Different types of oscillations (Free, Damped, Forced Oscillation and Resonance) Questions in Hindi

(B) अनुनाद तब होता है जब किसी बाहरी प्रेरक बल की आवृत्ति किसी प्रणाली की प्राकृतिक आवृत्ति से मेल खाती है।
अलग-अलग मूल आवृत्तियों वाले दो वायलिन के तारों के लिए,एक तार के कंपन दूसरे तार की प्राकृतिक आवृत्ति से मेल नहीं खाते हैं।
चूंकि उनकी आवृत्तियाँ अलग-अलग हैं,इसलिए दोनों तारों द्वारा उत्पन्न तरंगों के बीच का कलांतर (phase difference) समय के साथ लगातार बदलता रहेगा।
इसलिए,वे अनुनाद के लिए आवश्यक स्थिति को बनाए नहीं रख सकते हैं।

(N/A) अनुनाद एक ऐसी घटना है जिसमें जब कोई बाहरी आवर्ती बल या कंपन करने वाली प्रणाली की आवृत्ति,दूसरी प्रणाली की प्राकृतिक आवृत्ति से मेल खाती है,तो वह प्रणाली बहुत बड़े आयाम के साथ दोलन करने लगती है।
उदाहरण: झूले पर बैठे एक बच्चे पर विचार करें। झूले की एक विशिष्ट प्राकृतिक दोलन आवृत्ति होती है। यदि बच्चा (या झूला झुलाने वाला व्यक्ति) नियमित अंतराल पर इस प्रकार बल लगाता है कि धक्कों की आवृत्ति झूले की प्राकृतिक आवृत्ति के समान हो जाए,तो दोलनों का आयाम काफी बढ़ जाता है। यह यांत्रिक अनुनाद का एक उत्कृष्ट उदाहरण है।

(N/A) जब वाहन की गति बढ़ती है,तो ऊबड़-खाबड़ सड़क की सतह से मिलने वाले आवर्ती झटकों की आवृत्ति बढ़ जाती है।
जब यह आवृत्ति वाहन के सस्पेंशन सिस्टम की प्राकृतिक आवृत्ति के बराबर हो जाती है,तो अनुनाद (resonance) की घटना होती है।
अनुनाद के कारण,दोलनों का आयाम बहुत अधिक हो जाता है,जिससे वाहन काफी उछलने लगता है।

(D) अवमंदित दोलनों में,अवमंदन बल (जैसे घर्षण या वायु प्रतिरोध) की उपस्थिति के कारण दोलक का आयाम समय के साथ तेजी से घटता है।
सरल आवर्त दोलक के लिए,फेज स्पेस प्रक्षेपवक्र (वेग $v$ बनाम स्थिति $x$) एक दीर्घवृत्त होता है।
हालाँकि,अवमंदित दोलनों में,क्योंकि आयाम $A$ समय के साथ घटता है,इसलिए प्रक्षेपवक्र स्वयं को बंद नहीं करता है।
इसके बजाय,जैसे-जैसे सिस्टम की ऊर्जा का ह्रास होता है,प्रक्षेपवक्र मूल बिंदु $(0,0)$ की ओर अंदर की तरफ सर्पिल (spiral) आकार में मुड़ जाता है।
इसलिए,अवमंदित दोलनों के लिए वेग और स्थिति के बीच का ग्राफ एक सर्पिल होता है।

(C) अमंदित दोलनों में,घर्षण या वायु प्रतिरोध जैसे क्षयकारी बलों के कारण प्रणाली समय के साथ ऊर्जा खो देती है। परिणामस्वरूप,दोलन का आयाम समय के साथ लगातार घटता जाता है। फेज स्पेस प्रक्षेपवक्र,जो वेग $(V)$ और स्थिति $(x)$ के बीच के संबंध को दर्शाता है,सरल आवर्त गति के लिए एक दीर्घवृत्त होता है। हालाँकि,अमंदित दोलनों में आयाम में निरंतर कमी के कारण,जैसे-जैसे प्रणाली अंततः स्थिर होती है,प्रक्षेपवक्र मूल बिंदु $(x=0, V=0)$ की ओर अंदर की ओर सर्पिल (spiral) हो जाता है। इसलिए,सही ग्राफ मूल बिंदु की ओर जाने वाला सर्पिल है।

