Periodic, Oscillatory motion and its characteristics and types of SHM and Equation of SHM Questions in Gujarati

(B) આપેલ છે: આવર્તકાળ $T = 2 \ s$,કંપવિસ્તાર $A = 1 \ cm$,કુલ સમય $t = 12.5 \ s$.
ચક્રની સંખ્યા $n = \frac{t}{T} = \frac{12.5}{2} = 6.25$ ચક્ર.
એક પૂર્ણ ચક્રમાં,કપાતું કુલ અંતર $4A = 4 \times 1 \ cm = 4 \ cm$ છે.
$6$ પૂર્ણ ચક્ર માટે,અંતર $D_1 = 6 \times 4 \ cm = 24 \ cm$.
બાકી રહેલા $0.25$ ચક્ર માટે (જે $\frac{T}{4}$ છે),કણ મધ્યમાન સ્થાનથી અંતિમ સ્થાન સુધી ગતિ કરે છે,જે $A = 1 \ cm$ જેટલું અંતર કાપે છે.
કુલ અંતર $D = 24 \ cm + 1 \ cm = 25 \ cm$.
$6$ પૂર્ણ ચક્ર પછી,કણ મધ્યમાન સ્થાન પર પાછો ફરે છે. બાકીના $0.25$ ચક્રમાં,તે મધ્યમાન સ્થાનથી અંતિમ સ્થાન સુધી ગતિ કરે છે $(A = 1 \ cm)$.
આમ,સ્થાનાંતર $d = 1 \ cm$.
તેથી,$\frac{D}{d} = \frac{25 \ cm}{1 \ cm} = 25$.

(D) સરળ આવર્ત ગતિ માટે,સ્થાન $x(t) = A \sin(\omega t + \phi)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$t = 0$ સમયે,$x_0 = A \sin \phi$ $..........(1)$
વેગમાન $p(t) = m \frac{dx}{dt} = m A \omega \cos(\omega t + \phi)$ છે.
$t = 0$ સમયે,$p_0 = m A \omega \cos \phi$ $..........(2)$
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ પરથી,આપણે પ્રારંભિક શરતો $x_0$ અને $p_0$ નો ઉપયોગ કરીને બે અજ્ઞાત,કંપવિસ્તાર $A$ અને કળા અચળાંક $\phi$ માટે ઉકેલી શકીએ છીએ.
ચોક્કસ રીતે,$\tan \phi = \frac{m \omega x_0}{p_0}$ અને $A = \sqrt{x_0^2 + (p_0 / m \omega)^2}$.
કારણ કે $A$ અને $\phi$ એ $x_0$ અને $p_0$ દ્વારા અનન્ય રીતે નક્કી થાય છે,તેથી કોઈપણ સમયે $t$ પર સિસ્ટમની સ્થિતિ સંપૂર્ણપણે નક્કી થાય છે.
આમ,વિધાન $(A)$ અને કારણ $(R)$ બંને સાચા છે,અને $(R)$ એ $(A)$ ની સાચી સમજૂતી છે.

(C) આપેલ ગતિનું સમીકરણ: $x = A \sin \omega t + B \cos \omega t$.
આને સરળ આવર્ત ગતિના પ્રમાણિત સ્વરૂપ $x = R \sin(\omega t + \phi)$ માં દર્શાવવા માટે,આપણે $\sqrt{A^2 + B^2}$ વડે ગુણીએ અને ભાગીએ:
$x = \sqrt{A^2 + B^2} \left( \frac{A}{\sqrt{A^2 + B^2}} \sin \omega t + \frac{B}{\sqrt{A^2 + B^2}} \cos \omega t \right)$.
ધારો કે $\frac{A}{\sqrt{A^2 + B^2}} = \cos \phi$ અને $\frac{B}{\sqrt{A^2 + B^2}} = \sin \phi$.
તેથી,$x = \sqrt{A^2 + B^2} (\sin \omega t \cos \phi + \cos \omega t \sin \phi)$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin(a+b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$x = \sqrt{A^2 + B^2} \sin(\omega t + \phi)$.
આ સરળ આવર્ત ગતિનું પ્રમાણિત સમીકરણ છે,જેમાં કંપવિસ્તાર $R = \sqrt{A^2 + B^2} = (A^2 + B^2)^{1/2}$ છે.

(D) આપેલ છે: દળ $m = 200 \text{ g} = 0.2 \text{ kg}$,કંપવિસ્તાર $A = 0.2 \text{ m}$,સરેરાશ સ્થાન પર ગતિઊર્જા $K_{max} = 16 \times 10^{-3} \text{ J}$.
સરેરાશ સ્થાન પર વેગ મહત્તમ હોય છે,$v_{max} = A\omega$.
મહત્તમ ગતિઊર્જાનું સૂત્ર $K_{max} = \frac{1}{2} m v_{max}^2 = \frac{1}{2} m (A\omega)^2$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $16 \times 10^{-3} = \frac{1}{2} \times 0.2 \times (0.2 \times \omega)^2$.
$16 \times 10^{-3} = 0.1 \times 0.04 \times \omega^2$.
$16 \times 10^{-3} = 0.004 \times \omega^2$.
$\omega^2 = \frac{16 \times 10^{-3}}{4 \times 10^{-3}} = 4$.
$\omega = 2 \text{ rad/s}$.
$S.H.M.$ માટેનું સામાન્ય સમીકરણ $Y = A \sin(\omega t + \phi)$ છે.
પ્રારંભિક કળા $\phi = 0^{\circ}$ આપેલ હોવાથી,$Y = 0.2 \sin(2t)$ મળે.

