Mixture of Gases Questions in Hindi

(C) आदर्श गैस नियम के अनुसार,$PV = nRT$। चूंकि आयतन $V$,तापमान $T$ और गैस स्थिरांक $R$ स्थिर हैं,इसलिए $P \propto n$ होता है।
नाइट्रोजन के प्रारंभिक मोल $(n_{N_2})$: $n_{N_2} = \frac{\text{द्रव्यमान}}{\text{मोलर द्रव्यमान}} = \frac{35 \, kg}{28 \, g/mol} = \frac{35000 \, g}{28 \, g/mol} = 1250 \, mol$।
समानुपातिकता $P_1/P_2 = n_1/n_2$ का उपयोग करने पर:
$6/9 = 1250 / n_{total}$
$n_{total} = 1250 \times (9/6) = 1250 \times 1.5 = 1875 \, mol$।
कुल मोल $n_{total} = n_{N_2} + n_{O_2}$,इसलिए $n_{O_2} = 1875 - 1250 = 625 \, mol$।
आपूर्ति की गई ऑक्सीजन का द्रव्यमान = $n_{O_2} \times O_2$ का मोलर द्रव्यमान = $625 \, mol \times 32 \, g/mol = 20000 \, g = 20 \, kg$।

(A) दिया गया है: आयतन $V = 0.02 \, m^3$,तापमान $T = 20 + 273 = 293 \, K$,दाब $P = 2 \, atm = 2.026 \times 10^5 \, Pa$। कुल द्रव्यमान $M = 5 \, g$।
माना हाइड्रोजन का द्रव्यमान $m_H$ और हीलियम का द्रव्यमान $m_{He}$ है। अतः $m_H + m_{He} = 5 \, g$।
आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $n = \frac{m}{M_{mol}}$:
$PV = \left( \frac{m_H}{2} + \frac{m_{He}}{4} \right) RT$।
$2.026 \times 10^5 \times 0.02 = \left( \frac{m_H}{2} + \frac{5 - m_H}{4} \right) \times 8.314 \times 293$.
$4052 = \left( \frac{m_H + 5}{4} \right) \times 2436$.
$16208 = 2436m_H + 12180$.
$4028 = 2436m_H \implies m_H \approx 1.65 \, g$.
$m_{He} = 5 - 1.65 = 3.35 \, g$.
अनुपात $m_H : m_{He} = 1.65 : 3.35 \approx 1 : 2$।

(C) मिश्रण के लिए आदर्श गैस समीकरण $PV = n_{total}RT$ है,जहाँ $n_{total} = \sum \frac{m_i}{M_i}$ है।
सबसे पहले,प्रत्येक गैस के लिए मोल की संख्या की गणना करें:
$n_{N_2} = \frac{28 \, g}{28 \, g/mol} = 1 \, mol$
$n_{H_2} = \frac{4 \, g}{2 \, g/mol} = 2 \, mol$
$n_{He} = \frac{8 \, g}{4 \, g/mol} = 2 \, mol$
कुल मोल $n_{total} = 1 + 2 + 2 = 5 \, mol$.
कुल द्रव्यमान $m_{total} = 28 + 4 + 8 = 40 \, g = 0.04 \, kg$.
आदर्श गैस समीकरण $PV = n_{total}RT$ का उपयोग करके,आयतन $V = \frac{n_{total}RT}{P}$ ज्ञात करें।
$V = \frac{5 \times 8.3 \times 400}{8.3 \times 10^5} = \frac{2000}{10^5} = 0.02 \, m^3$.
घनत्व $\rho = \frac{m_{total}}{V} = \frac{0.04 \, kg}{0.02 \, m^3} = 2 \, kg/m^3$.
चूंकि $1 \, kg/m^3 = 1 \, g/litre$,इसलिए घनत्व $2 \, g/litre$ है।

(B) गैसों के मिश्रण का समतुल्य मोलर द्रव्यमान $(M_{mix})$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$M_{mix} = \frac{n_1 M_1 + n_2 M_2}{n_1 + n_2}$
दिया गया है:
$n_1 = 5 \ mol$ (हीलियम),$M_1 = 4 \ g/mol$
$n_2 = 2 \ mol$ (हाइड्रोजन),$M_2 = 2 \ g/mol$
मान रखने पर:
$M_{mix} = \frac{(5 \times 4) + (2 \times 2)}{5 + 2}$
$M_{mix} = \frac{20 + 4}{7}$
$M_{mix} = \frac{24}{7} \ g/mol$

(A) हीलियम $(He)$ एक परमाण्विक गैस है,इसलिए इसकी स्वतंत्रता की कोटि $f_1 = 3$ है। मोलों की संख्या $n_1 = 5$ है।
हाइड्रोजन $(H_2)$ द्वि-परमाण्विक गैस है,इसलिए इसकी स्वतंत्रता की कोटि $f_2 = 5$ है। मोलों की संख्या $n_2 = 2$ है।
गैसों के मिश्रण के लिए समतुल्य स्वतंत्रता की कोटि $f_{mix}$ का सूत्र है:
$f_{mix} = \frac{n_1 f_1 + n_2 f_2}{n_1 + n_2}$
मान रखने पर:
$f_{mix} = \frac{(5 \times 3) + (2 \times 5)}{5 + 2}$
$f_{mix} = \frac{15 + 10}{7}$
$f_{mix} = \frac{25}{7} \approx 3.57$
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(C) गैसों के मिश्रण के लिए,स्थिर आयतन पर समतुल्य मोलर विशिष्ट ऊष्मा $C_{V,mix} = \frac{n_1 C_{V1} + n_2 C_{V2}}{n_1 + n_2}$ द्वारा दी जाती है।
हीलियम एक परमाण्विक गैस है,इसलिए $C_{V1} = \frac{3}{2}R$। हाइड्रोजन द्वि-परमाण्विक गैस है,इसलिए $C_{V2} = \frac{5}{2}R$।
यहाँ $n_1 = 5 \ mol$ और $n_2 = 2 \ mol$ दिया गया है,इसलिए $C_{V,mix} = \frac{5(\frac{3}{2}R) + 2(\frac{5}{2}R)}{5 + 2} = \frac{7.5R + 5R}{7} = \frac{12.5R}{7}$।
स्थिर दबाव पर समतुल्य मोलर विशिष्ट ऊष्मा $C_{P,mix} = \frac{n_1 C_{P1} + n_2 C_{P2}}{n_1 + n_2}$ है।
हीलियम के लिए,$C_{P1} = \frac{5}{2}R$। हाइड्रोजन के लिए,$C_{P2} = \frac{7}{2}R$।
$C_{P,mix} = \frac{5(\frac{5}{2}R) + 2(\frac{7}{2}R)}{5 + 2} = \frac{12.5R + 7R}{7} = \frac{19.5R}{7}$।
एडियाबेटिक इंडेक्स $\gamma_{mix} = \frac{C_{P,mix}}{C_{V,mix}} = \frac{19.5R/7}{12.5R/7} = \frac{19.5}{12.5} = 1.56$।

(D) गैस की आंतरिक ऊर्जा एक विस्तीर्ण गुण (extensive property) है,जिसका अर्थ है कि यह उपस्थित पदार्थ की कुल मात्रा पर निर्भर करती है।
जब दो गैर-अभिक्रियाशील गैसों को मिलाया जाता है,तो परिणामी मिश्रण की कुल आंतरिक ऊर्जा व्यक्तिगत घटकों की आंतरिक ऊर्जा के योग के बराबर होती है।
दिया गया है:
$He$ नमूने की आंतरिक ऊर्जा $(U_{He})$ = $100\ J$
$H_2$ नमूने की आंतरिक ऊर्जा $(U_{H_2})$ = $200\ J$
चूंकि गैसें रासायनिक रूप से अभिक्रिया नहीं करती हैं,इसलिए मिश्रण की कुल आंतरिक ऊर्जा $(U_{mix})$ है:
$U_{mix} = U_{He} + U_{H_2}$
$U_{mix} = 100\ J + 200\ J = 300\ J$

