Mixture of Gases Questions in Hindi

(D) मिश्रण के लिए स्थिर आयतन पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा का सूत्र है: $C_{V_{mix}} = \frac{n_1 C_{V_1} + n_2 C_{V_2}}{n_1 + n_2}$।
एकपरमाणुक गैस के लिए,$C_{V_1} = \frac{3}{2} R$ और $n_1 = 1$ है।
बिना कंपन विधा वाली द्विपरमाणुक गैस के लिए,$C_{V_2} = \frac{5}{2} R$ और $n_2 = 3$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$C_{V_{mix}} = \frac{1 \cdot (\frac{3}{2} R) + 3 \cdot (\frac{5}{2} R)}{1 + 3} = \frac{\frac{3}{2} R + \frac{15}{2} R}{4} = \frac{\frac{18}{2} R}{4} = \frac{9 R}{4}$।
दिया गया है कि $C_{V_{mix}} = \frac{\alpha^2}{4} R$,अतः दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर:
$\frac{9 R}{4} = \frac{\alpha^2}{4} R$।
इससे $\alpha^2 = 9$ प्राप्त होता है,इसलिए $\alpha = 3$ (धनात्मक मान लेने पर)।

(B) गैसों के मिश्रण के लिए,रुद्धोष्म सूचकांक (adiabatic index) $\gamma_{\text{mix}}$ को निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\gamma_{\text{mix}} = \frac{n_1 C_{p1} + n_2 C_{p2}}{n_1 C_{v1} + n_2 C_{v2}}$
यहाँ $n_1 = 1$ मोल,$\gamma_1 = 5/3$ और $n_2 = n$ मोल,$\gamma_2 = 7/5$ दिया गया है।
हम जानते हैं कि $C_v = \frac{R}{\gamma - 1}$ और $C_p = \frac{\gamma R}{\gamma - 1}$ होता है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\gamma_{\text{mix}} = \frac{n_1 \frac{\gamma_1 R}{\gamma_1 - 1} + n_2 \frac{\gamma_2 R}{\gamma_2 - 1}}{n_1 \frac{R}{\gamma_1 - 1} + n_2 \frac{R}{\gamma_2 - 1}} = \frac{n_1 \frac{\gamma_1}{\gamma_1 - 1} + n_2 \frac{\gamma_2}{\gamma_2 - 1}}{n_1 \frac{1}{\gamma_1 - 1} + n_2 \frac{1}{\gamma_2 - 1}}$
गैस $A$ के लिए: $\frac{\gamma_1}{\gamma_1 - 1} = \frac{5/3}{2/3} = 2.5$ और $\frac{1}{\gamma_1 - 1} = \frac{1}{2/3} = 1.5$ है।
गैस $B$ के लिए: $\frac{\gamma_2}{\gamma_2 - 1} = \frac{7/5}{2/5} = 3.5$ और $\frac{1}{\gamma_2 - 1} = \frac{1}{2/5} = 2.5$ है।
मान रखने पर: $\frac{19}{13} = \frac{1(2.5) + n(3.5)}{1(1.5) + n(2.5)}$.
$19(1.5 + 2.5n) = 13(2.5 + 3.5n)$.
$28.5 + 47.5n = 32.5 + 45.5n$.
$2n = 4 \Rightarrow n = 2$.

(B) एक ऊष्मीय रूप से विलगित निकाय के लिए,कुल आंतरिक ऊर्जा स्थिर रहती है क्योंकि $\Delta Q = 0$ और $\Delta W = 0$ है।
चूंकि दोनों बक्सों का प्रारंभिक तापमान समान $(T)$ है,इसलिए अंतिम संतुलन तापमान $T_f$ भी $T$ ही रहेगा।
आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ का उपयोग करके,हम प्रत्येक बक्से में मोल की संख्या ज्ञात कर सकते हैं:
$n_1 = \frac{P_1 V_1}{RT} = \frac{1 \times V}{RT} = \frac{V}{RT}$
$n_2 = \frac{P_2 V_2}{RT} = \frac{0.5 \times 4V}{RT} = \frac{2V}{RT}$
जब वाल्व खोला जाता है,तो मोल की कुल संख्या $n_{total} = n_1 + n_2$ कुल आयतन $V_{total} = V_1 + V_2 = V + 4V = 5V$ में तापमान $T$ पर व्याप्त हो जाती है।
$n_{total} = \frac{V}{RT} + \frac{2V}{RT} = \frac{3V}{RT}$
अंतिम स्थिति के लिए आदर्श गैस समीकरण का उपयोग करने पर:
$P_f V_{total} = n_{total} R T$
$P_f (5V) = \left(\frac{3V}{RT}\right) RT$
$P_f (5V) = 3V$
$P_f = \frac{3}{5} \, atm = 0.6 \, atm$.

(C) किसी गैस की आंतरिक ऊर्जा $U$ का सूत्र $U = \frac{f}{2} nRT$ है,जहाँ $f$ स्वतंत्रता की कोटि (degrees of freedom),$n$ मोलों की संख्या,$R$ सार्वत्रिक गैस नियतांक और $T$ निरपेक्ष तापमान है।
$He$ (एकपरमाणुक गैस) के लिए,स्वतंत्रता की कोटि $f_{He} = 3$ है।
$O_2$ (द्विपरमाणुक गैस) के लिए,स्वतंत्रता की कोटि $f_{O_2} = 5$ है।
$O_3$ (अरेखीय बहुपरमाणुक गैस) के लिए,स्वतंत्रता की कोटि $f_{O_3} = 6$ है।
दिया गया है:
$n_{He} = 2$
$n_{O_2} = 4$
$n_{O_3} = 1$
मिश्रण की कुल आंतरिक ऊर्जा व्यक्तिगत घटकों की आंतरिक ऊर्जा का योग है:
$U_{total} = U_{He} + U_{O_2} + U_{O_3}$
$U_{total} = \left( n_{He} \cdot \frac{f_{He}}{2} + n_{O_2} \cdot \frac{f_{O_2}}{2} + n_{O_3} \cdot \frac{f_{O_3}}{2} \right) RT$
$U_{total} = \left( 2 \cdot \frac{3}{2} + 4 \cdot \frac{5}{2} + 1 \cdot \frac{6}{2} \right) RT$
$U_{total} = (3 + 10 + 3) RT$
$U_{total} = 16 RT$.
अतः,आंतरिक ऊर्जा $16 RT$ है।

(C) $CO$ का आणविक द्रव्यमान $28 \, g/mol$ है। $CO$ के मोलों की संख्या $(n_1)$ $= 14/28 = 0.5 \, mol$.
$O_2$ का आणविक द्रव्यमान $32 \, g/mol$ है। $O_2$ के मोलों की संख्या $(n_2)$ $= 16/32 = 0.5 \, mol$.
$CO$ और $O_2$ दोनों द्वि-परमाणुक गैसें हैं। द्वि-परमाणुक गैसों के लिए स्वतंत्रता की कोटि $(f)$ $5$ है (कंपन मोड को नगण्य मानते हुए)।
अंतिम तापमान $T_f$ आंतरिक ऊर्जा के संरक्षण द्वारा प्राप्त होता है: $n_1 C_{v1} T_1 + n_2 C_{v2} T_2 = (n_1 C_{v1} + n_2 C_{v2}) T_f$.
चूंकि $C_v = \frac{f}{2}R$ और दोनों के लिए $f$ समान है,समीकरण सरल होकर हो जाता है: $n_1 T_1 + n_2 T_2 = (n_1 + n_2) T_f$.
तापमान को केल्विन में बदलने पर: $T_1 = 27 + 273 = 300 \, K$ और $T_2 = 47 + 273 = 320 \, K$.
मान रखने पर: $(0.5 \times 300) + (0.5 \times 320) = (0.5 + 0.5) T_f$.
$150 + 160 = 1 \times T_f$.
$T_f = 310 \, K$.
सेल्सियस में बदलने पर: $T_f = 310 - 273 = 37^{\circ} C$.