(C) સ્થાનાંતરનું સમીકરણ $y = A \cos(\pi t + \pi \phi)$ છે.
સમયની સાપેક્ષે વિકલન કરતા,વેગ $v = \frac{dy}{dt} = -A\pi \sin(\pi t + \pi \phi)$ મળે છે.
$t = 0$ સમયે,$y_0 = A \cos(\pi \phi)$ અને $v_0 = -A\pi \sin(\pi \phi)$ થાય.
આના પરથી,$\cos(\pi \phi) = \frac{y_0}{A}$ અને $\sin(\pi \phi) = -\frac{v_0}{A\pi}$ મળે.
નિત્યસમ $\cos^2(\pi \phi) + \sin^2(\pi \phi) = 1$ નો ઉપયોગ કરતા,$\left(\frac{y_0}{A}\right)^2 + \left(-\frac{v_0}{A\pi}\right)^2 = 1$ મળે.
આનું સાદું રૂપ $y_0^2 + \frac{v_0^2}{\pi^2} = A^2$ થાય છે.
આપેલ કિંમતો $y_0 = 2 \text{ cm}$ અને $v_0 = 2\pi \text{ cm/s}$ મૂકતા:
$2^2 + \frac{(2\pi)^2}{\pi^2} = A^2$.
$4 + 4 = A^2$.
$A^2 = 8$.
$A = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \text{ cm}$.

(D) $S.H.M.$ માં,એક પૂર્ણ દોલન $2 \pi \ rad$ જેટલા કળાના ફેરફારને અનુરૂપ છે.
તેથી,$n$ દોલનો માટે,કુલ કળાનો ફેરફાર $\Delta \phi = n \times 2 \pi \ rad$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં આપેલ છે કે કણ $n = 2$ દોલનો પૂર્ણ કરે છે.
આમ,કળામાં થતો ફેરફાર $= 2 \times 2 \pi \ rad = 4 \pi \ rad$ થાય છે.

(A) રેખીય $S.H.M.$ માં એક સંપૂર્ણ દોલન દરમિયાન કણ દ્વારા કાપવામાં આવેલું કુલ અંતર $4A$ જેટલું હોય છે,જ્યાં $A$ એ કંપવિસ્તાર છે.
દોલનનો આવર્તકાળ $T$ એ આવૃત્તિ $n$ સાથે $T = \frac{1}{n}$ સૂત્ર દ્વારા સંબંધિત છે.
સરેરાશ ઝડપ એટલે કુલ અંતર ભાગ્યા કુલ સમય.
તેથી,સરેરાશ ઝડપ $v_{av} = \frac{\text{કુલ અંતર}}{\text{કુલ સમય}} = \frac{4A}{T} = \frac{4A}{1/n} = 4nA$.

(D) સરળ આવર્ત ગતિ $(SHM)$ માં,એક કણ બે અંતિમ સ્થાનો,$-A$ અને $+A$ વચ્ચે દોલન કરે છે,જે મધ્યમાન સ્થાન $0$ માંથી પસાર થાય છે.
એક સંપૂર્ણ આવર્તકાળ $(T)$ એક પૂર્ણ દોલન દર્શાવે છે.
મધ્યમાન સ્થાન $(0)$ થી શરૂ કરીને:
$1$. કણ $0$ થી $+A$ સુધી ગતિ કરે છે (અંતર = $A$).
$2$. કણ $+A$ થી પાછો $0$ સુધી ગતિ કરે છે (અંતર = $A$).
$3$. કણ $0$ થી $-A$ સુધી ગતિ કરે છે (અંતર = $A$).
$4$. કણ $-A$ થી પાછો $0$ સુધી ગતિ કરે છે (અંતર = $A$).
એક આવર્તકાળમાં કપાયેલું કુલ અંતર = $A + A + A + A = 4A$.