(D) एक डैम्प्ड ऑसिलेटर की यांत्रिक ऊर्जा समय $t$ पर $E(t) = E_0 e^{-bt/m}$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $E_0$ प्रारंभिक ऊर्जा है।
हमें वह समय $t$ ज्ञात करना है जब $E(t) = \frac{E_0}{2}$ हो।
इस मान को समीकरण में रखने पर: $\frac{E_0}{2} = E_0 e^{-bt/m}$।
दोनों पक्षों को $E_0$ से विभाजित करने पर, हमें प्राप्त होता है $\frac{1}{2} = e^{-bt/m}$।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक (natural logarithm) लेने पर: $\ln(1/2) = -bt/m$।
चूंकि $\ln(1/2) = -\ln 2$, इसलिए $-\ln 2 = -bt/m$।
$t$ के लिए हल करने पर: $t = \frac{m}{b} \ln 2$।
दिए गए विकल्पों के आधार पर, विकल्प $D$ सही उत्तर माना गया है।

(A) अवमंदित आवर्त गति (damped harmonic motion) के लिए,समय $t$ पर आयाम $A$ का सूत्र $A = A_0 e^{-\frac{bt}{2m}}$ है।
हमें वह समय $t$ ज्ञात करना है जब आयाम अपने प्रारंभिक मान का आधा हो जाए,अर्थात $A = \frac{A_0}{2}$।
इस मान को समीकरण में रखने पर: $\frac{A_0}{2} = A_0 e^{-\frac{bt}{2m}}$।
यह सरल होकर $\frac{1}{2} = e^{-\frac{bt}{2m}}$ या $2 = e^{\frac{bt}{2m}}$ हो जाता है।
दोनों तरफ प्राकृतिक लघुगणक (natural logarithm) लेने पर: $\ln 2 = \frac{bt}{2m}$।
$t$ के लिए हल करने पर: $t = \frac{2m}{b} \ln 2$।
यहाँ $m = 500 \, g$,$b = 20 \, g/s$,और $\ln 2 = 0.693$ दिया गया है:
$t = \frac{2 \times 500}{20} \times 0.693 = 50 \times 0.693 = 34.65 \, s$।

(D) अवमंदित दोलक का आयाम $A(t) = A_0 e^{-(b/2m)t}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है: $A_0 = 12 \, cm$, $A(t) = 6 \, cm$, $m = 1 \, kg$, $t = 2 \, \text{मिनट }= 120 \, s$.
मान रखने पर: $6 = 12 e^{-(b / (2 \times 1)) \times 120}$.
$0.5 = e^{-60b}$, जिसका अर्थ है $e^{60b} = 2$.
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर: $60b = \ln 2$.
दिया गया है $\ln 2 = 0.693$, इसलिए $60b = 0.693$.
$b = 0.693 / 60 = 0.01155 \, kg \, s^{-1}$.
दो सार्थक अंकों तक पूर्णांकित करने पर, $b \approx 1.16 \times 10^{-2} \, kg \, s^{-1}$.

(B) सही विकल्प $B$ है।
अवमंदित दोलन की कोणीय आवृत्ति को निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\omega^{\prime} = \sqrt{\omega_0^2 - \left(\frac{b}{2m}\right)^2}$
चूंकि पद $\left(\frac{b}{2m}\right)^2$ धनात्मक है,इसलिए यह निष्कर्ष निकलता है कि $\omega^{\prime} < \omega_0$।
यहाँ $\omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}}$ प्राकृतिक कोणीय आवृत्ति है।
चूंकि आवृत्ति $f$ और कोणीय आवृत्ति $\omega$ के बीच संबंध $\omega = 2\pi f$ है,इसलिए अवमंदित दोलन की आवृत्ति $f^{\prime}$ भी प्राकृतिक आवृत्ति $f_0$ से कम होगी।

(A) सही विकल्प $A$ है।
प्रणोदित दोलनों में,निकाय पर एक बाहरी आवर्ती चालक बल लगाया जाता है।
भले ही निकाय की अपनी प्राकृतिक आवृत्ति हो,बाहरी चालक बल निकाय को स्थिर अवस्था में लगाए गए बल की आवृत्ति पर दोलन करने के लिए मजबूर करता है।
इसलिए,कण चालक बल की आवृत्ति के बराबर आवृत्ति के साथ सरल आवर्त गति करता है।

(A) अवमंदित दोलक का $t$ समय पर आयाम $A(t) = A_0 e^{-bt}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $b$ अवमंदन स्थिरांक है।
दिया गया है कि $t = 1 \, s$ पर,आयाम $A = \frac{A_0}{2}$ है।
इन मानों को समीकरण में रखने पर: $\frac{A_0}{2} = A_0 e^{-b(1)}$.
इससे $e^{-b} = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
अब,हमें $t = 2 \, s$ पर आयाम ज्ञात करना है।
$A(2) = A_0 e^{-b(2)} = A_0 (e^{-b})^2$.
$e^{-b} = \frac{1}{2}$ का मान रखने पर: $A(2) = A_0 \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{A_0}{4}$.

