Periodic, Oscillatory motion and its characteristics and types of SHM and Equation of SHM Questions in Gujarati

(N/A) $(i)$ $\sin \omega t + \cos \omega t$ ને $\sqrt{2} \sin(\omega t + \pi/4)$ તરીકે લખી શકાય છે. કારણ કે $\sin(\omega t + \pi/4 + 2\pi) = \sin(\omega(t + 2\pi/\omega) + \pi/4)$,તેથી તે $T = 2\pi/\omega$ આવર્તકાળ ધરાવતું આવર્ત વિધેય છે.
$(ii)$ $\sin \omega t + \cos 2\omega t + \sin 4\omega t$ એ આવર્ત વિધેય છે. તેના વ્યક્તિગત આવર્તકાળ $T_1 = 2\pi/\omega$,$T_2 = 2\pi/(2\omega) = \pi/\omega$,અને $T_3 = 2\pi/(4\omega) = \pi/(2\omega)$ છે. આ આવર્તકાળોનો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ $T = 2\pi/\omega$ છે. આમ,આ સરવાળો $2\pi/\omega$ આવર્તકાળ સાથે આવર્ત છે.
$(iii)$ $e^{-\omega t}$ એ અનાવર્ત વિધેય છે. જેમ $t$ વધે છે તેમ તે એકધારી રીતે ઘટે છે અને $t \to \infty$ થાય ત્યારે તે $0$ ને અનુલક્ષે છે,તેથી તે ક્યારેય તેનું મૂલ્ય પુનરાવર્તિત કરતું નથી.
$(iv)$ $\log(\omega t)$ એ અનાવર્ત વિધેય છે. તે સમય $t$ સાથે એકધારી રીતે વધે છે અને $t \to \infty$ થાય ત્યારે તે $\infty$ ને અનુલક્ષે છે,તેથી તે ક્યારેય તેનું મૂલ્ય પુનરાવર્તિત કરતું નથી.

(A) $(1)$ $\sin \omega t - \cos \omega t$
$= \sqrt{2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \sin \omega t - \frac{1}{\sqrt{2}} \cos \omega t \right)$
$= \sqrt{2} \sin (\omega t - \pi/4)$
આ વિધેય $T = 2\pi/\omega$ આવર્તકાળ ધરાવતી સરળ આવર્ત ગતિ દર્શાવે છે.
$(2)$ $\sin^2 \omega t = \frac{1 - \cos 2\omega t}{2} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cos 2\omega t$
આ વિધેય આવર્ત છે પરંતુ સરળ આવર્ત ગતિ નથી,કારણ કે તે $1/2$ જેટલા સ્થાનાંતરિત સંતુલન સ્થાનની આસપાસની ગતિ દર્શાવે છે. તેનો આવર્તકાળ $T = \pi/\omega$ છે.

(N/A) $t=0$ સમયે,$OP$ એ ધન $x$-અક્ષ સાથે $45^{\circ} = \pi/4 \text{ rad}$ નો ખૂણો બનાવે છે. $t$ સમય પછી,તે ઘડિયાળના કાંટાની વિરુદ્ધ દિશામાં $\frac{2\pi}{T}t$ જેટલો ખૂણો કાપે છે,અને $x$-અક્ષ સાથે $\left(\frac{2\pi}{T}t + \frac{\pi}{4}\right)$ નો ખૂણો બનાવે છે. $t$ સમયે $x$-અક્ષ પર $OP$ નો પ્રક્ષેપ $x(t) = A \cos\left(\frac{2\pi}{T}t + \frac{\pi}{4}\right)$ છે. $T = 4 \text{ s}$ માટે,$x(t) = A \cos\left(\frac{\pi}{2}t + \frac{\pi}{4}\right)$,જે $A$ કંપવિસ્તાર,$4 \text{ s}$ આવર્તકાળ અને $\pi/4$ પ્રારંભિક કળા ધરાવતી $SHM$ છે.
$(b)$ આ કિસ્સામાં $t=0$ સમયે,$OP$ એ $x$-અક્ષ સાથે $90^{\circ} = \pi/2 \text{ rad}$ નો ખૂણો બનાવે છે. $t$ સમય પછી,તે ઘડિયાળના કાંટાની દિશામાં $\frac{2\pi}{T}t$ જેટલો ખૂણો કાપે છે અને $x$-અક્ષ સાથે $\left(\frac{\pi}{2} - \frac{2\pi}{T}t\right)$ નો ખૂણો બનાવે છે. $t$ સમયે $x$-અક્ષ પર $OP$ નો પ્રક્ષેપ $x(t) = B \cos\left(\frac{\pi}{2} - \frac{2\pi}{T}t\right) = B \sin\left(\frac{2\pi}{T}t\right)$ છે. $T = 30 \text{ s}$ માટે,$x(t) = B \sin\left(\frac{\pi}{15}t\right) = B \cos\left(\frac{\pi}{15}t - \frac{\pi}{2}\right)$,જે $B$ કંપવિસ્તાર,$30 \text{ s}$ આવર્તકાળ અને $-\pi/2$ પ્રારંભિક કળા ધરાવતી $SHM$ છે.

(N/A) આપેલ સમીકરણ $x = 5 \cos (2 \pi t + \pi / 4)$ છે. કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 2 \pi \, rad/s$ છે.
$(a)$ $t = 1.5 \, s$ સમયે સ્થાનાંતર:
$x = 5 \cos (2 \pi \times 1.5 + \pi / 4) = 5 \cos (3 \pi + \pi / 4) = 5 \cos (5 \pi / 4) = 5 \times (-1 / \sqrt{2}) \approx -3.535 \, m$.
$(b)$ ઝડપ $v = dx/dt = -5 \times 2 \pi \sin (2 \pi t + \pi / 4)$:
$t = 1.5 \, s$ સમયે,$v = -10 \pi \sin (3 \pi + \pi / 4) = -10 \pi \times (-1 / \sqrt{2}) = 10 \pi / \sqrt{2} \approx 22.21 \, m/s$.
$(c)$ પ્રવેગ $a = -\omega^2 x$:
$a = -(2 \pi)^2 \times (-3.535) = 4 \pi^2 \times 3.535 \approx 39.48 \times 3.535 \approx 139.56 \, m/s^2$.

(B, C) અને $(c)$
તરવૈયાની ગતિ આવર્ત નથી. નદીના કિનારાઓ વચ્ચે તરવૈયાની ગતિ આગળ-પાછળ છે. જોકે,તેનો કોઈ નિશ્ચિત સમયગાળો નથી. આનું કારણ એ છે કે તરવૈયા દ્વારા તેની આગળ-પાછળની મુસાફરી દરમિયાન લેવાયેલ સમય સમાન હોઈ શકે નહીં.
મુક્ત રીતે લટકાવેલ ચુંબકની ગતિ,જો તેને તેની $N-S$ દિશામાંથી વિચલિત કરીને મુક્ત કરવામાં આવે,તો તે આવર્ત છે. આ એટલા માટે છે કારણ કે ચુંબક નિશ્ચિત સમયગાળા સાથે તેની સ્થિતિની આસપાસ દોલન કરે છે.
જ્યારે હાઇડ્રોજન અણુ તેના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની આસપાસ ફરે છે,ત્યારે તે સમાન સમયના અંતરાલ પછી વારંવાર તે જ સ્થિતિમાં આવે છે. આવી ગતિ આવર્ત છે.
ધનુષમાંથી છોડવામાં આવેલ તીર માત્ર આગળની દિશામાં જ ગતિ કરે છે. તે પાછું આવતું નથી. તેથી,આ ગતિ આવર્ત નથી.

