The Common Forces and Equilibrium of Concurrent Forces Questions in Hindi

(D) वेग को एकसमान (uniform) होने के लिए,पिंड का त्वरण शून्य होना चाहिए।
न्यूटन के दूसरे नियम के अनुसार,$\vec{F}_{net} = m\vec{a}$। यदि $\vec{a} = 0$ है,तो $\vec{F}_{net} = 0$ होगा।
अतः,पिंड पर कार्य करने वाले सभी बलों का योग शून्य होना चाहिए:
$\vec{F}_1 + \vec{F}_2 + \vec{F}_3 = 0$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$(2\hat{i} - 5\hat{j}) + (3\hat{i} - 4\hat{j}) + \vec{F}_3 = 0$
$(2 + 3)\hat{i} + (-5 - 4)\hat{j} + \vec{F}_3 = 0$
$5\hat{i} - 9\hat{j} + \vec{F}_3 = 0$
$\vec{F}_3 = -(5\hat{i} - 9\hat{j})$
$\vec{F}_3 = -5\hat{i} + 9\hat{j}$

(D) माना द्रव्यमान $m = 5\, kg$ है। द्रव्यमान का भार $W = mg = 5 \times 10 = 50\, N$ है (जहाँ $g = 10\, m/s^2$ लिया गया है)।
जब मध्य-बिंदु पर $50\, N$ का क्षैतिज बल लगाया जाता है,तो रस्सी ऊर्ध्वाधर के साथ $\theta$ कोण पर विक्षेपित हो जाती है।
संतुलन की स्थिति में,उस बिंदु पर कार्य करने वाले बल जहाँ बल लगाया गया है,वे हैं:
$1$. दाईं ओर कार्य करने वाला क्षैतिज बल $F = 50\, N$।
$2$. बाईं ओर कार्य करने वाला तनाव घटक $T \sin \theta$।
$3$. ऊपर की ओर कार्य करने वाला तनाव घटक $T \cos \theta$।
$4$. नीचे की ओर कार्य करने वाला भार $W = 50\, N$।
क्षैतिज दिशा में संतुलन के लिए: $T \sin \theta = F = 50\, N$।
ऊर्ध्वाधर दिशा में संतुलन के लिए: $T \cos \theta = W = 50\, N$।
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर: $\frac{T \sin \theta}{T \cos \theta} = \frac{50}{50} \Rightarrow \tan \theta = 1$।
अतः,$\theta = \tan^{-1}(1) = 45^o$।

(B) दिया गया है कि तीन बलों का योग शून्य है,$\vec F_1 + \vec F_2 + \vec F_3 = 0$,जिसका अर्थ है $\vec F_1 = -(\vec F_2 + \vec F_3)$।
इसका मतलब है कि तीनों बल एक बंद त्रिभुज बनाते हैं जब उन्हें एक-दूसरे के पीछे रखा जाता है।
इनका परिमाण $F_1 = 100\,N$,$F_2 = 80\,N$ और $F_3 = 60\,N$ है।
चूंकि $60^2 + 80^2 = 3600 + 6400 = 10000 = 100^2$,इसलिए ये बल एक समकोण त्रिभुज बनाते हैं।
मान लीजिए $\theta$,$\vec F_1$ और $\vec F_2$ के बीच का कोण है। सदिश त्रिभुज में,$\vec F_1$ और $\vec F_2$ के बीच का कोण उस शीर्ष पर बाह्य कोण है जहाँ वे मिलते हैं।
त्रिभुज की ज्यामिति से,$60\,N$ परिमाण वाली भुजा के सम्मुख अंतःकोण $\alpha$ है,जहाँ $\sin \alpha = 60/100 = 0.6$,इसलिए $\alpha = 37^o$ है।
सदिशों $\vec F_1$ और $\vec F_2$ के बीच का कोण $180^o - \alpha = 180^o - 37^o = 143^o$ है।

(D) मान लीजिए कि रस्सी में तनाव $T$ है और रस्सी क्षैतिज के साथ $\theta$ कोण बनाती है।
मध्य बिंदु पर $m = 15\, kg$ भार के संतुलन में रहने के लिए,तनाव के ऊर्ध्वाधर घटकों को भार को संतुलित करना चाहिए:
$2T \sin \theta = mg$
तनाव $T$ के लिए हल करने पर:
$T = \frac{mg}{2 \sin \theta}$
रस्सी को पूरी तरह से सीधा करने के लिए,रस्सी को क्षैतिज होना चाहिए,जिसका अर्थ है कि कोण $\theta = 0^\circ$ होना चाहिए।
जैसे ही $\theta \to 0^\circ$,$\sin \theta \to 0$ होता है।
इसलिए,$T = \frac{mg}{2 \times 0} = \infty$।
अतः,रस्सी को पूरी तरह से क्षैतिज बनाने के लिए अनंत तनाव की आवश्यकता होती है।

(D) पिंड एक चिकनी क्षैतिज सतह पर स्थित है। पिंड पर कार्य करने वाले बल नीचे की ओर गुरुत्वाकर्षण बल $mg$,ऊपर की ओर अभिलंब प्रतिक्रिया $N$,और क्षैतिज के साथ $\alpha$ कोण पर लगाया गया बल $F = kt$ हैं।
बल $F$ को घटकों में वियोजित करने पर,ऊर्ध्वाधर घटक $F_y = F \sin \alpha = kt \sin \alpha$ ऊपर की ओर कार्य करता है।
ऊर्ध्वाधर दिशा में गति का समीकरण $N + F \sin \alpha = mg$ है।
पिंड सतह को तब छोड़ता है जब अभिलंब प्रतिक्रिया $N$ शून्य हो जाती है।
$N = 0$ रखने पर,हमें $kt \sin \alpha = mg$ प्राप्त होता है।
समय $t$ के लिए हल करने पर,$t = \frac{mg}{k \sin \alpha}$ प्राप्त होता है।

(D) बेलन के संतुलन में रहने के लिए,क्षैतिज दिशा में कुल बल शून्य होना चाहिए।
मान लीजिए कि किनारे $A$ पर अभिलंब प्रतिक्रिया $N_A$ है और किनारे $B$ पर अभिलंब प्रतिक्रिया $N_B$ है।
एक चिकने बेलन की सतह पर किसी भी बिंदु पर अभिलंब प्रतिक्रिया उस बिंदु से गुजरने वाली त्रिज्या के अनुदिश कार्य करती है।
अभिलंब बलों को क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर घटकों में वियोजित करने पर:
$N_A$ का क्षैतिज घटक $N_A \sin 60^{\circ}$ है (दाहिनी ओर)।
$N_B$ का क्षैतिज घटक $N_B \sin 30^{\circ}$ है (बाईं ओर)।
क्षैतिज संतुलन के लिए:
$N_A \sin 60^{\circ} = N_B \sin 30^{\circ}$
$\sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ और $\sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}$ का मान रखने पर:
$N_A \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = N_B \cdot \frac{1}{2}$
दोनों पक्षों को $2$ से गुणा करने पर:
$\sqrt{3} N_A = N_B$