(A) प्रणोदित दोलनों में,किसी निकाय पर एक बाह्य आवर्ती बल लगाया जाता है।
प्रारंभिक क्षणिक प्रभावों के समाप्त होने के बाद,निकाय बाह्य चालक बल की आवृत्ति के साथ दोलन करता है।
इसलिए,कण चालक बल की आवृत्ति के बराबर आवृत्ति के साथ सरल आवर्त गति करता है।

(D) अवमंदित आवर्ती गति में,घर्षण या वायु प्रतिरोध जैसे वि dissipative बलों के कारण दोलन का आयाम समय के साथ घातीय रूप से (exponentially) घटता है।
चित्र $(i)$ एक विस्थापन-समय ग्राफ दिखाता है जहाँ दोलन का आयाम समय के साथ घट रहा है,जो अवमंदित आवर्ती गति का विशिष्ट व्यवहार है।
चित्र $(iv)$ एक आयाम-समय ग्राफ दिखाता है जहाँ आयाम समय के साथ घातीय रूप से घट रहा है,जो अवमंदित आवर्ती गति में आयाम के क्षय को भी दर्शाता है।
इसलिए,चित्र $(i)$ और चित्र $(iv)$ दोनों अवमंदित आवर्ती गति को दर्शाते हैं।
अतः,सही विकल्प $(D)$ है।

(C) एक अवमंदित हार्मोनिक ऑसिलेटर के लिए समीकरण $x(t) = A e^{-bt/2m} \cos(\omega' t + \delta)$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $A$ प्रारंभिक आयाम है,$b$ अवमंदन स्थिरांक है,$m$ द्रव्यमान है,$\omega'$ अवमंदित कोणीय आवृत्ति है और $\delta$ प्रारंभिक कला है।
अवमंदन के दौरान,आयाम $A e^{-bt/2m}$ समय के साथ घातीय रूप से घटता है।
अवमंदित कोणीय आवृत्ति $\omega' = \sqrt{\frac{k}{m} - \frac{b^2}{4m^2}}$ प्राकृतिक आवृत्ति $\omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}}$ से भिन्न होती है,और आवर्तकाल $T = \frac{2\pi}{\omega'}$ भी बदल जाता है।
प्रारंभिक कला $\delta$ प्रारंभिक स्थितियों (समय $t = 0$ पर स्थिति और वेग) द्वारा निर्धारित की जाती है और अवमंदन प्रक्रिया की परवाह किए बिना स्थिर रहती है।

(D) एक अवमंदित दोलक का $t$ समय पर आयाम $A(t) = A_0 e^{-bt/2m}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि $t = 2 \ s$ पर,$A(2) = \frac{1}{3} A_0$ है।
अतः,$\frac{1}{3} A_0 = A_0 e^{-b(2)/2m} \implies e^{-b/m} = \frac{1}{3}$ है।
हमें $t = 6 \ s$ पर आयाम ज्ञात करना है,जो $A(6) = A_0 e^{-b(6)/2m} = A_0 (e^{-b/m})^3$ है।
$e^{-b/m}$ का मान प्रतिस्थापित करने पर,हमें $A(6) = A_0 \left(\frac{1}{3}\right)^3 = A_0 \left(\frac{1}{27}\right)$ प्राप्त होता है।
इसकी तुलना $A(6) = \frac{1}{n} A_0$ से करने पर,हमें $n = 27$ प्राप्त होता है।

(C) एक अवमंदित हार्मोनिक ऑसिलेटर के लिए,गति का समीकरण $m \frac{d^2x}{dt^2} + b \frac{dx}{dt} + kx = 0$ है।
प्राकृतिक कोणीय आवृत्ति $\omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}}$ और अवमंदन स्थिरांक $r = \frac{b}{2m}$ को परिभाषित करते हुए,अवमंदित दोलनों की कोणीय आवृत्ति $\omega^{\prime}$ इस प्रकार दी जाती है:
$\omega^{\prime} = \sqrt{\omega_0^2 - r^2}$
मान रखने पर:
$\omega^{\prime} = \sqrt{\frac{k}{m} - \left(\frac{b}{2m}\right)^2}$

(B) अवमंदित $SHM$ में,अवमंदन बल $F_d$ दोलक के वेग $v$ के समानुपाती होता है,जिसे $F_d = -bv$ द्वारा दर्शाया जाता है,जहाँ $b$ अवमंदन नियतांक है।
इसलिए,अवमंदन नियतांक $b = \frac{F_d}{v}$ है।
बल $F_d$ का $SI$ मात्रक $Newton$ $(N)$ या $kg \cdot m/s^2$ है।
वेग $v$ का $SI$ मात्रक $m/s$ है।
अतः,अवमंदन नियतांक $b$ का $SI$ मात्रक $\frac{kg \cdot m/s^2}{m/s} = kg/s$ होगा।
इसलिए,अवमंदन नियतांक का $SI$ मात्रक $kg/s$ है।