(B, C) અને $(c)$ એ સરળ આવર્ત ગતિ $(SHM)$ છે અને $(a)$ અને $(d)$ એ આવર્ત ગતિ છે,પરંતુ સરળ આવર્ત ગતિ નથી.
$(a)$ પૃથ્વીનું તેની ધરી પર પરિભ્રમણ એ આવર્ત ગતિ છે કારણ કે તે સમાન સમયગાળામાં પોતાની સ્થિતિનું પુનરાવર્તન કરે છે. જોકે,આ ગતિ સરળ આવર્ત ગતિ નથી કારણ કે તેમાં સંતુલન બિંદુની આસપાસ આગળ-પાછળની ગતિનો સમાવેશ થતો નથી.
$(b)$ $U$-ટ્યુબમાં દોલન કરતા પારાનો સ્તંભ સરળ આવર્ત ગતિ કરે છે. પારો એક નિશ્ચિત સંતુલન સ્થાનની આસપાસ સમાન પથ પર આગળ-પાછળ ગતિ કરે છે,જે સરળ આવર્ત ગતિની શરતોનું પાલન કરે છે.
$(c)$ જ્યારે બોલ બેરિંગને લીસી વક્ર વાટકીમાં સૌથી નીચેના બિંદુથી થોડે ઉપરથી છોડવામાં આવે છે,ત્યારે તે સંતુલન સ્થાનની આસપાસ આગળ-પાછળ દોલન કરે છે. નાના સ્થાનાંતર માટે,પુનઃસ્થાપક બળ સ્થાનાંતરના સમપ્રમાણમાં હોય છે,તેથી તે સરળ આવર્ત ગતિ છે.
$(d)$ બહુપરમાણ્વીય અણુના કંપનો આવર્ત ગતિ છે પરંતુ સરળ આવર્ત ગતિ નથી. બહુપરમાણ્વીય અણુમાં દોલનની ઘણી કુદરતી આવૃત્તિઓ હોય છે,અને તેનું એકંદર કંપન એ અનેક અલગ-અલગ સરળ આવર્ત ગતિઓનું સંપાતપણું (superposition) છે.

(B AND D) આવર્ત ગતિ એટલે એવી ગતિ જે ચોક્કસ સમયના અંતરાલે પોતાની જાતને પુનરાવર્તિત કરે છે.
$(a)$ આ આવર્ત ગતિ નથી. સ્થાનાંતર $x$ એ સમય $t$ સાથે સતત વધે છે. ગતિનું કોઈ પુનરાવર્તન થતું નથી.
$(b)$ આ એક આવર્ત ગતિ છે. કણ દર $2 \ s$ પછી તેની ગતિનું પુનરાવર્તન કરે છે (દા.ત.,$t = -1 \ s$ થી $t = 1 \ s$ સુધી). ગતિનો આવર્તકાળ $T = 2 \ s$ છે.
$(c)$ આ આવર્ત ગતિ નથી. જોકે કણ સમાન સ્થાન પર પાછો ફરે છે,પરંતુ ગતિની ભાત સમાન સમયના અંતરાલમાં પુનરાવર્તિત થતી નથી.
$(d)$ આ એક આવર્ત ગતિ છે. કણ સાઈનસૉઈડલ પથને અનુસરે છે અને દર $2 \ s$ પછી તેની ગતિનું પુનરાવર્તન કરે છે (દા.ત.,$t = -1 \ s$ થી $t = 1 \ s$ સુધી). ગતિનો આવર્તકાળ $T = 2 \ s$ છે.

(A) $\sin \omega t - \cos \omega t = \sqrt{2} \sin(\omega t - \pi/4)$. આ $SHM$ છે,જેનો આવર્તકાળ $T = 2\pi/\omega$ છે.
$(b)$ $\sin^3 \omega t = (3 \sin \omega t - \sin 3 \omega t)/4$. આ બે $SHM$ નું સંપાતીકરણ છે,તેથી તે આવર્ત છે પણ $SHM$ નથી. તેનો આવર્તકાળ $T = 2\pi/\omega$ છે.
$(c)$ $3 \cos(\pi/4 - 2 \omega t) = 3 \cos(2 \omega t - \pi/4)$. આ $SHM$ છે,જેનો આવર્તકાળ $T = 2\pi/(2\omega) = \pi/\omega$ છે.
$(d)$ $\cos \omega t + \cos 3 \omega t + \cos 5 \omega t$. આ ત્રણ $SHM$ નું સંપાતીકરણ છે,તેથી તે આવર્ત છે પણ $SHM$ નથી. તેનો આવર્તકાળ $T = 2\pi/\omega$ છે.
$(e)$ $\exp(-\omega^2 t^2)$ એ અ-આવર્ત ગતિ છે કારણ કે જેમ $t \to \infty$ થાય તેમ તે શૂન્ય તરફ જાય છે.
$(f)$ $1 + \omega t + \omega^2 t^2$ એ અ-આવર્ત ગતિ છે કારણ કે તે સમય સાથે અનંત સુધી વધે છે.

(C) જો કોઈ ગતિ બળના નિયમ $F = -kx \Rightarrow ma = -kx$ દ્વારા સંચાલિત હોય,તો તે સરળ આવર્ત ગતિ $(SHM)$ દર્શાવે છે.
$\therefore a = -\left(\frac{k}{m}\right)x$
જ્યાં:
$F$ એ પુનઃસ્થાપક બળ છે.
$m$ એ પદાર્થનું દળ છે (જે અચળ છે).
$x$ એ સંતુલન સ્થિતિથી સ્થાનાંતર છે.
$a$ એ પ્રવેગ છે.
$k$ એ બળ અચળાંક છે.
$SHM$ માટે,પ્રવેગ $a$ એ સ્થાનાંતર $x$ ના ઋણ મૂલ્યના સીધા પ્રમાણમાં હોવો જોઈએ $(a \propto -x)$.
આપેલા સમીકરણોમાંથી,ફક્ત $a = -10x$ એ $a = -\omega^2 x$ ના સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $\omega^2 = 10$.
તેથી,સાચો સંબંધ $a = -10x$ છે.

(A) શરૂઆતમાં,$t = 0$ સમયે:
સ્થાનાંતર,$x = 1 \; cm$
પ્રારંભિક વેગ,$v = \omega \; cm/s$
કોણીય આવૃત્તિ,$\omega = \pi \; rad/s$
$x(t) = A \cos (\omega t + \phi)$ માટે:
$1 = A \cos (\omega \times 0 + \phi) = A \cos \phi \implies A \cos \phi = 1 \dots (i)$
વેગ $v = \frac{dx}{dt} = -A \omega \sin (\omega t + \phi)$
$\omega = -A \omega \sin (\phi) \implies A \sin \phi = -1 \dots (ii)$
$(i)$ અને $(ii)$ નો વર્ગ કરીને સરવાળો કરતા:
$A^2 (\cos^2 \phi + \sin^2 \phi) = 1^2 + (-1)^2 = 2$
$A = \sqrt{2} \; cm$
$(ii)$ ને $(i)$ વડે ભાગતા:
$\tan \phi = -1 \implies \phi = \frac{3\pi}{4} \; rad$
$x = B \sin (\omega t + \alpha)$ માટે:
$1 = B \sin (\alpha) \implies B \sin \alpha = 1 \dots (iii)$
વેગ $v = \frac{dx}{dt} = B \omega \cos (\omega t + \alpha)$
$\omega = B \omega \cos (\alpha) \implies B \cos \alpha = 1 \dots (iv)$
$(iii)$ અને $(iv)$ નો વર્ગ કરીને સરવાળો કરતા:
$B^2 (\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha) = 1^2 + 1^2 = 2$
$B = \sqrt{2} \; cm$
$(iii)$ ને $(iv)$ વડે ભાગતા:
$\tan \alpha = 1 \implies \alpha = \frac{\pi}{4} \; rad$

