The Common Forces and Equilibrium of Concurrent Forces Questions in Hindi

(A) माना परिणामी बल $R = 20 \,N + 30 \,N = 50 \,N$ बिंदु $A$ से $d$ दूरी पर कार्य करता है।
बिंदु $A$ के परितः आघूर्ण (टॉर्क) लेने पर:
$20 \times 0 + 30 \times 1.5 = 50 \times d$
$45 = 50d$
$d = \frac{45}{50} \,m = 0.9 \,m = 90 \,cm$.
अतः,परिणामी बल $A$ से $90 \,cm$ की दूरी पर कार्य करेगा।

(D) माना डोरी $P$ में तनाव $T_P$ है,डोरी $R$ में तनाव $T_R$ है,और डोरी $Q$ में तनाव $T_Q$ है। $M = 60\,kg$ द्रव्यमान डोरी $Q$ द्वारा लटकाया गया है,इसलिए $T_Q = Mg = 60 \times 10 = 600\,N$.
जंक्शन बिंदु पर,बल संतुलन में हैं। बलों को क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर घटकों में वियोजित करने पर:
क्षैतिज घटक: $T_R \cos 30^{\circ} - T_P = 0 \implies T_P = T_R \cos 30^{\circ}$
ऊर्ध्वाधर घटक: $T_R \sin 30^{\circ} - T_Q = 0 \implies T_R \sin 30^{\circ} = 600\,N$
ऊर्ध्वाधर घटक समीकरण से,$T_R = \frac{600}{\sin 30^{\circ}} = \frac{600}{0.5} = 1200\,N$.
अब,$T_R$ का मान क्षैतिज घटक समीकरण में रखने पर:
$T_P = 1200 \times \cos 30^{\circ} = 1200 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 600 \times 1.732 = 1039.2\,N$.
दिए गए विकल्पों के अनुसार,डोरी $P$ में तनाव $103.9\,N$ है।
अतः,सही विकल्प $D$ है.

(A) माना ब्लॉक का द्रव्यमान $m = \sqrt{3} \, kg$ है। ब्लॉक का भार नीचे की ओर $W = mg = \sqrt{3} \times 10 = 10\sqrt{3} \, N$ कार्य करता है।
उस बिंदु के संतुलन पर विचार करें जहाँ डोरी,बल $F$ और भार जुड़े हुए हैं। डोरी में तनाव $T$,ऊर्ध्वाधर दीवार के साथ $30^{\circ}$ का कोण बनाता है।
तनाव $T$ को घटकों में वियोजित करने पर:
ऊर्ध्वाधर घटक: $T \cos 30^{\circ}$ (ऊपर की ओर)
क्षैतिज घटक: $T \sin 30^{\circ}$ (दीवार की ओर)
निकाय के संतुलन में होने के लिए:
$1$. ऊर्ध्वाधर बलों को संतुलित होना चाहिए: $T \cos 30^{\circ} = mg$
$T \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3}$
$T = 10 \times 2 = 20 \, N$
अतः,तनाव $T$ का मान $20 \, N$ है।

(C) गार्डन रोलर पर ऊर्ध्वाधर दिशा में कार्य करने वाले बल अभिलंब प्रतिक्रिया $N$ (ऊपर की ओर),भार $mg$ (नीचे की ओर),और लगाए गए बल का ऊर्ध्वाधर घटक $F \sin 30^{\circ}$ (नीचे की ओर) हैं।
चूंकि रोलर ऊर्ध्वाधर दिशा में संतुलन में है,इसलिए कुल बल शून्य है:
$N - mg - F \sin 30^{\circ} = 0$
$N = mg + F \sin 30^{\circ}$
यहाँ $m = 70\,kg$,$g = 10\,m s^{-2}$,$F = 200\,N$ और $\sin 30^{\circ} = 0.5$ दिया गया है:
$N = (70 \times 10) + (200 \times \sin 30^{\circ})$
$N = 700 + (200 \times 0.5)$
$N = 700 + 100$
$N = 800\,N$