(B) એક પૂર્ણ દોલનમાં,$SHM$ માં રહેલો કણ મધ્યમાન સ્થાનથી એક અંતિમ સ્થાન $(A)$ સુધી,ત્યાંથી પાછા મધ્યમાન સ્થાન $(A)$ સુધી,બીજા અંતિમ સ્થાન $(A)$ સુધી અને ફરીથી મધ્યમાન સ્થાન $(A)$ સુધી ગતિ કરે છે.
$1$ દોલનમાં કાપેલું કુલ અંતર $= A + A + A + A = 4 \ A$ થાય.
એક પૂર્ણ દોલન માટે લાગતો સમય એ આવર્તકાળ $T$ છે.
દોલનની આવૃત્તિ $n = \frac{1}{T}$ છે,જેનો અર્થ છે કે $T = \frac{1}{n}$.
સરેરાશ ઝડપ એટલે કુલ અંતર ભાગ્યા કુલ સમય.
$\text{સરેરાશ ઝડપ} = \frac{\text{કુલ અંતર}}{\text{કુલ સમય}} = \frac{4 \ A}{T}$.
$T = \frac{1}{n}$ મૂકતા,આપણને $\text{સરેરાશ ઝડપ} = 4 \ A \ n$ મળે છે.

(B) આપેલ કણની ગતિનું સમીકરણ $a = -bx$ છે.
આ સમીકરણને સરળ આવર્ત ગતિ $(SHM)$ ના પ્રમાણિત સમીકરણ $a = -\omega^2 x$ સાથે સરખાવતા,જ્યાં $\omega$ એ કોણીય આવૃત્તિ છે.
બંને પદોને સરખાવતા,આપણને $\omega^2 = b$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $\omega = \sqrt{b}$.
$SHM$ નો આવર્તકાળ $T$ શોધવાનું સૂત્ર $T = \frac{2 \pi}{\omega}$ છે.
$\omega$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $T = \frac{2 \pi}{\sqrt{b}}$ મળે છે.

(D) સાચો વિકલ્પ $D$ છે.
ખ્યાલ: $S.H.M.$ માટેનું પ્રમાણિત વિકલ સમીકરણ $\frac{d^2 x}{dt^2} + \omega^2 x = 0$ છે,જ્યાં $\omega$ એ કોણીય આવૃત્તિ છે.
આપેલ સમીકરણ $\frac{d^2 x}{dt^2} + \alpha x = 0$ ને પ્રમાણિત સમીકરણ સાથે સરખાવતા,આપણને $\omega^2 = \alpha$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $\omega = \sqrt{\alpha}$.
ગતિનો આવર્તકાળ $T$ એ $T = \frac{2 \pi}{\omega}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
$\omega$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $T = \frac{2 \pi}{\sqrt{\alpha}}$ મળે છે.

(D) $S.H.M.$ માટે,પ્રવેગ $a$ એ સ્થાનાંતર $x$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે અને તે કણની સરેરાશ સ્થિતિ (મધ્યમાન સ્થિતિ) તરફ હોય છે:
$a = -\omega^2 x = -px$
જ્યાં $\omega$ એ $S.H.M.$ ની કોણીય આવૃત્તિ છે.
બંને સમીકરણોની સરખામણી કરતા,આપણને $\omega^2 = p$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $\omega = \sqrt{p}$.
દોલનનો આવર્તકાળ $T$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$T = \frac{2 \pi}{\omega}$
$\omega$ ની કિંમત મૂકતા:
$T = \frac{2 \pi}{\sqrt{p}}$

(B) સરળ આવર્ત ગતિ $(SHM)$ માટેનું પ્રમાણિત વિકલ સમીકરણ $\frac{d^2 x}{d t^2} + \omega^2 x = 0$ છે,જેને $\frac{d^2 x}{d t^2} = -\omega^2 x$ તરીકે લખી શકાય છે.
આપેલ સમીકરણ: $\alpha \frac{d^2 x}{d t^2} + \beta x = 0$.
આપેલ સમીકરણને ફરીથી ગોઠવતા: $\frac{d^2 x}{d t^2} = -\frac{\beta}{\alpha} x$.
આને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $\frac{d^2 x}{d t^2} = -\omega^2 x$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\omega^2 = \frac{\beta}{\alpha}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $\omega = \sqrt{\frac{\beta}{\alpha}}$.
આવર્તકાળ $T$ એ $T = \frac{2 \pi}{\omega}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\omega$ ની કિંમત મૂકતા: $T = \frac{2 \pi}{\sqrt{\frac{\beta}{\alpha}}} = 2 \pi \sqrt{\frac{\alpha}{\beta}}$.

(B) રેખીય $S.H.M.$ માટેનું પ્રમાણિત સમીકરણ $x = A \sin(\omega t + \phi)$ છે.
આપેલ સમીકરણ $x = 0.25 \sin(11t + 0.5)$ ને પ્રમાણિત સમીકરણ સાથે સરખાવતા,આપણને કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 11 \ rad/s$ મળે છે.
$S.H.M.$ નો આવર્તકાળ $T$ એ કોણીય આવૃત્તિ સાથે $T = \frac{2\pi}{\omega}$ સૂત્ર દ્વારા સંબંધિત છે.
આપેલ કિંમતો $\pi = \frac{22}{7}$ અને $\omega = 11$ મૂકતા:
$T = \frac{2 \times (22/7)}{11} = \frac{2 \times 22}{11 \times 7} = \frac{44}{77} = \frac{4}{7} \ s$.
આમ,$S.H.M.$ નો આવર્તકાળ $\frac{4}{7} \ s$ છે.

