Mixture of Gases Questions in Gujarati

(C) ધારો કે પ્રથમ વાયુના મોલની સંખ્યા $\mu_1$ છે અને બીજા વાયુના મોલની સંખ્યા $\mu_2$ છે.
આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = \mu RT$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\mu_1 = \frac{PV}{RT}$ અને $\mu_2 = \frac{PV}{RT}$.
જ્યારે વાયુઓને સમાન કદ $V$ અને સમાન તાપમાન $T$ પર મિશ્ર કરવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ મોલની સંખ્યા $\mu_{total} = \mu_1 + \mu_2 = \frac{PV}{RT} + \frac{PV}{RT} = \frac{2PV}{RT}$ થાય છે.
મિશ્રણનું દબાણ $P'$ એ $P' = \frac{\mu_{total} RT}{V}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\mu_{total}$ ની કિંમત મૂકતા:
$P' = \left( \frac{2PV}{RT} \right) \times \frac{RT}{V} = 2P$.

(C) વાયુઓના મિશ્રણ માટે,અચળ કદ પર સમતુલ્ય મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_{V,eq} = \frac{n_1 C_{V1} + n_2 C_{V2}}{n_1 + n_2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
દ્વિ-પરમાણ્વીય વાયુ માટે,$C_{V1} = \frac{5}{2}R$ અને $C_{P1} = \frac{7}{2}R$. એક-પરમાણ્વીય વાયુ માટે,$C_{V2} = \frac{3}{2}R$ અને $C_{P2} = \frac{5}{2}R$.
અહીં $n_1 = 2$ મોલ (દ્વિ-પરમાણ્વીય) અને $n_2 = 1$ મોલ (એક-પરમાણ્વીય) આપેલ છે.
અચળ કદ પર સમતુલ્ય મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_{V,eq} = \frac{2(\frac{5}{2}R) + 1(\frac{3}{2}R)}{2+1} = \frac{5R + 1.5R}{3} = \frac{6.5R}{3} = \frac{13R}{6}$.
અચળ દબાણ પર સમતુલ્ય મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_{P,eq} = \frac{n_1 C_{P1} + n_2 C_{P2}}{n_1 + n_2} = \frac{2(\frac{7}{2}R) + 1(\frac{5}{2}R)}{2+1} = \frac{7R + 2.5R}{3} = \frac{9.5R}{3} = \frac{19R}{6}$.
વિશિષ્ટ ઉષ્માનો ગુણોત્તર $\gamma_{eq} = \frac{C_{P,eq}}{C_{V,eq}} = \frac{19R/6}{13R/6} = \frac{19}{13}$.

(A) વાયુઓના મિશ્રણ માટે,એડિબેટિક ઇન્ડેક્સ $\gamma_{\text{mix}}$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\gamma_{\text{mix}} = \frac{n_1 C_{p,1} + n_2 C_{p,2}}{n_1 C_{v,1} + n_2 C_{v,2}}$
વૈકલ્પિક રીતે,$C_v = \frac{R}{\gamma - 1}$ સંબંધનો ઉપયોગ કરતા:
$\gamma_{\text{mix}} = \frac{n_1 + n_2}{\frac{n_1}{\gamma_1 - 1} + \frac{n_2}{\gamma_2 - 1}}$
અહીં $n_1 = 1, \gamma_1 = 5/3$ અને $n_2 = 1, \gamma_2 = 7/5$ આપેલ છે:
$C_{v,1} = \frac{R}{5/3 - 1} = \frac{3R}{2}$,$C_{v,2} = \frac{R}{7/5 - 1} = \frac{5R}{2}$.
$C_{v,\text{mix}} = \frac{n_1 C_{v,1} + n_2 C_{v,2}}{n_1 + n_2} = \frac{1(1.5R) + 1(2.5R)}{2} = 2R$.
$C_{p,\text{mix}} = C_{v,\text{mix}} + R = 2R + R = 3R$.
$\gamma_{\text{mix}} = \frac{C_{p,\text{mix}}}{C_{v,\text{mix}}} = \frac{3R}{2R} = 1.5 = 3/2$.

(C) $100\, K$ થી નીચેના તાપમાને,$H_2$ અને $N_2$ બંને માટે કંપનશીલ મુક્તિના અંશો (vibrational degrees of freedom) થીજી જાય છે. બંને વાયુઓ દ્વિ-પરમાણ્વીય અણુઓ તરીકે વર્તે છે જેમાં માત્ર સ્થાનાંતરિત અને ભ્રમણીય મુક્તિના અંશો હોય છે. આમ,બંને વાયુઓ માટે મુક્તિના અંશો $f = 5$ છે.
બંને વાયુઓ માટે અચળ કદ પર મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_V = \frac{fR}{2} = \frac{5R}{2}$ છે.
સમાન મોલ સંખ્યા $(n_1 = n_2 = n)$ ધરાવતા મિશ્રણ માટે:
$(C_V)_{\text{mix}} = \frac{n_1 C_{V1} + n_2 C_{V2}}{n_1 + n_2} = \frac{n(\frac{5R}{2}) + n(\frac{5R}{2})}{2n} = \frac{5R}{2}$.
અચળ દબાણ પર મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $(C_P)_{\text{mix}} = (C_V)_{\text{mix}} + R = \frac{5R}{2} + R = \frac{7R}{2}$ છે.
વિશિષ્ટ ઉષ્માનો ગુણોત્તર $\gamma = \frac{(C_P)_{\text{mix}}}{(C_V)_{\text{mix}}} = \frac{7R/2}{5R/2} = \frac{7}{5} = 1.4$ થાય છે.

(A) મિશ્રણ માટે અચળ કદ પર મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્માનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
${C_{V_{mix}}} = \frac{{\mu_1 C_{V_1} + \mu_2 C_{V_2}}}{{\mu_1 + \mu_2}}$
એકપરમાણ્વીય વાયુ માટે,${C_{V_1}} = \frac{3}{2}R$.
દ્વિપરમાણ્વીય વાયુ માટે,${C_{V_2}} = \frac{5}{2}R$.
અહીં $\mu_1 = 1$ મોલ અને $\mu_2 = 3$ મોલ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા:
${C_{V_{mix}}} = \frac{{1 \times \frac{3}{2}R + 3 \times \frac{5}{2}R}}{{1 + 3}}$
${C_{V_{mix}}} = \frac{{\frac{3}{2}R + \frac{15}{2}R}}{4} = \frac{{\frac{18}{2}R}}{4} = \frac{{9R}}{4} = 2.25R$
$R = 8.3\,J\,K^{-1}\,mol^{-1}$ લેતા:
${C_{V_{mix}}} = 2.25 \times 8.3 = 18.675 \approx 18.7\,J\,K^{-1}\,mol^{-1}$.

(B) વાયુઓના મિશ્રણ માટે,એડિબેટિક ઇન્ડેક્સ $\gamma_{mix}$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે: $\gamma_{mix} = \frac{C_{P,mix}}{C_{V,mix}} = \frac{n_1 C_{P1} + n_2 C_{P2}}{n_1 C_{V1} + n_2 C_{V2}}$.
હિલિયમ એક પરમાણ્વીય વાયુ છે,તેથી $n_1 = 1$,$C_{V1} = \frac{3}{2}R$,અને $C_{P1} = \frac{5}{2}R$.
હાઇડ્રોજન દ્વિ-પરમાણ્વીય વાયુ છે,તેથી $n_2 = 1$,$C_{V2} = \frac{5}{2}R$,અને $C_{P2} = \frac{7}{2}R$.
આ કિંમતો મૂકતા:
$C_{V,mix} = \frac{1(\frac{3}{2}R) + 1(\frac{5}{2}R)}{1+1} = \frac{8R/2}{2} = 2R$.
$C_{P,mix} = \frac{1(\frac{5}{2}R) + 1(\frac{7}{2}R)}{1+1} = \frac{12R/2}{2} = 3R$.
તેથી,$\gamma_{mix} = \frac{3R}{2R} = 1.5$.