(D) मान लीजिए कि रस्सी के ऊपरी भाग में तनाव $T_1$ है और निचले भाग में तनाव $T_2$ है।
चूंकि $1 \,kg$ का द्रव्यमान संतुलन में है, इसलिए रस्सी के निचले भाग में तनाव $T_2 = mg = 1 \,kg \times 10 \,m/s^2 = 10 \,N$ है।
अब, उस बिंदु के संतुलन पर विचार करें जहाँ बल $F$ लगाया गया है।
बलों को क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर घटकों में वियोजित करने पर:
क्षैतिज संतुलन के लिए: $T_1 \sin 45^{\circ} = F$
ऊर्ध्वाधर संतुलन के लिए: $T_1 \cos 45^{\circ} = T_2 = 10 \,N$
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर: $\frac{T_1 \sin 45^{\circ}}{T_1 \cos 45^{\circ}} = \frac{F}{10}$
$\tan 45^{\circ} = \frac{F}{10}$
चूंकि $\tan 45^{\circ} = 1$, हमें $1 = \frac{F}{10}$ प्राप्त होता है, जिसका अर्थ है $F = 10 \,N$।

(A) मान लीजिए कि रस्सी क्षैतिज बीम के साथ $\theta$ कोण बनाती है। चूंकि ऊंचाई $OQ = L$ और लंबाई $OP = L$ है,$\tan \theta = \frac{L}{L} = 1$,इसलिए $\theta = 45^{\circ}$ है।
हिंज $O$ पर ऊर्ध्वाधर दिशा में बलों का संतुलन:
$R_y + T \sin 45^{\circ} = W + \alpha W$
$R_y + \frac{T}{\sqrt{2}} = W(1 + \alpha) \quad . . . (i)$
हिंज $O$ पर क्षैतिज दिशा में बलों का संतुलन:
$R_x = T \cos 45^{\circ} = \frac{T}{\sqrt{2}} \quad . . . (ii)$
बीम के लिए बिंदु $O$ के परितः आघूर्ण (टॉर्क) लेने पर:
$W \left(\frac{L}{2}\right) + (\alpha W) L = (T \sin 45^{\circ}) L$
$\frac{W}{2} + \alpha W = \frac{T}{\sqrt{2}}$
$T = \sqrt{2} W \left(\frac{1}{2} + \alpha\right) \quad . . . (iii)$
$(ii)$ और $(iii)$ से:
$R_x = W \left(\frac{1}{2} + \alpha\right)$। यदि $\alpha = 0.5$ है,तो $R_x = W(0.5 + 0.5) = W$। अतः,कथन $(B)$ सही है।
$(iii)$ से,यदि $\alpha = 0.5$ है,तो $T = \sqrt{2} W (0.5 + 0.5) = \sqrt{2} W$। अतः,कथन $(C)$ गलत है।
ऊर्ध्वाधर प्रतिक्रिया $R_y$ के लिए,$(i)$ से:
$R_y = W(1 + \alpha) - \frac{T}{\sqrt{2}} = W(1 + \alpha) - W(\frac{1}{2} + \alpha) = W(1 - 0.5) = 0.5 W$। चूंकि $R_y$,$\alpha$ पर निर्भर नहीं है,इसलिए कथन $(A)$ सही है।
यदि $T > T_{\max} = 2\sqrt{2} W$ हो तो रस्सी टूट जाती है:
$\sqrt{2} W (\frac{1}{2} + \alpha) > 2\sqrt{2} W$
$\frac{1}{2} + \alpha > 2 \implies \alpha > 1.5$। अतः,कथन $(D)$ सही है।

(B) वस्तु के संतुलन में रहने के लिए,क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर दोनों दिशाओं में कुल बल शून्य होना चाहिए।
माना $m = 1 \ kg$ और $g = 10 \ m/s^2$. भार $W = mg = 1 \times 10 = 10 \ N$.
तनावों को घटकों में वियोजित करने पर:
क्षैतिज दिशा: $T_1 \cos 60^{\circ} = T_2 \cos 30^{\circ}$
$T_1 (1/2) = T_2 (\sqrt{3}/2) \implies T_1 = T_2 \sqrt{3}$
ऊर्ध्वाधर दिशा: $T_1 \sin 60^{\circ} + T_2 \sin 30^{\circ} = mg$
$T_1 (\sqrt{3}/2) + T_2 (1/2) = 10$
ऊर्ध्वाधर समीकरण में $T_1 = T_2 \sqrt{3}$ रखने पर:
$(T_2 \sqrt{3}) (\sqrt{3}/2) + T_2 (1/2) = 10$
$T_2 (3/2) + T_2 (1/2) = 10$
$2 T_2 = 10 \implies T_2 = 5 \ N$
अब,$T_1 = T_2 \sqrt{3} = 5 \sqrt{3} \ N$.
अतः,तनाव $T_1$ और $T_2$ क्रमशः $5 \sqrt{3} \ N$ और $5 \ N$ हैं।

