Periodic, Oscillatory motion and its characteristics and types of SHM and Equation of SHM Questions in Gujarati

(D) આપેલ સ્થાનાંતર સંબંધ: $x = 3 \sin 100t + 8 \cos^2 50t$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $2 \cos^2 A = 1 + \cos 2A$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણે પદને નીચે મુજબ લખી શકીએ:
$x = 3 \sin 100t + 4(1 + \cos 100t)$
$x = 3 \sin 100t + 4 \cos 100t + 4$
ધારો કે $y = x - 4$,તો $y = 3 \sin 100t + 4 \cos 100t$.
આ $\omega = 100 \text{ rad/s}$ કોણીય આવૃત્તિ સાથે $S.H.M.$ નું પ્રમાણિત સ્વરૂપ છે.
કંપવિસ્તાર $A = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = 5 \text{ units}$ મળે છે.
ગતિ એ મધ્યમાન સ્થાન $x = 4$ ની આસપાસ $S.H.M.$ હોવાથી,સ્થાનાંતર $y$ એ $-5$ અને $+5$ ની વચ્ચે દોલન કરે છે.
આમ,$x = y + 4$ એ $4 - 5 = -1$ અને $4 + 5 = 9$ ની વચ્ચે દોલન કરે છે.
ઉગમબિંદુથી મહત્તમ સ્થાનાંતર $9 \text{ units}$ છે.
તેથી,વિધાન $(B)$ અને $(C)$ બંને સાચા છે.

(C) પ્રથમ સમીકરણ માટે: $y = 2A \cos^2 \omega t$.
નિત્યસમ $\cos^2 \theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $y = A(1 + \cos 2\omega t)$ મળે,જે $y - A = A \cos 2\omega t$ છે.
આ $A_1 = A$ કંપવિસ્તાર અને $\omega_1 = 2\omega$ કોણીય આવૃત્તિ સાથે $S.H.M.$ દર્શાવે છે.
મહત્તમ ઝડપ $v_{max1} = A_1 \omega_1 = A(2\omega) = 2A\omega$ છે.
બીજા સમીકરણ માટે: $y = A(\sin \omega t + \sqrt{3} \cos \omega t)$.
$2$ વડે ગુણતા અને ભાગતા,આપણને $y = 2A(\frac{1}{2} \sin \omega t + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos \omega t) = 2A \sin(\omega t + \frac{\pi}{3})$ મળે.
આ $A_2 = 2A$ કંપવિસ્તાર અને $\omega_2 = \omega$ કોણીય આવૃત્તિ સાથે $S.H.M.$ દર્શાવે છે.
મહત્તમ ઝડપ $v_{max2} = A_2 \omega_2 = (2A)\omega = 2A\omega$ છે.
મહત્તમ ઝડપનો ગુણોત્તર $\frac{v_{max1}}{v_{max2}} = \frac{2A\omega}{2A\omega} = 1 : 1$ થાય.

(B) સરળ આવર્ત ગતિમાં,અંતિમ સ્થાનેથી સ્થિર સ્થિતિમાં શરૂઆત કરતા:
$t=0$ સમયે,$x=A$ છે.
સ્થાનાંતરનું સમીકરણ $x = A \cos \omega t$ છે.
જ્યારે $t = \tau$ હોય,ત્યારે કાપેલું અંતર $a$ છે,તેથી સ્થાન $x = A - a$ થાય.
$A - a = A \cos \omega \tau \implies \cos \omega \tau = \frac{A - a}{A} \quad ...(i)$
જ્યારે $t = 2\tau$ હોય,ત્યારે કુલ કાપેલું અંતર $a + 2a = 3a$ છે,તેથી સ્થાન $x = A - 3a$ થાય.
$A - 3a = A \cos 2\omega \tau \quad ...(ii)$
નિત્યસમ $\cos 2\theta = 2 \cos^2 \theta - 1$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{A - 3a}{A} = 2 \left( \frac{A - a}{A} \right)^2 - 1$
$A - 3a = A \left( 2 \frac{(A - a)^2}{A^2} - 1 \right) = \frac{2(A^2 + a^2 - 2Aa) - A^2}{A} = \frac{A^2 + 2a^2 - 4Aa}{A}$
$A^2 - 3aA = A^2 + 2a^2 - 4Aa$
$aA = 2a^2 \implies A = 2a$.
$A = 2a$ ને સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$\cos \omega \tau = \frac{2a - a}{2a} = \frac{1}{2}$.
કારણ કે $\cos \omega \tau = \cos \frac{\pi}{3}$,તેથી $\omega \tau = \frac{\pi}{3}$ મળે.
$\frac{2\pi}{T} \tau = \frac{\pi}{3} \implies T = 6\tau$.

(D) $SHM$ માટેનું પ્રમાણિત વિકલ સમીકરણ $\frac{d^2x}{dt^2} + \omega^2 x = 0$ છે.
આપેલ સમીકરણ $\frac{d^2x}{dt^2} + ax = 0$ ને પ્રમાણિત સમીકરણ સાથે સરખાવતા,આપણને $\omega^2 = a$ મળે છે.
તેથી,કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \sqrt{a}$ થાય.
આવર્તકાળ $T$ અને કોણીય આવૃત્તિ વચ્ચેનો સંબંધ $T = \frac{2 \pi}{\omega}$ છે.
$\omega$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $T = \frac{2 \pi}{\sqrt{a}}$ મળે છે.

(C) આપેલ ગતિનું સમીકરણ: $x = A \sin \omega t + B \cos \omega t$ છે.
આને $x = R \sin(\omega t + \phi)$ ના સ્વરૂપમાં દર્શાવવા માટે,આપણે $\sqrt{A^2 + B^2}$ વડે ગુણીએ અને ભાગીએ:
$x = \sqrt{A^2 + B^2} \left[ \frac{A}{\sqrt{A^2 + B^2}} \sin \omega t + \frac{B}{\sqrt{A^2 + B^2}} \cos \omega t \right]$.
ધારો કે $\frac{A}{\sqrt{A^2 + B^2}} = \cos \phi$ અને $\frac{B}{\sqrt{A^2 + B^2}} = \sin \phi$ છે.
તેથી સમીકરણ $x = \sqrt{A^2 + B^2} (\sin \omega t \cos \phi + \cos \omega t \sin \phi)$ બને છે.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$x = \sqrt{A^2 + B^2} \sin(\omega t + \phi)$.
આ સમીકરણ $R = \sqrt{A^2 + B^2}$ કંપવિસ્તાર ધરાવતી સરળ આવર્ત ગતિ $(SHM)$ દર્શાવે છે.