(D) હિલિયમના મોલની સંખ્યા $(n_1)$ = $\frac{16}{4} = 4 \, \text{mol}$.
ઓક્સિજનના મોલની સંખ્યા $(n_2)$ = $\frac{16}{32} = 0.5 \, \text{mol}$.
હિલિયમ (એકપરમાણ્વિક) માટે,$\gamma_1 = \frac{5}{3}$ અને મુક્તિના અંશો $f_1 = 3$.
ઓક્સિજન (દ્વિપરમાણ્વિક) માટે,$\gamma_2 = \frac{7}{5}$ અને મુક્તિના અંશો $f_2 = 5$.
મિશ્રણ માટે સમતુલ્ય $\gamma$ નું સૂત્ર: $\frac{n_1 + n_2}{\gamma - 1} = \frac{n_1}{\gamma_1 - 1} + \frac{n_2}{\gamma_2 - 1}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{4 + 0.5}{\gamma - 1} = \frac{4}{\frac{5}{3} - 1} + \frac{0.5}{\frac{7}{5} - 1}$.
$\frac{4.5}{\gamma - 1} = \frac{4}{2/3} + \frac{0.5}{2/5} = 6 + 1.25 = 7.25$.
$\gamma - 1 = \frac{4.5}{7.25} \approx 0.62$.
$\gamma \approx 1.62$.

(D) કોઈપણ વાયુના અણુની સરેરાશ સ્થાનાંતરિત ગતિઊર્જા $(KE_{avg})$ માત્ર નિરપેક્ષ તાપમાન $T$ પર આધાર રાખે છે અને તે $KE_{avg} = \frac{3}{2} k_B T$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે. બંને વાયુઓ એક જ બોક્સમાં હોવાથી,તેઓ સમાન તાપમાને છે. તેથી,${H_2}$ અણુઓ અને $He$ પરમાણુઓની સરેરાશ સ્થાનાંતરિત ગતિઊર્જા સમાન છે.
વાયુના અણુની કુલ સરેરાશ ઊર્જા $(E_{avg})$ તેની મુક્તિના અંશો $(f)$ પર આધાર રાખે છે,જે $E_{avg} = \frac{f}{2} k_B T$ દ્વારા મળે છે. $He$ જેવા એકપરમાણ્વિક વાયુ માટે,મુક્તિના અંશો $f = 3$ છે. ઓરડાના તાપમાને ${H_2}$ જેવા દ્વિપરમાણ્વિક વાયુ માટે,મુક્તિના અંશો $f = 5$ ($3$ સ્થાનાંતરિત + $2$ ભ્રમણીય) છે. કારણ કે $f_{H_2} > f_{He}$,તેથી ${H_2}$ અણુઓની સરેરાશ ઊર્જા $He$ પરમાણુઓ કરતા વધારે છે.
આમ,વિધાન $(A)$ અને $(C)$ બંને સાચા છે.

(A) કુલ દબાણ $P$ આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = n_{total}RT$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n_{total} = n_{O_2} + n_{N_2} + n_{CO_2}$ છે.
$1$. દરેક વાયુ માટે મોલની સંખ્યા ગણો:
$n_{O_2} = \frac{6}{32} = 0.1875 \, mol$
$n_{N_2} = \frac{8}{28} \approx 0.2857 \, mol$
$n_{CO_2} = \frac{5}{44} \approx 0.1136 \, mol$
$2$. કુલ મોલ $n_{total} = 0.1875 + 0.2857 + 0.1136 \approx 0.5868 \, mol$.
$3$. કદને $m^3$ માં ફેરવો: $V = 3 \, L = 3 \times 10^{-3} \, m^3$.
$4$. તાપમાન $T = 27 + 273 = 300 \, K$.
$5$. દબાણની ગણતરી: $P = \frac{n_{total}RT}{V} = \frac{0.5868 \times 8.31 \times 300}{3 \times 10^{-3}} \approx 4.87 \times 10^5 \, N/m^2$.
નજીકના વિકલ્પ મુજબ,દબાણ આશરે $5 \times 10^5 \, N/m^2$ છે.

(C) ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,મિશ્રણની કુલ આંતરિક ઉર્જા એ વ્યક્તિગત વાયુઓની આંતરિક ઉર્જાના સરવાળા જેટલી હોય છે.
આદર્શ વાયુની આંતરિક ઉર્જા $E = \frac{f}{2} n k T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $f$ એ મુક્તિના અંશો (degrees of freedom) છે,$n$ એ અણુઓની સંખ્યા છે,$k$ એ બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે અને $T$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન છે.
મિશ્રણ માટે:
$E_{total} = E_1 + E_2$
$\frac{f}{2} (n_1 + n_2) k T = \frac{f}{2} n_1 k T_1 + \frac{f}{2} n_2 k T_2$
બંને બાજુથી સામાન્ય પદો $\frac{f}{2} k$ ને દૂર કરતા:
$(n_1 + n_2) T = n_1 T_1 + n_2 T_2$
તેથી,મિશ્રણનું તાપમાન:
$T = \frac{n_1 T_1 + n_2 T_2}{n_1 + n_2}$

(B) વાયુના અણુઓની સરેરાશ ઝડપનું સૂત્ર $V_{av} = \sqrt{\frac{8RT}{\pi M}}$ છે.
કારણ કે તમામ પાત્રો માટે તાપમાન $T$ સમાન છે અને $O_2$ નું મોલર દળ $M$ અચળ છે,તેથી $O_2$ અણુઓની સરેરાશ ઝડપ માત્ર તાપમાન અને વાયુના મોલર દળ પર આધાર રાખે છે.
પાત્ર $C$ માં,$O_2$ અને $N_2$ અણુઓ આદર્શ વાયુ મિશ્રણ તરીકે સ્વતંત્ર રીતે વર્તે છે.
તેથી,પાત્ર $C$ માં $O_2$ અણુઓની સરેરાશ ઝડપ પાત્ર $A$ જેટલી જ રહે છે,જે $V_1$ છે.

(B) અચળ દબાણે મિશ્રણની મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા નીચે મુજબ મળે છે:
$(C_P)_{mix} = \frac{\mu_1 C_{P1} + \mu_2 C_{P2}}{\mu_1 + \mu_2}$
હિલિયમ (એક-પરમાણ્વિક) માટે,$C_{P1} = \frac{5}{2}R$ અને હાઇડ્રોજન (દ્વિ-પરમાણ્વિક) માટે,$C_{P2} = \frac{7}{2}R$.
અહીં $\mu_1 = 1$ મોલ અને $\mu_2 = 1$ મોલ છે:
$(C_P)_{mix} = \frac{1 \times \frac{5}{2}R + 1 \times \frac{7}{2}R}{1 + 1} = \frac{6R}{2} = 3R$.
$R \approx 2 \, cal/mol \cdot K$ લેતા,$(C_P)_{mix} = 3 \times 2 = 6 \, cal/mol \cdot ^{\circ}C$.
અચળ દબાણે આપેલી કુલ ઉષ્મા:
$\Delta Q = (\mu_1 + \mu_2) (C_P)_{mix} \Delta T$
$\Delta Q = (1 + 1) \times 6 \times (100 - 0) = 2 \times 6 \times 100 = 1200 \, cal$.