(D) चूंकि ऊर्जा की कोई हानि नहीं होती है और कोई बाहरी कार्य नहीं किया जाता है,इसलिए निकाय की कुल आंतरिक ऊर्जा संरक्षित रहती है।
एक-परमाणुक गैस की आंतरिक ऊर्जा $U = \frac{3}{2} n R T$ द्वारा दी जाती है।
मान लीजिए कि मिश्रण का अंतिम तापमान $T$ है।
कुल प्रारंभिक आंतरिक ऊर्जा $U_i = \frac{3}{2} n_1 R T_1 + \frac{3}{2} n_2 R T_2$ है।
कुल अंतिम आंतरिक ऊर्जा $U_f = \frac{3}{2} (n_1 + n_2) R T$ है।
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,$U_i = U_f$।
$\frac{3}{2} n_1 R T_1 + \frac{3}{2} n_2 R T_2 = \frac{3}{2} (n_1 + n_2) R T$।
दोनों पक्षों को $\frac{3}{2} R$ से विभाजित करने पर,हमें $n_1 T_1 + n_2 T_2 = (n_1 + n_2) T$ प्राप्त होता है।
अतः,अंतिम तापमान $T = \frac{n_1 T_1 + n_2 T_2}{n_1 + n_2}$ होगा।

(D) $N_2$ के मोलों की संख्या: $n_{N_2} = \frac{7 \, kg}{28 \, kg/kmol} = 0.25 \, kmol$.
$N_2$ के लिए स्वतंत्रता की कोटि (degrees of freedom): $f_{N_2} = \frac{2}{\gamma_{N_2}-1} = \frac{2}{1.4-1} = 5$.
$CO_2$ के मोलों की संख्या: $n_{CO_2} = \frac{11 \, kg}{44 \, kg/kmol} = 0.25 \, kmol$.
$CO_2$ के लिए स्वतंत्रता की कोटि: $f_{CO_2} = \frac{2}{\gamma_{CO_2}-1} = \frac{2}{1.3-1} = \frac{20}{3}$.
समतुल्य आणविक द्रव्यमान $M_{mix} = \frac{m_1 + m_2}{n_1 + n_2} = \frac{7 + 11}{0.25 + 0.25} = \frac{18}{0.5} = 36 \, kg/kmol$.
समतुल्य स्वतंत्रता की कोटि $f_{mix} = \frac{n_1 f_1 + n_2 f_2}{n_1 + n_2} = \frac{0.25(5) + 0.25(20/3)}{0.25 + 0.25} = \frac{5 + 20/3}{2} = \frac{35/3}{2} = \frac{35}{6}$.
समतुल्य रुद्धोष्म सूचकांक (adiabatic index) $\gamma_{mix} = 1 + \frac{2}{f_{mix}} = 1 + \frac{2}{35/6} = 1 + \frac{12}{35} = \frac{47}{35}$.
अतः,$(A)$ और $(B)$ दोनों सही हैं।

(B) चूंकि कंटेनर इंसुलेटेड है,$Q = 0$। चूंकि विभाजन को बिना कोई कार्य किए हटाया जाता है,$W = 0$।
ऊष्मागतिकी के पहले नियम के अनुसार,$\Delta U = Q + W = 0$।
इसका अर्थ है कि कुल आंतरिक ऊर्जा स्थिर रहती है: $U_{initial} = U_{final}$।
आदर्श गैस के लिए,आंतरिक ऊर्जा $U = n C_v T$ होती है।
अतः,$n_1 C_v T_1 + n_2 C_v T_2 = (n_1 + n_2) C_v T$।
दोनों पक्षों से $C_v$ को हटाने पर,हमें $T = \frac{n_1 T_1 + n_2 T_2}{n_1 + n_2}$ प्राप्त होता है।
आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ का उपयोग करते हुए,$n_1 = \frac{P_1 V_1}{R T_1}$ और $n_2 = \frac{P_2 V_2}{R T_2}$ है।
इन मानों को $T$ के समीकरण में रखने पर:
$T = \frac{(\frac{P_1 V_1}{R T_1}) T_1 + (\frac{P_2 V_2}{R T_2}) T_2}{\frac{P_1 V_1}{R T_1} + \frac{P_2 V_2}{R T_2}} = \frac{P_1 V_1 + P_2 V_2}{\frac{P_1 V_1}{R T_1} + \frac{P_2 V_2}{R T_2}}$।
हर (denominator) को सरल करने पर:
$T = \frac{R(P_1 V_1 + P_2 V_2)}{\frac{P_1 V_1 T_2 + P_2 V_2 T_1}{T_1 T_2}} = \frac{T_1 T_2 (P_1 V_1 + P_2 V_2)}{P_1 V_1 T_2 + P_2 V_2 T_1}$।

(C) चूंकि ऊर्जा का कोई ह्रास नहीं होता है,इसलिए मिश्रण की कुल आंतरिक ऊर्जा संरक्षित रहती है।
$T$ तापमान पर $n$ अणुओं वाली गैस की आंतरिक ऊर्जा $U = \frac{f}{2} n k_B T$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $f$ स्वतंत्रता की कोटि (degrees of freedom) है और $k_B$ बोल्ट्ज़मैन स्थिरांक है।
मिश्रण के लिए,कुल ऊर्जा व्यक्तिगत गैसों की ऊर्जाओं का योग है:
$U_{total} = U_1 + U_2 + U_3$
$\frac{f}{2} (n_1 + n_2 + n_3) k_B T_{mix} = \frac{f}{2} n_1 k_B T_1 + \frac{f}{2} n_2 k_B T_2 + \frac{f}{2} n_3 k_B T_3$
दोनों पक्षों से सामान्य पदों $\frac{f}{2} k_B$ को हटाने पर,हमें प्राप्त होता है:
$(n_1 + n_2 + n_3) T_{mix} = n_1 T_1 + n_2 T_2 + n_3 T_3$
अतः,मिश्रण का अंतिम तापमान है:
$T_{mix} = \frac{n_1 T_1 + n_2 T_2 + n_3 T_3}{n_1 + n_2 + n_3}$

(B) गैसों के गतिज सिद्धांत के अनुसार,गैस के अणु की औसत गतिज ऊर्जा केवल निरपेक्ष तापमान $T$ पर निर्भर करती है और इसे $K_{av} = \frac{3}{2} kT$ द्वारा दिया जाता है। चूंकि दोनों गैसें समान कमरे के तापमान पर हैं,इसलिए $H_2$ और $Ar$ दोनों के लिए प्रति अणु औसत गतिज ऊर्जा समान है। अतः,कथन $(i)$ सही है।
एक बंद पात्र में आदर्श गैस मिश्रण के लिए,एक घटक का आंशिक दबाव $p_i = \frac{n_i}{n_{total}} P_{total}$ द्वारा दिया जाता है। चूंकि हाइड्रोजन के मोलों की संख्या $(n_{H_2} = 2)$ आर्गन के मोलों की संख्या $(n_{Ar} = 1)$ से अधिक है,इसलिए हाइड्रोजन का आंशिक दबाव आर्गन के आंशिक दबाव से अधिक होगा। अतः,कथन $(ii)$ गलत है।

(A) $H_2$ के मोलों की संख्या $n_1 = \frac{1 \, g}{2 \, g/mol} = 0.5 \, mol$ है।
$O_2$ के मोलों की संख्या $n_2 = \frac{16 \, g}{32 \, g/mol} = 0.5 \, mol$ है।
$H_2$ और $O_2$ दोनों द्वि-परमाणुक गैसें हैं,इसलिए स्थिर आयतन पर उनकी मोलर विशिष्ट ऊष्मा समान है $(C_{v1} = C_{v2} = \frac{5}{2}R)$।
मिश्रण का अंतिम तापमान $T$ ऊर्जा संरक्षण के सिद्धांत द्वारा दिया जाता है:
$n_1 C_v (T - T_1) + n_2 C_v (T - T_2) = 0$
$T = \frac{n_1 T_1 + n_2 T_2}{n_1 + n_2}$
तापमान को केल्विन में बदलने पर: $T_1 = 27 + 273 = 300 \, K$ और $T_2 = 37 + 273 = 310 \, K$।
$T = \frac{0.5 \times 300 + 0.5 \times 310}{0.5 + 0.5} = \frac{150 + 155}{1} = 305 \, K$।
सेल्सियस में बदलने पर: $T = 305 - 273 = 32 \, ^oC$।

