Mixture of Gases Questions in Hindi

(C) मान लीजिए कि पहली गैस के मोलों की संख्या $\mu_1$ है और दूसरी गैस के मोलों की संख्या $\mu_2$ है।
आदर्श गैस समीकरण $PV = \mu RT$ का उपयोग करते हुए:
$\mu_1 = \frac{PV}{RT}$ और $\mu_2 = \frac{PV}{RT}$.
जब गैसों को समान आयतन $V$ और समान तापमान $T$ पर मिश्रित किया जाता है,तो मोलों की कुल संख्या $\mu_{total} = \mu_1 + \mu_2 = \frac{PV}{RT} + \frac{PV}{RT} = \frac{2PV}{RT}$ होती है।
मिश्रण का दबाव $P'$ सूत्र $P' = \frac{\mu_{total} RT}{V}$ द्वारा दिया जाता है।
$\mu_{total}$ का मान रखने पर:
$P' = \left( \frac{2PV}{RT} \right) \times \frac{RT}{V} = 2P$.

(C) गैसों के मिश्रण के लिए,स्थिर आयतन पर समतुल्य मोलर विशिष्ट ऊष्मा $C_{V,eq} = \frac{n_1 C_{V1} + n_2 C_{V2}}{n_1 + n_2}$ द्वारा दी जाती है।
द्वि-परमाणुक गैस के लिए,$C_{V1} = \frac{5}{2}R$ और $C_{P1} = \frac{7}{2}R$। एक-परमाणुक गैस के लिए,$C_{V2} = \frac{3}{2}R$ और $C_{P2} = \frac{5}{2}R$।
यहाँ $n_1 = 2$ मोल (द्वि-परमाणुक) और $n_2 = 1$ मोल (एक-परमाणुक) दिए गए हैं।
स्थिर आयतन पर समतुल्य मोलर विशिष्ट ऊष्मा $C_{V,eq} = \frac{2(\frac{5}{2}R) + 1(\frac{3}{2}R)}{2+1} = \frac{5R + 1.5R}{3} = \frac{6.5R}{3} = \frac{13R}{6}$।
स्थिर दाब पर समतुल्य मोलर विशिष्ट ऊष्मा $C_{P,eq} = \frac{n_1 C_{P1} + n_2 C_{P2}}{n_1 + n_2} = \frac{2(\frac{7}{2}R) + 1(\frac{5}{2}R)}{2+1} = \frac{7R + 2.5R}{3} = \frac{9.5R}{3} = \frac{19R}{6}$।
विशिष्ट ऊष्माओं का अनुपात $\gamma_{eq} = \frac{C_{P,eq}}{C_{V,eq}} = \frac{19R/6}{13R/6} = \frac{19}{13}$।

(A) गैसों के मिश्रण के लिए,रुद्धोष्म सूचकांक (adiabatic index) $\gamma_{\text{mix}}$ का सूत्र है:
$\gamma_{\text{mix}} = \frac{n_1 C_{p,1} + n_2 C_{p,2}}{n_1 C_{v,1} + n_2 C_{v,2}}$
वैकल्पिक रूप से,$C_v = \frac{R}{\gamma - 1}$ संबंध का उपयोग करते हुए:
$\gamma_{\text{mix}} = \frac{n_1 + n_2}{\frac{n_1}{\gamma_1 - 1} + \frac{n_2}{\gamma_2 - 1}}$
यहाँ $n_1 = 1, \gamma_1 = 5/3$ और $n_2 = 1, \gamma_2 = 7/5$ दिया गया है:
$C_{v,1} = \frac{R}{5/3 - 1} = \frac{3R}{2}$,$C_{v,2} = \frac{R}{7/5 - 1} = \frac{5R}{2}$.
$C_{v,\text{mix}} = \frac{n_1 C_{v,1} + n_2 C_{v,2}}{n_1 + n_2} = \frac{1(1.5R) + 1(2.5R)}{2} = 2R$.
$C_{p,\text{mix}} = C_{v,\text{mix}} + R = 2R + R = 3R$.
$\gamma_{\text{mix}} = \frac{C_{p,\text{mix}}}{C_{v,\text{mix}}} = \frac{3R}{2R} = 1.5 = 3/2$.

(C) $100\, K$ से कम तापमान पर,$H_2$ और $N_2$ दोनों के लिए कंपन संबंधी स्वतंत्रता की कोटि (vibrational degrees of freedom) जम जाती है। दोनों गैसें द्वि-परमाणुक अणुओं के रूप में व्यवहार करती हैं जिनमें केवल स्थानांतरण और घूर्णन स्वतंत्रता की कोटि होती है। अतः,दोनों गैसों के लिए स्वतंत्रता की कोटि $f = 5$ है।
दोनों गैसों के लिए स्थिर आयतन पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $C_V = \frac{fR}{2} = \frac{5R}{2}$ है।
समान मोल संख्या $(n_1 = n_2 = n)$ वाले मिश्रण के लिए:
$(C_V)_{\text{mix}} = \frac{n_1 C_{V1} + n_2 C_{V2}}{n_1 + n_2} = \frac{n(\frac{5R}{2}) + n(\frac{5R}{2})}{2n} = \frac{5R}{2}$।
स्थिर दाब पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $(C_P)_{\text{mix}} = (C_V)_{\text{mix}} + R = \frac{5R}{2} + R = \frac{7R}{2}$ है।
विशिष्ट ऊष्मा का अनुपात $\gamma = \frac{(C_P)_{\text{mix}}}{(C_V)_{\text{mix}}} = \frac{7R/2}{5R/2} = \frac{7}{5} = 1.4$ है।

(A) मिश्रण के लिए स्थिर आयतन पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा का सूत्र इस प्रकार है:
${C_{V_{mix}}} = \frac{{\mu_1 C_{V_1} + \mu_2 C_{V_2}}}{{\mu_1 + \mu_2}}$
एकपरमाणुक गैस के लिए,${C_{V_1}} = \frac{3}{2}R$।
द्विपरमाणुक गैस के लिए,${C_{V_2}} = \frac{5}{2}R$।
यहाँ $\mu_1 = 1$ मोल और $\mu_2 = 3$ मोल दिया गया है।
मान रखने पर:
${C_{V_{mix}}} = \frac{{1 \times \frac{3}{2}R + 3 \times \frac{5}{2}R}}{{1 + 3}}$
${C_{V_{mix}}} = \frac{{\frac{3}{2}R + \frac{15}{2}R}}{4} = \frac{{\frac{18}{2}R}}{4} = \frac{{9R}}{4} = 2.25R$
$R = 8.3\,J\,K^{-1}\,mol^{-1}$ का उपयोग करने पर:
${C_{V_{mix}}} = 2.25 \times 8.3 = 18.675 \approx 18.7\,J\,K^{-1}\,mol^{-1}$।

(B) गैसों के मिश्रण के लिए,एडियाबेटिक इंडेक्स $\gamma_{mix}$ इस प्रकार दिया जाता है: $\gamma_{mix} = \frac{C_{P,mix}}{C_{V,mix}} = \frac{n_1 C_{P1} + n_2 C_{P2}}{n_1 C_{V1} + n_2 C_{V2}}$.
हीलियम एक परमाण्विक गैस है,इसलिए $n_1 = 1$,$C_{V1} = \frac{3}{2}R$,और $C_{P1} = \frac{5}{2}R$.
हाइड्रोजन द्वि-परमाण्विक गैस है,इसलिए $n_2 = 1$,$C_{V2} = \frac{5}{2}R$,और $C_{P2} = \frac{7}{2}R$.
इन मानों को रखने पर:
$C_{V,mix} = \frac{1(\frac{3}{2}R) + 1(\frac{5}{2}R)}{1+1} = \frac{8R/2}{2} = 2R$.
$C_{P,mix} = \frac{1(\frac{5}{2}R) + 1(\frac{7}{2}R)}{1+1} = \frac{12R/2}{2} = 3R$.
अतः,$\gamma_{mix} = \frac{3R}{2R} = 1.5$.