(A) ઊર્જાના સમવિભાજનના નિયમ મુજબ,દરેક સ્વતંત્રતાના અંશ સાથે સંકળાયેલી સરેરાશ ગતિઊર્જા $\frac{1}{2} k_B T$ હોય છે,જ્યાં $k_B$ એ બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે અને $T$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન છે.
ઓક્સિજન $(O_2)$ અને નાઈટ્રોજન $(N_2)$ બંને દ્વિ-પરમાણ્વીય અણુઓ છે.
દ્વિ-પરમાણ્વીય અણુ માટે ભ્રમણીય ગતિ સાથે સંકળાયેલા $2$ સ્વતંત્રતાના અંશ હોય છે.
તેથી,દરેક અણુ માટે સરેરાશ ભ્રમણીય ગતિઊર્જા $2 \times (\frac{1}{2} k_B T) = k_B T$ થાય.
બંને વાયુઓ એક જ પાત્રમાં સમાન તાપમાને $(T = 300 K)$ હોવાથી,$O_2$ અને $N_2$ બંને માટે પ્રતિ અણુ સરેરાશ ભ્રમણીય ગતિઊર્જા $k_B T$ થશે.
આમ,પ્રતિ $O_2$ અણુ અને પ્રતિ $N_2$ અણુ દીઠ સરેરાશ ભ્રમણીય ગતિઊર્જાનો ગુણોત્તર $k_B T : k_B T = 1:1$ થાય છે.

(D) વાયુ મિશ્રણની કુલ આંતરિક ઉર્જા $U$ એ તેના ઘટકોની આંતરિક ઉર્જાનો સરવાળો છે.
$U = U_{O_2} + U_{Ar} = \mu_1 \frac{f_1}{2} RT + \mu_2 \frac{f_2}{2} RT$
$O_2$ (દ્વિ-પરમાણ્વિક વાયુ) માટે,મુક્તિના અંશો $f_1 = 5$ (કંપન મોડ્સને અવગણતા).
$Ar$ (એક-પરમાણ્વિક વાયુ) માટે,મુક્તિના અંશો $f_2 = 3$.
આપેલ છે કે $\mu_1 = 2$ મોલ અને $\mu_2 = 4$ મોલ.
કિંમતો મૂકતા:
$U = 2 \times \frac{5}{2} RT + 4 \times \frac{3}{2} RT$
$U = 5 RT + 6 RT = 11 RT$

(D) ઓક્સિજન $(O_2)$ એ દ્વિ-પરમાણ્વીય વાયુ છે. દ્વિ-પરમાણ્વીય વાયુ માટે મુક્તિના અંશો (દોલનોને અવગણતા) $f_1 = 5$ છે.
$2$ મોલ ઓક્સિજનની આંતરિક ઊર્જા $U_1 = n_1 \times \frac{f_1}{2} RT = 2 \times \frac{5}{2} RT = 5RT$ થાય.
આર્ગોન $(Ar)$ એ એક-પરમાણ્વીય વાયુ છે. એક-પરમાણ્વીય વાયુ માટે મુક્તિના અંશો $f_2 = 3$ છે.
$4$ મોલ આર્ગોનની આંતરિક ઊર્જા $U_2 = n_2 \times \frac{f_2}{2} RT = 4 \times \frac{3}{2} RT = 6RT$ થાય.
પ્રણાલીની કુલ આંતરિક ઊર્જા $U = U_1 + U_2 = 5RT + 6RT = 11RT$ થાય.

(D) વાયુઓના મિશ્રણ માટે,મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા નીચે મુજબ મળે છે:
$C_{P,mix} = \frac{n_1 C_{P1} + n_2 C_{P2}}{n_1 + n_2}$ અને $C_{V,mix} = \frac{n_1 C_{V1} + n_2 C_{V2}}{n_1 + n_2}$
નાઇટ્રોજન માટે ($N_2$,દ્વિ-પરમાણ્વીય,$\gamma_1 = 1.4$):
$n_1 = \frac{7 \ g}{28 \ g/mol} = 0.25 \ mol$
$C_{V1} = \frac{R}{\gamma_1 - 1} = \frac{8.314}{0.4} = 20.785 \ J/mol \ K$
$C_{P1} = C_{V1} + R = 20.785 + 8.314 = 29.099 \ J/mol \ K$
આર્ગોન માટે ($Ar$,એક-પરમાણ્વીય,$\gamma_2 = 1.67$):
$n_2 = \frac{20 \ g}{40 \ g/mol} = 0.5 \ mol$
$C_{V2} = \frac{R}{\gamma_2 - 1} = \frac{8.314}{0.67} \approx 12.41 \ J/mol \ K$
$C_{P2} = C_{V2} + R = 12.41 + 8.314 = 20.724 \ J/mol \ K$
મિશ્રણની મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્માની ગણતરી:
$C_{V,mix} = \frac{(0.25 \times 20.785) + (0.5 \times 12.41)}{0.75} = 15.2 \ J/mol \ K$
$C_{P,mix} = \frac{(0.25 \times 29.099) + (0.5 \times 20.724)}{0.75} = 23.516 \ J/mol \ K$
કુલ દળ $M_{total} = 27 \ g$. કુલ મોલ $n_{total} = 0.75 \ mol$.
સરેરાશ મોલર દળ $M_{avg} = \frac{27}{0.75} = 36 \ g/mol$.
વિશિષ્ટ ઉષ્મા (ગ્રામ દીઠ):
$C_V = \frac{C_{V,mix}}{M_{avg}} = \frac{15.2}{36} \approx 0.421 \ J/g \ K$
$C_P = \frac{C_{P,mix}}{M_{avg}} = \frac{23.516}{36} \approx 0.65 \ J/g \ K$

(C) વાયુઓના મિશ્રણ માટે એડિબેટિક ઘાતાંક $\gamma_{mix}$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$\frac{\mu_1 + \mu_2}{\gamma_{mix} - 1} = \frac{\mu_1}{\gamma_1 - 1} + \frac{\mu_2}{\gamma_2 - 1}$
અહીં $\mu_1 = 1, \gamma_1 = 7/5$ અને $\mu_2 = 1, \gamma_2 = 5/3$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{1 + 1}{\gamma_{mix} - 1} = \frac{1}{7/5 - 1} + \frac{1}{5/3 - 1}$
$\frac{2}{\gamma_{mix} - 1} = \frac{1}{2/5} + \frac{1}{2/3} = \frac{5}{2} + \frac{3}{2} = \frac{8}{2} = 4$
$\frac{2}{\gamma_{mix} - 1} = 4$
$\gamma_{mix} - 1 = 2/4 = 0.5$
$\gamma_{mix} = 1.5 = 3/2$.

