયે,કણ $x$-અક્ષ સાથે $45^\circ$ ના ખૂણે છે,તેથી પ્રારંભિક કળા $\phi = 45^\circ = \frac{\pi}{4} \ \text{rad}$ છે.
આ કિંમતોને સામાન્ય સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $x(t) = a \cos(\frac{\pi}{2}t + \frac{\pi}{4})$ મળે છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.
0 likes
View Solution194
DifficultMCQ
$0.1 \ kg$ દળ ધરાવતો એક બિંદુવત કણ $0.1 \ m$ ના કંપનવિસ્તાર સાથે $S.H.M.$ કરે છે. જ્યારે કણ સરેરાશ સ્થાન (મધ્યમાન સ્થાન) માંથી પસાર થાય છે,ત્યારે તેની ગતિઊર્જા $8 \times 10^{-3} \ J$ છે. જો દોલનનો પ્રારંભિક કળા તફાવત $45^{\circ}$ હોય,તો આ કણનું ગતિનું સમીકરણ મેળવો.
A
$y=0.1 \sin \left(\pm 4 t+\frac{\pi}{4}\right)$
B
$y=0.2 \sin \left(\pm 4 t+\frac{\pi}{4}\right)$
C
$y=0.1 \sin \left(\pm 2 t+\frac{\pi}{4}\right)$
D
$y=0.2 \sin \left(\pm 2 t+\frac{\pi}{4}\right)$
Solution
(A) $S.H.M.$ માં કણનું સ્થાનાંતર $y = a \sin (\omega t + \phi)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વેગ $v = \frac{dy}{dt} = \omega a \cos (\omega t + \phi)$ છે.
મધ્યમાન સ્થાન પર વેગ મહત્તમ હોય છે,જ્યાં $v_{max} = \omega a$ થાય.
મધ્યમાન સ્થાન પર ગતિઊર્જા $K.E._{max} = \frac{1}{2} m v_{max}^2 = \frac{1}{2} m \omega^2 a^2$ છે.
અહીં $m = 0.1 \ kg$,$a = 0.1 \ m$,અને $K.E._{max} = 8 \times 10^{-3} \ J$ આપેલ છે,તેથી:
$8 \times 10^{-3} = \frac{1}{2} \times 0.1 \times \omega^2 \times (0.1)^2$.
$8 \times 10^{-3} = 0.5 \times 0.1 \times \omega^2 \times 0.01$.
$8 \times 10^{-3} = 0.0005 \times \omega^2$.
$\omega^2 = \frac{8 \times 10^{-3}}{5 \times 10^{-4}} = 16$.
$\omega = \pm 4 \ rad/s$.
પ્રારંભિક કળા $\phi = 45^{\circ} = \frac{\pi}{4} \ rad$ હોવાથી,ગતિનું સમીકરણ $y = 0.1 \sin (\pm 4t + \frac{\pi}{4})$ મળે છે.
વેગ $v = \frac{dy}{dt} = \omega a \cos (\omega t + \phi)$ છે.
મધ્યમાન સ્થાન પર વેગ મહત્તમ હોય છે,જ્યાં $v_{max} = \omega a$ થાય.
મધ્યમાન સ્થાન પર ગતિઊર્જા $K.E._{max} = \frac{1}{2} m v_{max}^2 = \frac{1}{2} m \omega^2 a^2$ છે.
અહીં $m = 0.1 \ kg$,$a = 0.1 \ m$,અને $K.E._{max} = 8 \times 10^{-3} \ J$ આપેલ છે,તેથી:
$8 \times 10^{-3} = \frac{1}{2} \times 0.1 \times \omega^2 \times (0.1)^2$.
$8 \times 10^{-3} = 0.5 \times 0.1 \times \omega^2 \times 0.01$.
$8 \times 10^{-3} = 0.0005 \times \omega^2$.
$\omega^2 = \frac{8 \times 10^{-3}}{5 \times 10^{-4}} = 16$.