(C) एकपरमाणुक गैस के लिए,रुद्धोष्म सूचकांक (adiabatic index) $\gamma_1 = 5/3$ है। मोलों की संख्या $n_1 = 1$ है।
द्विपरमाणुक गैस के लिए (कंपन की उपेक्षा करते हुए),रुद्धोष्म सूचकांक $\gamma_2 = 7/5$ है। मोलों की संख्या $n_2 = 1$ है।
मिश्रण के लिए समतुल्य रुद्धोष्म सूचकांक $\gamma$ का सूत्र है:
$\frac{n_{mix}}{\gamma - 1} = \frac{n_1}{\gamma_1 - 1} + \frac{n_2}{\gamma_2 - 1}$
यहाँ,$n_{mix} = n_1 + n_2 = 1 + 1 = 2$ है।
मान रखने पर:
$\frac{2}{\gamma - 1} = \frac{1}{5/3 - 1} + \frac{1}{7/5 - 1}$
$\frac{2}{\gamma - 1} = \frac{1}{2/3} + \frac{1}{2/5} = \frac{3}{2} + \frac{5}{2} = \frac{8}{2} = 4$
$\frac{2}{\gamma - 1} = 4 \implies \gamma - 1 = 0.5 \implies \gamma = 1.5$.

(A) एकपरमाणुक गैस के लिए,स्वतंत्रता की कोटि $f_1 = 3$ है। स्थिर आयतन पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $C_{v_1} = \frac{f_1}{2} R = \frac{3}{2} R$ है।
द्विपरमाणुक गैस के लिए,स्वतंत्रता की कोटि $f_2 = 5$ है। स्थिर आयतन पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $C_{v_2} = \frac{f_2}{2} R = \frac{5}{2} R$ है।
दिया गया है $n_1 = 1$ मोल और $n_2 = 3$ मोल।
मिश्रण की स्थिर आयतन पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $C_{v_{mix}}$ भारित औसत द्वारा दी जाती है:
$C_{v_{mix}} = \frac{n_1 C_{v_1} + n_2 C_{v_2}}{n_1 + n_2}$
मान रखने पर:
$C_{v_{mix}} = \frac{1 \times (\frac{3}{2} R) + 3 \times (\frac{5}{2} R)}{1 + 3}$
$C_{v_{mix}} = \frac{\frac{3}{2} R + \frac{15}{2} R}{4} = \frac{\frac{18}{2} R}{4} = \frac{9R}{4}$
चूंकि $R = 8 \, J K^{-1} mol^{-1}$ दिया गया है:
$C_{v_{mix}} = \frac{9 \times 8}{4} = 9 \times 2 = 18 \, J K^{-1} mol^{-1}$।

(A) एक-परमाणुक गैस के लिए,स्वतंत्रता की कोटि $f_1 = 3$ है।
बहु-परमाणुक गैस के लिए,कंपन की स्वतंत्रता की कोटि को नगण्य मानने पर,स्वतंत्रता की कोटि $f_2 = 6$ ($3$ स्थानांतरणीय + $3$ घूर्णी) है।
मिश्रण एक द्वि-परमाणुक गैस की तरह व्यवहार करता है,इसलिए मिश्रण की स्वतंत्रता की कोटि $f_{\text{mix}} = 5$ ($3$ स्थानांतरणीय + $2$ घूर्णी) है।
मिश्रण की स्वतंत्रता की कोटि का सूत्र है:
$f_{\text{mix}} = \frac{f_1 n_1 + f_2 n_2}{n_1 + n_2}$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$5 = \frac{3 \alpha + 6 \beta}{\alpha + \beta}$
$5(\alpha + \beta) = 3 \alpha + 6 \beta$
$5 \alpha + 5 \beta = 3 \alpha + 6 \beta$
$2 \alpha = \beta$

(D) माना हाइड्रोजन $(H_2)$ के मोल $n_1$ हैं और हीलियम $(He)$ के मोल $n_2$ हैं।
आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $n = n_1 + n_2$ कुल मोल हैं।
दिया गया है: $P = 2 \ atm = 2 \times 1.013 \times 10^5 \ Pa$,$V = 20 \ L = 20 \times 10^{-3} \ m^3$,$T = 27^{\circ} C = 300 \ K$,$R = 8.314 \ J/mol \cdot K$.
कुल मोल $n = n_1 + n_2 = \frac{PV}{RT} = \frac{2 \times 1.013 \times 10^5 \times 20 \times 10^{-3}}{8.314 \times 300} \approx 1.62 \ mol$.
मिश्रण का द्रव्यमान: $m_{H_2} + m_{He} = 5 \ g$.
चूंकि $m = n \times M$,जहाँ $M$ मोलर द्रव्यमान है: $n_1(2) + n_2(4) = 5 \implies n_1 + 2n_2 = 2.5$.
पहले समीकरण $(n_1 + n_2 = 1.62)$ को दूसरे समीकरण $(n_1 + 2n_2 = 2.5)$ से घटाने पर: $n_2 = 0.88 \ mol$.
अतः $n_1 = 1.62 - 0.88 = 0.74 \ mol$.
द्रव्यमान का अनुपात $\frac{m_{H_2}}{m_{He}} = \frac{n_1 \times 2}{n_2 \times 4} = \frac{0.74 \times 2}{0.88 \times 4} = \frac{1.48}{3.52} = \frac{2}{5}$.

(B) आदर्श गैस समीकरण के अनुसार,$PV = nRT$। चूंकि तापमान $T$ स्थिर है,इसलिए मोलों की कुल संख्या $n_{total} = n_A + n_B$ स्थिर रहती है।
पात्र $A$ के लिए: $n_A = \frac{P_A V_A}{RT}$
पात्र $B$ के लिए: $n_B = \frac{P_B V_B}{RT}$
जब पात्रों को जोड़ा जाता है,तो अंतिम दाब $P_f$ इस प्रकार दिया जाता है:
$P_f(V_A + V_B) = (n_A + n_B)RT$
$P_f(V_A + V_B) = P_A V_A + P_B V_B$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$P_f = \frac{P_A V_A + P_B V_B}{V_A + V_B}$
$P_f = \frac{(1.40 \, MPa \times 0.10 \, m^3) + (0.7 \, MPa \times 0.15 \, m^3)}{0.10 \, m^3 + 0.15 \, m^3}$
$P_f = \frac{0.14 + 0.105}{0.25} \, MPa$
$P_f = \frac{0.245}{0.25} \, MPa = 0.98 \, MPa$.