(D) હિલિયમ $(He)$ માટે,મોલર દળ $M_1 = 4 \ g/mol$. મોલની સંખ્યા $\mu_1 = 16/4 = 4 \ mol$.
હિલિયમ એક પરમાણ્વિક વાયુ છે,તેથી મુક્તિના અંશો $f_1 = 3$. $C_{V1} = \frac{3}{2}R$ અને $C_{P1} = \frac{5}{2}R$.
ઑક્સિજન $(O_2)$ માટે,મોલર દળ $M_2 = 32 \ g/mol$. મોલની સંખ્યા $\mu_2 = 16/32 = 0.5 \ mol$.
ઑક્સિજન દ્વિ-પરમાણ્વિક વાયુ છે,તેથી મુક્તિના અંશો $f_2 = 5$. $C_{V2} = \frac{5}{2}R$ અને $C_{P2} = \frac{7}{2}R$.
મિશ્રણ માટે અચળ કદ પર મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_{V,mix} = \frac{\mu_1 C_{V1} + \mu_2 C_{V2}}{\mu_1 + \mu_2} = \frac{4(\frac{3}{2}R) + 0.5(\frac{5}{2}R)}{4 + 0.5} = \frac{6R + 1.25R}{4.5} = \frac{7.25R}{4.5} = \frac{29}{18}R$.
મિશ્રણ માટે અચળ દબાણ પર મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_{P,mix} = \frac{\mu_1 C_{P1} + \mu_2 C_{P2}}{\mu_1 + \mu_2} = \frac{4(\frac{5}{2}R) + 0.5(\frac{7}{2}R)}{4 + 0.5} = \frac{10R + 1.75R}{4.5} = \frac{11.75R}{4.5} = \frac{47}{18}R$.
ગુણોત્તર $\gamma_{mix} = \frac{C_{P,mix}}{C_{V,mix}} = \frac{47/18}{29/18} = \frac{47}{29} \approx 1.62$.

(C) આદર્શ વાયુના નિયમ મુજબ,$V$ કદ અને $T$ તાપમાન ધરાવતા પાત્રમાં વાયુનું દબાણ $P = \frac{N k_B T}{V}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $N$ એ અણુઓની સંખ્યા છે અને $k_B$ એ બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે.
ત્રણ અલગ-અલગ પાત્રો માટે:
$P_1 = \frac{N_1 k_B T}{V}$,$P_2 = \frac{N_2 k_B T}{V}$,અને $P_3 = \frac{N_3 k_B T}{V}$.
જ્યારે આ વાયુઓને સમાન કદ $V$ અને સમાન તાપમાન $T$ ધરાવતા એક જ પાત્રમાં મિશ્ર કરવામાં આવે છે,ત્યારે અણુઓની કુલ સંખ્યા $N_{total} = N_1 + N_2 + N_3$ થાય છે.
મિશ્રણનું દબાણ $P$ નીચે મુજબ મળે છે:
$P = \frac{(N_1 + N_2 + N_3) k_B T}{V}$
$P = \frac{N_1 k_B T}{V} + \frac{N_2 k_B T}{V} + \frac{N_3 k_B T}{V}$
$P = P_1 + P_2 + P_3$.
આમ,મિશ્રણનું દબાણ એ વ્યક્તિગત દબાણોના સરવાળા જેટલું હોય છે.

(D) આદર્શ વાયુ માટે,પ્રતિ અણુ સરેરાશ ગતિઊર્જા $K.E. = \frac{3}{2} k_B T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. $n$ અણુઓની કુલ આંતરિક ઊર્જા $U = n \times (\frac{3}{2} k_B T)$ છે.
ઊર્જાનો વ્યય થતો ન હોવાથી,મિશ્રણની કુલ આંતરિક ઊર્જા એ દરેક વાયુની આંતરિક ઊર્જાના સરવાળા જેટલી હોય છે:
$U_{total} = U_1 + U_2 + U_3$
$(n_1 + n_2 + n_3) \times (\frac{3}{2} k_B T) = n_1 (\frac{3}{2} k_B T_1) + n_2 (\frac{3}{2} k_B T_2) + n_3 (\frac{3}{2} k_B T_3)$
બંને બાજુથી સામાન્ય અવયવ $\frac{3}{2} k_B$ ને દૂર કરતા:
$(n_1 + n_2 + n_3) T = n_1 T_1 + n_2 T_2 + n_3 T_3$
તેથી,અંતિમ તાપમાન $T$:
$T = \frac{n_1 T_1 + n_2 T_2 + n_3 T_3}{n_1 + n_2 + n_3}$

(D) વાયુના મિશ્રણની કુલ આંતરિક ઊર્જા $U$ એ તેના ઘટકોની આંતરિક ઊર્જાનો સરવાળો છે.
$n$ મોલ અને $f$ મુક્તિના અંશો (degrees of freedom) ધરાવતા વાયુ માટે આંતરિક ઊર્જા $U = n \frac{f}{2} RT$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$O_2$ (દ્વિ-પરમાણ્વિક વાયુ) માટે,મુક્તિના અંશો $f_1 = 5$ (દોલિત ગતિને અવગણતા).
$Ar$ (એક-પરમાણ્વિક વાયુ) માટે,મુક્તિના અંશો $f_2 = 3$.
અહીં $n_1 = 2$ મોલ $O_2$ અને $n_2 = 4$ મોલ $Ar$ આપેલ છે.
કુલ આંતરિક ઊર્જા $U = U_{O_2} + U_{Ar} = n_1 \frac{f_1}{2} RT + n_2 \frac{f_2}{2} RT$.
કિંમતો મૂકતા: $U = 2 \times \frac{5}{2} RT + 4 \times \frac{3}{2} RT$.
$U = 5\, RT + 6\, RT = 11\, RT$.

(D) ધારો કે દરેક વાયુનું દળ $M$ છે. હિલિયમ $(He)$ ના મોલની સંખ્યા $n_1 = M/4$ અને ઓક્સિજન $(O_2)$ ના મોલની સંખ્યા $n_2 = M/32$ છે.
વાયુઓના મિશ્રણ માટે,સમતુલ્ય એડિયાબેટિક ઘાતાંક $\gamma_{mix}$ નીચે મુજબ મળે છે: $\frac{n_{total}}{\gamma_{mix} - 1} = \frac{n_1}{\gamma_1 - 1} + \frac{n_2}{\gamma_2 - 1}$.
અહીં,$\gamma_1 = 5/3$ (એક-પરમાણ્વીય) અને $\gamma_2 = 7/5$ (દ્વિ-પરમાણ્વીય) છે.
કિંમતો મૂકતા: $n_{total} = M/4 + M/32 = 9M/32$.
$\frac{9M/32}{\gamma_{mix} - 1} = \frac{M/4}{5/3 - 1} + \frac{M/32}{7/5 - 1} = \frac{M/4}{2/3} + \frac{M/32}{2/5} = \frac{3M}{8} + \frac{5M}{64} = \frac{24M + 5M}{64} = \frac{29M}{64}$.
$\frac{9/32}{\gamma_{mix} - 1} = \frac{29}{64} \Rightarrow \frac{1}{\gamma_{mix} - 1} = \frac{29}{64} \times \frac{32}{9} = \frac{29}{18} \approx 1.611$.
$\gamma_{mix} - 1 = 18/29 \approx 0.6206 \Rightarrow \gamma_{mix} \approx 1.62$.