$\omega = \pm 4 \ rad/s$.
પ્રારંભિક કળા $\phi = 45^{\circ} = \frac{\pi}{4} \ rad$ હોવાથી,ગતિનું સમીકરણ $y = 0.1 \sin (\pm 4t + \frac{\pi}{4})$ મળે છે.
0 likes
View Solution195
MediumMCQ
સમય $t$ પર કણનું સ્થાનાંતર આ મુજબ આપવામાં આવે છે: $x = A \sin (-2 \omega t) + B \sin^2 \omega t$. તો,
A
કણની ગતિ $\sqrt{A^2 + \frac{B^2}{4}}$ જેટલા કંપવિસ્તાર સાથેની $SHM$ છે.
B
કણની ગતિ $SHM$ નથી,પરંતુ $T = \pi / \omega$ જેટલા આવર્તકાળ સાથેની દોલિત ગતિ છે.
C
કણની ગતિ $T = \pi / 2 \omega$ જેટલા આવર્તકાળ સાથેની દોલિત ગતિ છે.
D
કણની ગતિ અનાવર્તી (aperiodic) છે.
Solution
(A) કણનું સ્થાનાંતર $x = A \sin (-2 \omega t) + B \sin^2 \omega t$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin^2 \theta = \frac{1 - \cos 2 \theta}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$x = -A \sin 2 \omega t + \frac{B}{2} (1 - \cos 2 \omega t)$.
$x = -A \sin 2 \omega t - \frac{B}{2} \cos 2 \omega t + \frac{B}{2}$.
ધારો કે $x' = x - \frac{B}{2} = -(A \sin 2 \omega t + \frac{B}{2} \cos 2 \omega t)$.
આ સમીકરણ $x' = -R \sin (2 \omega t + \phi)$ ના સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $R = \sqrt{A^2 + (B/2)^2} = \sqrt{A^2 + \frac{B^2}{4}}$.
સ્થાનાંતરને સરેરાશ સ્થાન $x = B/2$ ની આસપાસ એક જ સાઈન વિધેય તરીકે દર્શાવી શકાતું હોવાથી,આ ગતિ $\sqrt{A^2 + \frac{B^2}{4}}$ કંપવિસ્તાર સાથેની સરળ આવર્ત ગતિ $(SHM)$ છે.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin^2 \theta = \frac{1 - \cos 2 \theta}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$x = -A \sin 2 \omega t + \frac{B}{2} (1 - \cos 2 \omega t)$.
$x = -A \sin 2 \omega t - \frac{B}{2} \cos 2 \omega t + \frac{B}{2}$.
ધારો કે $x' = x - \frac{B}{2} = -(A \sin 2 \omega t + \frac{B}{2} \cos 2 \omega t)$.
આ સમીકરણ $x' = -R \sin (2 \omega t + \phi)$ ના સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $R = \sqrt{A^2 + (B/2)^2} = \sqrt{A^2 + \frac{B^2}{4}}$.
સ્થાનાંતરને સરેરાશ સ્થાન $x = B/2$ ની આસપાસ એક જ સાઈન વિધેય તરીકે દર્શાવી શકાતું હોવાથી,આ ગતિ $\sqrt{A^2 + \frac{B^2}{4}}$ કંપવિસ્તાર સાથેની સરળ આવર્ત ગતિ $(SHM)$ છે.
0 likes
View Solution196
EasyMCQ
બિન-આવર્ત ગતિ દર્શાવતું વિધેય ઓળખો.
A
$e^{-\omega t}$
B
$\sin \omega t$
C
$\sin \omega t + \cos \omega t$
D
$\sin (\omega t + \pi / 4)$
Solution
(A) આવર્ત વિધેય એ છે જે સમયના નિયમિત અંતરાલે તેના મૂલ્યોનું પુનરાવર્તન કરે છે.