(B) पिंड के संतुलन में रहने के लिए,तनाव के क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर घटकों को बलों को संतुलित करना चाहिए।
क्षैतिज संतुलन: $T_1 \cos \theta_1 = T_2 \cos \theta_2$.
दिया गया है $T_1 = \sqrt{3} T_2$,अतः $\sqrt{3} T_2 \cos \theta_1 = T_2 \cos \theta_2$,जो सरल होकर $\sqrt{3} \cos \theta_1 = \cos \theta_2$ हो जाता है।
ऊर्ध्वाधर संतुलन: $T_1 \sin \theta_1 + T_2 \sin \theta_2 = mg$.
$T_1 = \sqrt{3} T_2$ रखने पर: $T_2 (\sqrt{3} \sin \theta_1 + \sin \theta_2) = mg$.
विकल्प $B$ की जाँच करने पर: $\theta_1 = 60^{\circ}$ और $\theta_2 = 30^{\circ}$.
क्षैतिज जाँच: $\sqrt{3} \cos 60^{\circ} = \sqrt{3} \times \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ और $\cos 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$. यह समान है।
ऊर्ध्वाधर जाँच: $T_2 (\sqrt{3} \sin 60^{\circ} + \sin 30^{\circ}) = T_2 (\sqrt{3} \times \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}) = T_2 (\frac{3}{2} + \frac{1}{2}) = T_2 (2) = mg$.
अतः,$T_2 = \frac{mg}{2}$.

(C) मान लीजिए कि झुकी हुई डोरी में तनाव $T$ है। इस तनाव का ऊर्ध्वाधर घटक वस्तु के भार को संतुलित करता है।
$T \sin 30^{\circ} = 2 \ kg-wt$
$T \times (1/2) = 2 \ kg-wt$
$T = 4 \ kg-wt$
अब,तनाव $T$ का क्षैतिज घटक क्षैतिज डोरी में तनाव $T_1$ द्वारा संतुलित होता है।
$T_1 = T \cos 30^{\circ}$
$T_1 = 4 \times (\sqrt{3} / 2)$
$T_1 = 2 \sqrt{3} \ kg-wt$

(A) सबसे पहले,सभी बलों को उनके $x$ और $y$ घटकों में विभाजित करें।
$x$-अक्ष के साथ $60^{\circ}$ पर $1 \ N$ बल के लिए: $F_{1x} = 1 \cos 60^{\circ} = 0.5 \ N$,$F_{1y} = 1 \sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2} \ N$.
$y$-अक्ष के साथ $30^{\circ}$ पर $4 \ N$ बल के लिए: $F_{4x} = -4 \sin 30^{\circ} = -2 \ N$,$F_{4y} = 4 \cos 30^{\circ} = 2\sqrt{3} \ N$.
$y$-अक्ष के साथ $30^{\circ}$ पर $2 \ N$ बल के लिए: $F_{2x} = 2 \sin 30^{\circ} = 1 \ N$,$F_{2y} = -2 \cos 30^{\circ} = -\sqrt{3} \ N$.
$x$-दिशा में कुल बल $F_x = F_{1x} + F_{4x} + F_{2x} = 0.5 - 2 + 1 = -0.5 \ N$ है।
परिणामी बल को केवल $y$-दिशा में रखने के लिए,$x$-दिशा में कुल बल शून्य होना चाहिए।
इसलिए,हमें एक अतिरिक्त बल $F_{add}$ की आवश्यकता है ताकि $F_x + F_{add,x} = 0$ हो,जिसका अर्थ है $F_{add,x} = 0.5 \ N$.
इस अतिरिक्त बल का न्यूनतम परिमाण $0.5 \ N$ है।