(N/A) આકૃતિ $(a)$ માટે:
સમયગાળો,$T = 2 \, s$
કંપવિસ્તાર,$A = 3 \, cm$
સમય $t = 0$ પર,કણ $P$ એ ઋણ $y$-અક્ષ પર છે. ત્રિજ્યા સદિશ $OP$ દ્વારા ધન $x$-અક્ષ સાથે બનાવેલો ખૂણો $\phi = -\frac{\pi}{2}$ (અથવા $\frac{3\pi}{2}$) છે.
$x$-પ્રક્ષેપ માટે સરળ આવર્ત ગતિનું સમીકરણ $x = A \cos \left( \frac{2\pi t}{T} + \phi \right)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $x = 3 \cos \left( \frac{2\pi t}{2} - \frac{\pi}{2} \right) = 3 \cos \left( \pi t - \frac{\pi}{2} \right) = 3 \sin(\pi t) \, cm$.
આકૃતિ $(b)$ માટે:
સમયગાળો,$T = 4 \, s$
કંપવિસ્તાર,$A = 2 \, m$
સમય $t = 0$ પર,કણ $P$ એ ઋણ $x$-અક્ષ પર છે. ત્રિજ્યા સદિશ $OP$ દ્વારા ધન $x$-અક્ષ સાથે બનાવેલો ખૂણો $\phi = \pi$ છે.
$x$-પ્રક્ષેપ માટે સરળ આવર્ત ગતિનું સમીકરણ $x = A \cos \left( \frac{2\pi t}{T} + \phi \right)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $x = 2 \cos \left( \frac{2\pi t}{4} + \pi \right) = 2 \cos \left( \frac{\pi t}{2} + \pi \right) = -2 \cos \left( \frac{\pi t}{2} \right) \, m$.

(N/A) $SHM$ માટેનું સામાન્ય સમીકરણ $x = A \cos (\omega t + \phi)$ છે.
$(a)\; x = -2 \sin (3t + \pi/3) = 2 \cos (3t + \pi/3 + \pi/2) = 2 \cos (3t + 5\pi/6)$.
$x = A \cos (\omega t + \phi)$ સાથે સરખાવતા,આપણને $A = 2 \text{ cm}$,$\omega = 3 \text{ rad/s}$,અને $\phi = 5\pi/6 = 150^{\circ}$ મળે છે.
$(b)\; x = \cos (\pi/6 - t) = \cos (t - \pi/6)$.
$x = A \cos (\omega t + \phi)$ સાથે સરખાવતા,આપણને $A = 1 \text{ cm}$,$\omega = 1 \text{ rad/s}$,અને $\phi = -\pi/6 = -30^{\circ}$ મળે છે.
$(c)\; x = 3 \sin (2\pi t + \pi/4) = 3 \cos (2\pi t + \pi/4 - \pi/2) = 3 \cos (2\pi t - \pi/4)$.
$x = A \cos (\omega t + \phi)$ સાથે સરખાવતા,આપણને $A = 3 \text{ cm}$,$\omega = 2\pi \text{ rad/s}$,અને $\phi = -\pi/4 = -45^{\circ}$ મળે છે.
$(d)\; x = 2 \cos (\pi t)$.
$x = A \cos (\omega t + \phi)$ સાથે સરખાવતા,આપણને $A = 2 \text{ cm}$,$\omega = \pi \text{ rad/s}$,અને $\phi = 0$ મળે છે.

(B) ઘણી ભૌતિક ઘટનાઓને સમજવા માટે દોલિત ગતિનો અભ્યાસ અનિવાર્ય છે. દોલિત ગતિ એ આવર્ત ગતિનો એક પ્રકાર છે જેમાં પદાર્થ તેના સરેરાશ સ્થાનની આસપાસ આગળ-પાછળ ગતિ કરે છે. ઘણી કુદરતી ઘટનાઓ,જેમ કે ઘન પદાર્થમાં પરમાણુઓનું કંપન,ધ્વનિ તરંગોનું પ્રસરણ અને વિદ્યુતચુંબકીય તરંગોનું વર્તન,મૂળભૂત રીતે દોલિત ગતિના સિદ્ધાંતો પર આધારિત છે.

(D) આવર્ત ગતિના વર્ણન માટે આવર્તકાળ $(T)$,આવૃત્તિ ($f$ અથવા $\nu$),સ્થાનાંતર $(x)$,કંપવિસ્તાર $(A)$,અને કળા $(\phi)$ જેવા પાયાના ખ્યાલોની જરૂર પડે છે.
આ પરિમાણો સામૂહિક રીતે ગતિની સ્થિતિ,સમય અને વિસ્તારને વ્યાખ્યાયિત કરે છે.

(B) ધ્વનિ તરંગો (યાંત્રિક તરંગો) અને વિદ્યુતચુંબકીય તરંગોનું નિર્માણ અને પ્રસરણ સંતુલન સ્થિતિની આસપાસ કણો અથવા ક્ષેત્રોના દોલનોને સમાવે છે.
આ દોલનો ચોક્કસ સમયના અંતરાલે પોતાનું પુનરાવર્તન કરે છે.
આવી ગતિ,જે ચોક્કસ સમયના અંતરાલ પછી પોતાનું પુનરાવર્તન કરે છે,તેને આવર્ત ગતિ (Periodic motion) કહેવામાં આવે છે.
તેથી,તરંગ પ્રસરણની મૂળભૂત પ્રકૃતિ આવર્ત ગતિ પર આધારિત છે.

(N/A) જ્યારે કોઈ પદાર્થ એક નિશ્ચિત બિંદુની આસપાસ,એક ચોક્કસ પથ પર,સમયના નિશ્ચિત અંતરાલ પછી પોતાની ગતિનું પુનરાવર્તન કરે,તો તે ગતિને આવર્ત ગતિ કહેવામાં આવે છે.
ઉદાહરણો:
$(1)$ એક જીવજંતુ ઢાળ પર ચઢે છે અને નીચે પડે છે; તે ફરીથી પ્રારંભિક બિંદુ પર પાછું આવે છે અને આ પ્રક્રિયાનું સમાન રીતે પુનરાવર્તન કરે છે. જો આપણે જમીનથી તેની ઊંચાઈ વિરુદ્ધ સમયનો આલેખ દોરીએ,તો તે આકૃતિ $(a)$ જેવો દેખાશે.
$(2)$ જો કોઈ બાળક પગથિયાં ચઢે છે,નીચે ઉતરે છે અને આ પ્રક્રિયાનું પુનરાવર્તન કરે છે,તો તેની જમીનથી ઊંચાઈ વિરુદ્ધ સમયનો આલેખ આકૃતિ $(b)$ જેવો દેખાશે.
$(3)$ જ્યારે તમે તમારી હથેળી અને જમીન વચ્ચે દડાને ઉછાળવાની રમત રમો છો,ત્યારે તેની ઊંચાઈ વિરુદ્ધ સમયનો આલેખ આકૃતિ $(c)$ જેવો દેખાશે.

(N/A) જો કોઈ પદાર્થ નિશ્ચિત સમયગાળામાં કોઈ સ્થિર બિંદુની આસપાસ આગળ-પાછળ અથવા ઉપર-નીચે ગતિ કરે,તો આવી ગતિને દોલિત ગતિ કહેવામાં આવે છે.
ઉદાહરણ તરીકે:
$(1)$ વાટકામાં મૂકેલો દડો તેના તળિયે સંતુલન સ્થિતિમાં હોય છે. જો તેને આ બિંદુથી થોડો સ્થાનાંતરિત કરવામાં આવે,તો તે વાટકામાં દોલનો કરશે.
$(2)$ દીવાલ ઘડિયાળના લોલકની ગતિ એ દોલિત ગતિ છે.
$(3)$ ભારિત સ્પ્રિંગની ગતિ,જ્યારે સ્પ્રિંગ સાથે જોડાયેલા ભારને તેની મધ્યમાન સ્થિતિથી એકવાર થોડો ખેંચીને છોડી દેવામાં આવે.
દરેક દોલિત ગતિ આવર્તિત (periodic) હોય છે,પરંતુ દરેક આવર્તિત ગતિ દોલિત હોવી જરૂરી નથી.
આ પ્રકારની ગતિમાં પુનઃસ્થાપક બળ (restoring force) ઉત્પન્ન થાય છે,તેથી આ ગતિને ચાલુ રાખવા માટે સતત કોઈ બાહ્ય બળની જરૂર પડતી નથી. આ પ્રકારની ગતિને હાર્મોનિક ગતિ તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે.