(C) हीलियम $(He)$ के लिए: मोलर द्रव्यमान $M_1 = 4 \ g/mol$,स्वतंत्रता की कोटि $f_1 = 3$,द्रव्यमान $m_1 = 8 \ g$। मोलों की संख्या $n_1 = 8/4 = 2 \ mol$।
ऑक्सीजन $(O_2)$ के लिए: मोलर द्रव्यमान $M_2 = 32 \ g/mol$,स्वतंत्रता की कोटि $f_2 = 5$,द्रव्यमान $m_2 = 16 \ g$। मोलों की संख्या $n_2 = 16/32 = 0.5 \ mol$।
औसत स्वतंत्रता की कोटि $f_{av}$ इस प्रकार है:
$f_{av} = \frac{n_1 f_1 + n_2 f_2}{n_1 + n_2} = \frac{(2 \times 3) + (0.5 \times 5)}{2 + 0.5} = \frac{6 + 2.5}{2.5} = \frac{8.5}{2.5} = \frac{17}{5} = 3.4$।
विशिष्ट ऊष्मा का अनुपात $\gamma_{av} = 1 + \frac{2}{f_{av}} = 1 + \frac{2}{3.4} = 1 + \frac{20}{34} = 1 + \frac{10}{17} = \frac{27}{17}$।

(B) जब दो पात्रों को जोड़ा जाता है,तो गैस के मोलों की कुल संख्या संरक्षित रहती है।
पहले पात्र में मोलों की संख्या $n_1 = \frac{P_1 V}{R T_1}$ है।
दूसरे पात्र में मोलों की संख्या $n_2 = \frac{P_2 V}{R T_2}$ है।
जोड़ने के बाद,कुल आयतन $2V$ हो जाता है,और गैस एक समान दाब $P$ और ताप $T$ प्राप्त कर लेती है। मोलों की कुल संख्या $n = n_1 + n_2 = \frac{P(2V)}{RT}$ है।
कुल मोलों को बराबर करने पर:
$\frac{P_1 V}{R T_1} + \frac{P_2 V}{R T_2} = \frac{P(2V)}{RT}$
दोनों पक्षों को $V/R$ से विभाजित करने पर:
$\frac{P_1}{T_1} + \frac{P_2}{T_2} = \frac{2P}{T}$
$P$ के लिए व्यवस्थित करने पर:
$P = \frac{1}{2} \left( \frac{P_1}{T_1} + \frac{P_2}{T_2} \right) T$

(C) $\gamma_1 = \frac{7}{5}$ वाली गैस के लिए,स्थिर आयतन पर मोलर ऊष्मा धारिता $C_{v1} = \frac{R}{\gamma_1 - 1} = \frac{R}{\frac{7}{5} - 1} = \frac{5}{2} R$ है।
$\gamma_2 = \frac{4}{3}$ वाली गैस के लिए,स्थिर आयतन पर मोलर ऊष्मा धारिता $C_{v2} = \frac{R}{\gamma_2 - 1} = \frac{R}{\frac{4}{3} - 1} = 3R$ है।
$n_1 = 1 \, \text{mole}$ और $n_2 = 1 \, \text{mole}$ के मिश्रण के लिए,स्थिर आयतन पर समतुल्य मोलर ऊष्मा धारिता इस प्रकार है:
$C_{v, \text{mix}} = \frac{n_1 C_{v1} + n_2 C_{v2}}{n_1 + n_2} = \frac{1 \cdot \frac{5}{2} R + 1 \cdot 3R}{1 + 1} = \frac{\frac{11}{2} R}{2} = \frac{11}{4} R$।
मिश्रण के लिए स्थिर दाब पर मोलर ऊष्मा धारिता $C_{p, \text{mix}} = C_{v, \text{mix}} + R = \frac{11}{4} R + R = \frac{15}{4} R$ है।
अतः,मिश्रण के लिए रुद्धोष्म सूचकांक (adiabatic index) $\gamma_{\text{mix}} = \frac{C_{p, \text{mix}}}{C_{v, \text{mix}}} = \frac{\frac{15}{4} R}{\frac{11}{4} R} = \frac{15}{11}$ होगा।

(B) स्थिर दबाव पर एक प्रक्रिया के लिए,आपूर्ति की गई ऊष्मा $Q = n C_p \Delta T$ द्वारा दी जाती है।
ग्राफ से,रेखा का ढलान $C_p = \frac{Q}{n \Delta T} = \frac{2500 \text{ J}}{1 \text{ mol} \times 100 \text{ K}} = 25 \text{ J/(mol K)}$ है।
हम जानते हैं कि $C_p = \frac{f+2}{2} R$,जहाँ $f$ स्वतंत्रता की कोटि (degree of freedom) है।
$R \approx 8.314 \text{ J/(mol K)}$ लेने पर,हमें $25 = \frac{f+2}{2} \times 8.314$ प्राप्त होता है।
$\frac{f+2}{2} \approx 3.007 \Rightarrow f+2 \approx 6.014 \Rightarrow f \approx 4.014 \approx 4$।
रुद्धोष्म सूचकांक (adiabatic index) $\gamma$ को $\gamma = 1 + \frac{2}{f}$ द्वारा दिया जाता है।
$f = 4$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\gamma = 1 + \frac{2}{4} = 1 + 0.5 = 1.5$ प्राप्त होता है।

(B) गैस में ध्वनि की गति $v = \sqrt{\frac{\gamma P}{\rho}}$ द्वारा दी जाती है। यह मानते हुए कि मिश्रण के लिए $\gamma$ लगभग स्थिर रहता है,$v \propto \frac{1}{\sqrt{\rho}}$।
मान लीजिए ऑक्सीजन का आयतन $V$ है। तो हाइड्रोजन का आयतन $4V$ होगा। कुल आयतन $5V$ है।
हाइड्रोजन $(H_2)$ का मोलर द्रव्यमान $2 \, g/mol$ और ऑक्सीजन $(O_2)$ का $32 \, g/mol$ है।
घनत्व $\rho$ मोलर द्रव्यमान $M$ के समानुपाती होता है। मिश्रण का प्रभावी मोलर द्रव्यमान $M_{mix}$ इस प्रकार है:
$M_{mix} = \frac{n_1 M_1 + n_2 M_2}{n_1 + n_2} = \frac{4(2) + 1(32)}{4 + 1} = \frac{8 + 32}{5} = \frac{40}{5} = 8 \, g/mol$।
हाइड्रोजन का घनत्व उसके मोलर द्रव्यमान $M_{H_2} = 2 \, g/mol$ के समानुपाती है।
इस प्रकार,घनत्व का अनुपात $\frac{\rho_{mix}}{\rho_{H_2}} = \frac{8}{2} = 4$ है।
संबंध $v_{mix} = v_{H_2} \times \sqrt{\frac{\rho_{H_2}}{\rho_{mix}}}$ का उपयोग करते हुए:
$v_{mix} = 1270 \times \sqrt{\frac{1}{4}} = 1270 \times \frac{1}{2} = 635 \, m/s$।

(B) गैसों के मिश्रण के लिए,एडियाबेटिक इंडेक्स $\gamma_{mix}$ को इस सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\gamma_{mix} = \frac{n_1 C_{P1} + n_2 C_{P2}}{n_1 C_{V1} + n_2 C_{V2}}$
स्वतंत्रता की कोटि $f$ का उपयोग करते हुए:
$C_V = \frac{f}{2}R$ और $C_P = (\frac{f}{2} + 1)R$
हीलियम (एक-परमाणुक) के लिए,$f_1 = 3$,इसलिए $C_{V1} = \frac{3}{2}R$ और $C_{P1} = \frac{5}{2}R$.
हाइड्रोजन (द्वि-परमाणुक) के लिए,$f_2 = 5$,इसलिए $C_{V2} = \frac{5}{2}R$ और $C_{P2} = \frac{7}{2}R$.
यहाँ $n_1 = 2$ और $n_2 = n$ दिया गया है,और मिश्रण का अनुपात $\frac{C_P}{C_V} = \frac{3}{2}$ है।
सूत्र में मान रखने पर:
$\frac{2(\frac{5}{2}R) + n(\frac{7}{2}R)}{2(\frac{3}{2}R) + n(\frac{5}{2}R)} = \frac{3}{2}$
$\frac{5 + 3.5n}{3 + 2.5n} = \frac{3}{2}$
$10 + 7n = 9 + 7.5n$
$0.5n = 1$
$n = 2$.