(A) પાત્રમાં કુલ દબાણ $P$ એ આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = n_{total}RT$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n_{total} = n_{O_2} + n_{N_2} + n_{CO_2}$ છે.
$1$. દરેક વાયુ માટે મોલની સંખ્યાની ગણતરી કરો:
$n_{O_2} = \frac{6 \ g}{32 \ g/mol} = 0.1875 \ mol$
$n_{N_2} = \frac{8 \ g}{28 \ g/mol} \approx 0.2857 \ mol$
$n_{CO_2} = \frac{5 \ g}{44 \ g/mol} \approx 0.1136 \ mol$
$2$. કુલ મોલ $n_{total} = 0.1875 + 0.2857 + 0.1136 \approx 0.5868 \ mol$.
$3$. કદ અને તાપમાનને $SI$ એકમોમાં રૂપાંતરિત કરો:
$V = 3 \ L = 3 \times 10^{-3} \ m^3$
$T = 27^{\circ}C = 300 \ K$
$4$. કુલ દબાણની ગણતરી કરો:
$P = \frac{n_{total}RT}{V} = \frac{0.5868 \times 8.31 \times 300}{3 \times 10^{-3}} \approx 4.87 \times 10^5 \ Pa \approx 5 \times 10^5 \ Pa$.

(B) એક પરમાણ્વિક વાયુ માટે,અચળ કદ પર મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_{v1} = \frac{3}{2}R$ અને અચળ દબાણ પર $C_{p1} = \frac{5}{2}R$ છે.
દ્વિ પરમાણ્વિક વાયુ માટે,અચળ કદ પર મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_{v2} = \frac{5}{2}R$ અને અચળ દબાણ પર $C_{p2} = \frac{7}{2}R$ છે.
જ્યારે $n_1 = 1 \text{ mole}$ અને $n_2 = 1 \text{ mole}$ ને મિશ્ર કરવામાં આવે છે,ત્યારે મિશ્રણ માટે અચળ કદ પર સમતુલ્ય મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા:
$C_{v,mix} = \frac{n_1 C_{v1} + n_2 C_{v2}}{n_1 + n_2} = \frac{1(\frac{3}{2}R) + 1(\frac{5}{2}R)}{1 + 1} = \frac{4R}{2} = 2R$.
મિશ્રણ માટે અચળ દબાણ પર સમતુલ્ય મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા:
$C_{p,mix} = \frac{n_1 C_{p1} + n_2 C_{p2}}{n_1 + n_2} = \frac{1(\frac{5}{2}R) + 1(\frac{7}{2}R)}{1 + 1} = \frac{6R}{2} = 3R$.
મિશ્રણનો એડિબેટિક ઇન્ડેક્સ $\gamma_{mix}$ નીચે મુજબ મળે:
$\gamma_{mix} = \frac{C_{p,mix}}{C_{v,mix}} = \frac{3R}{2R} = 1.5$.

(C) દરેક વાયુ માટે,મોલની સંખ્યા આદર્શ વાયુ સમીકરણ દ્વારા મળે છે: $\mu_1 = \frac{PV}{RT}$ અને $\mu_2 = \frac{PV}{RT}$.
જ્યારે બે વાયુઓને મિશ્ર કરવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ મોલની સંખ્યા $\mu_{total} = \mu_1 + \mu_2 = \frac{PV}{RT} + \frac{PV}{RT} = \frac{2PV}{RT}$ થાય છે.
સમાન કદ $V$ અને તાપમાન $T$ પર મિશ્રણનું અંતિમ દબાણ $P'$ એ $P' = \frac{\mu_{total} RT}{V}$ દ્વારા મળે છે.
$\mu_{total}$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $P' = \left( \frac{2PV}{RT} \right) \times \frac{RT}{V} = 2P$ મળે છે.

(C) જ્યારે વાલ્વ ખોલવામાં આવે ત્યારે મોલની કુલ સંખ્યા $n$ અચળ રહે છે.
$n = n_1 + n_2$
આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT$ નો ઉપયોગ કરતા,$n = \frac{PV}{RT}$ મળે.
તેથી,$\frac{P(V_1 + V_2)}{RT} = \frac{P_1 V_1}{RT_1} + \frac{P_2 V_2}{RT_2}$.
પાત્રો ઉષ્મીય રીતે અવાહક હોવાથી,કુલ આંતરિક ઉર્જા અચળ રહે છે. આદર્શ વાયુ માટે,$U = \frac{f}{2} nRT$. વાયુ સમાન હોવાથી,$f$ અચળ છે.
કુલ આંતરિક ઉર્જા $U_i = U_f \Rightarrow n_1 T_1 + n_2 T_2 = n T$.
$n_1 = \frac{P_1 V_1}{RT_1}$ અને $n_2 = \frac{P_2 V_2}{RT_2}$ મુકતા,$\frac{P_1 V_1}{R} + \frac{P_2 V_2}{R} = nT$ મળે.
મોલ સંરક્ષણ પરથી,$n = \frac{P_1 V_1}{RT_1} + \frac{P_2 V_2}{RT_2} = \frac{P_1 V_1 T_2 + P_2 V_2 T_1}{RT_1 T_2}$.
ઉર્જાના સમીકરણોને સરખાવતા: $\frac{P_1 V_1 + P_2 V_2}{R} = \left( \frac{P_1 V_1 T_2 + P_2 V_2 T_1}{RT_1 T_2} \right) T$.
$T$ માટે ઉકેલતા: $T = \frac{T_1 T_2 (P_1 V_1 + P_2 V_2)}{P_1 V_1 T_2 + P_2 V_2 T_1}$.

(D) પ્રથમ પાત્રમાં મોલની સંખ્યા $\mu_1 = \frac{P_1V}{RT_1}$ છે અને બીજા પાત્રમાં મોલની સંખ્યા $\mu_2 = \frac{P_2V}{RT_2}$ છે.
જ્યારે પાત્રોને જોડવામાં આવે છે ત્યારે વાયુનો કુલ જથ્થો અચળ રહેતો હોવાથી,કુલ મોલ $\mu = \mu_1 + \mu_2$ થાય છે.
તંત્રનું અંતિમ કદ $2V$ છે. તેથી,અંતિમ અવસ્થા માટે $\frac{P(2V)}{RT} = \frac{P_1V}{RT_1} + \frac{P_2V}{RT_2}$ મળે છે.
બંને બાજુથી $V$ અને $R$ ને દૂર કરતા,આપણને $\frac{2P}{T} = \frac{P_1}{T_1} + \frac{P_2}{T_2}$ મળે છે.
તેથી,$\frac{P}{T} = \frac{P_1}{2T_1} + \frac{P_2}{2T_2}$ થાય.

(C) પ્રથમ વાયુની આંતરિક ઉર્જા $U_1 = n_1 C_v T_1$ છે.
બીજા વાયુની આંતરિક ઉર્જા $U_2 = n_2 C_v T_2$ છે.
અહીં ઉર્જાનો વ્યય થતો નથી,તેથી મિશ્રણની કુલ આંતરિક ઉર્જા $U_{mix} = U_1 + U_2$ થશે.
$U_{mix} = n_1 C_v T_1 + n_2 C_v T_2$.
ધારો કે મિશ્રણનું અંતિમ તાપમાન $T$ છે,તો $U_{mix} = (n_1 + n_2) C_v T$.
બંનેને સરખાવતા: $(n_1 + n_2) C_v T = n_1 C_v T_1 + n_2 C_v T_2$.
બંને બાજુથી $C_v$ દૂર કરતા,આપણને મળે છે $T = \frac{n_1 T_1 + n_2 T_2}{n_1 + n_2}$.

