चित्र में दर्शाए अवमदित दोलक के लिए गुटके का द्रव्यमान $m=200\, g . k =90\, N\, m ^{-1}$ तथा अवमंदन स्थिरांक $b=40 g s ^{-1}$ है ।
$(a)$ दोलन का आवर्तकाल.
$(b)$ वह समय जिसमें इसके कंपन का आयाम अपने आरंभिक मान का आधा रह जाता है तथा
$(c)$ वह समय जिसमें यांत्रिक ऊर्जा अपने आरंभिक मान की आधी रह जाती है, परिकलित कीजिए
चित्र में दर्शाए अवमदित दोलक के लिए गुटके का द्रव्यमान $m=200\, g . k =90\, N\, m ^{-1}$ तथा अवमंदन स्थिरांक $b=40 g s ^{-1}$ है ।
$(a)$ दोलन का आवर्तकाल.
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$(a)$ We see that $k m=90 \times 0.2=18\, kg \,N$
$m ^{-1}= kg ^{2}\, s ^{-2} ;$
therefore $\sqrt{k m}=4.243\, kg \,s ^{-1},$ and $b=0.04\, kg\, s ^{-1} .$
Therefore, $b$ is much less than $\sqrt{k m} .$ Hence, the time pertod $T$
$T=2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}}$
$=2 \pi \sqrt{\frac{0.2\, kg }{90 \,N m ^{-1}}}$
$=0.3 \,s$
$(b)$ the time, $T_{1 / 2}$, for the amplitude to drop to half of 1ts inttlal value is given by,
$T_{1 / 2}=\frac{\ln (1 / 2)}{b / 2 m}$
$=\frac{0.693}{40} \times 2 \times 200\, s$
$=6.93 \,s$
$(c)$ For calculating the time, $t_{1 / 2},$ for its mechanical energy to drop to half its initial value
$E\left(t_{1 / 2}\right) / E(0)=\exp \left(-b t_{1 / 2} / m\right)$
$\frac 12 =\exp^{-\left(\frac{b t_{\frac 12}}{ m}\right)}$
$\ln (\frac 12)=-\left(\frac{b t_{\frac 12}}{ m}\right)$
$t_{\frac 12}=\frac{0.693}{40 \,g \,s ^{-1}} \times 200\, g$
$=3.46 \,s$
This is just half of the decay period for amplitude. This is not surprising, because. energy depends on the square of the amplitude. Notice that there is a factor of $2$ in the exponents of the two exponentials.
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$1 \,kg$ संहति के किसी गुटके को एक कमानी से बाँधा गया है । कमानी का कमानी स्थिरांक $50 \,N\, m ^{-1}$ है । गुटके को उसकी साम्यावस्था की स्थिति $x=0$ से $t=0$ पर किसी घर्षणहीन पृष्ठ पर कुछ दूरी $x=10 \,cm$ तक खींचा जाता है । जब गुटका अपनी माध्य-र्थिति से $5\, cm$ दर है, तब उसकी गतिज, स्थितिज तथा कुल ऊर्जाएँ परिकलित कीजिए ।
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आरेख में दर्शाए अनुसार कमानी स्थिरांक $'2k'$ की दो सर्वसम कमानियाँ द्रव्यमान $m$ के किसी गुटके और दढ़ सपोर्ट से जुड़ी हैं। जब इस गुटके को इसकी साम्यावस्था से किसी एक ओर विस्थापित किया जाता है तो सरल आवर्त गति करने लगता है। इस निकाय के दोलन का आवर्तकाल होगा।
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एक $60\, kg$ भार का व्यक्ति चित्रानुसार एक स्प्रिंग तुला के क्षैतिज प्लेट फार्म पर खड़ा है। अब प्लेट फार्म $0.1\, m$ आयाम एवं $\frac{2}{\pi }Hz$ आवृत्ति से सरल आवर्त गति करने लगता है। निम्न में से कौन सा कथन सही है
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एक स्प्रिंग से जुड़ा हुआ $1 \;kg$ का एक गुटका $1 \;Hz$ की आवृत्ति से एक घर्षणहीन क्षैतिज मेज पर दोलन करता है। इसी तरह की दो समान्तर स्प्रिंगों से एक $8 \;kg$ का गुटका जोड़कर उसी मेज पर दोलन कराते हैं। $8 \;kg$ के गुटके की दोलन आवृत्ति होगी $\dots \; Hz$
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एक क्षैतिज घर्षण रहित मेज पर एक ब्लॉक रखा है। इस ब्लॉक का द्रव्यमान $m$ है और दोनों ओर स्प्रिंग् लगी हैं जिनके बल स्थिरांक ${k_1}$ और ${k_2}$ है। यदि इस ब्लॉक को थोडा विस्थापित करके छोड़ दिया जाये तो दोलन की कोणीय आवृत्ति होगी
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