(B) निकाय के संतुलन में होने के लिए,$x$ और $y$ दोनों दिशाओं में सभी बलों का योग शून्य होना चाहिए।
$x$-दिशा में बलों को वियोजित करने पर:
$\Sigma F_x = 0 \Rightarrow x + 5 \cos 53^\circ - y \sin 35^\circ = 0$
$\Rightarrow x + 3 - \frac{4y}{5} = 0 \Rightarrow 5x + 15 - 4y = 0$
$y$-दिशा में बलों को वियोजित करने पर:
$\Sigma F_y = 0 \Rightarrow 10 - 5 \sin 53^\circ - y \cos 35^\circ = 0$
$\Rightarrow 10 - 4 - \frac{3y}{5} = 0 \Rightarrow 6 = \frac{3y}{5} \Rightarrow y = 10$
$y = 10$ का मान रखने पर,$x = 5$ प्राप्त होता है।

(C) सदिश योग के त्रिभुज नियम के अनुसार,यदि तीन बलों को एक ही क्रम में लिए गए त्रिभुज की भुजाओं द्वारा दर्शाया जाता है,तो उनका परिणामी बल शून्य होता है।
दिए गए त्रिभुज $PQR$ में,बल $\overrightarrow{PQ}$,$\overrightarrow{QR}$ और $\overrightarrow{RP}$ हैं।
चूंकि वे एक ही क्रम में हैं,इसलिए कुल बल $\overrightarrow{F}_{net} = \overrightarrow{PQ} + \overrightarrow{QR} + \overrightarrow{RP} = \overrightarrow{0}$ है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,$\overrightarrow{F}_{net} = m\overrightarrow{a}$ होता है।
चूंकि $\overrightarrow{F}_{net} = \overrightarrow{0}$ है,इसलिए त्वरण $\overrightarrow{a} = \overrightarrow{0}$ होगा।
अतः,कण का वेग $\overrightarrow{V}$ स्थिर रहेगा।

(B) रस्सी के सिरे पर लटके भार $W$ के संतुलन पर विचार करें।
स्पष्ट है कि,रस्सी के निचले हिस्से में तनाव $T_{2}$ को द्रव्यमान के भार को संतुलित करना चाहिए।
$T_{2} = m \times g = 6 \; kg \times 10 \; m s^{-2} = 60 \; N$.
अब,बिंदु $P$ पर कार्य करने वाले तीन बलों - रस्सी के ऊपरी हिस्से में तनाव $T_{1}$,रस्सी के निचले हिस्से में तनाव $T_{2}$,और $50 \; N$ का क्षैतिज बल - के तहत बिंदु $P$ के संतुलन पर विचार करें।
संतुलन के लिए बिंदु $P$ पर परिणामी बल के क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर घटक अलग-अलग शून्य होने चाहिए।
ऊर्ध्वाधर घटकों के लिए: $T_{1} \cos \theta = T_{2} = 60 \; N$.
क्षैतिज घटकों के लिए: $T_{1} \sin \theta = 50 \; N$.
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर,हमें मिलता है:
$\frac{T_{1} \sin \theta}{T_{1} \cos \theta} = \frac{50}{60} \implies \tan \theta = \frac{5}{6}$.
इसलिए,$\theta = \tan^{-1}\left(\frac{5}{6}\right) \approx 39.8^{\circ}$,जो लगभग $40^{\circ}$ है।

(N/A) $7^{\text{th}}$ सिक्के पर उसके ऊपर रखे तीन सिक्कों $(8^{\text{th}}, 9^{\text{th}}, 10^{\text{th}})$ के भार के कारण बल लगता है।
एक सिक्के का भार $= mg$.
तीन सिक्कों का भार $= 3mg$.
अतः,$7^{\text{th}}$ सिक्के पर उसके ऊपर के तीन सिक्कों द्वारा लगाया गया बल $3mg$ है। यह बल ऊर्ध्वाधर नीचे की ओर कार्य करता है।
$(b)$ $8^{\text{th}}$ सिक्के द्वारा $7^{\text{th}}$ सिक्के पर लगाया गया बल $7^{\text{th}}$ सिक्के के ऊपर रखे सभी सिक्कों $(8^{\text{th}}, 9^{\text{th}}, 10^{\text{th}})$ के कुल भार के बराबर होता है।
कुल भार $= mg + mg + mg = 3mg$.
अतः,$8^{\text{th}}$ सिक्के द्वारा $7^{\text{th}}$ सिक्के पर लगाया गया बल $3mg$ है जो ऊर्ध्वाधर नीचे की ओर कार्य करता है।
$(c)$ $6^{\text{th}}$ सिक्का अपने ऊपर रखे सभी सिक्कों $(7^{\text{th}}, 8^{\text{th}}, 9^{\text{th}}, 10^{\text{th}})$ के भार को संभालता है।
$6^{\text{th}}$ सिक्के द्वारा संभाला गया कुल भार $= 4mg$.
न्यूटन के गति के तीसरे नियम के अनुसार,$6^{\text{th}}$ सिक्का $7^{\text{th}}$ सिक्के पर समान और विपरीत प्रतिक्रिया बल लगाता है।
इसलिए,$6^{\text{th}}$ सिक्के की $7^{\text{th}}$ सिक्के पर प्रतिक्रिया बल $4mg$ है जो ऊर्ध्वाधर ऊपर की ओर कार्य करता है।

(D) मान लीजिए $N_B$ और $N_C$ फर्श द्वारा क्रमशः बिंदु $B$ और $C$ पर सीढ़ी पर लगाए गए अभिलंब बल हैं। मान लीजिए $T$ रस्सी $DE$ में तनाव है।
दिया गया है: $BA = CA = 1.6 \; m$,$DE = 0.5 \; m$,$BF = 1.2 \; m$,$m = 40 \; kg$.
चूंकि $D$ और $E$ क्रमशः $AB$ और $AC$ के मध्य बिंदु हैं,$DE$,$BC$ के समानांतर है और $DE = \frac{1}{2} BC$ है। अतः,$BC = 2 \times DE = 1.0 \; m$.
मान लीजिए $I$,$BC$ का मध्य बिंदु है। $AI$,$\triangle ABC$ का शीर्षलंब है। $BI = IC = 0.5 \; m$.
$AF = BA - BF = 1.6 - 1.2 = 0.4 \; m$.
चूंकि $D$,$AB$ का मध्य बिंदु है,$AD = 0.8 \; m$ है। $F$,$A$ से $0.4 \; m$ की दूरी पर है,इसलिए $F$,$AD$ का मध्य बिंदु है।
मान लीजिए $H$,$DE$ और $AI$ का प्रतिच्छेदन बिंदु है। $DH = \frac{1}{2} BI = 0.25 \; m$.
मान लीजिए $G$,$AI$ पर $F$ का प्रक्षेप है। चूंकि $F$,$AD$ का मध्य बिंदु है,$FG = \frac{1}{2} DH = 0.125 \; m$ और $AG = \frac{1}{2} AH$ है।
$\triangle ADH$ में,$AH = \sqrt{AD^2 - DH^2} = \sqrt{0.8^2 - 0.25^2} = \sqrt{0.64 - 0.0625} = \sqrt{0.5775} \approx 0.76 \; m$.
स्थानांतरणीय संतुलन: $N_B + N_C = mg = 40 \times 9.8 = 392 \; N$.
$A$ के परितः घूर्णी संतुलन: $N_B \times BI - N_C \times IC + mg \times FG = 0$ (दक्षिणावर्त को धनात्मक लेते हुए)।
$N_B(0.5) - N_C(0.5) + 392(0.125) = 0 \implies 0.5(N_C - N_B) = 49 \implies N_C - N_B = 98$.
$N_B + N_C = 392$ और $N_C - N_B = 98$ को हल करने पर,हमें $N_C = 245 \; N$ और $N_B = 147 \; N$ प्राप्त होता है।
भुजा $AB$ के लिए,$A$ के परितः आघूर्ण लेने पर: $N_B \times BI - mg \times FG - T \times AG = 0$.
$147 \times 0.5 - 392 \times 0.125 - T \times (0.76/2) = 0$.
$73.5 - 49 = T \times 0.38 \implies 24.5 = 0.38T \implies T \approx 64.47 \; N$.