(C) સૌ પ્રથમ,દરેક વાયુ માટે મોલની સંખ્યા ગણો:
$n_{N_2} = \frac{28 \ g}{28 \ g/mol} = 1 \ mol$
$n_{H_2} = \frac{4 \ g}{2 \ g/mol} = 2 \ mol$
$n_{He} = \frac{8 \ g}{4 \ g/mol} = 2 \ mol$
કુલ મોલ $n = 1 + 2 + 2 = 5 \ mol$.
કુલ દળ $M_{total} = 28 + 4 + 8 = 40 \ g = 0.04 \ kg$.
આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT$ નો ઉપયોગ કરીને કદ $V$ શોધો:
$V = \frac{nRT}{P} = \frac{5 \times 8.3 \times 400}{8.3 \times 10^5} = 2 \times 10^{-2} \ m^3$.
ઘનતા $\rho = \frac{M_{total}}{V} = \frac{0.04 \ kg}{2 \times 10^{-2} \ m^3} = 2 \ kg/m^3$.
કારણ કે $1 \ kg/m^3 = 1 \ g/L$,તેથી ઘનતા $2 \ g/L$ થશે.

(C) પ્રથમ વાયુના મોલની સંખ્યા $\mu_1 = \frac{PV}{RT}$ અને બીજા વાયુના મોલની સંખ્યા $\mu_2 = \frac{PV}{RT}$ છે.
જ્યારે બંને વાયુઓને મિશ્ર કરવામાં આવે છે,ત્યારે મિશ્રણનું દબાણ $P'$ એ $P' = \frac{(\mu_1 + \mu_2)RT}{V}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે (કારણ કે મિશ્રણનું કદ અને તાપમાન પહેલા જેટલું જ રહે છે).
તેથી,$P' = \frac{\mu_1 RT}{V} + \frac{\mu_2 RT}{V} = \frac{PV}{RT} \cdot \frac{RT}{V} + \frac{PV}{RT} \cdot \frac{RT}{V} = P + P = 2P$.

(A) $CO_2$ વાયુના મોલની સંખ્યા $\mu_1 = \frac{m}{M} = \frac{22}{44} = 0.5 \, mol$ છે.
$O_2$ વાયુના મોલની સંખ્યા $\mu_2 = \frac{m'}{M'} = \frac{16}{32} = 0.5 \, mol$ છે.
કેલ્વિનમાં પ્રારંભિક તાપમાન $T_1 = 27 + 273 = 300 \, K$ અને $T_2 = 37 + 273 = 310 \, K$ છે.
મિશ્રણનું અંતિમ તાપમાન $T = \frac{\mu_1 T_1 + \mu_2 T_2}{\mu_1 + \mu_2}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $T = \frac{0.5 \times 300 + 0.5 \times 310}{0.5 + 0.5} = \frac{150 + 155}{1} = 305 \, K$.
સેલ્સિયસમાં ફેરવતા: $t = 305 - 273 = 32 \, ^\circ C$.

(B) મિશ્રણ માટે આદર્શ વાયુ સમીકરણ $P V = n_{mix} R T$ છે.
મિશ્રણની ઘનતા $\rho = \frac{M_{total}}{V}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કુલ દળ $M_{total} = 7 \, g + 11 \, g = 18 \, g = 18 \times 10^{-3} \, kg$.
$N_2$ ના મોલની સંખ્યા $(n_1)$ = $\frac{7}{28} = 0.25 \, mol$.
$CO_2$ ના મોલની સંખ્યા $(n_2)$ = $\frac{11}{44} = 0.25 \, mol$.
કુલ મોલ $n_{mix} = n_1 + n_2 = 0.25 + 0.25 = 0.5 \, mol$.
$V = \frac{n_{mix} R T}{P}$ નો ઉપયોગ કરતા,$V = \frac{0.5 \times 8.314 \times 290}{1.01 \times 10^5} \approx 0.01193 \, m^3$.
ઘનતા $\rho = \frac{18 \times 10^{-3}}{0.01193} \approx 1.508 \, kg/m^3$.
આમ,ઘનતા આશરે $1.5 \, kg/m^3$ થાય છે.

(A) આદર્શ વાયુ માટે,આંતરિક ઊર્જા $U$ એ $U = \frac{f}{2} nRT = \frac{f}{2} NkT$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $f$ એ મુક્તિના અંશો (degrees of freedom) છે,$N$ એ અણુઓની સંખ્યા છે અને $k$ એ બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે.
જ્યારે વાયુઓને મિશ્ર કરવામાં આવે છે અને ઊર્જાનો કોઈ વ્યય થતો નથી,ત્યારે મિશ્રણની કુલ આંતરિક ઊર્જા એ વ્યક્તિગત વાયુઓની આંતરિક ઊર્જાના સરવાળા જેટલી હોય છે.
$U_{total} = U_1 + U_2 + U_3$
$\frac{f}{2} (n_1 + n_2 + n_3) kT = \frac{f}{2} n_1kT_1 + \frac{f}{2} n_2kT_2 + \frac{f}{2} n_3kT_3$
બંને બાજુથી સામાન્ય પદો $\frac{f}{2} k$ ને દૂર કરતા:
$(n_1 + n_2 + n_3) T = n_1T_1 + n_2T_2 + n_3T_3$
તેથી,અંતિમ તાપમાન $T$:
$T = \frac{n_1T_1 + n_2T_2 + n_3T_3}{n_1 + n_2 + n_3}$

(C) ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,ઉષ્મીય સંપર્ક પહેલાની કુલ આંતરિક ઊર્જા એ સંતુલન પ્રાપ્ત કર્યા પછીની કુલ આંતરિક ઊર્જા જેટલી હોય છે.
$U_i = U_f$
નાઈટ્રોજન માટે (દ્વિ-પરમાણ્વીય,$f_1 = 5$): $U_{A} = \frac{n_1 f_1 R T_1}{2} = \frac{1 \times 5 \times R \times T_0}{2} = \frac{5RT_0}{2}$
હિલિયમ માટે (એક-પરમાણ્વીય,$f_2 = 3$): $U_{B} = \frac{n_2 f_2 R T_2}{2} = \frac{1 \times 3 \times R \times (7/3)T_0}{2} = \frac{7RT_0}{2}$
કુલ પ્રારંભિક ઊર્જા $U_i = \frac{5RT_0}{2} + \frac{7RT_0}{2} = \frac{12RT_0}{2} = 6RT_0$
સંતુલન સમયે,વાયુઓ સમાન તાપમાન $T_f$ ધરાવે છે. કુલ આંતરિક ઊર્જા $U_f = \frac{n_1 f_1 R T_f}{2} + \frac{n_2 f_2 R T_f}{2} = \frac{(5+3) R T_f}{2} = 4RT_f$
$U_i = U_f$ ને સરખાવતા: $6RT_0 = 4RT_f$
$T_f = \frac{6}{4} T_0 = \frac{3}{2} T_0$.

(D) મિશ્રણ માટે અચળ દબાણે મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્માનું સૂત્ર $C_{P, \text{mix}} = \frac{\sum \mu_i C_{P,i}}{\sum \mu_i}$ છે.
હાઈડ્રોજન ($H_2$,દ્વિ-પરમાણ્વીય) માટે,$\mu_1 = 4$ અને $C_{P,1} = \frac{7R}{2}$.
હિલિયમ ($He$,એક-પરમાણ્વીય) માટે,$\mu_2 = 1$ અને $C_{P,2} = \frac{5R}{2}$.
પાણીની બાષ્પ ($H_2O$,બહુ-પરમાણ્વીય) માટે,$\mu_3 = 1$ અને $C_{P,3} = 4R$.
કુલ મોલ $\mu_{\text{total}} = 4 + 1 + 1 = 6$.
આ ગણતરી મુજબ,સાચો જવાબ વિકલ્પ $D$ છે.