$\sin \omega t$,$\cos \omega t$ અને તેમના રેખીય સંયોજનો જેવા વિધેયો આવર્ત છે કારણ કે તેઓ $T = 2\pi / \omega$ જેટલા સમયગાળા પછી તેમના મૂલ્યોનું પુનરાવર્તન કરે છે.
વિધેય $f(t) = e^{-\omega t}$ એ ઘાતાંકીય ક્ષય વિધેય છે.
જેમ જેમ $t$ વધે છે,તેમ $e^{-\omega t}$ એકધારી રીતે ઘટે છે અને $t \to \infty$ થાય ત્યારે શૂન્યની નજીક પહોંચે છે.
તે ક્યારેય તેના મૂલ્યોનું પુનરાવર્તન કરતું નથી,તેથી તે બિન-આવર્ત ગતિ દર્શાવે છે.
$\sin \omega t$,$\cos \omega t$ અને તેમના રેખીય સંયોજનો જેવા વિધેયો આવર્ત છે કારણ કે તેઓ $T = 2\pi / \omega$ જેટલા સમયગાળા પછી તેમના મૂલ્યોનું પુનરાવર્તન કરે છે.
વિધેય $f(t) = e^{-\omega t}$ એ ઘાતાંકીય ક્ષય વિધેય છે.
જેમ જેમ $t$ વધે છે,તેમ $e^{-\omega t}$ એકધારી રીતે ઘટે છે અને $t \to \infty$ થાય ત્યારે શૂન્યની નજીક પહોંચે છે.
તે ક્યારેય તેના મૂલ્યોનું પુનરાવર્તન કરતું નથી,તેથી તે બિન-આવર્ત ગતિ દર્શાવે છે.
0 likes
View Solution197
EasyMCQ
આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ,કેન્દ્ર $O$ ની આસપાસ $r$ ત્રિજ્યાના વર્તુળાકાર પથ પર $\omega$ કોણીય વેગથી ભ્રમણ કરતા કણ $P$ માટે,$t$ સમયે $x$-અક્ષ પર $OP$ નો પ્રક્ષેપ ................. છે.
A
$x(t)=r \cos \left(\omega t+\frac{\pi}{6}\right)$
B
$x(t)=r \cos (\omega t)$
C
$x(t)=r \sin \left(\omega t+\frac{\pi}{6}\right)$
D
$x(t)=r \cos \left(\omega t-\frac{\pi}{6}\right)$
Solution
(A) કણ $P$ નિયમિત વર્તુળાકાર ગતિ કરે છે. $t=0$ સમયે,સ્થાન સદિશ $OP$ એ ધન $x$-અક્ષ સાથે $30^{\circ}$ (અથવા $\pi/6$ રેડિયન) નો ખૂણો બનાવે છે.
કોઈપણ સમય $t$ પર,કણ ઘડિયાળના કાંટાની વિરુદ્ધ દિશામાં $\omega t$ જેટલા ખૂણે ફરે છે.
તેથી,$t$ સમયે સ્થાન સદિશ $OP$ દ્વારા ધન $x$-અક્ષ સાથે બનાવેલો કુલ ખૂણો $\theta = \omega t + 30^{\circ} = \omega t + \frac{\pi}{6}$ છે.
$x$-અક્ષ પર સ્થાન સદિશ $OP$ નો પ્રક્ષેપ $x(t) = r \cos(\theta)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\theta$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $x(t) = r \cos \left(\omega t + \frac{\pi}{6}\right)$ મળે છે.
કોઈપણ સમય $t$ પર,કણ ઘડિયાળના કાંટાની વિરુદ્ધ દિશામાં $\omega t$ જેટલા ખૂણે ફરે છે.
તેથી,$t$ સમયે સ્થાન સદિશ $OP$ દ્વારા ધન $x$-અક્ષ સાથે બનાવેલો કુલ ખૂણો $\theta = \omega t + 30^{\circ} = \omega t + \frac{\pi}{6}$ છે.