(D) हीलियम के मोलों की संख्या $(n_1)$ = $\frac{16}{4} = 4 \, \text{mol}$.
ऑक्सीजन के मोलों की संख्या $(n_2)$ = $\frac{16}{32} = 0.5 \, \text{mol}$.
हीलियम (एकपरमाणुक) के लिए,$\gamma_1 = \frac{5}{3}$ और स्वतंत्रता की कोटि $f_1 = 3$.
ऑक्सीजन (द्विपरमाणुक) के लिए,$\gamma_2 = \frac{7}{5}$ और स्वतंत्रता की कोटि $f_2 = 5$.
मिश्रण के लिए समतुल्य $\gamma$ का सूत्र: $\frac{n_1 + n_2}{\gamma - 1} = \frac{n_1}{\gamma_1 - 1} + \frac{n_2}{\gamma_2 - 1}$.
मान रखने पर: $\frac{4 + 0.5}{\gamma - 1} = \frac{4}{\frac{5}{3} - 1} + \frac{0.5}{\frac{7}{5} - 1}$.
$\frac{4.5}{\gamma - 1} = \frac{4}{2/3} + \frac{0.5}{2/5} = 6 + 1.25 = 7.25$.
$\gamma - 1 = \frac{4.5}{7.25} \approx 0.62$.
$\gamma \approx 1.62$.

(D) किसी भी गैस अणु की औसत स्थानांतरण गतिज ऊर्जा $(KE_{avg})$ केवल निरपेक्ष तापमान $T$ पर निर्भर करती है और इसे $KE_{avg} = \frac{3}{2} k_B T$ सूत्र द्वारा दिया जाता है। चूंकि दोनों गैसें एक ही बॉक्स में हैं,इसलिए वे समान तापमान पर हैं। अतः,${H_2}$ अणुओं और $He$ परमाणुओं की औसत स्थानांतरण गतिज ऊर्जा समान है।
गैस अणु की कुल औसत ऊर्जा $(E_{avg})$ उसकी स्वतंत्रता की कोटि $(f)$ पर निर्भर करती है,जो $E_{avg} = \frac{f}{2} k_B T$ द्वारा दी जाती है। $He$ जैसी एकपरमाणुक गैस के लिए,स्वतंत्रता की कोटि $f = 3$ है। कमरे के तापमान पर ${H_2}$ जैसी द्विपरमाणुक गैस के लिए,स्वतंत्रता की कोटि $f = 5$ ($3$ स्थानांतरण + $2$ घूर्णन) है। चूंकि $f_{H_2} > f_{He}$,इसलिए ${H_2}$ अणुओं की औसत ऊर्जा $He$ परमाणुओं की तुलना में अधिक है।
अतः,कथन $(A)$ और $(C)$ दोनों सही हैं।

(A) कुल दबाव $P$ आदर्श गैस समीकरण $PV = n_{total}RT$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $n_{total} = n_{O_2} + n_{N_2} + n_{CO_2}$ है।
$1$. प्रत्येक गैस के लिए मोल की संख्या की गणना करें:
$n_{O_2} = \frac{6}{32} = 0.1875 \, mol$
$n_{N_2} = \frac{8}{28} \approx 0.2857 \, mol$
$n_{CO_2} = \frac{5}{44} \approx 0.1136 \, mol$
$2$. कुल मोल $n_{total} = 0.1875 + 0.2857 + 0.1136 \approx 0.5868 \, mol$.
$3$. आयतन को $m^3$ में बदलें: $V = 3 \, L = 3 \times 10^{-3} \, m^3$.
$4$. तापमान $T = 27 + 273 = 300 \, K$.
$5$. दबाव की गणना: $P = \frac{n_{total}RT}{V} = \frac{0.5868 \times 8.31 \times 300}{3 \times 10^{-3}} \approx 4.87 \times 10^5 \, N/m^2$.
निकटतम विकल्प के अनुसार,दबाव लगभग $5 \times 10^5 \, N/m^2$ है।

(C) ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,मिश्रण की कुल आंतरिक ऊर्जा व्यक्तिगत गैसों की आंतरिक ऊर्जा के योग के बराबर होती है।
एक आदर्श गैस की आंतरिक ऊर्जा $E = \frac{f}{2} n k T$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $f$ स्वतंत्रता की कोटि (degrees of freedom) है,$n$ अणुओं की संख्या है,$k$ बोल्ट्ज़मैन नियतांक है और $T$ परम ताप है।
मिश्रण के लिए:
$E_{total} = E_1 + E_2$
$\frac{f}{2} (n_1 + n_2) k T = \frac{f}{2} n_1 k T_1 + \frac{f}{2} n_2 k T_2$
दोनों पक्षों से सामान्य पदों $\frac{f}{2} k$ को हटाने पर:
$(n_1 + n_2) T = n_1 T_1 + n_2 T_2$
अतः,मिश्रण का तापमान होगा:
$T = \frac{n_1 T_1 + n_2 T_2}{n_1 + n_2}$

(B) गैस अणुओं की औसत गति का सूत्र $V_{av} = \sqrt{\frac{8RT}{\pi M}}$ है।
चूंकि सभी पात्रों के लिए तापमान $T$ समान है और $O_2$ का मोलर द्रव्यमान $M$ स्थिर है,इसलिए $O_2$ अणुओं की औसत गति केवल तापमान और गैस के मोलर द्रव्यमान पर निर्भर करती है।
पात्र $C$ में,$O_2$ और $N_2$ अणु एक आदर्श गैस मिश्रण के रूप में स्वतंत्र रूप से व्यवहार करते हैं।
इसलिए,पात्र $C$ में $O_2$ अणुओं की औसत गति पात्र $A$ के समान ही रहती है,जो कि $V_1$ है।

(B) स्थिर दबाव पर मिश्रण की मोलर विशिष्ट ऊष्मा इस प्रकार दी जाती है:
$(C_P)_{mix} = \frac{\mu_1 C_{P1} + \mu_2 C_{P2}}{\mu_1 + \mu_2}$
हीलियम (एक-परमाणुक) के लिए,$C_{P1} = \frac{5}{2}R$ और हाइड्रोजन (द्वि-परमाणुक) के लिए,$C_{P2} = \frac{7}{2}R$ है।
यहाँ $\mu_1 = 1$ मोल और $\mu_2 = 1$ मोल है:
$(C_P)_{mix} = \frac{1 \times \frac{5}{2}R + 1 \times \frac{7}{2}R}{1 + 1} = \frac{6R}{2} = 3R$।
$R \approx 2 \, cal/mol \cdot K$ लेने पर,$(C_P)_{mix} = 3 \times 2 = 6 \, cal/mol \cdot ^{\circ}C$।
स्थिर दबाव पर दी गई कुल ऊष्मा:
$\Delta Q = (\mu_1 + \mu_2) (C_P)_{mix} \Delta T$
$\Delta Q = (1 + 1) \times 6 \times (100 - 0) = 2 \times 6 \times 100 = 1200 \, cal$।