(C) आवश्यक बलों की न्यूनतम संख्या $3$ है।
यदि इन तीनों बलों को एक ही क्रम में त्रिभुज की भुजाओं द्वारा दर्शाया जाए,तो उनका परिणामी बल शून्य होता है।
यह सदिश योग के त्रिभुज नियम पर आधारित है,जहाँ $\vec{F}_1 + \vec{F}_2 + \vec{F}_3 = 0$ होता है।

(N/A) किसी स्थिर वस्तु को गति में लाने या गतिमान वस्तु को रोकने के लिए बल की आवश्यकता होती है। वस्तु के भौतिक संपर्क में होना हमेशा आवश्यक नहीं है। अतः,बल मुख्य रूप से दो प्रकार के होते हैं:
$(i)$ संपर्क बल (Contact Force):
संपर्क बल में वस्तुओं के बीच भौतिक अंतःक्रिया होती है। किसी अन्य वस्तु के साथ संपर्क के कारण वस्तु की गति या विराम की अवस्था बदली जा सकती है।
संपर्क बल संपर्क में रहने वाली दोनों वस्तुओं पर कार्य करता है।
संपर्क बल धक्का या खिंचाव हो सकता है।
उदाहरण: मेज पर रखे ब्लॉक को धक्का दिया जा सकता है या खींचा जा सकता है। यहाँ,संपर्क बल ब्लॉक और मेज दोनों पर कार्य करता है।
$(ii)$ क्षेत्र बल (Field Force):
जब कोई वस्तु गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र,चुंबकीय क्षेत्र या विद्युत क्षेत्र में होती है,तो वह क्षेत्र के कारण बल का अनुभव करती है।
क्षेत्र बल में वस्तुओं के बीच कोई भौतिक अंतःक्रिया नहीं होती है।
चुंबकीय बल,विद्युत बल या गुरुत्वाकर्षण बल क्षेत्र बल के उदाहरण हैं।
उदाहरण $1$: किसी इमारत की छत से स्वतंत्र रूप से गिरती हुई वस्तु पृथ्वी के गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र के कारण त्वरित गति करती है। यहाँ,पृथ्वी और गतिमान वस्तु के बीच कोई भौतिक संपर्क नहीं है,फिर भी इसमें त्वरित गति होती है।
उदाहरण $2$: जब कील को छड़ चुंबक के पास रखा जाता है,तो वह चुंबकीय क्षेत्र के कारण आकर्षित होती है।

(N/A) समानता: संपर्क बल और क्षेत्र बल दोनों दो निकायों के बीच पारस्परिक क्रियाएं हैं,जिसका अर्थ है कि न्यूटन के $3^{rd}$ नियम के अनुसार वे हमेशा जोड़े में होते हैं।
अंतर:
$(i)$ संपर्क बल के लिए दो निकायों के बीच भौतिक संपर्क की आवश्यकता होती है (जैसे,घर्षण,अभिलंब बल),जबकि क्षेत्र बल बिना भौतिक संपर्क के दूरी से कार्य करता है (जैसे,गुरुत्वाकर्षण,स्थिर-वैद्युत या चुंबकीय बल)।
$(ii)$ क्षेत्र बल (जैसे गुरुत्वाकर्षण और स्थिर-वैद्युत बल) आमतौर पर संरक्षी बल होते हैं,जबकि संपर्क बल (जैसे घर्षण और वायु प्रतिरोध) आमतौर पर असंरक्षी बल होते हैं।

(N/A) $1$. बल की परिभाषा: बल किसी वस्तु पर लगने वाला वह धक्का या खिंचाव है,जिसमें वस्तु की विराम अवस्था या एकसमान गति की अवस्था को बदलने या उसके आकार या आकृति को बदलने की क्षमता होती है।
$2$. संपर्क बल: संपर्क बल वह बल है जो किसी वस्तु पर तभी कार्य करता है जब वह किसी अन्य वस्तु के भौतिक संपर्क में आती है। उदाहरण के लिए घर्षण बल,तनाव बल और अभिलंब बल।
$3$. क्षेत्र बल (गैर-संपर्क बल): क्षेत्र बल वह बल है जो बिना किसी भौतिक संपर्क के किसी वस्तु पर कार्य करता है,जो आमतौर पर किसी क्षेत्र (जैसे गुरुत्वाकर्षण या विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र) के माध्यम से कार्य करता है। इसके दो उदाहरण हैं:
$(i)$ गुरुत्वाकर्षण बल
(ii) स्थिर विद्युत बल

(B) न्यूटन के गति के प्रथम नियम के अनुसार,कोई पिंड तब तक विराम अवस्था में रहता है या एकसमान वेग से गति करता रहता है जब तक कि उस पर कोई बाहरी असंतुलित बल कार्य न करे।
जब कोई पिंड विराम अवस्था में होता है,तो उस पर कार्य करने वाला कुल बल शून्य होता है।
जब कोई पिंड एकसमान वेग से गति करता है,तो उसका त्वरण शून्य होता है,जिसका अर्थ है कि उस पर कार्य करने वाला कुल बल भी शून्य है।
इसलिए,दोनों स्थितियाँ गतिकी के संदर्भ में भौतिक रूप से समान हैं क्योंकि दोनों ही मामलों में पिंड पर कार्य करने वाला परिणामी (कुल) बल शून्य $(F_{net} = 0)$ होता है।
इस स्थिति को स्थानांतरणीय संतुलन कहा जाता है। किसी पिंड की अपनी विराम अवस्था या एकसमान गति की अवस्था में परिवर्तन का विरोध करने की प्रवृत्ति को जड़त्व कहा जाता है,जिसे पिंड के द्रव्यमान द्वारा मापा जाता है।

(N/A) संगामी बल: यदि दिए गए सभी बलों की कार्य-रेखा एक ही बिंदु से होकर गुजरती है,तो इन बलों को संगामी बल कहा जाता है।
यांत्रिकी में,जब किसी कण पर कार्य करने वाला परिणामी बल शून्य होता है,तो कण संतुलन में कहा जाता है। इस स्थिति में कण या तो स्थिर होता है या एकसमान वेग से गति कर रहा होता है।
यदि किसी कण पर केवल एक बल $\vec{F}$ कार्य करता है,तो उसकी गति त्वरित होती है और वह संतुलन में नहीं रह सकता।
यदि किसी कण पर दो बल $\vec{F}_{1}$ और $\vec{F}_{2}$ कार्य करते हैं,तो संतुलन के लिए $\Sigma \vec{F} = 0$ होता है,जिसका अर्थ है:
$\vec{F}_{1} + \vec{F}_{2} = 0$
$\therefore \vec{F}_{1} = -\vec{F}_{2}$
यदि किसी कण पर तीन बल $\vec{F}_{1}, \vec{F}_{2},$ और $\vec{F}_{3}$ कार्य करते हैं,तो संतुलन के लिए $\Sigma \vec{F} = 0$:
$\vec{F}_{1} + \vec{F}_{2} + \vec{F}_{3} = 0$
$\therefore \vec{F}_{3} = -(\vec{F}_{1} + \vec{F}_{2})$
बलों के समांतर चतुर्भुज नियम के अनुसार,$\vec{F}_{1}$ और $\vec{F}_{2}$ का परिणामी बल विकर्ण द्वारा दर्शाया जाता है। जब समान परिमाण का बल $\vec{F}_{3}$ विपरीत दिशा में लगाया जाता है,तो कण संतुलन में होगा। सदिशों के त्रिभुज नियम के अनुसार:
$\vec{PQ} + \vec{QR} + \vec{RP} = 0$
$\therefore \vec{F}_{1} + \vec{F}_{2} + \vec{F}_{3} = 0$
$\therefore \Sigma \vec{F} = 0$