(A) अवमंदित दोलक के लिए गति का समीकरण $m \frac{d^2 x}{d t^2} + b \frac{d x}{d t} + k x = 0$ द्वारा दिया जाता है। यह विकल्प $D$ से मेल खाता है।
अवमंदित दोलनों की कोणीय आवृत्ति $\omega^{\prime} = \sqrt{\frac{k}{m} - \frac{b^2}{4m^2}}$ होती है। यह विकल्प $B$ से मेल खाता है।
अवमंदित दोलक का विस्थापन $x(t) = A e^{-\frac{b}{2m}t} \cos(\omega^{\prime}t + \phi)$ द्वारा दिया जाता है। इसकी तुलना विकल्प $A$ से करने पर,हम देखते हैं कि विकल्प $A$ में घातांक $-\frac{b}{m}$ है,जबकि यह $-\frac{b}{2m}$ होना चाहिए। इसलिए,विकल्प $A$ गलत है।
अवमंदित दोलक की ऊर्जा $E(t) = E_0 e^{-\frac{b}{m}t} = \frac{1}{2} k A^2 e^{-\frac{b}{m}t}$ के अनुसार क्षय होती है। यह विकल्प $C$ से मेल खाता है।

(A) एक अवमंदित हार्मोनिक ऑसिलेटर के लिए,$t$ समय पर आयाम $A(t) = A_0 e^{-bt}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $A_0$ प्रारंभिक आयाम है और $b$ अवमंदन स्थिरांक है।
$t = 2 \ s$ पर,$A_1 = A_0 e^{-2b} \implies \frac{A_1}{A_0} = e^{-2b}$.
$t = 4 \ s$ पर,$A_2 = A_0 e^{-4b} \implies \frac{A_2}{A_0} = e^{-4b}$.
हम $e^{-4b} = (e^{-2b})^2$ लिख सकते हैं।
$e^{-2b}$ के लिए व्यंजक प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{A_2}{A_0} = \left(\frac{A_1}{A_0}\right)^2$.
$\frac{A_2}{A_0} = \frac{A_1^2}{A_0^2}$.
$A_2 = \frac{A_1^2}{A_0}$.
$A_1^2 = A_0 A_2 \implies A_1 = \sqrt{A_0 A_2}$.

(C) एक अवमंदित दोलक का आयाम $A(t) = A_0 e^{-\frac{bt}{2m}}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि $t$ समय पर $A(t) = 0.25 A_0 = \frac{A_0}{4}$,इसलिए:
$\frac{A_0}{4} = A_0 e^{-\frac{bt}{2m}} \implies \frac{1}{4} = e^{-\frac{bt}{2m}} \implies 4 = e^{\frac{bt}{2m}}$.
दोनों तरफ प्राकृतिक लघुगणक (natural logarithm) लेने पर: $\ln(4) = \frac{bt}{2m} \implies 2\ln(2) = \frac{bt}{2m} \implies t = \frac{4m \ln(2)}{b} \quad ... (1)$
एक अवमंदित दोलक की यांत्रिक ऊर्जा $E(t) = E_0 e^{-\frac{bt}{m}}$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है कि $t'$ समय पर $E(t') = 0.5 E_0 = \frac{E_0}{2}$,इसलिए:
$\frac{E_0}{2} = E_0 e^{-\frac{bt'}{m}} \implies \frac{1}{2} = e^{-\frac{bt'}{m}} \implies 2 = e^{\frac{bt'}{m}}$.
दोनों तरफ प्राकृतिक लघुगणक लेने पर: $\ln(2) = \frac{bt'}{m} \implies t' = \frac{m \ln(2)}{b} \quad ... (2)$
समीकरण $(2)$ को $(1)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{t'}{t} = \frac{m \ln(2) / b}{4m \ln(2) / b} = \frac{1}{4} \implies t' = \frac{t}{4}$.