(A) ऊर्जा के समविभाजन के नियम के अनुसार,स्वतंत्रता की प्रत्येक कोटि (degree of freedom) से जुड़ी औसत गतिज ऊर्जा $\frac{1}{2} k_B T$ होती है,जहाँ $k_B$ बोल्ट्ज़मैन नियतांक है और $T$ परम ताप है।
ऑक्सीजन $(O_2)$ और नाइट्रोजन $(N_2)$ दोनों द्वि-परमाणुक अणु हैं।
एक द्वि-परमाणुक अणु में घूर्णन गति से जुड़ी $2$ स्वतंत्रता की कोटियाँ होती हैं।
इसलिए,प्रत्येक अणु के लिए औसत घूर्णन गतिज ऊर्जा $2 \times (\frac{1}{2} k_B T) = k_B T$ होती है।
चूंकि दोनों गैसें एक ही पात्र में समान तापमान $(T = 300 K)$ पर हैं,इसलिए $O_2$ और $N_2$ दोनों के लिए प्रति अणु औसत घूर्णन गतिज ऊर्जा $k_B T$ होगी।
अतः,प्रति $O_2$ अणु और प्रति $N_2$ अणु की औसत घूर्णन गतिज ऊर्जा का अनुपात $k_B T : k_B T = 1:1$ है।

(D) गैस मिश्रण की कुल आंतरिक ऊर्जा $U$ उसके घटकों की आंतरिक ऊर्जा का योग होती है।
$U = U_{O_2} + U_{Ar} = \mu_1 \frac{f_1}{2} RT + \mu_2 \frac{f_2}{2} RT$
$O_2$ (द्वि-परमाणुक गैस) के लिए,स्वतंत्रता की कोटि $f_1 = 5$ (कंपन मोड को नजरअंदाज करते हुए)।
$Ar$ (एक-परमाणुक गैस) के लिए,स्वतंत्रता की कोटि $f_2 = 3$ है।
दिया गया है $\mu_1 = 2$ मोल और $\mu_2 = 4$ मोल।
मान रखने पर:
$U = 2 \times \frac{5}{2} RT + 4 \times \frac{3}{2} RT$
$U = 5 RT + 6 RT = 11 RT$

(D) ऑक्सीजन $(O_2)$ एक द्वि-परमाणुक गैस है। द्वि-परमाणुक गैस के लिए स्वतंत्रता की कोटि (कंपनों को छोड़कर) $f_1 = 5$ है।
$2$ मोल ऑक्सीजन की आंतरिक ऊर्जा $U_1 = n_1 \times \frac{f_1}{2} RT = 2 \times \frac{5}{2} RT = 5RT$ है।
आर्गन $(Ar)$ एक एक-परमाणुक गैस है। एक-परमाणुक गैस के लिए स्वतंत्रता की कोटि $f_2 = 3$ है।
$4$ मोल आर्गन की आंतरिक ऊर्जा $U_2 = n_2 \times \frac{f_2}{2} RT = 4 \times \frac{3}{2} RT = 6RT$ है।
निकाय की कुल आंतरिक ऊर्जा $U = U_1 + U_2 = 5RT + 6RT = 11RT$ है।

(D) गैसों के मिश्रण के लिए,मोलर विशिष्ट ऊष्मा इस प्रकार दी जाती है:
$C_{P,mix} = \frac{n_1 C_{P1} + n_2 C_{P2}}{n_1 + n_2}$ और $C_{V,mix} = \frac{n_1 C_{V1} + n_2 C_{V2}}{n_1 + n_2}$
नाइट्रोजन के लिए ($N_2$,द्वि-परमाणुक,$\gamma_1 = 1.4$):
$n_1 = \frac{7 \ g}{28 \ g/mol} = 0.25 \ mol$
$C_{V1} = \frac{R}{\gamma_1 - 1} = \frac{8.314}{0.4} = 20.785 \ J/mol \ K$
$C_{P1} = C_{V1} + R = 20.785 + 8.314 = 29.099 \ J/mol \ K$
आर्गन के लिए ($Ar$,एक-परमाणुक,$\gamma_2 = 1.67$):
$n_2 = \frac{20 \ g}{40 \ g/mol} = 0.5 \ mol$
$C_{V2} = \frac{R}{\gamma_2 - 1} = \frac{8.314}{0.67} \approx 12.41 \ J/mol \ K$
$C_{P2} = C_{V2} + R = 12.41 + 8.314 = 20.724 \ J/mol \ K$
मिश्रण की मोलर विशिष्ट ऊष्मा की गणना:
$C_{V,mix} = \frac{(0.25 \times 20.785) + (0.5 \times 12.41)}{0.75} = 15.2 \ J/mol \ K$
$C_{P,mix} = \frac{(0.25 \times 29.099) + (0.5 \times 20.724)}{0.75} = 23.516 \ J/mol \ K$
कुल द्रव्यमान $M_{total} = 27 \ g$. कुल मोल $n_{total} = 0.75 \ mol$.
औसत मोलर द्रव्यमान $M_{avg} = \frac{27}{0.75} = 36 \ g/mol$.
विशिष्ट ऊष्मा (प्रति ग्राम):
$C_V = \frac{C_{V,mix}}{M_{avg}} = \frac{15.2}{36} \approx 0.421 \ J/g \ K$
$C_P = \frac{C_{P,mix}}{M_{avg}} = \frac{23.516}{36} \approx 0.65 \ J/g \ K$

(C) गैसों के मिश्रण के लिए रुद्धोष्म घातांक (adiabatic exponent) $\gamma_{mix}$ का सूत्र इस प्रकार है:
$\frac{\mu_1 + \mu_2}{\gamma_{mix} - 1} = \frac{\mu_1}{\gamma_1 - 1} + \frac{\mu_2}{\gamma_2 - 1}$
यहाँ $\mu_1 = 1, \gamma_1 = 7/5$ और $\mu_2 = 1, \gamma_2 = 5/3$ दिया गया है।
मान रखने पर:
$\frac{1 + 1}{\gamma_{mix} - 1} = \frac{1}{7/5 - 1} + \frac{1}{5/3 - 1}$
$\frac{2}{\gamma_{mix} - 1} = \frac{1}{2/5} + \frac{1}{2/3} = \frac{5}{2} + \frac{3}{2} = \frac{8}{2} = 4$
$\frac{2}{\gamma_{mix} - 1} = 4$
$\gamma_{mix} - 1 = 2/4 = 0.5$
$\gamma_{mix} = 1.5 = 3/2$.