(N/A) किसी कण के दो बलों के प्रभाव में संतुलन में रहने के लिए,कण पर कार्य करने वाला कुल बल शून्य होना चाहिए।
मान लीजिए कि दो बल $\vec{F}_1$ और $\vec{F}_2$ हैं।
संतुलन के लिए शर्त $\vec{F}_1 + \vec{F}_2 = 0$ है।
इसका तात्पर्य यह है कि $\vec{F}_1 = -\vec{F}_2$ है।
अतः,दोनों बल परिमाण में समान,दिशा में विपरीत और एक ही क्रिया रेखा पर कार्य करने चाहिए।

(N/A) जब कोई कण तीन बलों $\vec{F_1}$,$\vec{F_2}$ और $\vec{F_3}$ के प्रभाव में संतुलन में होता है,तो इन बलों का सदिश योग शून्य होना चाहिए।
गणितीय रूप से,इसे इस प्रकार व्यक्त किया जाता है: $\vec{F_1} + \vec{F_2} + \vec{F_3} = 0$.
ज्यामितीय रूप से,इसका अर्थ यह है कि तीनों बल सदिशों को जब एक के बाद एक (head-to-tail) रखा जाता है,तो उन्हें एक बंद त्रिभुज बनाना चाहिए। इसे संतुलन का त्रिभुज नियम कहा जाता है।

(N/A) यदि किसी कण पर कार्य करने वाला कुल बाह्य बल शून्य है,तो उस कण को स्थानांतरणीय संतुलन में कहा जाता है।
गणितीय रूप से,इसे इस प्रकार व्यक्त किया जाता है:
$\sum \vec{F} = 0$
जहाँ $\sum \vec{F}$ कण पर कार्य करने वाले सभी बाह्य बलों का सदिश योग है।
कार्तीय घटकों के संदर्भ में,इसका अर्थ है:
$\sum F_x = 0$,$\sum F_y = 0$,और $\sum F_z = 0$.

(N/A) यांत्रिकी में बलों को मुख्य रूप से दो श्रेणियों में वर्गीकृत किया गया है: क्षेत्र बल और संपर्क बल।
$1$. क्षेत्र बल: ये बल बिना किसी भौतिक संपर्क के दूरी से कार्य करते हैं। उदाहरणों में गुरुत्वाकर्षण बल,विद्युत बल और विद्युत चुम्बकीय बल शामिल हैं।
$2$. संपर्क बल: ये बल दो वस्तुओं के बीच भौतिक संपर्क के कारण उत्पन्न होते हैं। उदाहरण:
- अभिलंब बल (Normal Force): जब कोई वस्तु किसी सतह पर रखी होती है,तो सतह के लंबवत लगने वाले संपर्क बल के घटक को अभिलंब बल $(N)$ कहा जाता है।
- घर्षण बल (Frictional Force): सतह के समानांतर लगने वाले संपर्क बल के घटक को घर्षण बल $(f)$ कहा जाता है।
- तनाव बल (Tension): जब किसी डोरी,रस्सी या केबल को विपरीत सिरों से खींचा जाता है,तो उसमें उत्पन्न होने वाला बल।
- प्रत्यानयन बल (स्प्रिंग बल): जब किसी स्प्रिंग पर बाहरी बल लगाया जाता है,तो उसमें एक प्रत्यानयन बल विकसित होता है जो उसे मूल आकार में लाने का प्रयास करता है। यह बल लंबाई में परिवर्तन $(x)$ के समानुपाती होता है और इसे समीकरण $F = -kx$ द्वारा दिया जाता है। ऋणात्मक चिह्न यह दर्शाता है कि प्रत्यानयन बल विस्थापन की विपरीत दिशा में कार्य करता है।

(N/A) फ्री बॉडी डायग्राम $(FBD)$ भौतिकी में किसी वस्तु पर कार्य करने वाले बलों का विश्लेषण करने के लिए उपयोग किया जाने वाला एक आरेख है।
$1$. यह किसी वस्तु को उसके परिवेश से अलग करके दर्शाता है।
$2$. वस्तु पर कार्य करने वाले सभी बाहरी बलों को वस्तु के द्रव्यमान केंद्र से उत्पन्न होने वाले सदिशों के रूप में दर्शाया जाता है।
$3$. इन बलों में आमतौर पर गुरुत्वाकर्षण (भार),अभिलंब बल,तनाव,घर्षण और अनुप्रयुक्त बल शामिल होते हैं।
$4$. $FBD$ न्यूटन के गति के दूसरे नियम,$\sum \vec{F} = m\vec{a}$ को लागू करके अज्ञात बलों या त्वरण को ज्ञात करने में मदद करता है।

(A) हाँ,एक स्थिर वस्तु स्थिर रह सकती है यदि उस पर कई बाहरी बल कार्य कर रहे हों। न्यूटन के गति के प्रथम नियम के अनुसार,यदि किसी वस्तु पर कार्य करने वाला कुल बाहरी बल शून्य है,तो वस्तु अपनी विरामावस्था को बनाए रखती है। यदि सभी लागू बलों का सदिश योग $\sum \vec{F} = 0$ है,तो वस्तु स्थिर बनी रहेगी।

(D) किसी वस्तु को संतुलन में तब कहा जाता है जब उस पर कार्य करने वाला कुल बाह्य बल शून्य $(F_{net} = 0)$ हो।
इसका अर्थ यह है कि वस्तु का त्वरण शून्य $(a = 0)$ है।
इसलिए,यदि वस्तु विराम अवस्था में है,तो वह विराम में ही रहती है,और यदि वह गति में है,तो वह एकसमान वेग से गति करना जारी रखती है।

(C) किसी पिंड को यांत्रिक संतुलन में तब कहा जाता है जब उस पर कार्य करने वाला कुल बाह्य बल और कुल बाह्य बल आघूर्ण (टॉर्क) दोनों शून्य हों।
गणितीय रूप से,यांत्रिक संतुलन के लिए:
$1$. सभी बाह्य बलों का सदिश योग शून्य होना चाहिए: $\sum \vec{F}_{ext} = 0$।
$2$. किसी भी बिंदु के परितः सभी बाह्य बल आघूर्णों का सदिश योग शून्य होना चाहिए: $\sum \vec{\tau}_{ext} = 0$।
यदि ये शर्तें पूरी होती हैं,तो पिंड में कोई रेखीय त्वरण और कोई कोणीय त्वरण नहीं होगा।