$x$-અક્ષ પર સ્થાન સદિશ $OP$ નો પ્રક્ષેપ $x(t) = r \cos(\theta)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\theta$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $x(t) = r \cos \left(\omega t + \frac{\pi}{6}\right)$ મળે છે.
0 likes
View Solution198
MediumMCQ
રેખીય સરળ આવર્ત ગતિ $(SHM)$ માં:
$(A)$ પુનઃસ્થાપક બળ સ્થાનાંતરના સમપ્રમાણમાં હોય છે.
$(B)$ પ્રવેગ અને સ્થાનાંતર પરસ્પર વિરુદ્ધ દિશામાં હોય છે.
$(C)$ મધ્યમાન સ્થાને વેગ મહત્તમ હોય છે.
$(D)$ અંતિમ બિંદુઓ પર પ્રવેગ લઘુત્તમ હોય છે.
નીચે આપેલા વિકલ્પોમાંથી સાચો જવાબ પસંદ કરો:
$(A)$ પુનઃસ્થાપક બળ સ્થાનાંતરના સમપ્રમાણમાં હોય છે.
$(B)$ પ્રવેગ અને સ્થાનાંતર પરસ્પર વિરુદ્ધ દિશામાં હોય છે.
$(C)$ મધ્યમાન સ્થાને વેગ મહત્તમ હોય છે.
$(D)$ અંતિમ બિંદુઓ પર પ્રવેગ લઘુત્તમ હોય છે.
નીચે આપેલા વિકલ્પોમાંથી સાચો જવાબ પસંદ કરો:
A
માત્ર $(A), (B)$ અને $(C)$
B
માત્ર $(C)$ અને $(D)$
C
માત્ર $(A), (B)$ અને $(D)$
D
માત્ર $(A), (C)$ અને $(D)$
Solution
(A) રેખીય સરળ આવર્ત ગતિ $(SHM)$ માં:
$(A)$ પુનઃસ્થાપક બળ $F = -kx$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જેનો અર્થ છે કે બળ સ્થાનાંતર $x$ ના સમપ્રમાણમાં છે અને વિરુદ્ધ દિશામાં કાર્ય કરે છે. તેથી,વિધાન $(A)$ સાચું છે.
$(B)$ પ્રવેગ $a$ એ $a = -\omega^2 x$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. પ્રવેગ એ સ્થાનાંતરના ઋણ મૂલ્યના સમપ્રમાણમાં હોવાથી,તેઓ હંમેશા વિરુદ્ધ દિશામાં હોય છે. તેથી,વિધાન $(B)$ સાચું છે.
$(C)$ $SHM$ માં વેગ $v$ એ $v = \omega \sqrt{A^2 - x^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. મધ્યમાન સ્થાને $(x = 0)$,વેગ $v = \omega A$ થાય છે,જે મહત્તમ મૂલ્ય છે. તેથી,વિધાન $(C)$ સાચું છે.
$(D)$ પ્રવેગનું મૂલ્ય $|a| = \omega^2 |x|$ છે. અંતિમ બિંદુઓ પર $(x = \pm A)$,સ્થાનાંતર મહત્તમ હોય છે,તેથી પ્રવેગ પણ મહત્તમ હોય છે. તેથી,વિધાન $(D)$ ખોટું છે.
આમ,વિધાનો $(A), (B)$ અને $(C)$ સાચા છે.
$(A)$ પુનઃસ્થાપક બળ $F = -kx$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જેનો અર્થ છે કે બળ સ્થાનાંતર $x$ ના સમપ્રમાણમાં છે અને વિરુદ્ધ દિશામાં કાર્ય કરે છે. તેથી,વિધાન $(A)$ સાચું છે.