(B) आदर्श गैस की आंतरिक ऊर्जा $U = n \left( \frac{f}{2} RT \right)$ द्वारा दी जाती है। मान लीजिए कि दोनों गैसें एकपरमाणुक $(f=3)$ हैं, कुल ऊर्जा संरक्षित रहती है।
$T_1 = 27^{\circ}\, \text{C} = 300\, \text{K}$ पर पहली गैस की ऊर्जा $E_1 = 3 \left( \frac{3}{2} R \times 300 \right) = 1350\, R$ है।
$T_2 = 227^{\circ}\, \text{C} = 500\, \text{K}$ पर दूसरी गैस की ऊर्जा $E_2 = 2 \left( \frac{3}{2} R \times 500 \right) = 1500\, R$ है।
मान लीजिए कि $T$ केल्विन में संतुलन तापमान है। मिश्रण की कुल ऊर्जा $E_m = (3+2) \left( \frac{3}{2} RT \right) = 7.5\, RT$ है।
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार, $E_m = E_1 + E_2$.
$7.5\, RT = 1350\, R + 1500\, R$.
$7.5\, T = 2850$.
$T = \frac{2850}{7.5} = 380\, \text{K}$.
सेल्सियस में परिवर्तन: $T(^{\circ}\, \text{C}) = 380 - 273 = 107^{\circ}\, \text{C}$।

(D) प्रत्येक गैस के लिए मोलों की संख्या: $n_1 = 4$ (हाइड्रोजन,द्वि-परमाणुक),$n_2 = 2$ (हीलियम,एक-परमाणुक),$n_3 = 1$ (जल वाष्प,बहु-परमाणुक)।
प्रत्येक गैस के लिए स्थिर आयतन पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $(C_v)$:
हाइड्रोजन के लिए: $(C_v)_1 = \frac{5}{2} R$
हीलियम के लिए: $(C_v)_2 = \frac{3}{2} R$
जल वाष्प के लिए: $(C_v)_3 = 3 R$
मिश्रण के लिए स्थिर आयतन पर समतुल्य मोलर विशिष्ट ऊष्मा:
$(C_v)_{\text{mix}} = \frac{n_1(C_v)_1 + n_2(C_v)_2 + n_3(C_v)_3}{n_1 + n_2 + n_3}$
$(C_v)_{\text{mix}} = \frac{4 \times \frac{5}{2} R + 2 \times \frac{3}{2} R + 1 \times 3 R}{4 + 2 + 1} = \frac{10 R + 3 R + 3 R}{7} = \frac{16}{7} R$
मिश्रण के लिए $C_p = C_v + R$ संबंध का उपयोग करने पर:
$(C_p)_{\text{mix}} = (C_v)_{\text{mix}} + R = \frac{16}{7} R + R = \frac{23}{7} R$.

(C) मिश्रण के लिए स्थिर आयतन पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा का सूत्र $C_{V, \text{mix}} = \frac{n_1 C_{V_1} + n_2 C_{V_2}}{n_1 + n_2} = \frac{13R}{6}$ है।
दिए गए अनुपात $n_1 : n_2 = 1 : 2$ के अनुसार,मान लीजिए $n_1 = n$ और $n_2 = 2n$ है।
इन मानों को रखने पर: $\frac{n C_{V_1} + 2n C_{V_2}}{n + 2n} = \frac{13R}{6}$.
$\frac{C_{V_1} + 2C_{V_2}}{3} = \frac{13R}{6} \implies C_{V_1} + 2C_{V_2} = \frac{13R}{2}$.
एकपरमाणुक गैसों के लिए $C_V = 3R/2$ और द्विपरमाणुक गैसों के लिए $C_V = 5R/2$ होता है।
यदि पहली गैस एकपरमाणुक $(C_{V_1} = 3R/2)$ और दूसरी गैस द्विपरमाणुक $(C_{V_2} = 5R/2)$ है,तो:
$3R/2 + 2(5R/2) = 3R/2 + 5R = 13R/2$.
यह शर्त पूरी होती है। अतः,पहली गैस एकपरमाणुक $(He)$ और दूसरी गैस द्विपरमाणुक $(N_2)$ है।

(D) निकाय की कुल आंतरिक ऊर्जा $U$ उसके घटकों की आंतरिक ऊर्जा का योग होती है।
ऑक्सीजन $(O_2)$ के लिए,जो एक द्वि-परमाणुक गैस है,स्वतंत्रता की कोटि (degrees of freedom) $f_1 = 5$ है (कंपन मोड की उपेक्षा करते हुए)।
नियॉन $(Ne)$ के लिए,जो एक एक-परमाणुक गैस है,स्वतंत्रता की कोटि $f_2 = 3$ है।
$n_1$ मोल गैस $1$ की आंतरिक ऊर्जा $U_1 = n_1 \frac{f_1}{2} RT$ है।
$n_2$ मोल गैस $2$ की आंतरिक ऊर्जा $U_2 = n_2 \frac{f_2}{2} RT$ है।
कुल आंतरिक ऊर्जा $U = U_1 + U_2 = (n_1 \frac{f_1}{2} + n_2 \frac{f_2}{2}) RT$ है।
यहाँ $n_1 = 2$ (ऑक्सीजन) और $n_2 = 4$ (नियॉन) दिया गया है।
$U = (2 \times \frac{5}{2} + 4 \times \frac{3}{2}) RT$ है।
$U = (5 + 6) RT = 11 RT$ है।
अतः,कुल आंतरिक ऊर्जा $11 RT$ है।

(C) गैसों के मिश्रण के लिए तुल्य स्वतंत्रता की कोटि (degree of freedom) $f_{eq}$ का सूत्र इस प्रकार है:
$f_{eq} = \frac{n_1 f_1 + n_2 f_2}{n_1 + n_2}$
द्विपरमाणुक गैस के लिए स्वतंत्रता की कोटि $f_{eq} = 5$ होती है।
दिया गया है:
$n_1 = N$,$f_1 = 6$ (बहुपरमाणुक गैस)
$n_2 = 2$,$f_2 = 3$ (एकपरमाणुक गैस)
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$5 = \frac{(N)(6) + (2)(3)}{N + 2}$
दोनों पक्षों को $(N + 2)$ से गुणा करने पर:
$5(N + 2) = 6N + 6$
$5N + 10 = 6N + 6$
$N$ के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$10 - 6 = 6N - 5N$
$N = 4$

(C) एक-परमाणुक गैस के लिए,स्वतंत्रता की कोटि (degrees of freedom) $f_1 = 3$ है। द्वि-परमाणुक गैस के लिए,स्वतंत्रता की कोटि $f_2 = 5$ है।
दिया गया है कि $n_1 = 3$ मोल और $n_2 = 2$ मोल है।
मिश्रण के लिए स्वतंत्रता की कोटि का सूत्र $f_{\text{mix}} = \frac{n_1 f_1 + n_2 f_2}{n_1 + n_2}$ है।
मान रखने पर: $f_{\text{mix}} = \frac{3(3) + 2(5)}{3 + 2} = \frac{9 + 10}{5} = \frac{19}{5} = 3.8$ प्राप्त होता है।
रुद्धोष्म घातांक $\gamma$ और स्वतंत्रता की कोटि $f$ के बीच संबंध $\gamma = 1 + \frac{2}{f}$ होता है।
अतः,$\gamma_{\text{mix}} = 1 + \frac{2}{f_{\text{mix}}} = 1 + \frac{2}{3.8} = 1 + \frac{20}{38} = 1 + \frac{10}{19} = \frac{29}{19} \approx 1.526$ है।
दो दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित करने पर,हमें $\gamma_{\text{mix}} = 1.52$ प्राप्त होता है।

(C) गैस मिश्रण की कुल आंतरिक ऊर्जा $U$ उसके व्यक्तिगत घटकों की आंतरिक ऊर्जा का योग होती है।
$n$ मोल वाली गैस के लिए,आंतरिक ऊर्जा $U = n C_V T$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $C_V$ स्थिर आयतन पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा है।
आर्गन एक परमाण्विक गैस है,इसलिए इसकी स्वतंत्रता की कोटि (degrees of freedom) $f_1 = 3$ है,और $C_{V1} = \frac{3}{2} R$ है।
ऑक्सीजन द्वि-परमाण्विक गैस है,इसलिए इसकी स्वतंत्रता की कोटि $f_2 = 5$ है (कंपन मोड की उपेक्षा करते हुए),और $C_{V2} = \frac{5}{2} R$ है।
कुल आंतरिक ऊर्जा $U = n_1 C_{V1} T + n_2 C_{V2} T$ है।
दिए गए मानों को रखने पर: $U = (8 \times \frac{3}{2} R \times T) + (6 \times \frac{5}{2} R \times T)$.
$U = (12 RT) + (15 RT) = 27 RT$.