(C) આપેલ સ્થાનાંતર સમીકરણ $y = A \sin \omega t - B \cos \omega t$ છે.
કંપવિસ્તાર શોધવા માટે,આપણે સમીકરણને $y = R \sin(\omega t - \phi)$ સ્વરૂપમાં દર્શાવીએ.
ધારો કે $A = R \cos \phi$ અને $B = R \sin \phi$.
તેથી,$y = R \cos \phi \sin \omega t - R \sin \phi \cos \omega t = R \sin(\omega t - \phi)$.
$A$ અને $B$ ના પદોનો વર્ગ કરીને સરવાળો કરતા:
$A^2 + B^2 = R^2 \cos^2 \phi + R^2 \sin^2 \phi = R^2(\cos^2 \phi + \sin^2 \phi) = R^2$.
તેથી,કંપવિસ્તાર $R = \sqrt{A^2 + B^2}$ થાય.

(A) આપેલ છે: મહત્તમ ઝડપ,$v_{\max} = 0.5 \ m s^{-1}$; મહત્તમ પ્રવેગ,$a_{\max} = 1.0 \ m s^{-2}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $SHM$ માટે,મહત્તમ ઝડપ $v_{\max} = \omega A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\omega$ એ કોણીય આવૃત્તિ છે અને $A$ એ કંપવિસ્તાર છે.
તે જ રીતે,મહત્તમ પ્રવેગ $a_{\max} = \omega^2 A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
મહત્તમ પ્રવેગના સમીકરણને મહત્તમ ઝડપના સમીકરણ વડે ભાગતા:
$\frac{a_{\max}}{v_{\max}} = \frac{\omega^2 A}{\omega A} = \omega$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\omega = \frac{1.0 \ m s^{-2}}{0.5 \ m s^{-1}} = 2 \ rad \ s^{-1}$.
આમ,દોલનની કોણીય આવૃત્તિ $2 \ rad \ s^{-1}$ છે.

(B) આપેલ વિધેય $f(t) = \sin^2 \omega t$ છે.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin^2 \theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણે વિધેયને આ રીતે લખી શકીએ:
$f(t) = \frac{1 - \cos(2\omega t)}{2} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cos(2\omega t)$.
પદ $\cos(2\omega t)$ એ કોણીય આવૃત્તિ $\omega' = 2\omega$ ધરાવતું આવર્ત વિધેય છે.
કોઈપણ આવર્ત વિધેય $\cos(\omega' t)$ નો આવર્તકાળ $T = \frac{2\pi}{\omega'}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\omega' = 2\omega$ મૂકતા,આપણને $T = \frac{2\pi}{2\omega} = \frac{\pi}{\omega}$ મળે છે.
આમ,ગતિનો આવર્તકાળ $\frac{\pi}{\omega} \ s$ છે.

(D) સરળ આવર્ત ગતિ માટેનું સામાન્ય સમીકરણ $x = A \cos (\omega t + \phi)$ છે.
આપેલ સમીકરણ $x = 0.5 \cos (125.6 t)$ ને સામાન્ય સમીકરણ સાથે સરખાવતા,આપણને કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 125.6 \ rad/s$ મળે છે.
આવર્તકાળ $T$ અને કોણીય આવૃત્તિ $\omega$ વચ્ચેનો સંબંધ $T = \frac{2\pi}{\omega}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $T = \frac{2 \times 3.14}{125.6}$ મળે છે.
$T = \frac{6.28}{125.6} = 0.05 \ s$.
તેથી,દોલનનો આવર્તકાળ $0.05 \ s$ છે.

(D) આપેલ ગતિનું સમીકરણ $4 \frac{d^2 y}{dt^2} + \pi^2 y = 0$ છે.
$4$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{d^2 y}{dt^2} + \frac{\pi^2}{4} y = 0$ મળે છે.
સરળ આવર્ત ગતિ માટેનું સામાન્ય સમીકરણ $\frac{d^2 y}{dt^2} + \omega^2 y = 0$ છે.
બંને સમીકરણોની સરખામણી કરતા,$\omega^2 = \frac{\pi^2}{4}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $\omega = \frac{\pi}{2} \ rad/s$.
આવર્તકાળ $T$ નું સૂત્ર $T = \frac{2\pi}{\omega}$ છે.
$\omega$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $T = \frac{2\pi}{\pi/2} = 2\pi \times \frac{2}{\pi} = 4 \ s$ મળે છે.