(B) यदि कोई कण स्थिर है या एकसमान वेग से गति कर रहा है,तो उसे संतुलन में कहा जाता है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,कण पर कार्य करने वाला कुल बल $F_{net} = ma$ होता है।
कण के संतुलन में रहने के लिए,उसका त्वरण $a$ शून्य $(a = 0)$ होना चाहिए।
अतः,कण पर कार्य करने वाला कुल बल शून्य $(F_{net} = 0)$ होना चाहिए।

(N/A) जब किसी कण पर एक से अधिक बल कार्य कर रहे हों,तो वह कण संतुलन में तब होता है जब उस पर कार्य करने वाले सभी बलों का सदिश योग शून्य हो।
गणितीय रूप में,इसे $\Sigma \vec{F} = 0$ द्वारा व्यक्त किया जाता है।
चूंकि बल एक सदिश राशि है,इसलिए इस शर्त का अर्थ यह है कि प्रत्येक निर्देशांक अक्ष के अनुदिश बलों के घटकों का योग शून्य होना चाहिए:
$\Sigma F_{x} = 0$,$\Sigma F_{y} = 0$ और $\Sigma F_{z} = 0$।

(N/A) चूंकि पिंड एकसमान चाल (नियत वेग) से गति कर रहा है,इसलिए इसका त्वरण शून्य है,अर्थात $\vec{a} = 0$। न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,पिंड पर कार्य करने वाला कुल बल $\vec{F}_{net} = m\vec{a} = 0$ है। अतः,$\vec{F_1} + \vec{F_2} + \vec{F_3} = 0$।
$(a)$ चूंकि तीनों बलों का योग शून्य है,इसलिए जब उन्हें एक के बाद एक रखा जाता है तो वे एक बंद त्रिभुज बनाते हैं। त्रिभुज एक द्वि-आयामी आकृति है,जिसका अर्थ है कि तीनों सदिश एक ही तल में होने चाहिए। इसलिए,बल समतलीय हैं।
$(b)$ किसी बिंदु $O$ के परितः बल-आघूर्ण $\vec{\tau} = \sum (\vec{r_i} \times \vec{F_i})$ द्वारा दिया जाता है। चूंकि सभी बल बिंदु $P$ पर कार्य करते हैं,इसलिए $P$ के सापेक्ष सभी बलों के अनुप्रयोग बिंदु का स्थिति सदिश शून्य है। अतः,बिंदु $P$ के परितः बल-आघूर्ण शून्य है। किसी अन्य बिंदु $O$ के लिए,कुल बल-आघूर्ण $\vec{\tau}_O = \vec{OP} \times (\vec{F_1} + \vec{F_2} + \vec{F_3})$ है। चूंकि $\vec{F_1} + \vec{F_2} + \vec{F_3} = 0$ है,इसलिए किसी भी बिंदु $O$ के परितः बल-आघूर्ण भी शून्य होता है।

(N/A) बिंदु $P$ पर कार्य करने वाले बल $1 \text{ N}$ (ऊर्ध्वाधर से $45^{\circ}$ कोण पर),$2 \text{ N}$ (ऊर्ध्वाधर से $45^{\circ}$ कोण पर),$F_2$ (क्षैतिज दिशा में) और $F_1$ (ऊर्ध्वाधर नीचे की ओर) हैं।
निकाय के संतुलन में होने के लिए,कुल बल शून्य होना चाहिए: $\sum \overrightarrow{F} = 0$.
बलों को क्षैतिज ($x$-अक्ष) और ऊर्ध्वाधर ($y$-अक्ष) दिशाओं में वियोजित करने पर:
$\sum F_x = 0 \implies F_2 + 1 \cos 45^{\circ} - 2 \cos 45^{\circ} = 0$
$F_2 + \frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{2}{\sqrt{2}} = 0$
$F_2 - \frac{1}{\sqrt{2}} = 0 \implies F_2 = \frac{1}{\sqrt{2}} \text{ N} \approx 0.707 \text{ N}$.
$\sum F_y = 0 \implies 1 \sin 45^{\circ} + 2 \sin 45^{\circ} - F_1 = 0$
$F_1 = 3 \sin 45^{\circ} = 3 \times \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{3}{\sqrt{2}} \text{ N} \approx 2.121 \text{ N}$.

(N/A) लीवर का यांत्रिक लाभ $(MA)$,लोड बल $(L)$ और प्रयास बल $(E)$ के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
गणितीय रूप से,इसे इस प्रकार व्यक्त किया जाता है:
$MA = \frac{L}{E}$
वैकल्पिक रूप से,फलक्रम (fulcrum) से दूरी के संदर्भ में,यह प्रयास भुजा की लंबाई $(d_E)$ और लोड भुजा की लंबाई $(d_L)$ का अनुपात है:
$MA = \frac{d_E}{d_L}$
$1$ से अधिक यांत्रिक लाभ यह दर्शाता है कि लीवर इनपुट बल को बढ़ा देता है,जिससे भारी भार उठाना आसान हो जाता है।

(D) सदिश योग के त्रिभुज नियम के अनुसार,यदि तीन बल $\vec{F}_{1}, \vec{F}_{2}$ और $\vec{F}_{3}$ को एक ही क्रम में लिए गए त्रिभुज की भुजाओं द्वारा दर्शाया जाता है,तो उनका परिणामी शून्य होता है,अर्थात $\vec{F}_{1} + \vec{F}_{2} + \vec{F}_{3} = 0$।
इसका अर्थ है कि $\vec{F}_{1} + \vec{F}_{2} = -\vec{F}_{3}$।
चूंकि कुल बल $\vec{F}_{net} = \vec{F}_{1} + \vec{F}_{2} + \vec{F}_{3} = 0$ है,इसलिए निकाय स्थानांतरणीय संतुलन में है।
कथन-$I$ सही है क्योंकि एक बंद त्रिभुज बनाने वाले बल संगामी होते हैं (या उन्हें संगामी बनाने के लिए स्थानांतरित किया जा सकता है) और उनका योग शून्य होता है,जो संतुलन की स्थिति को संतुष्ट करता है।
कथन-$II$ भी सही है क्योंकि त्रिभुज के चारों ओर एक ही क्रम में लिए गए बलों का योग शून्य होता है,जो स्थानांतरणीय संतुलन के लिए आवश्यक शर्त है।
अतः,दोनों कथन सही हैं।

(D) मान लीजिए कि रस्सी के ऊपरी आधे भाग में तनाव $T_1$ है और निचले आधे भाग में तनाव $T_2$ है। रस्सी का निचला आधा भाग $m = 10 \, kg$ के द्रव्यमान को सहारा देता है,इसलिए $T_2 = mg = 10 \times 10 = 100 \, N$ है।
मध्य बिंदु पर जहाँ क्षैतिज बल $F = 30 \, N$ लगाया जाता है,हम क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर दिशाओं में बलों के संतुलन पर विचार करते हैं।
क्षैतिज संतुलन के लिए: $T_1 \sin \theta = F = 30 \, N$।
ऊर्ध्वाधर संतुलन के लिए: $T_1 \cos \theta = T_2 = 100 \, N$।
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर: $\frac{T_1 \sin \theta}{T_1 \cos \theta} = \frac{30}{100} \Rightarrow \tan \theta = 0.3$।
दिया गया है कि $\theta = \tan^{-1}(x \times 10^{-1})$,इसलिए $\tan \theta = x \times 10^{-1} = \frac{x}{10}$।
$\tan \theta$ के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर: $\frac{x}{10} = 0.3 \Rightarrow x = 3$।