(D) हीलियम $(He)$ के लिए,मोलर द्रव्यमान $M_1 = 4 \ g/mol$ है। मोलों की संख्या $\mu_1 = 16/4 = 4 \ mol$ है।
हीलियम एक परमाण्विक गैस है,इसलिए स्वतंत्रता की कोटि $f_1 = 3$ है। $C_{V1} = \frac{3}{2}R$ और $C_{P1} = \frac{5}{2}R$ है।
ऑक्सीजन $(O_2)$ के लिए,मोलर द्रव्यमान $M_2 = 32 \ g/mol$ है। मोलों की संख्या $\mu_2 = 16/32 = 0.5 \ mol$ है।
ऑक्सीजन द्वि-परमाण्विक गैस है,इसलिए स्वतंत्रता की कोटि $f_2 = 5$ है। $C_{V2} = \frac{5}{2}R$ और $C_{P2} = \frac{7}{2}R$ है।
मिश्रण के लिए स्थिर आयतन पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $C_{V,mix} = \frac{\mu_1 C_{V1} + \mu_2 C_{V2}}{\mu_1 + \mu_2} = \frac{4(\frac{3}{2}R) + 0.5(\frac{5}{2}R)}{4 + 0.5} = \frac{6R + 1.25R}{4.5} = \frac{7.25R}{4.5} = \frac{29}{18}R$ है।
मिश्रण के लिए स्थिर दाब पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $C_{P,mix} = \frac{\mu_1 C_{P1} + \mu_2 C_{P2}}{\mu_1 + \mu_2} = \frac{4(\frac{5}{2}R) + 0.5(\frac{7}{2}R)}{4 + 0.5} = \frac{10R + 1.75R}{4.5} = \frac{11.75R}{4.5} = \frac{47}{18}R$ है।
अनुपात $\gamma_{mix} = \frac{C_{P,mix}}{C_{V,mix}} = \frac{47/18}{29/18} = \frac{47}{29} \approx 1.62$ है।

(C) आदर्श गैस नियम के अनुसार,$V$ आयतन और $T$ तापमान वाले पात्र में गैस का दबाव $P = \frac{N k_B T}{V}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $N$ अणुओं की संख्या है और $k_B$ बोल्ट्ज़मैन स्थिरांक है।
तीन अलग-अलग पात्रों के लिए:
$P_1 = \frac{N_1 k_B T}{V}$,$P_2 = \frac{N_2 k_B T}{V}$,और $P_3 = \frac{N_3 k_B T}{V}$।
जब इन गैसों को समान आयतन $V$ और समान तापमान $T$ वाले एक ही पात्र में मिलाया जाता है,तो अणुओं की कुल संख्या $N_{total} = N_1 + N_2 + N_3$ हो जाती है।
मिश्रण का दबाव $P$ इस प्रकार होगा:
$P = \frac{(N_1 + N_2 + N_3) k_B T}{V}$
$P = \frac{N_1 k_B T}{V} + \frac{N_2 k_B T}{V} + \frac{N_3 k_B T}{V}$
$P = P_1 + P_2 + P_3$।
अतः,मिश्रण का दबाव व्यक्तिगत दबावों के योग के बराबर होता है।

(D) एक आदर्श गैस के लिए,प्रति अणु औसत गतिज ऊर्जा $K.E. = \frac{3}{2} k_B T$ द्वारा दी जाती है। $n$ अणुओं की कुल आंतरिक ऊर्जा $U = n \times (\frac{3}{2} k_B T)$ होती है।
चूंकि ऊर्जा का कोई ह्रास नहीं होता है,इसलिए मिश्रण की कुल आंतरिक ऊर्जा व्यक्तिगत गैसों की आंतरिक ऊर्जा के योग के बराबर होती है:
$U_{total} = U_1 + U_2 + U_3$
$(n_1 + n_2 + n_3) \times (\frac{3}{2} k_B T) = n_1 (\frac{3}{2} k_B T_1) + n_2 (\frac{3}{2} k_B T_2) + n_3 (\frac{3}{2} k_B T_3)$
दोनों पक्षों से सामान्य गुणनखंड $\frac{3}{2} k_B$ को हटाने पर:
$(n_1 + n_2 + n_3) T = n_1 T_1 + n_2 T_2 + n_3 T_3$
अतः,अंतिम तापमान $T$ है:
$T = \frac{n_1 T_1 + n_2 T_2 + n_3 T_3}{n_1 + n_2 + n_3}$

(D) गैस मिश्रण की कुल आंतरिक ऊर्जा $U$ उसके व्यक्तिगत घटकों की आंतरिक ऊर्जा का योग होती है।
$n$ मोल और $f$ स्वतंत्रता की कोटि (degrees of freedom) वाली गैस के लिए,आंतरिक ऊर्जा $U = n \frac{f}{2} RT$ द्वारा दी जाती है।
$O_2$ (द्वि-परमाणुक गैस) के लिए,स्वतंत्रता की कोटि $f_1 = 5$ (कंपन विधाओं की उपेक्षा करते हुए)।
$Ar$ (एक-परमाणुक गैस) के लिए,स्वतंत्रता की कोटि $f_2 = 3$ है।
यहाँ $n_1 = 2$ मोल $O_2$ और $n_2 = 4$ मोल $Ar$ दिए गए हैं।
कुल आंतरिक ऊर्जा $U = U_{O_2} + U_{Ar} = n_1 \frac{f_1}{2} RT + n_2 \frac{f_2}{2} RT$ है।
मान रखने पर: $U = 2 \times \frac{5}{2} RT + 4 \times \frac{3}{2} RT$।
$U = 5\, RT + 6\, RT = 11\, RT$।

(D) माना प्रत्येक गैस का द्रव्यमान $M$ है। हीलियम $(He)$ के मोलों की संख्या $n_1 = M/4$ है और ऑक्सीजन $(O_2)$ के मोलों की संख्या $n_2 = M/32$ है।
गैसों के मिश्रण के लिए,समतुल्य रुद्धोष्म घातांक $\gamma_{mix}$ इस प्रकार दिया जाता है: $\frac{n_{total}}{\gamma_{mix} - 1} = \frac{n_1}{\gamma_1 - 1} + \frac{n_2}{\gamma_2 - 1}$.
यहाँ,$\gamma_1 = 5/3$ (एक-परमाणुक) और $\gamma_2 = 7/5$ (द्वि-परमाणुक) है।
मान रखने पर: $n_{total} = M/4 + M/32 = 9M/32$.
$\frac{9M/32}{\gamma_{mix} - 1} = \frac{M/4}{5/3 - 1} + \frac{M/32}{7/5 - 1} = \frac{M/4}{2/3} + \frac{M/32}{2/5} = \frac{3M}{8} + \frac{5M}{64} = \frac{24M + 5M}{64} = \frac{29M}{64}$.
$\frac{9/32}{\gamma_{mix} - 1} = \frac{29}{64} \Rightarrow \frac{1}{\gamma_{mix} - 1} = \frac{29}{64} \times \frac{32}{9} = \frac{29}{18} \approx 1.611$.
$\gamma_{mix} - 1 = 18/29 \approx 0.6206 \Rightarrow \gamma_{mix} \approx 1.62$.