$(B)$ પ્રવેગ $a$ એ $a = -\omega^2 x$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. પ્રવેગ એ સ્થાનાંતરના ઋણ મૂલ્યના સમપ્રમાણમાં હોવાથી,તેઓ હંમેશા વિરુદ્ધ દિશામાં હોય છે. તેથી,વિધાન $(B)$ સાચું છે.
$(C)$ $SHM$ માં વેગ $v$ એ $v = \omega \sqrt{A^2 - x^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. મધ્યમાન સ્થાને $(x = 0)$,વેગ $v = \omega A$ થાય છે,જે મહત્તમ મૂલ્ય છે. તેથી,વિધાન $(C)$ સાચું છે.
$(D)$ પ્રવેગનું મૂલ્ય $|a| = \omega^2 |x|$ છે. અંતિમ બિંદુઓ પર $(x = \pm A)$,સ્થાનાંતર મહત્તમ હોય છે,તેથી પ્રવેગ પણ મહત્તમ હોય છે. તેથી,વિધાન $(D)$ ખોટું છે.
આમ,વિધાનો $(A), (B)$ અને $(C)$ સાચા છે.
0 likes
View Solution199
MediumMCQ
જો $x=5 \sin \left(\pi t+\frac{\pi}{3}\right) \text{ m}$ એ સરળ આવર્ત ગતિ કરતા કણની ગતિ દર્શાવતું હોય,તો ગતિનો કંપવિસ્તાર અને આવર્તકાળ અનુક્રમે કેટલા થાય?
A
$5 \text{ m}, 2 \text{ s}$
B
$5 \text{ cm}, 1 \text{ s}$
C
$5 \text{ m}, 1 \text{ s}$
D
$5 \text{ cm}, 2 \text{ s}$
Solution
(A) સરળ આવર્ત ગતિનું સામાન્ય સમીકરણ $x = A \sin(\omega t + \phi)$ છે.
આપેલ સમીકરણ $x = 5 \sin \left(\pi t + \frac{\pi}{3}\right) \text{ m}$ ને સામાન્ય સમીકરણ સાથે સરખાવતા:
કંપવિસ્તાર $A = 5 \text{ m}$ મળે છે.
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \pi \text{ rad/s}$ મળે છે.
આવર્તકાળ $T$ અને કોણીય આવૃત્તિ વચ્ચેનો સંબંધ $T = \frac{2\pi}{\omega}$ છે.
$\omega$ ની કિંમત મૂકતા: $T = \frac{2\pi}{\pi} = 2 \text{ s}$.
આમ,કંપવિસ્તાર $5 \text{ m}$ અને આવર્તકાળ $2 \text{ s}$ છે.
આપેલ સમીકરણ $x = 5 \sin \left(\pi t + \frac{\pi}{3}\right) \text{ m}$ ને સામાન્ય સમીકરણ સાથે સરખાવતા:
કંપવિસ્તાર $A = 5 \text{ m}$ મળે છે.
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \pi \text{ rad/s}$ મળે છે.
આવર્તકાળ $T$ અને કોણીય આવૃત્તિ વચ્ચેનો સંબંધ $T = \frac{2\pi}{\omega}$ છે.
$\omega$ ની કિંમત મૂકતા: $T = \frac{2\pi}{\pi} = 2 \text{ s}$.
આમ,કંપવિસ્તાર $5 \text{ m}$ અને આવર્તકાળ $2 \text{ s}$ છે.