(A) निकाय का कुल त्वरण शून्य होने के लिए,निकाय पर कार्य करने वाला कुल बल शून्य होना चाहिए।
मान लीजिए कि आवश्यक अतिरिक्त बल $\overrightarrow{F} = F_x \hat{i} + F_y \hat{j}$ है।
निकाय पर कार्य करने वाले बल $5 \hat{i}$ (धनात्मक $x$ के अनुदिश),$-6 \hat{i}$ (ऋणात्मक $x$ के अनुदिश),$7 \hat{j}$ (धनात्मक $y$ के अनुदिश),और $-8 \hat{j}$ (ऋणात्मक $y$ के अनुदिश) हैं।
संतुलन के लिए शर्त $\sum \overrightarrow{F} = 0$ है।
$\overrightarrow{F} + (5 \hat{i} - 6 \hat{i}) + (7 \hat{j} - 8 \hat{j}) = 0$
$\overrightarrow{F} - 1 \hat{i} - 1 \hat{j} = 0$
$\overrightarrow{F} = 1 \hat{i} + 1 \hat{j}$
बल का परिमाण $|\overrightarrow{F}| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} \text{ N}$ है।
धनात्मक $x$-अक्ष के साथ कोण $\theta$,$\tan \theta = \frac{F_y}{F_x} = \frac{1}{1} = 1$ द्वारा दिया जाता है।
अतः,$\theta = 45^{\circ}$।

(D) निकाय के संतुलन में होने के लिए,क्षैतिज $(x)$ और ऊर्ध्वाधर $(y)$ दोनों दिशाओं में कुल बल शून्य होना चाहिए।
मान लीजिए कि क्षैतिज दिशा $x$-अक्ष है और ऊर्ध्वाधर दिशा $y$-अक्ष है।
बलों को घटकों में वियोजित करने पर:
$1$. $x$-अक्ष के साथ $45^{\circ}$ पर $1 \text{ N}$ का बल: $x$-घटक $= 1 \cos 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$,$y$-घटक $= 1 \sin 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
$2$. $x$-अक्ष के साथ $135^{\circ}$ पर $2 \text{ N}$ का बल: $x$-घटक $= 2 \cos 135^{\circ} = -\sqrt{2}$,$y$-घटक $= 2 \sin 135^{\circ} = \sqrt{2}$.
$3$. धनात्मक $x$-अक्ष की दिशा में $F_{1}$ बल: $x$-घटक $= F_{1}$,$y$-घटक $= 0$.
$4$. ऋणात्मक $y$-अक्ष की दिशा में $F_{2}$ बल: $x$-घटक $= 0$,$y$-घटक $= -F_{2}$.
$x$-दिशा में बलों का योग: $F_{1} + \frac{1}{\sqrt{2}} - \sqrt{2} = 0 \implies F_{1} = \sqrt{2} - \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
$y$-दिशा में बलों का योग: $\frac{1}{\sqrt{2}} + \sqrt{2} - F_{2} = 0 \implies F_{2} = \sqrt{2} + \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{3}{\sqrt{2}}$.
अतः,अनुपात $F_{1} : F_{2} = \frac{1}{\sqrt{2}} : \frac{3}{\sqrt{2}} = 1 : 3$.
इस प्रकार,$x = 3$.

(D) आधार बिंदु पर,तनाव $T$ ऊर्ध्वाधर के साथ $30^{\circ}$ के कोण पर कार्य करता है।
पूरी रस्सी के ऊर्ध्वाधर संतुलन के लिए,दोनों सिरों पर तनाव के ऊर्ध्वाधर घटकों को रस्सी के वजन को संतुलित करना चाहिए:
$2T \cos 30^{\circ} = mg$
$T = \frac{mg}{2 \cos 30^{\circ}}$
मान लीजिए $T_1$ रस्सी के सबसे निचले बिंदु पर तनाव है। इस बिंदु पर,तनाव पूरी तरह से क्षैतिज होता है। रस्सी के आधे हिस्से के संतुलन पर विचार करते हुए,आधार पर तनाव का क्षैतिज घटक सबसे निचले बिंदु पर तनाव के बराबर होना चाहिए:
$T_1 = T \sin 30^{\circ}$
$T$ का मान रखने पर:
$T_1 = \left( \frac{mg}{2 \cos 30^{\circ}} \right) \sin 30^{\circ} = \frac{mg}{2} \tan 30^{\circ}$
यहाँ $m = 5 \,kg$,$g = 10 \,m/s^2$,और $\tan 30^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ दिया गया है:
$T_1 = \frac{5 \times 10}{2} \times \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{25}{\sqrt{3}} \approx \frac{25}{1.732} \approx 14.43 \,N$
अतः,सबसे निचले बिंदु पर तनाव लगभग $14 \,N$ है।

(B) निकाय संतुलन में है। मान लीजिए कि निलंबन बिंदु से गुजरने वाली ऊर्ध्वाधर रेखा से $m_1$ के द्रव्यमान केंद्र की दूरी $r_1$ है और $m_2$ की दूरी $r_2$ है।
चूंकि गोले संपर्क में हैं,इसलिए $r_1 + r_2 = 2R$ है।
संपर्क बिंदु के परितः घूर्णी संतुलन के लिए,संपर्क बिंदु से गुजरने वाली ऊर्ध्वाधर अक्ष के परितः दोनों गोलों के भार के कारण लगने वाले आघूर्ण (torques) संतुलित होने चाहिए।
$m_1 g r_1 = m_2 g r_2$
समीकरण में $r_1 = 2R - r_2$ रखने पर:
$m_1 (2R - r_2) = m_2 r_2$
$2 m_1 R - m_1 r_2 = m_2 r_2$
$2 m_1 R = r_2 (m_1 + m_2)$
$r_2 = \frac{2 m_1 R}{m_1 + m_2}$
छोटे कोण $\theta$ के लिए,$\sin \theta \approx \theta = \frac{r_2}{L}$ होता है।
$r_2$ का मान रखने पर:
$\theta = \frac{2 m_1 R}{(m_1 + m_2) L}$

(A) चूंकि खिलौना संतुलन में है (यह हिलता नहीं है),इसलिए इस पर कार्य करने वाला कुल बल शून्य होना चाहिए।
खिलौने पर कार्य करने वाले बल हैं:
$1$. बच्चे द्वारा लगाया गया धकेलने वाला बल $F$।
$2$. खिलौने का वजन $(W = mg)$ जो नीचे की ओर कार्य करता है।
$3$. जमीन द्वारा लगाया गया अभिलंब बल $(N)$ जो ऊपर की ओर कार्य करता है।
$4$. जमीन द्वारा लगाया गया घर्षण बल $(f)$ जो गति का विरोध करने के लिए क्षैतिज रूप से कार्य करता है।
न्यूटन के पहले नियम के अनुसार,संतुलन में किसी वस्तु के लिए उस पर कार्य करने वाले सभी बाहरी बलों का सदिश योग शून्य होना चाहिए।
इसलिए,$\vec{F} + \vec{W} + \vec{N} + \vec{f} = 0$।
इसका मतलब है कि इन चारों बलों का परिणामी बल शून्य है।
विकल्प $(a)$ सही है।

(A) ब्लॉक के संतुलन में रहने के लिए, उस पर कार्य करने वाला कुल बल शून्य होना चाहिए।
ऊर्ध्वाधर दिशा में, लगाए गए बल $F$ का ऊर्ध्वाधर घटक ब्लॉक के भार $(mg)$ को संतुलित करना चाहिए।
बल का ऊर्ध्वाधर घटक $F \sin 45^{\circ}$ है।
ऊर्ध्वाधर बलों को बराबर करने पर: $F \sin 45^{\circ} = mg$.
यहाँ $m = 4 \; kg$ और $g = 10 \; m/s^2$ दिया गया है, इसलिए $mg = 4 \times 10 = 40 \; N$.
मान रखने पर: $F \times \frac{1}{\sqrt{2}} = 40$.
अतः, $F = 40 \sqrt{2} \; N$.