(A) मिश्रण के लिए स्थिर आयतन पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा का सूत्र है: $C_{V,mix} = \frac{n_1 C_{V,1} + n_2 C_{V,2}}{n_1 + n_2}$।
एक-परमाणुक गैस के लिए,$C_{V,1} = \frac{3}{2} R$ और $n_1 = 2$ है।
द्वि-परमाणुक गैस के लिए,$C_{V,2} = \frac{5}{2} R$ और $n_2 = 6$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$C_{V,mix} = \frac{2 \times (\frac{3}{2} R) + 6 \times (\frac{5}{2} R)}{2 + 6}$
$C_{V,mix} = \frac{3R + 15R}{8}$
$C_{V,mix} = \frac{18R}{8} = \frac{9}{4} R$।

(D) स्थिर दाब पर गैसों के मिश्रण के लिए,किया गया कार्य $W = n_{mix} R \Delta T = 66 \ J$ द्वारा दिया जाता है।
मिश्रण के लिए स्थिर आयतन पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $(C_V)_{mix} = \frac{n_1 C_{V1} + n_2 C_{V2}}{n_1 + n_2}$ द्वारा दी जाती है।
एकपरमाणुक गैस के लिए,$C_{V1} = \frac{3}{2} R$। द्विपरमाणुक गैस के लिए,$C_{V2} = \frac{5}{2} R$।
मान रखने पर: $(C_V)_{mix} = \frac{2 \times (3/2)R + 1 \times (5/2)R}{2 + 1} = \frac{3R + 2.5R}{3} = \frac{5.5R}{3} = \frac{11}{6} R$।
आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = n_{total} (C_V)_{mix} \Delta T$ है।
चूंकि $n_{total} = n_1 + n_2 = 3$,इसलिए $\Delta U = 3 \times (\frac{11}{6} R) \Delta T = \frac{11}{2} R \Delta T$।
कार्य के समीकरण से,$n_{total} R \Delta T = 66$,इसलिए $3 R \Delta T = 66$,जिसका अर्थ है कि $R \Delta T = 22$।
इस मान को आंतरिक ऊर्जा के समीकरण में रखने पर: $\Delta U = \frac{11}{2} \times 22 = 11 \times 11 = 121 \ J$।

(D) मिश्रण के लिए: $n_1 = 5$ (एकपरमाणुक),$C_{v1} = 3R/2$; $n_2 = 1$ (द्विपरमाणुक),$C_{v2} = 5R/2$.
कुल मोल $n = 5 + 1 = 6$.
$(C_v)_m = \frac{n_1 C_{v1} + n_2 C_{v2}}{n_1 + n_2} = \frac{5(3R/2) + 1(5R/2)}{6} = \frac{10R}{6} = \frac{5R}{3}$.
$(C_p)_m = (C_v)_m + R = \frac{5R}{3} + R = \frac{8R}{3}$.
रुद्धोष्म नियतांक $\gamma_m = \frac{(C_p)_m}{(C_v)_m} = \frac{8/3}{5/3} = 1.6$. अतः,$(4)$ सही है।
रुद्धोष्म संपीडन के लिए: $P_0 V_0^{\gamma} = P_f (V_0/4)^{\gamma}$.
$P_f = P_0 (4)^{1.6} = P_0 (2^2)^{1.6} = P_0 (2^{3.2}) = 9.2 P_0$. अतः,$(1)$ सही है।
$T_f V_f^{\gamma-1} = T_0 V_0^{\gamma-1}$ का उपयोग करने पर,$T_f = T_0 (V_0 / (V_0/4))^{0.6} = T_0 (4)^{0.6} = T_0 (2^{1.2}) = 2.3 T_0$.
कुल आंतरिक ऊर्जा $U = n_1 (3/2 RT) + n_2 (5/2 RT) = 5(1.5 RT) + 1(2.5 RT) = 10 RT$.
$U_f = 10 R (2.3 T_0) = 23 RT_0$. अतः,$(2)$ गलत है।
किया गया कार्य $|W| = |\Delta U| = |n_f C_{vm} T_f - n_i C_{vm} T_i| = |6 \times (5R/6) \times (2.3 T_0 - T_0)| = |5R \times 1.3 T_0| = 6.5 RT_0$. अतः,$(3)$ गलत है।
सही कथन $(1)$ और $(4)$ हैं।

(D) आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ है,जहाँ $n = \frac{m}{M}$ है।
$n$ का मान रखने पर,हमें $PV = \frac{m}{M}RT$ प्राप्त होता है,जिसे $P = \frac{m}{V} \cdot \frac{RT}{M} = \frac{\rho RT}{M}$ के रूप में लिखा जा सकता है,जहाँ $\rho$ घनत्व है।
अतः,घनत्व $\rho = \frac{PM}{RT}$ है।
समान तापमान $T$ पर दो गैसों के लिए,उनके घनत्वों का अनुपात $\frac{\rho_1}{\rho_2} = \frac{P_1 M_1}{P_2 M_2}$ है।
परमाणु द्रव्यमानों का अनुपात $\frac{M_1}{M_2} = \frac{2}{3}$ और आंशिक दबावों का अनुपात $\frac{P_1}{P_2} = \frac{4}{3}$ दिया गया है।
इन मानों को रखने पर,हमें $\frac{\rho_1}{\rho_2} = \left(\frac{4}{3}\right) \times \left(\frac{2}{3}\right) = \frac{8}{9}$ प्राप्त होता है।

(C) $1$ मोल $H_2$ (द्वि-परमाणुक,$C_v = 5R/2$) और $1$ मोल $He$ (एक-परमाणुक,$C_v = 3R/2$) के मिश्रण के लिए:
कुल आंतरिक ऊर्जा $U = n_1 C_{v1} T + n_2 C_{v2} T = 1(5R/2)T + 1(3R/2)T = 4RT$.
प्रति मोल औसत ऊर्जा $= U / (n_1 + n_2) = 4RT / 2 = 2RT$. अतः,$(A)$ सही है।
मिश्रण के लिए,$C_{v,mix} = (n_1 C_{v1} + n_2 C_{v2}) / (n_1 + n_2) = (5R/2 + 3R/2) / 2 = 2R$.
$C_{p,mix} = C_{v,mix} + R = 3R$. $\gamma_{mix} = C_{p,mix} / C_{v,mix} = 3R / 2R = 1.5 = 3/2$.
ध्वनि की चाल $v = \sqrt{\gamma RT / M}$. $He$ के लिए,$\gamma = 5/3$ और $M = 4$. मिश्रण के लिए,$M_{mix} = (2+4)/2 = 3$.
अनुपात $v_{mix} / v_{He} = \sqrt{(\gamma_{mix} / M_{mix}) / (\gamma_{He} / M_{He})} = \sqrt{(1.5 / 3) / ((5/3) / 4)} = \sqrt{0.5 / (5/12)} = \sqrt{6/5}$. अतः,$(B)$ सही है।
$RMS$ चाल $v_{rms} = \sqrt{3RT/M}$. अनुपात $v_{rms,He} / v_{rms,H2} = \sqrt{M_{H2} / M_{He}} = \sqrt{2/4} = 1/\sqrt{2}$. अतः,$(D)$ सही है।

(B) आदर्श गैस के लिए,आंतरिक ऊर्जा $U = \frac{f}{2} nRT = \frac{f}{2} PV$ द्वारा दी जाती है। चूंकि विभाजन ऊष्मारोधी है,इसलिए विभाजन को हटाने पर निकाय की कुल आंतरिक ऊर्जा संरक्षित रहती है।
$U_{\text{initial}} = U_{\text{final}}$
$\frac{f_1}{2} P_1 V_1 + \frac{f_2}{2} P_2 V_2 = \frac{f_{\text{mix}}}{2} P_{\text{mix}} (V_1 + V_2)$
यह मानते हुए कि दोनों कक्षों में गैस समान है,$f_1 = f_2 = f_{\text{mix}} = f$ होगा।
$P_1 V_1 + P_2 V_2 = P_{\text{mix}} (V_1 + V_2)$
दिए गए मानों को रखने पर:
$(1 \ atm \times 2 \ L) + (2 \ atm \times 3 \ L) = P_{\text{mix}} (2 \ L + 3 \ L)$
$2 + 6 = P_{\text{mix}} (5)$
$8 = 5 P_{\text{mix}}$
$P_{\text{mix}} = \frac{8}{5} \ atm = 1.6 \ atm$.