(C) આપેલ છે કે,કણ પર લાગતું બળ $F = -kx + F_0$ છે.
આપણે આને $F = -k(x - \frac{F_0}{k})$ તરીકે ફરીથી લખી શકીએ છીએ.
ધારો કે $y = x - \frac{F_0}{k}$,તો બળ $F = -ky$ બને છે.
આ સરળ આવર્ત ગતિ $(SHM)$ માટે પુનઃસ્થાપક બળનું પ્રમાણિત સ્વરૂપ છે,જ્યાં સરેરાશ સ્થાન $F = 0$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
$F = 0$ લેતા,આપણને $-k(x - \frac{F_0}{k}) = 0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $x = \frac{F_0}{k}$.
આમ,કણ $x = \frac{F_0}{k}$ સરેરાશ સ્થાનની આસપાસ દોલન કરશે.
$F = -ky$ ની સરખામણી પ્રમાણિત $SHM$ સમીકરણ $F = -m\omega^2 y$ સાથે કરતા,આપણને $m\omega^2 = k$ મળે છે.
તેથી,કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$ છે.

(A) સરળ આવર્ત ગતિ $(SHM)$ માટે,આપણે જાણીએ છીએ કે:
મહત્તમ પ્રવેગ $|a_{\max}| = \omega^2 A$ છે.
મહત્તમ વેગ $|v_{\max}| = \omega A$ છે.
અહીં,$\omega$ એ કોણીય આવૃત્તિ છે અને $A$ એ કંપવિસ્તાર છે.
તેથી,મહત્તમ પ્રવેગ અને મહત્તમ વેગનો ગુણોત્તર:
$\frac{|a_{\max}|}{|v_{\max}|} = \frac{\omega^2 A}{\omega A} = \omega$ થાય.

(D) આપેલ છે: કણનું દળ $m = 0.4 \text{ kg}$,કંપવિસ્તાર $A = 0.4 \text{ m}$,પ્રારંભિક કળા $\phi = \pi / 4$.
મધ્યમાન સ્થાન પર ગતિઊર્જા એ દોલકની કુલ ઊર્જા જેટલી હોય છે,જે $KE = \frac{1}{2} m \omega^2 A^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $256 \times 10^{-3} = \frac{1}{2} \times 0.4 \times \omega^2 \times (0.4)^2$.
$0.256 = 0.2 \times \omega^2 \times 0.16$.
$0.256 = 0.032 \times \omega^2$.
$\omega^2 = \frac{0.256}{0.032} = 8$.
$\omega = \sqrt{8} = 2 \sqrt{2} \text{ rad/s}$.
સરળ આવર્ત ગતિનું સામાન્ય સમીકરણ $x = A \sin(\omega t + \phi)$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $x = 0.4 \sin \left((2 \sqrt{2}) t + \frac{\pi}{4}\right)$ મળે છે.

(D) $SHM$ માં કણનું સ્થાનાંતર $x(t) = A \cos(\omega t + \phi)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$t=0$ સમયે પ્રથમ કણ માટે,$x_1 = A$. તેથી,$A = A \cos(\phi_1) \implies \phi_1 = 0$.
આમ,$x_1(t) = A \cos(\omega t)$.
$t=0$ સમયે બીજા કણ માટે,$x_2 = -A/2$. તેથી,$-A/2 = A \cos(\phi_2) \implies \phi_2 = 2\pi/3$ અથવા $4\pi/3$. કણ પ્રથમ કણની નજીક આવી રહ્યો હોવાથી (ધન દિશા તરફ ગતિ કરે છે),તેનો વેગ $v_2 = -A\omega \sin(\phi_2)$ ધન હોવો જોઈએ. તેથી,$\sin(\phi_2)$ ઋણ હોવો જોઈએ,એટલે કે $\phi_2 = 4\pi/3$.
આમ,$x_2(t) = A \cos(\omega t + 4\pi/3)$.
જ્યારે $x_1(t) = x_2(t)$ થાય ત્યારે તેઓ એકબીજાને ઓળંગે છે:
$A \cos(\omega t) = A \cos(\omega t + 4\pi/3)$.
$\cos(\theta) = \cos(2\pi - \theta)$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે $\omega t = 2\pi - (\omega t + 4\pi/3) = 2\pi - \omega t - 4\pi/3$.
$2\omega t = 2\pi/3 \implies \omega t = \pi/3$.
$\omega = 2\pi/T$ હોવાથી,$(2\pi/T)t = \pi/3 \implies t = T/6$.

(D) સ્થાનાંતરનું સમીકરણ $x(t) = 8 \sin \left( \frac{\pi t}{4} \right) \text{ cm}$ છે.
$t = 0 \text{ s}$ સમયે,સ્થાનાંતર $x(0) = 8 \sin(0) = 0 \text{ cm}$ છે.
$t = 2 \text{ s}$ સમયે,સ્થાનાંતર $x(2) = 8 \sin \left( \frac{\pi \times 2}{4} \right) = 8 \sin \left( \frac{\pi}{2} \right) = 8 \times 1 = 8 \text{ cm}$ છે.
$t = 0 \text{ s}$ થી $t = 2 \text{ s}$ ના સમયગાળામાં સ્થાનાંતર $\Delta x = x(2) - x(0) = 8 \text{ cm} - 0 \text{ cm} = 8 \text{ cm}$ થાય.