(B) अभिलंब बल ज्ञात करने के लिए,हम ब्लॉक पर ऊर्ध्वाधर (vertical) दिशा में कार्य करने वाले बलों का विश्लेषण करते हैं।
ऊर्ध्वाधर दिशा में कार्य करने वाले बल हैं:
$1$. गुरुत्वाकर्षण बल $mg$ जो नीचे की ओर कार्य करता है।
$2$. जमीन द्वारा ब्लॉक पर लगाया गया अभिलंब बल $N$,जो ऊपर की ओर कार्य करता है।
$3$. लगाए गए बल $F$ का ऊर्ध्वाधर घटक। चूंकि कोण $\theta$ ऊर्ध्वाधर के साथ दिया गया है,इसलिए ऊर्ध्वाधर घटक $F \cos \theta$ होगा,जो ऊपर की ओर कार्य करता है।
ब्लॉक के ऊर्ध्वाधर संतुलन में होने के लिए,ऊपर की ओर लगने वाले बलों का योग नीचे की ओर लगने वाले बलों के योग के बराबर होना चाहिए:
$N + F \cos \theta = mg$
अभिलंब बल $N$ के लिए समीकरण को व्यवस्थित करने पर:
$N = mg - F \cos \theta$
अतः,ब्लॉक द्वारा जमीन पर लगाया गया अभिलंब बल,जमीन द्वारा ब्लॉक पर लगाए गए अभिलंब बल के बराबर होता है,जो $mg - F \cos \theta$ है।
इसलिए,विकल्प $(B)$ सही उत्तर है।

(C) पुस्तक का द्रव्यमान $m = 5 \,kg$ है।
पुस्तक को नीचे की ओर दबाने वाला बल $F = 10 \,N$ है।
पुस्तक पर कार्य करने वाला गुरुत्वाकर्षण बल $W = mg = 5 \times 9.8 = 49 \,N$ है।
चूंकि पुस्तक संतुलन में है,मेज द्वारा लगाया गया अभिलंब बल $N$ कुल नीचे की ओर लगने वाले बल को संतुलित करेगा।
इसलिए,$N = mg + F$।
$N = 49 \,N + 10 \,N = 59 \,N$।
अतः,मेज द्वारा पुस्तक पर लगाया गया अभिलंब बल $59 \,N$ है।

(B) ब्लॉक $C$ द्वारा ब्लॉक $B$ पर लगाए गए बल को ज्ञात करने के लिए,हमें ब्लॉक $C$ के ऊपर की प्रणाली पर कार्य करने वाले बलों पर विचार करना होगा।
ब्लॉक $B$,ब्लॉक $A$ को सहारा देता है और इसका अपना वजन भी होता है।
ब्लॉक $B$ द्वारा ब्लॉक $A$ पर लगाया गया अभिलंब बल $N_1$,ब्लॉक $A$ के वजन के बराबर है,इसलिए $N_1 = m_1 g$।
न्यूटन के गति के तीसरे नियम के अनुसार,ब्लॉक $A$ नीचे की ओर ब्लॉक $B$ पर समान और विपरीत बल $N_1$ लगाता है।
अब,ब्लॉक $B$ के फ्री-बॉडी डायग्राम पर विचार करें। ब्लॉक $B$ पर नीचे की ओर कार्य करने वाले बल इसका अपना वजन $(m_2 g)$ और ब्लॉक $A$ द्वारा लगाया गया बल $(N_1 = m_1 g)$ हैं।
मान लीजिए $N_2$ ब्लॉक $C$ द्वारा ब्लॉक $B$ पर लगाया गया अभिलंब बल (ऊपर की ओर) है।
ब्लॉक $B$ के संतुलन में रहने के लिए,ऊपर की ओर लगने वाला बल नीचे की ओर लगने वाले बलों को संतुलित करना चाहिए:
$N_2 = m_2 g + N_1$
$N_2 = m_2 g + m_1 g$
$N_2 = (m_1 + m_2) g$
अतः,ब्लॉक $C$ द्वारा ब्लॉक $B$ पर लगाया गया बल $(m_1 + m_2) g$ है।

(C) सही उत्तर $(C)$ है।
कोई वस्तु तभी विराम अवस्था में रह सकती है यदि उस पर कार्य करने वाला कुल बल (नेट फोर्स) शून्य हो।
इसका अर्थ यह नहीं है कि वस्तु पर कोई बल कार्य नहीं कर रहा है; बल्कि इसका अर्थ यह है कि वस्तु पर कार्य करने वाले सभी व्यक्तिगत बलों का सदिश योग शून्य है।
$\vec{F}_{\text{net}} = \vec{F}_1 + \vec{F}_2 + \vec{F}_3 + \dots + \vec{F}_n = 0$.
उदाहरण के लिए,मेज पर रखी एक पुस्तक पर गुरुत्वाकर्षण बल (नीचे की ओर) और अभिलंब बल (ऊपर की ओर) कार्य करते हैं,जो एक-दूसरे को संतुलित करते हैं।

(C) यदि किसी वस्तु पर कार्य करने वाला कुल बल शून्य है,तो वह वस्तु संतुलन की स्थिति में होती है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,$\vec{F}_{\text{net}} = m\vec{a}$।
यदि $\vec{F}_{\text{net}} = 0$ है,तो $m\vec{a} = 0$ होगा,जिसका अर्थ है कि $\vec{a} = 0$ (क्योंकि द्रव्यमान $m \neq 0$ है)।
इसलिए,वस्तु का कुल त्वरण शून्य होना चाहिए।
संतुलन का अर्थ यह नहीं है कि वस्तु स्थिर ही हो (वह एकसमान वेग से गति भी कर सकती है) या उस पर कोई बल कार्य नहीं कर रहा है (कई बल कार्य कर सकते हैं जिनका सदिश योग शून्य हो)।

(D) $m$ द्रव्यमान की वस्तु के स्थिर रहने के लिए,उस पर कार्य करने वाला कुल बल शून्य होना चाहिए।
वस्तु पर तीन बल कार्य करते हैं: क्षैतिज बल $F$,नीचे की ओर कार्य करने वाला गुरुत्वाकर्षण बल $mg$,और डोरी में तनाव $T$।
संतुलन की स्थिति के अनुसार,इन बलों का सदिश योग शून्य होना चाहिए:
$\vec{F} + m\vec{g} + \vec{T} = 0$
$\vec{T} = -(\vec{F} + m\vec{g})$
तनाव $T$ का परिमाण क्षैतिज बल $F$ और ऊर्ध्वाधर भार $mg$ के सदिश योग द्वारा दिया जाता है,जो एक-दूसरे पर $90^{\circ}$ के कोण पर कार्य करते हैं:
$T = \sqrt{F^2 + (mg)^2}$
$T = \sqrt{F^2 + m^2g^2}$
अतः,डोरी द्वारा ब्लॉक पर लगाया गया बल $\sqrt{F^2 + m^2g^2}$ है।

(B) व्यक्ति और बैग द्वारा फर्श पर लगाया गया कुल नीचे की ओर बल उनके भार के योग के बराबर होता है।
व्यक्ति का भार $(W_m)$ = $m \times g = 50 \,kg \times 9.8 \,m/s^2 = 490 \,N$.
बैग का भार $(W_b)$ = $40 \,N$.
कुल नीचे की ओर बल $(F_{total})$ = $W_m + W_b = 490 \,N + 40 \,N = 530 \,N$.
न्यूटन के गति के तीसरे नियम के अनुसार,फर्श व्यक्ति के पैरों पर समान और विपरीत दिशा में अभिलंब बल $(N)$ लगाता है।
अतः,$N = 530 \,N$.