(C) વાયુઓના મિશ્રણ માટે,સમોષ્મી અચળાંક $\gamma_{mix}$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\frac{n_1 + n_2}{\gamma_{mix} - 1} = \frac{n_1}{\gamma_1 - 1} + \frac{n_2}{\gamma_2 - 1}$
આપેલ છે: $n_1 = 1$,$\gamma_1 = 7/5 = 1.4$ અને $n_2 = 1$,$\gamma_2 = 4/3 \approx 1.33$.
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{1 + 1}{\gamma_{mix} - 1} = \frac{1}{7/5 - 1} + \frac{1}{4/3 - 1}$
$\frac{2}{\gamma_{mix} - 1} = \frac{1}{2/5} + \frac{1}{1/3}$
$\frac{2}{\gamma_{mix} - 1} = 2.5 + 3 = 5.5$
$\gamma_{mix} - 1 = \frac{2}{5.5} = \frac{20}{55} = \frac{4}{11}$
$\gamma_{mix} = 1 + \frac{4}{11} = \frac{15}{11} \approx 1.36$.

(A) વાયુઓના મિશ્રણ માટે એડિબેટિક ઇન્ડેક્સ $\gamma_{mix}$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\gamma_{mix} = \frac{\frac{\mu_1 \gamma_1}{\gamma_1 - 1} + \frac{\mu_2 \gamma_2}{\gamma_2 - 1}}{\frac{\mu_1}{\gamma_1 - 1} + \frac{\mu_2}{\gamma_2 - 1}}$.
આપેલ છે: $\mu_1 = 1, \gamma_1 = 5/3$ અને $\mu_2 = 1, \gamma_2 = 7/5$.
કિંમતો મૂકતા:
$\gamma_{mix} = \frac{\frac{1 \times (5/3)}{(5/3 - 1)} + \frac{1 \times (7/5)}{(7/5 - 1)}}{\frac{1}{(5/3 - 1)} + \frac{1}{(7/5 - 1)}}$
$\gamma_{mix} = \frac{\frac{5/3}{2/3} + \frac{7/5}{2/5}}{\frac{1}{2/3} + \frac{1}{2/5}} = \frac{5/2 + 7/2}{3/2 + 5/2} = \frac{12/2}{8/2} = \frac{12}{8} = 3/2 = 1.5$.

(A) આપેલ છે: $V = 0.02 \ m^3$,$T = 27^{\circ}C = 300 \ K$,$P = 1 \times 10^5 \ N/m^2$,કુલ દળ $M = 28 \ g$.
ધારો કે નિયોનનું દળ $m$ છે અને આર્ગોનનું દળ $(28 - m)$ છે.
મિશ્રણના કુલ મોલ $\mu = \frac{m}{20} + \frac{28 - m}{40} = \frac{28 + m}{40} \dots (i)$.
આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = \mu RT$ પરથી,$\mu = \frac{PV}{RT} = \frac{1 \times 10^5 \times 0.02}{8.314 \times 300} \approx 0.8 \ mol \dots (ii)$.
સમીકરણ $(i)$ અને $(ii)$ ને સરખાવતા: $\frac{28 + m}{40} = 0.8 \implies 28 + m = 32 \implies m = 4 \ g$.
તેથી,નિયોનનું દળ $4 \ g$ અને આર્ગોનનું દળ $28 - 4 = 24 \ g$ થાય.

(C) કેલરીમિતિના સિદ્ધાંત મુજબ,ગરમ પદાર્થ દ્વારા ગુમાવેલી ઉષ્મા = ઠંડા પદાર્થ દ્વારા મેળવેલી ઉષ્મા.
$CO_2$ માટે $(C_v = 3R)$: મોલ સંખ્યા $\mu_1 = \frac{22}{44} = 0.5 \ mol$.
$O_2$ માટે $(C_v = \frac{5R}{2})$: મોલ સંખ્યા $\mu_2 = \frac{16}{32} = 0.5 \ mol$.
ધારો કે અંતિમ તાપમાન $T$ છે.
$CO_2$ દ્વારા મેળવેલી ઉષ્મા = $0.5 \times 3R \times (T - 27)$.
$O_2$ દ્વારા ગુમાવેલી ઉષ્મા = $0.5 \times \frac{5R}{2} \times (37 - T)$.
બંનેને સરખાવતા: $3(T - 27) = 2.5(37 - T)$.
$3T - 81 = 92.5 - 2.5T$.
$5.5T = 173.5$.
$T = \frac{173.5}{5.5} \approx 31.54^{\circ}C$.
આમ,અંતિમ તાપમાન આશરે $32^{\circ}C$ થાય.

(D) પ્રથમ પાત્રમાં રહેલા મોલની સંખ્યા $\mu_1 = \frac{P_1V}{RT_1}$ છે.
બીજા પાત્રમાં રહેલા મોલની સંખ્યા $\mu_2 = \frac{P_2V}{RT_2}$ છે.
જ્યારે તેમને જોડવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ મોલની સંખ્યા $\mu$ અચળ રહે છે,તેથી $\mu = \mu_1 + \mu_2$.
કુલ કદ $2V$ થાય છે,અને અંતિમ દબાણ અને તાપમાન $P$ અને $T$ છે. તેથી,$\mu = \frac{P(2V)}{RT}$.
મોલને સરખાવતા: $\frac{P(2V)}{RT} = \frac{P_1V}{RT_1} + \frac{P_2V}{RT_2}$.
બંને બાજુ $V/R$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે: $\frac{2P}{T} = \frac{P_1}{T_1} + \frac{P_2}{T_2}$.
તેથી,$\frac{P}{T} = \frac{P_1}{2T_1} + \frac{P_2}{2T_2}$.

(A) આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT$ મુજબ,જો તાપમાન $T$ અને કદ $V$ અચળ હોય,તો મોલની સંખ્યા $n$ એ દબાણ $P$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે.
શરૂઆતમાં,દરેક વાયુમાં $n$ મોલ છે. મિશ્રણ કર્યા પછી,કુલ મોલની સંખ્યા $n + n = 2n$ થાય છે.
મિશ્રણ માટે આદર્શ વાયુ સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $P_{new}V = (2n)RT$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $PV = nRT$,તેથી $P_{new}V = 2(PV)$,જે દર્શાવે છે કે $P_{new} = 2P$.
દરેક વાયુનું દળ $M$ હોવાથી,મિશ્રણનું કુલ દળ $M + M = 2M$ થશે.
તેથી,નવું દબાણ $2P$ અને કુલ દળ $2M$ છે.

(D) ડાલ્ટનના નિયમ મુજબ,પાત્રમાં કુલ દબાણ $P$ એ $O_2$ અને $N_2$ ના આંશિક દબાણનો સરવાળો છે: $P = P_{O_2} + P_{N_2}$.
આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $n = \frac{m}{M}$:
$P = \left( \frac{m_{O_2}}{M_{O_2}} + \frac{m_{N_2}}{M_{N_2}} \right) \frac{RT}{V}$.
અહીં $m_{O_2} = 8 \, g$,$M_{O_2} = 32 \, g/mol$,$m_{N_2} = 7 \, g$,$M_{N_2} = 28 \, g/mol$ અને $P = 10 \, atm$ આપેલ છે:
$10 = \left( \frac{8}{32} + \frac{7}{28} \right) \frac{RT}{V} = \left( \frac{1}{4} + \frac{1}{4} \right) \frac{RT}{V} = \frac{1}{2} \frac{RT}{V}$.
તેથી,$\frac{RT}{V} = 20 \, atm$.
જ્યારે $O_2$ ને દૂર કરવામાં આવે,ત્યારે બાકી રહેલું દબાણ ફક્ત $N_2$ ને કારણે હશે:
$P' = \frac{m_{N_2}}{M_{N_2}} \frac{RT}{V} = \frac{7}{28} \times 20 = \frac{1}{4} \times 20 = 5 \, atm$.