(C) ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમનો ઉપયોગ કરીને,આપણે સમીકરણને આ રીતે લખી શકીએ:
$x = \frac{A}{2}(1 - \cos 2\omega t) + \frac{B}{2}(1 + \cos 2\omega t) + \frac{C}{2} \sin 2\omega t$
$x = \frac{A+B}{2} + \frac{B-A}{2} \cos 2\omega t + \frac{C}{2} \sin 2\omega t$
કોઈપણ વિધેય $SHM$ દર્શાવે તે માટે તે $x = x_0 + A' \sin(2\omega t + \phi)$ સ્વરૂપમાં હોવું જોઈએ.
$(A)$ જો $A=0, B=0, C \neq 0$ હોય,તો $x = \frac{C}{2} \sin 2\omega t$. આ $SHM$ દર્શાવે છે.
$(B)$ જો $A=-B, C=2B$ હોય,તો $x = 0 + B \cos 2\omega t + B \sin 2\omega t$. આ સમાન આવૃત્તિ ધરાવતા સાઈન અને કોસાઈન તરંગોનું સંયોજન છે,જે $|B\sqrt{2}|$ કંપવિસ્તાર સાથે $SHM$ દર્શાવે છે.
$(C)$ જો $A=B, C=0$ હોય,તો $x = \frac{A+A}{2} + \frac{A-A}{2} \cos 2\omega t + 0 = A$. અહીં $x$ અચળ હોવાથી,તે $SHM$ દર્શાવતું નથી.
$(D)$ જો $A=B, C=2B$ હોય,તો $x = A + B \sin 2\omega t$. આ $x=A$ મધ્યમાન સ્થાનની આસપાસ દોલન કરતું $SHM$ દર્શાવે છે.

(C) આપેલ સ્થાનાંતરનું સમીકરણ:
$y = 0.2 \sin (10 \pi t + 1.5 \pi) \cos (10 \pi t + 1.5 \pi)$
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin(2A) = 2 \sin A \cos A$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણે સમીકરણને આ રીતે લખી શકીએ:
$y = 0.1 \times [2 \sin (10 \pi t + 1.5 \pi) \cos (10 \pi t + 1.5 \pi)]$
$y = 0.1 \sin [2(10 \pi t + 1.5 \pi)]$
$y = 0.1 \sin (20 \pi t + 3 \pi)$
આ સરળ આવર્ત ગતિ $(SHM)$ ના પ્રમાણિત સમીકરણ $y = A \sin(\omega t + \phi)$ જેવું છે,જ્યાં કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 20 \pi \ rad/s$ છે.
આવર્તકાળ $T$ નીચે મુજબ મળે છે:
$T = \frac{2 \pi}{\omega} = \frac{2 \pi}{20 \pi} = \frac{1}{10} \ s = 0.1 \ s$.
આમ,આ ગતિ $0.1 \ s$ ના આવર્તકાળ સાથેની સરળ આવર્ત ગતિ છે.

(C) આપેલ સમીકરણ: $x = 3 \sin 100t + 8 \cos^2 50t$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\cos^2 \theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$x = 3 \sin 100t + 8 \left( \frac{1 + \cos 100t}{2} \right)$
$x = 3 \sin 100t + 4 + 4 \cos 100t$
$x = 3 \sin 100t + 4 \cos 100t + 4$
ધારો કે $3 = A \cos \phi$ અને $4 = A \sin \phi$,તો $A = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$.
સમીકરણ $x = 5 \sin(100t + \phi) + 4$ બને છે.
આ $x = 4$ મધ્યમાન સ્થાનની આસપાસ $5 \text{ units}$ ના કંપવિસ્તાર સાથે $S.H.M.$ દર્શાવે છે.
ઉગમબિંદુથી મહત્તમ સ્થાનાંતર $x_{max} = 4 + 5 = 9 \text{ units}$ છે.
વિકલ્પ $C$ ખોટો છે કારણ કે કંપવિસ્તાર $5$ છે,$\sqrt{73}$ નથી.

(B) આપેલ સમીકરણ: $y = \sin \omega t - \cos \omega t$.
$\sqrt{2}$ વડે ગુણતા અને ભાગતા:
$y = \sqrt{2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \sin \omega t - \frac{1}{\sqrt{2}} \cos \omega t \right)$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin(A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$ નો ઉપયોગ કરતા:
$y = \sqrt{2} \sin \left( \omega t - \frac{\pi}{4} \right)$.
આ સરળ આવર્ત ગતિ $(S.H.M.)$ ના પ્રમાણિત સમીકરણ $y = A \sin(\omega t + \phi)$ જેવું છે,જ્યાં $A$ એ કંપવિસ્તાર છે અને $\omega$ એ કોણીય આવૃત્તિ છે.
સમીકરણોની સરખામણી કરતા,કંપવિસ્તાર $A = \sqrt{2}$ મળે છે.
આવર્તકાળ $T$ એ $T = \frac{2\pi}{\omega}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આમ,આ ગતિ $S.H.M.$ છે જેનો આવર્તકાળ $\frac{2\pi}{\omega}$ અને કંપવિસ્તાર $\sqrt{2}$ છે.

(D) $S.H.M.$ માટેનું સામાન્ય સમીકરણ $y = A \sin(\omega t + \phi)$ છે.
અહીં કંપનવિસ્તાર $A = 0.5\, cm$ અને આવર્તકાળ $T = 0.4\, s$ આપેલ છે.
કોણીય આવૃત્તિ $\omega$ ની ગણતરી કરતા,$\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{0.4} = 5\pi\, rad/s$.
પ્રારંભિક કળા $\phi = \pi/2$ છે.
આ કિંમતોને સામાન્ય સમીકરણમાં મૂકતા:
$y = 0.5 \sin(5\pi t + \pi/2)$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin(\theta + \pi/2) = \cos(\theta)$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$y = 0.5 \cos(5\pi t)$.

(C) આપેલ સ્થાનાંતર સમીકરણ: $x = a \sin \omega t + b \cos \omega t$.
આને સરળ બનાવવા માટે,આપણે $\sqrt{a^2 + b^2}$ વડે ગુણીએ અને ભાગીએ:
$x = \sqrt{a^2 + b^2} \left( \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}} \sin \omega t + \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}} \cos \omega t \right)$.
ધારો કે $\cos \phi = \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ અને $\sin \phi = \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}}$.
તો સમીકરણ આ મુજબ બને છે: $x = \sqrt{a^2 + b^2} (\sin \omega t \cos \phi + \cos \omega t \sin \phi)$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$x = A' \sin(\omega t + \phi)$,જ્યાં $A' = \sqrt{a^2 + b^2}$ એ પરિણામી કંપવિસ્તાર છે.
સ્થાનાંતર $x = A' \sin(\omega t + \phi)$ સ્વરૂપમાં હોવાથી,ગતિ સરળ આવર્ત છે.
દરેક સરળ આવર્ત ગતિ એ આવર્તક પણ હોય છે.
તેથી,ગતિ સરળ આવર્ત તેમજ આવર્તક છે.