(A) निकाय की कुल आंतरिक ऊर्जा $U_{\text{total}}$ व्यक्तिगत गैसों की आंतरिक ऊर्जा का योग है।
ऑक्सीजन $(O_2)$ के लिए,जो एक द्वि-परमाणुक गैस है,स्वतंत्रता की कोटि $f_1 = 5$ ($3$ स्थानांतरण + $2$ घूर्णन) है।
ऑक्सीजन की आंतरिक ऊर्जा $U_{O_2} = n_1 \frac{f_1}{2} RT = 3 \times \frac{5}{2} RT = 7.5 \, RT$ है।
आर्गन $(Ar)$ के लिए,जो एक एक-परमाणुक गैस है,स्वतंत्रता की कोटि $f_2 = 3$ ($3$ स्थानांतरण) है।
आर्गन की आंतरिक ऊर्जा $U_{Ar} = n_2 \frac{f_2}{2} RT = 5 \times \frac{3}{2} RT = 7.5 \, RT$ है।
कुल आंतरिक ऊर्जा $U_{\text{total}} = U_{O_2} + U_{Ar} = 7.5 \, RT + 7.5 \, RT = 15 \, RT$ है।

(A) हीलियम (एक-परमाणुक गैस) के लिए,स्वतंत्रता की कोटि $f_1 = 3$ है।
हाइड्रोजन (दृढ़ द्वि-परमाणुक गैस) के लिए,स्वतंत्रता की कोटि $f_2 = 5$ है।
मोलों की संख्या $n_1 = 2$ और $n_2 = 3$ है।
मिश्रण के लिए प्रभावी स्वतंत्रता की कोटि $f_{\text{mix}} = \frac{n_1 f_1 + n_2 f_2}{n_1 + n_2}$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर: $f_{\text{mix}} = \frac{2 \times 3 + 3 \times 5}{2 + 3} = \frac{6 + 15}{5} = \frac{21}{5} = 4.2$.
स्थिर आयतन पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $C_{v, \text{mix}} = \frac{f_{\text{mix}} R}{2}$ है।
मान रखने पर: $C_{v, \text{mix}} = \frac{4.2 \times 8.3}{2} = 2.1 \times 8.3 = 17.43\, J/mol\, K$.
निकटतम विकल्प के अनुसार,उत्तर $17.4\, J/mol\, K$ है।

(C) ऑक्सीजन के मोलों की संख्या $(n_1 = 3)$ द्वि-परमाणुक है,इसलिए इसकी स्वतंत्रता की कोटि (degrees of freedom) $f_1 = 5$ है। हीलियम के मोलों की संख्या $(n_2 = 2)$ एक-परमाणुक है,इसलिए इसकी स्वतंत्रता की कोटि $f_2 = 3$ है।
मिश्रण के लिए समतुल्य स्वतंत्रता की कोटि $f_{mix} = \frac{n_1 f_1 + n_2 f_2}{n_1 + n_2}$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर: $f_{mix} = \frac{3 \times 5 + 2 \times 3}{3 + 2} = \frac{15 + 6}{5} = \frac{21}{5} = 4.2$.
मिश्रण के लिए विशिष्ट ऊष्माओं का अनुपात $\gamma_{mix} = 1 + \frac{2}{f_{mix}}$ है।
$\gamma_{mix} = 1 + \frac{2}{4.2} = 1 + \frac{20}{42} = 1 + \frac{10}{21} = \frac{31}{21} \approx 1.476$.
दिए गए विकल्पों के अनुसार निकटतम मान $1.5$ है।

(B) अक्रियाशील गैसों के मिश्रण का अंतिम तापमान इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $T_{\text{mix}} = \frac{n_1 C_{v1} T_1 + n_2 C_{v2} T_2}{n_1 C_{v1} + n_2 C_{v2}}$.
$N_2$ (द्वि-परमाणुक गैस) के लिए,$n_1 = 2 \text{ mole}$ और $C_{v1} = \frac{5}{2}R$. तापमान $T_1 = 27 + 273 = 300 \, K$.
$He$ (एक-परमाणुक गैस) के लिए,$n_2 = 1 \text{ mole}$ और $C_{v2} = \frac{3}{2}R$. तापमान $T_2 = -73 + 273 = 200 \, K$.
मान रखने पर:
$T_{\text{mix}} = \frac{2 \times (\frac{5}{2}R) \times 300 + 1 \times (\frac{3}{2}R) \times 200}{2 \times (\frac{5}{2}R) + 1 \times (\frac{3}{2}R)}$
$T_{\text{mix}} = \frac{1500R + 300R}{5R + 1.5R} = \frac{1800R}{6.5R} = \frac{1800}{6.5} \approx 276.92 \, K \approx 277 \, K$.

(A) एकपरमाणुक गैस के लिए,$C_{v1} = \frac{R}{\gamma_1 - 1} = \frac{R}{5/3 - 1} = \frac{3R}{2}$ और $C_{p1} = \gamma_1 C_{v1} = \frac{5}{3} \times \frac{3R}{2} = \frac{5R}{2}$ है।
द्विपरमाणुक गैस के लिए,$C_{v2} = \frac{R}{\gamma_2 - 1} = \frac{R}{7/5 - 1} = \frac{5R}{2}$ और $C_{p2} = \gamma_2 C_{v2} = \frac{7}{5} \times \frac{5R}{2} = \frac{7R}{2}$ है।
मिश्रण के लिए,स्थिर आयतन पर कुल ऊष्मा धारिता $C_{v, \text{mix}} = \frac{n_1 C_{v1} + n_2 C_{v2}}{n_1 + n_2} = \frac{1 \times \frac{3R}{2} + 1 \times \frac{5R}{2}}{1 + 1} = \frac{4R}{2} = 2R$ है।
स्थिर दाब पर कुल ऊष्मा धारिता $C_{p, \text{mix}} = \frac{n_1 C_{p1} + n_2 C_{p2}}{n_1 + n_2} = \frac{1 \times \frac{5R}{2} + 1 \times \frac{7R}{2}}{1 + 1} = \frac{6R}{2} = 3R$ है।
अतः,$\gamma_{\text{mix}} = \frac{C_{p, \text{mix}}}{C_{v, \text{mix}}} = \frac{3R}{2R} = 3/2$।

(B) गैसों के मिश्रण के लिए,स्थिर आयतन पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $(C_V)_{mix}$ का सूत्र इस प्रकार है:
$(C_V)_{mix} = \frac{n_1 C_{V1} + n_2 C_{V2}}{n_1 + n_2}$
यहाँ,$n_1 = 1$ मोल $He$ (एक-परमाणुक गैस),इसलिए $C_{V1} = \frac{3}{2} R$ है।
$n_2 = 3$ मोल $O_2$ (द्वि-परमाणुक गैस),इसलिए $C_{V2} = \frac{5}{2} R$ है।
मान रखने पर:
$(C_V)_{mix} = \frac{1 \times (\frac{3}{2} R) + 3 \times (\frac{5}{2} R)}{1 + 3}$
$(C_V)_{mix} = \frac{1.5 R + 7.5 R}{4}$
$(C_V)_{mix} = \frac{9 R}{4} = 2.25 R$.