(N/A) સરળ આવર્ત ગતિ $(SHM)$ એટલે સુરેખ પથ પર કોઈ નિશ્ચિત બિંદુની આસપાસ થતી એવી આવર્ત ગતિ,જેમાં પદાર્થ પર લાગતું પુનઃસ્થાપક બળ હંમેશા તે નિશ્ચિત બિંદુ (મધ્યમાન સ્થાન) તરફ હોય છે અને તે મધ્યમાન સ્થાનથી પદાર્થના સ્થાનાંતરના સમપ્રમાણમાં હોય છે.
ગાણિતિક રીતે,આને $F = -kx$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે,જ્યાં $F$ એ પુનઃસ્થાપક બળ છે,$x$ એ મધ્યમાન સ્થાનથી સ્થાનાંતર છે અને $k$ એ બળ અચળાંક છે.
$SHM$ ના મહત્વના લક્ષણો:
$1$. આ ગતિ આવર્ત અને દોલિત હોય છે.
$2$. પુનઃસ્થાપક બળ હંમેશા મધ્યમાન સ્થાન તરફ લાગે છે.
$3$. પુનઃસ્થાપક બળનું મૂલ્ય મધ્યમાન સ્થાનથી સ્થાનાંતરના સમપ્રમાણમાં હોય છે $(F \propto x)$.
$4$. કણનો પ્રવેગ પણ સ્થાનાંતરના સમપ્રમાણમાં હોય છે અને તે મધ્યમાન સ્થાન તરફ હોય છે $(a = -\omega^2 x)$.
$5$. સરળ આવર્ત ગતિ કરતા પદાર્થને સરળ આવર્ત દોલક કહેવામાં આવે છે.

(N/A)

આવર્ત ગતિ	સરળ આવર્ત ગતિ $(SHM)$
$(1)$ દરેક $SHM$ એ આવર્ત ગતિ છે,પરંતુ દરેક આવર્ત ગતિ $SHM$ હોતી નથી.	$(1)$ $SHM$ એ આવર્ત ગતિનો એક વિશિષ્ટ પ્રકાર છે.
$(2)$ પુનઃસ્થાપક બળ હંમેશા મધ્યમાન સ્થાનથી સ્થાનાંતરના સમપ્રમાણમાં હોવું જરૂરી નથી.	$(2)$ પુનઃસ્થાપક બળ હંમેશા સ્થાનાંતરના સમપ્રમાણમાં અને મધ્યમાન સ્થાન તરફ હોય છે $(F = -kx)$.

(N/A)

દોલનો (Oscillations)	કંપનો (Vibrations)
$(1)$ દોલન કરતી વસ્તુની આવૃત્તિ સામાન્ય રીતે ઓછી હોય છે.	$(1)$ કંપન કરતી વસ્તુની આવૃત્તિ સામાન્ય રીતે વધારે હોય છે.
$(2)$ ઉદાહરણ: વૃક્ષની ડાળીઓનું દોલન.	$(2)$ ઉદાહરણ: સંગીતના સાધનના તારનું કંપન.

(N/A) આવર્તકાળ: ગતિનું પુનરાવર્તન જે લઘુત્તમ સમયગાળા પછી થાય છે તેને આવર્તકાળ કહે છે. એક દોલન પૂર્ણ કરવા માટે લાગતા સમયને આવર્તકાળ કહે છે. તેને $T$ વડે દર્શાવવામાં આવે છે. તેનો $SI$ એકમ સેકન્ડ $(s)$ છે. તેનું પારિમાણિક સૂત્ર $[M^0 L^0 T^1]$ છે.
આવૃત્તિ: એક સેકન્ડમાં પૂર્ણ થતા દોલનોની સંખ્યાને આવૃત્તિ કહે છે. તેને $f$ અથવા $\nu$ વડે દર્શાવવામાં આવે છે. તેનો $SI$ એકમ $Hz$ (હર્ટ્ઝ) અથવા $s^{-1}$ છે. તેનું પારિમાણિક સૂત્ર $[M^0 L^0 T^{-1}]$ છે.
સંબંધ: આવૃત્તિ એ આવર્તકાળનો વ્યસ્ત છે. ગાણિતિક રીતે,$f = \frac{1}{T}$ અથવા $T = \frac{1}{f}$.

(N/A) સ્થાનાંતર: કોઈપણ ક્ષણે દોલક (સરળ આવર્ત ગતિ કરતો પદાર્થ) નું તેના સંતુલન (સ્થિર અથવા સંદર્ભ) સ્થાનથી અંતરને તે ક્ષણે દોલકનું સ્થાનાંતર કહેવામાં આવે છે.
સંતુલન બિંદુની એક બાજુએ સ્થાનાંતર ધન અને બીજી બાજુએ ઋણ ગણવામાં આવે છે. ટૂંકમાં,સ્થાનાંતર શૂન્ય,ધન અને ઋણ મૂલ્યો ધરાવી શકે છે.
સ્થાનાંતર એટલે વિચારણા હેઠળની કોઈપણ ભૌતિક રાશિમાં સમય સાથે થતો ફેરફાર. તેના ઉદાહરણો નીચે મુજબ છે:
$(1)$ સપાટી પર સ્ટીલના દડાની સુરેખ ગતિના કિસ્સામાં,સમયના વિધેય તરીકે શરૂઆતના બિંદુથી અંતર એ તેનું સ્થાન સ્થાનાંતર છે. ઉગમબિંદુની પસંદગી એ અનુકૂળતાની બાબત છે.
$(2)$ આકૃતિ $(a)$ માં દર્શાવ્યા મુજબ,એક સ્પ્રિંગ સાથે જોડાયેલ $m$ દળનો બ્લોક ધ્યાનમાં લો,જેનો બીજો છેડો એક મજબૂત દીવાલ સાથે જોડાયેલ છે. બ્લોક ઘર્ષણરહિત સપાટી પર ગતિ કરે છે. બ્લોકની ગતિને દીવાલથી તેના અંતર અથવા સ્થાનાંતર $x$ ના સંદર્ભમાં વર્ણવી શકાય છે.

(N/A) આવર્ત વિધેય એવું વિધેય છે જે તેના મૂલ્યોને નિયમિત અંતરાલો અથવા આવર્તકાળમાં પુનરાવર્તિત કરે છે.
ભૌતિકવિજ્ઞાનમાં,આવર્ત વિધેયોનો ઉપયોગ આવર્ત ગતિ દર્શાવવા માટે થાય છે.
સૌથી સરળ આવર્ત વિધેયો સાઈન (sine) અને કોસાઈન (cosine) વિધેયો છે.
વિધેય $f(t) = A \cos \omega t$ ધ્યાનમાં લો.
આ વિધેયનો આવર્તકાળ $T = \frac{2 \pi}{\omega}$ છે,કારણ કે જ્યારે ચલ $\omega t$ માં $2 \pi$ રેડિયનના પૂર્ણાંક ગુણાંકનો વધારો કરવામાં આવે,ત્યારે વિધેયનું મૂલ્ય સમાન રહે છે.
આમ,વિધેય $f(t)$ એ $T$ આવર્તકાળ સાથે આવર્ત છે,જે $f(t) = f(t + T)$ નું પાલન કરે છે.
તે જ રીતે,$f(t) = A \sin \omega t$ એ સમાન આવર્તકાળ $T$ ધરાવતું આવર્ત વિધેય છે.
સાઈન અને કોસાઈન વિધેયોનું રેખીય સંયોજન,$f(t) = A \sin \omega t + B \cos \omega t$,પણ $T$ આવર્તકાળ ધરાવતું આવર્ત વિધેય છે.
આપણે તેને $f(t) = D \sin(\omega t + \phi)$ તરીકે દર્શાવી શકીએ છીએ,જ્યાં $D = \sqrt{A^2 + B^2}$ એ પરિણામી કંપવિસ્તાર છે અને $\phi$ એ કળા અચળાંક છે.