(D) આપેલ સ્થાન સદિશ: $\overrightarrow{r} = (\widehat{i} + 2\widehat{j}) A \cos \omega t$.
આને $\overrightarrow{r} = x \widehat{i} + y \widehat{j}$ સાથે સરખાવતા:
$x = A \cos \omega t$ $...(1)$
$y = 2A \cos \omega t$ $...(2)$
સમીકરણ $(1)$ પરથી,$\cos \omega t = \frac{x}{A}$. આ કિંમત સમીકરણ $(2)$ માં મૂકતા:
$y = 2A \left( \frac{x}{A} \right) = 2x$.
$y = 2x$ એ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી સીધી રેખાનું સમીકરણ હોવાથી,કણની ગતિ સુરેખ છે.
$x = A \cos \omega t$ અને $y = 2A \cos \omega t$ એ $\cos \omega t$ ના વિધેયો હોવાથી,કણ ઉગમબિંદુની આસપાસ દોલનો કરે છે,જે સરળ આવર્ત ગતિ છે.
સમયગાળા $T = \frac{2\pi}{\omega}$ પછી ગતિનું પુનરાવર્તન થતું હોવાથી,આ ગતિ આવર્તનીય છે.
તેથી,આપેલા તમામ વિધાનો સાચા છે.

(B) આપેલ ગતિનું સમીકરણ $x = a \cos(\alpha t)$ છે.
આ સમીકરણ સરળ આવર્ત ગતિ $(SHM)$ દર્શાવે છે,જેમાં કણ મધ્યમાન સ્થાન $x = 0$ ની આસપાસ $x = +a$ અને $x = -a$ ની વચ્ચે દોલનો કરે છે.
$1$. જો ગતિ ચોક્કસ સમયગાળા પછી પુનરાવર્તિત થાય,તો તેને આવર્ત ગતિ કહેવાય છે. અહીં,આવર્તકાળ $T = \frac{2\pi}{\alpha}$ છે,તેથી આ ગતિ આવર્ત છે.
$2$. જો કણ કોઈ નિશ્ચિત મધ્યમાન સ્થાનની આસપાસ આગળ-પાછળ ગતિ કરે,તો તેને દોલિત ગતિ કહેવાય છે. કણ $x = 0$ ની આસપાસ $x = +a$ અને $x = -a$ ની વચ્ચે દોલનો કરતો હોવાથી,આ ગતિ દોલિત પણ છે.
તેથી,આ ગતિ આવર્ત અને દોલિત બંને છે.

(B) આપેલ છે,$y = \sin^3 \omega t = \frac{1}{4} [3 \sin \omega t - \sin 3 \omega t]$.
સરળ આવર્ત ગતિ $(SHM)$ એ $y = A \sin(\omega t + \phi)$ સ્વરૂપના એક જ સાઈન અથવા કોસાઈન વિધેય દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
આપેલ સમીકરણ એ બે અલગ-અલગ આવૃત્તિઓ ($\omega$ અને $3\omega$) ધરાવતા બે આવર્ત વિધેયોનું સંપાતીકરણ હોવાથી,તે $SHM$ નથી.
જોકે,આ ગતિ આવર્ત વિધેયોની બનેલી હોવાથી,સમગ્ર ગતિ આવર્તક છે.

(B) આપેલ સ્થાનાંતરનું સમીકરણ: $x = a \sin^2 \omega t$.
ત્રિકોણમિતિના નિત્યસમ $\sin^2 \theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણે સમીકરણને આ રીતે લખી શકીએ:
$x = \frac{a}{2}(1 - \cos 2\omega t) = \frac{a}{2} - \frac{a}{2} \cos 2\omega t$.
આ સમીકરણ $x = \frac{a}{2}$ મધ્યમાન સ્થાનની આસપાસ સરળ આવર્ત ગતિ $(SHM)$ દર્શાવે છે,જેનો કંપવિસ્તાર $\frac{a}{2}$ અને કોણીય આવૃત્તિ $\omega' = 2\omega$ છે.
ગતિની આવૃત્તિ $f$ એ $f = \frac{\omega'}{2\pi} = \frac{2\omega}{2\pi} = \frac{\omega}{\pi}$ દ્વારા મળે છે.
તેથી,આ ગતિ $\frac{\omega}{\pi}$ આવૃત્તિ ધરાવતી સરળ આવર્ત ગતિ છે.

(C) કણ $B$ ત્રિજ્યાના વર્તુળમાં $\omega = \frac{2\pi}{T}$ કોણીય વેગ સાથે ગતિ કરે છે.
$t=0$ સમયે,કણ ધન $y$-અક્ષ પર છે. જેમ તે ઘડિયાળના કાંટાની દિશામાં ગતિ કરે છે,તેમ $t$ સમયે ધન $y$-અક્ષ સાથેનો ખૂણો $\theta = \omega t = \frac{2\pi t}{T}$ થાય છે.
ત્રિજ્યા સદિશ ધન $x$-અક્ષ સાથે જે ખૂણો $\phi$ બનાવે છે તે $\phi = \frac{\pi}{2} - \theta = \frac{\pi}{2} - \omega t$ છે.
ત્રિજ્યા સદિશનો $x$-પ્રક્ષેપ $x(t) = B \cos(\phi) = B \cos\left( \frac{\pi}{2} - \omega t \right)$ છે.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\cos(\frac{\pi}{2} - \theta) = \sin(\theta)$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $x(t) = B \sin(\omega t) = B \sin\left( \frac{2\pi t}{T} \right)$ મળે છે.

(D) આપેલ સમીકરણ $x = x_0 \sin^2 \omega t$ છે.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin^2 \theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણે સમીકરણને આ રીતે લખી શકીએ:
$x = x_0 \left( \frac{1 - \cos 2\omega t}{2} \right) = \frac{x_0}{2} - \frac{x_0}{2} \cos 2\omega t$.
આ સમીકરણ $\frac{x_0}{2}$ જેટલા અચળ સ્થાનાંતર સાથેની સરળ આવર્ત ગતિ દર્શાવે છે.
સરળ આવર્ત ગતિનું પ્રમાણિત સ્વરૂપ $x' = A \cos(\omega' t + \phi)$ છે,જ્યાં $x' = x - \frac{x_0}{2}$.
અહીં,કંપવિસ્તાર $A = \frac{x_0}{2}$ અને કોણીય આવૃત્તિ $\omega' = 2\omega$ છે.
આવર્તકાળ $T = \frac{2\pi}{\omega'} = \frac{2\pi}{2\omega} = \frac{\pi}{\omega}$ મળે છે.

(C) દોલનનો આવર્તકાળ $T$ એ $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $T = \frac{\pi}{2}$ અને $m = 1\,kg$ આપેલ છે,તેથી $\frac{\pi}{2} = 2\pi \sqrt{\frac{1}{k}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\frac{1}{4} = 4 \cdot \frac{1}{k}$,જે આપણને $k = 16$ આપે છે.
નાના દોલનો માટે,પુનઃસ્થાપક બળ $F = -kx = -16x$ છે.
નાના $x$ માટે $\sin x \approx x$ હોવાથી,આપણે $F = -16 \sin x$ લખી શકીએ.
સ્થિતિઊર્જા $U$ એ $U = -\int F dx = -\int (-16 \sin x) dx = -16 \cos x + C$ દ્વારા મળે છે.
આમ,સ્થિતિઊર્જા $-16 \cos x$ હોઈ શકે છે.