0 likes
View Solution200
AdvancedMCQ
જ્યારે $m$ દળનો કણ $x$-અક્ષ પર $V(x)=kx^2$ સ્વરૂપના પોટેન્શિયલમાં ગતિ કરે છે,ત્યારે તે સરળ આવર્ત ગતિ કરે છે. તેનો સમયગાળો $\sqrt{\frac{m}{k}}$ ના પ્રમાણમાં હોય છે,જે પરિમાણીય વિશ્લેષણનો ઉપયોગ કરીને સરળતાથી જોઈ શકાય છે. જો કે,કણની ગતિ ત્યારે પણ આવર્ત હોઈ શકે છે જ્યારે તેની સ્થિતિ ઊર્જા $x=0$ ની બંને બાજુએ $kx^2$ કરતા અલગ રીતે વધે અને તેની કુલ ઊર્જા એવી હોય કે કણ અનંત સુધી પલાયન ન કરે. $m$ દળના કણનો વિચાર કરો જે $x$-અક્ષ પર ગતિ કરે છે. તેની સ્થિતિ ઊર્જા ઉદગમ સ્થાનની નજીક $|x|$ માટે $V(x)=\alpha x^4$ $(\alpha>0)$ છે અને $|x| \geq X_0$ માટે $V_0$ જેટલી અચળ બને છે (આકૃતિ જુઓ).
$1.$ જો કણની કુલ ઊર્જા $E$ હોય,તો તે આવર્ત ગતિ ત્યારે જ કરશે જો
$(A)$ $E < 0$
$(B)$ $E > 0$
$(C)$ $V_0 > E > 0$
$(D)$ $E > V_0$
$2.$ નાના કંપવિસ્તાર $A$ ની આવર્ત ગતિ માટે,આ કણનો સમયગાળો $T$ કોના પ્રમાણમાં છે?
$(A)$ $A \sqrt{\frac{m}{\alpha}}$
$(B)$ $\frac{1}{A} \sqrt{\frac{m}{\alpha}}$
$(C)$ $A \sqrt{\frac{\alpha}{m}}$
$(D)$ $A \sqrt{\frac{\alpha}{m}}$
$3.$ $|x|>X_0$ માટે આ કણનો પ્રવેગ કેટલો છે?
$(A)$ $V_0$ ના પ્રમાણમાં
$(B)$ $\frac{V_0}{mX_0}$ ના પ્રમાણમાં
$(C)$ $\sqrt{\frac{V_0}{mX_0}}$ ના પ્રમાણમાં
$(D)$ શૂન્ય
પ્રશ્ન $1, 2$ અને $3$ ના જવાબ આપો.
$1.$ જો કણની કુલ ઊર્જા $E$ હોય,તો તે આવર્ત ગતિ ત્યારે જ કરશે જો
$(A)$ $E < 0$
$(B)$ $E > 0$
$(C)$ $V_0 > E > 0$
$(D)$ $E > V_0$
$2.$ નાના કંપવિસ્તાર $A$ ની આવર્ત ગતિ માટે,આ કણનો સમયગાળો $T$ કોના પ્રમાણમાં છે?
$(A)$ $A \sqrt{\frac{m}{\alpha}}$
$(B)$ $\frac{1}{A} \sqrt{\frac{m}{\alpha}}$
$(C)$ $A \sqrt{\frac{\alpha}{m}}$
$(D)$ $A \sqrt{\frac{\alpha}{m}}$
$3.$ $|x|>X_0$ માટે આ કણનો પ્રવેગ કેટલો છે?
$(A)$ $V_0$ ના પ્રમાણમાં
$(B)$ $\frac{V_0}{mX_0}$ ના પ્રમાણમાં
$(C)$ $\sqrt{\frac{V_0}{mX_0}}$ ના પ્રમાણમાં
$(D)$ શૂન્ય
પ્રશ્ન $1, 2$ અને $3$ ના જવાબ આપો.
A
$(A, B, C)$
B
$(C, B, D)$
C
$(C, B, A)$
D
$(A, C, D)$
Solution
(C) $1.$ આવર્ત ગતિ માટે,કણ પોટેન્શિયલ વેલમાં ફસાયેલો હોવો જોઈએ. કારણ કે $V(x) \geq 0$ અને જેમ $|x| \to X_0$ તેમ $V(x) \to V_0$,કણ ત્યારે જ ફસાયેલો રહે જો $0 < E < V_0$ હોય. તેથી,સાચો વિકલ્પ $(C)$ છે.