(D) एक आदर्श गैस के लिए,आंतरिक ऊर्जा $U = U_0 + nC_vT$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया संबंध $U = 2 + 2PV$ है।
आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ का उपयोग करते हुए,हम इसे दिए गए संबंध में प्रतिस्थापित करते हैं:
$U = 2 + 2nRT$.
तापमान $T$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{dU}{dT} = 2nR$.
चूंकि $C_v = \frac{1}{n} \frac{dU}{dT}$,इसलिए $C_v = 2R$.
एकपरमाणुक गैस के लिए,$C_v = \frac{3}{2}R = 1.5R$.
द्विपरमाणुक गैस के लिए,$C_v = \frac{5}{2}R = 2.5R$.
चूंकि गणना किया गया $C_v = 2R$,$1.5R$ और $2.5R$ के बीच स्थित है,इसलिए गैस एकपरमाणुक और द्विपरमाणुक गैसों का मिश्रण होनी चाहिए।

(A) एकपरमाणुक गैस के लिए,$C_{v1} = \frac{3}{2}R$ और $C_{p1} = \frac{5}{2}R$ है। द्विपरमाणुक गैस के लिए,$C_{v2} = \frac{5}{2}R$ और $C_{p2} = \frac{7}{2}R$ है।
दिया गया है $n_1 = 1$ मोल और $n_2 = 1$ मोल।
मिश्रण के लिए स्थिर आयतन पर समतुल्य मोलर विशिष्ट ऊष्मा $(C_v)_{\text{mix}} = \frac{n_1 C_{v1} + n_2 C_{v2}}{n_1 + n_2} = \frac{1(\frac{3}{2}R) + 1(\frac{5}{2}R)}{1 + 1} = \frac{4R}{2} = 2R$ है।
मिश्रण के लिए स्थिर दाब पर समतुल्य मोलर विशिष्ट ऊष्मा $(C_p)_{\text{mix}} = \frac{n_1 C_{p1} + n_2 C_{p2}}{n_1 + n_2} = \frac{1(\frac{5}{2}R) + 1(\frac{7}{2}R)}{1 + 1} = \frac{6R}{2} = 3R$ है।
मिश्रण के लिए रुद्धोष्म सूचकांक $\gamma_{\text{mix}} = \frac{(C_p)_{\text{mix}}}{(C_v)_{\text{mix}}} = \frac{3R}{2R} = 1.5 = 3/2$ है।

(C) मिश्रण के लिए स्थिर आयतन पर विशिष्ट ऊष्मा का सूत्र $C_{V, \text{mix}} = \frac{n_1 C_{V1} + n_2 C_{V2}}{n_1 + n_2}$ है।
दिया गया है कि $n_1 : n_2 = 1 : 2$,इसलिए मान लें कि $n_1 = 1$ और $n_2 = 2$ है।
$f$ स्वतंत्रता की कोटि वाली गैस के लिए,$C_V = \frac{f}{2} R$ होता है।
मान रखने पर: $\frac{13}{6} R = \frac{1 \cdot (\frac{f_1}{2} R) + 2 \cdot (\frac{f_2}{2} R)}{1 + 2}$.
$\frac{13}{6} R = \frac{\frac{f_1}{2} R + f_2 R}{3} = \frac{f_1 + 2f_2}{6} R$.
अतः,$f_1 + 2f_2 = 13$.
$He$ (एक-परमाणुक) के लिए,$f = 3$ होता है। $N_2$ (द्वि-परमाणुक) के लिए,$f = 5$ होता है।
यदि $f_1 = 3$ $(He)$ और $f_2 = 5$ $(N_2)$ लें,तो $3 + 2(5) = 13$,जो समीकरण को संतुष्ट करता है।
इसलिए,गैसें $He$ और $N_2$ हैं।

(A) $H_2$ के मोलों की संख्या $n_1 = \frac{1\,g}{2\,g/mol} = 0.5\,mol$ है।
$O_2$ के मोलों की संख्या $n_2 = \frac{16\,g}{32\,g/mol} = 0.5\,mol$ है।
केल्विन में तापमान $T_1 = 27 + 273 = 300\,K$ और $T_2 = 37 + 273 = 310\,K$ है।
यह मानते हुए कि गैसें आदर्श हैं और निकाय रुद्धोष्म (adiabatic) है,अंतिम तापमान $T$ स्वतंत्रता की कोटि (degrees of freedom) पर आधारित भारित औसत द्वारा दिया जाता है। चूँकि $H_2$ और $O_2$ दोनों द्वि-परमाणुक गैसें हैं,उनकी स्वतंत्रता की कोटि $f = 5$ समान है।
$T = \frac{n_1 f_1 T_1 + n_2 f_2 T_2}{n_1 f_1 + n_2 f_2} = \frac{n_1 T_1 + n_2 T_2}{n_1 + n_2}$.
$T = \frac{0.5 \times 300 + 0.5 \times 310}{0.5 + 0.5} = \frac{150 + 155}{1} = 305\,K$.
सेल्सियस में बदलने पर: $T = 305 - 273 = 32\,^{\circ}C$।

(C) मिश्रण की कुल आंतरिक ऊर्जा व्यक्तिगत गैसों की आंतरिक ऊर्जा का योग है।
एक गैस के लिए,आंतरिक ऊर्जा $U = \frac{3}{2} N k T$ द्वारा दी जाती है।
कुल आंतरिक ऊर्जा $U_{total} = U_1 + U_2 = \frac{3}{2} N_1 k T_1 + \frac{3}{2} N_2 k T_2$ है।
मान लीजिए कि मिश्रण का अंतिम तापमान $T$ है। मिश्रण की कुल आंतरिक ऊर्जा $U_{final} = \frac{3}{2} (N_1 + N_2) k T$ है।
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,$U_{total} = U_{final}$ है।
$\frac{3}{2} N_1 k T_1 + \frac{3}{2} N_2 k T_2 = \frac{3}{2} (N_1 + N_2) k T$ है।
दोनों पक्षों से सामान्य कारक $\frac{3}{2} k$ को हटाने पर:
$N_1 T_1 + N_2 T_2 = (N_1 + N_2) T$ प्राप्त होता है।
अतः,परिणामी तापमान $T = \frac{N_1 T_1 + N_2 T_2}{N_1 + N_2}$ है।

(A) गैस के अणु की $r.m.s.$ गति का सूत्र $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ है।
चूंकि मिश्रण में सभी गैसों के लिए तापमान $T$ समान है,इसलिए $v_{rms} \propto \frac{1}{\sqrt{M}}$ होता है।
दिया गया है कि $m_1 > m_2 > m_3$,इसलिए $(v_{rms})_1 < (v_{rms})_2 < (v_{rms})_3$ प्राप्त होता है।
गैस के अणु की औसत गतिज ऊर्जा $\bar K = \frac{3}{2} k_B T$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि मिश्रण में सभी गैसों के लिए तापमान $T$ समान है,इसलिए औसत गतिज ऊर्जा $\bar K$ सभी प्रकार के अणुओं के लिए समान रहेगी,अर्थात $(\bar K)_1 = (\bar K)_2 = (\bar K)_3$।

(B) गैस $1$ के लिए: $n_1 = 2$,$\gamma_1 = \frac{5}{3}$. चूँकि $\gamma = 1 + \frac{2}{f}$,इसलिए $f_1 = 3$. अतः,$C_{V_1} = \frac{3}{2}R$ और $C_{P_1} = \frac{5}{2}R$.
गैस $2$ के लिए: $n_2 = 3$,$\gamma_2 = \frac{4}{3}$. चूँकि $\gamma = 1 + \frac{2}{f}$,इसलिए $f_2 = 6$. अतः,$C_{V_2} = \frac{6}{2}R = 3R$ और $C_{P_2} = 4R$.
मिश्रण के लिए स्थिर आयतन पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $C_{V_{mix}} = \frac{n_1 C_{V_1} + n_2 C_{V_2}}{n_1 + n_2} = \frac{2(\frac{3}{2}R) + 3(3R)}{2+3} = \frac{3R + 9R}{5} = \frac{12R}{5} = 2.4R$.
मिश्रण के लिए स्थिर दाब पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $C_{P_{mix}} = \frac{n_1 C_{P_1} + n_2 C_{P_2}}{n_1 + n_2} = \frac{2(\frac{5}{2}R) + 3(4R)}{2+3} = \frac{5R + 12R}{5} = \frac{17R}{5} = 3.4R$.
अनुपात $\gamma_{mix} = \frac{C_{P_{mix}}}{C_{V_{mix}}} = \frac{17R/5}{12R/5} = \frac{17}{12} \approx 1.4167 \approx 1.42$.