(D) ધારો કે ગતિનું સમીકરણ $x = A \cos(\omega t + \phi)$ છે. સરળતા માટે,જો $t=0$ સમયે કળા શૂન્ય હોય તો $x = A \cos(\omega t)$ લઈ શકાય.
આપેલ સમય પર સ્થાન:
$a = A \cos(\omega t_0)$
$b = A \cos(2\omega t_0)$
$c = A \cos(3\omega t_0)$
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\cos(3\theta) + \cos(\theta) = 2 \cos(2\theta) \cos(\theta)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$a + c = A \cos(3\omega t_0) + A \cos(\omega t_0) = A [2 \cos(2\omega t_0) \cos(\omega t_0)]$
$b = A \cos(2\omega t_0)$ કિંમત મૂકતા:
$a + c = 2b \cos(\omega t_0)$
$\cos(\omega t_0) = \frac{a+c}{2b}$
$\omega t_0 = \cos^{-1} \left( \frac{a+c}{2b} \right)$
$\omega = 2\pi f$ હોવાથી,$2\pi f t_0 = \cos^{-1} \left( \frac{a+c}{2b} \right)$
$f = \frac{1}{2\pi t_0} \cos^{-1} \left( \frac{a+c}{2b} \right)$

(D) સુરેખ $S.H.M.$ માં,કણ પર લાગતું પુનઃસ્થાપક બળ $F$ એ સંતુલન સ્થાનથી તેના સ્થાનાંતર $x$ ના સમપ્રમાણમાં હોવું જોઈએ અને તે હંમેશા સંતુલન સ્થાનની દિશામાં હોવું જોઈએ.
ગાણિતિક રીતે,આને $F = -bx$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે,જ્યાં $b$ એ એક ધન બળ અચળાંક છે.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખામણી કરતા,$-bx$ (જ્યાં $b$ એ ધન અચળાંક છે) એ સરળ આવર્ત ગતિ માટે પુનઃસ્થાપક બળ દર્શાવે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણ: $y = 5(\sin 3\pi t + \sqrt{3} \cos 3\pi t) \ cm$.
આપણે તેને $y = A \sin(\omega t + \phi)$ સ્વરૂપમાં લખી શકીએ.
$2$ વડે ગુણતા અને ભાગતા: $y = 5 \times 2 \left( \frac{1}{2} \sin 3\pi t + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos 3\pi t \right)$.
નિત્યસમ $\sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ નો ઉપયોગ કરતા,$\cos \phi = 1/2$ અને $\sin \phi = \sqrt{3}/2$ લેતા,આપણને $\phi = \pi/3$ મળે છે.
તેથી,$y = 10 \sin(3\pi t + \pi/3) \ cm$.
કંપવિસ્તાર $A = 10 \ cm$.
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 3\pi \ rad/s$.
આવર્તકાળ $T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{3\pi} = \frac{2}{3} \ s$.

(A) એકમ દળ દીઠ સ્થિતિ ઊર્જાનું સૂત્ર $v = \frac{1}{2} \omega^2 x^2$ છે.
આપેલ સમીકરણ $v = 8 \times 10^4 x^2$ સાથે સરખાવતા,$\frac{1}{2} \omega^2 = 8 \times 10^4$ મળે.
તેથી,$\omega^2 = 16 \times 10^4$,જેનો અર્થ છે કે $\omega = 400\, \text{rad/s}$.
કણની કુલ ઊર્જા $E = \frac{1}{2} m \omega^2 A^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $m = 10\, \text{g}$,$E = 8 \times 10^7\, \text{erg}$,અને $\omega = 400\, \text{rad/s}$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા: $8 \times 10^7 = \frac{1}{2} \times 10 \times (400)^2 \times A^2$.
$8 \times 10^7 = 5 \times 160000 \times A^2 = 800000 \times A^2$.
$A^2 = \frac{8 \times 10^7}{8 \times 10^5} = 100$.
તેથી,$A = 10\, \text{cm}$.
આમ,સ્થાનાંતરનું સમીકરણ $x = 10 \sin(400 t + \phi)\, \text{cm}$ થાય.

(C) ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\cos(A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે આપેલ સમીકરણને સરળ બનાવી શકીએ છીએ:
$y = A(\cos 2\omega t \cos \omega t + \sin 2\omega t \sin \omega t)$
$y = A \cos(2\omega t - \omega t)$
$y = A \cos(\omega t)$
કારણ કે વિધેય $y = A \cos(\omega t)$ એ સરળ આવર્ત ગતિ દર્શાવે છે,તેથી વિધેયનો પ્રકાર સરળ આવર્ત (Simple harmonic) છે.

(C) આપેલ સમીકરણ $4v^2 = 25 - x^2$ છે.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $x^2 + 4v^2 = 25$ મળે છે.
બંને બાજુ $25$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{x^2}{25} + \frac{4v^2}{25} = 1$ મળે છે,જેને $\frac{x^2}{5^2} + \frac{v^2}{(5/2)^2} = 1$ તરીકે લખી શકાય.
આને $SHM$ માટેના ઉપવલયના પ્રમાણિત સમીકરણ $\frac{x^2}{A^2} + \frac{v^2}{(A\omega)^2} = 1$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
કંપવિસ્તાર $A = 5$ અને $A\omega = \frac{5}{2}$.
બીજા સમીકરણમાં $A = 5$ મૂકતા: $5\omega = \frac{5}{2} \Rightarrow \omega = \frac{1}{2} \text{ rad/s}$.
આવર્તકાળ $T$ નું સૂત્ર $T = \frac{2\pi}{\omega}$ છે.
$\omega = \frac{1}{2}$ મૂકતા,આપણને $T = \frac{2\pi}{1/2} = 4\pi \text{ s}$ મળે છે.

(A) $SHM$ માટે આપેલ સમીકરણ $x = A \sin(\omega t + \phi)$ છે,જ્યાં $A = 3\, cm$ અને $\omega = \frac{2\pi}{18} = \frac{\pi}{9}\, rad/s$ છે.
આવર્તકાળ $T$ એ $T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{\pi/9} = 18\, s$ દ્વારા મળે છે.
કુલ સમય $t = 36\, s$ આપેલ છે,જે $2T$ (બે પૂર્ણ દોલનો) જેટલો છે.
એક પૂર્ણ દોલનમાં,કણ $4A$ જેટલું અંતર કાપે છે.
તેથી,$2$ પૂર્ણ દોલનોમાં,કાપેલું અંતર $2 \times 4A = 8A$ થશે.
$A = 3\, cm$ ની કિંમત મૂકતા,કાપેલું અંતર $8 \times 3 = 24\, cm$ મળે છે.