(B) अवमंदित दोलक की यांत्रिक ऊर्जा $E(t) = E_0 e^{-bt/m}$ द्वारा दी जाती है।
$t = 4 \ s$ पर,$E = E_0/2$ है।
अतः,$E_0/2 = E_0 e^{-4b/m} \Rightarrow e^{-4b/m} = 1/2 \Rightarrow e^{4b/m} = 2$ है।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,$4b/m = \ln 2$,इसलिए $b/m = (\ln 2)/4$ है।
समय $T = 4 + t$ पर,ऊर्जा $12.5 \% E_0 = (1/8) E_0$ है।
अतः,$E_0/8 = E_0 e^{-b(4+t)/m} \Rightarrow e^{-b(4+t)/m} = 1/8 \Rightarrow e^{b(4+t)/m} = 8 = 2^3$ है।
प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,$b(4+t)/m = 3 \ln 2$ है।
$b/m = (\ln 2)/4$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $[(\ln 2)/4] \times (4+t) = 3 \ln 2$ प्राप्त होता है।
$\ln 2$ से विभाजित करने पर,$(4+t)/4 = 3 \Rightarrow 4+t = 12 \Rightarrow t = 8 \ s$ प्राप्त होता है।

(C) डैम्पिंग फोर्स $F_d$ को संबंध $F_d = -bv$ द्वारा दर्शाया जाता है,जहाँ $b$ डैम्पिंग स्थिरांक है और $v$ ऑसिलेटर का वेग है।
ऋणात्मक चिह्न के कारण,डैम्पिंग फोर्स हमेशा वस्तु के वेग की विपरीत दिशा में कार्य करता है।
इसलिए,यह कथन कि डैम्पिंग फोर्स वेग की दिशा में कार्य करता है,गलत है।

(D) एक अवमंदित हार्मोनिक ऑसिलेटर का विस्थापन $x(t) = A(t) \cos(\omega t + \varphi)$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $A(t) = A_0 e^{-bt/2m}$ है।
दिए गए समीकरण $x(t) = e^{-0.1 t} \cos(10 \pi t + \varphi)$ के साथ तुलना करने पर,आयाम $A(t) = A_0 e^{-0.1 t}$ है,जहाँ $A_0 = 1$ है।
हमें वह समय $t$ ज्ञात करना है जब आयाम अपने प्रारंभिक मान का आधा हो जाए,अर्थात $A(t) = \frac{A_0}{2}$।
इसे आयाम समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{A_0}{2} = A_0 e^{-0.1 t}$।
दोनों पक्षों को $A_0$ से विभाजित करने पर: $\frac{1}{2} = e^{-0.1 t}$।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक (natural logarithm) लेने पर: $\ln(0.5) = -0.1 t$।
चूंकि $\ln(0.5) = -\ln(2) \approx -0.693$,इसलिए: $-0.693 = -0.1 t$।
$t$ के लिए हल करने पर: $t = \frac{0.693}{0.1} = 6.93 \ s$।
निकटतम पूर्णांक में लेने पर,$t \approx 7 \ s$ प्राप्त होता है।

(D) एक हार्मोनिक दोलक की यांत्रिक ऊर्जा $E$ उसके आयाम $A$ के वर्ग के समानुपाती होती है,जिसे $E = \frac{1}{2} k A^2$ द्वारा दर्शाया जाता है।
आयाम में छोटे परिवर्तन के लिए,ऊर्जा में आंशिक परिवर्तन अवकलन द्वारा प्राप्त किया जाता है:
$\frac{dE}{E} = \frac{d(A^2)}{A^2} = \frac{2A dA}{A^2} = 2 \frac{dA}{A}$.
यह दिया गया है कि आयाम $1.5 \%$ कम हो जाता है,इसलिए $\frac{dA}{A} = 1.5 \%$.
इस मान को ऊर्जा में आंशिक परिवर्तन के व्यंजक में रखने पर:
$\frac{dE}{E} = 2 \times 1.5 \% = 3 \%$.
अतः,प्रत्येक चक्र में खोई हुई यांत्रिक ऊर्जा $3 \%$ है।

(C) डैम्प्ड ऑसिलेटर का $t$ समय पर आयाम $A(t) = A_0 e^{-\alpha t}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि $t_1 = 5 \,s$ पर, $A(5) = 0.9 A_0$ है।
इसे समीकरण में रखने पर: $0.9 A_0 = A_0 e^{-5\alpha}$, जिसका अर्थ है $e^{-5\alpha} = 0.9$ है।
हमें अगले $20 \,s$ के बाद आयाम ज्ञात करना है, जिसका अर्थ है कुल समय $t_2 = 5 \,s + 20 \,s = 25 \,s$ पर।
माना $t_2 = 25 \,s$ पर आयाम $A'$ है।
$A' = A_0 e^{-25\alpha} = A_0 (e^{-5\alpha})^5$ है।
$e^{-5\alpha} = 0.9$ रखने पर:
$A' = A_0 (0.9)^5 = A_0 \times 0.59049$ है।
अतः, आयाम अपने मूल आयाम का लगभग $0.59$ गुना हो जाएगा।