(N/A) આવર્તક $\text{sine}$ અને $\text{cosine}$ વિધેયો પાયાના છે કારણ કે કોઈપણ જટિલ આવર્તક વિધેયને વિવિધ આવૃત્તિઓ અને કંપવિસ્તાર ધરાવતા $\text{sine}$ અને $\text{cosine}$ વિધેયોના સુપરપોઝિશન (સરવાળા) તરીકે દર્શાવી શકાય છે,જેને $\text{Fourier}$ શ્રેણી તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. આ ભૌતિકશાસ્ત્રીઓને જટિલ દોલિત ગતિઓને સરળ અને વ્યવસ્થિત હાર્મોનિક ઘટકોમાં વિભાજિત કરીને તેનું વિશ્લેષણ કરવાની મંજૂરી આપે છે.

(N/A) $1$. આવર્ત ગતિ: જે ગતિ ચોક્કસ સમયગાળા પછી પોતાની જાતનું પુનરાવર્તન કરે છે,તેને આવર્ત ગતિ કહેવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે,પૃથ્વીનું સૂર્યની આસપાસનું પરિભ્રમણ અથવા ઘડિયાળના કાંટાની ગતિ.
$2$. દોલિત ગતિ: જે ગતિમાં પદાર્થ કોઈ નિશ્ચિત બિંદુ (મધ્યમાન સ્થાન) ની આસપાસ આગળ-પાછળ ગતિ કરે છે,તેને દોલિત ગતિ કહેવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે,સાદા લોલકની ગતિ અથવા સંગીતના સાધનમાં તારનું કંપન.
નોંધ: બધી જ દોલિત ગતિઓ આવર્ત ગતિ હોય છે,પરંતુ બધી આવર્ત ગતિઓ દોલિત ગતિ હોતી નથી.

(N/A) $1$. આવર્ત ગતિ: જે ગતિ ચોક્કસ સમયગાળા પછી પુનરાવર્તિત થાય છે તેને આવર્ત ગતિ કહેવાય છે. આ ગતિ માટે સ્થાનાંતરના સમપ્રમાણમાં પુનઃસ્થાપક બળ હોવું જરૂરી નથી. ઉદાહરણ: પૃથ્વીની સૂર્યની આસપાસની ગતિ.
$2$. સરળ આવર્ત ગતિ $(SHM)$: આ એક ખાસ પ્રકારની આવર્ત ગતિ છે જેમાં પુનઃસ્થાપક બળ મધ્યમાન સ્થાનથી સ્થાનાંતરના સમપ્રમાણમાં હોય છે અને તે હંમેશા મધ્યમાન સ્થાન તરફ હોય છે. ગતિનું સમીકરણ $F = -kx$ છે,જ્યાં $k$ એ બળ અચળાંક છે અને $x$ એ સ્થાનાંતર છે. ઉદાહરણ: નાના કંપવિસ્તાર માટે સાદા લોલકની ગતિ.

(N/A) સરળ આવર્ત ગતિ $(SHM)$ એ એક વિશિષ્ટ પ્રકારની આવર્ત ગતિ છે જેમાં પુનઃસ્થાપક બળ એ સરેરાશ સ્થાનથી સ્થાનાંતરના સીધા પ્રમાણમાં હોય છે અને હંમેશા સરેરાશ સ્થાન તરફ નિર્દેશિત હોય છે. ગાણિતિક રીતે,$F = -kx$,જ્યાં $k$ એ બળ અચળાંક છે અને $x$ એ સ્થાનાંતર છે.
$SHM$ ના મહત્વના લક્ષણો નીચે મુજબ છે:
$1$. આ ગતિ આવર્ત અને દોલિત છે.
$2$. પુનઃસ્થાપક બળ હંમેશા સ્થાનાંતરના પ્રમાણમાં હોય છે $(F \propto -x)$.
$3$. કણનો પ્રવેગ સ્થાનાંતરના પ્રમાણમાં હોય છે અને સરેરાશ સ્થાન તરફ નિર્દેશિત હોય છે $(a = -\omega^2 x)$.
$4$. તંત્રની કુલ યાંત્રિક ઉર્જા સંરક્ષિત રહે છે.
$5$. આ ગતિને સાઈન અથવા કોસાઈન વિધેય દ્વારા દર્શાવી શકાય છે,જેમ કે $x(t) = A \sin(\omega t + \phi)$.

(N/A) $1$. વ્યાખ્યા: દોલન એ કોઈપણ પદાર્થની મધ્યમાન સ્થિતિની આસપાસ થતી સામયિક ગતિ માટેનો સામાન્ય શબ્દ છે. કંપન એ દોલનનો એક વિશિષ્ટ પ્રકાર છે જે પ્રમાણમાં ઊંચી આવૃત્તિએ થાય છે.
$2$. આવૃત્તિ: દોલનો કોઈપણ આવૃત્તિ પર થઈ શકે છે,જેમાં ખૂબ ઓછી આવૃત્તિઓનો પણ સમાવેશ થાય છે (દા.ત.,લોલકનું દોલન). કંપનોમાં સામાન્ય રીતે ઉચ્ચ-આવૃત્તિના દોલનોનો સમાવેશ થાય છે (દા.ત.,ગિટારના તાર અથવા સ્પીકરના ડાયાફ્રામનું કંપન).
$3$. સંદર્ભ: 'દોલન' શબ્દનો ઉપયોગ ઘણીવાર મિકેનિક્સ અને મોટા પાયાની સિસ્ટમો (જેમ કે હિંચકો અથવા લોલક) ના સંદર્ભમાં થાય છે. 'કંપન' શબ્દનો ઉપયોગ સામાન્ય રીતે એકોસ્ટિક્સ,સ્ટ્રક્ચરલ એન્જિનિયરિંગ અને મોલેક્યુલર ડાયનેમિક્સના સંદર્ભમાં થાય છે.
$4$. ઉદાહરણો: સાદા લોલકનું દોલન એ એક દોલન છે. ટ્યુનિંગ ફોર્ક અથવા કંપન કરતા તારની ઝડપી હિલચાલ એ કંપન છે.

(N/A) $1$. આવર્તકાળ $(T)$: દોલિત કણ દ્વારા એક પૂર્ણ દોલન પૂર્ણ કરવા માટે લાગતા સમયને આવર્તકાળ કહે છે. તેનો $SI$ એકમ સેકન્ડ $(s)$ છે.
$2$. આવૃત્તિ ($f$ અથવા $\nu$): એક સેકન્ડમાં કણ દ્વારા પૂર્ણ કરવામાં આવતા દોલનોની સંખ્યાને આવૃત્તિ કહે છે. તેનો $SI$ એકમ હર્ટ્ઝ $(Hz)$ છે,જ્યાં $1 \ Hz = 1 \ s^{-1}$.
$3$. સંબંધ: આવૃત્તિ એ આવર્તકાળનો વ્યસ્ત છે. ગાણિતિક રીતે,$f = \frac{1}{T}$ અથવા $T = \frac{1}{f}$.