(A) કણ $B$ ત્રિજ્યાના વર્તુળમાં $T = 30 \ s$ ના આવર્તકાળ સાથે ગતિ કરે છે. કોણીય વેગ $\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{30} = \frac{\pi}{15} \ rad/s$ છે.
$t = 0$ સમયે,કણ ધન $y$-અક્ષ સાથે $\theta_0$ ખૂણે છે. તે પ્રથમ ચરણમાં $y$-અક્ષથી $45^\circ$ પર હોવાથી,ધન $x$-અક્ષ સાથેનો તેનો ખૂણો $\phi_0 = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ = \pi/4$ છે.
ગતિ ઘડિયાળના કાંટાની દિશામાં હોવાથી,$t$ સમયે ખૂણો $\theta(t) = \phi_0 - \omega t = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi t}{15}$ થશે.
$x$-પ્રક્ષેપ $x(t) = B \cos(\theta(t)) = B \cos\left( \frac{\pi}{4} - \frac{\pi t}{15} \right)$ છે.
$\cos(-\theta) = \cos(\theta)$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $x(t) = B \cos\left( \frac{\pi t}{15} - \frac{\pi}{4} \right)$ મળે છે.
વૈકલ્પિક રીતે,$\cos(\theta) = \sin(\theta + \pi/2)$ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા,આપણે તેને $x(t) = B \sin\left( \frac{\pi t}{15} - \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2} \right) = B \sin\left( \frac{\pi t}{15} + \frac{\pi}{4} \right)$ તરીકે લખી શકીએ.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,સમીકરણ $x(t) = B \sin\left( \frac{2\pi t}{30} + \frac{\pi}{4} \right)$ એ વિકલ્પ $A$ સાથે મેળ ખાય છે.

(B) ધારો કે અંતિમ સ્થિતિમાંથી સ્થિર સ્થિતિમાં શરૂ થતી ગતિનું સમીકરણ $x(t) = A \cos(\omega t)$ છે.
$t=0$ સમયે સ્થિર હોવાથી,સ્થાન $x(0) = A$ છે.
અંતિમ સ્થિતિથી કાપેલું અંતર $d(t) = A - A \cos(\omega t) = A(1 - \cos(\omega t))$ છે.
પ્રથમ $\tau \, s$ માં,અંતર $d(\tau) = a \implies A(1 - \cos(\omega \tau)) = a$.
આગામી $\tau \, s$ માં (કુલ સમય $2\tau$),કુલ અંતર $a + 2a = 3a$ છે.
તેથી,$A(1 - \cos(2\omega \tau)) = 3a$.
પ્રથમ સમીકરણ પરથી,$\cos(\omega \tau) = 1 - \frac{a}{A}$.
બીજા સમીકરણ પરથી,$\cos(2\omega \tau) = 1 - \frac{3a}{A}$.
નિત્યસમ $\cos(2\theta) = 2\cos^2(\theta) - 1$ નો ઉપયોગ કરતા,$2(1 - \frac{a}{A})^2 - 1 = 1 - \frac{3a}{A}$.
આ સમીકરણ ઉકેલતા,$\frac{2a}{A} = 1 \implies A = 2a$.
$\cos(\omega \tau) = 1 - \frac{a}{2a} = 0.5$ મૂકતા,$\omega \tau = \frac{\pi}{3} \implies \omega = \frac{\pi}{3\tau}$.
આવર્તકાળ $T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{\pi / 3\tau} = 6\tau$.

(A) સરળ આવર્ત ગતિ $(SHM)$ માટેનું પ્રમાણિત સમીકરણ $\frac{d^2x}{dt^2} + \omega^2x = 0$ છે.
આપેલ સમીકરણ $\frac{d^2x}{dt^2} + \pi^2x = 0$ ને પ્રમાણિત સમીકરણ સાથે સરખાવતા,આપણને $\omega^2 = \pi^2$ મળે છે.
વર્ગમૂળ લેતા,$\omega = \pi \, rad/s$ મળે છે.
કોણીય આવૃત્તિ $\omega$ અને આવૃત્તિ $f$ વચ્ચેનો સંબંધ $\omega = 2\pi f$ છે.
તેથી,$f = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{\pi}{2\pi} = 0.5 \, Hz$ થાય.

(B) અંતિમ સ્થાનો $x_1 = -3 \, cm$ અને $x_2 = 9 \, cm$ છે.
મધ્યમાન સ્થાન $x_0$ એ અંતિમ સ્થાનોનું મધ્યબિંદુ છે: $x_0 = \frac{-3 + 9}{2} = 3 \, cm$.
કંપવિસ્તાર $A$ એ મધ્યમાન સ્થાનથી અંતિમ સ્થાન સુધીનું અંતર છે: $A = 9 - 3 = 6 \, cm$.
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{0.5} = 4\pi \, rad/s$.
$SHM$ માટેનું સામાન્ય સમીકરણ $x(t) = x_0 + A \sin(\omega t + \phi)$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $x(t) = 3 + 6 \sin(4\pi t + \phi)$.
$t = 0$ સમયે,$x = 0$: $0 = 3 + 6 \sin(\phi) \implies \sin(\phi) = -1/2$.
આનાથી $\phi = 7\pi/6$ અથવા $11\pi/6$ મળે છે.
કારણ કે કણ $t = 0$ સમયે ઋણ દિશામાં ગતિ કરે છે,વેગ $v = \frac{dx}{dt} = 6(4\pi) \cos(4\pi t + \phi)$ એ $t = 0$ સમયે ઋણ હોવો જોઈએ.
$\phi = 7\pi/6$ માટે,$\cos(7\pi/6) = -\sqrt{3}/2 < 0$ (સાચું).
$\phi = 11\pi/6$ માટે,$\cos(11\pi/6) = \sqrt{3}/2 > 0$ (ખોટું).
તેથી,સમીકરણ $x = 3 + 6 \sin(4\pi t + 7\pi/6)$ છે.

(C) સરળ આવર્ત ગતિ $(SHM)$ માં,કણ $+A$ અને $-A$ અંતિમ સ્થાનો વચ્ચે દોલન કરે છે.
એક સંપૂર્ણ આવર્તકાળ $T$ એ કણના $+A$ થી $-A$ સુધી જઈને પાછા $+A$ પર આવવા માટેનો સમય છે.
અડધા આવર્તકાળ $(T/2)$ માં,કણ એક અંતિમ સ્થાનથી બીજા અંતિમ સ્થાન સુધી પહોંચે છે.
ઉદાહરણ તરીકે,જો કણ $+A$ થી શરૂઆત કરે,તો $T/2$ સમય પછી તે $-A$ પર પહોંચશે.
કાપેલું અંતર એ કુલ પથ લંબાઈ છે,જે $|+A - (-A)| = 2A$ થાય છે.