(C) એકપરિમાણ્વીય વાયુ માટે: $n_1 = 1$,$\gamma_1 = \frac{5}{3}$.
દ્વિપરિમાણ્વીય વાયુ માટે: $n_2 = 2$,$\gamma_2 = \frac{7}{5}$.
મિશ્રણ માટે એડિબેટિક ઇન્ડેક્સનું સૂત્ર $\gamma_{mix} = \frac{n_1 C_{p1} + n_2 C_{p2}}{n_1 C_{v1} + n_2 C_{v2}}$ છે.
$C_v = \frac{R}{\gamma - 1}$ અને $C_p = \frac{\gamma R}{\gamma - 1}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\gamma_{mix} = \frac{\frac{n_1 \gamma_1}{\gamma_1 - 1} + \frac{n_2 \gamma_2}{\gamma_2 - 1}}{\frac{n_1}{\gamma_1 - 1} + \frac{n_2}{\gamma_2 - 1}}$.
કિંમતો મૂકતા:
$\gamma_{mix} = \frac{\frac{1 \times (5/3)}{(5/3) - 1} + \frac{2 \times (7/5)}{(7/5) - 1}}{\frac{1}{(5/3) - 1} + \frac{2}{(7/5) - 1}} = \frac{\frac{5/3}{2/3} + \frac{14/5}{2/5}}{\frac{1}{2/3} + \frac{2}{2/5}} = \frac{2.5 + 7}{1.5 + 5} = \frac{9.5}{6.5} = \frac{19}{13}$.

(A) ગરમ વાયુ દ્વારા ગુમાવેલી ઉષ્મા એ ઠંડા વાયુ દ્વારા મેળવેલી ઉષ્મા જેટલી હોય છે.
ધારો કે અંતિમ સંતુલન તાપમાન $t$ છે.
$CO_2$ માટે: મોલર દળ $M_1 = 44 \, g/mol$,દળ $m_1 = 22 \, g$,મોલની સંખ્યા $\mu_1 = 22/44 = 0.5 \, mol$. $CO_2$ ત્રિ-પરમાણ્વીય વાયુ હોવાથી,$C_{v1} = 3R$.
$O_2$ માટે: મોલર દળ $M_2 = 32 \, g/mol$,દળ $m_2 = 16 \, g$,મોલની સંખ્યા $\mu_2 = 16/32 = 0.5 \, mol$. $O_2$ દ્વિ-પરમાણ્વીય વાયુ હોવાથી,$C_{v2} = (5/2)R$.
કેલરીમેટ્રીના સિદ્ધાંત મુજબ: $\mu_1 C_{v1} (t - T_1) = \mu_2 C_{v2} (T_2 - t)$.
$0.5 \times 3R \times (t - 27) = 0.5 \times (5/2)R \times (37 - t)$.
$3(t - 27) = 2.5(37 - t)$.
$3t - 81 = 92.5 - 2.5t$.
$5.5t = 173.5$.
$t = 173.5 / 5.5 \approx 31.54^\circ C$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ,નજીકનું મૂલ્ય $32^\circ C$ છે.

(D) વાયુઓના મિશ્રણની કુલ આંતરિક ઊર્જા $U$ એ દરેક વાયુની આંતરિક ઊર્જાના સરવાળા જેટલી હોય છે.
$U = U_{O_2} + U_{Ar} = \mu_1 \frac{f_1}{2} RT + \mu_2 \frac{f_2}{2} RT$
$O_2$ (દ્વિ-પરમાણ્વીય વાયુ) માટે,મુક્તિના અંશો (degrees of freedom) $f_1 = 5$ છે.
$Ar$ (એક-પરમાણ્વીય વાયુ) માટે,મુક્તિના અંશો $f_2 = 3$ છે.
અહીં $\mu_1 = 2$ મોલ અને $\mu_2 = 4$ મોલ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$U = 2 \times \frac{5}{2} RT + 4 \times \frac{3}{2} RT$
$U = 5\, RT + 6\, RT = 11\, RT$.

(C) વાયુઓના મિશ્રણ માટે અચળ કદ પર મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્માનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
${(C_V)_{mix}} = \frac{{\mu_1 (C_V)_1 + \mu_2 (C_V)_2}}{{\mu_1 + \mu_2}}$
મોનોએટોમિક વાયુ માટે,$(C_V)_1 = \frac{3}{2}R$.
ડાયએટોમિક વાયુ માટે,$(C_V)_2 = \frac{5}{2}R$.
અહીં $\mu_1 = 1$ મોલ અને $\mu_2 = 1$ મોલ આપેલ છે.
આ કિંમતો મૂકતા:
${(C_V)_{mix}} = \frac{{1 \times \frac{3}{2}R + 1 \times \frac{5}{2}R}}{{1 + 1}}$
${(C_V)_{mix}} = \frac{{\frac{3}{2}R + \frac{5}{2}R}}{2} = \frac{{\frac{8}{2}R}}{2} = \frac{{4R}}{2} = 2R$.

(B) વાયુઓના મિશ્રણ માટે,એડિયાબેટિક ઇન્ડેક્સ $\gamma_{\text{mix}}$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\gamma_{\text{mix}} = \frac{\frac{\mu_1 \gamma_1}{\gamma_1 - 1} + \frac{\mu_2 \gamma_2}{\gamma_2 - 1}}{\frac{\mu_1}{\gamma_1 - 1} + \frac{\mu_2}{\gamma_2 - 1}}$
આપેલ છે: $\mu_1 = 3$ ($CO_2$ માટે),$\gamma_1 = 1.3$,$\mu_2 = 2$ ($O_2$ માટે),$\gamma_2 = 1.4$.
કિંમતો મૂકતા:
$\gamma_{\text{mix}} = \frac{\frac{3 \times 1.3}{1.3 - 1} + \frac{2 \times 1.4}{1.4 - 1}}{\frac{3}{1.3 - 1} + \frac{2}{1.4 - 1}}$
$\gamma_{\text{mix}} = \frac{\frac{3.9}{0.3} + \frac{2.8}{0.4}}{\frac{3}{0.3} + \frac{2}{0.4}} = \frac{13 + 7}{10 + 5} = \frac{20}{15} = 1.333... \approx 1.34$.

(D) વાયુના અણુની સરેરાશ ગતિઊર્જાનું સૂત્ર $K = \frac{3}{2} k_B T$ છે,જ્યાં $k_B$ એ બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે અને $T$ એ વાયુનું નિરપેક્ષ તાપમાન છે.
વાયુઓના મિશ્રણમાં,બધા અણુઓ ઉષ્મીય સંતુલન પ્રાપ્ત કરે છે,જેનો અર્થ છે કે તેઓ બધા સમાન તાપમાન $T$ પર હોય છે.
સરેરાશ ગતિઊર્જા માત્ર તાપમાન $T$ પર આધાર રાખે છે,અણુઓના દળ પર નહીં,તેથી હાઇડ્રોજનના અણુઓ અને ઓક્સિજનના અણુઓની સરેરાશ ગતિઊર્જા સમાન હશે.
તેથી,તેમની સરેરાશ ગતિઊર્જાનો ગુણોત્તર $1:1$ છે.