(C) આપેલ છે કે,કંપનવિસ્તાર $A = 2 \,m$.
મહત્તમ પ્રવેગ $a_{max} = A \omega^2$ અને મહત્તમ વેગ $v_{max} = A \omega$.
પ્રશ્ન મુજબ,$|A \omega^2| - |A \omega| = 4$.
$A = 2$ મૂકતા:
$2 \omega^2 - 2 \omega = 4$
$\omega^2 - \omega - 2 = 0$
$(\omega - 2)(\omega + 1) = 0$.
$\omega > 0$ હોવાથી,$\omega = 2 \,rad/s$ મળે.
આવર્તકાળ $T = \frac{2 \pi}{\omega} = \frac{2 \pi}{2} = \pi = \frac{22}{7} \,s$.
સ્થાનાંતર $y = 1 \,m$ પર વેગ $v = \omega \sqrt{A^2 - y^2}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$v = 2 \sqrt{2^2 - 1^2} = 2 \sqrt{4 - 1} = 2 \sqrt{3} \,ms^{-1}$.

(B) આપેલ છે કે,કણનું તાત્કાલિક સ્થાનાંતર $x = A \sin^2(\omega t - \frac{\pi}{4})$ છે.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin^2 \theta = \frac{1 - \cos(2\theta)}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણે સમીકરણને આ રીતે લખી શકીએ:
$x = A \left[ \frac{1 - \cos(2(\omega t - \frac{\pi}{4}))}{2} \right]$
$x = \frac{A}{2} [1 - \cos(2\omega t - \frac{\pi}{2})]$
સરળ આવર્ત ગતિમાં,સામાન્ય સ્વરૂપ $x = x_0 + A' \cos(\omega' t + \phi)$ છે.
આ સમીકરણની સરખામણી કરતા,દોલનની કોણીય આવૃત્તિ $\omega' = 2\omega$ મળે છે.
આવર્તકાળ $T'$ નું સૂત્ર $T' = \frac{2\pi}{\omega'}$ છે.
$\omega' = 2\omega$ મૂકતા,આપણને $T' = \frac{2\pi}{2\omega} = \frac{\pi}{\omega}$ મળે છે.

(A) કણનું દળ $m = 0.1 \ kg$ છે.
$\text{SHM}$ કરતા કણનો કંપવિસ્તાર $A = 0.1 \ m$ છે.
કણની પ્રારંભિક કળા $\phi = 45^{\circ} = \pi/4$ છે.
$\text{SHM}$ કરતા કણનું સામાન્ય સમીકરણ $x(t) = A \sin(\omega t + \phi)$ છે.
જ્યારે કણ મધ્યમાન સ્થાનમાંથી પસાર થાય છે,ત્યારે તેની ગતિઊર્જા મહત્તમ હોય છે,જે નીચે મુજબ છે:
$KE_{max} = \frac{1}{2} m \omega^2 A^2 = 8 \times 10^{-3} \ J$.
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{1}{2} \times 0.1 \times \omega^2 \times (0.1)^2 = 8 \times 10^{-3}$.
$0.05 \times \omega^2 \times 0.01 = 8 \times 10^{-3}$.
$0.0005 \times \omega^2 = 0.008$.
$\omega^2 = \frac{0.008}{0.0005} = 16$.
$\omega = 4 \ rad/s$.
$\omega$,$A$,અને $\phi$ ની કિંમતો સામાન્ય સમીકરણમાં મૂકતા:
$x(t) = 0.1 \sin(4t + \pi/4)$.

(C) સરળ આવર્ત ગતિ $(SHM)$ કરતા કણ માટે,દળ $m = 4 \text{ mg} = 4 \times 10^{-6} \text{ kg}$ છે.
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 40 \text{ rad s}^{-1}$ છે.
સ્થિતિઊર્જા $V(x) = a + bx^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પુનઃસ્થાપક બળ $F = -\frac{dV}{dx} = -\frac{d}{dx}(a + bx^2) = -2bx$ થાય.
$SHM$ માટે,પુનઃસ્થાપક બળ $F = -m\omega^2x$ પણ હોય છે.
બળના બંને સમીકરણોની સરખામણી કરતા,$2b = m\omega^2$ મળે.
તેથી,$b = \frac{m\omega^2}{2}$.
કિંમતો મૂકતા: $b = \frac{(4 \times 10^{-6} \text{ kg}) \times (40 \text{ rad s}^{-1})^2}{2}$.
$b = \frac{4 \times 10^{-6} \times 1600}{2} = 2 \times 10^{-6} \times 1600 = 3200 \times 10^{-6} \text{ J m}^{-2}$.