(A) पात्र में कुल दबाव $P$ आदर्श गैस समीकरण $PV = n_{total}RT$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $n_{total} = n_{O_2} + n_{N_2} + n_{CO_2}$ है।
$1$. प्रत्येक गैस के लिए मोल की संख्या की गणना करें:
$n_{O_2} = \frac{6 \ g}{32 \ g/mol} = 0.1875 \ mol$
$n_{N_2} = \frac{8 \ g}{28 \ g/mol} \approx 0.2857 \ mol$
$n_{CO_2} = \frac{5 \ g}{44 \ g/mol} \approx 0.1136 \ mol$
$2$. कुल मोल $n_{total} = 0.1875 + 0.2857 + 0.1136 \approx 0.5868 \ mol$.
$3$. आयतन और तापमान को $SI$ इकाइयों में बदलें:
$V = 3 \ L = 3 \times 10^{-3} \ m^3$
$T = 27^{\circ}C = 300 \ K$
$4$. कुल दबाव की गणना करें:
$P = \frac{n_{total}RT}{V} = \frac{0.5868 \times 8.31 \times 300}{3 \times 10^{-3}} \approx 4.87 \times 10^5 \ Pa \approx 5 \times 10^5 \ Pa$.

(B) एक परमाण्विक गैस के लिए,स्थिर आयतन पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $C_{v1} = \frac{3}{2}R$ और स्थिर दाब पर $C_{p1} = \frac{5}{2}R$ होती है।
द्वि-परमाण्विक गैस के लिए,स्थिर आयतन पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $C_{v2} = \frac{5}{2}R$ और स्थिर दाब पर $C_{p2} = \frac{7}{2}R$ होती है।
जब $n_1 = 1 \text{ mole}$ और $n_2 = 1 \text{ mole}$ को मिश्रित किया जाता है,तो मिश्रण के लिए स्थिर आयतन पर समतुल्य मोलर विशिष्ट ऊष्मा:
$C_{v,mix} = \frac{n_1 C_{v1} + n_2 C_{v2}}{n_1 + n_2} = \frac{1(\frac{3}{2}R) + 1(\frac{5}{2}R)}{1 + 1} = \frac{4R}{2} = 2R$.
मिश्रण के लिए स्थिर दाब पर समतुल्य मोलर विशिष्ट ऊष्मा:
$C_{p,mix} = \frac{n_1 C_{p1} + n_2 C_{p2}}{n_1 + n_2} = \frac{1(\frac{5}{2}R) + 1(\frac{7}{2}R)}{1 + 1} = \frac{6R}{2} = 3R$.
मिश्रण का रुद्धोष्म सूचकांक (adiabatic index) $\gamma_{mix}$ इस प्रकार है:
$\gamma_{mix} = \frac{C_{p,mix}}{C_{v,mix}} = \frac{3R}{2R} = 1.5$.

(C) प्रत्येक गैस के लिए,मोलों की संख्या आदर्श गैस समीकरण द्वारा दी जाती है: $\mu_1 = \frac{PV}{RT}$ और $\mu_2 = \frac{PV}{RT}$.
जब दो गैसों को मिश्रित किया जाता है,तो मोलों की कुल संख्या $\mu_{total} = \mu_1 + \mu_2 = \frac{PV}{RT} + \frac{PV}{RT} = \frac{2PV}{RT}$ हो जाती है।
समान आयतन $V$ और तापमान $T$ पर मिश्रण का अंतिम दाब $P'$ सूत्र $P' = \frac{\mu_{total} RT}{V}$ द्वारा दिया जाता है।
$\mu_{total}$ का मान रखने पर,हमें $P' = \left( \frac{2PV}{RT} \right) \times \frac{RT}{V} = 2P$ प्राप्त होता है।

(C) जब वाल्व खोला जाता है तो मोल की कुल संख्या $n$ संरक्षित रहती है।
$n = n_1 + n_2$
आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ का उपयोग करने पर,$n = \frac{PV}{RT}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{P(V_1 + V_2)}{RT} = \frac{P_1 V_1}{RT_1} + \frac{P_2 V_2}{RT_2}$।
चूंकि पात्र ऊष्मीय रूप से कुचालक हैं,कुल आंतरिक ऊर्जा संरक्षित रहती है। आदर्श गैस के लिए,$U = \frac{f}{2} nRT$। गैस समान होने के कारण,$f$ स्थिर है।
कुल आंतरिक ऊर्जा $U_i = U_f \Rightarrow n_1 T_1 + n_2 T_2 = n T$।
$n_1 = \frac{P_1 V_1}{RT_1}$ और $n_2 = \frac{P_2 V_2}{RT_2}$ रखने पर,$\frac{P_1 V_1}{R} + \frac{P_2 V_2}{R} = nT$ प्राप्त होता है।
मोल संरक्षण से,$n = \frac{P_1 V_1}{RT_1} + \frac{P_2 V_2}{RT_2} = \frac{P_1 V_1 T_2 + P_2 V_2 T_1}{RT_1 T_2}$।
ऊर्जा समीकरणों की तुलना करने पर: $\frac{P_1 V_1 + P_2 V_2}{R} = \left( \frac{P_1 V_1 T_2 + P_2 V_2 T_1}{RT_1 T_2} \right) T$।
$T$ के लिए हल करने पर: $T = \frac{T_1 T_2 (P_1 V_1 + P_2 V_2)}{P_1 V_1 T_2 + P_2 V_2 T_1}$।

(D) पहले पात्र में मोलों की संख्या $\mu_1 = \frac{P_1V}{RT_1}$ है और दूसरे पात्र में मोलों की संख्या $\mu_2 = \frac{P_2V}{RT_2}$ है।
चूंकि पात्रों को जोड़ने पर गैस की कुल मात्रा स्थिर रहती है,इसलिए कुल मोल $\mu = \mu_1 + \mu_2$ होते हैं।
निकाय का अंतिम आयतन $2V$ है। अतः,अंतिम अवस्था के लिए $\frac{P(2V)}{RT} = \frac{P_1V}{RT_1} + \frac{P_2V}{RT_2}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों से $V$ और $R$ को हटाने पर,हमें $\frac{2P}{T} = \frac{P_1}{T_1} + \frac{P_2}{T_2}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{P}{T} = \frac{P_1}{2T_1} + \frac{P_2}{2T_2}$ होगा।

(C) पहली गैस की आंतरिक ऊर्जा $U_1 = n_1 C_v T_1$ है।
दूसरी गैस की आंतरिक ऊर्जा $U_2 = n_2 C_v T_2$ है।
चूंकि ऊर्जा का कोई ह्रास नहीं होता है,इसलिए मिश्रण की कुल आंतरिक ऊर्जा $U_{mix} = U_1 + U_2$ होगी।
$U_{mix} = n_1 C_v T_1 + n_2 C_v T_2$.
मान लीजिए कि मिश्रण का अंतिम तापमान $T$ है,तो $U_{mix} = (n_1 + n_2) C_v T$.
दोनों को बराबर करने पर: $(n_1 + n_2) C_v T = n_1 C_v T_1 + n_2 C_v T_2$.
दोनों पक्षों से $C_v$ को हटाने पर,हमें प्राप्त होता है $T = \frac{n_1 T_1 + n_2 T_2}{n_1 + n_2}$.