(N/A) $1$. સ્થાનાંતર ચલ: દોલિત ગતિના સંદર્ભમાં,સ્થાનાંતર ચલ એ કોઈપણ આપેલ સમય $t$ પર પદાર્થના તેના સરેરાશ (સંતુલન) સ્થાનથી થયેલા સ્થાનના ફેરફારને દર્શાવે છે. તેને સામાન્ય રીતે $x(t)$ અથવા $y(t)$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
$2$. આવર્ત વિધેય: જો કોઈ વિધેય તેના મૂલ્યોને સમયના નિયમિત અંતરાલ પર પુનરાવર્તિત કરતું હોય,તો તેને આવર્ત વિધેય કહેવામાં આવે છે. ગાણિતિક રીતે,જો $f(t + T) = f(t)$ હોય,જ્યાં $T$ એ વિધેયનો આવર્તકાળ (time period) તરીકે ઓળખાતો ધન અચળાંક છે,તો વિધેય $f(t)$ ને આવર્ત વિધેય કહેવાય છે.

(N/A) આવર્તકાળ $T$ એ નાનામાં નાનો ધન સમયગાળો છે જેના પછી વિધેય તેની કિંમતનું પુનરાવર્તન કરે છે.
વિધેય $f(t) = A \cos \omega t$ માટે,આવર્તકતાની શરત $f(t + T) = f(t)$ છે.
વિધેયને મૂકતા,આપણને $A \cos \omega(t + T) = A \cos \omega t$ મળે છે.
આનો અર્થ એ છે કે $\cos(\omega t + \omega T) = \cos \omega t$.
આપણે જાણીએ છીએ કે કોસાઇન વિધેય $2\pi$ ના અંતરાલ પછી તેની કિંમતનું પુનરાવર્તન કરે છે,એટલે કે $\cos(\theta + 2\pi) = \cos \theta$.
દલીલોની સરખામણી કરતા,આપણને $\omega T = 2\pi$ મળે છે.
તેથી,આવર્તકાળ $T = \frac{2\pi}{\omega}$ છે.

(N/A) સરળ આવર્ત ગતિ $(SHM)$: સુરેખ પથ પર એક નિશ્ચિત બિંદુની આસપાસ થતી એવી આવર્ત ગતિ,જેમાં પુનઃસ્થાપક બળ નિશ્ચિત બિંદુ તરફ લાગે છે અને તે બિંદુથી પદાર્થના સ્થાનાંતરના સમપ્રમાણમાં હોય છે,તેને સરળ આવર્ત ગતિ કહે છે.
અથવા,
સરળ આવર્ત ગતિ એ એવી આવર્ત ગતિ છે જેમાં સ્થાનાંતર એ સમયનું સાઈન વિધેય (sinusoidal function) છે.
દોલિત ગતિમાં,કોઈપણ બિંદુથી મધ્યમાન સ્થાન તરફ પુનઃસ્થાપક બળ લાગે છે. તેથી,સરળ આવર્ત ગતિમાં ઉગમબિંદુથી કણનું સ્થાનાંતર $x$ સમય $t$ સાથે નીચે મુજબ બદલાય છે:
$x(t) = A \cos (\omega t + \phi)$
જ્યાં $A$ એ કંપવિસ્તાર છે,$\omega$ એ કોણીય આવૃત્તિ છે,અને $\phi$ એ પ્રારંભિક કળા અચળાંક છે.
આકૃતિમાં એક કણ $X$-અક્ષના ઉગમબિંદુની આસપાસ $+A$ અને $-A$ ની મર્યાદાઓ વચ્ચે આગળ-પાછળ દોલન કરતો દર્શાવેલ છે.

(N/A) સ્થાનાંતર $x$ વિરુદ્ધ સમય $t$ નો આલેખ સમયના સતત વિધેય તરીકે સ્થાનાંતર દર્શાવે છે. આ સમીકરણ $x(t) = A \cos(\omega t + \phi)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$A$,$\omega$ અને $\phi$ એ અચળાંકો છે જે $SHM$ (સરળ આવર્ત ગતિ) ના લક્ષણો નક્કી કરે છે.
સરળ આવર્ત ગતિ માટે સમયના સતત વિધેય તરીકે સ્થાનાંતરનો આલેખ નીચે મુજબ છે:
[આલેખ જે $t = 0$ સમયે $x = A$ થી શરૂ થતો કોસાઇન તરંગ દર્શાવે છે,જે $A$ અને $-A$ ની વચ્ચે દોલન કરે છે]
સમીકરણ $x(t) = A \cos(\omega t + \phi)$ માં વપરાયેલ પ્રમાણિત સંજ્ઞાઓ નીચે મુજબ છે:
$x(t)$: સમય $t$ ના વિધેય તરીકે સ્થાનાંતર $x$
$A$: કંપવિસ્તાર
$\omega$: કોણીય આવૃત્તિ
$\omega t + \phi$: કળા (સમય-આધારિત)
$\phi$: કળા અચળાંક

(N/A) કંપવિસ્તાર: $SHM$ કરતા કણના તેના મધ્યમાન સ્થાનથી મહત્તમ સ્થાનાંતરના મૂલ્યને $SHM$ નો કંપવિસ્તાર કહેવામાં આવે છે.
કંપવિસ્તાર માટેની સંજ્ઞા $A$ અથવા $a$ છે અને તેનો $SI$ એકમ $m$ છે. તેનું પારિમાણિક સૂત્ર $[M^0 L^1 T^0]$ છે.
$SHM$ કરતા કણનું સ્થાનાંતર બે અંતિમ બિંદુઓ $+A$ અને $-A$ ની વચ્ચે બદલાય છે.
બે અલગ-અલગ કંપવિસ્તાર માટે પ્રારંભિક કળા $\phi = 0$ સાથે સમયના વિધેય તરીકે સ્થાનાંતરનો આલેખ આકૃતિમાં દર્શાવેલ છે. વક્ર $1$ અને $2$ અનુક્રમે $A$ અને $B$ કંપવિસ્તાર ધરાવતા $SHM$ દર્શાવે છે,જ્યાં $x(t) = A \cos \omega t$ અને $x(t) = B \cos \omega t$ છે.

(N/A) આવર્તકાળ: દોલકને એક પૂર્ણ દોલન પૂર્ણ કરવા માટે લાગતા સમયને આવર્તકાળ $(T)$ કહે છે.
કોણીય આવૃત્તિ: દોલકની આવૃત્તિના $2\pi$ ગણા મૂલ્યને કોણીય આવૃત્તિ $(\omega)$ કહે છે.
$A$ કંપવિસ્તાર અને $t=0$ સમયે પ્રારંભિક કળા $\phi = 0$ ધરાવતા સરળ આવર્ત ગતિ $(SHM)$ કરતા કણનું સ્થાનાંતર:
$x(t) = A \sin(\omega t)$ ... $(1)$
ગતિ $T$ આવર્તકાળ સાથે આવર્તિય હોવાથી,$T$ સમય પછી સ્થાનાંતરનું પુનરાવર્તન થાય છે:
$x(t) = x(t + T)$
$A \sin(\omega t) = A \sin(\omega(t + T))$
સાઇન વિધેય $2\pi$ ના આવર્તકાળ સાથે આવર્તિય હોવાથી,ગતિનું પુનરાવર્તન થવા માટે કળામાં $2\pi$ નો વધારો થવો જોઈએ:
$\omega(t + T) = \omega t + 2\pi$
$\omega t + \omega T = \omega t + 2\pi$
$\omega T = 2\pi$
તેથી,સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$\omega = \frac{2\pi}{T}$
આવૃત્તિ $v = \frac{1}{T}$ હોવાથી,આપણે લખી શકીએ:
$\omega = 2\pi v$

(N/A) સરળ આવર્ત ગતિ માટેનું સામાન્ય સમીકરણ $x(t) = A \sin(\omega t + \phi)$ છે.
આપેલ પ્રારંભિક કળા $\phi = 0$ હોવાથી,સમીકરણ $x(t) = A \sin(\omega t)$ બને છે.
આ $t = 0$ સમયે ઉગમબિંદુથી શરૂ થતું સાઈન તરંગ દર્શાવે છે. જો ગતિ અંતિમ સ્થાનથી શરૂ થતી હોય,તો સમીકરણ $x(t) = A \cos(\omega t)$ થાય.
આપેલ આલેખ જુદા જુદા આવર્તકાળ માટે સ્થાનાંતર વિરુદ્ધ સમય દર્શાવે છે.
આ આલેખમાં,વક્ર $(b)$ નો આવર્તકાળ વક્ર $(a)$ કરતા અડધો $(T_b = T_a / 2)$ છે અને તેની આવૃત્તિ બમણી $(f_b = 2f_a)$ છે.