(B) गैसों के मिश्रण के लिए,विशिष्ट ऊष्मा का अनुपात $\frac{C_{P, \text{mix}}}{C_{V, \text{mix}}} = \frac{n_1 C_{P1} + n_2 C_{P2}}{n_1 C_{V1} + n_2 C_{V2}}$ द्वारा दिया जाता है।
हीलियम एक परमाण्विक गैस है,इसलिए $C_{V1} = \frac{3R}{2}$ और $C_{P1} = \frac{5R}{2}$।
ऑक्सीजन एक द्वि-परमाण्विक दृढ़ गैस है,इसलिए $C_{V2} = \frac{5R}{2}$ और $C_{P2} = \frac{7R}{2}$।
यहाँ $n_1 = n$ और $n_2 = 2n$ दिया गया है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{C_{P, \text{mix}}}{C_{V, \text{mix}}} = \frac{n(\frac{5R}{2}) + 2n(\frac{7R}{2})}{n(\frac{3R}{2}) + 2n(\frac{5R}{2})}$
$= \frac{\frac{5nR}{2} + \frac{14nR}{2}}{\frac{3nR}{2} + \frac{10nR}{2}} = \frac{19nR/2}{13nR/2} = \frac{19}{13}$।

(N/A) मिश्रण में किसी गैस का आंशिक दबाव वह दबाव है जो वह तब डालती यदि वह अकेले समान आयतन और तापमान पर पात्र में होती। चूंकि दोनों गैसें आदर्श मानी जाती हैं और समान आयतन $V$ और तापमान $T$ साझा करती हैं,हम आदर्श गैस नियम $PV = \mu RT$ का उपयोग करते हैं,जहाँ $\mu$ मोलों की संख्या है।
नियॉन $(1)$ और ऑक्सीजन $(2)$ के लिए:
$P_1 V = \mu_1 RT$ और $P_2 V = \mu_2 RT$
अतः,$\frac{P_1}{P_2} = \frac{\mu_1}{\mu_2}$. दिया गया है कि $\frac{P_1}{P_2} = \frac{3}{2}$,इसलिए $\frac{\mu_1}{\mu_2} = \frac{3}{2}$।
$(i)$ चूंकि $\mu = \frac{N}{N_A}$,जहाँ $N$ अणुओं की संख्या है और $N_A$ एवोगैड्रो संख्या है:
$\frac{N_1}{N_2} = \frac{\mu_1}{\mu_2} = \frac{3}{2} = 1.5$।
$(ii)$ द्रव्यमान घनत्व $\rho = \frac{m}{V}$। चूंकि $\mu = \frac{m}{M}$ (जहाँ $M$ मोलर द्रव्यमान है),इसलिए $m = \mu M$।
$\frac{\rho_1}{\rho_2} = \frac{m_1/V}{m_2/V} = \frac{m_1}{m_2} = \frac{\mu_1 M_1}{\mu_2 M_2} = \left(\frac{\mu_1}{\mu_2}\right) \times \left(\frac{M_1}{M_2}\right)$।
मान रखने पर: $\frac{\rho_1}{\rho_2} = \frac{3}{2} \times \frac{20.2}{32.0} = 1.5 \times 0.63125 = 0.947$।

आदर्श गैस का दबाव $P = \frac{1}{3} n m \langle v^2 \rangle$ द्वारा दिया जाता है।
इकाई आयतन में गैर-अभिक्रियाशील गैसों का मिश्रण है। मान लीजिए अणुओं का संख्या घनत्व $n_1, n_2, \ldots$,उनका द्रव्यमान $m_1, m_2, \ldots$ और माध्य वर्ग गति $\langle v_1^2 \rangle, \langle v_2^2 \rangle, \ldots$ है।
मिश्रण का कुल दबाव $P$ व्यक्तिगत गैसों के आंशिक दबाव का योग है:
$P = \frac{1}{3} n_1 m_1 \langle v_1^2 \rangle + \frac{1}{3} n_2 m_2 \langle v_2^2 \rangle + \ldots$ ....$(1)$
तापीय संतुलन में,प्रत्येक गैस के अणुओं की औसत गतिज ऊर्जा समान होती है:
$\langle \frac{1}{2} m_1 v_1^2 \rangle = \langle \frac{1}{2} m_2 v_2^2 \rangle = \ldots = \frac{3}{2} k_B T$ ....$(2)$
समीकरण $(2)$ से,हमें प्राप्त होता है:
$m_1 \langle v_1^2 \rangle = m_2 \langle v_2^2 \rangle = \ldots = 3 k_B T$
इस मान को समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$P = \frac{1}{3} [n_1 (3 k_B T) + n_2 (3 k_B T) + \ldots]$
$P = (n_1 + n_2 + \ldots) k_B T$
यह डाल्टन के आंशिक दबाव के नियम को दर्शाता है,जहाँ $n = n_1 + n_2 + \ldots$ अणुओं का कुल संख्या घनत्व है।

(A) एक आदर्श गैस के प्रति अणु औसत गतिज ऊर्जा का सूत्र $K_{avg} = \frac{3}{2} k_{B} T$ है,जहाँ $k_{B}$ बोल्ट्ज़मैन नियतांक है और $T$ गैस का परम ताप है।
चूँकि दोनों गैसें एक ही पात्र में हैं,वे तापीय साम्यावस्था में हैं और दोनों का तापमान $T$ समान होगा।
चूँकि औसत गतिज ऊर्जा केवल तापमान $T$ पर निर्भर करती है,न कि गैस के अणुओं के द्रव्यमान या प्रकृति पर,इसलिए दोनों गैसों की प्रति अणु औसत गतिज ऊर्जा समान होगी।

(A) ऑक्सीजन $(O_{2})$ एक द्वि-परमाणुक गैस है। कंपन विधाओं को नगण्य मानते हुए, इसकी स्वतंत्रता की कोटि (degrees of freedom) $(f_{O_2})$ $3$ (स्थानांतरणीय) $+ 2$ (घूर्णन) $= 5$ है।
आदर्श गैस के $n$ मोल की आंतरिक ऊर्जा $U = n \cdot \frac{f}{2} RT$ द्वारा दी जाती है।
$2.0$ मोल $O_{2}$ के लिए:
$U_{O_2} = 2.0 \times \frac{5}{2} RT = 5 RT$.
नियॉन $(Ne)$ एक एक-परमाणुक गैस है। इसकी स्वतंत्रता की कोटि $(f_{Ne})$ $3$ (स्थानांतरणीय) है।
$4.0$ मोल $Ne$ के लिए:
$U_{Ne} = 4.0 \times \frac{3}{2} RT = 6 RT$.
निकाय की कुल आंतरिक ऊर्जा व्यक्तिगत घटकों की आंतरिक ऊर्जा का योग है:
$U_{total} = U_{O_2} + U_{Ne} = 5 RT + 6 RT = 11 RT$.

(1.60 ATM) दिया गया है:
$V_1 = 2.0 \, L, V_2 = 3.0 \, L$
$\mu_1 = 4.0 \, mol, \mu_2 = 5.0 \, mol$
$P_1 = 1.00 \, atm, P_2 = 2.00 \, atm$
आदर्श गैस के लिए,आंतरिक ऊर्जा $U = \frac{f}{2} PV$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $f$ स्वतंत्रता की कोटि (degrees of freedom) है।
चूंकि गैसें मिश्रित होती हैं और तापीय संतुलन प्राप्त करती हैं,इसलिए कुल आंतरिक ऊर्जा संरक्षित रहती है।
$U_{total} = U_1 + U_2$
$\frac{f}{2} P(V_1 + V_2) = \frac{f}{2} P_1 V_1 + \frac{f}{2} P_2 V_2$
दोनों पक्षों से $\frac{f}{2}$ को हटाने पर:
$P(V_1 + V_2) = P_1 V_1 + P_2 V_2$
अंतिम दबाव $P$ के लिए हल करने पर:
$P = \frac{P_1 V_1 + P_2 V_2}{V_1 + V_2}$
मान रखने पर:
$P = \frac{(1.00 \times 2.0) + (2.00 \times 3.0)}{2.0 + 3.0} \, atm$
$P = \frac{2.0 + 6.0}{5.0} \, atm$
$P = \frac{8.0}{5.0} \, atm = 1.60 \, atm$
मिश्रण का अंतिम दबाव $1.60 \, atm$ है।