$2.$ સ્થિતિ ઊર્જા $V(x) = \alpha x^4$ છે. કુલ ઊર્જા $E = \frac{1}{2} m v^2 + \alpha x^4 = \alpha A^4$ છે.
$v = \frac{dx}{dt} = \sqrt{\frac{2\alpha}{m} (A^4 - x^4)}$.
$T = 4 \int_0^A \frac{dx}{v} = 4 \sqrt{\frac{m}{2\alpha}} \int_0^A \frac{dx}{\sqrt{A^4 - x^4}}$.
ધારો કે $x = Au$,તો $dx = A du$.
$T = 4 \sqrt{\frac{m}{2\alpha}} \frac{1}{A} \int_0^1 \frac{du}{\sqrt{1 - u^4}}$.
આમ,$T \propto \frac{1}{A} \sqrt{\frac{m}{\alpha}}$. સાચો વિકલ્પ $(B)$ છે.
$3.$ $|x| > X_0$ માટે,સ્થિતિ ઊર્જા $V(x) = V_0$ (અચળ) છે. બળ $F = -\frac{dV}{dx} = 0$ છે. કારણ કે $F = ma$,તેથી પ્રવેગ $a = 0$ છે. સાચો વિકલ્પ $(D)$ છે.
$2.$ સ્થિતિ ઊર્જા $V(x) = \alpha x^4$ છે. કુલ ઊર્જા $E = \frac{1}{2} m v^2 + \alpha x^4 = \alpha A^4$ છે.
$v = \frac{dx}{dt} = \sqrt{\frac{2\alpha}{m} (A^4 - x^4)}$.
$T = 4 \int_0^A \frac{dx}{v} = 4 \sqrt{\frac{m}{2\alpha}} \int_0^A \frac{dx}{\sqrt{A^4 - x^4}}$.
ધારો કે $x = Au$,તો $dx = A du$.
$T = 4 \sqrt{\frac{m}{2\alpha}} \frac{1}{A} \int_0^1 \frac{du}{\sqrt{1 - u^4}}$.
આમ,$T \propto \frac{1}{A} \sqrt{\frac{m}{\alpha}}$. સાચો વિકલ્પ $(B)$ છે.
$3.$ $|x| > X_0$ માટે,સ્થિતિ ઊર્જા $V(x) = V_0$ (અચળ) છે. બળ $F = -\frac{dV}{dx} = 0$ છે. કારણ કે $F = ma$,તેથી પ્રવેગ $a = 0$ છે. સાચો વિકલ્પ $(D)$ છે.
0 likes
View SolutionOscillations — Periodic, Oscillatory motion and its characteristics and types of SHM and Equation of SHM · Frequently Asked Questions
1Are these Oscillations questions useful for JEE and NEET?
Yes. All questions in this section are mapped to JEE Main and NEET exam patterns. Previous year questions from JEE Main, NEET, GUJCET and state-level exams are included with full solutions.
2Can I switch to Hindi or Gujarati for these questions?
Yes. Use the language tabs in the hero section or the sidebar to view the same questions and solutions in English, Hindi or Gujarati.
3How do I generate a question paper from this subtopic?
Use the Vedclass Exam Paper Generator — select the chapter and subtopic, set difficulty, and generate Sets A, B, C, D automatically. First 3 chapters of every subject are free.
Vedclass Products
For Students
Vedclass Test Series
Mock tests in real JEE/NEET style with performance analysis. 5-day free trial.
Start Free TrialFor Teachers
Exam Paper Generator
Generate Set A/B/C/D papers from this chapter in 2 minutes. 3 chapters free.
Try FreeFor Institutes
Online Exam Module
Live online exams with unlimited students, 360° analytics & white-label branding.
See DemoFor Teachers & Institutes
Generate a Oscillations Exam Paper in 2 Minutes
Select subtopic & difficulty — Sets A, B, C, D auto-generated with No Repeat logic.
First 3 chapters of every subject are free — no payment required.