(B) अवमंदित दोलन में,समय $t$ पर आयाम $a$ को निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$a = a_0 e^{-bt}$
जहाँ $a_0$ प्रारंभिक आयाम है और $b$ अवमंदन स्थिरांक है।
दिया गया है कि $1$ मिनट ($t = 1$ मिनट) में आयाम आधा हो जाता है:
$\frac{a_0}{2} = a_0 e^{-b(1)}$
$e^{-b} = \frac{1}{2}$
हमें $3$ मिनट ($t = 3$ मिनट) बाद आयाम ज्ञात करना है,जो $\frac{a_0}{x}$ दिया गया है:
$\frac{a_0}{x} = a_0 e^{-b(3)}$
$\frac{1}{x} = (e^{-b})^3$
$e^{-b} = \frac{1}{2}$ का मान रखने पर:
$\frac{1}{x} = (\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{8}$
अतः,$x = 8$.

(B) अवमंदित दोलक का आयाम समय के साथ $A(t) = A_0 e^{-\alpha t}$ के अनुसार बदलता है, जहाँ $\alpha = \frac{b}{2m}$ है。
दिया गया है कि आयाम अपने प्रारंभिक मान का आधा हो जाता है, इसलिए $A(t) = \frac{A_0}{2}$.
समीकरण में मान रखने पर: $\frac{A_0}{2} = A_0 e^{-\alpha t} \Rightarrow \frac{1}{2} = e^{-\alpha t}$.
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक (natural logarithm) लेने पर: $\ln(0.5) = -\alpha t \Rightarrow -\ln 2 = -\alpha t \Rightarrow \ln 2 = \alpha t$.
यहाँ $b = 69.3 \,g \,s^{-1}$ और $m = 100 \,g$ दिया गया है。
$\alpha = \frac{b}{2m} = \frac{69.3}{2 \times 100} = \frac{69.3}{200} = 0.3465 \,s^{-1}$.
$\ln 2 = 0.693$ दिया गया है, इसलिए $0.693 = 0.3465 \times t$.
समय $t = \frac{0.693}{0.3465} = 2 \,s$ प्राप्त होता है।

(B) दिए गए चित्र के अनुसार,लोलक $A$ और $C$ की लंबाई समान है।
चूंकि सरल लोलक का आवर्तकाल $T = 2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ द्वारा दिया जाता है,इसलिए आवर्तकाल $T$ केवल लंबाई $l$ पर निर्भर करता है ($g$ को स्थिर मानते हुए)।
अतः,लोलक $A$ और $C$ की दोलन की प्राकृतिक आवृत्ति समान है।
जब लोलक $A$ को गति में लाया जाता है,तो यह प्रत्यास्थ आधार के लिए एक चालक (driver) के रूप में कार्य करता है,जो बदले में अन्य लोलकों को गति प्रदान करता है।
अनुनाद (resonance) के सिद्धांत के कारण,जिस लोलक की प्राकृतिक आवृत्ति चालक आवृत्ति से मेल खाती है,वह अधिकतम आयाम के साथ कंपन करेगा।
चूंकि $A$ और $C$ की प्राकृतिक आवृत्ति समान है,इसलिए लोलक $C$ अधिकतम आयाम के साथ कंपन करेगा।

(B) एक अवमंदित हार्मोनिक ऑसिलेटर का $t$ समय पर आयाम $A(t) = A_0 e^{-bt/2m}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $A_0$ प्रारंभिक आयाम है।
दिया गया है कि $t_1 = 12 \ s$ पर,$A(t_1) = 0.5 A_0$ है।
अतः,$0.5 A_0 = A_0 e^{-b(12)/2m}$,जिसका अर्थ है $e^{-6b/m} = 0.5$ है।
हमें $t_2 = 36 \ s$ पर $A_0$ के प्रतिशत के रूप में आयाम ज्ञात करना है।
$A(36) = A_0 e^{-b(36)/2m} = A_0 (e^{-6b/m})^3$ है।
$e^{-6b/m} = 0.5$ का मान रखने पर,हमें $A(36) = A_0 (0.5)^3 = A_0 (0.125) = 12.5 \% A_0$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,$x = 12.5$ है।

(B) एक अवमंदित दोलक का विस्थापन $x(t) = A_0 e^{-bt} \cos(\omega' t + \Phi)$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $A(t) = A_0 e^{-bt}$ समय $t$ पर आयाम है।
दिए गए समीकरण $x(t) = \exp(-0.2 t) \cos(3.2 t + \Phi)$ से,$t = 0$ पर प्रारंभिक आयाम $A_0 = 1$ है।
समय $t$ पर आयाम $A(t) = e^{-0.2 t}$ है।
हमें वह समय $t$ ज्ञात करना है जब आयाम अपने प्रारंभिक आयाम का $\frac{1}{e^{1.2}}$ गुना हो जाता है।
अतः,$A(t) = \frac{1}{e^{1.2}} \times A_0 = e^{-1.2} \times 1 = e^{-1.2}$.
आयाम के दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर: $e^{-0.2 t} = e^{-1.2}$.
घातांकों की तुलना करने पर: $-0.2 t = -1.2$.
$t$ के लिए हल करने पर: $t = \frac{1.2}{0.2} = 6 \ s$.