(C) આપેલ સ્થાનાંતરનું સમીકરણ $x = 4(\cos \pi t + \sin \pi t)$ છે.
કંપવિસ્તાર શોધવા માટે,આપણે સમીકરણને $x = A \sin(\omega t + \phi)$ સ્વરૂપમાં દર્શાવીએ.
$\sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$ વડે ગુણતા અને ભાગતા:
$x = 4 \sqrt{2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \cos \pi t + \frac{1}{\sqrt{2}} \sin \pi t \right)$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $\sin \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ અને $\cos \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ છે:
$x = 4 \sqrt{2} \left( \sin \frac{\pi}{4} \cos \pi t + \cos \frac{\pi}{4} \sin \pi t \right)$.
$x = 4 \sqrt{2} \sin \left( \pi t + \frac{\pi}{4} \right)$.
આને પ્રમાણિત $SHM$ સમીકરણ $x = A \sin(\omega t + \phi)$ સાથે સરખાવતા,કંપવિસ્તાર $A = 4 \sqrt{2}$ મળે છે.

(C) આપેલ ગતિનું સમીકરણ: $x(t) = A \sin^2(\alpha t)$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin^2 \theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા, આપણે સમીકરણને આ રીતે લખી શકીએ:
$x(t) = A \left[ \frac{1 - \cos(2\alpha t)}{2} \right] = \frac{A}{2} - \frac{A}{2} \cos(2\alpha t)$.
સરળ આવર્ત ગતિ $(SHM)$ માટેનું સામાન્ય સમીકરણ $x(t) = a_1 + a_2 \cos(\omega t)$ છે, જ્યાં $\omega$ એ કોણીય આવૃત્તિ છે.
આપેલ સમીકરણને સામાન્ય સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા, આપણે કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 2\alpha$ મેળવીએ છીએ.
કોણીય આવૃત્તિ $\omega$ અને આવર્તકાળ $T$ વચ્ચેનો સંબંધ $\omega = \frac{2\pi}{T}$ છે.
આપેલ છે કે $T = 0.2 \ s$, તેથી:
$2\alpha = \frac{2\pi}{0.2}$
$\alpha = \frac{\pi}{0.2} = \frac{\pi}{1/5} = 5\pi \ rad/s$.
તેથી, $\alpha$ નું મૂલ્ય $5\pi \ rad/s$ છે.

(D) સરળ આવર્ત ગતિ એ એક આવર્ત ગતિ છે.
વ્યાખ્યા મુજબ,આવર્તકાળ $T$ એ સમયનો એવો લઘુત્તમ ગાળો છે જેના પછી કણની ગતિનું પુનરાવર્તન થાય છે.
આનો અર્થ એ છે કે કોઈપણ સમય $t = nT$ (જ્યાં $n$ એ પૂર્ણાંક છે) પર,કણ તેની પ્રારંભિક સ્થિતિ પર પાછો ફરે છે.
કણ તેની પ્રારંભિક સ્થિતિથી શરૂઆત કરે છે,તેથી $2T$ સમય પછી,તે બે પૂર્ણ ચક્ર પૂર્ણ કરીને ફરીથી શરૂઆતના બિંદુ પર આવી જશે.
તેથી,પ્રારંભિક સ્થિતિથી સ્થાનાંતર $0$ થશે.

(B) સરળ આવર્ત ગતિ માટેનું સામાન્ય સમીકરણ $x = A \cos(\omega t)$ છે.
આપેલ સમીકરણ $x = 2 \cos(t)$ ને સામાન્ય સમીકરણ સાથે સરખાવતા,આપણને કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 1 \text{ rad/s}$ મળે છે.
આવર્તકાળ $T$ અને કોણીય આવૃત્તિ $\omega$ વચ્ચેનો સંબંધ $T = \frac{2 \pi}{\omega}$ છે.
$\omega$ ની કિંમત મૂકતા:
$T = \frac{2 \pi}{1} = 2 \pi \text{ s}$.
તેથી,કણનો આવર્તકાળ $2 \pi \text{ સેકન્ડ}$ છે.

(C) આપેલ સમીકરણ: $4v^2 = 25 - x^2$.
$4$ વડે ભાગતા,આપણને મળે $v^2 = \frac{25}{4} - \frac{x^2}{4}$.
આ સમીકરણને સરળ આવર્ત ગતિ $(SHM)$ ના પ્રમાણિત સમીકરણ $v^2 = \omega^2(A^2 - x^2)$ સાથે સરખાવતા,આપણે તેને $v^2 = \frac{1}{4}(25 - x^2)$ તરીકે લખી શકીએ.
આમ,$\omega^2 = \frac{1}{4}$,જેનો અર્થ છે કે $\omega = \frac{1}{2} \text{ rad/s}$.
આવર્તકાળ $T$ નું સૂત્ર $T = \frac{2\pi}{\omega}$ છે.
$\omega$ ની કિંમત મૂકતા: $T = \frac{2\pi}{1/2} = 4\pi \text{ s}$.