(B) $C_p = C_v + R$
$\therefore$ हाइड्रोजन के लिए $C_p, C_{p_1} = \frac{5}{2} R + R = \frac{7}{2} R$
हीलियम के लिए $C_p, C_{p_2} = \frac{3}{2} R + R = \frac{5}{2} R$
जल वाष्प के लिए $C_p, C_{p_3} = 3 R + R = 4 R$
दिया गया है: $n_1 = 4, n_2 = 2, n_3 = 1$
मिश्रण की $C_p = \frac{n_1 C_{p_1} + n_2 C_{p_2} + n_3 C_{p_3}}{n_1 + n_2 + n_3}$
$= \frac{4 \times \frac{7}{2} R + 2 \times \frac{5}{2} R + 1 \times 4 R}{4 + 2 + 1}$
$= \frac{14 R + 5 R + 4 R}{7} = \frac{23 R}{7}$

(A) एकपरमाणुक गैस के लिए,स्थिर आयतन पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $C_{v1} = \frac{3}{2}R$ होती है।
द्विपरमाणुक गैस के लिए,स्थिर आयतन पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $C_{v2} = \frac{5}{2}R$ होती है।
$n_1$ मोल गैस $1$ और $n_2$ मोल गैस $2$ के मिश्रण के लिए,समतुल्य $C_v$ का मान $C_{v,mix} = \frac{n_1 C_{v1} + n_2 C_{v2}}{n_1 + n_2}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $C_{v,mix} = \frac{1 \cdot \frac{3}{2}R + 1 \cdot \frac{5}{2}R}{1 + 1} = \frac{4R}{2} = 2R$।
इसी प्रकार,समतुल्य $C_p$ का मान $C_{p,mix} = \frac{n_1 C_{p1} + n_2 C_{p2}}{n_1 + n_2}$ होता है। चूंकि $C_p = C_v + R$,इसलिए $C_{p1} = \frac{5}{2}R$ और $C_{p2} = \frac{7}{2}R$ होगा।
$C_{p,mix} = \frac{1 \cdot \frac{5}{2}R + 1 \cdot \frac{7}{2}R}{2} = \frac{6R}{2} = 3R$।
मिश्रण के लिए रुद्धोष्म सूचकांक (adiabatic index) $\gamma_{mix} = \frac{C_{p,mix}}{C_{v,mix}} = \frac{3R}{2R} = 1.5$ है।

(C) प्रारंभ में,प्रत्येक गैस का दाब $P$ और आयतन $V$ है। जब उन्हें मिलाया जाता है,तो मिश्रण का कुल आयतन $V_{1} = V + V = 2V$ होता है।
चूंकि तापमान स्थिर है,हम बॉयल के नियम का उपयोग करते हैं: $P_{1}V_{1} = P_{2}V_{2}$।
मिश्रण का प्रारंभिक दाब $P_{1}$,$P$ है (क्योंकि प्रत्येक गैस का दाब $P$ है और वे समान तापमान और आयतन पर हैं)।
अंतिम आयतन $V_{2} = \frac{V}{2}$ दिया गया है।
मान रखने पर: $P \times (2V) = P_{2} \times (\frac{V}{2})$।
$P_{2}$ के लिए हल करने पर: $P_{2} = \frac{P \times 2V}{V/2} = 4P$।

(C) माना मिश्रण का अंतिम संतुलन तापमान $T^{\circ} C$ है।
चूंकि पात्र बंद और विलगित है,गर्म गैस $(O_2)$ द्वारा खोई गई ऊष्मा,ठंडी गैस $(CO_2)$ द्वारा प्राप्त ऊष्मा के बराबर होगी।
$CO_2$ (अरेखीय त्रि-परमाणुक गैस) के लिए,स्थिर आयतन पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $C_{V, CO_2} = 3R$ है।
$O_2$ (द्वि-परमाणुक गैस) के लिए,स्थिर आयतन पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $C_{V, O_2} = \frac{5}{2}R$ है।
मोलों की संख्या: $\mu_{CO_2} = \frac{22}{44} = 0.5 \ mol$ और $\mu_{O_2} = \frac{16}{32} = 0.5 \ mol$ है।
कैलोरीमिति के सिद्धांत का उपयोग करने पर: $\mu_{CO_2} C_{V, CO_2} (T - 27) = \mu_{O_2} C_{V, O_2} (37 - T)$.
$0.5 \times 3R \times (T - 27) = 0.5 \times \frac{5}{2}R \times (37 - T)$.
$3(T - 27) = 2.5(37 - T)$.
$3T - 81 = 92.5 - 2.5T$.
$5.5T = 173.5$.
$T = \frac{173.5}{5.5} \approx 31.5^{\circ} C$.

(C) गैस की कुल आंतरिक ऊर्जा का सूत्र है:
$U = \frac{n f R T}{2}$
जहाँ $n$ मोलों की संख्या है और $f$ स्वतंत्रता की कोटि (degree of freedom) है।
दिया गया है,$n_{\text{diatomic}} = n_{\text{monoatomic}} = 2$.
एकपरमाणुक गैस के लिए,स्वतंत्रता की कोटि $f_{\text{monoatomic}} = 3$.
द्विपरमाणुक गैस के लिए,स्वतंत्रता की कोटि $f_{\text{diatomic}} = 5$.
प्रत्येक के लिए आंतरिक ऊर्जा की गणना:
$U_{\text{monoatomic}} = \frac{2 \times 3 \times R T}{2} = 3 R T$
$U_{\text{diatomic}} = \frac{2 \times 5 \times R T}{2} = 5 R T$
अतः,गैसों के मिश्रण की कुल आंतरिक ऊर्जा:
$U_{\text{total}} = U_{\text{monoatomic}} + U_{\text{diatomic}} = 3 R T + 5 R T = 8 R T$.

(C) दिया गया है: $n_1 = 1 \text{ mole}$,$n_2 = 1 \text{ mole}$,$\gamma_1 = \frac{7}{5}$,$\gamma_2 = \frac{4}{3}$.
गैसों के मिश्रण के लिए,समतुल्य रुद्धोष्म सूचकांक (adiabatic index) $\gamma_{\text{mix}}$ को निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\frac{n_1 + n_2}{\gamma_{\text{mix}} - 1} = \frac{n_1}{\gamma_1 - 1} + \frac{n_2}{\gamma_2 - 1}$
मान रखने पर:
$\frac{1 + 1}{\gamma_{\text{mix}} - 1} = \frac{1}{\frac{7}{5} - 1} + \frac{1}{\frac{4}{3} - 1}$
$\frac{2}{\gamma_{\text{mix}} - 1} = \frac{1}{\frac{2}{5}} + \frac{1}{\frac{1}{3}}$
$\frac{2}{\gamma_{\text{mix}} - 1} = \frac{5}{2} + 3 = \frac{5 + 6}{2} = \frac{11}{2}$
$\gamma_{\text{mix}} - 1 = \frac{4}{11}$
$\gamma_{\text{mix}} = 1 + \frac{4}{11} = \frac{15}{11}$.