(C) सबसे पहले,प्रत्येक गैस के लिए मोल की संख्या की गणना करें:
$n_{N_2} = \frac{28 \ g}{28 \ g/mol} = 1 \ mol$
$n_{H_2} = \frac{4 \ g}{2 \ g/mol} = 2 \ mol$
$n_{He} = \frac{8 \ g}{4 \ g/mol} = 2 \ mol$
कुल मोल $n = 1 + 2 + 2 = 5 \ mol$.
कुल द्रव्यमान $M_{total} = 28 + 4 + 8 = 40 \ g = 0.04 \ kg$.
आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ का उपयोग करके आयतन $V$ ज्ञात करें:
$V = \frac{nRT}{P} = \frac{5 \times 8.3 \times 400}{8.3 \times 10^5} = 2 \times 10^{-2} \ m^3$.
घनत्व $\rho = \frac{M_{total}}{V} = \frac{0.04 \ kg}{2 \times 10^{-2} \ m^3} = 2 \ kg/m^3$.
चूंकि $1 \ kg/m^3 = 1 \ g/L$,इसलिए घनत्व $2 \ g/L$ होगा।

(C) पहली गैस के मोलों की संख्या $\mu_1 = \frac{PV}{RT}$ है और दूसरी गैस के मोलों की संख्या $\mu_2 = \frac{PV}{RT}$ है।
जब दोनों गैसों को मिलाया जाता है,तो मिश्रण का दाब $P'$ सूत्र $P' = \frac{(\mu_1 + \mu_2)RT}{V}$ द्वारा दिया जाता है (क्योंकि मिश्रण का आयतन और तापमान पहले के समान ही रहता है)।
अतः,$P' = \frac{\mu_1 RT}{V} + \frac{\mu_2 RT}{V} = \frac{PV}{RT} \cdot \frac{RT}{V} + \frac{PV}{RT} \cdot \frac{RT}{V} = P + P = 2P$.

(A) $CO_2$ गैस के मोलों की संख्या $\mu_1 = \frac{m}{M} = \frac{22}{44} = 0.5 \, mol$ है।
$O_2$ गैस के मोलों की संख्या $\mu_2 = \frac{m'}{M'} = \frac{16}{32} = 0.5 \, mol$ है।
केल्विन में प्रारंभिक तापमान $T_1 = 27 + 273 = 300 \, K$ और $T_2 = 37 + 273 = 310 \, K$ हैं।
मिश्रण का अंतिम तापमान $T = \frac{\mu_1 T_1 + \mu_2 T_2}{\mu_1 + \mu_2}$ सूत्र द्वारा प्राप्त किया जाता है।
मान रखने पर: $T = \frac{0.5 \times 300 + 0.5 \times 310}{0.5 + 0.5} = \frac{150 + 155}{1} = 305 \, K$.
सेल्सियस में बदलने पर: $t = 305 - 273 = 32 \, ^\circ C$।

(B) मिश्रण के लिए आदर्श गैस समीकरण $P V = n_{mix} R T$ है।
मिश्रण का घनत्व $\rho = \frac{M_{total}}{V}$ द्वारा दिया जाता है।
कुल द्रव्यमान $M_{total} = 7 \, g + 11 \, g = 18 \, g = 18 \times 10^{-3} \, kg$.
$N_2$ के मोलों की संख्या $(n_1)$ = $\frac{7}{28} = 0.25 \, mol$.
$CO_2$ के मोलों की संख्या $(n_2)$ = $\frac{11}{44} = 0.25 \, mol$.
कुल मोल $n_{mix} = n_1 + n_2 = 0.25 + 0.25 = 0.5 \, mol$.
$V = \frac{n_{mix} R T}{P}$ का उपयोग करने पर,$V = \frac{0.5 \times 8.314 \times 290}{1.01 \times 10^5} \approx 0.01193 \, m^3$.
घनत्व $\rho = \frac{18 \times 10^{-3}}{0.01193} \approx 1.508 \, kg/m^3$.
अतः,घनत्व लगभग $1.5 \, kg/m^3$ है।

(A) एक आदर्श गैस के लिए,आंतरिक ऊर्जा $U$ को $U = \frac{f}{2} nRT = \frac{f}{2} NkT$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $f$ स्वतंत्रता की कोटि (degrees of freedom) है,$N$ अणुओं की संख्या है और $k$ बोल्ट्जमैन नियतांक है।
चूंकि गैसों को मिश्रित किया जाता है और ऊर्जा का कोई ह्रास नहीं होता है,इसलिए मिश्रण की कुल आंतरिक ऊर्जा व्यक्तिगत गैसों की आंतरिक ऊर्जा के योग के बराबर होती है।
$U_{total} = U_1 + U_2 + U_3$
$\frac{f}{2} (n_1 + n_2 + n_3) kT = \frac{f}{2} n_1kT_1 + \frac{f}{2} n_2kT_2 + \frac{f}{2} n_3kT_3$
दोनों पक्षों से सामान्य पदों $\frac{f}{2} k$ को हटाने पर:
$(n_1 + n_2 + n_3) T = n_1T_1 + n_2T_2 + n_3T_3$
इसलिए,अंतिम तापमान $T$ है:
$T = \frac{n_1T_1 + n_2T_2 + n_3T_3}{n_1 + n_2 + n_3}$

(C) ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,ऊष्मीय संपर्क से पहले की कुल आंतरिक ऊर्जा संतुलन प्राप्त करने के बाद की कुल आंतरिक ऊर्जा के बराबर होती है।
$U_i = U_f$
नाइट्रोजन के लिए (द्वि-परमाणुक,$f_1 = 5$): $U_{A} = \frac{n_1 f_1 R T_1}{2} = \frac{1 \times 5 \times R \times T_0}{2} = \frac{5RT_0}{2}$
हीलियम के लिए (एक-परमाणुक,$f_2 = 3$): $U_{B} = \frac{n_2 f_2 R T_2}{2} = \frac{1 \times 3 \times R \times (7/3)T_0}{2} = \frac{7RT_0}{2}$
कुल प्रारंभिक ऊर्जा $U_i = \frac{5RT_0}{2} + \frac{7RT_0}{2} = \frac{12RT_0}{2} = 6RT_0$
संतुलन पर,गैसों का तापमान समान $T_f$ हो जाता है। कुल आंतरिक ऊर्जा $U_f = \frac{n_1 f_1 R T_f}{2} + \frac{n_2 f_2 R T_f}{2} = \frac{(5+3) R T_f}{2} = 4RT_f$
$U_i = U_f$ को बराबर करने पर: $6RT_0 = 4RT_f$
$T_f = \frac{6}{4} T_0 = \frac{3}{2} T_0$.