(B) આપેલ વિધેય: $x = \sin \omega t - \cos \omega t$
આપણે આને આ રીતે લખી શકીએ: $x = \sqrt{2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \sin \omega t - \frac{1}{\sqrt{2}} \cos \omega t \right)$
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin(A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $B = \frac{\pi}{4}$:
$x = \sqrt{2} \sin \left( \omega t - \frac{\pi}{4} \right)$
આને સરળ આવર્ત ગતિ $(SHM)$ ના પ્રમાણિત સમીકરણ $x = A \sin(\omega t + \phi)$ સાથે સરખાવતા:
અહીં,કંપવિસ્તાર $A = \sqrt{2}$ અને કોણીય આવૃત્તિ $\omega$ છે.
આવર્તકાળ $T$ નું સૂત્ર $T = \frac{2\pi}{\omega}$ છે.
આમ,વિધેયને $A \sin(\omega t + \phi)$ સ્વરૂપમાં દર્શાવી શકાતું હોવાથી,તે $\frac{2\pi}{\omega}$ આવર્તકાળ ધરાવતી સરળ આવર્ત ગતિ દર્શાવે છે.

(D) આકૃતિ પરથી,વર્તુળની ત્રિજ્યા $A = 2 \text{ cm}$ છે.
પરિભ્રમણનો આવર્તકાળ $T = 1 \text{ s}$ છે.
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{1} = 2\pi \text{ rad/s}$ છે.
$t = 0$ સમયે,કણ $P$ ધન $x$-અક્ષ સાથે $60^\circ$ અથવા $\frac{\pi}{3}$ રેડિયનના ખૂણે છે.
સ્થાન સદિશનો $x$-પ્રક્ષેપ $x(t) = A \cos(\omega t + \phi)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$t = 0$ સમયે,$x(0) = A \cos(\phi) = 2 \cos(60^\circ) = 2 \times 0.5 = 1 \text{ cm}$.
કિંમતો મૂકતા,$x(t) = 2 \cos(2\pi t + \frac{\pi}{3})$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) $SHM$ માટે સ્થાનાંતરનું સમીકરણ $x = a \sin(\omega t + \phi)$ છે.
$t = \frac{T}{4}$ સમયે,કોણીય સ્થાનાંતર $\omega t = \frac{2\pi}{T} \cdot \frac{T}{4} = \frac{\pi}{2}$ થાય.
આપેલ છે કે $x = -\frac{a}{2}$,તેથી સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા:
$-\frac{a}{2} = a \sin(\frac{\pi}{2} + \phi)$
$-\frac{1}{2} = \cos(\phi)$.
આનાથી કળા અચળાંક માટે બે શક્ય કિંમતો મળે છે: $\phi = \frac{2\pi}{3}$ અથવા $\phi = \frac{4\pi}{3}$.
વેગનું સમીકરણ $v = \frac{dx}{dt} = a\omega \cos(\omega t + \phi)$ છે.
$t = \frac{T}{4}$ સમયે,$v = a\omega \cos(\frac{\pi}{2} + \phi) = -a\omega \sin(\phi)$.
વેગ ધન હોવાથી,$-a\omega \sin(\phi) > 0$,જેનો અર્થ છે કે $\sin(\phi) < 0$.
$\phi = \frac{2\pi}{3}$ માટે,$\sin(\frac{2\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2} > 0$ (અસ્વીકાર્ય).
$\phi = \frac{4\pi}{3}$ માટે,$\sin(\frac{4\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2} < 0$ (સ્વીકાર્ય).
તેથી,પ્રારંભિક કળા $\phi = \frac{4\pi}{3}$ છે.

(B) આલેખ પરથી,વિધેયનું મહત્તમ મૂલ્ય (કંપવિસ્તાર) $A = 5$ છે.
આ સૂચવે છે કે સમીકરણ $y = 5 \sin(kx)$ સ્વરૂપમાં છે.
આલેખ $x = 0$ થી $x = 2\pi$ સુધીમાં એક પૂર્ણ ચક્ર પૂર્ણ કરે છે,જેનો અર્થ છે કે આવર્તકાળ $T = 2\pi$ છે.
આવર્તકાળ માટેનું સૂત્ર $T = \frac{2\pi}{k}$ છે.
$T = 2\pi$ મૂકતા,આપણને $2\pi = \frac{2\pi}{k}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $k = 1$.
તેથી,આલેખનું સમીકરણ $y = 5 \sin x$ છે.

(B) $SHM$ નું આપેલ સમીકરણ $2 \frac{d^2x}{dt^2} + 32x = 0$ છે.
$2$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{d^2x}{dt^2} + 16x = 0$ મળે,અથવા $\frac{d^2x}{dt^2} = -16x$ $...(i)$.
$SHM$ નું પ્રમાણિત વિકલ સમીકરણ $\frac{d^2x}{dt^2} = -\omega^2x$ $...(ii)$ છે.
સમીકરણ $(i)$ અને $(ii)$ ની સરખામણી કરતા,આપણને $\omega^2 = 16$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $\omega = 4 \text{ rad/s}$.
આવર્તકાળ $T$ એ $T = \frac{2\pi}{\omega}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\omega$ ની કિંમત મૂકતા,$T = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2} \text{ s}$.

(C) આપેલ ગતિનું સમીકરણ: $y = a(\sin \omega t + \cos \omega t)$.
$\sqrt{2}$ વડે ગુણતા અને ભાગતા:
$y = a\sqrt{2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \sin \omega t + \frac{1}{\sqrt{2}} \cos \omega t \right)$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણે લખી શકીએ:
$y = a\sqrt{2} (\sin \omega t \cos \frac{\pi}{4} + \cos \omega t \sin \frac{\pi}{4})$.
$y = a\sqrt{2} \sin(\omega t + \frac{\pi}{4})$.
આ સમીકરણ $y = A \sin(\omega t + \phi)$ સ્વરૂપની સરળ આવર્ત ગતિ $(S.H.M.)$ દર્શાવે છે,જ્યાં કંપવિસ્તાર $A = a\sqrt{2}$ છે.

(D) આપેલ સ્થાનાંતરનું સમીકરણ: $x = a \sin \omega t + b \cos \omega t$.
કંપવિસ્તાર શોધવા માટે,આપણે સમીકરણને $x = A \sin(\omega t + \phi)$ સ્વરૂપમાં લખીએ.
ધારો કે $a = A \cos \phi$ અને $b = A \sin \phi$.
તેથી $x = A \cos \phi \sin \omega t + A \sin \phi \cos \omega t = A \sin(\omega t + \phi)$.
$a$ અને $b$ ના પદોનો વર્ગ કરીને સરવાળો કરતા:
$a^2 + b^2 = A^2 \cos^2 \phi + A^2 \sin^2 \phi = A^2(\cos^2 \phi + \sin^2 \phi) = A^2$.
આમ,કંપવિસ્તાર $A = \sqrt{a^2 + b^2}$.
આ સમીકરણને એક સાઈન વિધેય તરીકે દર્શાવી શકાતું હોવાથી,આ ગતિ $\sqrt{a^2 + b^2}$ કંપવિસ્તાર ધરાવતી $SHM$ છે.