(D) हीलियम का द्रव्यमान,$m_H = 16 \ g$। हीलियम का मोलर द्रव्यमान,$M_H = 4 \ g/mol$। हीलियम के मोलों की संख्या,$n_H = 16/4 = 4 \ mol$। हीलियम एक एकपरमाणुक गैस है,इसलिए स्थिर आयतन पर इसकी मोलर ऊष्मा धारिता $C_{v,H} = \frac{3}{2}R$ है।
ऑक्सीजन का द्रव्यमान,$m_O = 16 \ g$। ऑक्सीजन का मोलर द्रव्यमान,$M_O = 32 \ g/mol$। ऑक्सीजन के मोलों की संख्या,$n_O = 16/32 = 0.5 \ mol$। ऑक्सीजन एक द्विपरमाणुक गैस है,इसलिए स्थिर आयतन पर इसकी मोलर ऊष्मा धारिता $C_{v,O} = \frac{5}{2}R$ है।
मिश्रण की स्थिर आयतन पर मोलर ऊष्मा धारिता $C_{v,mix} = \frac{n_H C_{v,H} + n_O C_{v,O}}{n_H + n_O} = \frac{4(\frac{3}{2}R) + 0.5(\frac{5}{2}R)}{4 + 0.5} = \frac{6R + 1.25R}{4.5} = \frac{7.25R}{4.5} = \frac{29R}{18}$ है।
मिश्रण की स्थिर दाब पर मोलर ऊष्मा धारिता $C_{p,mix} = C_{v,mix} + R = \frac{29R/18} + R = \frac{47R}{18}$ है।
विशिष्ट ऊष्माओं का अनुपात $\gamma = \frac{C_{p,mix}}{C_{v,mix}} = \frac{47R/18}{29R/18} = \frac{47}{29} \approx 1.62$ है।

(A) दिया गया है: $n_{He} = 2$ मोल, $n_{H_2} = 2$ मोल, $T = \frac{972}{5} \,K$, $R = \frac{25}{3} \,J \,mol^{-1} \,K^{-1}$.
$1$. मिश्रण का मोलर द्रव्यमान $(M_{mix})$ ज्ञात करें:
$M_{mix} = \frac{n_1 M_1 + n_2 M_2}{n_1 + n_2} = \frac{2 \times 4 + 2 \times 2}{2 + 2} = \frac{8 + 4}{4} = 3 \,g/mol = 3 \times 10^{-3} \,kg/mol$.
$2$. मिश्रण का एडियाबेटिक इंडेक्स $(\gamma_{mix})$ ज्ञात करें:
हीलियम (एकपरमाणुक) के लिए, $f_1 = 3$. हाइड्रोजन (द्विपरमाणुक) के लिए, $f_2 = 5$.
$f_{mix} = \frac{n_1 f_1 + n_2 f_2}{n_1 + n_2} = \frac{2 \times 3 + 2 \times 5}{2 + 2} = \frac{16}{4} = 4$.
$\gamma_{mix} = 1 + \frac{2}{f_{mix}} = 1 + \frac{2}{4} = 1.5$.
$3$. ध्वनि की गति $(v)$ ज्ञात करें:
$v = \sqrt{\frac{\gamma_{mix} R T}{M_{mix}}} = \sqrt{\frac{1.5 \times \frac{25}{3} \times \frac{972}{5}}{3 \times 10^{-3}}} = 900 \,m/s$.
दिया गया है कि $v = n \times 100 \,m/s$, इसलिए $n = 9$.

(D) एकपरमाणुक गैस के लिए,स्वतंत्रता की कोटि (degrees of freedom) $f_1 = 3$ है। द्विपरमाणुक गैस के लिए,स्वतंत्रता की कोटि $f_2 = 5$ है।
मिश्रण के लिए रुद्धोष्म स्थिरांक $\gamma$ का सूत्र $\gamma_{mix} = \frac{C_{p,mix}}{C_{v,mix}} = \frac{n_1 C_{p1} + n_2 C_{p2}}{n_1 C_{v1} + n_2 C_{v2}}$ है।
यहाँ $n_1 = 1$ (एकपरमाणुक) और $n_2 = n$ (द्विपरमाणुक) दिया गया है।
$C_{v1} = \frac{3}{2}R$,$C_{p1} = \frac{5}{2}R$.
$C_{v2} = \frac{5}{2}R$,$C_{p2} = \frac{7}{2}R$.
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\gamma_{mix} = \frac{1(\frac{5}{2}R) + n(\frac{7}{2}R)}{1(\frac{3}{2}R) + n(\frac{5}{2}R)} = \frac{5 + 7n}{3 + 5n}$.
दिया गया है कि $\gamma_{mix} = \frac{13}{9}$,इसलिए $\frac{5 + 7n}{3 + 5n} = \frac{13}{9}$.
तिर्यक गुणा करने पर: $9(5 + 7n) = 13(3 + 5n)$.
$45 + 63n = 39 + 65n$.
$45 - 39 = 65n - 63n$.
$6 = 2n$,जिससे $n = 3$ प्राप्त होता है।

(D) गैसीय मिश्रण की कुल आंतरिक ऊर्जा $U$ उसके व्यक्तिगत घटकों की आंतरिक ऊर्जाओं का योग होती है।
$n$ मोल और $f$ स्वतंत्रता की कोटि (degrees of freedom) वाली गैस के लिए,आंतरिक ऊर्जा $U = n \cdot \frac{f}{2} RT$ द्वारा दी जाती है।
ऑक्सीजन $(O_2)$ एक द्वि-परमाणुक गैस है। कंपन मोड की उपेक्षा करने पर,इसकी स्वतंत्रता की कोटि $f_1 = 5$ है।
ऑक्सीजन की आंतरिक ऊर्जा: $U_1 = n_1 \cdot \frac{f_1}{2} RT = 2 \cdot \frac{5}{2} RT = 5 RT$.
आर्गन $(Ar)$ एक एक-परमाणुक गैस है,इसलिए इसकी स्वतंत्रता की कोटि $f_2 = 3$ है।
आर्गन की आंतरिक ऊर्जा: $U_2 = n_2 \cdot \frac{f_2}{2} RT = 4 \cdot \frac{3}{2} RT = 6 RT$.
कुल आंतरिक ऊर्जा $U = U_1 + U_2 = 5 RT + 6 RT = 11 RT$.

(C) पात्र में मोलों की कुल संख्या $n$ प्रत्येक गैस के मोलों का योग है: $n = 2 + 5 + 3 = 10 \ mol$.
केल्विन में तापमान $T = 0 \ ^{\circ}C + 273 = 273 \ K$ है।
पात्र का आयतन $V = 16.62 \ m^3$ है।
आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ का उपयोग करते हुए,दाब $P$ के लिए:
$P = \frac{nRT}{V}$
$P = \frac{10 \times 8.31 \times 273}{16.62}$
$P = \frac{83.1 \times 273}{16.62}$
$P = 5 \times 273 = 1365 \ Pa$.
अतः,पात्र में दाब $1365 \ Pa$ है।

(C) गैस की आंतरिक ऊर्जा $U$ का सूत्र $U = \frac{f}{2}nRT$ है,जहाँ $f$ स्वतंत्रता की कोटि (degrees of freedom) है,$n$ मोलों की संख्या है,$R$ सार्वत्रिक गैस नियतांक है और $T$ परम तापमान है।
ऑक्सीजन $(O_2)$ के लिए,जो एक द्वि-परमाणुक गैस है,स्वतंत्रता की कोटि $f_1 = 5$ है (कंपन मोड की उपेक्षा करते हुए)।
आर्गन $(Ar)$ के लिए,जो एक एक-परमाणुक गैस है,स्वतंत्रता की कोटि $f_2 = 3$ है।
कुल आंतरिक ऊर्जा $U_{total} = U_{O_2} + U_{Ar}$ होगी।
$U_{total} = \frac{f_1}{2}n_1RT + \frac{f_2}{2}n_2RT$.
यहाँ $n_1 = 3$ मोल और $n_2 = 4$ मोल दिए गए हैं।
$U_{total} = \frac{5}{2}(3)RT + \frac{3}{2}(4)RT$.
$U_{total} = 7.5RT + 6RT = 13.5RT$.