(D) मिश्रण के लिए स्थिर दाब पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा का सूत्र $C_{P, \text{mix}} = \frac{\sum \mu_i C_{P,i}}{\sum \mu_i}$ है।
हाइड्रोजन ($H_2$,द्वि-परमाणुक) के लिए,$\mu_1 = 4$ और $C_{P,1} = \frac{7R}{2}$.
हीलियम ($He$,एक-परमाणुक) के लिए,$\mu_2 = 1$ और $C_{P,2} = \frac{5R}{2}$.
जल वाष्प ($H_2O$,बहु-परमाणुक) के लिए,$\mu_3 = 1$ और $C_{P,3} = 4R$.
कुल मोल $\mu_{\text{total}} = 4 + 1 + 1 = 6$.
इस गणना के अनुसार,सही उत्तर विकल्प $D$ है।

(C) गैसों के मिश्रण के लिए,समोष्मी सूचकांक $\gamma_{mix}$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\frac{n_1 + n_2}{\gamma_{mix} - 1} = \frac{n_1}{\gamma_1 - 1} + \frac{n_2}{\gamma_2 - 1}$
दिया गया है: $n_1 = 1$,$\gamma_1 = 7/5 = 1.4$ और $n_2 = 1$,$\gamma_2 = 4/3 \approx 1.33$.
मान रखने पर:
$\frac{1 + 1}{\gamma_{mix} - 1} = \frac{1}{7/5 - 1} + \frac{1}{4/3 - 1}$
$\frac{2}{\gamma_{mix} - 1} = \frac{1}{2/5} + \frac{1}{1/3}$
$\frac{2}{\gamma_{mix} - 1} = 2.5 + 3 = 5.5$
$\gamma_{mix} - 1 = \frac{2}{5.5} = \frac{20}{55} = \frac{4}{11}$
$\gamma_{mix} = 1 + \frac{4}{11} = \frac{15}{11} \approx 1.36$.

(A) गैसों के मिश्रण के लिए रुद्धोष्म सूचकांक (adiabatic index) $\gamma_{mix}$ का सूत्र है: $\gamma_{mix} = \frac{\frac{\mu_1 \gamma_1}{\gamma_1 - 1} + \frac{\mu_2 \gamma_2}{\gamma_2 - 1}}{\frac{\mu_1}{\gamma_1 - 1} + \frac{\mu_2}{\gamma_2 - 1}}$.
दिया गया है: $\mu_1 = 1, \gamma_1 = 5/3$ और $\mu_2 = 1, \gamma_2 = 7/5$.
मान रखने पर:
$\gamma_{mix} = \frac{\frac{1 \times (5/3)}{(5/3 - 1)} + \frac{1 \times (7/5)}{(7/5 - 1)}}{\frac{1}{(5/3 - 1)} + \frac{1}{(7/5 - 1)}}$
$\gamma_{mix} = \frac{\frac{5/3}{2/3} + \frac{7/5}{2/5}}{\frac{1}{2/3} + \frac{1}{2/5}} = \frac{5/2 + 7/2}{3/2 + 5/2} = \frac{12/2}{8/2} = \frac{12}{8} = 3/2 = 1.5$.

(A) दिया गया है: $V = 0.02 \ m^3$,$T = 27^{\circ}C = 300 \ K$,$P = 1 \times 10^5 \ N/m^2$,कुल द्रव्यमान $M = 28 \ g$।
माना नियॉन का द्रव्यमान $m$ है और आर्गन का द्रव्यमान $(28 - m)$ है।
मिश्रण के कुल मोल $\mu = \frac{m}{20} + \frac{28 - m}{40} = \frac{28 + m}{40} \dots (i)$।
आदर्श गैस समीकरण $PV = \mu RT$ का उपयोग करने पर,$\mu = \frac{PV}{RT} = \frac{1 \times 10^5 \times 0.02}{8.314 \times 300} \approx 0.8 \ mol \dots (ii)$।
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ की तुलना करने पर: $\frac{28 + m}{40} = 0.8 \implies 28 + m = 32 \implies m = 4 \ g$।
अतः,नियॉन का द्रव्यमान $4 \ g$ और आर्गन का द्रव्यमान $28 - 4 = 24 \ g$ है।

(C) कैलोरीमिति के सिद्धांत के अनुसार,गर्म वस्तु द्वारा खोई गई ऊष्मा = ठंडी वस्तु द्वारा प्राप्त ऊष्मा।
$CO_2$ के लिए $(C_v = 3R)$: मोलों की संख्या $\mu_1 = \frac{22}{44} = 0.5 \ mol$।
$O_2$ के लिए $(C_v = \frac{5R}{2})$: मोलों की संख्या $\mu_2 = \frac{16}{32} = 0.5 \ mol$।
माना अंतिम तापमान $T$ है।
$CO_2$ द्वारा प्राप्त ऊष्मा = $0.5 \times 3R \times (T - 27)$।
$O_2$ द्वारा खोई गई ऊष्मा = $0.5 \times \frac{5R}{2} \times (37 - T)$।
दोनों को बराबर करने पर: $3(T - 27) = 2.5(37 - T)$।
$3T - 81 = 92.5 - 2.5T$।
$5.5T = 173.5$।
$T = \frac{173.5}{5.5} \approx 31.54^{\circ}C$।
अतः,अंतिम तापमान लगभग $32^{\circ}C$ होगा।

(D) पहले पात्र में मोलों की संख्या $\mu_1 = \frac{P_1V}{RT_1}$ है।
दूसरे पात्र में मोलों की संख्या $\mu_2 = \frac{P_2V}{RT_2}$ है।
जब उन्हें जोड़ा जाता है,तो कुल मोलों की संख्या $\mu$ संरक्षित रहती है,इसलिए $\mu = \mu_1 + \mu_2$.
कुल आयतन $2V$ हो जाता है,और अंतिम दाब और तापमान $P$ और $T$ हैं। अतः,$\mu = \frac{P(2V)}{RT}$.
मोलों को बराबर करने पर: $\frac{P(2V)}{RT} = \frac{P_1V}{RT_1} + \frac{P_2V}{RT_2}$.
दोनों पक्षों को $V/R$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है: $\frac{2P}{T} = \frac{P_1}{T_1} + \frac{P_2}{T_2}$.
इसलिए,$\frac{P}{T} = \frac{P_1}{2T_1} + \frac{P_2}{2T_2}$.

(A) आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ के अनुसार,यदि तापमान $T$ और आयतन $V$ स्थिर हैं,तो मोलों की संख्या $n$,दाब $P$ के समानुपाती होती है।
प्रारंभ में,प्रत्येक गैस में $n$ मोल हैं। मिश्रण के बाद,मोलों की कुल संख्या $n + n = 2n$ हो जाती है।
मिश्रण के लिए आदर्श गैस समीकरण का उपयोग करने पर: $P_{new}V = (2n)RT$।
चूंकि $PV = nRT$,इसलिए $P_{new}V = 2(PV)$,जिससे $P_{new} = 2P$ प्राप्त होता है।
चूंकि प्रत्येक गैस का द्रव्यमान $M$ है,इसलिए मिश्रण का कुल द्रव्यमान $M + M = 2M$ होगा।
अतः,नया दाब $2P$ और कुल द्रव्यमान $2M$ है।

(D) डाल्टन के नियम के अनुसार,पात्र में कुल दबाव $P$,$O_2$ और $N_2$ के आंशिक दबावों का योग है: $P = P_{O_2} + P_{N_2}$।
आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $n = \frac{m}{M}$:
$P = \left( \frac{m_{O_2}}{M_{O_2}} + \frac{m_{N_2}}{M_{N_2}} \right) \frac{RT}{V}$।
यहाँ $m_{O_2} = 8 \, g$,$M_{O_2} = 32 \, g/mol$,$m_{N_2} = 7 \, g$,$M_{N_2} = 28 \, g/mol$ और $P = 10 \, atm$ दिया गया है:
$10 = \left( \frac{8}{32} + \frac{7}{28} \right) \frac{RT}{V} = \left( \frac{1}{4} + \frac{1}{4} \right) \frac{RT}{V} = \frac{1}{2} \frac{RT}{V}$।
अतः,$\frac{RT}{V} = 20 \, atm$।
जब $O_2$ को हटा दिया जाता है,तो शेष दबाव केवल $N_2$ के कारण होगा:
$P' = \frac{m_{N_2}}{M_{N_2}} \frac{RT}{V} = \frac{7}{28} \times 20 = \frac{1}{4} \times 20 = 5 \, atm$।