(B) बिंदु '$Q$' पर कार्य करने वाले बल हैं:
$1$. रस्सी '$PQ$' में तनाव '$T$',जो ऊर्ध्वाधर के साथ '$\theta$' कोण पर कार्य करता है।
$2$. दाईं ओर कार्य करने वाला क्षैतिज बल '$F$'।
$3$. द्रव्यमान '$M$' को सहारा देने वाली ऊर्ध्वाधर रस्सी में तनाव '$T_2$',जो '$Mg$' के बराबर है।
निकाय के संतुलन में रहने के लिए,क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर बलों का योग शून्य होना चाहिए।
'$T$' को घटकों में वियोजित करने पर:
क्षैतिज घटक: $T \sin \theta = F$
ऊर्ध्वाधर घटक: $T \cos \theta = Mg$
क्षैतिज घटक के समीकरण से,हमें प्राप्त होता है:
$T = \frac{F}{\sin \theta}$
अतः,रस्सी '$PQ$' में तनाव $\frac{F}{\sin \theta}$ है।

(C) संपर्क बल वह बल है जो दो वस्तुओं के बीच संपर्क बिंदु पर कार्य करता है।
घर्षण बल,अभिलंब प्रतिक्रिया बल और श्यानता बल सभी संपर्क बल के उदाहरण हैं क्योंकि इनके लिए वस्तुओं के बीच भौतिक संपर्क की आवश्यकता होती है।
गुरुत्वाकर्षण बल एक गैर-संपर्क बल (या क्षेत्र बल) है क्योंकि यह वस्तुओं के बीच बिना किसी भौतिक संपर्क के,दूरी पर होने पर भी कार्य करता है।
इसलिए,गुरुत्वाकर्षण बल एक संपर्क बल नहीं है।

(B) दिया गया है,द्रव्यमान $m = 0.05 \,kg$ है।
जब पत्थर को ऊपर की ओर फेंका जाता है,तो उस पर कार्य करने वाला एकमात्र बल (हवा के प्रतिरोध को अनदेखा करते हुए) गुरुत्वाकर्षण बल है।
गुरुत्वाकर्षण बल का परिमाण $F = m \times g$ द्वारा दिया जाता है।
$g = 9.8 \,m/s^2$ लेने पर,हमें प्राप्त होता है:
$F = 0.05 \,kg \times 9.8 \,m/s^2 = 0.49 \,N$।
गुरुत्वाकर्षण बल की दिशा हमेशा पृथ्वी के केंद्र की ओर,यानी ऊर्ध्वाधर नीचे की ओर होती है।
इसलिए,कुल बल $0.49 \,N$ ऊर्ध्वाधर नीचे की ओर है।

(C) तीन संगामी बलों के प्रभाव में किसी पिंड के संतुलन में रहने के लिए,बलों का सदिश योग शून्य होना चाहिए। इसका अर्थ है कि किसी एक बल का परिमाण अन्य दो बलों के योग के बराबर या उससे कम और अन्य दो बलों के अंतर के बराबर या उससे अधिक होना चाहिए।
मान लीजिए बल $F_1 = 1 \,N$,$F_2 = 2 \,N$ और $F_3 = 3 \,N$ हैं।
संतुलन के लिए शर्त यह है कि किन्हीं दो बलों का परिणामी बल तीसरे बल के बराबर और विपरीत दिशा में होना चाहिए।
यहाँ,$F_1 + F_2 = 1 + 2 = 3 \,N$,जो $F_3$ के बराबर है।
हालाँकि,$F_1$ और $F_2$ का परिणामी बल $3 \,N$ प्राप्त करने के लिए,उन्हें एक ही दिशा में कार्य करना होगा (कोण $\theta = 0^{\circ}$)।
यदि वे एक ही दिशा में कार्य करते हैं,तो वे प्रश्न में बताए अनुसार 'विभिन्न दिशाओं' में कार्य नहीं कर रहे हैं।
यदि बल विभिन्न दिशाओं में कार्य करते हैं,तो $1 \,N$ और $2 \,N$ का परिणामी बल हमेशा $3 \,N$ से कम होगा।
इसलिए,ये तीन बल एक बंद त्रिभुज नहीं बना सकते हैं और पिंड संतुलन में नहीं रह सकता है।

(B) मान लीजिए कि तार $OA$ में तनाव $T_{OA}$ है और क्षैतिज तार $OB$ में तनाव $T_{OB} = 30 \text{ N}$ है।
बिंदु $O$ पर,बल संतुलन में हैं।
तनाव $T_{OA}$ को क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर घटकों में वियोजित करने पर:
क्षैतिज घटक: $T_{OA} \sin(30^{\circ}) = T_{OB} = 30 \text{ N}$।
$T_{OA} \times (1/2) = 30 \text{ N} \implies T_{OA} = 60 \text{ N}$।
ऊर्ध्वाधर घटक: $T_{OA} \cos(30^{\circ}) = W$।
$W = 60 \times (\sqrt{3}/2) = 30 \sqrt{3} \text{ N}$।
अतः,भार $W$ का मान $30 \sqrt{3} \text{ N}$ है और तार $OA$ में तनाव $60 \text{ N}$ है।