(C) गैस मिश्रण के लिए,एडियाबेटिक इंडेक्स $\gamma_{\text{mix}} = \frac{C_{p(\text{mix})}}{C_{V(\text{mix})}}$ होता है।
मिश्रण के गुणों के लिए सूत्र: $\gamma_{\text{mix}} = \frac{n_1 C_{p1} + n_2 C_{p2}}{n_1 C_{V1} + n_2 C_{V2}}$ है।
ऑक्सीजन $(O_2)$ के लिए,जो द्विपरमाणुक है: $n_1 = \frac{4 \ g}{32 \ g/mol} = \frac{1}{8} \ mol$. $C_{p1} = \frac{7}{2}R$,$C_{V1} = \frac{5}{2}R$.
हीलियम (He) के लिए,जो एकपरमाणुक है: $n_2 = \frac{4 \ g}{4 \ g/mol} = 1 \ mol$. $C_{p2} = \frac{5}{2}R$,$C_{V2} = \frac{3}{2}R$.
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\gamma_{\text{mix}} = \frac{(\frac{1}{8} \times \frac{7}{2}R) + (1 \times \frac{5}{2}R)}{(\frac{1}{8} \times \frac{5}{2}R) + (1 \times \frac{3}{2}R)}$
$\gamma_{\text{mix}} = \frac{\frac{7}{16} + \frac{5}{2}}{\frac{5}{16} + \frac{3}{2}} = \frac{\frac{7+40}{16}}{\frac{5+24}{16}} = \frac{47}{29}$.

(A) डाल्टन के आंशिक दाब के नियम के अनुसार,अक्रियाशील गैसों के मिश्रण द्वारा लगाया गया कुल दाब व्यक्तिगत गैसों के आंशिक दाबों के योग के बराबर होता है।
गैस $A$ के लिए,जब यह $T$ ताप पर $V$ आयतन घेरती है,तो दाब $P$ होता है।
गैस $B$ के लिए,जब यह $T$ ताप पर $V$ आयतन घेरती है,तो दाब $P$ होता है।
जब दोनों गैसों को समान ताप $T$ पर समान आयतन $V$ में मिलाया जाता है,तो कुल दाब $P_{mix}$ व्यक्तिगत दाबों का योग होता है।
$P_{mix} = P_A + P_B = P + P = 2 P$.

(B) आदर्श एकपरमाणुक गैस के लिए,आंतरिक ऊर्जा $U = n C_v T$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $C_v = \frac{3}{2} R$ है।
चूँकि गैसें एक विलगित निकाय में मिश्रित होती हैं,इसलिए कुल आंतरिक ऊर्जा संरक्षित रहती है: $U_{mix} = U_1 + U_2$.
$(n_1 + n_2) C_v T_{mix} = n_1 C_v T_1 + n_2 C_v T_2$.
चूँकि दोनों एकपरमाणुक गैसों के लिए $C_v$ समान है,यह कट जाएगा:
$(n_1 + n_2) T_{mix} = n_1 T_1 + n_2 T_2$.
दिया गया है: $n_1 = 2 \text{ mol}$,$T_1 = 27 + 273 = 300 \text{ K}$,$n_2 = 4 \text{ mol}$,$T_2 = 327 + 273 = 600 \text{ K}$.
$(2 + 4) T_{mix} = (2 \times 300) + (4 \times 600)$.
$6 T_{mix} = 600 + 2400 = 3000$.
$T_{mix} = \frac{3000}{6} = 500 \text{ K}$.
सेल्सियस में बदलने पर: $T_{mix} = 500 - 273 = 227^{\circ} C$.

(B) $n$ मोल गैस की आंतरिक ऊर्जा $U = n \frac{f}{2} RT$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $f$ स्वतंत्रता की कोटि (degrees of freedom) है।
एक-परमाणुक गैसों $(He, Ar)$ के लिए,$f = 3$ है।
द्वि-परमाणुक गैसों $(N_2, H_2)$ के लिए,$f = 5$ है (कंपन विधाओं को अनदेखा करते हुए)।
कुल आंतरिक ऊर्जा $U_{total} = U_{He} + U_{Ar} + U_{N_2} + U_{H_2}$ है।
$U_{total} = (3 \times \frac{3}{2} RT) + (1 \times \frac{3}{2} RT) + (5 \times \frac{5}{2} RT) + (3 \times \frac{5}{2} RT)$ है।
$U_{total} = (4.5 + 1.5 + 12.5 + 7.5) RT = 26 RT$।

(D) गैस की आंतरिक ऊर्जा $U$ का सूत्र $U = \frac{f}{2} nRT$ है,जहाँ $f$ स्वतंत्रता की कोटि (degrees of freedom) है,$n$ मोलों की संख्या है,$R$ सार्वत्रिक गैस नियतांक है और $T$ तापमान है।
ऑक्सीजन $(O_2)$ के लिए,जो एक द्वि-परमाणुक गैस है,स्वतंत्रता की कोटि $f_1 = 5$ है (कंपन विधाओं की उपेक्षा करते हुए)। मोलों की संख्या $n_1 = 2$ है।
ऑक्सीजन की आंतरिक ऊर्जा $U_1 = \frac{5}{2} \times 2 \times RT = 5 RT$.
आर्गन $(Ar)$ के लिए,जो एक एक-परमाणुक गैस है,स्वतंत्रता की कोटि $f_2 = 3$ है। मोलों की संख्या $n_2 = 4$ है।
आर्गन की आंतरिक ऊर्जा $U_2 = \frac{3}{2} \times 4 \times RT = 6 RT$.
निकाय की कुल आंतरिक ऊर्जा $U_{total} = U_1 + U_2 = 5 RT + 6 RT = 11 RT$ होगी।

(B) हीलियम का द्रव्यमान, $m_{He} = 4 \,g$. हीलियम का मोलर द्रव्यमान $= 4 \,g/mol$. मोलों की संख्या $n_1 = 4/4 = 1 \,mol$.
ऑक्सीजन का द्रव्यमान, $m_{O_2} = 32 \,g$. ऑक्सीजन का मोलर द्रव्यमान $= 32 \,g/mol$. मोलों की संख्या $n_2 = 32/32 = 1 \,mol$.
हीलियम एक परमाण्विक गैस है, इसलिए स्वतंत्रता की कोटि $f_1 = 3$.
ऑक्सीजन द्वि-परमाण्विक गैस है, इसलिए स्वतंत्रता की कोटि $f_2 = 5$.
मिश्रण का विशिष्ट ऊष्मा अनुपात $\gamma_{mix} = \frac{n_1 C_{p1} + n_2 C_{p2}}{n_1 C_{V1} + n_2 C_{V2}}$ द्वारा दिया जाता है।
$C_V = \frac{f}{2}R$ और $C_p = (1 + \frac{f}{2})R$ का उपयोग करते हुए:
$C_{V,mix} = \frac{n_1(f_1/2)R + n_2(f_2/2)R}{n_1 + n_2} = \frac{1(3/2)R + 1(5/2)R}{1 + 1} = \frac{4R}{2} = 2R$.
$C_{p,mix} = C_{V,mix} + R = 2R + R = 3R$.
अतः, $\gamma_{mix} = \frac{3R}{2R} = \frac{3}{2}$.