(C) एकपरमाणुक गैस के लिए: $n_1 = 1$,$\gamma_1 = \frac{5}{3}$.
द्विपरमाणुक गैस के लिए: $n_2 = 2$,$\gamma_2 = \frac{7}{5}$.
मिश्रण के लिए एडियाबेटिक सूचकांक का सूत्र $\gamma_{mix} = \frac{n_1 C_{p1} + n_2 C_{p2}}{n_1 C_{v1} + n_2 C_{v2}}$ है।
$C_v = \frac{R}{\gamma - 1}$ और $C_p = \frac{\gamma R}{\gamma - 1}$ का उपयोग करने पर:
$\gamma_{mix} = \frac{\frac{n_1 \gamma_1}{\gamma_1 - 1} + \frac{n_2 \gamma_2}{\gamma_2 - 1}}{\frac{n_1}{\gamma_1 - 1} + \frac{n_2}{\gamma_2 - 1}}$.
मान रखने पर:
$\gamma_{mix} = \frac{\frac{1 \times (5/3)}{(5/3) - 1} + \frac{2 \times (7/5)}{(7/5) - 1}}{\frac{1}{(5/3) - 1} + \frac{2}{(7/5) - 1}} = \frac{\frac{5/3}{2/3} + \frac{14/5}{2/5}}{\frac{1}{2/3} + \frac{2}{2/5}} = \frac{2.5 + 7}{1.5 + 5} = \frac{9.5}{6.5} = \frac{19}{13}$.

(A) गर्म गैस द्वारा खोई गई ऊष्मा,ठंडी गैस द्वारा प्राप्त ऊष्मा के बराबर होती है।
मान लीजिए अंतिम संतुलन तापमान $t$ है।
$CO_2$ के लिए: मोलर द्रव्यमान $M_1 = 44 \, g/mol$,द्रव्यमान $m_1 = 22 \, g$,मोलों की संख्या $\mu_1 = 22/44 = 0.5 \, mol$। चूंकि $CO_2$ एक त्रि-परमाणुक गैस है,$C_{v1} = 3R$।
$O_2$ के लिए: मोलर द्रव्यमान $M_2 = 32 \, g/mol$,द्रव्यमान $m_2 = 16 \, g$,मोलों की संख्या $\mu_2 = 16/32 = 0.5 \, mol$। चूंकि $O_2$ एक द्वि-परमाणुक गैस है,$C_{v2} = (5/2)R$।
कैलोरीमिति के सिद्धांत का उपयोग करते हुए: $\mu_1 C_{v1} (t - T_1) = \mu_2 C_{v2} (T_2 - t)$।
$0.5 \times 3R \times (t - 27) = 0.5 \times (5/2)R \times (37 - t)$।
$3(t - 27) = 2.5(37 - t)$।
$3t - 81 = 92.5 - 2.5t$।
$5.5t = 173.5$।
$t = 173.5 / 5.5 \approx 31.54^\circ C$।
दिए गए विकल्पों के अनुसार,निकटतम मान $32^\circ C$ है।

(D) गैसों के मिश्रण की कुल आंतरिक ऊर्जा $U$,व्यक्तिगत गैसों की आंतरिक ऊर्जाओं का योग होती है।
$U = U_{O_2} + U_{Ar} = \mu_1 \frac{f_1}{2} RT + \mu_2 \frac{f_2}{2} RT$
$O_2$ (द्वि-परमाणुक गैस) के लिए,स्वतंत्रता की कोटि (degrees of freedom) $f_1 = 5$ है।
$Ar$ (एक-परमाणुक गैस) के लिए,स्वतंत्रता की कोटि $f_2 = 3$ है।
यहाँ $\mu_1 = 2$ मोल और $\mu_2 = 4$ मोल दिए गए हैं।
मान रखने पर:
$U = 2 \times \frac{5}{2} RT + 4 \times \frac{3}{2} RT$
$U = 5\, RT + 6\, RT = 11\, RT$.

(C) गैसों के मिश्रण के लिए स्थिर आयतन पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा का सूत्र इस प्रकार है:
${(C_V)_{mix}} = \frac{{\mu_1 (C_V)_1 + \mu_2 (C_V)_2}}{{\mu_1 + \mu_2}}$
एकपरमाणुक गैस के लिए,$(C_V)_1 = \frac{3}{2}R$।
द्विपरमाणुक गैस के लिए,$(C_V)_2 = \frac{5}{2}R$।
यहाँ $\mu_1 = 1$ मोल और $\mu_2 = 1$ मोल दिया गया है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
${(C_V)_{mix}} = \frac{{1 \times \frac{3}{2}R + 1 \times \frac{5}{2}R}}{{1 + 1}}$
${(C_V)_{mix}} = \frac{{\frac{3}{2}R + \frac{5}{2}R}}{2} = \frac{{\frac{8}{2}R}}{2} = \frac{{4R}}{2} = 2R$।

(B) गैसों के मिश्रण के लिए,एडियाबेटिक इंडेक्स $\gamma_{\text{mix}}$ को निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\gamma_{\text{mix}} = \frac{\frac{\mu_1 \gamma_1}{\gamma_1 - 1} + \frac{\mu_2 \gamma_2}{\gamma_2 - 1}}{\frac{\mu_1}{\gamma_1 - 1} + \frac{\mu_2}{\gamma_2 - 1}}$
दिया गया है: $\mu_1 = 3$ ($CO_2$ के लिए),$\gamma_1 = 1.3$,$\mu_2 = 2$ ($O_2$ के लिए),$\gamma_2 = 1.4$.
मान रखने पर:
$\gamma_{\text{mix}} = \frac{\frac{3 \times 1.3}{1.3 - 1} + \frac{2 \times 1.4}{1.4 - 1}}{\frac{3}{1.3 - 1} + \frac{2}{1.4 - 1}}$
$\gamma_{\text{mix}} = \frac{\frac{3.9}{0.3} + \frac{2.8}{0.4}}{\frac{3}{0.3} + \frac{2}{0.4}} = \frac{13 + 7}{10 + 5} = \frac{20}{15} = 1.333... \approx 1.34$.

(D) गैस के अणु की औसत गतिज ऊर्जा का सूत्र $K = \frac{3}{2} k_B T$ है,जहाँ $k_B$ बोल्ट्ज़मान नियतांक है और $T$ गैस का परम तापमान है।
गैसों के मिश्रण में,सभी अणु तापीय संतुलन प्राप्त कर लेते हैं,जिसका अर्थ है कि वे सभी समान तापमान $T$ पर होते हैं।
चूँकि औसत गतिज ऊर्जा केवल तापमान $T$ पर निर्भर करती है,न कि अणुओं के द्रव्यमान पर,इसलिए हाइड्रोजन के अणुओं और ऑक्सीजन के अणुओं की औसत गतिज ऊर्जा समान होगी।
अतः,उनकी औसत गतिज ऊर्जा का अनुपात $1:1$ है।