(B) माना कि संतुलन में डोरी ऊर्ध्वाधर के साथ $\theta$ कोण बनाती है।
संतुलन की स्थिति में,ब्लॉक पर कार्य करने वाले बल संतुलित होते हैं:
$1$. क्षैतिज बल संतुलन: $F = T \sin \theta$ ... $(i)$
$2$. ऊर्ध्वाधर बल संतुलन: $mg = T \cos \theta$ ... (ii)
समीकरण $(i)$ को समीकरण (ii) से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{F}{mg} = \frac{T \sin \theta}{T \cos \theta} = \tan \theta$
यहाँ $F = 40 \ N$,$m = 8 \ kg$,और $g = 10 \ m \ s^{-2}$ दिया गया है:
$\tan \theta = \frac{40}{8 \times 10} = \frac{40}{80} = \frac{1}{2}$
अतः,$\theta = \tan ^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)$।

(D) दिया गया है, ब्लॉक का द्रव्यमान, $m=90 \,kg$.
गुरुत्वीय त्वरण, $g=10 \,ms^{-2}$.
माना डोरियों $A, B$ और $C$ में तनाव क्रमशः $T_A, T_B$ और $T_C$ हैं।
ब्लॉक का भार नीचे की ओर कार्य करता है: $W = mg = 90 \times 10 = 900 \,N$.
चूंकि निकाय संतुलन में है, डोरी $C$ में तनाव भार को संतुलित करेगा: $T_C = 900 \,N$.
अब, उस जंक्शन बिंदु के संतुलन पर विचार करें जहां तीनों डोरियां मिलती हैं। बलों को क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर घटकों में वियोजित करने पर:
ऊर्ध्वाधर संतुलन: $T_B \sin 37^{\circ} = T_C = 900 \,N$.
चूंकि $\sin 37^{\circ} = 0.6$, इसलिए $T_B \times 0.6 = 900 \Rightarrow T_B = \frac{900}{0.6} = 1500 \,N$.
क्षैतिज संतुलन: $T_A = T_B \cos 37^{\circ}$.
चूंकि $\cos 37^{\circ} = 0.8$, इसलिए $T_A = 1500 \times 0.8 = 1200 \,N$.
अतः, तनाव $T_A = 1200 \,N, T_B = 1500 \,N$ और $T_C = 900 \,N$ हैं।

(D) गोले के संतुलन में रहने के लिए,उस पर कार्य करने वाला कुल बल शून्य होना चाहिए।
तनाव $T$ को क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर घटकों में वियोजित करने पर:
$\Sigma F_x = P - T \sin \theta = 0 \implies P = T \sin \theta$ ...$(i)$
$\Sigma F_y = T \cos \theta - W = 0 \implies W = T \cos \theta$ ...(ii)
$(i)$ को (ii) से विभाजित करने पर,हमें $\frac{P}{W} = \frac{T \sin \theta}{T \cos \theta} = \tan \theta$ प्राप्त होता है,इसलिए $P = W \tan \theta$. यह सही है।
सभी बलों का सदिश योग शून्य है,इसलिए $\vec{T} + \vec{P} + \vec{W} = 0$. यह सही है।
$(i)$ और (ii) से,$T^2 \sin^2 \theta + T^2 \cos^2 \theta = P^2 + W^2$,जो $T^2 = P^2 + W^2$ देता है। यह सही है।
व्यंजक $T = P + W$ गलत है क्योंकि बल सदिश राशियाँ हैं और उन्हें तब तक बीजगणितीय रूप से नहीं जोड़ा जा सकता जब तक कि वे एक ही दिशा में न हों।