(N/A) तापीय साम्यावस्था में गैस मिश्रण में,सभी अणु समान तापमान पर होते हैं। गैस के एक अणु की औसत गतिज ऊर्जा $K.E._{avg} = \frac{3}{2} k_B T$ द्वारा दी जाती है। चूँकि $k_B$ बोल्ट्ज़मान नियतांक है और $T$ मिश्रण के सभी अणुओं के लिए समान है,इसलिए औसत गतिज ऊर्जा सभी के लिए समान होगी: $(K.E.)_A = (K.E.)_B = (K.E.)_C$.
$(b)$ गैस के अणु की $rms$ चाल $v_{rms} = \sqrt{\frac{3 k_B T}{m}}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $m$ अणु का द्रव्यमान है। चूँकि $v_{rms} \propto \frac{1}{\sqrt{m}}$,इसलिए जिस अणु का द्रव्यमान सबसे कम होगा,उसकी $rms$ चाल सबसे अधिक होगी। दिए गए $m_A > m_B > m_C$ के अनुसार,$rms$ चाल का घटता क्रम $(v_{rms})_C > (v_{rms})_B > (v_{rms})_A$ होगा।

(B) गैस मिश्रण की आंतरिक ऊर्जा $U$ उसके घटकों की आंतरिक ऊर्जा के योग के बराबर होती है: $U = U_1 + U_2$.
एक आदर्श गैस के लिए,आंतरिक ऊर्जा $U = \frac{f}{2} nRT$ होती है,जहाँ $f$ स्वतंत्रता की कोटि (degrees of freedom) है।
ऑक्सीजन $(O_2)$ एक द्वि-परमाणुक गैस है। चूँकि बंधन कठोर है,इसकी स्वतंत्रता की कोटि $f_1 = 5$ ($3$ स्थानांतरण + $2$ घूर्णन) है।
आर्गन $(Ar)$ एक एक-परमाणुक गैस है,इसलिए इसकी स्वतंत्रता की कोटि $f_2 = 3$ है।
यहाँ $n_1 = 3$ मोल ऑक्सीजन और $n_2 = 5$ मोल आर्गन दिए गए हैं।
कुल आंतरिक ऊर्जा $U = \frac{f_1}{2} n_1 RT + \frac{f_2}{2} n_2 RT$ है।
$U = \left( \frac{5}{2} \times 3 \times RT \right) + \left( \frac{3}{2} \times 5 \times RT \right)$.
$U = \frac{15}{2} RT + \frac{15}{2} RT = \frac{30}{2} RT = 15 RT$.
अतः,$RT$ की इकाइयों में कुल आंतरिक ऊर्जा $15$ है।

(D) चूंकि पात्र बंद और ऊष्मारोधी है,इसलिए परिवेश के साथ कोई ऊष्मा का आदान-प्रदान नहीं होता है और गैस द्वारा या गैस पर कोई कार्य नहीं किया जाता है। अतः,निकाय की कुल आंतरिक ऊर्जा संरक्षित रहती है।
एकपरमाण्विक आदर्श गैस की आंतरिक ऊर्जा $U = n C_v T$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $C_v = \frac{3}{2}R$ है।
मान लीजिए $n_1 = 0.1$ मोल,$T_1 = 200\, K$ और $n_2 = 0.05$ मोल,$T_2 = 400\, K$ है।
ऊर्जा संरक्षण के सिद्धांत के अनुसार:
$n_1 C_v T_1 + n_2 C_v T_2 = (n_1 + n_2) C_v T_{final}$
चूंकि $C_v$ दोनों के लिए समान है,यह कट जाएगा:
$n_1 T_1 + n_2 T_2 = (n_1 + n_2) T_{final}$
$(0.1 \times 200) + (0.05 \times 400) = (0.1 + 0.05) T_{final}$
$20 + 20 = 0.15 \times T_{final}$
$40 = 0.15 \times T_{final}$
$T_{final} = \frac{40}{0.15} = \frac{4000}{15} = \frac{800}{3} \approx 266.67\, K$.

(A) $1$. प्रत्येक गैस के लिए मोल की संख्या की गणना करें:
$n_{1} (CO_{2}) = \frac{11 \, g}{44 \, g/mol} = 0.25 \, mol$
$n_{2} (N_{2}) = \frac{14 \, g}{28 \, g/mol} = 0.50 \, mol$
$2$. प्रत्येक गैस के लिए स्वतंत्रता की कोटि $(f)$ और रुद्धोष्म सूचकांक $(\gamma)$ निर्धारित करें:
$CO_{2}$ एक बहुपरमाणुक गैस है,$f_{1} = 6$,$\gamma_{1} = 1 + \frac{2}{6} = \frac{4}{3}$
$N_{2}$ एक द्विपरमाणुक गैस है,$f_{2} = 5$,$\gamma_{2} = 1 + \frac{2}{5} = 1.4$
$3$. मिश्रण के रुद्धोष्म सूचकांक के लिए सूत्र का उपयोग करें:
$\frac{n_{1} + n_{2}}{\gamma_{\text{mix}} - 1} = \frac{n_{1}}{\gamma_{1} - 1} + \frac{n_{2}}{\gamma_{2} - 1}$
$4$. मान रखने पर:
$\frac{0.25 + 0.50}{\gamma_{\text{mix}} - 1} = \frac{0.25}{4/3 - 1} + \frac{0.50}{1.4 - 1}$
$\frac{0.75}{\gamma_{\text{mix}} - 1} = 0.75 + 1.25 = 2.0$
$5$. $\gamma_{\text{mix}}$ के लिए हल करें:
$\gamma_{\text{mix}} - 1 = 0.375 \Rightarrow \gamma_{\text{mix}} = 1.375 = \frac{11}{8}$

(C) $N_{2}$ (द्वि-परमाणुक गैस) के लिए,स्वतंत्रता की कोटि $f_{1} = 5$ है। मोलर द्रव्यमान $M_{1} = 28 \, g/mol$ है। मोलों की संख्या $n_{1} = 7/28 = 1/4 \, mol$ है।
$Ar$ (एक-परमाणुक गैस) के लिए,स्वतंत्रता की कोटि $f_{2} = 3$ है। मोलर द्रव्यमान $M_{2} = 40 \, g/mol$ है। मोलों की संख्या $n_{2} = 20/40 = 1/2 \, mol$ है।
$C_{V,mix} = \frac{n_{1}C_{V,1} + n_{2}C_{V,2}}{n_{1} + n_{2}} = \frac{\frac{1}{4}(\frac{5}{2}R) + \frac{1}{2}(\frac{3}{2}R)}{\frac{1}{4} + \frac{1}{2}} = \frac{\frac{5}{8}R + \frac{3}{4}R}{\frac{3}{4}} = \frac{\frac{11}{8}R}{\frac{3}{4}} = \frac{11}{6}R$.
$C_{P,mix} = \frac{n_{1}C_{P,1} + n_{2}C_{P,2}}{n_{1} + n_{2}} = \frac{\frac{1}{4}(\frac{7}{2}R) + \frac{1}{2}(\frac{5}{2}R)}{\frac{1}{4} + \frac{1}{2}} = \frac{\frac{7}{8}R + \frac{5}{4}R}{\frac{3}{4}} = \frac{\frac{17}{8}R}{\frac{3}{4}} = \frac{17}{6}R$.
अनुपात $\gamma_{mix} = \frac{C_{P,mix}}{C_{V,mix}} = \frac{17/6 R}{11/6 R} = \frac{17}{11}$.

(C) आदर्श गैसों के मिश्रण का कुल दाब $P$,आदर्श गैस समीकरण $PV = n_{total} RT$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $n_{total} = n_1 + n_2 + n_3$ है।
सबसे पहले,प्रत्येक गैस के लिए मोलों की संख्या की गणना करें:
$n_{O_2} = \frac{16 \, g}{32 \, g/mol} = 0.5 \, mol$
$n_{N_2} = \frac{28 \, g}{28 \, g/mol} = 1.0 \, mol$
$n_{CO_2} = \frac{44 \, g}{44 \, g/mol} = 1.0 \, mol$
कुल मोल $n_{total} = 0.5 + 1.0 + 1.0 = 2.5 \, mol = \frac{5}{2} \, mol$.
आदर्श गैस समीकरण में मान रखने पर:
$PV = (2.5) RT$
$P = \frac{5}{2} \frac{RT}{V}$.