(C) समय $t$ पर एक अवमंदित दोलक का आयाम $A(t) = A_0 e^{-kt}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $k = \frac{b}{2m}$ है।
दिया गया है कि $t = 2 \ s$ पर,$A(2) = \frac{A_0}{e}$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{A_0}{e} = A_0 e^{-k(2)} \Rightarrow e^{-1} = e^{-2k} \Rightarrow 2k = 1 \Rightarrow k = 0.5 \ s^{-1}$ प्राप्त होता है।
हमें अगले दो सेकंड के बाद,यानी $t = 4 \ s$ पर आयाम ज्ञात करना है।
$A(4) = A_0 e^{-k(4)} = A_0 e^{-0.5 \times 4} = A_0 e^{-2} = \frac{A_0}{e^2}$।

(B) जब किसी प्रणाली पर एक बाहरी आवर्ती बल लगाया जाता है,तो वह प्रणोदित दोलन (forced oscillations) करती है।
इन प्रणोदित दोलनों का आयाम चालक आवृत्ति $\omega_d$ और प्रणाली की प्राकृतिक आवृत्ति $\omega$ पर निर्भर करता है।
जैसे-जैसे चालक आवृत्ति $\omega_d$ प्राकृतिक आवृत्ति $\omega$ के करीब पहुंचती है,दोलनों का आयाम बढ़ता जाता है।
जब $\omega_d = \omega$ होता है,तो प्रणाली अनुनाद (resonance) की स्थिति में पहुंच जाती है,जहां दोलनों का आयाम अधिकतम हो जाता है।
इसलिए,अधिकतम आयाम के लिए शर्त $\omega_d = \omega$ है।

(B) अनुनाद एक ऐसी घटना है जिसमें दोलनों का आयाम काफी बढ़ जाता है जब बाहरी रूप से आरोपित आवर्ती बल की आवृत्ति प्रणाली की प्राकृतिक आवृत्ति से मेल खाती है।
प्रणोदित दोलन प्रणाली में,अनुनाद वक्र की तीक्ष्णता प्रणाली में मौजूद अवमंदन (damping) द्वारा निर्धारित की जाती है।
अनुनाद की तीक्ष्णता अवमंदन गुणांक के व्युत्क्रमानुपाती होती है।
इसलिए,जब अवमंदन बल छोटा होता है,तो प्रति चक्र ऊर्जा की हानि न्यूनतम होती है,जिससे बहुत ही तीक्ष्ण और उच्च आयाम वाला अनुनाद शिखर प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(B) अवमंदित दोलक का आयाम $A(t) = A_0 e^{-bt / 2m}$ द्वारा दिया जाता है।
यांत्रिक ऊर्जा $E$,आयाम के वर्ग के समानुपाती होती है,$E \propto A^2$.
इसलिए,$E(t) = E_0 e^{-bt / m}$.
हमें वह समय $t$ ज्ञात करना है जब $E(t) = E_0 / 4$ हो।
इस मान को समीकरण में रखने पर: $E_0 / 4 = E_0 e^{-bt / m}$.
यह सरल होकर $1/4 = e^{-bt / m}$ या $2^{-2} = e^{-bt / m}$ हो जाता है।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक (natural logarithm) लेने पर: $-2 \ln 2 = -bt / m$.
$t$ के लिए हल करने पर: $t = (2m \ln 2) / b$.
यहाँ $m = 200 \text{ g} = 0.2 \text{ kg}$,$b = 70 \text{ g/s} = 0.07 \text{ kg/s}$,और $\ln 2 = 0.7$ दिया गया है।
$t = (2 \times 0.2 \times 0.7) / 0.07 = 0.28 / 0.07 = 4 \text{ s}$.