(N/A) સરળ આવર્ત ગતિ $(SHM)$ એ એક વિશિષ્ટ પ્રકારની આવર્ત ગતિ છે જેમાં કણ પર લાગતું પુનઃસ્થાપક બળ તેના સરેરાશ સ્થાનથી થતા સ્થાનાંતરના સમપ્રમાણમાં હોય છે અને તે હંમેશા સરેરાશ સ્થાન તરફ દિશામાન હોય છે.
ગાણિતિક રીતે,તેને $F = -kx$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે,જ્યાં $F$ એ પુનઃસ્થાપક બળ છે,$x$ એ સંતુલન સ્થાનથી સ્થાનાંતર છે,અને $k$ એ બળ અચળાંક છે.
$SHM$ માં,કણનો પ્રવેગ પણ તેના સ્થાનાંતરના સમપ્રમાણમાં હોય છે અને તે $a = -\omega^2 x$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\omega$ એ કોણીય આવૃત્તિ છે.

સરળ આવર્ત ગતિ $(SHM)$ કરતા કણનું સ્થાનાંતર $x(t)$ નીચેના સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $x(t) = A \sin(\omega t + \phi)$,જ્યાં $A$ એ કંપવિસ્તાર છે,$\omega$ એ કોણીય આવૃત્તિ છે,અને $\phi$ એ પ્રારંભિક કળા અચળાંક છે.
ધારો કે કણ $t = 0$ સમયે મધ્યમાન સ્થિતિથી શરૂઆત કરે છે અને $\phi = 0$ છે,તો સમીકરણ $x(t) = A \sin(\omega t)$ બને છે.
$x(t)$ વિરુદ્ધ $t$ નો આલેખ એક સાઈન તરંગ (sinusoidal wave) છે.
$1$. $t = 0$ સમયે,$x = 0$.
$2$. $t = T/4$ સમયે,$x = A$ (મહત્તમ ધન સ્થાનાંતર).
$3$. $t = T/2$ સમયે,$x = 0$.
$4$. $t = 3T/4$ સમયે,$x = -A$ (મહત્તમ ઋણ સ્થાનાંતર).
$5$. $t = T$ સમયે,$x = 0$.
આ આલેખ $T = 2\pi/\omega$ આવર્તકાળ સાથે $+A$ અને $-A$ ની વચ્ચે દોલન કરે છે.

(A) $SHM$ (સરળ આવર્ત ગતિ) ના લક્ષણો પુનઃસ્થાપક બળ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે.
$SHM$ માં,પુનઃસ્થાપક બળ $F$ એ સંતુલન સ્થિતિથી સ્થાનાંતર $x$ ના સીધા પ્રમાણમાં હોય છે અને વિરુદ્ધ દિશામાં કાર્ય કરે છે,જે $F = -kx$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $k$ એ બળ અચળાંક છે.
આ પુનઃસ્થાપક બળ એ મૂળભૂત પરિબળ છે જે દોલનની આવૃત્તિ,આવર્તકાળ અને કંપવિસ્તાર નક્કી કરે છે.

(N/A) $SHM$ (સરળ આવર્ત ગતિ) નો કંપવિસ્તાર એટલે દોલન કરતા કણનું તેના મધ્યમાન અથવા સંતુલન સ્થાનથી મહત્તમ સ્થાનાંતર.
તે સંતુલન બિંદુની બંને બાજુએ ગતિની સીમા દર્શાવે છે.
ગાણિતિક રીતે,જો $SHM$ માં કણનું સ્થાનાંતર $x(t) = A \sin(\omega t + \phi)$ દ્વારા આપવામાં આવે,તો $A$ એ ગતિનો કંપવિસ્તાર છે.
કંપવિસ્તારનો $SI$ એકમ મીટર $(m)$ છે.

(N/A) આવર્તકાળ $(T)$,જેને સમયગાળો પણ કહેવામાં આવે છે,તે લઘુત્તમ સમયગાળા તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે જેના પછી પદાર્થની ગતિનું પુનરાવર્તન થાય છે.
દોલિત અથવા સરળ આવર્ત ગતિના સંદર્ભમાં,તે કણ દ્વારા એક સંપૂર્ણ દોલન અથવા ચક્ર પૂર્ણ કરવા માટે લેવામાં આવતો સમય છે.
આવર્તકાળનો $SI$ એકમ સેકન્ડ $(s)$ છે.

(N/A) આવર્તકાળ $T$ એ પદાર્થ દ્વારા એક પૂર્ણ દોલન પૂર્ણ કરવા માટે લાગતા સમય તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
કોણીય આવૃત્તિ $\omega$ એ કળાના ખૂણામાં થતા ફેરફારના દર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જે $\omega = \frac{2\pi}{T}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,આવર્તકાળ $T$ અને કોણીય આવૃત્તિ $\omega$ વચ્ચેનો સંબંધ $T = \frac{2\pi}{\omega}$ છે.

(N/A) ધારો કે એક કણ $R$ ત્રિજ્યાના વર્તુળમાં સમક્ષિતિજ સમતલમાં અચળ કોણીય ઝડપ $\omega$ થી ગતિ કરે છે.
કોઈપણ સમયે $t$ પર કણનું સ્થાન સંદર્ભ વ્યાસ સાથે $\theta = \omega t$ ખૂણા દ્વારા દર્શાવી શકાય છે.
જો આપણે કણના સ્થાનને વર્તુળના વ્યાસ પર પ્રક્ષેપિત કરીએ,તો સમય $t$ પર વર્તુળના કેન્દ્રથી પ્રક્ષેપણનું સ્થાનાંતર $y$ એ $y = R \sin(\omega t)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ સમીકરણ $y = R \sin(\omega t)$ એ સરળ આવર્ત ગતિ $(SHM)$ કરતા કણનું સ્થાનાંતર દર્શાવે છે.
આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ,જેમ કણ વર્તુળાકાર માર્ગ પર $A, B, C, D, E, F, G$ બિંદુઓમાંથી પસાર થાય છે,તેમ તેનો ઉભા વ્યાસ પરનો પ્રક્ષેપ કેન્દ્ર $O$ માંથી પસાર થઈને અંતિમ બિંદુઓ $S$ અને $Q$ ની વચ્ચે આગળ-પાછળ ગતિ કરે છે. પ્રક્ષેપણની આ દોલિત ગતિ એ સરળ આવર્ત ગતિ છે.