(B) माना मिश्रण का अंतिम तापमान $T$ है। चूंकि ऊर्जा का कोई ह्रास नहीं होता है,इसलिए निकाय की कुल आंतरिक ऊर्जा संरक्षित रहती है।
गैस की आंतरिक ऊर्जा $U = \frac{F}{2} n R T$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $n$ मोलों की संख्या है। अणुओं की संख्या $N$ के लिए,हम $U = \frac{F}{2} N k_{B} T$ लिख सकते हैं।
मिश्रण के लिए,मिश्रण से पहले की कुल ऊर्जा मिश्रण के बाद की कुल ऊर्जा के बराबर होती है:
$U_{1} + U_{2} = U_{mix}$
$\frac{F_{1}}{2} n_{1} k_{B} T_{1} + \frac{F_{2}}{2} n_{2} k_{B} T_{2} = \frac{F_{1}}{2} n_{1} k_{B} T + \frac{F_{2}}{2} n_{2} k_{B} T$
दोनों पक्षों से सामान्य पद $\frac{1}{2} k_{B}$ को हटाने पर:
$F_{1} n_{1} T_{1} + F_{2} n_{2} T_{2} = T (F_{1} n_{1} + F_{2} n_{2})$
$T$ के लिए हल करने पर:
$T = \frac{F_{1} n_{1} T_{1} + F_{2} n_{2} T_{2}}{F_{1} n_{1} + F_{2} n_{2}}$

(C) आदर्श गैस समीकरण का उपयोग करते हुए, कुल मोल $n_{total} = n_1 + n_2 = 3.0 + 4.0 = 7.0 \, \text{mole}$ हैं।
कुल आयतन $V_{total} = V_1 + V_2 = 4.5 + 5.5 = 10.0 \, L$ है।
आंतरिक ऊर्जा के संरक्षण के नियम के अनुसार: $U_1 + U_2 = U_{mix}$।
चूंकि $U = \frac{f}{2} PV$ होता है,
$\frac{f}{2} P_1 V_1 + \frac{f}{2} P_2 V_2 = \frac{f}{2} P_{final} (V_1 + V_2)$।
$(2.0)(4.5) + (3.0)(5.5) = P_{final} (4.5 + 5.5)$।
$9.0 + 16.5 = P_{final} (10.0)$।
$25.5 = 10.0 P_{final} \Rightarrow P_{final} = 2.55 \, \text{atm}$।
दिया गया है कि $P_{final} = x \times 10^{-1} \, \text{atm}$, इसलिए $2.55 = x \times 10^{-1} \Rightarrow x = 25.5$।

(C) दिया गया है:
आयतन $V = 4.0 \times 10^{-3} \, m^3$
कुल मोलों की संख्या $n = 1 \, mol \, (H_2) + 2 \, mol \, (CO_2) = 3 \, mol$
तापमान $T = 400 \, K$
गैस नियतांक $R = 8.3 \, J \, mol^{-1} \, K^{-1}$
आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ का उपयोग करते हुए,हम दाब $P$ ज्ञात कर सकते हैं:
$P = \frac{nRT}{V}$
मान रखने पर:
$P = \frac{3 \times 8.3 \times 400}{4.0 \times 10^{-3}}$
$P = \frac{9960}{4.0 \times 10^{-3}}$
$P = 2490 \times 10^3 \, Pa = 24.9 \times 10^5 \, Pa$
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(C) आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $n$ मोलों की कुल संख्या है।
दिया गया है: $P = 400 \times 10^3 \, Pa$,$V = 500 \times 10^{-6} \, m^3$,$T = 300 \, K$,$R \approx 25/3 \, J/(mol \cdot K)$.
$400 \times 10^3 \times 500 \times 10^{-6} = n \times (25/3) \times 300$
$200 = n \times 2500$
$n = 200/2500 = 2/25 = 0.08 \, mol$.
माना $m_H$ हाइड्रोजन का द्रव्यमान है और $m_O$ ऑक्सीजन का द्रव्यमान है।
$m_H + m_O = 0.76 \, g$.
मोलों की कुल संख्या $n = n_H + n_O = m_H/2 + m_O/32 = 0.08$.
$32$ से गुणा करने पर: $16m_H + m_O = 0.08 \times 32 = 2.56$.
हमारे पास समीकरण हैं:
$1) \, m_H + m_O = 0.76$
$2) \, 16m_H + m_O = 2.56$
$(2)$ में से $(1)$ घटाने पर: $15m_H = 1.80 \implies m_H = 0.12 \, g$.
अतः $m_O = 0.76 - 0.12 = 0.64 \, g$.
ऑक्सीजन और हाइड्रोजन के द्रव्यमान का अनुपात $m_O/m_H = 0.64/0.12 = 16/3$ है।

(B) आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $n$ कुल मोलों की संख्या है।
दिया गया है: $P = 100 \; kPa = 10^{5} \; Pa$,$V = 2000 \; cm^{3} = 2 \times 10^{-3} \; m^{3}$,$T = 300 \; K$,$R = 25/3 \; J/(mol \cdot K)$.
कुल मोल $n = \frac{PV}{RT} = \frac{10^{5} \times 2 \times 10^{-3}}{(25/3) \times 300} = 0.08 \; mol$.
मान लीजिए $n_{1}$,$H_{2}$ के मोल हैं और $n_{2}$,$O_{2}$ के मोल हैं।
$n_{1} + n_{2} = 0.08$ (समीकरण $1$)।
कुल द्रव्यमान $m = n_{1}M_{1} + n_{2}M_{2} = 0.76 \; g$.
$2n_{1} + 32n_{2} = 0.76$ (समीकरण $2$)।
समीकरण $1$ से,$n_{1} = 0.08 - n_{2}$.
समीकरण $2$ में मान रखने पर: $2(0.08 - n_{2}) + 32n_{2} = 0.76$.
$0.16 - 2n_{2} + 32n_{2} = 0.76 \implies 30n_{2} = 0.60 \implies n_{2} = 0.02 \; mol$.
अतः $n_{1} = 0.08 - 0.02 = 0.06 \; mol$.
अनुपात $n_{1}/n_{2} = 0.06/0.02 = 3/1$।

(B) गैस में ध्वनि की चाल $v_s = \sqrt{\frac{\gamma RT}{M}}$ द्वारा दी जाती है।
गैस के अणुओं की rms चाल $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ होती है।
दिया गया है कि $v_{rms} = \sqrt{2} v_s$,इसलिए $\frac{v_s}{v_{rms}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
सूत्रों को प्रतिस्थापित करने पर: $\sqrt{\frac{\gamma}{3}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \Rightarrow \frac{\gamma}{3} = \frac{1}{2} \Rightarrow \gamma = \frac{3}{2} = 1.5$.
मिश्रण के लिए,एडियाबेटिक इंडेक्स $\gamma = 1 + \frac{2}{f_{mix}}$ है,जहाँ $f_{mix}$ प्रभावी स्वतंत्रता की कोटि (degree of freedom) है।
हीलियम (एक-परमाणुक) के लिए,$f_1 = 3$. हाइड्रोजन (द्वि-परमाणुक) के लिए,$f_2 = 5$.
$f_{mix} = \frac{n_1 f_1 + n_2 f_2}{n_1 + n_2} = \frac{2 \times 3 + n \times 5}{n + 2} = \frac{6 + 5n}{n + 2}$.
$f_{mix}$ को $\gamma$ के सूत्र में रखने पर: $\gamma = 1 + \frac{2(n + 2)}{6 + 5n} = \frac{6 + 5n + 2n + 4}{6 + 5n} = \frac{7n + 10}{5n + 6}$.
इसे $1.5$ के बराबर रखने पर: $\frac{7n + 10}{5n + 6} = \frac{3}{2} \Rightarrow 14n + 20 = 15n + 18$.
$n$ के लिए हल करने पर: $n = 2$.