(C) अवमंदित दोलक का आयाम $A(t) = A_0 e^{-(b/2m)t}$ द्वारा दिया जाता है।
यह दिया गया है कि $n = 100$ दोलनों के बाद,आयाम $A_0/e$ हो जाता है,इसलिए $e^{-(b/2m)T \cdot n} = e^{-1}$,जहाँ $T$ आवर्तकाल है।
अतः,$\frac{b}{2m} T \cdot n = 1$। चूँकि $T = \frac{2\pi}{\omega}$,हमें $\frac{b}{2m} \cdot \frac{2\pi}{\omega} \cdot 100 = 1$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\frac{b}{2m\omega} = \frac{1}{200\pi}$।
अवमंदित आवृत्ति $\omega^{\prime} = \omega \sqrt{1 - \frac{b^2}{4m^2\omega^2}}$ है।
छोटे $x$ के लिए द्विपद सन्निकटन $(1-x)^{1/2} \approx 1 - x/2$ का उपयोग करने पर,हमें $\omega^{\prime} \approx \omega \left(1 - \frac{b^2}{8m^2\omega^2}\right)$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$\frac{\omega - \omega^{\prime}}{\omega} = \frac{b^2}{8m^2\omega^2} = \frac{1}{2} \left(\frac{b}{2m\omega}\right)^2$।
मान रखने पर,$\frac{\omega - \omega^{\prime}}{\omega} = \frac{1}{2} \left(\frac{1}{200\pi}\right)^2 = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{40000\pi^2} = \frac{1}{80000\pi^2}$।
प्रतिशत में बदलने पर: $\frac{1}{80000\pi^2} \times 100 = \frac{1}{800\pi^2} \%$।

(D) समय $t$ पर अवमंदित आवर्ती दोलक का आयाम $A(t) = A_0 e^{-bt/2m}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि $t = 10 \ s$ पर,$A(t) = A_0/2$ है।
अतः,$A_0/2 = A_0 e^{-b(10)/2m} \implies 1/2 = e^{-5b/m} \implies \ln(2) = 5b/m$।
दोलक की यांत्रिक ऊर्जा $E(t) = \frac{1}{2} k A(t)^2 = \frac{1}{2} k A_0^2 e^{-bt/m} = E_0 e^{-bt/m}$ होती है।
हमें वह समय $t'$ ज्ञात करना है जिसके लिए $E(t') = E_0/2$ हो।
अतः,$E_0/2 = E_0 e^{-bt'/m} \implies 1/2 = e^{-bt'/m} \implies \ln(2) = bt'/m$।
$\ln(2)$ के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर: $5b/m = bt'/m \implies t' = 5 \ s$।

(D) एक अवमंदित हार्मोनिक ऑसिलेटर का किसी भी समय $t$ पर आयाम समीकरण $A(t) = A_0 e^{-bt/2m}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $A_0$ समय $t=0$ पर प्रारंभिक आयाम है और $b$ अवमंदन स्थिरांक है।
समय $t_1$ पर,आयाम $A_1 = A_0 e^{-bt_1/2m}$ है। अतः,$e^{-bt_1/2m} = \frac{A_1}{A_0}$ है।
समय $t_2$ पर,आयाम $A_2 = A_0 e^{-bt_2/2m}$ है। अतः,$e^{-bt_2/2m} = \frac{A_2}{A_0}$ है।
हमें समय $t = t_1 + t_2$ पर आयाम $A$ ज्ञात करना है,जो $A(t_1+t_2) = A_0 e^{-b(t_1+t_2)/2m}$ है।
इसे $A(t_1+t_2) = A_0 (e^{-bt_1/2m}) (e^{-bt_2/2m})$ के रूप में लिखा जा सकता है।
घातांकीय पदों के लिए व्यंजक प्रतिस्थापित करने पर,हमें $A(t_1+t_2) = A_0 \left(\frac{A_1}{A_0}\right) \left(\frac{A_2}{A_0}\right)$ प्राप्त होता है।
इसे सरल करने पर,हमें $A(t_1+t_2) = \frac{A_1 A_2}{A_0}$ प्राप्त होता है।

(C) समय $t$ पर अवमंदित हार्मोनिक दोलक का आयाम $A(t) = A_0 e^{-bt}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि समय $t$ पर,$A(t) = \frac{A_0}{2}$।
इस मान को समीकरण में रखने पर: $\frac{A_0}{2} = A_0 e^{-bt}$,जिसका अर्थ है $e^{-bt} = \frac{1}{2}$।
अवमंदित दोलक की यांत्रिक ऊर्जा $E$ उसके आयाम के वर्ग के समानुपाती होती है: $E \propto A^2$।
इसलिए,समय $t$ पर ऊर्जा $E(t) = E_0 e^{-2bt}$ है,जहाँ $E_0$ प्रारंभिक ऊर्जा है।
$e^{-bt} = \frac{1}{2}$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है $E(t) = E_0 (e^{-bt})^2 = E_0 (\frac{1}{2})^2 = \frac{E_0}{4}$।
यांत्रिक ऊर्जा में कमी $\Delta E = E_0 - E(t) = E_0 - \frac{E_0}{4} = \frac{3E_0}{4}$ है।
प्रतिशत कमी = $\frac{\Delta E}{E_0} \times 100\% = \frac{3}{4} \times 100\% = 75\%$।