(N/A) ધારો કે એક કણ $O$ કેન્દ્ર અને $A$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળાકાર પથ પર અચળ કોણીય ઝડપ $\omega$ થી ઘડિયાળના કાંટાની વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરે છે. $t$ સમયે કણ $P$ સ્થાન પર છે અને તેનો કળા $\theta = \omega t + \phi$ છે,જ્યાં $\phi$ એ પ્રારંભિક કળા છે.
$1$. સ્થાનાંતર: $X$-અક્ષ પર સ્થાન સદિશ $\vec{OP}$ નો પ્રક્ષેપ $x(t) = A \cos(\omega t + \phi)$ છે.
$2$. વેગ: વર્તુળાકાર ગતિમાં કણનો વેગ $v = A\omega$ છે જે સ્પર્શકની દિશામાં હોય છે. આ વેગ સદિશનો $X$-અક્ષ પરનો પ્રક્ષેપ સરળ આવર્ત ગતિ $(SHM)$ નો વેગ આપે છે:
$v(t) = \frac{dx}{dt} = -A\omega \sin(\omega t + \phi)$.
$3$. પ્રવેગ: વર્તુળાકાર ગતિમાં કણનો કેન્દ્રગામી પ્રવેગ $a_c = A\omega^2$ છે જે કેન્દ્ર $O$ તરફ હોય છે. આ પ્રવેગ સદિશનો $X$-અક્ષ પરનો પ્રક્ષેપ $SHM$ નો પ્રવેગ આપે છે:
$a(t) = \frac{dv}{dt} = -A\omega^2 \cos(\omega t + \phi) = -\omega^2 x(t)$.
આ સાબિત કરે છે કે આ ગતિ સરળ આવર્ત ગતિ છે.

(N/A) સમય $t=0$ પર,કણ સ્થાન $P_{1}$ પર છે અને તેનો સ્થાન સદિશ $\overrightarrow{OP}_{1}$ એ ધન $X$-અક્ષ સાથે $\phi$ ખૂણો બનાવે છે.
$X$-અક્ષ પર $OP_{1}$ નો પ્રક્ષેપ $OP_{1}^{\prime}$ છે.
સમય $t=t$ પર,કણ $\omega t$ જેટલું કોણીય સ્થાનાંતર કરીને $P_{2}$ બિંદુ પર પહોંચે છે અને તેનો સ્થાન સદિશ $\overrightarrow{OP}_{2}$ એ $X$-અક્ષ સાથે $\omega t+\phi$ ખૂણો બનાવે છે.
$X$-અક્ષ પર સ્થાન સદિશ $OP_{2}$ નો પ્રક્ષેપ $OP_{2}^{\prime}$ છે.
જેમ કણ $P$ વર્તુળ પર ગતિ કરે છે,તેમ $X$-અક્ષ પર તેના લંબ પ્રક્ષેપનું મૂલ્ય $x(t)=A \cos(\omega t+\phi)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. આ કોઈપણ સમયે સ્થાન સદિશનો $X$-ઘટક દર્શાવે છે.
આ સમીકરણ $SHM$ નું સામાન્ય સમીકરણ છે.
આના પરથી કહી શકાય કે સંદર્ભ વર્તુળના વ્યાસ પર થતી નિયમિત વર્તુળાકાર ગતિનો પ્રક્ષેપ એ $SHM$ છે.
નિયમિત વર્તુળાકાર માર્ગ પર ગતિ કરતા કણને સંદર્ભ કણ કહેવામાં આવે છે અને સંદર્ભ કણના વર્તુળાકાર માર્ગને સંદર્ભ વર્તુળ કહેવામાં આવે છે.
જો સંદર્ભ કણનો પ્રક્ષેપ $Y$-અક્ષ પર લેવામાં આવે,તો $Y$-અક્ષ પર કણનું સ્થાનાંતર $y(t)=A \sin(\omega t+\phi)$ થાય છે.

(A) રેખીય સરળ આવર્ત ગતિ $(SHM)$ એ વ્યાસ પર સમાન વર્તુળાકાર ગતિ $(UCM)$ નું પ્રક્ષેપણ છે.
$UCM$ માં,કણ કેન્દ્ર તરફ લાગતું અચળ કેન્દ્રગામી બળ $F_c = \frac{mv^2}{r} = m\omega^2r$ અનુભવે છે.
રેખીય $SHM$ માં,કણ પુનઃસ્થાપક બળ $F = -m\omega^2x$ અનુભવે છે,જે મધ્યમાન સ્થાનથી સ્થાનાંતર $x$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે અને તે મધ્યમાન સ્થાન તરફ લાગે છે.
જોકે પ્રક્ષેપણની ગતિશાસ્ત્ર (સ્થાન,વેગ,પ્રવેગ) $SHM$ સાથે મેળ ખાય છે,પરંતુ બળોની ભૌતિક પ્રકૃતિ અલગ છે: $UCM$ માટે અચળ મૂલ્યના બળની જરૂર પડે છે,જ્યારે $SHM$ માટે એવા બળની જરૂર પડે છે જે સ્થાનાંતર સાથે રેખીય રીતે બદલાય છે.

(A) વર્તુળના કોઈપણ વ્યાસ પર સમાન વર્તુળાકાર ગતિનો પ્રક્ષેપ એ સરળ આવર્ત ગતિ $(SHM)$ છે.
ધારો કે એક કણ $A$ ત્રિજ્યાના વર્તુળમાં અચળ કોણીય વેગ $\omega$ સાથે ગતિ કરે છે.
કોઈપણ સમયે $t$ પર કણનું સ્થાન $\theta = \omega t + \phi$ ખૂણા દ્વારા દર્શાવી શકાય છે.
$x$-અક્ષ પર આ સ્થાનનો પ્રક્ષેપ $x(t) = A \cos(\omega t + \phi)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ સમીકરણ સરળ આવર્ત ગતિ કરતા કણના સ્થાનાંતરને દર્શાવે છે.

(N/A) સંદર્ભ વર્તુળ એ $A$ ત્રિજ્યાનું (જ્યાં $A$ એ સરળ આવર્ત ગતિનો કંપવિસ્તાર છે) એક વર્તુળ છે જેનું કેન્દ્ર યામ પદ્ધતિના ઉગમબિંદુ પર હોય છે.
સંદર્ભ કણ એ એક કાલ્પનિક કણ છે જે સંદર્ભ વર્તુળના પરિઘ પર અચળ કોણીય વેગ $\omega$ થી ગતિ કરે છે.
આ સંદર્ભ કણના સ્થાનનો સંદર્ભ વર્તુળના કોઈપણ વ્યાસ પરનો પ્રક્ષેપ સરળ આવર્ત ગતિ $(SHM)$ કરે છે. $SHM$ નું સ્થાનાંતર $x(t) = A \cos(\omega t + \phi)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $A$ એ સંદર્ભ વર્તુળની ત્રિજ્યા છે અને $\omega t + \phi$ એ $t$ સમયે સંદર્ભ કણનું કોણીય સ્થાન છે.

(A) નિયમિત વર્તુળાકાર ગતિ એ અચળ ઝડપ સાથે વર્તુળાકાર માર્ગ પર કણની ગતિ છે.
જ્યારે આપણે આ ગતિને વર્તુળના વ્યાસ પર પ્રક્ષેપિત કરીએ છીએ,ત્યારે તે પ્રક્ષેપ સરળ આવર્ત ગતિ $(SHM)$ કરે છે.
મધ્યમાન સ્થાન (વર્તુળનું કેન્દ્ર) થી આ પ્રક્ષેપનું મહત્તમ સ્થાનાંતર વર્તુળાકાર માર્ગની ત્રિજ્યા જેટલું હોય છે.
તેથી,પરિણામી $SHM$ નો કંપવિસ્તાર વર્તુળની ત્રિજ્યા જેટલો હોય છે.

(A) સરળ આવર્ત ગતિ $(SHM)$ કરતા કણની કોણીય આવૃત્તિ $\omega$ ને સમયની સાપેક્ષમાં કળામાં થતા ફેરફારના દર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
તે દોલનના આવર્તકાળ $T$ સાથે $\omega = \frac{2\pi}{T}$ સૂત્ર દ્વારા સંબંધિત છે, જ્યાં $2\pi$ એ એક સંપૂર્ણ ચક્રમાં થતો કુલ કળાનો ફેરફાર દર્શાવે છે.
વૈકલ્પિક રીતે, તે આવૃત્તિ $f$ સાથે $\omega = 2\pi f$ દ્વારા પણ સંબંધિત છે.