(D) मान लीजिए कि रस्सी में तनाव $T$ है और रस्सी ऊर्ध्वाधर के साथ $\theta$ कोण बनाती है।
भार $Mg$ के संतुलन के लिए,तनाव के ऊर्ध्वाधर घटकों को भार को संतुलित करना चाहिए:
$2T \cos \theta = Mg$
$T = \frac{Mg}{2 \cos \theta}$
रस्सी को पूरी तरह से सीधा करने के लिए,ऊर्ध्वाधर के साथ कोण $\theta$ $90^{\circ}$ हो जाना चाहिए।
तनाव के व्यंजक में $\theta = 90^{\circ}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$T = \frac{Mg}{2 \cos 90^{\circ}} = \frac{Mg}{2 \times 0} = \infty$
अतः,रस्सी को पूरी तरह से क्षैतिज (सीधा) बनाने के लिए अनंत तनाव की आवश्यकता होती है।

(B) $10\,kg$ के ब्लॉक को सहारा देने वाली डोरी में तनाव $T = mg = 10 \times 10 = 100\,N$ है।
घिरनी (pulley) के लिए,नीचे की ओर बल $2T = 2 \times 100 = 200\,N$ है। यह बल $T_1$ और $T_2$ के ऊर्ध्वाधर घटकों द्वारा संतुलित होता है।
मान लीजिए कि क्षैतिज के साथ कोण क्रमशः $60^{\circ}$ और $30^{\circ}$ हैं।
क्षैतिज संतुलन के लिए: $T_1 \cos 60^{\circ} = T_2 \cos 30^{\circ} \implies T_1 \times \frac{1}{2} = T_2 \times \frac{\sqrt{3}}{2} \implies T_1 = \sqrt{3} T_2 \dots(i)$
ऊर्ध्वाधर संतुलन के लिए: $T_1 \sin 60^{\circ} + T_2 \sin 30^{\circ} = 200\,N$.
ऊर्ध्वाधर संतुलन समीकरण में $(i)$ को प्रतिस्थापित करने पर:
$(\sqrt{3} T_2) \sin 60^{\circ} + T_2 \sin 30^{\circ} = 200$
$(\sqrt{3} T_2) \times \frac{\sqrt{3}}{2} + T_2 \times \frac{1}{2} = 200$
$\frac{3}{2} T_2 + \frac{1}{2} T_2 = 200$
$2 T_2 = 200 \implies T_2 = 100\,N$.

(A) पिस्टन को लंबवत रूप से सिलेंडर में गिराने के लिए,पिस्टन पर कार्य करने वाला कुल क्षैतिज बल शून्य होना चाहिए।
मान लीजिए कि दाईं ओर की क्षैतिज दिशा धनात्मक है।
$1$. बल $F_1$ (श्रीमान $A$ द्वारा) ऊर्ध्वाधर के साथ $60^{\circ}$ के कोण पर कार्य करता है। इसका क्षैतिज घटक $F_1 \sin 60^{\circ}$ बाईं ओर है।
$2$. बल $F_2$ (श्रीमान $B$ द्वारा) क्षैतिज के साथ $60^{\circ}$ के कोण पर कार्य करता है। इसका क्षैतिज घटक $F_2 \cos 60^{\circ}$ दाईं ओर है।
$3$. बल $F_3$ (श्रीमान $C$ द्वारा) क्षैतिज रूप से दाईं ओर कार्य करता है।
क्षैतिज दिशा में संतुलन के लिए:
$\sum F_x = 0$
$F_2 \cos 60^{\circ} + F_3 = F_1 \sin 60^{\circ}$
मान $\cos 60^{\circ} = \frac{1}{2}$ और $\sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ रखने पर:
$\frac{F_2}{2} + F_3 = F_1 \frac{\sqrt{3}}{2}$
पूरे समीकरण को $2$ से गुणा करने पर:
$F_2 + 2 F_3 = \sqrt{3} F_1$
अतः,सही संबंध $\sqrt{3} F_1 = F_2 + 2 F_3$ है।

(B) मान लीजिए कि वह जंक्शन बिंदु जहाँ तीनों डोरियाँ मिलती हैं,संतुलन में है।
जंक्शन पर कार्य करने वाले बल हैं:
$1$. तनाव $T_3$ ऊर्ध्वाधर नीचे की ओर कार्य कर रहा है,जो भार $W$ को संतुलित करता है,इसलिए $T_3 = W$ है।
$2$. तनाव $T_1$ क्षैतिज रूप से बाईं ओर कार्य कर रहा है।
$3$. तनाव $T_2$ डोरी $B$ के अनुदिश डोरी $A$ के साथ $135^{\circ}$ के कोण पर कार्य कर रहा है।
बलों को क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर घटकों में वियोजित करने पर:
क्षैतिज संतुलन के लिए: $T_2 \cos(180^{\circ} - 135^{\circ}) = T_1 \implies T_2 \cos(45^{\circ}) = T_1 \implies T_2 / \sqrt{2} = T_1$।
ऊर्ध्वाधर संतुलन के लिए: $T_2 \sin(180^{\circ} - 135^{\circ}) = T_3 \implies T_2 \sin(45^{\circ}) = T_3 \implies T_2 / \sqrt{2} = T_3$।
दोनों समीकरणों की तुलना करने पर,हमें $T_1 = T_2 / \sqrt{2}$ और $T_3 = T_2 / \sqrt{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,$T_1 = T_3$।

(B) मान लीजिए कि कप का केंद्र $O$ है और दोनों गोलों के केंद्र $C_1$ और $C_2$ हैं। कप के केंद्र से प्रत्येक गोले के केंद्र की दूरी $R - r = 3r - r = 2r$ है।
दोनों गोलों के केंद्रों के बीच की दूरी $r + r = 2r$ है।
कप के केंद्र और दोनों गोलों के केंद्रों द्वारा निर्मित त्रिभुज पर विचार करें। यह $2r, 2r, 2r$ भुजाओं वाला एक समबाहु त्रिभुज है।
इस प्रकार,अभिलंब प्रतिक्रिया $N_1$ (कप द्वारा) ऊर्ध्वाधर के साथ जो कोण $\theta$ बनाती है,वह $30^\circ$ है।
एक गोले पर बलों का संतुलन:
ऊर्ध्वाधर संतुलन: $N_1 \cos \theta = mg$
क्षैतिज संतुलन: $N_1 \sin \theta = N_2$,जहाँ $N_2$ दोनों गोलों के बीच की प्रतिक्रिया है।
दिया गया है कि $\theta = 30^\circ$,इसलिए $\sin 30^\circ = 1/2$ है।
अतः,$N_1 (1/2) = N_2$,जिसका अर्थ है कि $N_1 / N_2 = 2$।