(D) $SHM$ માં,એક કણ મધ્યમાન સ્થાનથી શરૂ કરીને અંતિમ સ્થાન $(+A)$ સુધી જાય છે,પાછો મધ્યમાન સ્થાન પર આવે છે,બીજા અંતિમ સ્થાન $(-A)$ સુધી જાય છે,અને એક આવર્તકાળ $(T)$ માં ફરીથી મધ્યમાન સ્થાન પર પાછો આવે છે.
મધ્યમાનથી અંતિમ સ્થાન સુધીનું અંતર $= A$.
અંતિમ સ્થાનથી મધ્યમાન સ્થાન સુધીનું અંતર $= A$.
મધ્યમાનથી બીજા અંતિમ સ્થાન સુધીનું અંતર $= A$.
બીજા અંતિમ સ્થાનથી મધ્યમાન સ્થાન સુધીનું અંતર $= A$.
એક આવર્તકાળમાં કાપેલું કુલ અંતર $= A + A + A + A = 4\,A$.

(D) આવર્ત ગતિ એટલે એવી ગતિ જે ચોક્કસ સમયના અંતરાલે પોતાનું પુનરાવર્તન કરે છે.
$1$. પૃથ્વીનું તેની ધરી પર પરિભ્રમણ દર $24$ કલાકે પુનરાવર્તિત થાય છે.
$2$. મુક્ત રીતે લટકાવેલ ગજિયો ચુંબક જેને તેના $N-S$ દિશામાંથી વિચલિત કરીને મુક્ત કરવામાં આવે છે તે દોલનો કરે છે,જે એક પ્રકારની આવર્ત ગતિ છે.
$3$. ઘડિયાળના કાંટાની ગતિ નિશ્ચિત સમયના અંતરાલે પુનરાવર્તિત થાય છે.
$4$. ધનુષમાંથી છોડવામાં આવેલ તીર સીધી રેખામાં (અથવા પ્રક્ષિપ્ત ગતિમાં) ગતિ કરે છે અને તે નિયમિત સમયના અંતરાલે પોતાની ગતિનું પુનરાવર્તન કરતું નથી. તેથી,તે આવર્ત ગતિ નથી.

(C) વિધેય $f(t) = \sin^2(\omega t)$ ને $f(t) = \frac{1 - \cos(2\omega t)}{2} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\cos(2\omega t)$ તરીકે લખી શકાય છે.
આ એક આવર્ત વિધેય છે કારણ કે તે અચળ અને કોસાઇન વિધેયનો સરવાળો છે.
આ વિધેયની કોણીય આવૃત્તિ $2\omega$ છે. તેથી,આવર્તકાળ $T = \frac{2\pi}{2\omega} = \frac{\pi}{\omega}$ મળે છે.
કોઈ ગતિ સરળ આવર્ત ગતિ $(SHM)$ હોય તે માટે,પ્રવેગ સ્થાનાંતરના ઋણ મૂલ્યના સમપ્રમાણમાં હોવો જોઈએ,એટલે કે $a = \frac{d^2y}{dt^2} \propto -y$.
ધારો કે $y = \sin^2(\omega t)$.
તો,$\frac{dy}{dt} = 2\sin(\omega t) \cdot \cos(\omega t) \cdot \omega = \omega \sin(2\omega t)$.
અને,$\frac{d^2y}{dt^2} = \omega \cdot \cos(2\omega t) \cdot 2\omega = 2\omega^2 \cos(2\omega t)$.
અહીં $\frac{d^2y}{dt^2}$ એ $-y$ ના સમપ્રમાણમાં નથી (કારણ કે $\cos(2\omega t)$ એ $\sin^2(\omega t)$ ના સમપ્રમાણમાં નથી),તેથી આ ગતિ આવર્ત છે પણ $SHM$ નથી.
આમ,આ વિધેય $\frac{\pi}{\omega}$ આવર્તકાળ ધરાવતી આવર્ત ગતિ દર્શાવે છે,જે સરળ આવર્ત ગતિ નથી.

(A) અચળ ઝડપ સાથે ગતિ કરતા કણની વર્તુળાકાર ગતિમાં,કણ ચોક્કસ સમયના અંતરાલ પછી તેની ગતિનું પુનરાવર્તન કરે છે,જે આવર્ત ગતિની વ્યાખ્યાને સંતોષે છે.
જો કે,કણ કોઈ નિશ્ચિત મધ્યમાન સ્થાનની આસપાસ દોલનો કરતું નથી,જે સરળ આવર્ત ગતિ માટે જરૂરી શરત છે.
તેથી,કણની ગતિ આવર્ત ગતિ છે પરંતુ સરળ આવર્ત ગતિ નથી.

(A) સરળ આવર્ત ગતિ $(S.H.M.)$ કરતા કણનું સ્થાનાંતર $y = a \sin(\omega t + \phi)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વેગ $v = \frac{dy}{dt} = a\omega \cos(\omega t + \phi)$ છે.
મધ્યમાન સ્થાને વેગ મહત્તમ હોય છે,જ્યાં $v_{max} = a\omega$.
મધ્યમાન સ્થાને ગતિઊર્જા $K.E._{max} = \frac{1}{2} m v_{max}^2 = \frac{1}{2} m (a\omega)^2$ છે.
અહીં $m = 0.1 \, kg$,$a = 0.1 \, m$,અને $K.E._{max} = 8 \times 10^{-3} \, J$ આપેલ છે.
આ કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{2} \times 0.1 \times \omega^2 \times (0.1)^2 = 8 \times 10^{-3}$.
$0.05 \times 0.01 \times \omega^2 = 8 \times 10^{-3} \implies 0.0005 \times \omega^2 = 0.008$.
$\omega^2 = \frac{0.008}{0.0005} = 16 \implies \omega = 4 \, rad/s$.
પ્રારંભિક કળા $\phi = 45^o = \pi/4 \, rad$ છે.
તેથી,ગતિનું સમીકરણ $y = 0.1 \sin(\pm 4t + \pi/4)$ થાય.

(A) સરળ આવર્ત ગતિ $(SHM)$ એ એક એવી આવર્તક ગતિ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે જેમાં પુનઃસ્થાપક બળ સ્થાનાંતરના સીધા પ્રમાણમાં હોય છે અને સ્થાનાંતરની વિરુદ્ધ દિશામાં કાર્ય કરે છે. આના પરિણામે મધ્યમાન સ્થાનની આસપાસ આગળ-પાછળની ગતિ થાય છે. $SHM$ માં કણનો વેગ $v = \omega \sqrt{A^2 - x^2}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $A$ એ કંપવિસ્તાર છે,$x$ એ સ્થાનાંતર છે અને $\omega$ એ કોણીય આવૃત્તિ છે. આપેલ કારણમાં $A$ ને બદલે $k$ નો ઉપયોગ કરવામાં આવ્યો હતો,જે કંપવિસ્તાર માટે સંકેતની દ્રષ્ટિએ ખોટું છે. જોકે,આ સૂત્ર $SHM$ માં વેગના ફેરફારનું યોગ્ય વર્ણન કરે છે,જે ગતિની આવર્તક અને આગળ-પાછળની પ્રકૃતિની પુષ્ટિ કરે છે. આમ,બંને વિધાનો સાચા છે અને વેગનું સમીકરણ ગતિની પ્રકૃતિ સમજાવે છે.