(A) गैस मिश्रण के लिए,स्थिर आयतन और स्थिर दाब पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा इस प्रकार है:
$C_V = \frac{n_1 C_{V_1} + n_2 C_{V_2}}{n_1 + n_2}$ और $C_p = \frac{n_1 C_{p_1} + n_2 C_{p_2}}{n_1 + n_2}$
एकपरमाणुक गैस के लिए,स्वतंत्रता की कोटि $f_1 = 3$,इसलिए $C_{V_1} = \frac{3}{2}R$ और $C_{p_1} = \frac{5}{2}R$ है।
द्विपरमाणुक गैस के लिए,स्वतंत्रता की कोटि $f_2 = 5$,इसलिए $C_{V_2} = \frac{5}{2}R$ और $C_{p_2} = \frac{7}{2}R$ है।
रुद्धोष्म घातांक $\gamma = \frac{C_p}{C_V} = 1.5 = \frac{3}{2}$ है।
मान रखने पर:
$\frac{C_p}{C_V} = \frac{n_1(\frac{5}{2}R) + n_2(\frac{7}{2}R)}{n_1(\frac{3}{2}R) + n_2(\frac{5}{2}R)} = \frac{5n_1 + 7n_2}{3n_1 + 5n_2} = \frac{3}{2}$
तिर्यक गुणा करने पर:
$2(5n_1 + 7n_2) = 3(3n_1 + 5n_2)$
$10n_1 + 14n_2 = 9n_1 + 15n_2$
$n_1 = n_2$
अतः,अनुपात $\frac{n_1}{n_2} = 1$ है।

(A) आदर्श गैस समीकरण के अनुसार,$PV = nRT$ होता है। चूंकि पात्र में दोनों गैसों के लिए आयतन $V$ और तापमान $T$ समान हैं,इसलिए मोलों की संख्या $n$ गैस के आंशिक दाब $p$ के सीधे समानुपाती होती है $(n \propto p)$।
प्रारंभ में,नाइट्रोजन का दाब $p_{N_2} = 100 \ kPa$ है।
ऑक्सीजन मिलाने के बाद,कुल दाब $300 \ kPa$ हो जाता है। इसलिए,ऑक्सीजन का आंशिक दाब $p_{O_2} = P_{total} - p_{N_2} = 300 \ kPa - 100 \ kPa = 200 \ kPa$ होगा।
$N_2$ अणुओं की संख्या और $O_2$ अणुओं की संख्या का अनुपात उनके मोलों के अनुपात के बराबर होता है,जो उनके आंशिक दाब के अनुपात के बराबर है:
$\frac{n_{N_2}}{n_{O_2}} = \frac{p_{N_2}}{p_{O_2}} = \frac{100 \ kPa}{200 \ kPa} = 0.5$.

(D) $1$. प्रत्येक गैस के लिए मोल की संख्या $(n)$ की गणना करें:
$n_{O_2} = \frac{64 \ g}{32 \ g/mol} = 2 \ mol$
$n_{N_2} = \frac{28 \ g}{28 \ g/mol} = 1 \ mol$
$n_{CO_2} = \frac{132 \ g}{44 \ g/mol} = 3 \ mol$
$2$. प्रारंभ में कुल मोल की संख्या $n_{total} = 2 + 1 + 3 = 6 \ mol$ है।
$3$. आदर्श गैस समीकरण के अनुसार,$PV = nRT$। चूंकि $V, R, T$ स्थिर हैं,इसलिए $P \propto n$ होगा।
$4$. अतः,$P = k \times 6$,जहाँ $k$ एक स्थिरांक है।
$5$. ऑक्सीजन को हटाने के बाद,शेष मोल $n_{remaining} = 1 (N_2) + 3 (CO_2) = 4 \ mol$ हैं।
$6$. नया दाब $P'$ होगा $P' = k \times 4$।
$7$. अनुपात लेने पर: $\frac{P'}{P} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$।
$8$. इस प्रकार,$P' = \frac{2 P}{3}$।

(C) एक आदर्श गैस के लिए प्रति अणु औसत गतिज ऊर्जा का सूत्र $\langle KE \rangle = \frac{f}{2} K_B T$ है,जहाँ $f$ स्वतंत्रता की कोटि (degrees of freedom) है,$K_B$ बोल्ट्ज़मान स्थिरांक है और $T$ परम तापमान है।
चूँकि दोनों गैसें एक ही पात्र में तापीय साम्यावस्था में हैं,इसलिए उनका तापमान $T = 30^{\circ} C$ समान है।
दोनों द्वि-परमाणुक गैसों (हाइड्रोजन और नाइट्रोजन) के लिए स्वतंत्रता की कोटि $f = 5$ होती है।
अतः,हाइड्रोजन के लिए प्रति अणु औसत गतिज ऊर्जा $\langle KE \rangle_{H_2} = \frac{5}{2} K_B T$ है।
इसी प्रकार,नाइट्रोजन के लिए प्रति अणु औसत गतिज ऊर्जा $\langle KE \rangle_{N_2} = \frac{5}{2} K_B T$ है।
अतः,प्रति अणु औसत गतिज ऊर्जा का अनुपात $\frac{\langle KE \rangle_{H_2}}{\langle KE \rangle_{N_2}} = \frac{\frac{5}{2} K_B T}{\frac{5}{2} K_B T} = 1: 1$ होगा।
यहाँ द्रव्यमान का अनुपात अप्रासंगिक है क्योंकि प्रति अणु औसत गतिज ऊर्जा केवल तापमान पर निर्भर करती है।

(A) डाल्टन के आंशिक दाब के नियम के अनुसार,अक्रियाशील गैसों के मिश्रण द्वारा लगाया गया कुल दाब व्यक्तिगत गैसों के आंशिक दाबों के योग के बराबर होता है।
गैस $A$ के लिए,$V$ आयतन और $T$ ताप पर दाब $P$ है।
गैस $B$ के लिए,$V$ आयतन और $T$ ताप पर दाब $P$ है।
जब इन्हें $V$ आयतन के पात्र में $T$ ताप पर मिश्रित किया जाता है,तो कुल दाब $P_{mix}$ व्यक्तिगत दाबों के योग के बराबर होता है:
$P_{mix} = P_A + P_B = P + P = 2 P$.

(A) डाल्टन के आंशिक दबाव के नियम के अनुसार,गैसों के मिश्रण का कुल दबाव $p$ व्यक्तिगत गैसों के आंशिक दबावों का योग होता है: $p = p_1 + p_2 + p_3$।
आदर्श गैस समीकरण $pV = nRT$ का उपयोग करते हुए,प्रत्येक गैस का दबाव $p_i = \frac{n_i RT}{V}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि मिश्रण में सभी गैसों के लिए तापमान $T$ और आयतन $V$ समान हैं,इसलिए कुल दबाव होगा:
$p = \frac{n_1 RT}{V} + \frac{n_2 RT}{V} + \frac{n_3 RT}{V}$
$p = \frac{(n_1 + n_2 + n_3) RT}{V}$।

(C) आदर्श गैस समीकरण $pV = nRT$ द्वारा दिया जाता है।
ऑक्सीजन के लिए: $p_1 = 1 \,atm$,$V_1 = 1 \,L$। मोलों की संख्या $n_{O_2} = \frac{p_1 V_1}{RT} = \frac{1 \times 1}{RT} = \frac{1}{RT}$ है।
नाइट्रोजन के लिए: $p_2 = 0.5 \,atm$,$V_2 = 2 \,L$। मोलों की संख्या $n_{N_2} = \frac{p_2 V_2}{RT} = \frac{0.5 \times 2}{RT} = \frac{1}{RT}$ है।
जब इन गैसों को समान तापमान $T$ पर $V_{mix} = 1 \,L$ आयतन वाले पात्र में डाला जाता है,तो कुल मोलों की संख्या $n_{mix} = n_{O_2} + n_{N_2} = \frac{1}{RT} + \frac{1}{RT} = \frac{2}{RT}$ होती है।
अंतिम दबाव $p_{mix}$ का मान $p_{mix} = \frac{n_{mix} RT}{V_{mix}} = \frac{(2/RT) \times RT}{1} = 2 \,atm$ है।