(B) वस्तु संतुलन में है,इसलिए $x$ और $y$ दोनों दिशाओं में कुल बल शून्य होना चाहिए: $\Sigma F_x = 0$ और $\Sigma F_y = 0$.
चित्र से,बलों को घटकों में विभाजित करने पर:
$\Sigma F_x = 0$ के लिए:
$8 + 4 \cos(60^{\circ}) - F_2 \cos(30^{\circ}) = 0$
$8 + 4(0.5) - F_2(\frac{\sqrt{3}}{2}) = 0$
$8 + 2 = F_2(\frac{\sqrt{3}}{2})$
$10 = F_2(\frac{\sqrt{3}}{2}) \Rightarrow F_2 = \frac{20}{\sqrt{3}} \text{ N}$.
$\Sigma F_y = 0$ के लिए:
$F_1 + 4 \sin(60^{\circ}) - F_2 \sin(30^{\circ}) = 0$
$F_1 + 4(\frac{\sqrt{3}}{2}) - (\frac{20}{\sqrt{3}})(\frac{1}{2}) = 0$
$F_1 + 2\sqrt{3} - \frac{10}{\sqrt{3}} = 0$
$F_1 = \frac{10}{\sqrt{3}} - 2\sqrt{3} = \frac{10 - 2(3)}{\sqrt{3}} = \frac{4}{\sqrt{3}} \text{ N}$.
अतः,$F_1 = \frac{4}{\sqrt{3}} \text{ N}$ और $F_2 = \frac{20}{\sqrt{3}} \text{ N}$.

(C) तीन संगामी बलों के संतुलन में होने के लिए,उन्हें त्रिभुज असमानता प्रमेय को संतुष्ट करना चाहिए,जो कहता है कि किन्हीं दो बलों का योग तीसरे बल से अधिक या उसके बराबर होना चाहिए $(F_1 + F_2 \ge F_3)$।
विकल्पों की जाँच करने पर:
$(a)$ $3 + 5 = 8 < 10$। चूँकि $8 < 10$ है,इसलिए ये बल संतुलन में नहीं हो सकते।
$(b)$ $3 + 5 = 8 < 9$। चूँकि $8 < 9$ है,इसलिए ये बल संतुलन में नहीं हो सकते।
$(c)$ $3 + 5 = 8 > 6$। चूँकि $8 > 6$ है,इसलिए ये बल एक त्रिभुज बना सकते हैं और इस प्रकार संतुलन में हो सकते हैं।
$(d)$ $3 + 5 = 8 < 15$। चूँकि $8 < 15$ है,इसलिए ये बल संतुलन में नहीं हो सकते।

(B) माना कि $T$ डोरी में तनाव है और $F$ द्रव्यमान को संतुलन में रखने के लिए लगाया गया क्षैतिज बल है।
संतुलन की स्थिति में,द्रव्यमान पर कार्य करने वाले बल संतुलित होते हैं:
$1$. ऊर्ध्वाधर दिशा में: $T \cos \theta = M g$ (जहाँ $\theta = 60^{\circ}$)
$2$. क्षैतिज दिशा में: $F = T \sin \theta$
क्षैतिज बल के समीकरण को ऊर्ध्वाधर बल के समीकरण से विभाजित करने पर:
$\frac{F}{M g} = \frac{T \sin \theta}{T \cos \theta} = \tan \theta$
$F = M g \tan \theta$
चूंकि $\theta = 60^{\circ}$ दिया गया है,इसलिए:
$F = M g \tan 60^{\circ} = M g \sqrt{3}$

(D) मेज के कारण किताब पर लगने वाली अभिलंब प्रतिक्रिया $(N)$ एक संपर्क बल है जो किताब और मेज की संपर्क सतह के लंबवत ऊपर की दिशा में कार्य करता है।
किताब का भार $(mg)$ पृथ्वी द्वारा किताब पर लगाया गया गुरुत्वाकर्षण बल है,जो हमेशा ऊर्ध्वाधर नीचे की दिशा में कार्य करता है।
चूंकि अभिलंब प्रतिक्रिया ऊर्ध्वाधर ऊपर की ओर और भार ऊर्ध्वाधर नीचे की ओर कार्य करता है,इसलिए ये दोनों बल एक-दूसरे के बिल्कुल विपरीत दिशा में हैं।
अतः,अभिलंब प्रतिक्रिया और किताब के भार के बीच का कोण $180^\circ$ है।