(A) $SHM$ માટે સ્થાનાંતરનું સમીકરણ $x = A \sin(\omega t + \phi)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $\frac{dx}{dt} = A \omega \cos(\omega t + \phi)$ મળે છે.
નિત્યસમ $\cos \theta = \sqrt{1 - \sin^2 \theta}$ નો ઉપયોગ કરતા,$\frac{dx}{dt} = A \omega \sqrt{1 - \sin^2(\omega t + \phi)}$ મળે.
$\sin(\omega t + \phi) = \frac{x}{A}$ મૂકતા,$\frac{dx}{dt} = A \omega \sqrt{1 - \frac{x^2}{A^2}}$ મળે છે.
આનું સાદુરૂપ આપતા,$\frac{dx}{dt} = \omega \sqrt{A^2 - x^2}$ મળે.
કારણ કે $A^2 - x^2 = -(x^2 - A^2)$,આપણે લખી શકીએ કે $\frac{dx}{dt} = \omega \sqrt{-(x^2 - A^2)}$.
$i = \sqrt{-1}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\frac{dx}{dt} = i \omega \sqrt{x^2 - A^2}$ મળે છે.

(C) આપેલ સમીકરણ $x = 4(\cos \pi t + \sin \pi t)$ છે.
આપણે આને $x = A \sin(\omega t + \phi)$ અથવા $x = A \cos(\omega t + \phi)$ ના સ્વરૂપમાં ફરીથી લખી શકીએ છીએ.
$\sqrt{4^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$ વડે ગુણતા અને ભાગતા.
$x = 4\sqrt{2} \left( \frac{4}{4\sqrt{2}} \cos \pi t + \frac{4}{4\sqrt{2}} \sin \pi t \right)$.
$x = 4\sqrt{2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \cos \pi t + \frac{1}{\sqrt{2}} \sin \pi t \right)$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે લખી શકીએ:
$x = 4\sqrt{2} \sin(\pi t + \frac{\pi}{4})$.
આને પ્રમાણિત સમીકરણ $x = A \sin(\omega t + \phi)$ સાથે સરખાવતા,કંપવિસ્તાર $A = 4\sqrt{2}$ મળે છે.

(A) વેગ $v$ એ સ્થાનાંતર $x$ નું સમય $t$ ની સાપેક્ષે વિકલન છે: $v = \frac{dx}{dt} = 50a \cos(50t + \frac{\pi}{3})$.
કણ સ્થિર થાય તે માટે,$v = 0$. તેથી,$\cos(50t + \frac{\pi}{3}) = 0$. પ્રથમ ધન કિંમત ત્યારે મળે છે જ્યારે $50t + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2}$,જે $50t = \frac{\pi}{6}$ આપે છે,તેથી $t_1 = \frac{\pi}{300} \text{ s}$.
પ્રવેગ $a_{acc}$ એ વેગ $v$ નું સમય $t$ ની સાપેક્ષે વિકલન છે: $a_{acc} = \frac{dv}{dt} = -2500a \sin(50t + \frac{\pi}{3})$.
શૂન્ય પ્રવેગ માટે,$a_{acc} = 0$. તેથી,$\sin(50t + \frac{\pi}{3}) = 0$. પ્રથમ ધન કિંમત ત્યારે મળે છે જ્યારે $50t + \frac{\pi}{3} = \pi$,જે $50t = \frac{2\pi}{3}$ આપે છે,તેથી $t_2 = \frac{2\pi}{150} = \frac{\pi}{75} \text{ s}$.
તેથી,$t_1 = \frac{\pi}{300} \text{ s}$ અને $t_2 = \frac{\pi}{75} \text{ s}$ છે.

(B) આપેલા વિધેયોનું વિશ્લેષણ નીચે મુજબ છે:
$A$. $\sin^2 \omega t = \frac{1-\cos 2\omega t}{2}$. આ $T = \pi/\omega$ આવર્તકાળ ધરાવતું આવર્ત વિધેય છે, પરંતુ તે સરળ આવર્ત ગતિ $(SHM)$ નથી કારણ કે તેમાં અચળ પદ અને $2\omega$ આવૃત્તિ છે। તેથી, $A-II$.
$B$. $\sin^3 \omega t = \frac{3\sin \omega t - \sin 3\omega t}{4}$. આ $T = 2\pi/\omega$ આવર્તકાળ ધરાવતું આવર્ત વિધેય છે, પરંતુ તે $SHM$ નથી કારણ કે તેમાં એક કરતા વધુ આવૃત્તિઓનો સમાવેશ થાય છે। તેથી, $B-I$.
$C$. $\sin \omega t + \cos \pi \omega t$ એ અ-આવર્ત છે કારણ કે આવૃત્તિઓનો ગુણોત્તર $\omega/\pi\omega = 1/\pi$ એ અસંમેય સંખ્યા છે। તેથી, $C-III$.
$D$. $\cos \omega t + \cos 2\omega t$ એ $T = 2\pi/\omega$ આવર્તકાળ ધરાવતું આવર્ત વિધેય છે, પરંતુ તે $SHM$ નથી કારણ કે તે બે અલગ અલગ આવૃત્તિઓનું સંપાતીકરણ છે। તેથી, $D-IV$.
તેથી, સાચી જોડ $A-II, B-I, C-III, D-IV$ છે।