(B) આપેલ સમીકરણ $y = A_{0} + A \sin \omega t + B \cos \omega t$ છે.
કંપવિસ્તાર શોધવા માટે,આપણે સમય-આધારિત ભાગને $R \sin(\omega t + \phi)$ સ્વરૂપમાં દર્શાવીએ છીએ.
ધારો કે $A = R \cos \phi$ અને $B = R \sin \phi$.
તેથી $A^{2} + B^{2} = R^{2} (\cos^{2} \phi + \sin^{2} \phi) = R^{2}$.
આમ,$R = \sqrt{A^{2} + B^{2}}$.
સમીકરણ $y = A_{0} + \sqrt{A^{2} + B^{2}} \sin(\omega t + \phi)$ બને છે.
અહીં,$A_{0}$ એ સરેરાશ સ્થાનમાં ફેરફાર દર્શાવે છે,અને ત્રિકોણમિતીય પદનો સહગુણક,$\sqrt{A^{2} + B^{2}}$,એ દોલનનો કંપવિસ્તાર દર્શાવે છે.

(D) એક સંપૂર્ણ કંપન દરમિયાન,કણ એક સ્થાનથી શરૂ કરીને અંતિમ બિંદુ સુધી જાય છે,પાછો શરૂઆતના સ્થાન પર આવે છે,બીજા અંતિમ બિંદુ સુધી જાય છે અને અંતે પાછો શરૂઆતના સ્થાન પર આવે છે.
તેથી,એક સંપૂર્ણ દોલનમાં કણનું કુલ સ્થાનાંતર $0$ થાય છે.
સરેરાશ વેગ એ કુલ સ્થાનાંતર અને કુલ સમયનો ગુણોત્તર હોવાથી,આપણને મળે છે:
$\text{સરેરાશ વેગ} = \frac{\text{કુલ સ્થાનાંતર}}{\text{કુલ સમય}} = \frac{0}{T} = 0$.

(D) આકૃતિ પરથી,વર્તુળની ત્રિજ્યા $A = 3 \ m$ છે અને સમયગાળો $T = 4 \ s$ છે.
કોણીય વેગ $\omega = \frac{2 \pi}{T} = \frac{2 \pi}{4} = \frac{\pi}{2} \ rad/s$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$t = 0$ સમયે,કણ $P$ ધન $y$-અક્ષ પર છે,જેનો અર્થ છે કે તેનો સ્થાન સદિશ ધન $x$-અક્ષ સાથે $\phi = \frac{\pi}{2}$ નો ખૂણો બનાવે છે.
કોઈપણ સમયે $t$ પર કણનો $y$-યામ $y(t) = A \sin(\omega t + \phi)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,$y(t) = 3 \sin\left(\frac{\pi t}{2} + \frac{\pi}{2}\right)$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin(\theta + \frac{\pi}{2}) = \cos \theta$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $y(t) = 3 \cos\left(\frac{\pi t}{2}\right)$ મળે છે.

(D) $SHM$ માં,કણ $+A$ અને $-A$ અંતિમ સ્થાનો વચ્ચે દોલન કરે છે.
મધ્યમાન સ્થાન $(x=0)$ થી શરૂ કરીને,કણ $+A$ સુધી જાય છે (અંતર $= A$).
ત્યારબાદ તે $+A$ થી $-A$ સુધી જાય છે (અંતર $= 2A$).
અંતે,તે $-A$ થી પાછા મધ્યમાન સ્થાન $(x=0)$ પર આવે છે (અંતર $= A$).
એક સંપૂર્ણ દોલન (એક આવર્તકાળ) માં કપાયેલું કુલ અંતર $= A + 2A + A = 4A$ થાય છે.

(N/A) સરળ આવર્ત ગતિ $(SHM)$ કરતા કણ માટે,પ્રવેગ $(a)$ અને સ્થાન $(x)$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$a = -\omega^2 x$ ... $(i)$
જ્યાં $\omega$ એ કોણીય આવૃત્તિ છે.
$1$. $t = 0.3 \; s$ સમયે:
કણ એવા વિસ્તારમાં છે જ્યાં $x < 0$ (ઋણ સ્થાન) છે. $x-t$ આલેખનો ઢાળ,જે વેગ $(v = dx/dt)$ દર્શાવે છે,તે પણ ઋણ છે. સમીકરણ $(i)$ નો ઉપયોગ કરતા,$x$ ઋણ હોવાથી,$a = -\omega^2 (-|x|) = +\omega^2 |x|$,તેથી પ્રવેગ ધન છે.
ચિહ્નો: સ્થાન: ઋણ,વેગ: ઋણ,પ્રવેગ: ધન.
$2$. $t = 1.2 \; s$ સમયે:
કણ એવા વિસ્તારમાં છે જ્યાં $x > 0$ (ધન સ્થાન) છે. $x-t$ આલેખનો ઢાળ ધન છે,તેથી વેગ ધન છે. સમીકરણ $(i)$ નો ઉપયોગ કરતા,$x$ ધન હોવાથી,$a = -\omega^2 (+|x|) = -\omega^2 |x|$,તેથી પ્રવેગ ઋણ છે.
ચિહ્નો: સ્થાન: ધન,વેગ: ધન,પ્રવેગ: ઋણ.
$3$. $t = -1.2 \; s$ સમયે:
કણ એવા વિસ્તારમાં છે જ્યાં $x < 0$ (ઋણ સ્થાન) છે. આ બિંદુએ $x-t$ આલેખનો ઢાળ ધન છે (વક્ર ઉપરની તરફ જાય છે),તેથી વેગ ધન છે. સમીકરણ $(i)$ નો ઉપયોગ કરતા,$x$ ઋણ હોવાથી,$a = -\omega^2 (-|x|) = +\omega^2 |x|$,તેથી પ્રવેગ ધન છે.
ચિહ્નો: સ્થાન: ઋણ,વેગ: ધન,પ્રવેગ: ધન.

(N/A) આવૃત્તિ $(f)$ એ એકમ સમયમાં થતા ધબકારાની સંખ્યા છે.
આપેલ છે: $60$ સેકન્ડમાં $75$ ધબકારા.
$f = 75 / 60 \, s^{-1} = 1.25 \, Hz$.
આવર્તકાળ $(T)$ એ આવૃત્તિનો વ્યસ્ત છે.
$T = 1 / f = 1 / 1.25 \, s = 0.8 \, s$.