(C) पेंडुलम बॉब तीन बलों के प्रभाव में संतुलन में है: डोरी में तनाव $T$,क्षैतिज बल $F = 2 \text{ N}$,और ऊर्ध्वाधर नीचे की ओर कार्य करने वाला भार $W = 1 \text{ N}$।
तनाव $T$ को क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर घटकों में वियोजित करने पर:
क्षैतिज घटक: $T \sin \theta = F = 2 \text{ N}$
ऊर्ध्वाधर घटक: $T \cos \theta = W = 1 \text{ N}$
दोनों समीकरणों का वर्ग करके जोड़ने पर:
$(T \sin \theta)^2 + (T \cos \theta)^2 = F^2 + W^2$
$T^2 (\sin^2 \theta + \cos^2 \theta) = F^2 + W^2$
$T^2 = F^2 + W^2$
$T = \sqrt{F^2 + W^2} = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5} \text{ N}$

(A) ब्लॉक संतुलन में है। हम उस पर कार्य करने वाले बलों को वियोजित करते हैं।
दिया है: $\tan \theta = \frac{3}{4}$,इसलिए $\sin \theta = \frac{3}{5}$ और $\cos \theta = \frac{4}{5}$.
$12 \ N$ के आरोपित बल के घटक:
क्षैतिज घटक $F_x = 12 \cos \theta = 12 \times \frac{4}{5} = 9.6 \ N$.
ऊर्ध्वाधर घटक $F_y = 12 \sin \theta = 12 \times \frac{3}{5} = 7.2 \ N$.
क्षैतिज संतुलन के लिए,दीवार से अभिलंब प्रतिक्रिया $N_2$ को आरोपित बल के क्षैतिज घटक को संतुलित करना चाहिए:
$N_2 = F_x = 9.6 \ N$.
ऊर्ध्वाधर संतुलन के लिए,जमीन से ऊपर की ओर अभिलंब प्रतिक्रिया $N_1$ को नीचे की ओर कार्य करने वाले बलों (ब्लॉक का वजन,$10 \ N$ का नीचे की ओर बल,और $12 \ N$ बल का ऊर्ध्वाधर घटक) को संतुलित करना चाहिए:
ब्लॉक का वजन $W = mg = 2 \times 10 = 20 \ N$.
$N_1 = W + 10 + F_y = 20 + 10 + 7.2 = 37.2 \ N$.
अतः,$N_1 = 37.2 \ N$ और $N_2 = 9.6 \ N$.

(C) सभी बलों को चित्र में दिखाए अनुसार दो लंबवत अक्षों ($X$ और $Y$) में वियोजित किया गया है।
चूंकि $m$ द्रव्यमान का ब्लॉक संतुलन में है,इसलिए $x$ और $y$ दोनों दिशाओं में कुल बल शून्य होना चाहिए।
$x$-दिशा में बलों को वियोजित करने पर:
$|F_2| \cos(60^{\circ}) = |F_1| \cos(30^{\circ})$
$|F_2| \times \frac{1}{2} = 10 \times \frac{\sqrt{3}}{2} \quad (\because |F_1| = 10 \ N \text{ दिया गया है})$
$|F_2| = 10\sqrt{3} \ N$
$y$-दिशा में बलों को वियोजित करने पर:
$|F_3| = |F_1| \sin(30^{\circ}) + |F_2| \sin(60^{\circ})$
$|F_3| = 10 \times \frac{1}{2} + 10\sqrt{3} \times \frac{\sqrt{3}}{2}$
$|F_3| = 5 + 15 = 20 \ N$
अतः,$F_3$ का परिमाण $20 \ N$ है।

(A) जंजीर के आधे भाग के मुक्त-पिंड आरेख ($F$.$B$.$D$) पर विचार करें।
इस आधे भाग पर कार्य करने वाले बल हैं:
$1$. आधार बिंदु पर तनाव $T$,जो क्षैतिज के साथ $30^{\circ}$ के कोण पर कार्य करता है।
$2$. सबसे निचले बिंदु पर तनाव $T_0$,जो क्षैतिज रूप से कार्य करता है।
$3$. आधी जंजीर का भार,जो $\frac{m}{2}g$ है और ऊर्ध्वाधर नीचे की ओर कार्य करता है।
ऊर्ध्वाधर दिशा में संतुलन के लिए:
$T \sin 30^{\circ} = \frac{m}{2}g$
$T \times \frac{1}{2} = \frac{mg}{2} \implies T = mg$
क्षैतिज दिशा में संतुलन के लिए:
$T \cos 30^{\circ} = T_0$
$T = mg$ प्रतिस्थापित करने पर:
$T_0 = mg \cos 30^{\circ} = mg \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} mg$